四川省新津中学高一数学下学期入学考试试题61

四川省新津中学2017-2018学年高一数学下学期入学考试试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{1,2,3,4,5}U =，{1,2,5}A =，{2,3,4}B =，则U BC A =（ ）A ．∅B ．{2}C ．{3,4}D ．{1,3,4,5} 2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．3y x = B ．1y x =C ．3log y x =D ．1()2x y = 3. 若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜｜=±1，其中正确的有（ ）A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤4.已知α是第一象限角，那么2α是（ ）A ．第一象限角B ．第一或第三象限角 C.第二象限角 D ．第一或第二象限角 5.已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c b a >> 6.当01a <<时，在同一坐标系中，函数xy a =与log a y x =的图象是（ ） A ． B ． C. D ． 7. 在ABC △中，点E 满足3BE EC =，且AE mAB nAC =+，则m n -=（ ） A.12B.12-C.13-D.138.若函数2()(21)1f x x a x =+-+在区间(,2]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9.不等式2313x x a a --+≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.(][) 1 4 -∞+∞，，B.[]1 4-，C.[]4 1-，D.(][) 4 1 -∞-+∞，，10.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C.向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度11.定义在R 上的奇函数()f x ，满足(1)0f =，且在(0,)+∞上单调递增，则()0xf x >的解集为（ ）A ．{|1x x <-或1}x >B ．{|01x x <<或10}x -<< C.{|01x x <<或1}x <- D ．{|10x x -<<或1}x >12.已知函数2|1|,0()|log |,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[1,1]- C.(,1)-∞ D ．(1,1]-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请将答案填在答题卷中的相应位置.） 13.已1249a =（0a >），则23log a = ． 14.若幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)f = ． 15.已知(31)4()log a a x a f x x-+⎧=⎨⎩(1)(1)x x <≥是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 ． 16.给出下列命题：①函数5sin(2)2y x π=-是偶函数； ②方程8x π=是函数5sin(2)4y x π=+的图象的一条对称轴方程；③若α、β是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；④设1x ，2x 是关于x 的方程|log |a x k =（0a >，1a ≠，0k >）的两根，则121x x =； 其中正确命题的序号是 ．（天厨所有正确命题的序号）三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知α为ABC ∆的内角，且3tan 4α=-，计算： （1）sin cos sin cos αααα+-； （2）sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18. （本小题满分12分）已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B ，()R C A B ；（2）若BC C =，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点1(2,)9（1）比较(2)f 与2(2)f b +的大小； （2）求函数22()x xg x a-=（0x ≥）的值域.20. （本小题满分12分）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的最高点D 的坐标为(,2)8π，最高点D 运动到相邻最低点时，函数图象与x 轴的交点的坐标为3(,0)8π. （1）求函数()f x 的解+析式；（2）求()f x 的单调增区间.21. （本小题满分12分）某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序对(,)t P ，点(,)t P 落在右方图象中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （万股）与时间t （天）的函数关系为：40Q t =-+，030t ≤≤，t N +∈ （1）根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？22. （本小题满分12分）已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围.数学参考答案及评分意见一、选择题1-5:CADBC 6-10:DDBBC 11、12：AD 二、填空题 13.4 14.19 15.11[,)7316.①②③ 三、解答题17.（1）原式31tan 1143tan 1714αα-++===----……………………… （2）由已知有α为钝角，又3tan 4α=-，∴3sin 5α=，4cos 5α=-原式7cos sin 5αα=-=-…………………………………………………………10分18.（1）{|25}AB x x =≤<………………………………………………2分{|32}R C A x x =-<<(){|35}R C A B x x =-<<………………………………………………5分（2）∵BC C = ∴C B ⊆……………………………………………………………………………6分Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-………………………………………………………………8分 Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<………………………………………………………10分 综上所述：m 的取值范围是5(,1)(2,)2-∞-…………………………………………12分19.解（1）由已知得219a = ∴13a =……………………………………………3分∵1()()3x f x =在R 上递减，222b ≤+∴2(2)(2)f f b ≥+…………………………………………………………………6分 （2）∵0x ≥，∴221x x -≥-……………………………………………………………………………8分∴221()33x x-≤………………………………………………………………………10分∴()g x 的值域为(0,3]………………………………………………………………………………………12分20.解：（1）依题意，得2A =………………………………………………………………………………2分由于34884T πππ=-=，∴T π=，∴22Tπω==………………………………………………………4分∴()2sin(2)f x x ϕ=+，把,28π⎛⎫⎪⎝⎭代入上式，得sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又2πϕ<，∴3,444πππϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴4πϕ=………………………………………………………………6分∴()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………7分 （2）令24x πθ=+，由2222k k πππθπ-≤≤+得：222242k x k πππππ-≤+≤+解得388k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈） ∴()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）…………………………………………………12分21.（1）由图像知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得125P t =+；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为1810P t =-+，故P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式为：12,020,518,2030,10t t t N P t t t N++⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪+≤≤∈⎪⎩…………………………………………………6分（2）由（1）可知221(15)125,020,51(60)40,2030,10t t t N t t t N++⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩……………………………………………9分 当020t ≤≤，15t =时，min 125y =.………………………………………………………………………10分当2030t <≤，y 随t 的增大而减小.…………………………………………………………………………1分 所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元.………………………………………………12分22.（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，…………………………………………………………………1分 即111222111log log log 111ax ax x x x ax+--=-=----，解得1a =-或1a =（舍）.………………………………4分 （2）111122221()log (1)log log (1)log (1)1xf x x x x x ++-=+-=+-…………………5分 当1x >时，12log (1)1x +<-，………………………………………………………………………………7分∵当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-.………………………………………………………………………8分 （3）由（1）知，12()log ()f x x k =+，即11221()log log ()1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211k x x =-+-在[2,3]上有解，…………………………………………………………………………………………………9分2()11g x x x =-+-在[2,3]上单调递减………………………………………………………………………10分()g x 的值域为[1,1]-，…………………………………………………11分∴[1,1]k ∈-…………………………………………………………………………12分。

一､单选题（共40分）1. 已知集合,那么（ ） (){}|10M x x x =-=A.B. C. D. 0M ∈1M ∉1M -∈0M ∉【答案】A【解析】【分析】确定结合的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.(){}|10M x x x =-=【详解】由题意知集合，(){}|10{0,1}M x x x =-==故，故A 正确，D 错误，，故B 错误，，故C 错误，0M ∈1M ∈1M -∉故选：A2. 命题“，”的否定是（ ）1x ∀≥ln 0x <A. ，B. ， 1x ∃<ln 0x ≥1x ∀≥ln 0x ≥C. ，D. ， 1x ∀<ln 0x <1x ∃≥ln 0x ≥【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写出即可.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”.1x ∀≥ln 0x <1x ∃≥ln 0x ≥故选:D.3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） 110a b<<A. B.a b <22a b ab >C.D. a b >-2a b a +<【答案】B【解析】 【分析】根据可得：，然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解. 110a b<<0b a <<【详解】因为，所以，故选项错误； 110a b <<0b a <<A 因为，所以，则有，故选项正确；0b a <<0ab >22a b ab >B 因为，所以，又因为，所以，则，故选项错误；0b a <<a b -<-a<0a a =-a a b -=<-C因为，所以，两边同时除以2可得：，故选项错误， 0b a <<a b a a +<+2a b a +<D 故选：.B 4. 已知角的终边经过点， ，则（ ） α(,5)m -12cos 13α=tan α=A. B. C. D. 125±512±512-125-【答案】C 【解析】【分析】由三角函数定义求得，再计算正切值．m【详解】由题意，解得，． 12cos 13α==12m =55tan 1212α-==-故选：C ．5. 函数的零点所在的区间为（ ） ()126x f x x -=+-A.B. C. D.(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理即可求解.【详解】因为函数在上单调递增， 1()26x f x x -=+-R ，，，(1)11640f =+-=-<(2)22620f =+-=-<(3)43610f =+-=>则有，所以函数的零点所在的区间为，(2)(3)0f f ⋅<1()26x f x x -=+-(2,3)故选：.B 6. 函数的图象大致是（ ） ()222x x x f x -=+A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，且， ()222x x x f x -=+R 22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++则函数为偶函数，故排除选项；()f x B,D 又因为当时，，故排除选项，0x >()0f x >C 故选：.A 7. 一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病1500mg 500mg 人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物2500mg 20%最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：）0.1h lg 20.30,lg 30.48,lg 50.70≈≈≈A.B. C. D.2.2 5.87.08.2【答案】C【解析】【分析】根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，x 依题意，可得， ()5002500120%1500x ≤⨯-≤整理，得， 143555x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则， 445531log log 55x ≤≤， 453lg61lg2lg31log 2.25lg813lg21-+-==≈--同理得， 451lg 5log 7.05lg81-=≈-解得：，2.27.0x ≤≤所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时．故选：C8. 定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范R ()f x [0,)+∞()()2(32)0f m f m f +-->m 围为（ ）A.B. (1,3)-[]0,2C.D. ()1,2-()1,3【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性得出，然后解一元二次不等式便可223m m <+【详解】是定义在上的奇函数，且在上是减函数， ()f x R [0,)+∞在定义域上是减函数，且，∴()f x R (0)0f =，即，()()2(32)00f m f m f +-->=∴()()()23223f m f m f m >---=+故可知，即可解得，2223230m m m m <+⇒--<13m -<<实数的取值范围为.m (1,3)-故选：A二､多选题（共20分）9. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）1x <x m <m A.B. C. D. 23-2-1-【答案】ABC【解析】【分析】根据必要不充分条件的含义得，一一代入选项检验即可.1m <【详解】根据题意可知“”无法推出“”，但“”可以推出“”，1x <x m <x m <1x <则，则ABC 正确，D 错误，1m <故选：ABC.10. 若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ） m 0n >21m n +=A. 的最大值为mn 18B. 的最小值为11m n +C. 的最小值为 2911m n +++254D. 的最小值为224m n +12【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式逐项进项检验即可求解.【详解】因为实数，，所以时，也即时取m 0n >12m n =+≥2m n =11,42m n ==等），整理可得：，故选项正确； 18mn ≤A因为（当且仅当，也即11112(2)(33n m m n m n m n m n +=++=++≥+2n m m n =时取等号），故选项错误； 1m n ==-B 因为，则有，21m n +=2(1)(1)4m n +++=所以 29129118(1)2(1)[2(1)(1)]()[13]11411411m n m n m n m n n m +++=++++=++++++++（当且仅当，也即时取等125[1344≥⨯+=18(1)2(1)11m n n m ++=++17,55m n =-=号）因为，所以等号取不到，故选项错误；,0m n >C因为，则有， 21m n +=22222221(2)4442(4)m n m n mn m n m n =+=++=++≤+所以时取等号），故选项正确， 22142m n +≥=11,42m n ==D 故选：. AD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） 223,0()ln 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩A.()()13f f =-B. 函数在上单调递增()f x ()1,-+∞C. 不等式的解集为()0f x <{}23e x x -<<∣D. 当时，方程有三个不等实根43k -<≤-()f x k =【答案】ACD【解析】【分析】将1代入解析式计算，作出函数图象，判断单调性，解不等式，数形结合推断((1))f f ()f x k =有三个不等实根时k 的取值范围.【详解】因为，所以，A 项正确；(1)2f =-((1))(2)3f f f =-=-作出函数图象如图，函数在和上单调递增，B 项错误；(1,0)-(0,)+∞令，由图形得，C 项正确；()0f x <{}23e x x -<<结合函数图象，直线与图象有三个交点时，，D 项正确.y k =()y f x =43k -<≤-故选：ACD .12. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为()1f x +[]22-,()f x []3,1-B. 函数（其中且）的图象过定点 ()()1log 21x a f x x a-=-+0a >1a ≠()1,1C. 函数的单调递减区间为 ()()2ln f x x x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩(),-∞+∞a []3,2--【答案】BD【解析】【分析】根据可求得的范围，即为定义域，知A 错误；由恒成立可知B 正22x -≤≤1x +()f x ()11f =确；根据对数型复合函数单调区间的求法可知C 错误；令分段函数每一段单调递增且在分段处函数值大小关系符合单调递增关系即可构造不等式组求得D 正确.【详解】对于A ，的定义域为，即，，()1f x +Q []22-,22x -≤≤113x ∴-≤+≤的定义域为，A 错误；()f x \[]1,3-对于B ，，图象过定点，B 正确；()01log 1011a f a =+=+= ()f x \()1,1对于C ，令，由知：，2u x x =-0u >01x <<在上单调递增，在上单调递减， 2u x x =- 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭又在上单调递增，的单调递减区间为，C 错误； ln y u =()0,∞+()f x \1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭对于D ，在上是增函数，，解得：，()f x (),-∞+∞12015a a a a ⎧-≥⎪⎪∴<⎨⎪---≤⎪⎩32a --≤≤即实数的取值范围为，D 正确.a []3,2--故选：BD.三､填空题（共20分）13. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为______． 4π3π3【答案】## 8π38π3【解析】【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】由题意知，圆心角为，弧长为， π3α=4π3l =设扇形半径为，根据弧长公式得， r 4π3l r α==4r =则扇形面积. 114π8π42233S lr ==⨯⨯=故答案为：8π314. 已知函数，则______. ()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()114f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】0【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可. 【详解】因为，所以. 104>211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为，所以. 10-<()11122f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以. ()1104f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭故答案为:0.15. 已知是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为__________2()(1)f x m m =--223mm x --(0,)+∞m .【答案】2【解析】【分析】解方程，再检验得解.211m m --=【详解】解：依题意，，得或，211m m --2m =1m =-当时，，幂函数在上不是减函数，所以舍去.1m =-0()1f x x ==()f x (0,)+∞当时，，幂函数在上是减函数．所以.2m =3()-=f x x ()f x ()0,∞+2m =故答案为： 216. 已知函数，记函数（其中）的4个零点分别为()()()()221,23,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x b =-01b <<，，，，且，则的值为___________. 1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<123422x x x x +++【答案】8【解析】【分析】将函数的零点转化为与图象交点的横坐标，然后根据二次函数的对()()g x f x b =-()f x y b =称性得到，结合的解析式和图象可得，，然后求346x x +=()f x 121x b -=-12222x x +=即可.123422x x x x +++【详解】函数的零点可以看做与图象交点的横坐标，和的图象如上图所()()g x f x b =-()f x y b =()f x y b =示，根据二次函数的对称性得到，34236x x +=⨯=由图可知，，，则，所以.121x b -=-221x b -=12222x x +=1234228x xx x +++=故答案为：8. 四､解答题（共70分）17. 已知集合，，.{}212270A x x x =-+≤{}27B x x =<<{}211C x m x m =-<<+（1）求；,A B A B （2）若，求m 的取值范围.B C C = 【答案】（1）[)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先求出集合A ，由交集和并集的定义即可得出答案；（2）由可得，讨论和，求解即可.B C C = C B ⊆C =∅C ≠∅【小问1详解】 ，{}212270A x x x =-+≤}{=39x x ≤≤{}27B x x =<<所以.[)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=【小问2详解】因为，所以，B C C = C B ⊆若，则，解得：， C =∅211m m -≥+2m ≥若，则，解得：， C ≠∅221132122176m m m m m m m <⎧-<+⎧⎪⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪+≤⎩≤⎪⎩322m ≤<所以m 的取值范围为：.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18. 已知是第二象限角，且.α222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=（1）求的值； tan α（2）求的值. ()()πsin sin π23π3cos cos 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】（1）； 1tan 2α=-（2）. 35【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； tan αα（2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解. cos sin 3sin cos αααα-=-+cos α【小问1详解】由， 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=可得，即， 2222sin 3sin cos 2cos 0cos ααααα--=22tan 3tan 20αα--=解得或. 1tan 2α=-tan 2α=因为是第二象限角，所以. α1tan 2α=-【小问2详解】. ()()πsin sin πcos sin 1tan 323π3sin cos 3tan 153cos cos 2αααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===-+-+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭19. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每()C x ()210100,040100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.()L x x （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）； ()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.【解析】【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当时，040x <<；()22500101002500104002500L x x x x x x =---=-+-当时，， 40x ≥()1000010000500501450025002000L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭所以； ()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当时，，040x <<()()210201500L x x =--+所以；()()max 201500L x L ==当时，， 40x ≥()100002000200020002001800L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立. 10000x x=100x =故，()()max 10018001500L x L ==>所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.20. 在①不等式的解集为，②当时，取得最大值4，③()0f x >()1,3-1x =()f x 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.()()()11,03f x f x f +=-=问题：已知函数，且__________. ()22f x ax x c =+-（1）求的解析式；()f x （2）若在上的值域为，求的值. ()f x [],()m n m n <[]3,72n m --m n +【答案】（1）()223f x x x =-++（2）5【解析】【分析】（1）对①：根据三个二次之间的关系运算求解；对②：根据二次函数的最值运算求解；对③：根据二次函数的对称性运算求解；（2）根据题意结合二次函数的单调性和最值分析运算.【小问1详解】若选①：由函数，且不等式的解集为， ()22f x ax x c =+-()0f x >()1,3-即是方程两个实数根，且，1,3-220ax x c +-=a<0可得，解得， 21313a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩1,3a c =-=-所以； ()223f x x x =-++若选②：由题意可得，解得，()11124a f a c ⎧-=⎪⎨⎪=-+-=⎩1,3a c =-=-故； ()223f x x x =-++若选③：因为，所以图象的对称轴方程为，()()11f x f x +=-()f x 1x =则，即， 11a -=1a =-因为，所以，()03f =3c =-故.()223f x x x =-++【小问2详解】因为在上的值域为，所以，即， ()223f x x x =-++R (],4∞-724m -≤32m ≥因为图象的对称轴方程为，所以在上单调递减，()f x 1x =()f x [],m n 则， ()()222372233f m m m m f n n n n ⎧=-++=-⎪⎨=-++=-⎪⎩解得，即.2,3m n ==5n m +=21. 已知函数（且）的图象经过点和．()log a f x b x =+0a >1a ≠()4,1()1,1-（1）求函数的解析式；()f x （2）令，求的最小值及取最小值时x 的值．()()()21g x f x f x =+-()g x 【答案】（1） 2()1log f x x =-+（2）的最小值为，且取最小值时x 的值为.()g x 3()g x 1【解析】【分析】（1）由求出，可得的解析式； 1log 41log 1a a b b =+⎧⎨-=+⎩,a b ()f x （2）化简得，再根据基本不等式和对数函数的单调性可求出()g x 21()1log ()2g x x x ⎛⎫=-+++ ⎪⎭(0)x >结果.【小问1详解】依题意可得，解得， 1log 41log 1a a b b =+⎧⎨-=+⎩21a b =⎧⎨=-⎩所以.2()1log f x x =-+【小问2详解】由（1）知，，2()1log f x x =-+所以()()22()21log (1)1log g x x x =-++--+22211log x x x++=-+211log (2x x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭(0)x >，因为，所以，当且仅当时，等号成立， 0x >1224x x ++≥+=1x =又，所以，此时.21>min ()143g x =-+=1x =所以的最小值为，且取最小值时x 的值为.()g x 3()g x 122. 已知函数定义域为，函数． 21()21x x f x -=+(1,1)-1()421x x g x m m +=+⋅+-（1）解不等式；(21)(32)0f x f x -+-<（2）若存在两个不等的实数a ，b 使得，且，求实数m 的取值范围．()()0f a f b +=()()0g a g b +≥【答案】（1） 1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩（2） 25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】【分析】（1）结合函数的单调性和奇偶性求解即可；（2）由已知结合函数的单调性及奇偶性可得，进而推导出代=-b a ，令，则代入化简可得，令211()()2222022a a a a g a g b m m ⎛⎫⎛⎫+=+++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122a a t =+222t m t ≥-，只需即可. ()222t h t t=-()min m g t >【小问1详解】函数定义域为，关于原点对称， 21()21x x f x -=+(1,1)-，所以易知，在上单调递增， 212122()1212121x x x x x f x +--===-+++()f x (1,1)-因为，是奇函数， ()2112()2112x xx x f x f x -----===-++()f x 由可得，(21)(32)0f x f x -+-<()(21)(32)23f x f x f x -<--=-所以，解得：. 121112312123x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩1335x <<故不等式的解集为：. 1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩【小问2详解】由可得，()()0f a f b +=()()()f a f b f b =-=-所以，不妨设，则，=-b a a b >01a <<因为，令，则， 1()421x x g x m m +=+⋅+-122a a t =+522t <<所以，11()()()()421421a a a a g a g b g a g a m m m m +--++=+-=+⋅+-++⋅+-，所以， 211=222222a a a a m m ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2210t m t =+-≥222t m t ≥-令， ()22211=2222111222t h t t t t t ==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为，所以， 522t <<21152t <<所以， 2111112222225t ⎛⎫-<--<- ⎪⎝⎭所以，所以 ()25212h t -<<-2512m >-所以实数m 的取值范围为：.25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，。

四川省新津中学2017-2018学年高一下学期入学考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题1.设{1,2,3,4,5}U =，{1,2,5}A =，{2,3,4}B =，则U B C A =（ ）A ．∅B ．{2}C ．{3,4}D ．{1,3,4,5}2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．3y x =B ．1y x =C ．3log y x =D ．1()2x y = 3.若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ；③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a a=b ，其中正确的有（ ）A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤4.已知α是第一象限角，那么2α是（ ）A ．第一象限角B ．第一或第三象限角 C.第二象限角 D ．第一或第二象限角5.已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c b a >>6.当01a <<时，在同一坐标系中，函数xy a =与log a y x =的图象是（ ）A ．B ． C. D ．7. 在ABC △中，点E 满足3BE EC =，且AE mAB nAC =+，则m n -=（ ）A.12B.12-C.13-D.13 8.若函数2()(21)1f x x a x =+-+在区间(,2]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B．3,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦9.不等式2313x x a a--+≤-对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(][)1 4-∞+∞，， B.[]1 4-， C.[]4 1-， D.(][)4 1-∞-+∞，，10.函数()sin()f x xωϕ=+（0ω>，π||2ϕ<）的图象如图所示，为了得到()sing x xω=的图象，则只要将()f x的图象（）A．向左平移π3个单位长度B．向右平移π3个单位长度C.向右平移π6个单位长度D．向左平移π6个单位长度11.定义在R上的奇函数()f x，满足(1)0f=，且在(0,)+∞上单调递增，则()0xf x>的解集为（）A．{|1x x<-或1}x>B．{|01x x<<或10}x-<<C.{|01x x<<或1}x<-D．{|10x x-<<或1}x>12.已知函数2|1|,0()|log|,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x，2x，3x，4x，且1234x x x x<<<，则3122341()x x xx x++的取值范围是（）A．(1,)-+∞B．[1,1]- C.(,1)-∞D．(1,1]-第Ⅱ卷二、填空题13.已1249a=（0a>），则23log a=．14.若幂函数()f x的图象经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)f=．15.已知(31)4()log a a x a f x x-+⎧=⎨⎩(1),(1),x x <≥是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 ． 16.给出下列命题： ①函数5πsin(2)2y x =-是偶函数； ②方程π8x =是函数5πsin(2)4y x =+的图象的一条对称轴方程； ③若α、β是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；④设1x ，2x 是关于x 的方程|log |a x k =（0a >，1a ≠，0k >）的两根，则121x x =； 其中正确命题的序号是 ．（天厨所有正确命题的序号）三、解答题17.已知α为ABC ∆的内角，且3tan 4α=-，计算： （1）sin cos sin cos αααα+-； （2）ππsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18. 已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤（1）求A B ，()C A B R ； （2）若BC C =，求实数m 的取值范围.19. 已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点1(2,).9（1）比较(2)f 与2(2)f b +的大小；（2）求函数22()x x g x a-=（0x ≥）的值域.20. 设函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的最高点D 的坐标为π(,2)8，最高点D 运动到相邻最低点时，函数图象与x 轴的交点的坐标为3π(,0)8. （1）求函数()f x 的解+析式；（2）求()f x 的单调增区间.21.某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序对(,)t P ，点(,)t P 落在右方图象中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （万股）与时间t （天）的函数关系为：40Q t =-+，030t ≤≤，t +∈N（1）根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？22.已知函数121()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5：CADBC 6-10：DDBBC 11-12：AD二、填空题13.4 14.19 15.11[,)7316.①②③ 三、解答题 17. 解：（1）原式31tan 114,3tan 1714αα-++===---- （2）由已知有α为钝角，又3tan 4α=-，∴3sin 5α=，4cos ,5α=- 原式7cos sin 5αα=-=-.18. 解：（1）{|25}A B x x =≤<，{|32}C A x x =-<<R (){|35}C A B x x =-<<R ；（2）∵B C C = ∴C B ⊆ ，Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-，Ⅱ）当C ≠∅时，∴12,11,25,m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩ ∴522m << ，综上所述：m 的取值范围是5(,1)(2,)2-∞-.19.解（1）由已知得219a = ∴13a =，∵1()()3x f x =在R 上递减，222b ≤+∴2(2)(2)f f b ≥+；（2）∵0x ≥，∴221x x -≥-，∴221()33x x-≤，∴()g x 的值域为(0,3].20.解：（1）依题意，得2A =，由于3πππ4884T =-=，∴πT =，∴2π2T ω==，∴()2sin(2)f x x ϕ=+，把π,28⎛⎫⎪⎝⎭代入上式，得πsin 1,4ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π2ϕ<，∴ππ3π,444ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴π4ϕ=， ∴π()sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）令π24x θ=+，由ππ2π2π22k k θ-≤≤+得：πππ2π22π242k x k -≤+≤+ 解得3ππππ88k x k -≤≤+（k ∈Z ） ∴()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 21.解：（1）由图像知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得125P t =+；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为1810P t =-+，故P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式为： 12,020,518,2030,10t t t P t t t ++⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪+≤≤∈⎪⎩N N ，， （2）由（1）可知12(40),020,518(40),2030,10t t t t y t t t t ++⎧⎛⎫+-+≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ，， 221(15)125,020,51(60)40,2030,10t t t t t t ++⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩N N ，，当020t ≤≤，15t =时，min 125y =， 当2030t <≤，y 随t 的增大而减小.所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元.22. 解：（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即111222111log log log 111ax ax x x x ax+--=-=----，解得1a =-或1a =（舍），（2）111122221()log (1)log log (1)log (1)1x f x x x x x ++-=+-=+-， 当1x >时，12log (1)1x +<-，∵当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-；（3）由（1）知，12()log ()f x x k =+，即11221()log log ()1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-，即211k x x =-+-在[2,3]上有解， 2()11g x x x =-+-在[2,3]上单调递减， ()g x 的值域为[1,1]-，∴[1,1]k ∈-.。

四川省新津中学2019-2020学年高一数学4月月考（入学）试题 理第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．设,,a b c R ∈且a b >，则 （ ） A ．ac bc > B ．22a b >C ．33a b >D ．11a b< 2．已知3sin 4α=，则()cos 2απ-= （ ） A ．18 B ．18-C ．19D．33．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为 （ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 4．21sin 352sin 20-的值为（ ）A ．12 B ．12-C ．1-D ．15.在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，B ＝60º，且不等式2560x x -+<的解集为{|}x a x c <<，则b 等于 （） AB ．4C ．D ．6．已知α、β为锐角，3cos 5α=，1tan()3βα-=，则tan β=（ ）A ．139B ．913 C ．3D ．137．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若47cos ,cos ,1525A C a ===，则b = （ ） A ．2B ．65C ．3625D ．39258.函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为 （ ） A ．2BC 1D ．19．在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，若,,a b c 成等比数列，30A =︒，则sin b Bc＝ （ ） A ．12B．2C．2D ．3410．已知△ABC 中，︒=∠30A ,AB 2,BC 分别是1132+、1132－的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于 ( ) A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或43 11．在递减等差数列{}n a 中，21324a a a =-.若113a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和的最大值为 （ ） A ．24143B ．1143C ．613 D ．241312．设等差数列{}n a 满足2222477456sin cos sin cos 1sin()a a a a a a -=+,公差(1,0)d ∈-,当且仅当9n =时,数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范围为( ) A ．43(,)32ππ B ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．74(,)63ππD ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

学习资料四川省新津中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题（本试卷满分150分答题时间120分钟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}{}1,31,2,5A B ==,，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}3C ．{}1,3D ．{}2,3,4,52．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则cos α=（ ） A ．13B ．45C ．45-D ．13-3．设0.50.5a =，0.50.3b =,0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A 。

c a b << B. b a c << C. c b a << D 。

a b c <<4．函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,eC ．()3,4D ．(),e +∞5．已知扇形的中心角为60︒,半径为2，则其面积为（ ） A ．6π B ．43π C ．3π D ．23π6．函数()f x =的定义域为（ ） A ．(]2,0- B ．()(],22,0-∞-⋃- C ．(]2,1-D ．()(],22,1-∞-⋃-7．已知曲线12:sin 2,:sin 26C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ． 把1C 上点向右平移6π个单位长度得到曲线2C B ． 把1C 上点向右平移12π个单位长度得到曲线2CC ． 把1C 上点向左平移6π个单位长度得到曲线2CD ．把1C 上点向左平移12π个单位长度得到曲线2C8．函数()2ln 23y x x =+-的单调递减区间是( ）A ． (),3-∞-B ． (),1-∞-C ． ()1,-+∞D ． ()1,+∞ 9．函数lg ||x y x=的图象大致是（ ） A. B.C. D 。

四川高一高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列各数中，最小的数是（）A．B．C．D．02.函数y=的自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．3.下列命题中，真命题是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是正方形D．四个内角均相等的四边形是矩形4.下列运算正确的是（）A．B．C．D．5.如图，直线∥，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．B．C．D．6.如下图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．7.下列说法中正确的是（）A．的值为B．同时掷两枚硬币，结果都是正面朝上的概率是C．的平方根是D．的倒数和值相等．8.随机对某社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是55 B．众数是60C．方差是29 D．平均数是549.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则直角三角形的面积为（）A．6B．7C．8D．910.给出下列命题及函数与和的图象：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．则（）A．正确的命题只有①B．正确的命题有①②④C．错误的命题有②③D．错误的命题是③④二、填空题1.计算：= ．2.分解因式：＝．3.如图，圆O的直径CD=10cm，D为的中点，CD交弦AB于P，AB=8cm，则．4.将一条抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为，则原抛物线的解析式为．5.如图，的一条直角边在x轴上，双曲线经过斜边的中点C，与另一直角边交于点D．若，则的面积为．6.已知抛物线经过点和．下列结论：；；③当时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为其中结论正确的有__________________（写出所有正确结论的番号）三、解答题1.（本小题6分）计算：2.（本小题6分）：先化简，再求值：，其中x=3.（本小题8分）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：甲班：根据上面提供的信息回答下列问题（1）表中x= ，甲班学生成绩的中位数落在等级中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角为度．（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．4.（本小题12分）已知的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC长为5．（1）为何值时，是以为斜边的直角三角形。

一、单选题1．已知集合，，则集合等于（ ） {}0,1,2A ={}2,N x x a a A ==∈A N A ．； B ．； C ．； D ．．{}0{}0,1{}1,2{}0,2【答案】D【分析】求出集合，根据交集含义即可得到答案. N 【详解】当时，；当时，； 0a =20x a ==1a =22x a ==当时，，故，故， 2a =24x a =={}0,2,4N ={0,2}A N ⋂=故选：D.2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） (0)+∞，A ．B ．C ．y =|x |D ． 3y x =-1y x=21y x =【答案】D【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案. 【详解】，都是奇函数，排除A ，B. 3y x =-1y x= ，都是偶函数，在上递增，在递减， y x =21y x =y x =(0)+∞，21y x=(0)+∞，故选：D ．3．函数的值域是（ ）21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩A ．(0，＋∞) B ．(0，1)C ．D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】分类讨论，结合二次函数和反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】当时，，此时函数是单调递减，所以有，显然当时， 1x >1()f x x=()(1)1f x f <=1x >，因此当时，函数的值域为；()0f x >1x >(0)1，当时，，二次函数的对称轴为：，1x <2213()1()24f x x x x =-+=-+12x =因此当时，函数有最小值，所以此时函数的值域为：，12x =343,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭综上所述：函数的值域为：(0，＋∞). 故选：A【点睛】本题考查了求分段函数的值域，考查了二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题. 4．（ ）tan 570sin 300︒+︒=ABC ．D ．【答案】C【分析】由诱导公式可得答案.【详解】()()57030036021036060oo o o o otan si n t an sin +=++- ()180********o o o o o t an si n t an si n =+-=-=-=-故选：C5．设、，则“且”是“”的条件 a b ∈R 2a >2b >4a b +>A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．非充分非必要【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】因为且，由不等式的性质，可得，故是充分条件， 2a >2b >4a b +>又当a ＝1，b ＝7时，满足a+b>4，但不满足且，故不是必要条件， 2a >2b >故选A ．【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题．6．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间0T t 分钟后的温度T 满足，h 称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T 25aT =有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要（ ）（参考数据：，） lg 20.30≈lg11 1.04≈A ．8分钟 B ．9分钟 C ．10分钟 D ．11分钟【答案】C【分析】由题意可得，代入，得，两边取常用对数得：1110()211h=14525()(7525)2th -=-510112t⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用对数的运算性质即可求出的值． 10lglg 1152t =t 【详解】解：根据题意得：，117525(8025)2h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭，()14525()75252t h∴-=-，112050()2th ⎡⎤∴=⨯⎢⎥⎣⎦， ∴510112t⎛⎫= ⎪⎝⎭两边取常用对数得：， 10lglg 1152t =，2lglg 2lg52lg 2120.31510101lg111lg111 1.04lg 11t --⨯-∴===≈=---水温从75℃降至45℃大约还需要10分钟，∴故选：C ．7．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（ ） ()f x (],1-∞-A ．B ．()()5322f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭()()5322f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．D ．()()5232f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭()()5232f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由条件可得函数在上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据[1,)+∞，可得，进而得出结论. 5322->->5(3)()(2)2f f f ->->【详解】因为偶函数在区间上单调递减，()f x (],1-∞-所以函数在上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大， [1,)+∞又，所以， 5322->->5(3)((2)2f f f ->->故选：.D 8．对任意正数x ，y ，不等式x （x +y ）≤a （x 2+y 2）恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A B ﹣1 C +1D 【答案】D【分析】将已知不等式转化为（a ﹣1）﹣+a ≥0对于一切正数x ，y 恒成立，令t ＝，f2(x y xy 0x y >（t ）＝（a ﹣1）t 2﹣t +a ，由二次函数的图象与性质可得关于a 的不等式组，解之即可得答案. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，∴x （x +y ）≤a （x 2+y 2）⇔xy ≤（a ﹣1）x 2+ay 2⇔，()210x xa a y y⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭令，f （t ）＝（a ﹣1）t 2﹣t +a ， 0xt y=>依题意，，即，解得a101(02(1)a f a ->⎧⎪⎨≥⎪-⎩1104(1)a a a >⎧⎪⎨-≥⎪-⎩∴实数a . 故选：D.二、多选题9．下列说法不正确的是( )A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．cos20<C ．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 D ．若，则与的终边相同 sin sin αβ=αβ【答案】ACD【分析】根据任意角的基本概念和三角函数定义即可逐项判断．【详解】对于选项A ，三角形内角范围是，其中90°不属于象限角，故A 错误； ()0π，对于选项B ，大小为2的角终边在第二象限，故cos2＜0，故B 正确； 对于选项C ，1弧度的角是长为半径的“弧”所对的圆心角，故C 错误；对于选项D ，若，则α和β的终边相同或关于y 轴对称，故D 错误． sin sin αβ=故选：ACD ．10．已知定义在上的函数在区间上是增函数，则（ ）R ()()cos 0f x x ωω=>,03π⎛-⎫⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x πωB ．满足条件的整数的最大值为3ωC ．函数的图像向右平移单位后得到奇函数的图像，则的值()()cos 0f x x ωω=>3π()g x ω32D ．函数在上有无数个零点()()y f x f x =+,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据函数在区间的单调性求出的取值范围，即可判断B ，再求出的解析,03π⎛-⎫⎪⎝⎭ω()f x 式，即可得到其最小正周期，即可判断A ，根据三角函数的平移变换得到的解析式，再根据()g x奇偶性求出，即可判断C ，最后利用特殊值判断D.ω【详解】解：函数在区间上是增函数，()cos (0)f x x ωω=>,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，，所以整数的最大值为，故B 正确； ()30πωπω⎧⋅-≥-⎪∴⎨⎪>⎩03ω∴<≤ω3因为为偶函数，函数图象关于轴对称， ()cos (0)f x x ωω=>y 所以，所以的最小正周期，故A 错误；()()cos x f f x x ω==()f x 2T πω=将函数的图像向右平移单位得到，()()cos 0f x x ωω=>3π()cos cos 33x x x g ππωωω⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭因为为奇函数，所以，解得， ()g x ,Z 32k k πωππ-=+∈33,Z 2k k ω=--∈又，所以当时，故C 正确； 03ω<≤1k =-32ω=当时，由，所以，所以，12ω=()1cos 2f x x =,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,024x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x >则在上无零点，故D 错误；()()y f x f x =+,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：BC ．11．若，，且，则下列说法正确的是（ ） 0a >0b >22a b +=A ．的最大值为 B ．的最小值为2 ab 12224a b +C ．的最小值是 D ．的最小值为4 124a b a b +++322+aa b【答案】ABD【分析】直接根据基本不等式即可判断A ；结合即可判断B ；由题知22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，，进而结合基本不等式“1”的用法求解即可判断C ；根12144422a b a b a b a b+=+++++636a b +=据，结合基本不等式求解即可判断D. 22a b aa b a b+=++【详解】解：对于A 选项，因为，，，当且仅当0a >0b >22a b +=≥12≤ab 时等号成立，故A 选项正确；21a b ==对于B 选项，由不等式得，所以当且仅当22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭22221224a b a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭+≥=2242a b +≥时等号成立，故的最小值为，故B 选项正确；21a b ==224a b +2对于C 选项，由得，所以22a b +=636a b +=12144422a b a b a b a b+=+++++()()1144226422a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭，当且仅当，即()()()2441135564262a b a b a b a b ⎡⎡⎤++⎢=++≥+=⎢⎥++⎢⎢⎥⎣⎦⎣4a b a b +=+时等号成立，此时与矛盾，故取不到最小值，故C 选项错误； 0,2a b ==0a >对于D 选项，由题知，当且仅当时等号成22224a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=23a b ==立，故的最小值为4，D 选项正确. 2+aa b故选：ABD12．已知为R 上的偶函数，且是奇函数，则（ ） ()f x (2)f x +A ．关于点对称 B ．关于直线对称 ()f x (2,0)()f x 2x =C ．的周期为 D ．的周期为()f x 4()f x 8【答案】AD【分析】由偶函数的性质及奇函数的性质，分析函数的周期性和对称性，由此判断各选项. 【详解】∵ 为偶函数()f x ∴ 图象关于轴对称， ()f x y ()()f x f x -=又∵ 是奇函数 ∴ (2)f x +(2)(2)f x f x -+=-+∴ ， (2)(2)0f x f x -++=∴(8)(4)()f x f x f x +=-+=∴ 函数的图象关于轴对称，为周期函数且周期为， ()f x (2,0)()f x 8故选AD.三、填空题 13．已知，则______．sin cos 2sin cos αααα+=--tan α=【答案】13【分析】由已知等式，可得，再根据同角三角函数的商数关系即可sin cos 2sin cos αααα+=--3sin cos αα=得的值. tan α【详解】解：，sin cos 2sin cos αααα+=--()sin cos 2sin cos αααα∴+=--整理得，. 3sin cos αα=sin 1tan cos 3ααα∴==故答案为：.1314．若，则________． log 2,log 3a a m n ==2m n a +=【答案】18【分析】对数式化为指数式，再代入计算即可. 【详解】，.log 2a m = 2m a ∴=,.log 3a n = 3n a ∴=. 2222()2318m n m n m n a a a a a +∴=⋅=⋅=⨯=故答案为：18.15．已知函数与函数的图像在恰好有一个交点，则实数的取值21y x mx =+-22y x m =-()0,1x ∈m 范围是______.【答案】 {126,23m æùçÎ-Èúçúèû【分析】联立方程分离之后解出，分离变量转化为函数交点问题，借助对勾函数的单调性求解即m 可.【详解】联立得，2122y x mx y x m ⎧=+-⎨=-⎩2122x mx x m +-=-解出，2122x x m x +-=+令，原式整理得，可变形为()2,2,3t x t =+Î76m t t=--+76m t t -=+这个方程在上恰有一个解等价于函数和在仅有一个交点. ()2,36y m =-7y t t=+()2,3在上单调递减，在上单调递增；7y t t=+()分别计算的值为，易得： t =y 1116,23{16116,32m ⎡⎫-∈⋃⎪⎢⎣⎭故答案为：. {126,23m æùçÎ-Èúçúèû16．已知函数在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是()2()log 32a f x x ax a =-+-()1,+∞______.【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.【详解】令，则开口向上，对称轴为， ()232g x x ax a =-+-()g x 2a x =因为在上单调递减，()()2()log 32log a a f x x a g x x a =-+-=()1,+∞所以在上只有一个单调区间，则在上单调递增， ()g x ()1,+∞()g x ()1,+∞故，即， 12a≤2a ≤又由对数函数的定义域可知在上恒成立，则， ()0g x >()1,+∞()()10g x g >≥即，故， 211320a a -⨯+-≥12a ≥又因为在上单调递减，在上单调递增， ()()log a g x f x =()1,+∞()g x ()1,+∞所以在上单调递减，故， log a y x =()0,∞+01a <<综上：，即. 112a ≤<1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．已知集合. {}2560A x x x =-+>∣(1)求；A R ð(2)若集合，且，求实数的取值范围. {2}B xa x a =<<∣B A ⊆a 【答案】(1) {|23}A x x =≤≤R ð(2) 13a a ≤≥或【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集； （2）由可分类讨论与时画图分析即可. B A ⊆B φ=B φ≠【详解】（1）∵ 2{|560}{|23}A x x x x x x =-+>=<>或∴ {|23}A x x =≤≤R ð（2）∵B A ⊆∴①当时，，解得：， B =∅2a a ≥0a ≤②当时，即：，B ≠∅0a >∴或 022a a >⎧⎨≤⎩03a a >⎧⎨≥⎩∴ 013a a <≤≥或∴综述：. 13a a ≤≥或18．已知，. tan 3α=32ππα<<（1）求的值;cos α（2）若的值.()()sin sin 2cos cos 2παπαπαπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】（1）2）12-【分析】（1）根据同角三角函数关系，，转化成，代入平方关系中，解sin tan cos ααα=sin 3cos αα=一元二次方程，即可求解.（2）由诱导公式，进行化简，再由齐次式求值. 【详解】（1）因为，所以. sin tan 3cos ααα==sin 3cos αα=又因为，所以. 22sin cos 1αα+=21cos 10α=因为，所以32παπ<<cos α=（2）. ()()sin sin cos sin 1tan 12sin cos tan 12cos cos 2παπααααπααααπα⎛⎫+++ ⎪--⎝⎭===-++⎛⎫--- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查同角三角函数关系，已知切求弦问题，和齐次式求值问题，需注意角所在象限，属于基础题.19．函数的图象如图所示.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式和单调增区间； ()f x （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最()f x 3π()g x ()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦值并求出相应的值．x【答案】（1），增区间，（2）时，取最小()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈3x π=()f x 值为-2；当时，取最大值为1. 0x =()f x 【解析】（1）根据图像计算，得到，代入点计算得到解析式，再计算2A =2T ππω==2ω=,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调区间得到答案.（2）通过平移得到，再计算得到最值. ()52sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图知：，∴，∴，∵，∴，2A =311934126124T ππππ=-==2T ππω==2ω=0ω>2ω=∴，()()2sin 2f x x ϕ=+∵由图知过，∴， ()f x ,26π⎛⎫⎪⎝⎭2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，∴，，∴，，sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭232k ππϕπ+=+Z k ∈26k πϕπ=+Z k ∈∵，∴，∴.2πϕ<6πϕ=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵，，∴，，222262k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈36k x k ππππ-≤≤+Z k ∈∴增区间，.()f x ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）， ()52sin 22sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵，∴， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴当，即时，取最小值为-2，53262x ππ+=3x π=()f x 当，即时，取最大值为1. 55266x ππ+=0x =()f x 【点睛】本题考查了三角函数的图像识别，三角函数的单调性，最值，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.20．某公司生产一种儿童玩具，每年的玩具起步生产量为1万件；经过市场调研，生产该玩具需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投人流动成本万元，在年产量不足万件时，2x ()W x 6；在年产量不小于万件时，.每件玩具售价()()2221log 2log 1082W x x x x =--+6()81942W x x x =+-元.通过市场分析.该公司生产的玩具能当年全部售完.8(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固()P x x =-定成本流动成本）-(2)年产量为多少万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)； ()()2221log 2log 8,1628140,6x x x P x x x x ⎧-++≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大，最大利润为万元.922【分析】（1）分、两种情况讨论，根据年利润年销售收入固定成本流动成本可16x ≤<6x ≥=--得出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；()P x x （2）利用二次函数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出函数在()P x 16x ≤<()P x 6x ≥时的最大值，比较大小后可得出结论.【详解】（1）解：因为每件玩具售价为元，则万件玩具销售收入为万元.8x 8x 当时，， 16x ≤<()()()222222118log 2log 1082log 2log 822P x x x x x x x =-++--=-++当时，， 6x ≥()81818942240P x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故； ()()2221log 2log 8,1628140,6x x x P x x x x ⎧-++≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：当时，， 16x ≤<()()()2222211log 2log 8log 21022P x x x x =-++=--+此时，当时，取最大值，最大值为万元；4x =()P x 10当时，，当且仅当，即时，取等号. 6x ≥()81404022P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭81x x =9x =此时，当时，取得最大值，最大值为万元.9x =()P x 22因为，所以当年产量为万件时，该公司这款玩具的生产中所获利润最大，1022<9最大利润为万元.2221．已知为偶函数，为奇函数，且.()f x ()g x ()()12x f x g x -+=(1)求，的解析式；()f x ()g x (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.x ∈R ()2222n n f x --≥n 【答案】(1)，()22x x f x -=+()22x x g x -=-(2)[]1,3-【分析】（1）根据奇偶函数建立方程，解方程即可得答案；（2）由题知，进而得，再解不等式即可得答案.()min 2f x =2221n n --≤【详解】（1）解：因为为偶函数，为奇函数，且有，()f x ()g x ()()12x f x g x -+=所以，()()()()12x f x g x f x g x +-+-=-=所以，，解得，. ()()()()1122x x f x g x f x g x +-⎧-=⎪⎨+=⎪⎩()22x x f x -=+()22x x g x -=-所以，，.()22x x f x -=+()22x x g x -=-（2）解：因为，当且仅当时等号成立，()222x x f x -=+≥=0x =所以.()min 2f x =所以，对任意的，恒成立，即，x ∈R ()2222n n f x --≥22222n n --≥则，即，解得，2221n n --≤2230n n --≤13n -≤≤所以，的取值范围.n []1,3-22．定义：若对定义域内任意x ，都有（a 为正常数），则称函数为“a 距”增函()()f x a f x +>()f x 数．（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；()2x f x x =-x ∈+∞()f x （2）若，R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； ()3144f x x x =-+x ∈（3）若，(﹣1，)，其中k R ，且为“2距”增函数，求的最小值．()22x k x f x +=x ∈+∞∈()f x 【答案】（1）见解析； （2）； （3）.1a >()24min 2,201,0k k f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a 距”增函数的定义得()()10f x f x +->到在上恒成立，求出a 的取值范围即可；（3）由()()2213304f x a f x x xa a +-=++->x ∈R ()f x 为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到()()2f x f x +>()1x ∈+∞﹣，()2222x k x x k x +++>+恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值．k ()2222422k k x x k x f x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==()f x 【详解】（1）任意,, 0x >()()()()1121221x x x f x f x x x +⎡⎤+-=-+--=-⎣⎦因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数．0x >21>21x >()()10f x f x +->()f x （2）. ()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x x a xa a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是“距”增函数，所以恒成立， ()f x a 22313304x a xa a a ++->因为,所以在上恒成立， 0a >2213304x xa a ++->x ∈R 所以，解得，因为,所以. 221=91204a a ⎛⎫∆--< ⎪⎝⎭21a >0a >1a >（3）因为，，且为“2距”增函数， ()22x k x f x +=()1,x ∈-+∞所以时，恒成立，1x >-()()2f x f x +>即时，恒成立， 1x >-()222222x k x x k x ++++>所以，()2222x k x x k x +++>+当时，，即恒成立， 0x ≥()()2222x k x x kx +++>+4420x k ++>所以, 得;420k +>2k >-当时，，10x -<<()()2222-x k x x kx +++>得恒成立，44220x kx k +++>所以,得,()()120x k ++>2k >-综上所述，得.2k >-又，()2222422k k x x k x f x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==因为,所以，1x >-0x ≥当时，若，取最小值为； 0k ≥0x =2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭0当时，若，取最小值. 20k -<<2k x =-2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭因为在R 上是单调递增函数，2x y =所以当，的最小值为；当时的最小值为， 0k ≥()f x 120k -<<()f x 242k -即 .()242,201,0k min k f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．。