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仿真模拟 (一 )【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案一、选择题 (本大题共 10 小题，每题5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )2i 21．复数1－i (此中 i 是虚数单位 )的虚部等于 ( )A ．－ i B．－ 1C．1 D． 02．已知全集U ＝ {0,1,2,3,4} ， A＝ {1,2,3} ，B＝ {2,4} ，则如图暗影部分表示的会合为()A ． {0,2}B ．{0,1,3}C．{1,3,4} D． {2,3,4}3．某几何体的三视图(图中单位： cm)以下图，则此几何体的体积是()3 3A ． 36 cmB ．48 cmC．60 cm3 D． 72 cm34．设 x1＝ 18， x2＝ 19， x3＝ 20， x4＝ 21， x5＝ 22，将这 5 个数挨次输入下边的程序框图运转，则输出S 的值及其统计意义分别是 ( )A ． S＝ 2，这 5 个数据的方差B ．S＝ 2，这 5 个数据的均匀数C ．S ＝ 10，这 5 个数据的方差D ． S ＝ 10，这 5 个数据的均匀数5．若点 P(1,1) 是圆 x 2＋ (y －3) 2＝ 9 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为 ()A ． x － 2y ＋ 1＝ 0B ．x ＋ 2y － 3＝0C ．2x ＋ y － 3＝0D ． 2x － y － 1＝ 06．以下函数中，为偶函数且有最小值的是()A ． f(x)＝ x 2＋ xB ．f(x)＝ |ln x|C ．f(x)＝ xsin xD ． f(x)＝ e x ＋e －x7．已知球的半径为5，球面被相互垂直的两个平面所截，获得的两个圆的公共弦长为2 3，若此中一个圆的半径为 4，则另一个圆的半径为()A ． 3 B. 10 C. 11D ．2 38．已知实数 a ， b 知足 0≤ a ≤ 4， 0＜x 1， x 2 是对于 x 的方程 x 2－ 2x ＋ b － a ＋ 3＝ 0 的两个实根，则不等式0≤ b ≤ 4， x 1＜ 1＜ x 2 建立的概率是 ()3 3A. 32B.16 5 9C.32D.162 ， x ≠ 4，9．已知函数 f(x)＝ |x －4|若函数 y ＝ f(x)－ 2 有 3 个零点，则实数 a 的值为 ()a ，x ＝ 4，A ．－ 4B ．－ 2C ．0D ． 2x 2 y 2F 1，F 2，点 O 为双曲线的中心，点 P 在双曲线10．已知双曲线 a 2－ b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的左、右焦点分别为 右支上，△ PF 1F 2 内切圆的圆心为 Q ，圆 Q 与 x 轴相切于点 A ，过 F 2 作直线 PQ 的垂线，垂足为B ，则以下结论建立的是 ()A ． |OA|＞ |OB|B ．|OA|＜ |OB |C ．|OA|＝ |OB|D ． |OA|与 |OB |大小关系不确立第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)题 号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总 分161718192021二得 分二、填空题 (本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填在题中的横线上 )11．在△ ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B，C 的对边，若 a＝2b， sin B＝ sin C，则 B 等于 ________．12 ．某农场给某种农作物施肥量x(单位：吨 )与其产量 y(单位：吨 )的统计数据以下表：施肥量 x 2 3 4 5产量 y 26 39 49 54∧∧依据上表，获得回归直线方程y＝＋a ，当施肥量 x＝ 6 时，该农作物的预告产量是________．13 2上的点到直线x＋ y＋1＝ 0 的最短距离为 ________．．抛物线 y＝ x14 ．“求方程3x＋4 x＝1 的解”有以下解题思路：设f(x)＝3 x＋4x，则 f(x)在R上单一递减，且f(2) ＝5 5 5 51，所以原方程有独一解x＝ 2.类比上述解题思路，不等式x6－ (x＋ 2)＞ (x＋2) 3－ x2的解集是 ________．15 1，(a－c) ·(b－c)＝ 0，则 |c|的最大值是 ________．．向量 a，b，c 知足：|a|＝1，|b|＝2，b 在 a 方向上的投影为2三、解答题 (本大题共 6 小题，共75 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)π16． (本小题满分12 分 )已知函数f( x)＝ tan 3x＋4 .π(1) 求 f 9的值；(2) 设α∈ π，3π，若 fα π＝ 2，求 cos α－π的值．2 3＋442 *17.(本小题满分 12 分 )已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝n (n ∈ N )，等比数列 { b n } 知足 b 1＝ a 1,2b 3＝ b4.(1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式；(2) 若 c n ＝ a n ·b n (n ∈ N * )，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n .18．(本小题满分12 分)为认识某市公众对政府出台楼市限购令的状况，在该市随机抽取了50 名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数散布及对楼市限购令同意的人数以下表：月收入频数同意人数[15,25)54[25,35)108[35,45)[45,55)15 10125[55,65)52[65,75]51将月收入不低于55 的人群称为“高收入族”，月收入低于55 的人群称为“非高收入族”．(1) 依据已知条件达成下边的2×2 列联表，问可否在出错误的概率不超出0.01 的前提下以为非高收入族同意楼市限购令？非高收入族高收入族 共计同意不同意共计(2) 现从月收入在 [15,25) 的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人都同意楼市限购令的概率．附： K 2＝n ad － bc 2a ＋bc ＋d a ＋ c b ＋ dP(K 2≥ k 0)k 019．(本小题满分13 分 )如图，在四棱锥P－ABCD 中，侧棱PA⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形， E 为 PD 上一点， AD＝ 2AB＝ 2AP＝ 2， PE＝ 2DE .(1)若 F 为 PE 的中点，求证：BF∥平面 ACE；(2)求三棱锥 P－ ACE 的体积．20.(本小题满分13 分)如图，已知椭圆的中心在座标原点，焦轴长是短轴长的 2 倍，且经过点M(2,1) ，平行于 OM 的直线 l 在 y 点在 x 轴上，长轴上的截距为m，直线l 与椭圆订交于A， B 两个不一样点．(1)务实数 m 的取值范围；(2)证明：直线 MA， MB 与 x 轴围成的三角形是等腰三角形．131221．(本小题满分13 分 )已知 a，b∈R，函数 f(x)＝ a＋ ln( x＋ 1)的图象与g(x)＝3x －2x ＋ bx 的图象在交点 (0,0) 处有公共切线．(1) 证明：不等式f(x) ≤ g(x)对全部 x∈ (－ 1，＋∞ )恒建立；f x － f x1(2) 设－ 1＜ x1＜ x2，当 x∈ (x1， x2) 时，证明：x－ x1 ＞f x － f x2. x－ x2详解答案仿真模拟 ( 一)一、选择题2－ 21． B 因为2i 2＝ 2i2＝1，应选 B.＝－ i ，故其虚部为－1－ i 1－ i －2i2． A 因为 A ∪ B ＝ {1,2,3,4} ， A ∩ B ＝ {2} ，故暗影部分所示会合为 {0,2} ，应选 A.3． B 由三视图可知几何体上方是一长方体，下方是一放倒的直四棱柱，且四棱柱底面是等腰梯形，上底长为 2 cm ，下底长为 6 cm ，高为 2 cm ，故几何体的体积是2× 2× 4＋1× (2＋ 6)× 2× 4＝48(cm 3)，应选 B. 24． A 据已知数据可得其均值 18＋ 19＋ 20＋ 21＋221 －20) 22x ＝5＝ 20，而框图输出S ＝ [(x 1＋ (x 2－ 20) ＋, ＋525 个数据的方差，应选 A.( x 5－ 20) ] ＝ 2， S 的统计意义是此5． A 据题意可知直线 AB 与点 P 和圆心 C(0,3) 连线垂直，故 k AB ＝－ 1＝ 1，进而得直线AB 方程为 y －1k CP 2＝ 1(x － 1)，整理得直线 AB 的方程为 x － 2y ＋1＝ 0.26．D对于 A ，注意到 f(－ 1)＝ 0，f(1) ＝ 2，f(－ 1)≠f(1) ，所以函数 f(x)不是偶函数；对于 B ，注意到函数 f(x)的定义域是 (0，＋∞ )，所以函数 f(x)不是偶函数；对于C ，f(－ x)＝ f(x) ，易知该函数无最小值；对于D ， f(－ x)＝ f(x)，所以函数 f(x) 是偶函数，且f( x)≥ 2 －，当且仅当 x ＝ 0 时取等号，即函数f(x)有最小值．综上所e x ·e x＝ 2 述，应选 D.7．D由已知可得球心到半径为4 的圆距离 d ＝ 52－42＝ 3，所以所求圆圆心到弦的距离为3，故所求圆半径R ＝ 32＋ 32＝ 2 3，应选 D.8． A 由题意基本领件空间可视为Ω＝ a ， b0≤ a ≤ 4，可用面积为16 的正方形面积作为事件的几0≤ b ≤ 4何胸怀，此中 0＜x f 0 ＝ b － a ＋3＞ 0，建立对应事＜1＜ x ，令 f(x)＝ x 2－ 2x ＋ b － a ＋ 3，知足故 0＜ x ＜ 1＜ x1 2f 1 ＝ b － a ＋ 2＜ 0，120≤ a ≤ 4，件可表示为 A ＝a ， b0≤ b ≤ 4，，作出不等式组表示的平面地区，由几何概型可知所求概b － a ＋ 3＞ 0，b － a ＋ 2＜ 03率等于两不等式组表示的平面地区面积之比，即P(A)＝ 2＝ 3，应选 A.16 329． D 如图，当函数 y ＝ f( x)－ 2 有 3 个零点时，等价于函数 y ＝f(x)的图象和 y ＝ 2 的图象有 3 个交点，此时必有 a＝ 2，应选 D.10．C 因为点 Q 为三角形 PF 1F 2内切圆的圆心，故过点 F 2作 PQ 的垂线并延伸交PF1于点 N，易知垂足 B1 1分别切于 G，H，则由内为 F2N 的中点，连结 OB，则 |OB|＝ |F1N|＝ (|F 1P|－ |F2P|)＝a，又设内切圆与 PF 1，PF 22 2切圆性质可得|PG|＝ |PH |， |F 1G|＝ |F 1A|， |F2A|＝ |F2H |，故 |F 1P|－ |F2 P|＝ |F 1A|－ |F2A|＝ 2a，设 |OA |＝x，则有 x＋c－( c－ x)＝ 2a，解得 |OA |＝a，故有 |OA|＝ |OB|＝ a，应选 C.二、填空题11．分析：据正弦定理将角化边可得sin B＝ sin C? b＝ c，又 a＝2b，由勾股定理可得三角形为等腰直角三角形，故 B＝ 45°.答案：45°12．分析：据已知数据可得 x ＝， y ＝ 42，因为回归直线经过点，42)，代入回归直线方程得42＝∧∧∧∧×＋ a，解得 a＝，故回归直线方程为y＝＋，当 x＝ 6 时该作物的产量大概为 y＝× 6＋＝ 65.5.答案：13．分析：因为 f′ (x)＝2x，设与直线 x＋ y＋1＝ 0 平行且与抛物线相切的直线与抛物线切于点A(x0， y0)，由导数几何意义可知2x0＝－ 1，求得切点为－1，1.切点A－1，1到直线 x＋ y＋ 1＝0 的距离最小，由点到直2 4 2 43 2 线距离公式易得最小值为8.答案：3 2 814．分析：原不等式等价于 x 6＋ x2＞(x＋2) 3＋ (x＋ 2)，令 f(x) ＝x3＋x，易知函数在R 上为单一递加函数，故原不等式等价于x2＞ x＋ 2，解得 x＞ 2 或 x＜－ 1，故原不等式的解集为(－∞，－ 1)∪ (2，＋∞ )．答案：(－∞，－ 1)∪ (2，＋∞ )15．分析：由投影公式可得b·a＝b·a＝1，∴|b＋a|2＝ |a|2 ＋|b|2＋ 2a·b＝ 4? |b＋a|＝ 2.由 (a－c) ·(b－c)＝a·b－c·(a |a| 22 1 2 1 2 2 2 ＋ b)＋ c ＝0 ，整理得2 ＋ |c| ＝ |c| |·a＋b|cos θ≤2|c|，解不等式2＋ |c| －2|c|≤ 0，得 |c|≤ 1＋2 ，即|c|的最大值为 1＋2 .答案：1＋ 22三、解答题π πππ π tan ＋tan3＋ 1＝ tan 3416． 分析： (1) f 9 ＋ ＝＝＝－ 2－ 3.34 π π1－ 31－ tan 3tan 4α π3π π sin αα.①(2) 因为 f ＋＝ tan α＋＋＝ tan(α＋ π)＝ tan α＝ 2，所以＝ 2，即 sin α＝2cos3 444cos α又 sin 2α＋cos 2α＝ 1，②由①、②解得 cos 2α＝ 15.3π 52 5因为 α∈ π， 2 ，所以 cos α＝－ 5 ， sin α＝－ 5.π π π 52 2 5 23 10所以 cos α－4 ＝ cos αcos 4＋ sin αsin 4＝－ 5 × 2＋ －5 × 2＝－ 10 .17． 分析： (1) ∵当 n ＝ 1 时， a 1＝ S 1＝ 1；当 n ≥ 2 时， a n ＝S n －S n － 1＝ n 2－ (n － 1)2＝ 2n － 1， ∴ a n ＝ 2n － 1(n ∈ N * )，∴ b 1＝ a 1＝ 1，设等比数列 { b n } 的公比为 q ，则 q ≠ 0. ∵ 2b 3＝b 4，∴ 2q 2＝ q 3，∴ q ＝ 2，∴ b n ＝ 2n －1(n ∈ N * )．(2) 由 (1)可得 c n ＝ a n ·b n ＝ (2n － 1)× 2n －1(n ∈ N *) ，∴ T n ＝ 1× 20＋ 3× 2＋5× 22＋ , ＋(2n － 1)× 2n －1 ，①∴ 2T n ＝1× 2＋ 3× 22＋ 5× 23＋ , ＋ (2n － 1)× 2n ，②②－①得T n ＝ (2n － 1)× 2n － (1× 20＋ 2× 2＋2× 22＋ , ＋2× 2n －1)＝ (2n －1) ×2n － (1＋ 22＋ 23＋ , ＋2n )＝ (2n －3) ×2n ＋ 3.18． 分析： (1) 由题意得列联表以下：非高收入族高收入族共计 同意 29 3 32 不同意 11 7 18共计401050假定非高收入族与同意楼市限购令没相关系，2n ad － bc 2则 K ＝a ＋bc ＋d a ＋ c b ＋ d＝50× 29× 7－ 11× 3 2＝ ＜ ， 32×18×40× 10∴不可以在出错误的概率不超出0.01 的前提下以为非高收入族同意楼市限购令．(2) 由题意得月收入在 [15,25) 中有 4 人同意楼市限购令， 1 人不同意，将他们分别记为 A 1， A 2， A 3， A 4， a ，则从月收入在 [15,25) 的人群中随机抽取两人的全部结果为 (A 1， A 2)， (A 1，A 3)，(A 1， A 4)， (A 1， a)， (A 2，A 3)，( A 2 ，A 4)，(A 2， a)， (A 3， A 4 )， (A 3， a)， (A 4， a)，共 10 种；此中所抽取的两人都同意楼市限购令的结果为(A 1， A 2)， (A 1， A 3)，(A 1，A 4)， (A 2，A 3)， (A 2 ，A 4)， (A 3，A 4)，共 6种，∴所抽取的两人都同意楼市限购令的概率为P ＝ 0.6.19． 分析： (1) 证明：连结 BD ，交 AC 于点 O ，连结 OE ，∵底面 ABCD 为矩形，∴ OB ＝ OD .∵ F 为 PE 的中点，∴ PE ＝ 2EF.又∵ PE ＝ 2DE ，∴ DE ＝ EF ，∴ OE ∥ BF.又∵ BF?平面 ACE ， OE? 平面 ACE ，∴ BF ∥平面 ACE .(2) ∵侧棱 PA ⊥底面 ABCD ，∴ AP ⊥ CD .又∵底面 ABCD 为矩形，∴ CD ⊥AD .∵ AD ∩AP ＝ A ，∴ CD ⊥平面 PAD.又∵ AD ＝ 2AB ＝ 2AP ＝ 2，∴ V P ACE ＝ V C1 ×CD ×S 12 AEP ＝ AEP ＝ ×CD × S ADP－ － △ 3 △3 3 ＝ 1×CD × AD × AP ＝ 2.99x 2 y 220． 分析： (1) 设椭圆方程为 a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)，a ＝ 2b ， 2由题意得 4 1 ∴ a ＝ 8，2 a 2＋ b 2 ＝ 1， b ＝ 2， ∴椭圆方程为x 2 2 ＋ y ＝ 1. 82 由题意可得直线 l 的方程为 1y ＝ x ＋ m(m ≠ 0)，2 设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，1 y ＝ 2x ＋ m ，则点 A ， B 的坐标是方程组 y 2 的两组解， x 28＋ 2＝1消去 y 得 x 2＋ 2mx ＋ 2m 2－4＝ 0.∵ ＝ 4m 2－ 4(2m 2－4) ＞0，∴－ 2＜ m ＜ 2.又∵ m ≠ 0，∴实数 m 的取值范围为 ( －2,0)∪ (0,2)．(2) 证明：由题意可设直线 MA ，MB 的斜率分别为 k 1， k 2，只要证明 k 1＋ k 2＝ 0 即可，由 (1)得 x 2＋ 2mx ＋ 2m 2－ 4＝ 0， ∴x 1＋ x 2＝－ 2m ， x 1x 2＝ 2m 2－ 4，y 1－ 1y 2－ 1 ∵ k 1＋ k 2＝x 1－ 2＋x 2－ 2 ＝x 1y 2＋ x 2y 1－2 y 1＋y 2 － x 1＋ x 2 ＋ 4 x 1－ 2 x 2－ 2＝m －2 x 1＋ x 2 ＋ x 1x 2＋ 4 1－ mx 1－ 2 x 2－ 2－ 2m m － 2 ＋ 2m 2－4＋ 4 1－ m＝ x 2－ 2 ＝ 0， x 1－ 2∴直线 MA ， MB 与 x 轴围成的三角形是等腰三角形．证明： (1) 由题意得 f ′ (x)＝ 1， g ′ ( x)＝x 2 － x ＋ b ， x ＞－ 1，x ＋ 1则 f 0 ＝ g 0 ，f ′ 0 ＝g ′ 0 ，解得 a ＝ 0，b ＝ 1， ∴ f(x)＝ln( x ＋ 1)(x ＞－ 1)，g(x)＝13x 3－ 12x 2＋ x.令 h(x)＝ f(x)－ g( x)13 12＝ ln(x ＋ 1)－ 3x ＋ 2x － x(x ＞－ 1)，3 ∴ h ′ (x)＝ 1 － x 2＋ x － 1＝－x ，x ＋ 1 x ＋ 1∴ h(x)在 (－ 1,0)上单一递加，在 (0，＋ ∞ )上单一递减，∴ h(x)≤ h(0)＝ 0，∴ f(x)≤ g(x)．(2) 当 x ∈ (x 1， x 2) 时，由题意得－ 1＜ x 1＜ x ＜x 2 ，①设 u(x)＝ (x ＋ 1)[f(x)－ f(x 1)] － (x － x 1)，则 u ′ (x)＝ ln(x ＋ 1)－ ln(x 1＋ 1)＞ 0，∴ u(x)＞ u(x 1)＝ 0，即 (x ＋ 1)[f( x)－ f(x 1)] － (x － x 1)＞ 0，∴f x －f x1> 1 ；－x1 1＋ xx②设 v(x)＝ (x＋ 1)[f(x)－ f(x2)] － (x－ x2)，则 v′ (x)＝ ln(x＋ 1)－ ln(x2＋ 1)＜ 0，∴v(x)＞ v(x2)＝ 0，即 (x＋ 1)[f( x)－ f(x2)] － (x－ x2)＞ 0，∴f x －f x2＜ 1 ，x－ x21＋ x由①②得 f x － f x1 x－ x1 ＞f x － f x2. x－x2。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+ （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （3）设(,)f x y 是连续函数，则21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰（ ）（A ）21110010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰⎰⎰（B ）211011(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（4）若{}2211,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π（5）行列式00000000a b abc d c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4（8）设连续型随机变量1X 与2X 相互独立且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(21212X X Y +=，则 （A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （B ）2121,DY DY EY EY >=二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(22x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为 . （10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且()2(1)f x x '=-，[0,2]x ∈，则(7)f = .（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3)1(e y =的解为y = . （12）设L 是柱面122=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdx ydz +=⎰ .（13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是 .（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若∑=ni i X c 12为2θ的无偏估计，则c = .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e t xtx +--⎰+∞→（16）（本题满分10分）设函数)(x f y =是由方程32260y xy x y +++=确定，求)(x f 的极值. （17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x=满足22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. （18）（本题满分10分）设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑（19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,20,20=-<<<<ππ，且级数1n n b ∞=∑收敛.（I ）证明：;0lim =∞→n n a（II ）证明：级数∑∞=1n nnb a 收敛. （20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . （21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似 （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY（23）（本题满分11分）设总体X 的分布函数21,0(;)0,0x e x F x x θθ-⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，其中θ是未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（1）求EX 与2EX ；（2）求θ的最大似然估计量ˆnθ； （3）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}ˆlim 0nn P a θε→∞-≥=？2017考研新大纲权威解析听3小时直播解析，横扫60+增&改考点。
2012年考研数学一全真模拟卷及解析一-迅择歴1.若/*〃+冈A(”i)叭则匚與驾兰皿=()(A ) —3i (B) —6)(C) -18)(D) -108 .2.已玮徽分方程”二的通解务y = g(益U),则徽分方程y f= f(2^t2y)的通解为()(A)细(2 忑O；( B ) y = 2s(-2tC\2)"芸(D)"芸GO3.设函数尸(》) &(xj)有一阶连续喝导数，则与路径无关的充要条件是()dP _ dQ dP _dQ &F dQ_(A> dx ofy；(b) Q葢、(C) &y \(D)竺+塑"dy dx .4” Vx(Ve^)—()f注意：遠里便用的是一种规范的记号,W，¥-和分别等同于勢数教标上曾经使用迫的习惯记号grad , div^Qrot )(A ) D , < B ) ^0 j C C )匕切气兀 + 声+羽匸(D ) E {x, y. z).5.设虫是挖阶右阵，已知竝性齐浹右程组祖疋=0有非零解、则统性非齐汝右程组山丁蛊=3 < >< A)必有无夯臺个解；Cb)必无解:(C>对于某些£・解可旨隹雅一的, (D) 12A上舘诒音hF对・6.艇于给定的两个向重组CI) ,櫛三2，(H) 6・僅.…吃王“必目()(A?(I)线性无黄=* <ID 蛀性相笑:< B )fin缕性无关= 京(T)线■除无关=< a)<i)线性相黄= > (II)线性无关;< D )<n)线性相关= 空(I)缄性相笑、7. 从右个英文字® DDGGOO 中任意取出四个，并任意进行排列，则恰好能排咸英文单词OOOD 的概率P =乳 下面4个随机变量的分布中，期望值最大亍方差最小的是（）(A)(D)二.填空題（淋題看£小範，每小蜃4分.共24分）=In xdx9.10.设國教/CO 満足条件了（0） = 10,且其二阶専数了％就）在区间［0 •羽上连续，并有i :［厂5）十"3］沁2x^= 8,则八羽二 ______________________________2口・设函数nunOj ）由方程匕心宀=1十兀庐z 所确定，则d^（0 J ）=E"），贝U 割刃（1）= _____________13-已知总阶 行列式 狙I =耳，将01中的每一列诚去其余各列之和得到新的行列式记沟園，贝U 网= ___________________ .14 .设儿民 U 樂两两独立的且不可能同时发生的随机事件，若 ^（A ） == F （Q = p ,刚当尹= _____________ 时，尸（£ +公十C ）可取得最大值.三.解書題15.勻速向侧壁为旋转抛物面的容器内注水，试证明液面升高的速度与液面的 高度咸辰比.(A) 360 s(B) 180»1(C) 45I4（D ）云(B)Y 〜即区间上閨均匀分布;(C) 如=‘ Z 服从指数分布0, w 竺 0”1 —1 才q,2： > 0j已知幕级数土弘+ ®t)!(兀 ™ 1)2K+1在收敛域“ 0,*3 0, 丁服从指数分布了⑺—灿 设函数/0)満足条件/(0) = 10,且其二阶在区间［0 5］上连鸵并有J ：LTg 十*3烛如“冬则八心 ____________________________________________ ・211 .设函 数"巩兀”〉由方程eK+2y ~s- 1 +殆/乜 所确定，!JJJ dz(o ±l)=蛊(衿，贝II 創刃⑴二 ______________13. _________________________________________ 已知科阶3壬3)行列式祖卜厂将 同中的每—列减去其余各列之和得到 新的行列式记汽罔，则罔二 .14. 设人8、<7是两两独立的且不可能同时发生的随机事件，若P(A) = P(_B) = P(C) = p r 则当戸二 _______________ 时.F3卡5 + C)可取得最大值. 三.解普題15. 匀速向侧壁为旋钱抛物面的容器内注水，试证明液面升高的速度与破面的 高度成反比.11 -v/1 + COS C J 4-y)dAdy1氐计算二董积分茁 ・基中由直线J 7 — 0, y= X , x =开围威.17.巣城市的海港港口与火牟站位于该城市市中心的东西曲端，相距日.现拟在城南修建 d—座机炀.湘籬免噪音彫0瓠 要求机场位置离市中心的距离不可汙空公里，按计超J ，机场 到海捲要陽建貢缕铁路，造价每公里G 万元，机场到火车站要修建直线高谨公路.造价沖 舞公里巾万元•问铁跖与B5速公踏的设计怅度唇为華少公塁8九可SSM5S 价談低？求出最IB.若将函魏/0)=專”7的圾大值点记为弧3= N3如…八 试求幕發数的收纹域.7 — II grad( yz 于 zx + xv-h + v + dIP.计掩 s，其中12.已知幕级数 口弘+ (2疋)1 （龙 _1）3JP+1在收敛域(-^ • +8)上的和函数次恳沖£ =賦亠忑* S > 0)的上测・如设号是科m矩阵，且是幵阶正定阵，证明2（D「（爭『山运）=讯县）；（2）B r AB正主的充要条件是爲可逆.21.已知％3矩阵川与3维列向量x可使向量组厂咼-2%线性无关，且满足X3x = 3Ax- 2A2X・ la X = （x , ylx , A2x）.（1）^3X3矩阵沪使XBX~^d）计算行列式S + E .22.设随机变量X的概率密度函数为了（巧=屍卞*?[ （1）试确左上値，（2）设Y = aX卡b，试确定皿飞的值，Y成为标准化随机变童，即^（y）-o, D（y）= i;（3）写出y的概率密度函数人S .「一1 o 1 nX ~埠已知X”F服夙相同的分在r L 0 25 0.5 0.25」，若刊乂| = $[）= 0 .（1）求出（X.F）的联合分布律，（2）求岀産，尸的相关系数岸（3）讨诒X.F的相关性和独立性-一、选择題’1% C? 2、6 久C'叭 X 录 6 久 X 讥C; 8* B二、填空題’9. b 10. 6? lh "^x + 2^;12、和13. （2-科）2'S；14. 0.5.|| -\-y）dxdy- 72 [[|cos 牛”|^dy = 72[| [cos^~dzdy-11 cos^~dxdy]■ ■*■ te J1*■ b f if n忑0勿「冷号S e 何严匚cos^iiy M （心 2）aa匚D£ z?总打.解：设铁路设计长度为冥公里，高速公路设计长度为戸公里•檢题意，机场位直必须位 于味灌口岳火车站连线为賣径閉原弧上.本题即洵如下的阖聽目标函歡为肚(益护)=釣束条件河疋+脊=护・ 令F= ©工+内叼+矶斥+y°-护)，由F ； = g + 21x= 0 « F ； =c 3 + 2Jfy = 0n 忑=F ；"卄―It 解：■^/f (x)m(1 — 兀姐”)总7 = o .得工=—!—.In n/*(x) = (xk?料-2曲 W f (丄)=(-h 讪P < 0,--唯一驻点x =— 为最大值点 In n In n对级数三 丄 捫吗二丄山血 加二1P ；.收敛半径为R 二1.打In 方 In K 28叫当“-时篇匕如£釵当盂=1时丘丄发散■故级数的收敏域为・⑴二J Inw =ln 丹19* 解:Tgmde (呼爲 + 呼 y + z) = {y+2 + l t z+ 盼加 y+l)f* f冷 l|(y+?+l)rfvife+ U+1+ l)rifedx+(x + y+i)dx 妙.f If s取$“ ■ 0(人护£斤)下饥£1・{(XKZ )|0 SzSj 用-F-严}, Sfaoy 上够为D 侧j ［卿堂沁+空也+妙巴阳%切恤如幣 s 飞抵 创 & J2Q 解(1沏为正定阵乱施可遡靭便得■刃一故 R(B 伽=R(B r D r DB) = K ［｛DB)T(DB)］二 R(D® = R(B)(2曲血定规存在可逆舸做=D 『D 由P 期正定A B T AB 工(岛几側征定芋血可逆 询可逆拥正定B 可逆=砒氏(DE*的稱由DB 可逆nBW 正定21、 解(1)设3=対 b 2 b 3，由XBX Ar ^AX^XB,^卩Cydc^d—V -s_屈 F'JW+由间题附实际意义知・说肚适[c i c2呵(AX,A2X,A i X)=(X I AX^A i X)B t则有1)盈=a t X^b x AX+c^X r2)A2X ^a2X + b2AX^c2A2X・3)A^X = a^X^-b^AX+ 角屮 *由才X = 3AX - 2才就入3)得4)3AX -2A2X = a3X +b^AX + c^X'."»J4》无孙=11 = 0,Z>| —0»ffj = = 0,Cj ― 1, dfj —0”毎—3^c j = —2, © 0 cP1 0 3 ”b 1 7.…. t 11 0 0L⑵⑴由/与£相似=>/ + E与相锁吕千禺则|£ + EH|E + E|=1 1 3 =-4.\0 1 -122.癣(!)□”竝"严'“侧弼決IE^布.从密度函数/⑴磁武得上&二法=1I ■鼻* +11GO 因场（或，所以j7（-ux^r=-mr 由童丫口中+阳・a72 TDY a'• 1 口旦》&•世£⑶因为施从正态井魚所以1蔚+砸从正态分布r"F=0.QF J ” 取叩〕》从而其密度[ 心函鮒O）=适=寒'•（1）（Y/X-10t Y的辺际分布釋-I00 2500.25I °0.2500.250,5100.2500 25X的边际分布律0.250.50.25。
14年数学一考研真题2014年的数学一考研真题是考生备考过程中重要的参考资料之一。
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【题目一】设函数$f(x) = \frac{1}{2} \cos 2x + \sin x$，则$f(x)$的最大值为多少？解析：为了求得$f(x)$的最大值，需要先求其导函数。
对$f(x)$求导得：$f'(x) = -\sin 2x + \cos x$。
将导函数$f'(x)$等于0，解得$x = \frac{\pi}{6}$。
这是$f(x)$的一个极值点。
为了判断该极值点是极大值还是极小值，可以使用导数的符号表方法。
即在$x = \frac{\pi}{6}$左右的区间取点进行代入。
选取$x = \frac{\pi}{12}$代入$f'(x)$得到$f'(\frac{\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4}$，是正数，说明$f(x)$在该区间递增。
选取$x = \frac{\pi}{4}$代入$f'(x)$得到$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$，是负数，说明$f(x)$在该区间递减。
由此可知，$x = \frac{\pi}{6}$是$f(x)$的极大值点。
将$x = \frac{\pi}{6}$代入$f(x)$，得到$f(\frac{\pi}{6}) =\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$，约等于0.965。
因此，$f(x)$的最大值为0.965。
【题目二】函数$f(x)$在区间$[0,2\pi]$上单调增加，且$f(0) = 0$，$f(\frac{\pi}{2}) = 1$，则方程$f(x) = \frac{1}{2}$在区间$(0,2\pi)$上有几个实根？解析：根据已知条件，函数$f(x)$在区间$[0,2\pi]$上单调增加，且$f(0) = 0$，$f(\frac{\pi}{2}) = 1$。
2014年哈师大附中第一次高考模拟考试理 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|20}A x x x =-≤，{|40}B x x =-≤≤，则R A C B = A ．RB ．{|0}x R x ∈≠C ．{|02}x x <≤D ．∅ 2．若复数z 满足iz = 2 + 4i ，则复数z =A ．2 + 4iB ．2 - 4iC ．4 - 2iD ．4 + 2i3．在251()x x-的二项展开式中，第二项的系数为A ．10B ．-10C ．5D ．-54．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1()f x x=，④2()f x x =， 则输出的函数是 A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．1()f x x=D ．2()f x x =5．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：① 若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ② 若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③ 若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④ 若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α。
2014考研数学一真题及答案详解2014年全国硕士研究生入学考试数学一真题及答案详解Part A1. 设f(x) = sinx + cosx (0 ≤ x ≤ π)，则f '(x) = _____解析：f(x) = sinx + cosx，则f '(x) = cosx - sinx 当x ∈ [0, π]时，cosx ≥ 0 且sinx ≥ 0，所以f '(x) = cosx - sinx ≥ 0答案：cosx - sinx2. 已知函数f(x) = sinx + cosx，定义在[0, π]上，则f(x)在[0, π]上的最大值为____，最小值为____。
解析：f(x)在[0, π]上的最大值和最小值分别为f(π/4)和f(π/4 + π)。
f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2f(π/4 + π) = sin(π/4 + π) + cos(π/4 + π) = -√2答案：最大值为√2，最小值为-√23. 设向量a = 2i - 3j + k，b = i + j + 2k，则向量a与向量b的夹角为____°。
解析：向量a与向量b的夹角cosθ为cosθ = (a·b)/(|a||b|) = (2 - 3 + 2)/(√4 + 9 + 1)√6 = 1/√6故θ = arccos(1/√6)答案：θ ≈ 32.5°4. 已知向量a，b，其大小分别为3和4，且它们的夹角为60°。
则向量a + b的大小为____。
解析：根据余弦定理，a + b的大小为|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ = 9 + 16 + 2×3×4×1/2 = 25故|a + b| = √25 = 5答案：55. 设函数y = f(x)在点x = a处可导，且f '(a) > 0，则以下哪个极限一定存在？（）(A) lim[x→a]f(x)/x(B) lim[x→a]f(x)(C) lim[x→a](f(x))^2(D) lim[x→a]f(x) - f(a)解析：由可导性可知，右导数和左导数存在且相等，则有lim[x→a]f(x)/x = lim[x→a](f(x) - f(a))/(x -a)×(x - a)/x = f '(a)×1 = f '(a)lim[x→a]f(x) = f(a)lim[x→a](f(x))^2 = (lim[x→a]f(x))² = (f(a))²lim[x→a]f(x) - f(a) = lim[x→a](f(x) - f(a)) = f '(a)×(a - a) = 0故正确选项为：(A) lim[x→a]f(x)/x答案：(A)6. 设函数y = x³ + px + q，则当p = 0 时，y = x³+ q有两个零点，一个为0，另一个为____。
