【2011顺义二模】顺义区2011届高三第二次统练数学理

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2011.5一、选择题：1. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)- 2. 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2}3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间A ．1(0,)2 B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4.若直线l 的参数方程为13()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为A ．45-B ． 35-C ． 35D ． 455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定．可能是．．．该锥体的俯视图的是C主视图左视图1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是A ．②③④B ①③④C ．①②④ D. ①②③在一个正方体1111ABCD A BC D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A. 0个B. 1个 C 2个 D. 3个非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 . 11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++， 其中26a =-，则实数m 的值为 ；12345a a a a a ++++的值为 .12．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = .A1D 1A 1C 1B DC BOPNM Q已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω= (0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程. 16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）； （II ）求函数()f x 的单调区间. 19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过ADOCPBE原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=12k = ，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理）答案及评分参考 2011．5选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32， 11613. 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) 14. ①② , 9 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（Ⅰ）1()(1cos 2)22f x x x =+ωω………………………2分1sin(2)26x =++πω, …………………………3分 因为()f x 最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………………………4分所以1()sin(2)62πf x x =++, ………………………… 5分 所以21()32πf =-. …………………………6分 （Ⅱ）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈………………8分所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈； ()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈………………………10分 由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈. 所以，()f x 图象的对称轴方程为()26k πx πk Z =+∈. …………………………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , …………………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， ……………………………3分 则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ .……………………………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响， 所以，1(4,3X B . …………………………………11分14()433E X =⨯=. ………………………………13分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB = ∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点，∵2PD PB ==，∴PO BD ⊥， ………………………………..2分∵BD ==∴PO=12AO BD == 在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分 ∵AO BD O = ，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∴//OE PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . ……………………………9分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -(1,1,0)F ，(1,3,0)C，P ，11(,22E --，则11(,22OE =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,PC = .A DO CPB EF∴12OE PF =-∴//OE PF∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC ； …………………………………9分(Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC的一个法向量为)n = ，又(2,2,0)CB =--则sin cos ,θn CB =<>==， ∴直线CB 与平面PDC所成角的正弦值为3. ………………………………………14分18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分 所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分 所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………………………………8分②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………………………………………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减……………………………14分19．(共13分） 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ……………………………2分所以O POM⋅= ，即(,xy x -= ………………………………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -. 由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y整理得24160x kx -+=， ………………………………6分则216640k ∆=->，即|k >. ………………………………7分12124,16x x k x x +==. …………………………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+……………………………………12分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B恒过定点(0,4). ……………………………………13分20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A (4)分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………………………………………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12k k k b l +=+， 所以22k k k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+4242k k k l l ---=+ 2422l l =+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==-- ，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+ 312l l =+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+- ，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数…………………………………………………………………………………..13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科） 2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是 （A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A（B（C ）2（D ）36.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8 （C ）87（D ）77．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k （A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个（D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）最小值为15 （B）最小值为5 （C ）最大值为15（D）最大值为5第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____. 10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O2OP =，则PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗. 则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A B D O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =你的结论.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．M（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： ①12m A A A A = ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. （Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++ 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）北京市西城区2011年高三二模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C C AD C B B A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 30 10. 5 11.1；7512.)4π（或其它等价写法） 13.2-；6- 14.120；(21,2),k k k -∈*N . 注：11、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意，sin()04x π+≠， ………………2分 所以()4x k k π+≠π∈Z ， ………………3分 所以()4x k k π≠π-∈Z ， ………………4分函数()f x 的定义域为{x x ≠,4k k ππ-∈Z }. ………………5分（Ⅱ）c o s 2c o s 2()sin()sin cos cos sin444x x f x x x x ==πππ++ ………………7分2sin cos xx x=+ ………………8分22sin )sin )sin cos x x x x x x-==-+. ………………10分因为4()3f x =，所以cos sin 3x x -=. ………………11分 所以，2sin 21(cos sin )x x x =-- ………………12分81199=-= . ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ………………1分因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ,所以//OM 平面ABD . ………………3分 （Ⅱ）解：由题意，3OB OD ==，因为BD =所以90BOD ∠=，OB OD ⊥. ………………4分 又因为菱形ABCD ，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥. 建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.(0,3,0),A D (0,0,3)B .所以((AB AD =-=-………………6分设平面ABD 的法向量为n =(,,)x y z ，则有0,0AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即：30,30z y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则y z ==n=(1. ………………7分 因为,AC OB AC OD ⊥⊥,所以AC ⊥平面BOD . 平面BOD 的法向量与AC 平行，所以平面BOD 的法向量为0(1,0,0)=n . ………………8分000cos ,⋅〈〉===n n n n n n 因为二面角A B D O --是锐角，所以二面角A B D O --的余弦值为. ……………9分 （Ⅲ）解：因为N 是线段BD 上一个动点，设111(,,)N x y z ，BN BD λ=，则111(,,3)(0,3,3)x y z λ-=-，所以1110,3,33x y z λλ===-， ……………10分则(0,3,33)N λλ-，,33)CN λλ=-，由CN ==，即29920λλ-+=，…………11分解得13λ=或3λ=， ……………12分 所以N 点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2). ……………13分（也可以答是线段BD 的三等分点，2BN ND = 或2BN ND =）17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知232254()C P A C C = ………………3分11110220=⨯=. ………………5分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………………6分23225431(0)10620C P X C C ====⨯， ………………7分11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， ………………9分 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯， ………………10分 (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=. ………………11分 X 的分布列：X0 1 2 3 P120 720 920320………………12分179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）22()e xx ax a f x x -+'=， ………………3分 当2a =时，2222()e xx x f x x -+'=， 12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-， ………………5分 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， ………………6分 所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=. ………………7分 （Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根， ………………8分则240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩ ………………9分 所以4a >. ………………10分 设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点，则12x x a +=，12x x a =， ………………11分 因为，512()()e f x f x =， 所以，1251212e e e x x x a x a x x --⨯=， ………………12分 即1225121212()e e x x x x a x x a x x +-++=，225e e a a a a a -+=，5e e a =， 解得，5a =，此时()f x 有两个极值点，所以5a =. ………………14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a ， ……………1分又椭圆的离心率为3，即3c a =，所以3c a =， ………………2分所以3a =，c =………………4分所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x . ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny . 由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ， ………………7分同理可得2219327nn x +-=， ………………8分所以1961||22++=n n BC ，222961||nn n n AC ++=， ………………10分 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC ， ………………12分 设21≥+=n n t ，则22236464899t S t t t ==≤++， ………………13分当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83. ………………14分方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+. ① ………………7分因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=.由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得 1212(3)(3)0x x y y --+=. ………………8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）. ………………10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12==……………12分设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83. ……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：集合组1具有性质P . ………………1分所对应的数表为： (3)分集合组2不具有性质P . ………………4分 因为存在{{2,3}1,2,3,4}⊆，有123{2,3}{2,3},{2,3}{2,3},{2,3}A A A ===∅ ， 与对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3}i ∈，有}{},{x y x A i = 或}{y 矛盾，所以集合组123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===不具有性质P . ………………5分（Ⅱ）……………7分123{3,4,5,7},{2,4,6,7},{1,5,6,7}A A A ===. ………………8分 （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （Ⅲ）设12,,,t A A A 所对应的数表为数表M ，因为集合组12,,,t A A A 为具有性质P 的集合组， 所以集合组12,,,t A A A 满足条件①和②， 由条件①：12t A A A A = ，可得对任意x A ∈，都存在{1,2,3,,}i t ∈ 有i A x ∈， 所以1=xi a ，即第x 行不全为0，所以由条件①可知数表M 中任意一行不全为0. ………………9分1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 00 0 0 0 0 01 1 0 0 00 1 1 0 0 1由条件②知，对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3,,}i t ∈ ，使}{},{x y x A i = 或}{y ，所以yi xi a a ,一定是一个1一个0，即第x 行与第y 行的第i 列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表M 中任意两行不完全相同. ………………10分 因为由0,1所构成的t 元有序数组共有2t个，去掉全是0的t 元有序数组，共有21t-个，又因数表M 中任意两行都不完全相同，所以10021t≤-，所以7t ≥.又7t =时，由0,1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P .所以7t =. ………………12分 因为12||||||t A A A +++ 等于表格中数字1的个数，所以，要使12||||||t A A A +++ 取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少， 而7t =时，在数表M 中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多2721C =行； 1的个数为3的行最多3735C =行； 1的个数为4的行最多4735C =行；因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，所以此时表格中最少有722133543552304+⨯+⨯+⨯+⨯=个1.所以12||||||t A A A +++ 的最小值为304. ………………14分北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

一、找规律问题（平谷区二模）12．如图，将连续的正整数1,2,3,4……依次标在下列三角形中，那么2011这个数在 第 个三角形的 顶点处（第二空填：上，左下，右下）．答案: 671，上分析：因为三个数一组，所以2011除以3等于670余1，因此2011这个数在第671个三角形的上顶点处. (顺义区二模)12. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（5）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．（1）（2） （3）……答案: 15 ，31n +分析：因为每一个图形比前一个图形中的黑色瓷砖多3个，且第(1)个图形中有黑色瓷砖4块，所以，第n 个图形中需要黑色瓷砖(3n+1)块，第（5）个图形中有黑色瓷砖15块.（昌平区二模）12．如图，点E 、D 分别是正三角形ABC 、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN 中以C 点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD ，DB 的延长线交AE 于点F ，则图1中∠AFB 的度数为 ；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n 边形”，其他条件不变，则∠AFB 的度数为 ．（用n 的代数式表示，其中，n ≥3，且n 为整数）图1E FB ADC图2AC DB FEM图3NAC DB F EM答案: 60°，2180n n-⋅︒（）分析：图1证明△ABE ≌△BCD ，得到∠E=∠D ，又因为∠FBE=∠CBD ，所以∠EFB=∠BCD=120°，即B321∠AFB=60°.同理可得∠AFB 等于正多边形的一个内角度数.(延庆县二模)12．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为)0,1(，点D 的坐标为)2,0(．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形C C B A 111；延长11B C 交x 轴于点2A ，作正方形1222C C B A …按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为______；第n 个正方形的面积为_________（用含n 的代数式表示）．答案: 4235）（ , 22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n分析：图中△DOA ∽△ABA 1∽△A 1B 1A 2∽△A 2B 2A 3，这些三角形的三边比等于1:2:5，可求出A 1B 1:AB=3:2，同理可知每一个正方形与后一个正方形的相似比等于3:2，因为第1个正方形的面积为5，所以第2个正方形的面积为2235）（，第3个正方形的面积为4235）（，第n 个正方形的面积为22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n .(丰台区二模)12. 已知：如图，在R t ABC △中，点1D 是斜边A B 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点E 1，联结1B E 交1C D 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，联结2BE 交1C D 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点45、D D 、…、n D ，分别记112233△、△、△、BD E BD E BD E …、n n BD E △的面积为123、、、S S S …n S ．设△ABC 的面积是1, 则S 1= ，n S = （用含n 的代数式表示）. 答案:211,4(1)n +分析：由平行知，123、、、S S S …n S 分别等于112233C D E C D E C D E △、△、△、…、n n C D E △，因为△CD 1E 1∽△ABC ，相似比D 1E 1: BC=1:2，△ABC 的面积是1，所以S 1=14；同理△CD 2E 2∽△ABC ，相似比D 2E 2:BC=E 1D 2:E 1B=1:3，所以S 2=19，…n S =21(1)n +.(西城区二模)12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n yx x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n AB = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++ 的值为 ．答案:()20122011,11+n n分析: 令y=0，则2211(1)(1)0n n n n n x x +++-+= ，解得1211,1x x nn ==+，所以n n A B =1111(1)nn n n -=++；112220112011A B A B A B +++ =11111122320112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=12011120122012-=. （怀柔区二模）12. 如图，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ） 在函数y =x4（x ＞0）的图象上，⊿OP 1A 1，⊿P 2A 1A 2，⊿P 3A 2A 3……⊿P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n -1A n ， 都在x 轴上，则y 1= ．y 1+y 2+…y n = ． 答案: 2 ,分析：过P 1点向x 轴作垂线，交x 轴于点B 1，由于△OP 1A 1为等腰直角三角形，所以P 1B 1=OB 1，即11x y =，代入函数xy 4=，解得112x y ==.过P 2点向x 轴作垂线，交x 轴于B 2点，可知224x y -=，代入函数xy 4=，解得22y =-，22x =+.同理可得32y =，4y =，……，n y =-12n y y y +++=二、相似求比值问题（房山区二模）12．如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）联结DE ，作DE 的中垂线，交AD 于点F ．（1）若E 为AB 中点，则D F A E= ． （2）若E 为AB 的n 等分点(靠近点A)，则D F A E= ．答案: 251,42n n+分析：本题用相似或∠D 的三角函数求解（详见图1、图2）.(门头沟区二模)12．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 的内部，延长BG 交DC 于点F ．若DC=2DF ，则A D A B= ；若DC=nDF ，则A D A B= （用含n 的式子表示）． 答案:n11分析：本题用勾股定理建立方程求解，或结合双垂直图用相似求解（详见图1、图2）.三、求距离问题(大兴区二模)12．如图，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角板ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角A′B′C′的斜边A′B′上，当∠A=30°，AC=10时，则此时两直角顶点C 、C’间的距离是 .答案: 5分析：由旋转和中点M 知，MC=MA=MC’=MA ’=5,连接CC’，根据如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，所以△A ’CC’是直角三角形，且∠A ’CC’=90°，又因为∠A ’=∠A=30°，所以CC’=21A ’C’=5.(燕山二模)12.如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形， 当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________；若将△ABP 的PA 边长改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为________. 答案: 1+3， 1+5分析：由于Rt △ABO 的斜边AB 长度不变，所以取线段AB 的中点M ，连接OM 、PM ，可求出OM=1，PM=3，所以当O 、M 、P 三点共线时，点P 到原点的最大距离是1+3.若将△ABP 的PA 边长改为22，图2nxx图1GE DCBAF另两边长度不变，则△ABP 是等腰直角三角形，同理可得，点P 到原点的最大距离变为1+5.四、阴影问题（朝阳区二模）12．如图，扇形CAB 的圆心角∠ACB=90°，半径CA=8cm ，D 为弧AB 的中点，以CD 为直径的⊙O 与CA 、CB 相交于点E 、F ，则弧AB 的长为cm ，图中阴影部分的面积是 cm 2． 答案: 4π，（16π-32）分析：弧AB 所对的圆心角等于90°，半径等于等于8，所以弧长等于4π； 把原图中的两个弓形沿EF 翻折，得到图2,则阴影部分的面积等于扇形CAB 的面积减去正方形DECF 的面积，等于16π-32.(东城区二模)12. 如图，R t ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2B C =，O H ，分别为边A B A C ，的中点，将A B C △绕点B 顺时针旋转120 到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段O H 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为 ．111答案: π分析：阴影部分面积＝ODEO 1的面积＝扇形BDE 的面积－扇形BOO 1的面积＝π. （通州区二模）12．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图3摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图4摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 答案: =分析：利用平移，阴影部分可拼成一个正方形，边长等于正方形盒底的边长减去正方形卡片的边长，所以S 1=S 2.(第12题图)B (图2)图3图4。

版权所有：高考资源网(www.ks5u.c成都市2011届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题）l 至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至l 页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 )()()(B P A P B A P +=+ 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 334R V π= 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率),,2.1,0()1()(n k p p C k P kn n k n n Λ=-=- 其中R 表示球的半径一、选择题：(1)已知i 为虚数单位，则复数2i i+= (A)1- (B)i - (C)i (D)1 解：22i i i i i+=-=-，选B (2)已知向量)1,3(=a ，),2(λ=，若//，则实数λ的值为(A)32 (B)32- (C)23 (D)23- 解：2//3203a b λλ⇔-=⇔=r r ，选A(3)在等比数列}{n a 中，若3753)3(-=⋅⋅a a a ，则=⋅82a a (A)3- (B)3 (C)9- (D)9解：33335755((a a a a a ⋅⋅=⇒=⇒=，22853a a a ⋅==，选B(4)若*N n ∈，则121.23232lim -+-∞→+-⨯n n n n n 的值为 (A)0 (B)32 (C)92(D)2 解：111212..2223223lim lim 232933n n n nn n n n n n---+-→∞→∞-⨯-==++，选C (5)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若bc a c b 56222=-+，则)sin(C B +的值为(A)54-(B)54 (C)53- (D)53解：22222263cos 525b c a b c a bc A bc +-+-=⇒==，4sin()sin 5B C A +==，选B (6)设集合}14|),{(22=-=y x y x P ，}012|),{(=+-=y x y x Q ，记Q P A I =，则集合A 中元素的个数有(A)3个 (B)4个 (C)l 个 (D)2个解：由于直线210x y -+=与双曲线2214x y -=的渐近线12y x =平行，所以选C (7)某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买(A)8辆A 型出租车，42辆B 型出租车 (B)9辆A 型出租车，41辆B 型出租车 (C)11辆A 型出租车，39辆B 型出租车 (D)10辆A 型出租车，40辆B 型出租车 解法一：A 时，成本为813428440⨯+⨯=万元，利润为8242 1.579⨯+⨯=万元 B 时，成本为913418445⨯+⨯=万元，利润为9241 1.579.5⨯+⨯=万元 C 时，成本为1113398455⨯+⨯=万元，利润为11239 1.580.5⨯+⨯=万元 D 时，成本为1013408450⨯+⨯=万元，利润为10240 1.580⨯+⨯=万元 而1113398455450⨯+⨯=>，选D解法二：设购买A 型出租车x 辆，购买B 型出租车y 辆，第一年纯利润为z ，则50138450**x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，2 1.5z x y =+，作出可行域，由50138450x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1040x y =⎧⎨=⎩，选D(8)过点)4,4(-P 作直线l 与圆25)1(:22=+-⋅y x C 交于A 、B 两点，若2||=PA ，则圆心C 到直线l 的距离等于(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解法一：如图，22||5441PC =+=，||5BC =，2222||2||PC d BC d --=-，当5d =时，2222||220||PC d BC d --=≠=-，舍A 当4d =时，2222||23||PC d BC d --==-，成立，选B解法二：由2222||2||PC d BC d --=-得222222||4||4||PC d PC d BC d ---+=-，22||5PC d -=，224d =，4d =，选B(9)已知1010221052)2(x a x a x a a x x ++++=--Λ，则9210a a a a ++++Λ的值为(A)—33 (B) —32 (C) —31 (D) —30解：2555(2)(2)(1)x x x x --=-+，10x 的系数为505055(2)11C C -=，令1x =，则012910a a a a a +++++L32=-，所以012933a a a a ++++=-L ，选A(10)某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有(A)144种 (B)150种 (C)196种 (D)256种解，把学生分成两类：311，221，所以共有31122133521531332222150C C C C C C A A A A +=，选B (11)将函数x A y 2sin =的图象按向量(,)6a B π=-r 平移，得到函数)(x f y =的图象．若函数)(x f 在点))2(,2(ππf h 处的切线恰好经过坐标原点，则下列结论正确的是 (A)223π-=A B (B)232-=πA B (C)23π-=A B (D) 32-=πA B 解：(,)6sin 2()sin(2)3a B y A x y f x A x B ππ=-=−−−−→==++r ，'2cos(2)3k y A x π==+，切线方程为()2cos(2)()()22322y f A x A x πππππ-=⨯+-=--，令0x y ==得()22A f ππ-=，即322A A B π-=，所以322B Aπ-=，选A (12)如图，在半径为l 的球O 中．AB 、CD 是两条互相垂直的直径，半径⊥OP 平面ACBD ．点E 、F 分别为大圆上的劣弧»BP、»AC 的中点，给出下列结论： ①向量OE 在向量OB 方向上的投影恰为21； ②E 、F 两点的球面距离为32π； ③球面上到E 、F 两点等距离的点的轨迹是两个点；④若点M 为大圆上的劣弧»AD 的中点，则过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线只有三条，其中正确的是(A)②④ (B)①④ (C)② (D)②③解：建立如图所示的空间直角坐标系，则22(0,,)22E ，22(,,0)22F -，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，(1,0,0)C ①向量OE 在向量OB 方向上的投影为22，错；舍B ②2212cos cos cos co 45cos(9045)2223EOF EOB COB EOF π∠=∠∠=+=-⨯=-⇒∠=o o o ，对；③过点EF 的中点及球心O 的大圆上任意点到点E 、F 的距离都相等，错；舍D ④由于等角的值不是一定值，因此将直线EF 、PC 都平移到点M ，可知过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线有无数多条，错，舍A ； 选C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．(13)设53cos sin =+αα，则=α2sin ______________________． 解：23916sin cos (sin cos )sin 252525x αααα+=⇒+=⇒=-，填1625- (14)在底面边长为2的正四棱锥ABCD P -中，若侧棱PA 与底面ABCD 所成的角大小为4π，则此正四棱锥的斜高长为______________________． 解：如图，2212222OA =+=，22222PA =+=，在正PAD ∆中，3232PE =⨯=，填3 (15)已知椭圆12:22=+y x C 的右焦点为F ，右准线l 与x 轴交于点B ，点A 在l 上，若ABO ∆(O 为坐标原点)的重心G 恰好在椭圆上，则=||AF ______________________．解：设(2,)A y ，则焦点(1,0)F ，重心022004(,)(,)3333y yG ++++=，因为重心G 恰好在椭圆上，所以224()3()1123y y +=⇒=±，即(2,1)A ±，所以||2AF =u u u r ，填2 (16)已知定义在),1[+∞上的函数348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩．给出下列结论：①函数)(x f 的值域为]4,0[；②关于x 的方程*)()21()(N n x f n∈=有42+n 个不相等的实数根； ③当*)](2,2[1N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则2=S ；④存在]8,1[0∈x ，使得不等式6)(00>x f x 成立，其中你认为正确的所有结论的序号为______________________． 解：348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩111348||,1221133()[48||]24||,24222222211133()()()[48||]12||,48224442421(),2222n nn n x x x x x f x x x x f x f f x x x f x ---⎧--≤≤⎪⎪⎪=--=--<≤⎪⎪⎪===--=--<≤⎨⎪⎪⎪⎪<≤⎪⎪⎩L ，其图象特征为：在每一段图象的纵坐标缩短到原来的一半，而横坐标伸长到原来的2倍，并且图象右移1322n -⨯个单位，从而①对；②显然当1n =时，()y f x =的图象与12y =的图象只有2个交点，而非2146⨯+=个，错； ③当*)](2,2[1N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为11111414(22)222222n n n n n S ----=⨯-⨯=⨯⨯=，对；④00006()6()x f x f x x >⇔>，结合图象可知错 填①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分） 已知函数m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(π．(I)求函数)(x f 的最小正周期； (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为3-，求实数m 的值． 解：(I)m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(πΘm x x x x +--=2cos )sin 21cos 23(sin 2 ……1分m x x x x +--=2cos sin cos sin 32m x x x +---=.2cos 2)2cos 1(2sin 23 …3分 m x m x x +--=+--=21)62sin(212cos 212sin 23π．)(x f ∴的最小正周期ππ==22T ……6分 (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x ，即44ππ≤≤-x 时，有222ππ≤≤-x ，36232πππ≤-≤-∴x ． ……8分 23)32sin(1π-≤-∴x ． ……10分得到)(.x f 的最小值为m +--211．由已知，有3211-=+--m ．23-=∴m ， (12)分(18)（本小题满分12分）如图，边长为1的正三角形SAB 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面垂直，且CD AB //，AB BC ⊥，1=BC ，2=CD ，E 、F 分别是线段SD 、CD 的中点． (I)求证：平面//AEF 平面SBC ； (Ⅱ)求二面角F AC S --的大小． 解：（Ⅰ）F Θ分别是CD 的中点，121==∴CD FC ．又1=AB ，所以AB FC =． AB FC //Θ，……2分∴四边形ABCF 是平行四边形．1//BC AF ∴．E Θ是SD 的中点，SC EF //∴.……3分又F EF AF =I ，C SC BC =I ，∴平面//AEF 平面.SBC ……5分(Ⅱ)取AB 的中点O ，连接SO ，则在正SAB ∆中，AB SO ⊥，又Θ平面⊥SAB 平面ABCD ，=AB 平面I SAB 平面ABCD ，⊥∴SO 平面ABCD . …6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -.则有)0,21,0(-A ，)0,21,1(C ，)23,0,0(S ，)0,21,1(-F ，)0,1,1(=AC ，)23,21,0(=AS ． …7分设平面SAC 的法向量为),,(z y x m =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02321000z y y x m AS m AC ． 取31,1,1=-==z y x ，得)311,1(,-=m ．……9分平面FAC 的法向量为)1,0,0(=n . …10分77311131,cos =++=>=<n m Θ …11分 而二面角F AC S ---的大小为钝角，∴二面角F AC S --的大小为77cosarc -π． …12分 (19)（本小题满分12分）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励．现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为32，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为21，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立． (I)求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率； (Ⅱ)记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望ξE ． 解：(I)记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E ，事件E 发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确． 61)21(213132)(21312=⨯⨯⨯⨯⨯=C C E P ． ……6分 (Ⅱ)随机变量ξ取值为：0、900、1800、2700．185])21(21)21][()32(1[)0(21332=⨯⨯+-==C P ξ； …．．7分 92])21(21)21[()32()900(21332=⨯⨯+==C P ξ； …8分185]21)21()21][(3231)31[()1800(2233122=⨯⨯+⨯⨯+==C C P ξ； ……9分92]21)21()21[()32()2700(22332=⨯⨯+==C P ξ． …10分ξ的分布13009227001851800929001850=⨯+⨯+⨯+⨯=ξF 。

xyO π2π1-1丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B)第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x > (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B) (C) (D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D)椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 486．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+(B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交(B) 直线l 与线段P 2P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1P 2的延长线相交(D) 直线l 与线段P 1P 2相交OO O O x xxxyyyy1 11 1111 18．已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是 (A) 1(0,]2(B) 1[,3]2(C) (0,3] (D)[3,)+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是． 10．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知 ∠D =46°，则∠A =．11．函数2cos sin y x x x =-的最小正周期为，最大值 为．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．13．如果执行右面的程序框图，那么输出的a =___．14．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．OA 1A 2 A 3 A 4B 1 B 2 B 3 B 4 AB正视图侧视图俯视图A三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4，S 5=35． （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n a n b e =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.（本小题共14分）张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35．（Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8，E 是线段AD 的中点．沿BD 将△BCD 翻折到△BC D '，使得平面BC D '⊥平面ABD ． （Ⅰ）求证：C D '⊥平面ABD ； （Ⅱ）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D BE C '--的余弦值．12A B D E C ' C18.（本小题共13分）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值．19.（本小题共14分）已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．（ⅰ）求抛物线P 的方程；（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．20.（本小题共13分） 用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈，定义51(,)[]i f m k ==∑，集合{N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值；（Ⅲ）求证：在数列{}n a中，不大于m 00(,)f m k 项．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2011.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)-2. 已知全集R,U =集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为 A {1}B.{0,1} C. {1,2}D. {0,1,2} 3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间 A ．1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,3) 4.若直线l 的参数方程为13()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为A ．45-B ．35-C ．35D ．455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是7．若椭圆1C ：1212212=+b ya x（011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b ya x（022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是A ．②③④B. ①③④C ．①②④D.①②③8. 在一个正方体1111A B C D A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足M Q λ=的实数λ的值有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.主视图左视图B ACDA1D 1A 1C 1B DCBOPNQ10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 . 11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++， 其中26a =-，则实数m 的值为；12345a a a a a ++++的值为.12．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .13．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+=(,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = .14. 已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假： ①()f x 是偶函数；②()1f x <；③当32x π=时，()f x 取得极小值. 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题共13分）已知函数2()coscos f x x x x ωωω=(0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程.16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ)用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望. 17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）； （II ）求函数()f x 的单调区间.19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -= 12k = ，，3,.(Ⅰ)若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；A D OC PBE(Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（理工类）2011.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知全集U =R ，集合{|021}xA x =<<，3{|log 0}B x x =>，则U ()A B I ð=（A ）{|1}x x >（B ）{|0}x x >（C ）{|01}x x <<（D ）{|0}x x <（2）设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“1>yx”的 （A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为（A ） 8 （B ） 4（C）D（4）已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数a 的值为（A ）1 （BC ）2（D ）4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从正视图1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 （A ）120个（B ）80个（C ）40个（D ）20个（6）点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是 （ABC ）2 （D ）2（7）已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是棱1BB ，1DD 上的动 点，且1BE D F λ==1(0)2λ<≤．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则αβ+的最小值（A ）不存在（B ）等于60︒（C ）等于90︒（D ）等于120︒（8）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0 ．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11SSλ=，22S S λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为（A ）32（B ）12（C ） 1 （D ）2 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.（9）已知复数z 满足1iz i =-，则z =. （10）曲线C ：cos 1,sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为.（11）曲线233y x =-与x 轴所围成的图形面积为________.(12)已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a =；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a =.(13)如图，PA 与圆O 相切点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=，PA =1PC =，则PB =；圆O 的 半径等于．(14)已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()23x f =，ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值.（16）（本小题满分13分）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E (X ).（17）（本小题满分13分）在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如图1）. 将此长方形沿1CC 对折，使二面角11A CC B --为直二面角，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（如图2）.（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ； （Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值.(18)（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1[, 2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数)(x f 的极值点.(19)（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为2．过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求BM BN ⋅的取值范围；（Ⅲ）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值．(20)（本小题满分14分）对于正整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0r b <≤.特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3,,23}A =⋅⋅⋅.（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191 (091)q r r =+<≤，试求,q r 的值；图（1）（Ⅱ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；（Ⅲ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，|b a ，则称B 为“和谐集”.求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科）2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2-（D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是 （A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A（B（C ）2（D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8 （C ）87（D ）77．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++= 的整数k（A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个（D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +（A ）最小值为15 （B ）最小值为5 （C ）最大值为15（D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在中，若2B A =，:a b =A =_____. 10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____. 11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O 2OP =，则PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.ABC ∆设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗. 则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n = ，，．①当0λ=时，20a =_____；② 若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A B D O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.M（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： ①12m A A A A = ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. （Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++ 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若复数2()iix x x z +-=（x ∈R ）为纯虚数，则x 等于（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）0或1 （2）给出下列三个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立；③对于集合,M N ，若x M N ∈ ，则x M ∈且x N ∈. 其中真命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（A ） （B ） （C ） （D ）（4）极坐标方程02sin =θ（0≥ρ）表示的图形是（A ）两条直线 （B ）两条射线 （C ）圆 （D ）一条直线和一条射线（5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 （6）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若O M O N ⊥，则双曲线的离心率为B（A 2（B 2（C 2 （D 2（7）△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0 ， ||||O A A B =，则C A C B⋅ 等于 （A ）32（B （C ）3（D ）（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，共三大题21小题，总分150分，考试时间120分钟。

考生答题前需在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

选择题需用2B铅笔将答案标号涂黑，如需更改，需用橡皮擦干净后重新涂写。

填空题和解答题需使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的对应区域内回答，试题卷上的回答无效。

考试结束时，请一并上交试题卷和答题卡。

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=1+i，z为其共轭复数，则zz-z-1=A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.函数y=2x(x≥0)的反函数为A)y=(x∈R)B)y=(x≥0)C)y=4x2(x∈R)D)y=4x2(x≥0)3.以下四个条件中，使a>b成立的充分必要条件是A)a>b+1B)a>b-1C)a>bD)以上条件都是4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，且Sk+2-Sk=24，则k=A)8(B)7(C)6(D)55.已知函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图像向右平移2π/3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A)1/3B)3C)6D)96.已知直二面角α-ℓ-β，点A∈α，AC⊥ℓ，C为垂足，B∈β，BD⊥ℓ，D为垂足，且AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于A)2√3/3B)√2C)1D)2√3/37.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A)4种B)10种C)18种D)20种8.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=-x和y=x围成的三角形的面积为A)1/12B)1/2C)1/3D)1/329.设f(x)是周期为2的奇函数，当-1≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-5/4)=A)-11/16B)-1/4C)1/4D)11/16210.已知抛物线C：y=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A、B两点，则cos∠AFB=(A)解析：首先，求出抛物线C的准线方程为y=-4x，焦点为F(0,1)。

市顺义高三二模数学理试题及答案集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]顺义区2017届高三第二次统练 数学试卷（理科） 第一部分(选择题 共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 设集合2{|320}A x x x =-+> ，{|340}B x x =->，则A B =A.4(2,)3--B.4(2,)3-C.4(1,)3D.(2,)+∞2.执行如图所示的程序框图,则输出的s 值为A.116 B.136 C.2512D. 2912 3.已知向量(1,3),(AB AC ==- , 则BAC=4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为∠A. 8B. 8410+ C. 21013+ D.410213+5. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 垂直”是“平面α和平面β垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩中的点在直线220x y --=上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=A ．2C ．D ．8 7.将函数sin(2)6y x π=+图象上的点(,2M θ(0)4πθ<<向右平移(0)t t >个单位长度得到点'M .若'M 位于函数sin 2y x =的图象上,则 A.,12t πθ=的最小值为12πB. ,12t πθ=的最小值为6πC. ,6t πθ=的最小值为6πD. ,6t πθ=的最小值为12π8. 某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人 ，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选候选人人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =( []x 表示不大于x 的最大整数)可以表示为.[]10x A y = 2.[]10x B y += 3.[]10x C y += 4.[]10x D y +=第二部分(非选择题 共110分)二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.` 已知(2)(1)z a a i =-++在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 ________ .10.在281()2x x+的展开式中, 7x 的系数为________.(用数字作答) 11. 已知为等差数列，为其前项和，若24a =，88S =-，则10a =_______.12. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=-的圆心C 到直线2cos sin 20ρθρθ+-=的距离 等于______.13. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ,若l 与圆22650x y x +++=的交点为,A B ,且AB =则p 的值为_______．{}n a n S n14．已知函数32,,(),.x x m f x x x m ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()g x f x k =-.（1）当2m =时，若函数()g x 有两个零点，则k 的取值范围是 ；（2）若存在实数k 使得函数()g x 有两个零点，则m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在ABC △中,角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c，已知cos cos .2cos a b B+A c c C= （I ）求C ∠的大小；（II）求sin B A 的最小值.16. （本小题满分13分）春节期间，受烟花爆竹集中燃放影响，我国多数城市空气中浓度快速上升，特别是在大气扩散条件不利的情况下，空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时，国家环保部门对8个城市空气中浓度监测的数据如下表（单位：微克/立方米）.(Ⅰ)求这8个城市除夕18时空气中浓度的平均值；(Ⅱ)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中浓度上升不超过100的城市都是"禁止燃放烟花爆竹"的城市, 浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ） 记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中浓度的方差分别为21s 和22s ，比较21s 和22s 的大小关系（只需写出结果）.17. （本小题满分14分）如图,正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2=AB ,︒=∠60ABC ,M 是AB 的中点.（I ）求证：EM AD ⊥;（II ）求二面角C BE A --的余弦值；（III ）在线段EC 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为︒45，若存在，求出ECEP的值；若不存在，说明理由.18. （本小题满分14分）已知函数()1++=-x pe x f x ()R p ∈.（Ⅰ）当实数e p =时，求曲线()x f y =在点1=x 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅲ）当1=p 时，若直线1+=mx y 与曲线()x f y =没有公共点，求实数m的取值范围.19.（本小题满分13分）已知椭圆:E ()012222>>=+b a b y a x 经过点3(1,)2-，其离心率21=e .BA CDEM（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S .试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对n N *∀∈，总k N *∃∈，使得n k S a =，则称数列{}n a 是“G 数列”．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列,其首项,公差1d =-．证明: 数列是“G 数列”；（Ⅱ）若数列{}n a 的前n 项和3()n n S n N *=∈，判断数列是否为“G数列”，并说明理由；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“G 数列”和，使得().n n n a b c n N *=+∈成立．11=a }{n a }{n a }{n b }{n c顺义区2017届高三第二次统练数学试卷答案（理科）一、DCC D DBAB 二、9. (1,2)- 13. 4或8 14. (]8,4; ()()+∞∞-,10,三、15. 解（I ）由正弦定理,得 sin sin ,sin sin a A b BcC c C==,---------------------------------1分所以,sin cos sin cos .sin 2cos A B B A C C+=即sin()sin A B C +=. -----------------------------------3分∵πA B C ++=，(),,0,π,A B C ∈∴()sin sin .A B C += -----------------------------------4分∴2cos C =cos C =-----------------------------------5分∵()0πC ∈，, ∴π6C =. -----------------------------------6分 （II ）∵π,A B C ++=∴5π6A B +=. -----------------------------------7分∴5sin sin()6B A A A π-=-1cos 2A A A = -----------------------------------9分1cos 2A A =πcos()3A =+ . -----------------------------------11分 ∵5π6A B +=, ∴5(0,π)6A ∈,∴ππ7(,)336A π+∈. -----------------------------------12分∴πcos()3A +最小值为-1.即sin B A 的最小值为-1. -----------------------------------13分16.解：(Ⅰ)8个城市除夕18时空气中浓度的平均值708131351646102896675=+++++++=v .-------------------------------3分(Ⅱ)以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4个城市，---4分随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，分0344381(0),14C C P X C === 1244386(1),14C C P X C === 2144386(2),14C C P X C === 3044381(3).14C C P X C === X 的分布列为：-----------------------------------------------------------------------9分X 的数学期望1661213012314141414142EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. -------------11分（Ⅲ）21s <22s . ----------------------------------------------------------13分17.(Ⅰ)证明:∵EB EA =,M 是AB 的中点,∴.EM AB ⊥ --------------------------------------------------------------------1分∵平面⊥ABE 平面,ABCD -----------------------------------------------------2分平面 ABE 平面,ABCD AB =⊂EM 平面,ABE∴⊥EM 平面.ABCD -----------------------------------------------------------3分AD ⊂平面ABCD ,∴EM AD ⊥. -----------------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)解:∵⊥EM 平面ABCD ,∴MC EM ⊥.显然△ABC 是正三角形, 则AB MC ⊥.∴ME MC MB ,,两两垂直.建立如图所示空间直角坐标系M xyz 分则)0,0,0(M ,)0,0,1(-A ,)0,0,1(B ,0,3,0(C )0,3,1(-=,(BE =-设),,(z y x =是平面BCE 的一个法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=00m 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0303z x y x 令1=z 得)1,1,3(=,--------------------------------------------------------------7分因为y 轴与平面ABE 垂直.所以(0,1,0)n =是平面ABE 的一个法向量.----------------------------------------8分cos ,5m n m n m n⋅<>===⨯------------------------------------------------9分所以二面角C BE A --的余弦值为55.------------------------------------------10分（III ）解：假设在线段EC 上存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为︒45.)3,0,1(=,)3,3,0(-=,设)3,3,0(λλλ-==,])1,0[(∈λ则)33,3,1(λλ-=+=. ------------------------------------------------11分由sin 45cos ,1AP n AP n AP n⋅=<>===解得 23λ=----------------------------------------------------------------------------------13分 所以存在点P ，且23EP EC =.----------------------------------------------------------------14分18.解：（Ⅰ）当e p =时，()11++=+-x e x f x ，()11+-='+-x e x f ∴()31=f ，()01='f∴曲线()x f y =在点1=x 处的切线方程为3=y -----------------------------4分（Ⅱ）∵()1++=-x pe x f x ，∴()1+-='-x pe x f ---------------------------------5分①当0≤p 时，()0>'x f ，则函数()x f 在的单调递增区间为()+∞∞-,； -----------------------------------6分②当0>p 时，令()0f x '=，得p e x =，解得p x ln =.---------------------7分则当x 变化时，()x f '的变化情况如下表：------------------------------9分所以, 当0>p 时,()x f 的单调递增区间为 ()+∞,ln p , 单调递减区间为()p ln ,∞-. ------------------------------10分（Ⅲ）当1=p 时，()1++=-x e x f x ，直线1+=mx y 与曲线()x f y =没有公共点，等价于关于x 的方程11++=+-x e mx x 在()+∞∞-,上没有实数解， 即关于x 的方程()x e x m -=-1（*）在()+∞∞-,上没有实数解. ①当1=m 时，方程（*）化为0=-x e ，显然在()+∞∞-,上没有实数解. --------------------------------12分②当1≠m 时，方程（*）化为11-=m xe x ，令()x xe x g =，则有()()x e x x g +='1.令()0='x g ，得1-=x ，则当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min 1g x e=-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的值域为1,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． -----------------------------------13分所以当em 111-<-时，方程（*）无实数解，解得实数m 的取值范围是()1,1e -．综合①②可知实数m 的取值范围是(]1,1e -.----------------------------14分19.解：（Ⅰ）由点3(1,)2-在椭圆上得，221914a b+=-----------------① 依题设知2a c =，则223b c =. ----------------------------------②②代入①解得2221,4,3c a b ===故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.---------------------------------4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 消去y ,得()0124834222=-+++m kmx x k . -----------------------------------5分因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，所以0≠m 且0=∆，即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k ------------③此时，m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以点T 的坐标为43(,)k m m-. 由⎩⎨⎧+=-=m kx y x 4得()m k S +--4,4. -----------------------------------9分假设在x 轴上存在定点满足条件，不妨设为点()0,1x A .则由已知条件知AT AS ⊥,即0=•AT AS 对满足③式的k m ,恒成立.因为()m k x AS +---=4,41，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m x mk3,41，由0=•得0312********=+-+++m k x x m kx m k ，整理得()034441211=++++x x mkx --------④由④式对满足③式的k m ,恒成立，所以⎩⎨⎧=++=+0340441211x x x ，解得11-=x . 故在x 轴上存在定点()0,1-，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------13分20.解（1）由题意1(1)(1)2na n n ， ---------------------------1分(1)(1)2nn n S n， -----------------------------------2分若(1)(1)22nkn n S na k , -----------------------------------3分 则(1)22n n k n -=+-. 所以，存在*∈N k ，使得n k S a =.所以, 数列是“G 数列. ---------------------------------------4分{}n a（2）解：首先113a S ，当2≥n 时，1132--⨯=-=n n n n S S a ，所以⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,31n n a n n ， -----------------------------------6分 当2n =时，1923k -=⨯，得k N *∉因此数列{}n a 不是“G 数列”． ----------------8分 （3）若nd bn ，（b 为常数），则数列的前n 项和(1)2n n n S b +=是数列中的第(1)2n n +项，因此数列是“G 数列”． 对任意的等差数列，，（d 为公差），设1nb na ，1()(1)nc da n ，则nnna b c ，而数列，都是“G 数列”.--------------------------------13分{}n d {}n d {}n d {}n a 1(1)n a a n d {}n b {}n c。

十二、圆锥曲线1、（2011朝阳二模理6）点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是 ( D ) （A（B（C ）2 （D ）22、（2011东城二模理6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（D ） （A）12-+ （B）12+ （C）12-+ （D）123、（2011海淀二模理7）若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是（B ）A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③4、（2011顺义二模理5）.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3，那么=PF （C ）A 34B 38C 8D 165、（2011西城二模理5）.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（C ）（A（BC ）2（D ）36、（2011东城二模文6）已知点(1,2)A 是抛物线C ：22y px =与直线l ：(1)y k x =+的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是(B) （A ）22 （B ）2 （C ）223（D ）227、（2011朝阳二模文4）双曲线221169x y -=的焦点到渐近线的距离为(B) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 8、（2011海淀二模文8）若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：② 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 22212221b b a a -=-③1122a b a b > ④1212a a b b -<- 其中，所有正确结论的序号是(C)A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③9、（2011顺义二模文5）设抛物线px y =2的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为( D )，A -4B 4C - 8D 810、（2011西城二模文8）已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为(C)（A ）3（B ）2（C（D1、（2011昌平二模文13） 已知抛物线的方程是x y 82=，双曲线的右焦点是抛物线的焦点，离心率为2，则双曲线的标准方程是 _1322=-y x _，其渐近线方程是____x y 3±=_______2、（2011丰台二模文10）圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 3 ．3、（2011海淀二模文9）双曲线C ：22122x y -=的渐近线方程为 y x =±；若双曲线C 的右焦点和抛物线22y px =的焦点相同，则抛物线的准线方程为 2x =-解答1、(2011朝阳二模理19)（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2, 1)A，离心率为2．过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求BM BN ⋅的取值范围；（Ⅲ）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值．解：（Ⅰ）由题意得22222411,,a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩解得a =b =故椭圆C 的方程为22163x y +=． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(3)y k x =-，由22(3),1,63y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)121860k x k x k +-+-=. …………………5分因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，所以42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<. ……6分 设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．… 7分 所以1212(3)(3)BM BN x x y y ⋅=--+ ……………………………………8分21212(1)[3()9]k x x x x =+-++223312k k +=+23322(12)k =++． ……………………………………9分 因为11k -<<，所以2332322(12)k <++≤． 故BM BN ⋅的取值范围为(2, 3]． ……………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得AM AN k k +12121122y y x x --=+-- ……………………………………11分 122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)kx k x kx k x x x ---+---=--121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++2244222k k -+==--． 所以AM AN k k +为定值2-． 2、（2011昌平二模理18）. (本小题满分14分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e(Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A. 求证：直线l 过定点,并求出定点的坐标.解：（Ⅰ）由题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c ……1分解得 1,2==b a ………2分所以椭圆的方程为：1422=+y x ……3分 （II ）证明：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 14220448)k 41222=-+++m k m x x 得（….4分 0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km整理得01422>+-m k ………..5分 设),(),,(2221y x N x x M则22212214144,418k m x x k km x x +-=+-=+ …….6分由已知，AN AM ⊥且椭圆的右顶点为)0,2(A ………7分0)2)(2(2121=+--∴y y x x ……… 8分 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k也即04418)2(4144))1(22222=+++-∙-++-∙+m kkm km k m k …… 10分 整理得：01216522=++k mk m ……11分 解得562k m k m -=-=或均满足01422>+-m k ……12分 当k m 2-=时，直线的l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分当56k m -=时，直线的l 方程为)56(-=x k y ,过定点)0,56( 故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56(3、（2011东城二模理19）（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点1(0,)4F 的距离比点P 到x 轴的距离大14，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）证明：曲线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅲ）若曲线C 上存在关于直线l 对称的两点，求k 的取值范围．（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1(0,)4F 的距离与动点P 到直线14y =-的距离相等． 由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4为焦点，直线14y =-为准线的抛物线．所以曲线C 的方程为2y x =． ………………3分（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2,1,y x y kx ⎧=⎨=+⎩得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02k x =． 因为MN x ⊥轴， 所以N 点的横坐标为2k ． 由2y x =，可得'2y x = 所以当2kx =时，'y k =． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．………………8分（Ⅲ）解：由已知，0k ≠．设直线l 的垂线为'l ：1y x b k=-+． 代入2y x =，可得210x x b k+-= （*） 若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，则34122x x k +=-，342122y y b k+=+又3434(,)22x x y y ++在l 上， 所以211()122b k k k +=-+， 21122b k =-． 由方程（*）有两个不等实根 所以21()40b k∆=+>，即221220k k +->所以212k <，解得k <或2k >． …4、（2011丰台二模理19）.（本小题共14分）已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)． （Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．（ⅰ）求抛物线P 的方程；（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等， 即(,2)M m 到2py =-的距离为3； ∴ 232p-+=，解得2p =． ∴抛物线P的方程为24x y =． ………………4分（ⅱ）抛物线焦点(0,1)F ，抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -，显然过点E 的抛物线的切线斜率存在，设为k ，切线方程为1y kx =-．由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩， 消y 得2440x kx -+=， ………………6分216160k ∆=-=，解得1k =±． ………………7分∴切线方程为1y x =±-． ………………8分（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设l ：2p y kx =+， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222x py py kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 消y 得 2220x pkx p --=． 且0∆>． ∴ 122x x pk +=，212x x p ⋅=-；∵ 11(,)A x y ， ∴ 直线OA ：11y y x x =， 与2p y =-联立可得11(,)22px pC y --， 同理得22(,)22px pD y --． ………………10分 ∵ 焦点(0,)2pF ， ∴11(,)2px FC p y =--，22(,)2px FD p y =--， ………………12分 ∴ 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ⋅=--⋅--22212121212224px px p x x p p y y y y =+=+ 2442221222212120422p x x p p p p p x x x x p p p=+=+=+=- ∴ 以CD 为直径的圆过焦点F ． 5、（2011海淀二模理19）(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论. 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ……………………………2分所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= ………………………………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………………………………6分则216640k ∆=->，即||2k >. ………………………………7分12124,16x x k x x +==. …………………………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+ (12)分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). 6、（2011顺义二模理19）. （本小题满分14分） 已知椭圆C 的左，右焦点坐标分别为()()0,3,0,321F F -,离心率是23。

顺义区2011届高三第二次统练数学（理科）测试一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}01|2<-=x x M ，{}0lg |<=x x N ，则N M ⋃等于A {}11|<<-x xB {}10|<<x xC {}01|<<-x xD {}0|<x x2.已知21,e e 是不共线向量，212e e +=，21e e -=λ，当∥时，实数λ等于A 1-B 0C 21-D 2- 3.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB 若m n m //,α⊥，则α⊥nC 若αα//,//n m ，则n m //D 若γβγα⊥⊥,，则βα// 4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于 A 21+ B 21- C 223+ D 223-5.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3，那么=PFA 34B 38C 8D 16 6.极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=ty tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为A 圆，圆B 圆，直线C 直线，直线D 直线，圆7.已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为 A514 B 56C 2D 1 8.已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称，当43π≥x 时，x x f cos )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 则S 不可能．．．为 Aπ45 B π23 C π49D π3 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）C9.在复平面内，复数ii++121对应的点的坐标为________________________. 10.在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为______________________. (用数字作答）11.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，a CP 89=，︒=∠60AOP ,则 =PD ________________.38，则=a ____________________.13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量mm)的重要指标）。

北京市顺义区2011届高三第二次统练文综历史试题一、选择题（本大题共12小题，共0分）1．（2011年5月北京顺义区二模12题）与图10相对应的我国古代地方行政管理制度的朝代是（）A．秦、西汉 B.唐、元 C. 西汉、元 D.秦、唐【答案】C【点拨】考查古代中国的地方行政体制。

本题考查图片信息提取与教材知识相结合的运用能力。

从图10中的济南郡、北海郡、胶东国、甾川国等可知是郡国并行，此为西汉时期；而图11中的中书省、陕西行省、甘肃行省等字样可知是行省制，此为元代。

答案为C。

【结束】2．（2011年5月北京顺义区二模13题）唐朝前期的长安城实行严格的坊市管理，下列可以作为直接证据的是（）A．“十家之聚，必有米盐之市”B．“今朝半醉归草市，指点青帘上清楼”C．“夜市直至三更尽，才五更又复张”D．“勒坊内开门，向街门户，悉令闭塞”【答案】D【点拨】考查古代商业经济。

抓住题干中的“唐代前期”、“严格的坊市管理”，ABC项说明坊市管理相对宽松，而且如C夜市与题干的时间也不相符。

只有D项，与题意相符。

【结束】3．（2011年5月北京顺义区二模14题）顾炎武说：“君子之为学也，以明道也，以救世也”。

由此形成的思想是（）A．经世致用思想 B．君主批判思想C．自由平等思想 D．重农抑商思想【答案】A【点拨】顾炎武是明末清初的早期启蒙思想家，批判君主专制、经世致用等思想主张，然题干材料认为“君子”“为学”最终目的是“救世”，体现经世致用的思想，答案为A。

【结束】4．（2011年5月北京顺义区二模15题）陈旭麓《中国近代社会的新陈代谢》说：“洋务运动，就其主观动机而言，他们未必有真心打破旧轨，但他们的主张却包含着逸出旧轨的趋向。

”这里“包含着逸出旧轨的趋向”的含义是（）A．抵制了资本主义的经济侵略 B．开始了西学思想的传播C．促进了民族资本主义的产生 D．引进了先进的科学技术【答案】C【点拨】考查洋务运动的影响。

洋务运动目的是引进西方先进的技术，维护清王朝的统治，但客观上对民族资本主义的产生具有诱导作用，“旧轨”是自然经济，“逸出旧轨的趋向”则是促进了民族资本主义的产生。