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2011年高考数学——北京卷（理科）一．选择题1．已知集合 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ．若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是 （ ）A ． EMBED Equation.DSMT4B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT42．复数 EMBED Equation.DSMT4（ ）A ． EMBED Equation.DSMT4B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT43．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 （ ） A ． EMBED Equation.DSMT4 B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT44．执行如图所示的程序框图，输出的 EMBED Equation.DSMT4 值为（ ） A ． EMBED Equation.DSMT4 B ． EMBEDEquation.DSMT4 C ． EMBED Equation.DSMT4D ． EMBED Equation.DSMT45．如图， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4， EMBED Equation.DSMT4 分别与圆 EMBED Equation.DSMT4切于点 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，延长 EMBED Equation.DSMT4与圆 EMBED Equation.DSMT4 交于另一点 EMBEDEquation.DSMT4 ．给出下列三个结论： ① EMBED Equation.DSMT4 ；② EMBED Equation.DSMT4 ；③ EMBED Equation.DSMT4 ． 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．根据统计，一名工人组装第 EMBED Equation.DSMT4 件某产品所用的时间（单位：11s s s -=+0,2i s ==4i <1i i =+s 输出开始结束第4题 CF O EG分钟）为 EMBED Equation.DSMT4（ EMBED Equation.DSMT4 ， EMBEDEquation.DSMT4 为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 EMBED Equation.DSMT4 件产品用时15分钟， 那么 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 的值分别是（ ）A ．75, 25B ．75, 16C ．60, 25D ．60,167．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）A ．8B ． EMBED Equation.DSMT4C ．10D ． EMBED Equation.DSMT48．设 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）．记 EMBED Equation.DSMT4为平行四边形 EMBED Equation.DSMT4 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 EMBED Equation.DSMT4 的值域为 （ ）A ． EMBED Equation.DSMT4B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT4二．填空题9．在 EMBED Equation.DSMT4 中，若 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4， EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4_________； EMBED Equation.DSMT4 ________．10．已知向量 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ．若 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 共线，则 EMBED Equation.DSMT4 ______．11．在等比数列 EMBED Equation.DSMT4 中，若 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4，则公比 EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4． 12．用数字2，3组成四位数，且数字2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有 个（用数字作答）．13．已知函数 EMBED Equation.DSMT4若关于 EMBED Equation.DSMT4 的方程 EMBED Equation.DSMT4 有两个不同的实根，则实数 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是 ．14．曲线 EMBED Equation.DSMT4 是平面内与两个定点 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4的距离的积等于常数 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线 EMBED Equation.DSMT4 过坐标原点；②曲线 EMBED Equation.DSMT4 关于坐标原点对称；③若点 EMBED Equation.DSMT4 在曲线 EMBED Equation.DSMT4 上，则 EMBED Equation.DSMT4 的面积不大于 EMBED Equation.DSMT4． 其中，所有正确结论的序号是 ．三．解答题15．（13分）已知函数 EMBED Equation.DSMT4．（1）求 EMBED Equation.DSMT4 的最小正周期；（2）求 EMBED Equation.DSMT4 在区间 EMBED Equation.DSMT4上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥 EMBED Equation.DSMT4 中， EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 ，底面EMBED Equation.DSMT4 是菱形， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4．（1）求证 EMBED Equation.DSMT4 平面EMBED Equation.DSMT4 ；（2）若 EMBED Equation.DSMT4 ，求 EMBEDEquation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 所成角的余弦值；（3）当平面 EMBED Equation.DSMT4 与平面 EMBED Equation.DSMT4 垂直时，求 EMBEDEquation.DSMT4 的长．17．（13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 EMBED Equation.DSMT4 表示．999X 008甲组乙组 C A B DP（1）如果 EMBED Equation.DSMT4 ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果 EMBED Equation.DSMT4 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 EMBED Equation.DSMT4 的分布列和数学期望．18．（13分）已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ．（1）求 EMBED Equation.DSMT4 的单调区间；（2）若对于任意的 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 EMBED Equation.DSMT4，求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围．19．（14分）已知椭圆 EMBED Equation.DSMT4，过点 EMBED Equation.DSMT4作圆 EMBED Equation.DSMT4的切线 EMBED Equation.DSMT4 交椭圆 EMBED Equation.DSMT4 于 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 两点．（1）求椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的焦点坐标和离心率；（2）将 EMBED Equation.DSMT4 表示为 EMBED Equation.DSMT4 的函数，并求 EMBED Equation.DSMT4 的最大值．20．（13分）若数列 EMBED Equation.DSMT4 ： EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）满足 EMBED Equation.DSMT4（ EMBED Equation.DSMT4 ），则称 EMBED Equation.DSMT4为 EMBED Equation.DSMT4 数列．记 EMBED Equation.DSMT4． （1）写出一个满足 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 的 EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4； （2）若 EMBED Equation.DSMT4， EMBED Equation.DSMT4 ．证明： EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4是递增数列的充要条件是 EMBED Equation.DSMT4； （3）对任意给定的整数 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4），是否存在首项为0的 EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4 ，使得 EMBED Equation.DSMT4?若果存在，写出一个满足条件的 EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4；如果不存在，说明理由．HYPERLINK "/showpic.html" \l"blogid=4dd457800100to0p&url=/orignal/4dd45780t76eca 3d71bb8" \t "_blank" INCLUDEPICTURE"/middle/4dd45780t76eca3d71bb8&690" \*MERGEFORMATINETHYPERLINK "/showpic.html" \l"blogid=4dd457800100to0p&url=/orignal/4dd45780ta53e66861fc5" \t "_blank" INCLUDEPICTURE"/middle/4dd45780ta53e66861fc5&690" \*MERGEFORMATINETHYPERLINK "/showpic.html" \l"blogid=4dd457800100to0p&url=/orignal/4dd45780t76eca 3e4c1a6" \t "_blank" 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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）2．复数212i i-=+A ．iB ．-iC ．4355i --D ．4355i -+3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A ．(1,)2π B ．(1,)2π-C ． (1,0)D ．(1，π)4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12C ．13D ．25．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=A x Ac A x xcx f ,,,)(（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25D ．60，167．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A ．8B．C ．10D．8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2０11年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）(北京卷）本试卷共5页，1５0分。
考试时长１20分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共4０分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1）已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =．若PM P =,则a 的取值范围是（A)(,1]-∞-(Ｂ)[1,)+∞（C ）[1,1]-(D)(,1][1,)-∞-+∞ (２)复数212i i-=+ （A ）i (B)i - （C)4355i -- （D)4355i -+ （3）在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（A ）(1,)2π (B ）(1,)2π- (C ）(1,0) (D)(1,)π(4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A)3-（Ｂ)12- (C)13(D)2(5)如图，,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：① AD AE AB BC CA +=++；② AF AG AD AE ⋅=⋅；③ AFB ADG ∆∆其中，正确结论的序号是（Ａ）① ② （B ）② ③（C ）① ③ (D ）① ② ③(6）根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为()x A f x x A <=≥（,A c 为常数)。
已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时１5分钟, 那么c 和A 的值分别是（A ）75,25 （B ）75,16 （C ）60,25 （Ｄ）60,16 (7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中 最大的是（A ） ８(B）（C) 10(Ｄ)(８）设(0,0)A ,(4,0)B ,(4,4)C t +,(,4)D t （t R ∈），记()N t 为平行四边形内部(不含边界）的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数()N t 的 值域为(A ）{9,10,11} （Ｂ){9,10,12} (C){9,11,12} （D ）{10,11,12}A G俯视图。
实用文案2绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合P= {x | x 2< 1} ,M={a }.若P U M=P 则a 的取值范围是(A ) (- %, -1](B ) [1, + %) (C ) [-1，1] ( D )( - ^，-1] U [1，+x )【答案】C【解析】：p r {x|x 2 乞 1} ={x|-1 辽 X E1}，P U M =P 二 a，选 C o(2)复数 i -21 2i(A)i(B)-i)43. (C ) ■ i(D )5 5【答案】Ai 一2【解析】：^2-(i -2)(1-2i) i -2i 2-2-4i i-2(-1)-2 4i . 2 i ，选A o1 +2i(1 2i)(1 _2i)1-4i 21-4(-1)(3)在极坐标系中，圆p =-2sin B 的圆心的极坐标系是 itn (A) (1-) (B)(1,-一)(C) (1,0)22(D)(1，二)【答案】B’ =-2sin x 2 • (y • 1)2 =1，圆心直角坐标为(0,-1执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 -3【解析】： 选B o(4) (A )(C)(D) 2【答案】D1 1【解析】：循环操作4次时S的值分别为丄，一丄，-3,2，选D。
3 2(5)如图，AD AE, BC分别与圆0切于点D, E, F,延长AF与圆0交于另点G给出下列三个结论:(2)AF- AG=AD AE0AD+AE=AB+BC+CA③厶AFB〜△ ADG其中正确结论的序号是(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③【答案】A.【解析】：①正确。
人大附中2010-2011学年度第二学期高一年级 数学必修4模块考核试卷 2011年4月27日说明：本试卷共三道大题20道小题，共6页，满分100分，考试时间90分钟；请在密封线内填写个人信息 第Ⅰ卷 （机读卷 共40分）一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1—10题的相应位置上． 1．角的顶点与坐标原点重合始边与x 轴正半轴重合,下列各角中与角3π终边相同的是（ ）A ．－3π B ．4200C ．23π D ．-24002．角α的顶点与坐标原点重合始边与x 轴正半轴重合,终边过点P （-3,4）则cos α的值为(）A ．-34B ． -43C ．-35D ． 453．已知sin tan 0θθ⋅<，那么角θ是 （ ）Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角4．已知向量a (cos 85,sin 85),= b (cos 25,sin 25)=，则a +b 的值为 （ ）．A ．1 BC 2D5．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数sin y x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭的图象 （ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位密封线内不要答题6．函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的大致的图象是 （ ）A B C D7.已知向量a,b 若a = (2,1)， a b = 10，a -b则b = ( )ABC ．5D ．258．已知3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，那么cos 2β的值为 （ ）A.725B . 725- C. 1825D .1825-9.定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的向量a =(,)m n ，b (,)p q =， 令 a b =(,)m p n q +-，已知a =()c o s ,3θ,b=()sin ,3θθ+)θ∈R （，点N (,)x y 满足O N =a b (其中O 为坐标原点)，则2O N 的最大值为（ ）AB ．2+ C．2- D ． 210．已知非零实数,a b 满足关系式33sincos1455tan 3315cos sin55a b a b πππππ+=-，则b a 的值是 （ ）．A ．3-B3C． D ．二、填空题：（本大题共6小题,每小题4分,共24分）.11.cos 60sin 210+= ;12.已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθπ=∈，向量=b,//a b 则θ= ;13．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图象如右图所示，则ω= ;(1)(2)(3)(8)(9)f f f f f +++++=… ．14.设212tan 13cos 88,,221tan 13a b c =-==-则,,a b c 的大小关系为15.如右图，在四边形A B C D 中，||||||6AB BD D C ++=， ||||||||9A B B D B D D C ⋅+⋅=,0=⋅=⋅DC BD BD AB ,则AC DC AB ⋅+)(的值为16.已知存在实数φω,（其中Z ∈≠ωω,0）使得函数)c o s (2)(φω+=x x f 是奇函数，且在⎪⎭⎫⎝⎛4,0π上是增函数.（1）当ω=1,φπ< 时,φ的值为 ；（2）所有符合题意的ω与φ的值为 .D CA B密封线内不要答题三、解答题：（本大题共４小题,共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分9分） 已知tan 2,(0)2παα=<<.(1)求sin α的值; (2) 求22sin sin 21tan ααα++的值.18.（本小题满分10分）已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(1,0)A -，(4,0)B ，()(0,)C m m ∈R ．（1）若AC BC ⊥，求m 的值； （2）若3m =，求A C B ∠的余弦值.19．（本小题满分10分）已知向量a ,cos ),x x =b (cos ,cos )x x =，()221f x m =+- a b （,x m ∈R ）． （1）求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）若]2,0[π∈x 时()f x 的最小值为5，求m 的值．20. （本小题满分6分）定义域为R 的函数()y f x =满足: ①()()2f x f x π+=-;②函数在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[],2m ,并且127,,1212x x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,当12x x <时恒有 12()()f x f x <. (1)求m 的值;(2)若()()33f x f x ππ+=--,并且(sin )043f x ππ+>求满足条件的x 的集合;(3)设()y g x =22cos sin 2x x m =+++，若对于y 在集合M 中的每一个值，x 在区间 ),0(π上恰有两个不同的值与之对应，求集合M .。
2011北京高考数学理科试卷分析题号章节内容分值高中所有章节考分汇总1 集合 52 复数 5 章节分值3 极坐标 57大章函数204 算法框图5 三角函数185 平面几何 5 数列186 函数（分段函数） 5 立体几何147 三视图 5 解析几何148 创新题（函数、画图法） 5 导数139 解三角形 5 统计概率1310 平面向量 511 数学通项、求和公式 510小章集合 512 排列组合 5 复数 513 函数-数形结合 5 极坐标 514 创新题（解析几何、对称性） 5 算法与框图 515 三角函数（周期、最值）13 平面几何 516 立体几何（垂直、线线角）14 平面向量 517 统计（茎叶图、方差、概率、期望）13 三视图 518 导数（单调性、最值）13 排列组合 519 解析（椭圆、韦达定理、最值）14 线性规划020 创新题（数列、充分、必要条件）13 不等式0 说明：2011北京理科卷考点全面，，虽然"线性规划"、"不等式"两个小章未考到，但其中包含的图形处理技巧和最值思想，在第13题函数题需要用到数形结合和19题解析几何大题最后的最值问题中有所体现，所以今年的高考题考到了几乎所有章节。
对于学生而言，每个章节都不能遗漏。
考试难度和计算量总体上比平时的期中期末考试、一、二模更简单：1.小题：前14道小题中，只有第8题和第14题需要多思考才能做对，方法很常规，并没有设置障碍。
其他12个小题全是常规题型，非常容易得分，只要保证计算不错，中等基础的学生能拿到12个题满分。
2.大题：在后面的6个大题80分的考点中，前三个大题考的基础题型，大部分考生不算错的情况下能够得满分；从后三个大题才开始设置难度，拉开了学生层次。
第一题：三角函数大题依然考的热点考点，化简和求最值，学生基础中等偏下水平即可做对。
第二题：立体几何也是常见考点，垂直和角的问题，今年没有考二面角，考的线线角更简单，基础弱的学生甚至可以用几何向量法做出这三问，顺利拿到14分。
2011北京高考数学真题（理科）一．选择题1．已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =．若PM P =，则a 的取值范围是 （ ）A ．(,1]-∞-B ．[1,)+∞C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞2．复数212i i-=+ （ ） A ．i B ．i - C ．4355i -- D ． 4355i -+3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 （ ）A ．(1,)2π B ．(1,)2π- C ．(1,0) D ．(1,)π4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ）A ．3-B ．12- C ．13 D ．25．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ．给出下列三个结论： ①AD AE AB BC CA +=++； ②AF AG AD AE ⋅=⋅； ③AFB ADG △△∽．其中正确结论的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为,,(),cx A xf x cx A x⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（A ，c 为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（ ）A ．75, 25B ．75, 16C ．60, 25D ．60,16 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ） A ．8 B ．62 C ．10 D ．8211s s s -=+0,2i s ==4i <1i i =+s输出开始结束第4题CB F AODEG第5题俯视图侧（左）视图正（主）视图3448．设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,4)C t +，(,4)D t （t R ∈）．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 （ ） A ．{9,10,11} B ．{9,10,12} C ．{9,11,12} D ．{10,11,12}二．填空题9．在ABC △中，若5b =，4B π∠=，tan 2A =，则sin A =_________；a =________．10．已知向量(3,1)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =．若2a b -与c 共线，则k =______． 11．在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q = ；12||||||n a a a +++= ．12．用数字2，3组成四位数，且数字2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有 个（用数字作答）．13．已知函数32, 2,()(1), 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．14．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2a （1a >）的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212a ．其中，所有正确结论的序号是 ．三．解答题15．（13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=．（1）求证BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值； （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．17．（13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．（1）如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．999X 008111甲组 乙组 C A B D P18．（13分）已知函数2()()x kf x x k e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e≤，求k 的取值范围．19．（14分）已知椭圆22:14x G y +=，过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． （1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值．20．（13分）若数列n A ：12,,,n a a a （2n ≥）满足1||1k k a a +-=（1,2,,1k n =-），则称n A 为E 数列．记12()n n S A a a a =+++．（1）写出一个满足150a a ==，且5()0S A >的E 数列5A ；（2）若112a =，2000n =．证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =；（3）对任意给定的整数n （2n ≥），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()0n S A =?若果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由．参考答案及试题解析。
2011年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是
A ．(-∞, -1]
B ．[1, +∞）
C ．[-1，1]
D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
2．复数
212i i -=+ A ．i B ．-i C ．4355i -- D ．4355
i -+ 3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A ．(1,)2π
B ．(1,)2π
-
C ． (1,0)
D ．(1，π)
4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A ．-3
B ．-
12 C ．13 D ．2
5．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，
延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：
①AD+AE=AB+BC+CA ；
②AF·AG=AD·AE
③△AFB ～△ADG
其中正确结论的序号是
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各式中，不是恒等式的是（）A. sin²x + cos²x = 1B. (a + b)² = a² + 2ab + b²C. log₂(2x + 1) = x + 1D. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)2. 已知函数f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 2，f(1) = 0，则a +b + c的值为（）A. 1B. 0C. -1D. -23. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA + sinB + sinC = 3，则△ABC为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 无法确定4. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x²B. f(x) = |x|C. f(x) = x³D. f(x) = 1/x5. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项与第15项的和为（）B. 57C. 62D. 676. 已知复数z = 1 + i，则|z - 2i|的值为（）A. √2B. 2C. √5D. 57. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > x + 1B. x² > xC. x³ > xD. x² < x8. 若a、b、c为等差数列，且a² + b² + c² = 3，则abc的最大值为（）A. 1B. √3C. 3D. √69. 已知函数f(x) = x² + ax + b（a ≠ 0），若f(1) = 0，f(2) = 3，则f(3)的值为（）A. 0B. 3C. 610. 下列命题中，正确的是（）A. 若函数f(x)在区间(a, b)内单调递增，则f(a) < f(b)B. 若函数f(x)在区间(a, b)内单调递减，则f(a) > f(b)C. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则f(a) = f(b)D. 若函数f(x)在区间(a, b)内可导，则f(a) = f(b)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若等比数列{an}的首项为a₁，公比为q，则其第n项an = ________。
2011年人大附中高三数学（理科）考试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U=R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={}()0x f x ≠，N ={}()0x g x ≠，那么集合{}()()0x f x g x =等于（ ） A ()U M ð⋂()U N ð B ()U M N ⋃ð C M ⋃()U N ðD ()U M ð⋃()U N ð 2. 下列命题中，正确的是（ ）A 若z C ∈,则2z ≥0；B 若,a b R ∈,且a b >，则a i b i +>+；C 若a R ∈，则()1a i +⋅是纯虚数；D 若1z i=,则3z +1 对应的点在复平面内的第一象限。
3. 如图，直线()00Ax By C AB ++=≠的右下方有一点(),m n ，则Am Bn C ++的值（ ）A 与C 同号B 与A 同号C 与B 同号D 与A ，B 均同号4. 已知：f (x )是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则f （2T-）等于（ ） A 0B 2T C T D 2T -5. 若函数f (x )=32ax bx cx d +++的图象如图所示，则一定有（ ）A a <0 b >0 c >0 d <0B a <0 b <0 c >0 d <0C a <0 b >0 c <0 d <0D a <0 b <0 c <0 d <0………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 班级：___________ 学号：____________ 姓名：_____________6. 若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为（ ）A 9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B 5,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C 7,24⎛⎫- ⎪⎝⎭D 7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 7. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －1111A B C D 中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值。
则下面的四个结论中：①点P 到平面QEF 的距离为定值； ②直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ③二面角P －EF －Q 的大小为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值。
正确的是（ ） A ① ② ③ B ② ③ ④ C ① ③ ④ D ① ② ④8. 国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式xn y=，x :：人均食品支出总额；y ：人均个人消费支出总额。
若李先生居住地2004年比2000年食品价格下降了7.5%，该家庭在2004年购买食品地与2000年大致相同的情况下，人均少支出了75元，则该家庭2004年属于（ ） A 贫困 B 温饱 C 小康 D 富裕二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题后表格中. 9. 已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++= 且k a =13,则k =________________。
10. 已知函数 f (x )=()()sin cos 4a x b x πθπφ⋅++⋅++，若f (2004)=3,则f (2005)=__________11. 21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，则a =___________，b =__________.12. 把函数sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-a （m >0）平移后，所得A的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________。
13. 12,F F 为椭园22142x y += 的左右焦点，l 是它的一条准线，点P 在l 上，则12F PF ∠的最大值为__________________。
14. 设有两个命题：（1）不等式|x |+|x －1|>m 的解集为R ；（2）定义在R 上的函数()()73xf x m =--是减函数；这两个命题中有且只有一个命题是真命题，则m 的取值范围是___________。
三、 解答题：本大题共6小题．共80分．15. 已知向量()()()()cos ,sin ,sin 2,1cos2,0,1,0,x x x x x π==-=∈a b c .(1)向量,a b 是否共线？证明你的结论；(2)若函数f (x )=||()-+⋅b a b c ,求f (x )的最大值,并指出取最大值时对应的x 值.16. 已知：()212,n n n f x a x a x a x =+++ 且数列{}n a 成等差数列。
（1）当n 为正偶数时，(1)n f n -=，且1a =1，求数列{}n a 的通项；（2）在（1）的条件下，试比较1()2n f 与3的大小。
………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题17. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点。
（1）求证：PB //平面EAC ；（2）求证：AE ⊥平面PCD ； （3）若AD =AB ，试求二面角A －PC －D 的正切值； （4）当ADAB 为何值时，PB ⊥AC ？………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 班级：___________ 学号：____________ 姓名：_____________18.一个房间有3扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间. 鸟飞向各扇窗子是随机的.（1）假定鸟是没有记忆的，若这只鸟恰好在第x次试飞时飞出了房间,求试飞次数x的分布列；（2）假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第y次试飞时飞出了房间,求试飞次数y的分布列；19. 点Q 位于直线3x =-右侧,且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4.（1）求动点Q 的轨迹C ；（2）直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+，0EP AB = ，又OE=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由。
20. 设12,x x 是函数()()322032a b f x x x a x a =+->的两个极值点，且122x x +=. （1）证明：b ≤. （2）若()()()1'2g x f x a x x =--，证明当12x x <<时，且10x <时，()4g x a ≤。
………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题人大附中2005届高三数学月考试卷 05.2（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． DDBAA ACD三、 解答题：本大题共6小题．共80分． 15．（本小题13分）解：（1）向量,a b 是共线的。
……………………………………………2分∵()cos 1cos2sin sin2cos cos 0x x x x x x --=-=,∴,a b 共线。
……………………………………………………6分（2）f (x )=()2||()2sin sin 2sin x x x -+⋅=-+b a b c 2112sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴ f (x )的最大值为18，…………………………………………11分此时1arcsin 4x =或1arcsin 4π-。
………………………………13分16．（本小题13分）解：(1)若n 为偶数，则1231n n a a a a a n --+-+-+=设{}n a 的公差为d ，则12dn =n ，所以，d =2。
又∵1a =1，∴ 21n a n =-.…………………………………………………………6分(2)()2111113212222nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭231111113(23)(21)2222nn n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：1122n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23111111222(21)22222n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，2111()3(21)222n n n f n -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，1()32n f <。
……………………………………………………13分17．（本小题14分）（1）证明：连DB ，设DB AC O = ，则在矩形ABCD 中，O 为BD 中点。
连EO 。
因为E 为DP 中点，所以，//OE BP 。
又因为OE ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ，所以，PB //平面EAC 。
……………………………………………………3分（2） ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面正三角形PAD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥，又PDC PAD PD = 面面，所以，AE ⊥平面PCD 。
