河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高一上学期1月月考数学试题(含答案)

河北省石家庄外国语学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，AB＝5，则cos A的值为（）A．35B．43C．34D．452．方程23x x=的解是（）A．1 B．3 C．1或3 D．0或33．若3a-2b=0，则a bb+的值为（）A．35B．23C．1 D．534．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DE＝2，则EF=（）A．2 B．3 C．4 D．55．河堤的横截面如图所示，堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米那么斜坡AB的坡度i是（）A．1：3 B．1：2.6 C．1：2.4 D．1：26．用配方法解2850x x -+=方程，将其化成()2x a b +=的形式，则变形正确的是（ ） A ．()2411x +=B ．()2421x -=C ．()2811x -=D ．()2411x -=7．如图，△ABC 中，∠B ＝65°，AB ＝3， BC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，则tan ∠ACB 的值为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．39．已知关于x 的一元二次方程2(1)410a x x ---=有两个实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．4a ≥-B ．3a >-C ．3a ≥-且1a ≠D ．3a >-且1a ≠10．如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m ，则旗杆AB 的高为（ ）A ．7 mB ．8 mC ．6mD ．9m11．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．26.5(1) 5.265x -=B ．26.5(1) 5.265x +=C ．25.265(1) 6.5x -=D ．25.265(1) 6.5x +=12．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A 处时，发现它的北偏东30°发现有一灯塔B ．轮船继续向北航行2小时后到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（ ）A ．1小时BC ．2小时D ．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG 与矩形ABCD 是位似图形（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（0，2.5）C ．（0，3）D ．（0，4）14．如图，△ABC 的两条中线BE ，CD 交于点O ，下列说法错误的是（ ）A ．ED BC＝12 B ．ADAB ＝AE ACC ．△ADE ∽△ABCD ．S △DOE ：S △BOC ＝1：215．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC =12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，D 、G 分别在AB ，AC 上，DG ＝3，则点F 到BC 的距离为（ ）A．3 B．2 C．53D．5216．下列说法中正确的有（）个．①线段2和8的比例中项是±4；②将一个长方形对折一次得到一个新的长方形不能与原来的长方形相似；③在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=7.5，DE=6，EF=5，则△ABC∽△DEF；④如图，已知，在Rt△ABC中，BD⊥AC于D，CD=2，BC=5，则sinA=25．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题17．关于x的一元二次方程2520x x--=的一个根是a，则代数式22103a a-++的值是____．18．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_________m（结果保留根号）19．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝8，点D在线段BC上运动（1）当BD＝1时，则CE＝_______；（2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是_______．三、解答题20．（1）解方程：x2＋3＝6x；（2）计算：8sin260°＋tan45°﹣3tan30°．21．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，使得AB⊥BC，然后选定点E，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，1tan2B=，点D在BC上，BC=8且BD＝AD．（1）求AC的长；（2）求cos∠ADC的值．23．探究：如图①，点A、点D在直线BC上方，且AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）应用：如图①，在探究的条件下，若AB＝3，8CD=,BC＝10，求BE的长；（3）拓展：如图②，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8将矩形ABCD翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为MN，若13DE=DC，则tan∠AMN＝．24．某宾馆客房部有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．每个房间每天的定价每增加10元时就会有一个房间空闲．设每个房间每天的定价增加x元．（1）若定价为250元时，房间每天的入住量是间；房间每天的入住量y（间）关于x（元）的关系式为；（2）某一天，该宾馆客房部的总收入为12000元，问这天每个房间的定价是多少元？25．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动（1）当∠CDE＝60°时，①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为．（直接写出结果）（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，）26．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD 沿AC方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN时，同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．当△PMN停止平移时，点Q也停止运动，如图②设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时PQ⊥AC？（2）是否存在某一时刻t，S△PQC：S四边形ABQP＝1：35，若存在，求出t的值；若不存在；（3）当t＝时，△PQC为等腰三角形？参考答案1．A 【分析】根据锐角的余弦值的定义解决此题． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， ∴cos A ＝35AC AB =． 故选：A ． 【点睛】本题考查了锐角的余弦值，熟练掌握锐角的余弦值的定义是解题的关键． 2．D 【分析】解一元二次方程可得23x x =的解是0或3. 【详解】由23x x =得x （x-3）=0,所以，x 1=0,x 2=3. 故选D 【点睛】本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：用因式分解法求解. 3．D 【分析】根据320a b -=，求得23a b =，代入即可．【详解】 解：∵320a b -= ∴23a b =，代入得，255333b b ba b b b b ++===故答案为D ． 【点睛】此题考查了分式求值，根据,a b 的等量关系代换是解题的关键．4．C【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l8，∴12 DE ABEF BC==，∴EF＝2DE＝2×2＝4．故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式进行求解．5．C【详解】分析：在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AC的长，根据坡面AB的坡比即为∠BAC的正切即可求解.详解：在Rt△ABC中，BC=5米，AB=13米，根据勾股定理得AC=12米，∴AB的坡度i=5112 2.4 BCAC==.故选C.点睛：本题主要考查学生对坡度坡角的掌握，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6．D【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．【详解】解：x2−8x＋5＝0，x2−8x＝−5，x2−8x＋16＝−5＋16，（x−4）2＝11．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．7．C【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意；C、两三角形的对应边不成比例，故本选项符合题意；D、两三角形对应边成比例（6﹣5）：（3﹣1）＝1：2＝3：6，且夹角∠B相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．C【分析】根据勾股定理求出△ABC的各边长，根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，根据锐角三角函数的定义计算即可．【详解】解：∵每格小正方形的边长都是1，∴AB＝AC BC，则AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ACB＝ABBC＝2，故选：C．【点睛】本题考查了求三角函数值，解题关键是确定△ABC是直角三角形，利用勾股定理和三角函数的定义求解．9．C 【分析】一元二次方程的二次项系数不能为0，且当0≥时，有两个实数根，计算即可得到参数取值范围． 【详解】解：∵2(1)410a x x ---=是一元二次方程 ∴10a -≠ ∴1a ≠又∵一元二次方程有两个实数根 ∴0≥即：2(4)4(1)(1)0a ---⨯-≥412a ≥- 3a ≥-∴满足题意的a 的取值范围是：3a ≥-且1a ≠ 故选：C 【点睛】本题考查一元二次方程判别式，以及一元二次方程的定义，根据知识点解题是关键． 10．D 【详解】试题解析：由题意得，CD ∥AB ， ∴△OCD ∽△OAB ， ∴CD ODAB OB=， 即36612AB =+， 解得AB=9． 故选D ．考点：相似三角形的应用． 11．A 【分析】由题意2019年用水总量为6.5(1)x -亿立方米，2020年用水总量为26.5(1)(1) 6.5(1)x x x --=-亿立方米，从而可得x 满足的方程．【详解】解：由题意可得：2019年用水总量为6.5(1)x -亿立方米，2020年用水总量为26.5(1)(1) 6.5(1)x x x --=-亿立方米，所以26.5(1) 5.265x -=．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解年平均降低率的含义． 12．A【分析】过B 作AC 的垂线，设垂足为D ．由题易知：∠DAB ＝30°，∠DCB ＝60°，则∠CBD ＝∠CBA ＝30°，得AC ＝BC ．由此可在Rt △CBD 中，根据BC （即AC ）的长求出CD 的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．【详解】解：作BD ⊥AC 于D ，如图所示：则∠DAB ＝30°，∠DCB ＝60°，则∠CBD ＝∠CBA ＝30°．∴AC ＝BC ，∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，∴AC ＝BC ＝2×40＝80海里，∴CD ＝12BC ＝40海里．故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13．A【分析】连接CF ，交y 轴于点P ，根据位似图形的概念得到CD ∥GF ，根据相似三角形的性质求出GP ，进而求出OP ，得到答案．【详解】解：连接CF ，交y 轴于点P ，则点P 为位似中心，矩形OEFG 与矩形ABCD ，C （﹣4，4），F （2，1），由题意得，CD ＝4，DG ＝3，2GF =,1OG =，∵矩形OEFG 与矩形ABCD 是位似图形，∴CD ∥GF ，∴△CDP ∽△FGP ， ∴CD GF ＝DP GP ，即42＝3GP GP -， 解得，GP ＝1，∴OP ＝2，∴位似中心P 的坐标为（0，2）故选：A ．【点睛】本题考查了位似概念和性质，相似三角形的性质，根据题意作出图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键．14．D【分析】根据三角形中位线定理得到DE ＝12BC ，DE ∥BC ，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．解：∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝12BC，DE∥BC∴EDBC＝12，A选项结论正确；∵DE∥BC，∴ADAB＝AEAC，B选项结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．A【分析】过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，通过证明△ADG∽△ABC，可得∠ADG＝∠B，可证DG∥BC，可证△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD：AB＝AG：AC，∵∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC，∴∠ADG＝∠B，∴DG∥BC，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，∴FH⊥BC，AN⊥DG，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BM＝12BC＝6，∴AM8，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴AN DG AM BC=，∴3 812 AN=，∴AN＝2，∴MN＝AM﹣AN＝6，∴FH＝MN﹣GF＝6﹣3＝3，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．A【分析】①根据比例中项的概念得出答案；②根据相似多边形的概念可得出答案；③根据相似三角形的判定可得出答案；④根据锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：①线段2与8的比例中项为4，故①不正确；②将一个长方形对折一次得到一个新的长方形能与原来的长方形相似，相似比为②不正确；③∵616ABDE==，7.5352BCEF==，∴AB BC DE EF≠，∴△ABC∽△DEF错误，故③不正确；④∵∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∴∠A+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，∴∠A=∠DBC，∴sinA=sin∠DBC=DCBC=25．故④正确．故选：A．【点睛】本题考查了比例中项的概念与性质，相似多边形的性质和判定，相似三角形的判定，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．17．1-【分析】根据一元二次方程的解的定义求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．【详解】关于x的一元二次方程2520x x--=的一个根是a，2520a a∴--=252a a∴-=2221032(5)32231a a a a-++=--+=-⨯+=-∴故答案为：1-【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．18．【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：由题意可得：∠BDA＝45°，在Rt △ABD 中，∵∠BDA =45°，∴AB ＝AD ＝120m ，又∵∠CAD ＝30°，∴在Rt △ADC 中，tan ∠CAD ＝tan 30°＝CD AD解得：CD ＝m ），故答案为：【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan ∠CAD =tan 30°=CD AD 是解题关键． 19．434 【分析】（1）证明△BAD ∽△CAE ，推出BD CE ＝AB AC ＝68，可得结论； （2）证明∠DCE ＝90°，推出CP ＝12DE ，求出DE 的最小值，可得结论．【详解】解：（1）∵△ABC ∽△ADE ， ∴AB AD ＝AC AE，∠BAC ＝∠DAE ， BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠即∠BAD ＝∠CAE ， 又AB AD ＝AC AE， ∴△BAD ∽△CAE ，BD CE ＝AB AC ＝68， ∵BD ＝1．∴CE ＝43， 故答案为：43； （2）∵△BAD ∽△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABD +∠ACB ＝90°，∴∠ACB +∠ACE ＝90°，∴∠DCE ＝90°，∵DP ＝PE ，∴CP ＝12DE ，∵△ABC ∽△ADE ，DE BC AD AB∴= ∴AD BC DE AB ⋅=∴AD 的值最小时，DE 的值最小，此时CP 的值最小，∵AB ＝6，AC ＝8，90BAC ∠=︒∴BC ＝10，根据垂线段最短可知，当AD ⊥BC 时，此时AD ＝AB AC BC ⋅＝6810⨯＝245， ∴AD BC DE AB⋅=＝53AD ＝8， ∴CP 的最小值为12×8＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．20．（1）x 1＝x 2＝3；（2）7【分析】（1）整理成一般式，再利用公式法求解即可；（2）代入三角函数值，再根据实数的运算顺序依次计算即可．【详解】解：（1）x 2+3＝6x ，x 2﹣6x +3＝0，a ＝1，b ＝﹣6，c ＝3，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×3＝24＞0，，即x 1＝，x 2＝3（2）原式＝8×2+1﹣＝8×34+1＝6+1＝7【点睛】本题考查了解一元二次方程和特殊角三角函数值的运算，解题关键是熟记求根公式和特殊角三角函数值．21．150m【分析】先证明△ABD ∽△ECD ，利用对应边成比例可求出AB 的长度．【详解】解：由已知得，∠ABD ＝∠DCE ＝90°，//∴AB CE∴△ABD ∽△ECD ， ∴AB EC ＝BD DC ， 将BD ＝180m ，DC ＝60m ，EC ＝50m ，代入可得：50AB ＝18060， 解得：AB ＝150．答：小河的宽是150m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（1）4；（2）35【分析】（1）在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义表示出tan B ，把tan B 的值，以及BC 的长代入求出AC 的长即可；（2）设CD ＝x ，则有AD ＝BD ＝8﹣x ，在直角三角形ACD 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠ADC的值即可．【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝12，∴12＝tan B＝ACBC＝8AC，解得：AC＝4；（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，即（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝3，∴CD＝3，AD＝5，则cos∠ADC＝CDAD＝35．【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握各自的性质是解题的关键．23．（1）见解析；（2）4或6；（3）2【分析】（1）先用同角的余角相等判断出∠A＝∠EDC，即可得出结论；（2）由（1）知，△ABE∽△ECD，得AB BEEC CD=，即AB BEBC BE CD=-，代值计算，即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出DM，再判断出BN＝CF，FN＝BC＝8，再判断出△MDE∽△EFN，得出比例式，进而求出EF，可得AN＝DF＝DE+EF＝4+6＝10，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠A＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD；（2）解：由（1）知，△ABE∽△ECD，∴AB BEEC CD=，即AB BEBC BE CD=-，∴3108BEBE=-，∴BE＝4或6；（3）解：如图②，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝12，∵DE＝13 DC，∴DE＝4，设DM＝x，则AM＝AD﹣DM＝8﹣x，由折叠知，ME＝AM＝8﹣x，根据勾股定理得，DM2+DE2＝ME2，∴x2+42＝（8﹣x）5，∴x＝3，∴DM＝3，∴AM＝8﹣3＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°，过点N作NF⊥CD于F，则∠EFN＝90°＝∠B＝∠C，∴四边形BCFN是矩形，∴BN＝CF，FN＝BC＝8，∵∠D＝90°，∴∠DME +∠DEM ＝90°，由折叠知，∠MEN ＝90°，∴∠DEM +∠NEC ＝90°，∴∠DME ＝∠NEC ，∴△MDE ∽△EFN ， ∴DM DE EF FN = ， ∴348EF = ， ∴EF ＝6∴AN ＝DF ＝DE +EF ＝4+6＝10，∴tan ∠AMN ＝105AN AM =＝2． 故答案为：2．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判断和性质，勾股定理，折叠的性质，求出EF 是解本题的关键．24．（1）45；y ＝50﹣10x ；（2）300元或400元 【分析】（1）根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可计算每天的入住量并列出函数关系式；（2）根据客房部的总收入为12000元列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：（1）若定价为250元时，房间每天的入住量是50﹣25020010-=45（间）， ∵宾馆客房部有50个房间供游客居住，每个房间每天的定价每增加10元时，∴房间每天的入住量y 关于x 的函数关系式为y ＝50﹣10x ； 故答案为45；y ＝50﹣10x ； （2）当客房部的总收入为12000元时，有（50﹣10x ）（200+x ）＝12000， 解得：x 1＝100，x 2＝200，200+100＝300（元），200+200＝400（元），∴每个房间的定价是300元或400元；答：每个房间的定价是300元或400元．【点睛】本题考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是列出函数关系式，运用一元二次方程解决问题．25．（1）①②124mm；（2）33.4°【分析】（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，根据60°角的正弦可得点C到直线DE的距离CF的长；②在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长，再根据点A到直线DE的距离为AH+CF可得答案．（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．【详解】解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE，则点C到直线DE的距离为CF，在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝CF CD，∴CF＝CD•sin60°＝②由图可知，点A到直线DE的距离=AH+CF．∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG ∥DE ，∴∠GCD ＝∠CDE ＝60°．∴∠ACH ＝∠ACD ﹣∠DCG ＝50°．在Rt △ACH 中，∵sin ∠ACH ＝AH AC， ∴AH ＝AC •sin ∠ACH ＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64mm ，∴点A 到直线DE 的距离为AH +CF ＝．（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，C 的对应点为C ′，则B ′C ′＝BC ＝35mm ，DC ′＝DC ＝70mm ．在Rt △B ′C ′D 中，∵tan ∠B ′DC ′＝351702B C DC ''=='， ∴∠B ′DC ′＝26.6°．∴CD 旋转的角度为∠CDC ′＝∠CDE ﹣∠B ′DC ′＝60°﹣26.6°＝33.4°．故答案为：33.4°．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．26．（1）209；（2）存在，t 或 （3）2013或2或3213． 【分析】（1）先根据勾股定理求AC ＝4，根据平移的性质和平行四边形的性质得：PQ ∥AB ，列比例式为：CP CA ＝CQ CB，代入可求t 的值； （2）由题意可知S △QMC ＝S △QPC ＝136S △ABC ，作PF ⊥BC 于点F ，用含t 的代数式表示△QPC 的面积即可列方程求出t 的值；（3）分三种情形：当QP＝QC时，当CP＝CQ时，当PC＝PQ时，分别构建方程求解即可．【详解】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝3cm，BC＝5cm，∴AC4，∵PQ⊥AC，AC⊥AB，∴PQ∥AB，∴CPCA＝CQCB，即44t-＝5t，解得t＝209，∴当t为209时，PQ⊥AC；（2）如图2，作PF⊥BC于点F，由35PF ABPC BC==＝sin∠ACB得，PF＝35PC＝35(4﹣t）；∵S△QPC：S四边形ABQP＝1：35，∴S△QPC＝136S△ABC＝136×（12×3×4）＝16，∴12⋅t×35（4﹣t）＝16，整理得，9t2﹣36t+5＝0，解得，t或t（3）当QP ＝QC 时，过点Q 作QE AC ⊥与E ，则12CE PC =, 4cos 5CE AC ACB QC BC ∴=== ∴12PC QC ＝cos ∠ACB ＝45，则有1(4)425t t -= ∴t ＝2013． 当CP ＝CQ 时，4﹣t ＝t ，∴t ＝2．当PC ＝PQ 时，过点P 作PG BC ⊥与G ，则12GC QC =4cos 5CG AC ACB PC BC ∴=∠== 12CQ PC＝cos ∠ACB ＝45， ∴14245t t =-， ∴t ＝3213，综上所述，满足条件的t的值为2013或2或3213．故答案为：2013或2或3213．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．。

2020-2021学年河北省石家庄市第一中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集I ＝{0，1，2，3}，∁I M ＝{0，2}，则M ＝（ ） A ．{3} B ．{1，3}C ．{2，3}D ．∅【答案】B【分析】根据补集的概念，可得集合M【详解】由题可知：全集I ＝{0，1，2，3}，∁I M ＝{0，2} 所以M={1，3} 故选：B【点睛】本题考查补集的运算，属基础题.2．已知R 是实数集，集合{|314}A x x =-<-<，{|10}B x x =->，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{|2}x x <-B ．{|21}x x -<<C ．{|2x x ≤-或5}xD ．{|2}x x ≤-【答案】D【分析】由已知求集合A 、B ，根据图示阴影部分为RA B ⋂，结合集合的交补运算求集合即可.【详解】由题意知：{|25}A x x =-<<，{|1}B x x =<， 根据韦恩图知：阴影部分为RA B ⋂，而{|2RA x x =≤-或5}x ，∴{|2}RA B x x ⋂=≤-.故选：D3．已知a R ∈，则“1a ≤”是“2a a ≤”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求解一元二次不等式2a a ≤，得到01a ≤≤，然后结合必要条件、充分条件的判定方法即可得到结果．【详解】由2a a ≤，解得01a ≤≤， ∴“1a ≤”是“2a a ≤”的必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．4．设a ，b ∈R ，下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a 2+3>2a B ．a 2+b 2>0 C ．a 3+b 3≥a 2b+ab 2 D ．a+1a≥2 【答案】A【详解】分析：由题意排除错误选项即可确定正确选项. 详解：当0ab 时，220a b +=，选项B 错误；当1a =-，2b =-时，339a b +=-，226a b ab +=-，不满足3322a b a b ab +≥+，选项C 错误； 当1a =-时，12a a+=-，选项D 错误； 而()()2232120a a a +-=-+>，故232a a +>恒成立.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查不等式的性质，排除法求解选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．命题：“2,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是（ ） A ．2,10x R x x ∀∈-+> B ．2,10x R x x ∀∈-+≤ C ．2,10x R x x ∃∈-+> D ．2,10x R x x ∃∈-+≥【答案】A【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案.【详解】命题:p x R ∃∈，210x x -+≤为特称命题，其否定是:x R ∀∈，210x x -+>， 故选：A6．设集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}|2B x x A x A =∈∈,，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先求出集合B ,再确定元素个数.【详解】因为{}1,0,1,2,3,4A =-,{}|2B x x A x A =∈∈,, 所以{}0,1,2B =, 所以集合B 中有3个元素, 故选:C.【点睛】本题考查集合,属于简单题.7．已知0,0,236x y x y >>+=，则xy 的值可能为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用基本不等式直接求解即可 【详解】0,0,236x y x y >>+=，623x y ∴=+≥=3∴302xy <≤， 当且仅当23x y =，即3,12x y ==取等号，所以xy 的取值范围为30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦， 故选：B【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥ B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤【答案】C【分析】根据特称命题的真假关系，转化为能成立问题，从而转化为最值问题进行求解即可得答案． 【详解】命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题，即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36a x x ≥+能成立设36()f x x x =+，则36()12f x x x =+≥，当且仅当36x x=，即6x =时，取等号，即min ()12f x =，12a ∴≥， 故a 的取值范围是12a ≥． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查存在量词的命题的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不等式求最值是解决本题的关键，属于中档题．二、多选题9．下列叙述正确的是（ ） A ．集合N 中的最小数是1B ．{|1}{|1}x x x x >⊆≥C ．方程2690x x -+=的解集是{3}D ．{4,3,2}与{3,2,4}是相等的集合【答案】BCD【分析】利用自然数集元素的大小判断A ；利用集合的包含关系判断B ；利用方程的解判断C ；利用集合的基本性质判断D.【详解】对于A ，集合N 中的最小数是0，不是1，故A 错误； 对于B ，{|1}{|1}x x x x >⊆≥满足集合的包含关系，故B 正确；对于C ，方程2690x x -+=的解为123x x ==，故其解集是{3}，故C 正确； 对于D ，{4,3,2}与{3,2,4}是相同的集合，满足集合的基本性质，故D 正确. 故选：BCD10．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ) A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc ≥ C ．若0a b >>，则()0a b c -> D ．若a b >，则a c b c ->- 【答案】BD【分析】根据不等式的性质判断即可．【详解】对于A ，取21,12a b c d =>==->=-，此时ac bd =，故A 错误；对于B ，由2c ≥0时，利用不等式的性质，不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变，可知22ac bc ≥，故B 正确；对于C ，0a b >>，0a b ∴->，当0c ≤时，()0a b c -≤，故错误； 对于D ，由不等式的性质，两边同时减一个数，不等号方向不变，故D 正确； 故选：BD【点睛】易错点睛：本题考查不等式的性质，不等式的性质中，不等式两边乘以同一个正数，不等式方向不变，两边乘以同一个负数，不等号方向改变，这个性质容易出现错误：一是不区分所乘数的正负，二是不区分是否为0．11．若“2340x x +-<”是“()222330x k x k k -+++>”的充分不必要条件，则实数k可以是（ ） A ．-8 B ．-5C ．1D ．4【答案】ACD【分析】分别求出两个不等式的解集，根据题意知(4,1)-(,)(3,)k k -∞⋃++∞，从而求得k 的取值范围.【详解】2340x x +-<，解得41x -<<，()222330x k x k k -+++>即()[(3)]0x k x k --+>，解得x k <或3x k >+，由题意知(4,1)-(,)(3,)k k -∞⋃++∞，所以1k 或34k +≤-，即(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞. 故选：ACD【点睛】本题考查一元二次不等式，根据集合的包含关系求参数，属于基础题. 12．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B ≤C ．333a b +≥D ．222a b +≥【答案】AD【分析】利用2a b +=≥A ；利用()22=++≤+a b a b 判断B ；利用3322()()a b a b a ab b +=+-+判断C ；利用()2222a b a b ab +=+-判断D ；【详解】因为0a >，0b >，2a b +=，对于A ，a b +≥，12a b+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，224a b =++=+≤2，当且仅当1a b ==时取等号，故B 错误；对于C ，()()23322()()()32432a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤+=+-+=++-≥⨯-=⎣⎦，当且仅当1a b ==时取等号，故C 错误；对于D ，结合1ab ≤，()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 正确. 故选：AD【点睛】关键点点睛：本题主要考查基本不等式的应用，完全平方差公式及三次公式3322()()a b a b a ab b +=+-+的应用是解题的关键，考查了学生的转化求解问题的能力，属于中档题.三、填空题13．已知集合{|12,}A x x x Z =-≤≤∈，集合{|0}B x x =>，则集合A B 的子集个数为________． 【答案】4 【分析】先求得A B ，由此求得集合A B 的子集个数.【详解】{}{|12,}1,0,1,2A x x x Z =-≤≤∈=-，{}0B x x =>，{}1,2A B ∴=，共有2个元素，故集合A B 的子集个数为224=个.故答案为：414．若1x >，且1x x +=1x x-=__________． 【答案】2-【分析】计算出21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，由1x >，可得出10x x -<，由此可求得1x x -的值.【详解】1x >，所以，2110x x x x--=<，222222111122444x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=++-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，12x x -=-. 故答案为：2-.15．能够说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题的一个x 值为__________． 【答案】3【分析】取3x =代入验证即可得到答案. 【详解】因为*3x =∈N ，而3223<， ∴说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题． 故答案为：3【点睛】本题考查命题与简易逻辑，属于基础题． 16．已知1,0x y ，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为________． 【答案】10【分析】根据2121x y x y +=-++，先利用基本不等式“1”的代换求12x y -+的最小值，再求结果. 【详解】1,0x y 且1211x y+=-，()2(1212121)255911x x y x y y x y x y ⎛⎫-∴==++≥+-= ⎪-++-⎝⎭+-（当且仅当2(1)21x yy x -=-，即4,3x y ==时取等号）， ()min 912x y ∴+=-，()min 210x y +∴=故答案为：10【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“1”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{|4},{|66}A x x B x x =>=-<<． （Ⅰ）求A B 和A B ；（Ⅱ）求UB ．【答案】（Ⅰ）{}|46A B x x =<<，{}|6A B x x ⋃=>-；（Ⅱ）{|6U B x x =≤-或}6x ≥【分析】根据集合的基本运算求解即可. 【详解】（Ⅰ）{}|4A x x =>,{}|66B x x =-<<，{}|46A B x x ∴=<<,{}|6A B x x ⋃=>-（Ⅱ）U =R ，{}|66B x x =-<<，{|6U B x x ∴=≤-或}6x ≥18．已知集合{}2|20A x x x =--=，{}2|230B x x ax a =++-=． （Ⅰ）若2a =，求A B ；（Ⅱ）若()B A B ⊆，且B ≠∅，求实数a 的取值集合．【答案】（Ⅰ）{}1,2AB =-；（Ⅱ）{}2【分析】（Ⅰ）解方程求得集合A ，将2a =代入求得集合B ，再利用集合的并集运算即可；（Ⅱ）由B ≠∅，求得6a ≥或2a ≤，分类讨论集合B 中有且只有一个元素求得a 的值和集合B 中有两个元素满足即{}1,2B =-，求得a 的值，从而得结果.【详解】（Ⅰ）{}{}2|201,2A x x x =--==-，当2a =时，{}(){}{}22|210|101B x x x x x =++==+==-{}1,2A B ∴=-（Ⅱ）B ≠∅，()24230a a ∴∆=--≥，解得：6a ≥或2a ≤①当2a =或6a =时，集合B 中有且只有一个元素， 当2a =时，{}1B =-，{}1A B ⋂=-，满足()B A B ⊆，符合题意；当6a =时，{}3B =-，AB =∅，不满足题意；②当6a >或2a <时，集合B 中有两个元素，要满足()B AB ⊆，需{}1,2A B ==-；则方程()223260x a x a +-+-=有两个不相等的实数根11x =-，22x =，由韦达定理得223162a a -=⎧⎨-=-⎩，解得：2a =，此时无解；综上所述实数a 的取值的集合为{}2.【点睛】关键点点睛：本题考查集合运算中的交集和并集运算，及利用集合的包含关系求参数，解题的关键是能够通过交集运算及集合的包含关系分类讨论集合B 的可能结果，从而得到实数a 的取值范围，考查学生的逻辑推理与分类讨论思想，属于中档题. 19．已知a >0，b >0，且2a +b =ab . （1）求ab 的最小值； （2）求a +2b 的最小值. 【答案】（1）8；（2）9. 【分析】（1）变换得到121a b+=，再利用均值不等式计算得到答案. （2）变换122(2)a b a b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）因为2a +b =ab ，所以121a b+=，a >0，b >0，故121a b =+≥1212a b ==，即a =2，b =4时取等号， 所以ab ≥8，即ab 的最小值为8；（2）12222(2)559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b aa b=，即a =b =3时取等号，所以a +2b 的最小值为9. 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换121a b+=是解题的关键. 20．已知不等式231x +<的解集为集合A ，不等式22(22)20x a x a a -+++≤的解集为集合B ，（Ⅰ）当2a =-时，求集合B ；（Ⅱ）设条件:p x A ∈，条件:q x B ∈，若q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}20B x x =-≤≤；（2）[]3,2--【分析】（1）解不等式22(22)20x a x a a -+++≤得{}2B x a x a =≤≤+，再将2a =-带入即可得答案；（2）由（1）得{}2B x a x a =≤≤+，进一步解绝对值不等式得{}21A x x =-<<-，故根据题意得A B ，再根据集合关系求解即可.【详解】（1）解不等式()()22(22)220x a x a a x a x a -+++=---≤得2a x a ≤≤+，故{}2B x a x a =≤≤+，所以当2a =-时，{}20B x x =-≤≤， （2）由（1）得{}2B x a x a =≤≤+，解不等式231x +<得21x -<<-，故{}21A x x =-<<-， ∵q 是p 的必要不充分条，∴ p 是q 的充分不必要条件，∴ AB ，故221aa -≥⎧⎨+≤-⎩，解得：32a -≤≤-，实数a 的取值范围是[]3,2--【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 21．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(020100kC x x k x =≥+，为常数).记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释(0)C 的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式； （2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）；（2）当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．【详解】试题分析：（1）根据题意知，将其代入()(020100kC x x kx =≥+，为常数）即可求出参数，即可求出F 关于x 的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进 而求出函数的最小值. 试题解析：（1）(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费.由(0)24100kC ==,得2400k = 所以24001800150.50.5,0201005F x x x x x =⨯+=+≥++ （2）因为18000.5(5)0.250.2559.755F x x =++-≥=+ 当且仅当18000.5(5)5x x =++,即55x =时取等号 所以当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．（2）导数解法：218000.5(5)F x ++'-=，令0F '=得55x = 当55x <时，0F '<，当55x >时，0F '>． 所以当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．【解析】导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．22．命题12:{|22},{|14}p x x x x x x ∀∈-≤≤∃∈≤≤，使2221124934x x ax a x +++-≥成立．是否存在实数a ，使命题p 为真命题？如果存在，求出实数a 的取值范围，如果不存在，请说明理由．【答案】存在，实数a 的取值范围[]4,0-【分析】构造函数2111()3f x x ax a =++-，222249()4x g x x +=，由已知条件将问题转换为()()12min min f x g x ≥，利用基本不等式求()2min g x ，分类讨论求()1min f x ，构造不等式即可得求出实数a 的取值范围.【详解】存在实数a ，使得命题p 为真命题，理由如下：命题12:{|22},{|14}p x x x x x x ∀∈-≤≤∃∈≤≤，使2221124934x x ax a x +++-≥成立，令2111()3f x x ax a =++-，222249()4x g x x +=，则问题转化为12{|22},{|14}x x x x x x ∀∈-≤≤∃∈≤≤，()()12min min f x g x ≥222222499()344x g x x x x +=≥==+当且仅当2294x x =，即232x =时等号成立，故()2min 3g x =2111()3f x x ax a =++-，对称轴为12ax =-，开口向上 （1）当4a ≥，即22a-≤-时，函数1()f x 在[]22-,上单调递增， ()()1min2733f x f a =-=-≥，解得：43a ≤，此时无解；（2）当44a -<<，即222a -<-<时，函数1()f x 在2,2a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,22a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增， ()221min33422a a af x f a ⎛⎫==-+-≥ ⎪⎝⎭-，解得：40a -≤≤，即40a（3）当4a ≤-，即22a-≥时，函数1()f x 在[]22-,上单调递减， ()()1min 273f x f a ==+≥，解得：4a ≥-，此时4a =-；综上可知，实数a 的取值范围为：[]4,0-【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()12max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈,[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()1f x 的值域是()2g x 值域的子集 ．。

河北省石家庄市第二中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知{}4,5,6,7A =，{}6,7,8B =，若U A B =⋃，则()U A B = ð（）A ．{}6,7B ．{}4,5,6,7,8C ．{}4,5,8D ．∅2．已知函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，则函数()()y f x g x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．下列各函数中，值域为()0,∞+的是（）A ．()22log 23y x x =+-B ．y =C ．212x y -+=D ．113x y +=4．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（）A ．12B ．23C ．32D ．25．若α是第四象限角，2sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．5B．5-C．5±D．56．函数()f x 在[)0,∞+单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．][(),22,∞∞--⋃+C ．][(),04,∞∞-⋃+D ．[]0,47．设2log 3a =，3log 4b =， 1.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．c b a>>8．已知函数1,0()1,0x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程2()(4)()2(2)0f x m f x m +-+-=有五个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．[1,3)B ．(0,2)C ．[1,2)D ．(0,1)二、多选题9．设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．221c a b=+D ．121c b a=-10．下列函数中，最小正周期为π的是（）A ．sin y x=B ．sin y x=C ．cos 2y x=D ．cos 2y x=11．已知a Z ∈，关于x 一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．6B ．7C ．8D ．912．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()(),,,,,a b c D f a f b f c ∈分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（）A ．()4sin f x x=-B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()ππsin ,,42f x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦D ．()ππsin 20,34f x x x ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦三、填空题13．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点4π4πsin ,cos 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()cos πα+=______．14．已知幂函数()y f x =的图像过点(4,2)，则不等式()22(2)f x x f x -<-的解集为__________．15．已知()213()log 3f x x ax a =-+在区间[1,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是____________.16．已知关于x 的方程212221xaxx ax +-=-+-在区间1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______________.四、解答题17．已知tan 2.α=求：(1)πsin(π)2sin 22cos(π)ααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-(2)224sin 3sin cos 5cos .αααα--18．已知命题p ：关于x 的方程()2232230x m x m m --+--=的两根均在区间()5,4-内.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值集合A ；(2)设{}11B ma m a =-<<+∣，是否存在实数a ，使得“m A ∈”是“m B ∈”的必要不充分条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.19．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的最小正周期π．(1)求函数()f x 单调递增区间；(2)若函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数m 的取值范围．20．已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量t （单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为18000元.(1)写出y （单位：元）关于t （单位：克）的函数关系式；(2)若把一块该种矿石切割成重量比为1：4的两种矿石，求价值损失的百分率；(3)把一块该种矿石切割成两块矿石，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大.注：价值损失的百分率=原有价值-现有价值原有价值×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计.21．设函数()()12221x xf x -=-.(1)判断函数()f x 的奇偶性并证明；(2)设0m >，若()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围.22．已知()()21,3273x mmx nf xg x x -+⎛⎫==⎪+⎝⎭，其中,m n ∈R ，且函数()y f x =为奇函数；(1)若函数()y f x =的图像过点()1,1A ，求()f x 的值域；(2)设函数()()(),39,3f x x h x g x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对任意[)13,x ∈+∞，总存在唯一的()2,3x ∈-∞使得()()12h x h x =成立，求实数m 的范围；参考答案：1．C【分析】根据集合交集、并集、补集的运算，可得答案.【详解】{}4,5,6,7,8U A B == ，{}6,7A B = ，则(){}4,5,8U A B = ð.故选：C.2．A【分析】根据函数()y f x =和()y g x =的性质和符号即可得到结论.【详解】由已知，函数()y f x =和()y g x =均为偶函数，所以，函数()()y f x g x =为偶函数；又因为，当2x >时，()0f x <，()0g x <，则应有()()0f x g x >恒成立.只有A 项符合要求.故选：A.3．C【分析】根据指数、对数函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．【详解】解：∵()2223144x x x +-=+-≥-，∴()22log 23y x x =+-的值域是R ，不满足条件．∵0121x ≤-<，则函数的值域为[)0,1，不满足条件．∵2120x y -+=>，即函数的值域为()0,∞+，满足条件．∵()()1,00,1x ∈-∞+∞+ ，∴()()1130,11,x y +=∈+∞ ，不满足条件．故选：C ．4．C【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，则23,13,2r r αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,32r α=⎧⎪⎨=⎪⎩故选：C ．5．A【分析】求出3πα+的取值范围，结合诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】由已知可得()222k k k Z ππαπ-<<∈，则()22633k k k Z ππππαπ-<+<+∈，所以，cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此，sin sin cos 62335ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.6．D【分析】由函数的对称性可求出函数关于y 轴对称，再由单调性将()21f x -≤转化成不等式求解即可.【详解】解：因为(3)f x +的图像关于直线3x =-对称，所以()f x 的图像关于y 轴对称，则有(2)(2)1f f -==，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以由(2)1f x -≤可得222x --，解得04x ≤≤，故选：D.7．C【分析】利用对数函数的性质及放缩法有22log 3log a =>33log 4log b =<较a ，b 的大小，再由8555(2)3>并构造5y x =，根据其单调性即可确定a ，c 的大小.【详解】由题意，223log 3log 2a =>=，332log 4l og 3b ==<，∴a b >，由8523>，则8555(2)3>，而5y x =在(0,)+∞上递增，∴8523>，故8252823lo 5g log =>，即c a >，∴c a b >>.故选：C 8．C【分析】作出()f x 的图象，令()t f x =，则2(4)2(2)0t m t m +-+-=，由题意结合图象可知方程有两个不相等的根12,t t ，且1201,1t t <≤>，或10t =，21t =，令2()(4)2(2)g t t m t m =+-+-，则结合一元二次方程根分布情况可求得结果.【详解】()f x的图象如下图，令()t f x =，则2(4)2(2)0t m t m +-+-=，因为关于x 的方程2()(4)()2(2)0f x m f x m +-+-=有五个不同的实数根，所以由函数图象可知关于t 的方程2(4)2(2)0t m t m +-+-=有两个不相等的实根12,t t ，且1201,1t t <≤>，或10t =，21t =，令2()(4)2(2)g t t m t m =+-+-，若1201,1t t <≤>，则Δ0(0)0(1)0g g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即()2Δ48(2)0(0)20(1)142(2)0m m g m g m m ⎧=--->⎪=->⎨⎪=+-+-≤⎩，解得12m <≤，若10t =，21t =，则014012(2)m m +=-⎧⎨⨯=-⎩，无解，综上，12m <≤，故选：C 9．AD【分析】利用与对数定义求出a ，b ，c ，再根据对数的运算性质可得log 4log 92log 6M M M +=，然后进行化简变形即可得到.【详解】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=.故选AD.【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.10．AD【分析】利用特殊值排除B ，利用图象以及三角函数最小正周期的知识求得正确答案.【详解】A 选项，sin y x =的图象如下图所示，由此可知sin y x =的最小正周期为π.B 选项，令()sin f x x =，3π3π3πππsin 1,πsin 122222f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==--+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3π3ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-≠-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 选项错误.C 选项，令()cos 2g x x =，()()πcos 2πcos 2cos 22g x x x x g x⎛⎫+=+=-== ⎪⎝⎭，所以π不是cos 2y x =的最小正周期.D 选项，对于函数cos 2y x =，当20≥x 时，cos 2y x =，当20x <时，()cos cos 22y x x ==-，所以cos 2cos 2y x x ==，其最小正周期为2ππ2T ==，D 选项正确.故选：AD 11．ABC【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得(1)(5)0(2)(4)0f f f f =>⎧⎨=≤⎩求a 的范围，即知其可能值.【详解】由2()6f x x x a =-+开口向上且对称轴为3x =，∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则(1)(5)50(2)(4)80f f a f f a ==->⎧⎨==-≤⎩，解得58a <≤，∴a 的可能值A 、B 、C.符合.故选：ABC.12．ACD【分析】分别选项中函数的最值，根据条件转化为判断max min ()2()f x f x <是否恒成立，即可判断选项.【详解】由题可知“三角形函数”的函数满足max min ()2()f x f x <恒成立，①()4sin f x x =-，则max min ()415,()413f x f x =+==-=,则max min ()2()f x f x <恒成立，则A 满足条件；②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=⎪⎝⎭-+ ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤，所以当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值min ()11f x =，当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，max ()23f x =，则max min ()2()f x f x <不恒成立，则B 不满足条件；③函数单调递增，()max π12f x =+，()min π4f x =+，满足条件max min ()2()f x f x <恒成立，故C 满足条件；④()πsin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭πππ5π0,,2,4336x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则max min π5π1()sin 12()sin 22262f x f x =++=++，所以min 2()1f x =+max min ()2()f x f x <恒成立，故D 满足条件.故选：ACD.13．2【分析】由诱导公式求出点P 的坐标，由三角函数的定义求出cos α的值，再由诱导公式即可求解.【详解】因为4πππsinsin πsin 333⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭4πππ1cos cos πcos 3332⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为角α的终边经过点12P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为1OP =，所以2c os OP α==所以()cos πcos 2αα+=-=故答案为：2.14．(]1,0-##{}10x x -<≤【分析】根据题意，求出函数()y f x =，结合单调性与一元二次不等式，即可求解.【详解】因幂函数()y f x =的图像过点(4,2)，所以设()f x x α=且42α=，解得12α=，又因12()f x x ==在[)0,∞+上单调递增，且()22(2)f x x f x -<-，所以2022x x x ≤-<-，解得10-<≤x .故答案为：(]1,0-.15．1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】根据复合函数单调性的判断方法,结合对数函数的定义域,即可求得a 的取值范围.【详解】()213()log 3f x x ax a =-+在区间[1,)+∞上单调递减由对数部分为单调递减,且整个函数单调递减可知()23x x a g ax -+=在[1,)+∞上单调递增,且满足()10g >所以12130aa a -⎧-≤⎪⎨⎪-+>⎩,解不等式组可得212a a ≤⎧⎪⎨>-⎪⎩即满足条件的a 的取值范围为1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦故答案为:1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了复合函数单调性的应用,二次函数的单调性,对数函数的性质,属于中档题.16．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】经整理可得212212xax x ax +++=+，故构造函数()2x f x x =+，()2xf x x =+在R 上单调递增可得21x ax +=，转化为1a x x =+在1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，再根据对勾函数1()g x x x=+的图像与性质，即可得解.【详解】由212221xax x ax +-=-+-可得：212212xax x ax +++=+，构造函数()2x f x x =+，由2,x x 在R 上都为增函数，则()2x f x x =+在R 上单调递增，故由2(1)()f x f ax +=，就有21x ax +=，即21x ax +=在1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，即1a x x =+在1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，如图考查对勾函数1()g x x x=+的图像，在1x =时取最小值，由11710(1)2,(),(3)443g g g ===，所以若要两个交点可得1023a <≤，实数a 的取值范围为102,3⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：102,3⎛⎤⎥⎝⎦.17．(1)0(2)1【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法计算作答.（2）根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算作答.【详解】（1）因tan 2α=，所以πsin(π)2sin sin 2cos tan 2202cos(π)2cos 2ααααααα⎛⎫++- ⎪-+-⎝⎭==--.（2）因tan 2α=，所以2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+22224tan 3tan 5423251tan 121ααα--⨯-⨯-===++.18．(1){}13A m m =-<<；(2)存在，(,2)a ∈-∞.【分析】（1）先求出22(32)230x m x m m --+--=的两个解，在根据两根均在区在(5,4)-内，列出不等式组，求出实数m 的取值集合A ；（2）根据p 是q 的必要不充分条件得到B 是A 的真子集，分B =∅与B ≠∅求解实数a 的取值范围.【详解】（1）由22(32)230x m x m m --+--=得:[(1)][(23)]0x m x m -+--=，所以1x m =+或23x m =-，因为命题p 为真命题，所以5145234m m -<+<⎧⎨-<-<⎩，得13m -<<.所以{}13A m m =-<<（2）集合{}13A m m =-<<，集合{}11B m a m a =-<<+，由题设，B 是A 的真子集，当B =∅时，11a a -≥+，解得:0a ≤；满足题意当B ≠∅时，111113a a a a -<+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩或111113a aa a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，解得：02a <<.综上所述：2a <，所以存在实数(,2)a ∈-∞，满足条件.19．(1)5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)[]2,1m ∈-【分析】（1）由最小正周期求得ω，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；（2）转化为求()f x 在[0,2π上的值域．【详解】（1）因为函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的最小正周期π，所以2T ππω==，由于0ω<，所以2ω=-．所以()2sin 22sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 单调递增区间，只需求函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间，令3222,Z 262k x k k πππππ+-+∈，解得5,Z 36k x k k ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 单调递增区间为5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（2）因为函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有零点，所以函数()y f x =的图像与直线y m =在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有交点，因为50,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-所以当[]2,1m ∈-时，函数()y f x =的图像与直线y m =在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有交点，所以当[]2,1m ∈-时，函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点．20．(1)()220000y t t =>(2)32%(3)1:1【分析】（1）由题意设()20y kt t =>，然后代入求解k ；（2）先计算重量比为1:4切割后的价值，然后代入价值损失的百分率公式求解；（3）设一块该种矿石按重量比为m n :切割成两块，然后计算价值损失的百分率，然后利用基本不等式求解最值.【详解】（1）解：由题意可设()20y kt t =>，当3t =时，918000y k ==，2000k ∴=，故()220000y t t =>.（2）设这块矿石的重量为a 克，由（1）可知，按重量比为1:4切割后的价值为22142000200055a a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，价值损失为2221420002000200055a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，价值损失的百分率为22221420002000200055100%32%2000a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯=.（3）设这块矿石的重量为a 克，由（1）可知，按重量比为m n :切割后的价值为2220002000m n a a m n m n ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，价值损失为222200020002000mna a a m n m n⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，价值损失的百分率为2222200020002000100%2000m n a a a m n m n a⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯()22221m n mn m n m n m n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦，又()()22222122m n mnm n m n +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭≤=++，当且仅当m n =时取等号，即重量比为1:1时，价值损失的百分率达到最大.【点睛】解函数应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意将实际问题抽象成函数问题．(3)根据题意选择合适的函数模型求解．21．(1)函数()f x 是奇函数，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可证明；（2）先求出函数()f x 的单调性，利用单调性将不等式()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，转化为()2210mx m x m -++>，再分类讨论m 即可求出x 的取值范围.【详解】（1）解：函数()f x 是奇函数，证明如下：函数()()()12221222x x x xf x --=-=-，x ∈R ，因为，()()()()222222x x x x f x f x ---=-=--=-，且()()0002220f =-=所以，函数()f x 是奇函数.（2）解：()()222x xf x -=- ，设12x x <，则()()1212121212112222221222122x x x x x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝-=+⎭⎝⎭⎝⎭()12121212122212222221222x x x x x x x x x x +⎛⎫-⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，12x x < ，121222220x x x x ∴<⇒-<，而121102x x ++>，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <()f x \在R 上是增函数，若()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()211m x f x mx f f x m m -⎛⎫⎛⎫->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211x mx x m∴->-，即()2210mx m x m -++>，已知0m >，令()()221g x mx m x m =-++=解得1x m =或21x m=，①当01m <<时，要使()0g x >，则()1,,x m m ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，②当1m =时，此时()()222110g x x x x =-+=-≥，要使()0g x >，则1x ≠；③当1m >时，要使()0g x >，则()1,,x m m ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，综上，若()20m x f x mx f m -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当01m <<时，x 的取值范围为()1,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭；当1m =时，x 的取值范围为()(),11,-∞+∞ ；当1m >时，x 的取值范围为()1,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.22．(1)55,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)()0,6【分析】（1）由()f x 图像过()1,1A 及为奇函数，可求得()f x 解析式，后利用分类讨论，基本不等式结合函数奇偶性可得函数值域；（2）经验证可得，当0m ≤时，不合题意.当0m >时，经计算可得()1018,m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，对于03m <<，由图像分析可得答案.对于3m ≥，由值域关系可得答案.【详解】（1）函数()2327mx nf x x +=+为奇函数，可得()()f x f x -=-，即22327327mx n mx nmx n mx n x x -++=-⇒-+=--++，则0n =.由()f x 的图像过()1,1A ，可得()11f =，即130m=，解得30m =；所以()2230103279x xf x x x ==++.当0x =时，()0f x =；当0x >时，()1009f x x x=>+，又96x x +≥=，当3x =时取等号，则()1050,93f x x x⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦+.又()f x 为奇函数得：0x <时，()5,0.3f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故()f x 值域为55,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）当3x ≥时，()()2273273mx mh x f x x x x===++；当3x <时，()()1993x mh x g x -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭.①当0m ≤时，13x ∀≥时()()1111273mh x f x x x ==≤+；23x ∀<时()()22219903x mh x g x -⎛⎫==⋅> ⎪⎝⎭不满足题设；②当03m <<时，13x ∀≥时()()111127183m m h x f x x x ===+，当13x =取等号，又()1f x 0>，则()1018,m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.设()()2733,,p x x x x=+∈+∞，则任意()12,3,x x ∈+∞，12x x <.()()()121212123270x x p x p x x x x x --=-⋅<.得()p x 在()3,+∞上单调递增，即()()mh x p x =在[)3,+∞上单调递减.注意到当x m ≤时，()193m xh x -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得()h x 在(],m -∞上单调递增，当3m x <<时，()193x mh x -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得()h x 在(),3m 上单调递减.又令()()13036，,x n x x x =-∈，()113ln 3ln 3066x n x =->->'.得()n x 在()0,3上单调递增，则()30306x xn ->=>，则31193031836mm m m -⎛⎫⎛⎫⋅-=-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由此可画出()h x 大致图像如下：由图可得，当03m <<时满足题设；③当3m ≥时，13x ∀≥时，()()11110,27183mm h x f x x x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦+，且()h x 在[)3,+∞上单调递减.当3x <时，()193m xh x -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得()h x 在(),3-∞上单调递增，则此时，()351933m m h x --⎛⎫<⋅= ⎪⎝⎭,即此时()()250,3mh x -∈.要使对任意[)13,x ∈+∞，总存在()2,3x ∈-∞使得()()12h x h x =成立，则0,18m ⎛⎤ ⎝⎦()50,3m-⊆，又由单调性知，此时的12,x x 是唯一的.令()5318x x H x -=-，因53,18xx y y -==-均在R 上单调递减，则()H x 在R 上递减，又()60H =，则()()55330661818m m m mH m H m --<⇔->⇔>⇒<，即36m ≤<满足题设.综上，m 的范围是()0,6.【点睛】结论点睛：对于含有全称量词，特称量词的题目，有以下常见结论：()()()()1212min min ,,x A x B f x g x f x g x ∀∈∃∈≥⇒≥；()()()()1212max max ,,x A x B f x g x f x g x ∀∈∃∈≤⇒≥；()()(){}(){}1212,,x A x B f x g x f x x A g x x B ∀∈∃∈=⇒∈⊆∈.。

河北省大名县一中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案2020届高一第一次月考数学试卷考试时间:90分钟一.单项选择题:每题5分，共计40分.1。

已知集合M＝{－1,0，1},N＝{0,1，2｝，则M∪N＝（）A．｛－1，0，1}B．{－1，0，1,2}C．{－1,0，2} D．{0，1}2．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(）A．－5 B．－4C．4 D．53。

不等式(x＋1）（x－2）≤0的解集为()A．{x｜－1≤x≤2} B.{x|－1＜x＜2｝C．｛x|x≥2或x≤－1｝D。

{x｜x＞2或x＜－1｝4。

集合{y｜y＝－x2＋6，x,y∈N}的真子集的个数是()A．9 B．8C．7 D．65．函数y＝错误!（x〉1)的最小值是（)A．2错误!＋2 B．2错误!－2C．2错误!D．26．如图，已知全集U＝R，集合A＝｛x|x＜－1或x＞4｝，B＝{x｜－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(）A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．｛x｜－2≤x≤－1}D．{x｜－1≤x≤3}7．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是()A．－2＜α－β＜0 B。

－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D.－1＜α－β＜18。

已知正实数a，b满足a＋b＝3,则错误!＋错误!的最小值为（）A．1 B。

错误!C.98 D.2二．多项选择题：全部选对得5分，部分选对得3分,有选错的得0分.共计20分9．（多选)下列说法错误的是（)A．在直角坐标平面内,第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0｝B．方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为｛－2,2}C．集合｛(x，y)|y＝1－x｝与{x｜y＝1－x}是相等的D．若A＝｛x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A10。

(多选)满足M⊆｛a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M可能是（）A．｛a1,a2｝B．｛a1，a2，a3｝C．{a1，a2,a4｝D．｛a1，a2，a3，a4｝11。

2020-2021学年第一学期第一次考试高二数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级及学号填涂在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.本试卷共6页，22小题，满分150分。

测试用时120分钟。

不能使用计算器。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线√3x +y −2=0的倾斜角为（ ） A ．30∘B ．150∘C ．120∘D ．60∘2．下列说法正确的是（ ） A ．a//b ，b ⊂α⇒a//α B ．a ⊥b ，b ⊂α⇒a ⊥α C ．a ⊥α，b ⊥α⇒a//bD ．α⊥β，a ⊂β⇒a ⊥α3．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( ) A ．13 B ．17 C ．19 D ．21 4．过点（1，-3）且平行于直线x +2y -3=0的直线方程为（ ） A ．x −2y −7=0B ．2x +y +1=0C ．2x −y −5=0D ．x +2y +5=05．设直线0x y a -+=与圆x 2+y 2+2x −4y +2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=2，则a =（ ）A．-1或1 B．1或5 C．-1或3 D．3或56．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+15.5，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（）A．45 B．50 C．55 D．607．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾､坤､震､巽､坎､离､艮､兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为（）A．18B．14C．38D．128．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．283πB．√223πC．73πD．√7π二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。

2020-2021学年河北省石家庄市某校高二下学期第一次月考 (化学)试卷一、选择题1. 提出“杂化轨道理论”的科学家是（）A.门捷列夫B.普鲁特C.玻尔D.鲍林2. 下列各组元素中不符合“对角线法则”的是（）A.Li、MgB.C、PC.B、SiD.Be、Al3. 下列基态原子或离子的相关电子排布图正确的是（）A.Fe3+的价电子：B.Cr原子的价电子：C.N原子的核外电子：D.S2−的L层电子：4. 短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，W、X同周期且基态原子均含有2个未成对电子。

Z的单质常温下为气体且价电子数和：W+X=Y+Z，下列有关说法正确的是（）A.简单离子半径：X<YB.最高正价：X>WC.Y与Z形成的化合物为非电解质D.W、Z形成的二元化合物中可能同时含有σ键和π键5. 下列关于卤族元素单质及其化合物的结构与性质说法错误的是（）A.相对分子质量：CH2Cl2>CH3Cl，因此熔沸点：CH2Cl2>CH3ClB.键长H−Br>H−Cl，因此稳定性：HCl>HBrC.单质氧化性F2>Cl2，因此F2可氧化水溶液中的Cl−D.非金属性：Cl>Br，因此含氧酸酸性：HClO4>HBrO46. 下列关于物质结构和性质的说法正确的是（）A.BF3中的键角大于BF4−的键角B.CH3CN中σ键和π键的数目之比为4:3C.含氧酸酸性：HClO>HClO2D.CH3OH易溶于水的原因仅仅是因为CH3OH和水分子都是极性分子7. 反应SiHCl3(g)+H2(g)===Si(s)+3HCl(g)可用于纯硅的制备，下列说法正确的是（）A.SiHCl3中Si原子的杂化方式为sp2杂化B.SiHCl3中Si元素的化合价为+2C.键长：Si−Si>C−C，故键能：Si−Si<C−CD.HCl易溶于水是因为HCl和水分子之间能形成氢键8. 已知X、Y元素同周期，且电负性X大于Y，下列说法一定错误的是（）A.第一电离能：Y大于XB.气态氢化物的稳定性：Y大于XC.最高价含氧酸的酸性：X强于YD.X和Y形成化合物时，X显负价，Y显正价9. 已知HF沸点为19.5∘C，BF3沸点为−100∘C，HF+BF3===HBF4，下列有关说法错误的是（）A.HBF4中B原子为sp3杂化B.BF3和HBF4分子中B最外层均为8e−稳定结构C.HBF4中存在配位键D.HF沸点高于BF3沸点的原因可能为HF分子之间存在氢键10. 根据价层电子对互斥理论，NCl3、SO2、SO3、BF3的气态分子中，中心原子价层电子对数不同于其他分子的是（）A.NCl3B.SO2C.SO3D.BF311. 元素的基态气态原子得到一个电子形成气态−1价离子时所放出的能量称作第一电子亲和能（E），−1价阴离子再获得一个电子的能量变化叫做第二电子亲和能，部分元素或离子的电子亲和能数据如表所示。

芝华中学2020-2021学年高一上学期第一次阶段考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若集合A ={x |-1≤x ≤2,x ∈N},集合B ={2,3},则A ∪B 等于 ( )A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{2}2.若命题p :∃x ∈R,x 2+2x +1≤0,则命题p 的否定为 ( )A .∃x ∈R,x 2+2x +1>0B .∃x ∈R,x 2+2x +1<0 C .∀x ∈R,x 2+2x +1≤0 D .∀x ∈R,x 2+2x +1>03．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a ≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2 D ．x 2＋3x 2≥2 3 4.若p :0232<+-x x q :2x >1,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．若集合A ＝{x |(1-2x)(x －3)>0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}6.若集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x ≥1},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )A.{-1}B.{0}C.{-1,0} D .{-1,0,1}7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处8.在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A ．{a |3<a <4}B ．{a |－2<a <－1或3<a <4}C ．{a |3<a ≤4}D ．{a |－2≤a <－1或3<a ≤4}二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的四个选项有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.若集合A ={x |x 2-2x =0},则有 ( )A.⌀⊆AB.-2∈AC.{0,2}⊆AD.A ⊆{y |y <3}10．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( )A ．ab 有最大值14 B.a ＋b 有最小值 2 C.1a ＋1b 有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值2211．设集合A ＝{x |x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，集合A ∪B 中所有元素之和为7，则实数a 的值为( )A ．0B ．1 或2 C.3D ．412.若不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )A ．b ＜0且c ＞0B ．a －b ＋c ＞0C ．a ＋b ＋c ＞0D ．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |－2＜x ＜1}三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是14．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，若A ⋂B ∅≠则a ＝ .15.已知p :4x -m <0,q :-2≤x ≤2,若p 是q 的一个必要不充分条件,则m 的取值范围为16.某地每年销售木材约20万m 3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．四、解答题：共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(10分)已知A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－3<x ≤3}，求A B ，∁R (A ∩B )，18.（12分）解下列不等式： （1）32-2-<+x x ； （2）0122≤+-x x19.（12分）已知关于x 的不等式a x 2+b x ＋4>0．若不等式的解集是{x|-4<x<1}求a,b 的值；20.(12分)已知命题p :3a <m <4a (a >0),命题q :1<m <23,且q 是p 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.21.(12分)已知集合A ={x ∈R|ax 2-3x +2=0,a ∈R}. (1)若A 是空集,求a 的取值范围;(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来;22某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件．(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．参考答案一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若集合A={x|-1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于()A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{2}解析:由题意知,集合A={x|-1≤x≤2,x∈N}={0,1,2},又因为集合B={2,3},所以A ∪B={0,1,2,3}.答案:B2.若命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0,则命题p的否定为()A.∃x∈R,x2+2x+1>0B.∃x∈R,x2+2x+1<0C.∀x∈R,x2+2x+1≤0D.∀x∈R,x2+2x+1>0解析:由命题p“∃x∈R,x2+2x+1≤0”得命题p的否定为:∀x∈R,x2+2x+1>0.答案:D3．下列不等式中正确的是( D )A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥2 3解析：a<0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．4.若p :0232<+-x x q :2x >1,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:由题意,得p :1<x <2,q :x >,所以p ⇒q ,q ⇒/p ,所以p 是q 的充分不必要条件. 答案:A5．若集合A ＝{x |(1-2x)(x －3)>0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [∵(2x-1)(x －3)<0，∴12<x <3， 又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.]6.若集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x ≥1},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )A.{-1}B.{0}C.{-1,0} D .{-1,0,1}解析:阴影部分可表示为A ∩(∁R B ),因为∁R B ={x |x <1}, 所以A ∩(∁R B )={-1,0}. 答案:C7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x (k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立．8.在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( D )A ．{a |3<a <4}B ．{a |－2<a <－1或3<a <4}C ．{a |3<a ≤4}D ．{a |－2≤a <－1或3<a ≤4}解析：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0.当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3，则3<a ≤4；当a <1时，解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a <－1.故a ∈{a |－2≤a <－1或3<a ≤4}．二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若集合A ={x |x 2-2x =0},则有 ( ) A.⌀⊆AB.-2∈AC.{0,2}⊆AD.A ⊆{y |y <3}答案:ACD10．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( ) A ．ab 有最大值14 B.a ＋b 有最小值 2 C.1a ＋1b 有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值22AC [∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab≤1 4，∴ab有最大值14，∴选项A正确；(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋(a＋b)2＝2，∴0＜a＋b≤ 2. ∴B错误；1 a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，∴1a＋1b有最小值4，∴C正确；a2＋b2≥2ab,2ab≤12，∴a2＋b2的最小值不是22，∴D错误．故选AC.]11．设集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值为( )A．0 B．1 或2 C.3 D．4ABD[x2－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)＝0，解得x＝2或x＝a，则A＝{2，a}．x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)＝0，解得x＝1或x＝4，则B＝{1,4}．当a＝0时，A＝{0,2}，B＝{1,4}，A∪B＝{0,1,2,4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a＝1时，A＝{1,2}，B ＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝2时，A＝{2}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝4时，A＝{2,4}，B＝{1,4}，A∪B ＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a的取值集合为{0,1,2,4}．]12.若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )A．b＜0且c＞0B．a－b＋c＞0C．a＋b＋c＞0D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}ABD[对于A，a＜0，－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝b a，－1×2＝ca，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确；令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知当x＝1时，＝a－b＋c＞0，所以B正确；对于C，当x＝－1时，a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D ，因为对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，设其两根为x 1，x 2，所以x 1＋x 2＝－b a ＝－1，x 1x 2＝ca ＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |－2＜x ＜1}，所以D 正确．]三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是 [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2 （a －1）·1a －1＋1＝3.当且仅当a －1＝1a －1时，即a ＝2时取等号．故选314．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，若A ⋂B ∅≠则a ＝ . 解析：由题意可知⎩⎨⎧a 2＝a ≠1，a ≠－1，解得a ＝0.15.已知p :4x -m <0,q :-2≤x ≤2,若p 是q 的一个必要不充分条件,则m 的取值范围为解析:因为p :4x -m <0,即p :x <,且q :-2≤x ≤2,p 是q 的一个必要不充分条件,所以{x |-2≤x ≤2}⫋,故>2,即m >8.答案:m >816.某地每年销售木材约20万m 3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材则y ＝2 400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)． 令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.答案：{t |3≤t ≤5}四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(10分)已知A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－3<x ≤3}，求A B ，∁R (A ∩B )，18.（12分）解下列不等式：（1）32-2-<+x x ；（2）0122≤+-x x19.已知关于x 的不等式a x 2+b x ＋4>0．若不等式的解集是{x|-4<x<1}求a,b 的值； 解法一：把x=-4，x=1带入一元二次方程a x 2+b x ＋4=0得044b -16a 04b a {=+=++，解得a= -1,b= -3.解法二：根与系数的关系a b-14-a 414-{=+=⨯解得a= -1,b= -320.(12分)已知命题p :3a <m <4a (a >0),命题q :1<m <23,且q 是p 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.解:因为q 是p 的必要不充分条件,所以p ⇒q ,q ⇒/p ,从而有或解得≤a ≤.所以实数a 的取值范围是≤a ≤.21.(12分)已知集合A ={x ∈R|ax 2-3x +2=0,a ∈R}.(1)若A 是空集,求a 的取值范围;(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来;解:(1)若A 是空集,则方程ax 2-3x +2=0无解,当a=0时不符合题意，当a 0时Δ=9-8a <0,即a >89. (2)若A 中只有一个元素,则方程ax 2-3x +2=0有且只有一个实根,当a =0时方程为一元一次方程,满足条件.当a ≠0,此时Δ=9-8a =0,解得:a =.89 所以a =0或a =. 若a =0,则有A =, 若a =,则有A =.22某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件．(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．[解] (1)设每件商品的定价为m 元；依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－m －251×0.2m ≥25×8，整理，得m 2－65m ＋1 000≤0，解得25≤m ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最高为40元．(2)设明年的销售量为a 万件．依题意，当x ＞25时，ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x ，即当x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15，因为150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，所以a ≥10.2. 所以当该商品明年的销售量至少为10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元．。