2011届高三数学原创试题(4)

2011年高三文科数学试题及答案D的离心率为（ ）A.53B.43C.54D.745. 阅读右侧的算法流程图，输出的结果B 的（ ） A.7 B.15 C.31 D.636. 对定义域内的任意两个不相等实数1x ，2x ，下列满足0)]()()[(2121<--x f x f x x 的函数是（ ） A ．2)(x x f = B ．xx f 1)(= C ．x x f ln )(= D ．xx f 5.0)(=7. 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A.373m B.392m C.372mD.394m8. 已知函数m x x x f +-=3)(3在区间]0,3[-上的最大值与最小值的和为14-，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．9-D ．8-9. 已知正棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得21<-ABC P V ABCS V -的概率是（ ） A ．43 B ．87 C ．21 D ．4110.在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，b =ABC 的外接圆半径为（ B ）A ．21B.1C.2D.4第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．11.记nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = .12. 已知向量(1,2),(2,)a b λ=-=，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .13.已知函数()11sin 24f x x x x =--的图象在点()()00,A x f x 处的切线斜率为12，则)4tan(0π+x的值为 ．14. 某企业三月中旬生产，A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 件。

2011届高三第二次联考数学试题(文科)参考答案一、1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．C 10．A 二、11．π12 12．1120 1314．45[,]33ππ15．①[3,)+∞；② 16．解：（Ⅰ）假设a ∥b ，则2cos (cos sin )sin (cos sin )0x x x x x x +--=，……… 2分 ∴221cos211cos22cos sin cos sin 0,2sin20222x xx x x x x +-++=⋅++=， 即sin 2cos 23x x +=-2)34x π+=-，…………………………………… 4分与)|4x π+∴假设不成立，故向量a 与向量b 不可能平行．……………………………………… 6分 （Ⅱ）∵a ⋅b (cos sin )(cos sin )sin 2cos x x x x x x =+⋅-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+cos 2sin 222)2)4x x x x x π=+==+，……… 8分∴sin(2)42x π+=． ]2,0[π∈x ，∴52[,]444x πππ+∈，……………………………………………………10分442ππ=+∴x 或4342ππ=+x ，0=∴x 或4π=x ．………………………………12分17．解：（Ⅰ）305350?，205250?，∴男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人． ………………………………4分（Ⅱ）2225C 91C 10-=．…………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）333544124128C ()555625´鬃==．………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）取AD 中点H ，连EH ，则EH ⊥平面ABCD ．过H 作HF ⊥AC 于F ，连FE ．∵EF 在平面ABCD 内的射影为HF ， ∵HF ⊥AC ，∴由三垂线定理得EF ⊥AC ，∴EFH Ð为二面角E AC B --的平面角的补角．……3分∵EH a =，14HF BD ==，∴tan EHEFH HF?=== ∴二面角E AC B --的正切值为-．……………………………………………6分 （Ⅱ）直线A 1C 1到平面ACE 的距离,即A 1到平面ACE 的距离，设为d ．…………8分∵11A EAC C A AEV V --=，∴11133EAC A AE S dS CD D D ??．C 1D 1 B 1A 1D CE ABHF∵AE==，32CE a=，AC=，∴222592cosa a aEAC+-?∴sin EAC?，∴21324EACS aD=，121224A AEa aS aD=鬃=，∴22344aa d a??，∴3ad=．∴直线A1C1到平面EAC的距离为3a．………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）2()34f x tx x¢=-，令2()34g t x t x=-，则有(1)0,(1)0.gg≥≥ì-ïïíïïî即22340,340.x xx x≥≥ìï--ïíï-ïî……………………………………2分∴40,340.3xx x≤≤≤或≥ìïï-ïïïíïïïïïî∴43x≤≤-．∴x的取值范围为4[,0]3-．……………………………………………………5分（Ⅱ）32()21f x x x=-+，2()34(34)f x x x x x¢=-=-,令()0f x¢>得0x<或43x>．令()0f x¢<得43x<<，∴()f x在(,0)-?和4(,)3+?为递增函数，在4(0,)3为递减函数．又因为(0)1f=，45()327f=-，令()1f x=可得0x=或2x=．……………8分①当30a+<，即3a<-时，()f x在[,3]a a+单调递增，∴32()(3)71510h a f a a a a=+=+++．②当032a≤≤+，即31a≤≤--时，()(0)1h a f==．③当32a+>，即01a>>-时，32()(3)71510h a f a a a a=+=+++，∴321(31)()71510(31)ah aa a a a a≤≤或ìï--ï=íï+++<->-ïî……………………………12分20．解：（Ⅰ）由已知得11n na a+=+，∴{}na为首项为1，公差为1的等差数列，∴na n=．………………………………………………………………………………3分∵13n n n b b +-=，∴21321()()()0n n n b b b b b b b -=-+-++-+121333n -=+++113(13)313(31)313222n n n---==-=?-， ∴n a n =，13322n n b =?．……………………………………………………………6分 （Ⅱ）132(3)cos 22n n C n n π=⋅⋅-(33),(33),nnn n n n ⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数,为偶数.……………………8分∴当n 为偶数时123(33)2(33)3(33)(33)n n S n =--+⋅--⋅-++-12345(3233343533)(32333433)n n n =-+⋅-⋅+⋅-⋅++⋅+-⋅+⋅-⋅+- ． 设23323333n n T n =-+??+?，则23413323333n n T n +-=-??-?，∴23414333333n n n T n +=-+-+-++?131()344n n +=-++⋅，∴11[3(41)3]16n n T n +=-++⋅． ∴1113(41)3243[3(41)3]()16216n n n n n S n n +++⋅--=-++⋅+-=．……………………11分当n 为奇数时 11(41)3242116n n n n n n S S c +--+⋅++=+=，∴11(41)32421,16(41)3243,16n n n n n n S n n n ++⎧-+⋅++⎪⎪=⎨+⋅--⎪⎪⎩为奇数.为偶数.……………………………………13分 21. 解: （Ⅰ）依题意,有点C 到定点M 的距离等于到直线l 的距离，所以点C 的轨迹为抛物线，方程为y x 42=．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）可得直线AB 的方程是0122=+-y x ，由⎩⎨⎧=+-=,0122,42y x y x 得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(4,4)-．…………………………………………………………………………4分由y x 42=得241x y =， 12y x '=， 所以抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=．设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-，则222291,63(6)(9)(4)(4).b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩………………………………………………………6分 解之得 .2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a 所以圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x ．……………………………………8分（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB--==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-． 令0=x ，得1421-==x x y ，所以1-=t ．……………………………………………12分 )44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分第21题第三问，1-=t 应为1t =（Ⅲ）设)4,(211x x A ，)4,(222x x B ,由241x y =得x y 21='，所以过点A 的切线的斜率为121x ，切线方程为042211=--x y x x ．令1-=y 得Q 点横坐标为12124x x x -=，同理可得22224x x x -=，所以1211212424x x x x -=-，化简得421-=x x ．…………………………………………………………………………10分又21222144x x xx k AB --==421x x +，所以直线AB 的方程为21121()44x x x y x x +-=-．令0=x ，得1214x x y =-=，所以1t =．……………………………………………12分)44,24(21121++=x x x ，同理)44,24(22222++=x x x ，所以0)16141)(4)(4(212221=+++=⋅x x x x QB QA ．……………………………14分。

2011年高三备考数学“好题速递”系列一、选择题1、已知全集U ＝R ，集合∁U M ＝{x |x ≤－3或x >5}，集合∁U N ＝{x |x ≤－5或x ≥5}，则M ∩N ＝ （ ）A ．{x |－5<x <5}B ．{x |－3<x <5}C ．{x |－5<x ≤5}D ．{x |－3<x ≤5}2．若x ∈（2,4），a ＝2x 2，b ＝（2x ）2，c ＝22x ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c3．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），P （ξ≤4）＝0.84，则P （ξ≤0）＝ （ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.845、设α、β为两个平面，l 、m 为两条直线，且l α，m β，有如下两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β，那么（A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①是真命题，②是真命题D ．①是假命题，②是假命题6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF →1·MF →2＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（0,1）B ．（0，12] C ．（0，22）D ．[22，1）二、填空题7．设p：|4x－3|≤1；q：（x－a）（x－a－1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．8、已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.三、解答题9．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sin B ＝4cos A sin C，求b.10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a,0）（a＞0），B（0，a），C（－4，0），D（0,4），设△AOB的外接圆圆心为E.（1）若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值．（2）设点P 在⊙E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在？若存在，求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．11．设函数()(0)kx f x xe k =≠， （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设2()2 4.g x x bx =-+，当1=k 时，若对任意R x ∈1，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.参考答案一、选择题1、解析：选B.∵U ＝R ，∁U M ＝{x |x ≤－3或x >5}，∴M ＝{x |－3<x ≤5}． ∵∁U N ＝{x |x ≤－5或x ≥5}， ∴N ＝{x |－5<x <5}．∴M ∩N ＝{x |－3<x <5}，故选B. 2、解析：选B.∵b ＝（2x ）2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较x 2,2x,2x 当x ∈（2,4）时的大小即可． 用特殊值法，取x ＝3，容易得知，x 2>2x >2x ， 则a >c >b .3、解析：选C.依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc sin60°，bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos60° ＝b 2＋c 2－bc ＝（b ＋c ）2－3bc ，故a 2＝（20－a ）2－120，解得a ＝7.故答案为C.4、解析：选A.P （ξ≤0）＝P （ξ≥4）＝1－P （ξ＜4）＝1－0.84＝0.16.5、解析：选D.根据已知，若α∥β，l α，m β，则l 与m 不一定平行，还可以异面，所以命题①是假命题；若l ⊥m ，则α与β不一定垂直，有可能平行，或一般相交．因此①②均是假命题．6、解析：选C.设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a 、b 、c ，∵MF →1·MF →2＝0，∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆． 又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2＝a 2－c 2⇒2c 2＜a 2.∴e 2＝c 2a 2＜12，∴0＜e ＜22.故选C.二、填空题7、答案：[0，12]解析：p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，易知p 是q 的真子集， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.∴0≤a ≤12.8、答案：8解析：如图，由椭圆的定义可知： |F 1A |＋|F 2A |＝2a ＝10， |F 1B |＋|F 2B |＝2a ＝10， ∴|AB |＝|F 1A |＋|F 1B | ＝20－|F 2A |－|F 2B |＝8.三、解答题9、解：由余弦定理得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A .又a 2－c 2＝2b ，b ≠0， 所以b ＝2c cos A ＋2.① 由正弦定理得b c ＝sin Bsin C ， 又由已知得sin Bsin C ＝4cos A ，所以b ＝4c cos A .② 故由①②解得b ＝4.10、解：（1）易知，直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E （a 2，a 2），半径r ＝22a .由题意得|a 2－a 2＋4|2＝22a ，解得a ＝4.（2）∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 的面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22（定值），要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需⊙E 的半径2a2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的标准方程为（x －5）2＋（y －5）2＝50.11.解：（1）kx e kx x f )1()(/+=，因为0)0(=f ，且1)0(/=f ，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为：x y = （2）令0)1()(/>+=kx e kx x f ，所以01>+kx ，当0>k 时，k x 1->， 此时()f x 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k 上单调递增；当0<k 时，k x 1-<，此时()f x 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k上单调递减.（3）当1=k 时，()f x 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-上单调递增， 所以对任意R x ∈1，有ef x f 1)1()(1-=-≥， 又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以)(12x g e≥-，[]21,2x ∈，即存在[]1,2x ∈，使e bx x x g 142)(2-≤+-=，即xe x b 142-++≥，即因为当[]1,2x ∈，]15,214[41ee x e x ++∈++-， 所以e b 2142+≥，即实数b 取值范围是eb 412+≥.。

2011届四校第四次联考理科数学试题本试卷分必考题和选考题两部分第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟.第 I 卷（选择题 共60分）一．选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若集合{|0},,A y y A B B =≥=则集合B 不可能是（ ）A. {|x y =B. 1{|(),}2xy y x R =∈C. {|lg ,0}y y x x =>D. ∅ 2.已知a 为实数，若1+232i a i >+，则a 等于（ ） A. 1 B.12 C.13D.-23. 已知αβ、、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ） A ．若ββα⊥⊥l ,，则α//l B ．若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l C ．若βα//,l l ⊥，则βα⊥ D ．若γαβα⊥⊥,，则βγ⊥4.已知命题：2:,12p x R x x ∃∈+<；命题2:10q mx mx --<若恒成立，则40m -<<，那么（ ） A ．""p ⌝是假命题B ．q 是真命题C ．“p 或q ”为真命题D ．“p 且q ”为假命题5.已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<=( )A. 0.1358 B ．0.1359 C ．0.2716 D ．0.2718 6 若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为12，则该几何体 （A B C D7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25301(2)2a a x dx =⋅+⎰， 则95S S =（ ） A. 9B ．259C ．2D ．9258．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6⎛⎝的展开式中常数项是( )A. -20B. 52 C. -192 D. -1609.已知||1OA =, ||3OB =,0OA OB =，30AOC ∠=,设(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则mn= ( ) A.3 B. 3 C.33 D. 1310．已知函数()f x 在(]0,3上的解析式为(](]21,1,1()1|2|,1,3x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则函数3()l o g y f x x =-在(]0,3上的零点的个数为 （ ）A.4B.3C.2D.111.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足212PF =FF ，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线离心率e 为（ ） A.53212．定义方程()()f x f x '=的实根x 叫做函数)(x f 的“新驻点”，若函数()g x x =,()ln(1)h x x =+, 3()1x x φ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为( )A. αβγ>>B. βαγ>>C. βγα>>D. γαβ>>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设数列{}n a 的前项和为n S ，且111,3()n n a a S n N ++==∈，则410log S =14．234…．＝8（,a t 均为正实数），类比以上等式，可推测,a t 的值，则a t += 。

2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（四）答案一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.1.选 D ．提示：因为{}|14U C B x x =-≤≤，所以()U AC B ={}|13x x -≤≤.2.选 D ．提示：画出约束条件表示的平面区域,平行移动直线01:3l y x =至点(-２,２)处取得最小值.3.选 Ａ．提示：使得二次函数2()3f x x ax =--的对称轴42ax =≥即可. 4.选 Ｃ．提示：由317S a =得2311117s a qa q a a =++=,解得q =23-或.5.选 Ｃ．提示：由//a b 有12(2)0m ⨯-⨯-=,故得4m =-,在求得b =6.选 Ｂ．提示：'tan (1)1f α==. 7.选 Ａ．提示： ①若“p 且q ”为假命题，p 、q 可能有一个为真命题.②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题应为“若2x <或3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin 2A >”的必要非充分条件. 8.选 D ．提示：其它的都需要拉伸变换才行.二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1-.提示:利用基本不等式即可.10. ６.提示:用三角形面积公式: 1sin 62s BA BC B =⋅⋅=.11. 223144x y -=. 提示:直接用点到直线的距离公式.12. 3i s s +=,1+=i i （顺序不能颠倒）. 提示:试着按照程序去运行就可以了.13.3a .提示:把棱长为a 的空间正四面体ABCD 以Ｐ为顶点分割成４个地面相等的小四面体,然后用体积公示计算其和为定值.14．165 . 提示:用直角三角形的面积射影定理. 15． 85.提示:因为曲线是半径为１的圆.先求出圆心到直线的距离为 35,然后由弦长l =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题满分12分）(本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力) （Ⅰ）∵()4sin()cos f x x x π=-4sin cos x x =2sin 2x =， ………3分22T ππ== …………………5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π .…………………6分（Ⅱ）由2()43f πθ+=， ∴22sin 2()43πθ+=, …………………7分化简可得1cos 23θ=, ………………9分则2112sin 3θ-=, ∴21sin 3θ=…………………10分 由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>,故sin 3θ=…………………12分 17. （本小题满分12分）（本小题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：⑴、记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==， 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．………………………4分 ⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，………………………6分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．8分 ⑶、随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===． …………………………………10分所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是：18. （本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:（Ⅰ）连接1D O ，如图，∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形，∴四边形1D OBM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． ………2分 ∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ．………… 4分 （Ⅱ）连接1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2，1BB ， ∴11B D =12OB =，12D O =，则2221111OB DO B D +=， ∴11OB DO ⊥． ……………6分 ∵在长方体1111ABCD A BC D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，……… 12分∴AC ⊥平面11BDD B ， 又1D O ⊂平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥， 又1ACOB O =，∴1D O ⊥平面1ABC ． ………………………………8分（Ⅲ）在平面1ABB 中过点B 作1BE AB ⊥于E ， 连结EC ，∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，又1AB ⊂平面1ABB ， ……………………………9分 ∴1CB AB ⊥，又1BE AB ⊥，且CBBE B =，∴1AB ⊥平面EBC ，而EC ⊂平面EBC ， …………………10分 ∴1AB EC ⊥．∴BEC ∠是二面角1B AB C --的平面角． …………………12分在Rt BEC ∆中，BE =，2BC =∴tan BEC ∠=60BEC ∠=，∴二面角1B AB C --的大小为60． …………………………14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1D O ，则点(1,1,0)O 、1D ，∴1(1,1OD =--又点(2,2,0)B ，(1,1M ，∴(1,1BM =-- ∴1OD BM =， 且1OD 与BM 不共线， ∴1//OD BM ．又1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ． ……………………………4分（Ⅱ）∵11(1,1(1,10OD OB ⋅=--⋅=，1(1,1(2,2,0)0OD AC ⋅=--⋅-=∴11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 即11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 又1OB AC O =，∴1D O ⊥平面1ABC ． …………………………8分 （Ⅲ）∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，∴(2,0,0)BC =-为平面1ABB 的法向量．∵11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，∴1(1,1OD =--为平面1ABC 的法向量．∴11cos ,2BC OD <>=， ∴BC 与1OD 的夹角为60，即二面角1B AB C --的大小为60．………………14分（Ⅲ）（法三）设二面角1B AB C --的大小为α，1AB C ∆在平面1AB B 内的射影就是1AB B ∆，根据射影面积公式可得11cos AB B AB CS S α∆∆=，1112AB B S AB B B ∆=⋅⋅=1112AB C S AC B O ∆=⋅⋅=∴111cos 2AB B AB CS S α∆∆===， ∴二面角1B AB C --的大小为60 …………14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查应用题型、函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设商品降价x 万元， 则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，………………1分 则依题意有2()(309)(432)f x x kx =--+2(21)(432)x kx =-+， ………………4分又由已知条件，2242k=·， 于是有6k =， ……5分所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．…………7分（2）根据（1），我们有2()18252432f x x x '=-+-18(2)(12)x x =---．………9分…………12分故12x =时，()f x 达到极大值． 因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=万元能使一个星期的商品销售利润最大． …………14分 20. （本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）由椭圆的方程知1a =，∴点(0,)B b ，(1,0)C ，设F 的坐标为(,0)c -， ………………1分∵FC 是P 的直径，∴FB BC ⊥∵,BC BF b k b k c=-= ∴1bb c-⋅=- --------------------2分 ∴221b c c ==-，210c c +-= --------------------------------------3分解得c =--------------------------------------5分∴椭圆的离心率c e a ==分（2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12cx -=--------① -----------7分∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=------② ---------9分由①②得21,22c b cx y b--==， 即21,22c b c m n b--== -----11分 ∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴ 21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-=∵10b +>∴b c = ------------------13分由221b c =-得212b =∴椭圆的方程为2221x y +=. -------------------14分21. （本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：⑴(1)3,(2)6f f == -----------------2分当1x =时，y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点当2x =时，y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点∴()23f n n n n =+= -----------------4分 ⑵()(1)9(1)22n n nf n f n n n T ++==119(1)(2)229(1)22n n n nn n T n n n T n +++++⇒==+ -------------5分当1,2n =时，1n n T T +≥当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒< ------------------6分 ∴1n =时，19T =2,3n =时，23272T T ==4n ≥时，3n T T <∴{}n T 中的最大值为23272T T ==. ------------------8分要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立， 只需272m ≤ ∴272m ≥ -------------------9分 ⑶()3228f n n n n b ===8(18)8(81)187n n n S -⇒==--. ---------------10分 将n S 代入16111<-+++n n n n tb S tb S ， 化简得，888177812877n n t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭（﹡）-------------------11分若1t =时 8817781277nn -<-，81577n<即，显然1n =-------------------12分若1t >时 818077n t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ （﹡）式化简为815877n t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭不可能成立 --------------13分综上，存在正整数1,1n t == 使16111<-+++n n nn tb S tb S 成立. - --------------14分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．设集合U= U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）ð , 则A ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数0)y x =≥的反函数为的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足 ,则1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=ABCD4．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．3 5．下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2 BCD ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种C ．30种D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．14-C ．14D ．1211．11．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4 B．C ．8D．12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）13．（10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．14．已知a ∈（3,2ππ），t a n 2,c o s αα=则=15．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为 。

2011年高三数学综合训练（文）试卷编号：421一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z 满足i z i 31)1(-=+，则复数z 在复平面上的对应点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 2．已知m 、a 都是实数，且0≠a ，则“},{a a m -∈” 是“a m =||”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分也不必要条件3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值高考学习网（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知函数)(x f 是R 上的单调增函数且为奇函数，数列}{n a 是等差数列，3>a ，则)()()(531a f a f a f ++的值 （ ）A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负5．设b a 、是夹角为30的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面βα、（ ）A ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对6．已知函数)0,0,0)(cos()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2 的等边三角形，则)1(f 的值为（ ）A ．23-B ．26-C ．3D ．3-7．双曲线191622=-y x 上到定点)0,5(的距离是9的点的个数是（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知实数y x 、满足⎩⎨⎧-≥≤|1|1x y y ，若a y x ≤+2恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积 的值为（ ）[A ．25B ．26C ．9D ．1010．对于函数①514)(-+=xx x f ，②xx x f )21(|log |)(2-=， ③x x x f cos )2cos()(-+=.判断如下两个命题的真假： 命题甲：)(x f 在区间)2,1(上是增函数；命题乙：)(x f 在区间),0(+∞上恰有两个零点21x x 、，且121<x x 。

2011年深圳市高级中学4月高考模拟 数学试卷（理科） 2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合22{|10},{|log 0}A x x B x x =->=>，则A ∩B 等于（ ）A ．{|1}x x >B ．{|0}x x >C ．{|1}x x <-D ．{|11}x x x ><-或2．若命题甲：23x y ≠≠或；命题乙：5x y +≠，则（ ）A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 3．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示，则中位数与众数分别为（ ）A ．23，21B ．23，23C ．23，25D ．25，254．已知向量(2,1)=--a ，10⋅=a b ，||-a b ||=b （ ）A ． B.C. 20D. 405．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．2()f x x = B ．1()f x x=C ．()x f x e =D ．()sin f x x =6．已知函数32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序正确的是（ ） A ．b c a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>7．已知20x mx n -+=的两根为,αβ，且12αβ<<<，则22m n+的取值范围是( ) A ．[12,)+∞B ．()12,+∞C ．[13,)+∞D ．()13,+∞D EACB8．对于集合M 、N ，定义{|}M N x x M x N -=∈∉且，()(),{|3}x M N M N N M A y y x R ⊕=-⋃-==∈设，()2{|12;},B y y x x R ==--+∈A B ⊕=则( )A ．[0,2)B ．(0,2]C ．()(,0]2,-∞⋃∞D ．(),0[2,)-∞⋃+∞二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，共30分） （一）必做题（9～13题）9．已知||3z i z =-+，则复数z = .10．一个几何体的三视图如图所示，那该几何体的体积为 . 11．已知曲线22:C x y m +=恰有三个点到直线125260x y ++=距离为1，则m = .12．如图，||3,||2OAB OA OB ∆==中，点P 在线段AB 的垂直平分线上，记向量(),,,O A a O B b O P c c a b===⋅-则的值为 .13．若自然数n 使得作加法(1)(2)n n n ++++运算均不产生进位现象，则称n 为“给力数”，例如：32是“给力数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“给力数”，因23+24+25产生进位现象，设小于1000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A ，则用集合A 中的数字可组成无重复数字的三位偶数的个数为 。

Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第7题）2011届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =ð，则实数a 的值为 ▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ． 4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．（第6题）11请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S n n ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2g x a x x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

一. 选择1. C2. C3. C4. A5. B6. C7. B 8. A9. B10. B11. D12. B13. A14. C （提示，0)(=x f 在]4,4[-上有两根22、-，则在]8,0[上有两根2和6，因此在]1000,0[上有250个根，且这些根组成以2为首项，以998为末项的等差数列 ∴ 2)9982(250+=S . 250 = 125000 ）15. A二. 填空16. 26 17.)3,1( 18. 13422=+y x )2(c a = 19. （1）（3） 20.1- 21.143≤<k 22. 6600元 （设原买x 套，原单价m 元，现买x +11套，)30)(11(-+=+m x m x∴)30(1130-=m x ，11113030⨯+=x m ∴ x 应为11的整数倍的数 又 ∵ 5011>+x ，∴ 39>x 且x 应小于50 ∴ 取44=x 此时150=m ∴ 660015044=⨯=a 元三. 解答23. ∵2111)21(+==a S a , ∴ 11=a ，设公差为d ，则有=+=+d a a 22122)22(d S += ∴ 2=d 或2-=d （舍） ∴12-=n a n 2n S n = ∴ 2)1(n b n n ⋅-=（1）当n 为偶数时，22222)1(4321n T n n -+-+-+-= ])1([)34()12(222222--++-+-=n n2)1()12(1173+=-++++=n n n （2）当n 为奇数时，2)1(21+-=-=-n n n T T n n∴ 2)1()1(+⋅-=n n T nn 2)1(22)1(22+-=+-=-⋅-=n n n n n n n24. 解（1）∵︒=∠90ACB ∴ AC BC ⊥ ∵ ⊥1AA 面ABC∴BC AA ⊥1∴⊥BC 面C C AA 11 ∵ 11//C B BC ∴ ⊥11C B 面C C AA 11∴ 面⊥11C AB 面C C AA 11（2）∵⊥11C B 面C C AA 11 ∴ A C 1是A B 1在面C C AA 11的射影 ∴11AC B ∠为1AB 与面C C AA 11所成角在ABC ∆中，︒=∠90ACB，︒=∠30BAC ，1=BC ∴ 2=AB ，101=AB1010sin 11=∠AC B （3）ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB，︒=∠30BAC ，1=BC ∴ 3=AC即311=C A C AA Rt 1∆中，61=AA ∴ 2263tan 11==∠AC A M A C Rt 11∆中，262111==C C M C ，311=C A∴11111tan A C M C M A C =∠22= ∴M A C AC A 1111∠=∠︒=∠+∠90111M AA AC A ∴ 11AC M A ⊥ 而1AC 是1AB 在面CC AA 11的射影∴MA AB 11⊥25. 解（1）双曲线方程为1322=-y x（2）由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧=-+=kx x k y x kx y 0>∆ 032≠-k66<<-k 且3±≠k 有两交点设),(11y x A ，),(22y x B ∵ OB OA ⊥ ∴ 02121=+y y x x即01)()1(21212=++++x x k x x k将22132k k x x -=+，22132k x x --=代入得1±=k26.（1）设每吨的平均成本为W （万元/吨）1030400010230400010=-⋅≥--+==xx x x x y W 当且仅当xx 400010=，200=x 吨时每吨成本最低为10元。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i 2．函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( )A ．24x y = (x ∈R )B ．24x y = (x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R )D ．y ＝4x 2(x ≥0)3．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2 D ．a 3＞b 34．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 6．已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )A.3 B C D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13 B ．12 C ．23 D ．1 9．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)＝( )A ．12-B ．14-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45 B ．35 C ．35- D ．45- 11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( )A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，1·2=-a b ，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2 BCD ．1第Ⅱ卷第Ⅱ卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．20(1的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为______．14．已知π(,π)2α∈，sin α=，则tan2α＝______. 15．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22=1927x y -的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝______.16．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A －C ＝90°，a c +，求C .18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2) X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．19．如图，四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.(1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成的角的大小． 20．设数列{a n }满足a 1＝0且111111n na a +-=--.(1)求{a n }的通项公式； (2)设n b =，记1nn kk S b==∑，证明：S n ＜1.21．已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于A ，B 两点，点P 满足OA OB OP ++=0.(1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A ，P ，B ，Q 四点在同一圆上． 22．(1)设函数2()ln(1)2xf x x x '=-+＋，证明：当x ＞0时，f (x )＞0； (2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291()10ep <<.参考答案1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8． A 9．A 10．D11．D 12．A 13．答案：0 14．答案：43- 15．答案：616．答案：317．解：由a +及正弦定理可得sin sin A C B +=.又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos sin )2)C C A C C C ++=+ .cos 222C C C +=，cos(45)cos2C C -= . 因为0°＜C ＜90°， 所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.18．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ， P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8.(2)D C =，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2， X ～B (100，0.2)，即X 服从二项分布， 所以期望EX ＝100×0.2＝20.19．解法一：(1)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE ＝CB ＝2. 连结SE ，则SE ⊥AB ，SE =又SD ＝1，故ED 2＝SE 2＋SD 2， 所以∠DSE 为直角．由AB ⊥DE ，AB ⊥SE ，DE ∩SE ＝E ，得AB ⊥平面SDE ，所以AB ⊥SD . SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直．。

2011届高三年级第二次四校联考数学试题（理）命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中本试卷分必考题和选考题两部分第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}{}13|,3|2≤≤-=-==x x N xy x M ，且NM 、都是全集I 的子集，则右图中阴影部分表示的集合为 （ ） A ．{}13|≤≤-x x B ．{}13|≤≤-x xC ．{}33|-<≤-x xD ．{}31|≤<x x2．已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则A ．-1B ．-2C3．已知向量n m 、的夹角为6π,3=A ．1B ．2C4．直线sin 20x α++=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．],0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃5在点(0，1)处的切线与直线012=++y x 垂直，则=a （ ）C ．31D ．31-62x ,10,q R x mx q ∀∈++>∨：若p 为假命题，则实数mA ．2≥mB ．2m ≤-C ．2,m 2m ≤-≥或D ．22≤≤-m7．已知圆C ：25)2()1(22=-+-y x 及直线47)1()12(:+=+++m y m x m l (R m ∈）则直线l 与圆C 位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定8．设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤yx2≤9，则43yx 的最大值是（ ）A ．27B ．3C ．818D ．729．若定义在R 上的偶函数)()2()(x f x f x f =+满足，且当x x f x =∈)(]1,0[时，，则函数x x f y 4log )(-=的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．设1,1,>>∈b a R y x 、，若2==y x b a ，a+b=4，则2x +1y的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．设)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数R y x ∈、，都有)()()(y x f y f x f +=⋅，若))((,211*∈==N n n f a a n ，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围为（ ）A ．)2,21[B ．]2,21[1112．已知抛物线c bx ax y ++=2与直线中a b c >>，0a b c ++=，设线段AB 在X 轴上的射影为 ）A ．)323(，B ．），（∞+3第II 二、填空题(本题共420分，将答案填在答题卡的相应位置)13．函数y=sinx ，y=cosx 内围成图形的面积为 . 14．已知点F 是双曲线)22-ax 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是____________.15．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若n 2=1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________． 16．有以下四个命题：①ABC ∆中，“B A >”是“B A si n si n >”的充要条件；②若数列{}n a 为等比数列，且6,9,4684±===a a a 则；③不等式051≤+-x x 的解集为{}5|-<x x ；④若P 是双曲线14922=-yx上一点，21、FF 分别是双曲线的左、右焦点，且9321==PF ，PF 则其中真命题的序号为_____________.（把正确的序号都填上）三、解答题(本题共6小题，总分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）已知向量(sin ,1cos )m B B =- 与向量(2,0)n = 的夹角为3π，其中A 、B 、C 是∆ABC 的内角（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足-+⋅⋅⋅+++a a a a n n 22213221（1）求数列{}n a 的通项；（2）设n n a n b )12(-=，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．（本题满分12分）某学校拟建一座周长为180米的椭圆形体育馆，按照建筑要求，在椭圆边上至少要打6个桩，且每相邻两桩间隔x 米。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理科)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1) 复数212ii +-的共轭复数是 (A) 35i - (B) 35i (C) i - (D) i(2) 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是(A)y=x 2(B)y=|x|+1(C)y=-x 2+1 (D)y=2-|x|(3) 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 (A ） 120(B) 720 (C) 1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 (B) 12 (C) 23 （D ）34(5) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半周重合，始边在直线y=2x 上，则cos2θ= （A ）45-(B) 35- (C) 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（A ） （B ） （C ） （D ）（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A （C ） （B ） 2 （D ）3（8）51()(2a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （C ） -20 （B ） 20 （D ）40（9）由曲线y ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为（A ）310 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||10,3p a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:||1,3p a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:||10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:||1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,p p （B ）13,p p （C ）23,p p （D ）24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π,且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在(0,)2π单调递减 （B ）()f x 在3(,)44ππ单调递减（C ）()f x 在(0,)2π单调递增 （D ）()f x 在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

广东省六校 2011届高三第四次联考数学（文）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分 选择题(50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知复数i z 21--=，则z1在复平面上表示的点位于（ ） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2．已知集合}3{<=x x M ，}06{2>--=x x x N ，则N M 为（ ）A 、RB 、}{32|<<-x xC 、}{3x 23|>-<<-或x xD 、}{23|-<<-x x3．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)4．若向量)4,3(=AB ，)1,1(-=d ，且5d AC ⋅= ，那么d BC ⋅=( )A ．0B ．4-C ．4D ．4或4-5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,||2A ϕ><）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x =的图象（ ）A. 向右平移π12个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度6．已知变量的最小值是，则满足条件y x y x y x y x +⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥2021,（ ）A ． 6 B. 4 C. 3 D. 27．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0,PA PB PC AB AC mAP ++=+=且，那么实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 10．定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=212|2|lg )(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有3个不同的实数解321,,x x x ，则)(321x x x f ++等于（ ）A ．0B ．lC ．3lg2D ．2lg2第二部分 非选择题(共 100 分)二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13题）11.已知平面向量(1,),(23,),,a x b x x x R ==+-∈若,a b ⊥则实数x 的值是 ；12．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点能落在不等式组3050x y y -+≤⎧⎨-≤⎩所表示的区域内的点有 个.13. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是a = ,b =_______；（二）选做题，14、15两题任选一个，做对记5分，两题都做以第一题记分 14．若直线sin()42πρθ+=与直线31x ky +=垂直，则常数k = ． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到点P ，使2AB BP =，过 点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 则CAP ∠=__ _．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数1)cos (sin sin 2)(-+=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值； （2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期内的图象. 17．（本题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ （3）已知y ≥465,z ≥25,求不能通过测试的概率.18. （本题满分14分）如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积．x19.（本题满分14分）设,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，,C D 分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设Q 为椭圆上异于A 、B 的点，求证：A B 直线Q 与直线Q 的斜率之积为定值；（3）设P 为直线2222. ()a x a b c c ==+上不同于点（2a c，0）的任意一点， 若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内20.（本小题满分14分）已知b a ,为两个正数，且a b >，设,,211ab b ba a =+=当2≥n ，*n ∈N 时，1111,2----=+=n n n n n n b a b b a a ． （Ⅰ）求证：数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列；（Ⅱ）求证：)(2111n n n n b a b a -<-++； （Ⅲ）{}{}S T S <T 2().n n n n n n a b n a b ++设数列，前项的和分别为、，求证：21．（本题满分14分）在区间D 上，如果函数()f x 为增函数，而函数1()f x x为减函数，则称函数()f x 为“弱增”函数．已知函数()1f x =． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式11ax bx -≤≤-恒成立，求实数,a b 的取值范围． 求证：∑=++<<+ni in yn 121)1ln(1)1ln( (n *N ∈)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知复数i z 21--=，则z1在复平面上表示的点位于（ B ） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2．已知集合}3{<=x x M ，}06{2>--=x x x N ，则N M 为（ D ）A 、RB 、}{32|<<-x xC 、}{3x 23|>-<<-或x xD 、}{23|-<<-x x3．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ B ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)4．若向量)4,3(=，)1,1(-=，且5d AC ⋅= ，那么d BC ⋅=( C )A ．0B ．4-C ．4D ．4或4-5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,||2A ϕ><）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x =的图象（ C ）A. 向右平移π12个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度6．已知变量的最小值是，则满足条件y x y x y x y x +⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥2021,（ C ）A ． 6 B. 4 C. 3 D. 27．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0,PA PB PC AB AC mAP ++=+=且，那么实数m 的值为（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( C ) 21世纪教育网ABCD10．定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=212|2|lg )(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有3个不同的实数解321,,x x x ，则)(321x x x f ++等于（ D ）A ．0B ．lC ．3lg2D ．2lg2二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 把答案填在答题卡中对应题号的横线上. （一）必做题（11~13题）11.已知平面向量(1,),(23,),,a x b x x x R ==+-∈若,a b ⊥ 则实数x 的值是 1x =-或x=3 ；12．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点能落在不等式组3050x y y -+≤⎧⎨-≤⎩所表示的区域内的点有 3 个. 13. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是a = ,b =_______ 10.5,10.5a b == ；（二）选做题，14、15两题任选一个，做对记5分，两题都做以第一题记分 14．若直线sin()4πρθ+=与直线31x ky +=垂直，则常数k =3- ． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到点P ，使2AB BP =，过 点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 则CAP ∠=__ ︒30 _．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数1)cos (sin sin 2)(-+=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值； （2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期内的图象.x解：（1）1cos sin 2sin 21)cos (sin sin 2)(2-+=-+=x x x x x x x fx x 2cos 2sin -= ……………………………………………………………2分)42sin(2π-=x ， ……………………………………………………………4分∴)(x f 的最小正周期为π=T ，)(x f 的最大值为2．… ………………6分 （2）列表：函数)(x f 在一个周期内的图象如图： 17．（本题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33.（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ （3）已知y ≥465,z ≥25,求不能通过测试的概率. 解：（1） 在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率约为其频率 …… (1分) 即0.332000x= ∴ 660x = ………………(4分)（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， …………………(5分) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取个数为360500902000⨯=个 ………(8分) （3）设测试不能通过事件为A ，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y ，z）……(9分)由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个 ……………… (10分) 若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33 事件A 包含的基本事件有：（（465，35）、（466，34）共2个∴ 2()11P A =…………………(11分) 故不能通过测试的概率为211…………(12分)18. （本题满分14分） 3.如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积．（Ⅰ）证法一：在ABC ∆中，EF 是等腰直角ABC ∆的中位线， EF AC ∴⊥ 在四棱锥BCEF A -'中，E A EF '⊥，EC EF ⊥， ……………2分EF ∴⊥平面A EC '， ……5分 又⊂'C A 平面A EC ', EF A C '∴⊥ …………7分 证法二：同证法一EF EC ⊥ …………2分A O EF '∴⊥ EF ∴⊥平面A EC '， ………5分 又⊂'C A 平面A EC ', EF A C '∴⊥ ……………………8分 （Ⅱ）在直角梯形EFBC 中， 4,2==BC EC ,421=⋅=∴∆EC BC S FBC ……10分 又A O ' 垂直平分EC ，322=-'='∴EO E A O A ……12分∴三棱锥BC A F '-的体积为：334343131=⋅⋅='⋅==∆-''-O A S V V FBC FBC A BC A F ………14分19.（本题满分14分）设,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，,C D 分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设Q 为椭圆上异于A 、B 的点，求证：A B 直线Q 与直线Q 的斜率之积为定值；（3）设P 为直线2222. ()a x a b c c ==+上不同于点（2a c，0）的任意一点， 若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内 解：（1）依题意得2a c =，2ab =222a b c =+，解得a ＝2，c ＝1， b ＝3故椭圆的方程为13422=+y x ………………4分 （2）由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设Q （x,y ） 则,22QA QB y y k k x x ==+- 2232244QA QBy y y k k x x x ===-+-- 故得证…………………8分（3）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0） 设M （x 0，y 0）∵M 点在椭圆上，∴20y ＝43（4－x 02） ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点共线可以得P （4，2600+x y ） 从而BM＝（x 0－2，y 0），BP ＝（2，2600+x y ）∴BM ·BP ＝2x 0－4＋26020+x y ＝220+x （x 02－4＋3y 02） ②将①代入②，化简得BM ·BP ＝25（2－x 0） ∵2－x 0>0，∴BM ·BP>0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，。

2011年陕西省西安市某校高考数学四模试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 复数3+2i 2−3i=( )A iB −iC 12−13iD 12+13i2. 已知双曲线x 2a 2−y 2=1的焦点为(2, 0)，则此双曲线的渐近线方程是（ ） A y =±√5x B y =±√55x C y =±√33x D y =±√3x3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝−11，a 4+a 6＝−6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ）A 6B 7C 8D 94. 已知△ABC 和点M 满足MA →+MB →+MC →=0→．若存在实数m 使得AB →+AC →=mAM →成立，则m =( )A 2B 3C 4D 55. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于（ ）A 2B 3C 4D 56. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（ ） A 512B 12C 712D 347. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，⋯，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I 营区，从301到495住在第II 营区，从496到600在第III 营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A 26，16，8B 25，17，8C 25，16，9D 24，17，98. 若变量x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y ≥0x −y −2≤0，则z ＝x −2y 的最大值为（ ）A 4B 3C 2D 19. 将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是()A y=sin(2x−π10) B y=sin(2x−π5) C y=sin(12x−π10) D y=sin(12x−π20)10. 已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为（）A 6B 5.5C 5D 4.5二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. 在(x+√34y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．12. 由曲线y=x2与y=x3所围成的封闭图形的面积是________．13. 观察等式：11×2+12×3=23，11×2+12×3+13×4=34，根据以上规律，写出第四个等式为：________．14. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5, 40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有________根在棉花纤维的长度小于20mm．15. A．（不等式选做题）若关于x的不等式|x+3|−|x+2|≥log2a有解，则实数a的取值范围是：________．B．（几何证明选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PBPA =12，PCPD=13，则BCAD的值为________．C．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为{x=3+2√2cosθy=−1+2√2sinθ（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=2cosθ−sinθ，则曲线C上到直线l距离为√2的点的个数为：________．三、解答题（共6小题，满分75分）16. A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若m→=(−cos A2,sin A2)，n→=(cos A2,sin A2)，且m→⋅n→=12．（1）求角A；（2）若a=2√3，三角形面积S=√3，求b+c的值．17. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−23与x=1处都取得极值．(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[−1, 2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．18. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．19. 如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P−AC−D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE // 平面PAC．若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由．20. 已知在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S n2=a n(S n−12)．（1）求S n的表达式；（2） 设b n =S n2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．21. 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为√2−1，离心率e =√22． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1, 0)作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使MP →⋅MQ →为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2011年陕西省西安市某校高考数学四模试卷答案1. A2. C3. A4. B5. C6. C7. B8. B9. C 10. C 11. 6 12. 11213.11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=5614. 30 15. (0, 2],√66,316. 解：（1）∵ n →=(cos A2,sin A2)，m →=(−cos A2,sin A2)，且m →⋅n →=12． ∴ −cos 2A2+sin 2A2=12即−cosA =12，又A ∈(0, π)，∴ A =2π3．（2）S △ABC =12bc ⋅sinA =12bc ⋅sin 23π=√3， ∴ bc =4．又a =2√3，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccos 2π3=b 2+c 2+bc ，∴ 16=(b +c)2， 故b +c =4．17.解；(1)f(x)=x 3+ax 2+bx +c ， f ′(x)=3x 2+2ax +b ，由{f′(−23)=129−43a +b =0，f′(1)=3+2a +b =0，解得，{a =−12，b =−2，f ′(x)=3x 2−x −2=(3x +2)(x −1)，函数f(x)的单调区间如下表：所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．(2)f(x)=x 3−12x 2−2x +c ，x ∈[−1,2]，当x =−23时，f(x)=2227+c 为极大值，而f(2)=2+c ，所以f(2)=2+c 为最大值． 要使f(x)<c 2对x ∈[−1, 2]恒成立，须且只需c 2>f(2)=2+c ， 解得c <−1或c >2． 18. 解：（1）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23 （2）∵ x 甲¯=14+17+15+24+22+23+327=21x 乙¯=12+13+11+23+27+31+307=21S 甲2=(21−14)2+(21−17)2+(21−15)2+(21−24)2+(21−22)2+(21−23)2+(21−32)27=2367S 乙2=(21−12)2+(21−13)2+(21−11)2+(21−23)2+(21−27)2+(21−31)2+(21−30)27=4667∴ S 甲2<S 乙2，从而甲运动员的成绩更稳定（3）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49其中甲的得分大于乙的是：甲得有3场，甲得有3场，甲得有3场甲得2有4场，甲得2有3场，甲得2有3场，甲得3有7场，共计26场 从而甲的得分大于乙的得分的概率为P =264919. (1)证明：连BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ⊥平面ABCD ． 以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O −xyz 如图．设底面边长为a ，则高SO =√62a ． 于是S(0,0,√62a)，D(−√22a,0,0)， C(0,√22a ，0)，OC→=(0,√22a,0)， SD →=(−√22a,0,−√62a)，OC →⋅SD →=0故OC ⊥SD ，从而AC ⊥SD .(2)解：由题设知，平面PAC 的一个法向量DS →=(√22a,0,√62a)， 平面DAC 的一个法向量OS →=(0,0,√62a)． 设所求二面角为θ，则cosθ=|OS →||DS →|=√32， 所求二面角的大小为30∘．(3)解：在棱SC 上存在一点E 使BE // 平面PAC ． 由(2)知DS →是平面PAC 的一个法向量， 且DS →=(√22a,0,√62a)，CS →=(0,−√22a,√62a)， 设CE →=tCS →，则BE →=BC →+CE →=BC →+tCS →=(−√22a,√22a(1−t)，√62at). 而BE →⋅DS →=0⇔t =13， 即当SE:EC =2:1时，BE →⊥DS →,而BE 不在平面PAC 内，故BE // 平面PAC .20. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n −S n−1代入得：2S n S n−1+S n −S n−1=0⇔1S n−1Sn−1=2，∴ 1S n=2n −1⇔S n =12n−1（2）b n =S n2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)∴ T n =12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=n2n+1．21. 解：(1){a −c =√2−1e =c a =√22⇔{a =√2c =1b =1， ∴ 所求椭圆E 的方程为：x 22+y 2=1（2）当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为：x =ky +1{x 2+2y 2=2x =ky +1(1)(2)，把②代入①整理得：(k 2+2)y 2+2ky −1=0(3) ∴ {y 1+y 2=−2k k 2+2⋅，假设存在定点M(m, 0)，使得MP →⋅MQ →为定值MP →⋅MQ →=(x 1−m,y 1)⋅(x 2−m,y 2)=(x 1−m)(x 2−m)+y 1y 2=(ky 1+1−m)(ky 2+1−m)+y 1y 2=(k 2+1)y 1y 2+k(1−m)(y 1+y 2)+(1−m)2=−(k 2+1)k 2+2−2k 2(1−m)k 2+2+(1−m)2=(2m −3)k 2−1k 2+2+(1−m)2=(2m −3)(k 2+2)+(5−4m)k 2+2+(1−m)2 当且仅当5−4m =0，即m =54时，MP →⋅MQ →=−716（为定值）．这时M(54，0)再验证当直线l 的倾斜角α=0时的情形，此时取P(−√2，0)，Q(√2，0)MP →=(−√2−54,0)，MQ →=(√2−54,0)MP →⋅MQ →=(−√2−54)⋅(√2−54)=−716∴ 存在定点M(54，0)使得对于经过(1, 0)点的任意一条直线l 均有MP →⋅MQ →=−716（恒为定值）．。