圆锥曲线----极坐标与参数方程(导学案)

极坐标与参数方程导学案坐标系课前双基巩固1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2．极坐标系(1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的________，记为ρ.以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ).(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝________，y ＝ρsin θ，由此得ρ2＝________，tan θ＝________(x ≠0).3．常用简单曲线的极坐标方程课堂考点探究探究点一平面直角坐标系中的伸缩变换1 (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标为________．(2)双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x 2y ′＝y 后所得曲线C ′的焦点坐标为____________．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．(2)在进行平移或伸缩变换时，不需要刻意记忆变换公式，只要根据变换前后的方程形式就可以写出变换关系(即变换公式)．另外还要注意两种变换的先后顺序，顺序不同，变换公式也不同．探究点二 极坐标与直角坐标的互化2 [2017·新疆生产建设兵团二中月考]在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，P 为曲线C 上的动点，定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4. (1)将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程；(2)求P ，Q 两点间的最短距离．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．式题 [2016·郑州二模] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点三 简单曲线的极坐标方程及应用3 [2016·陕西安康三联] 在极坐标中，直线l 的方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝2，曲线C 的方程为ρ＝m (m >0)．(1)求直线l 与极轴的交点到极点的距离；(2)若曲线C 上恰好有两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 曲线的极坐标方程问题通常可先利用互化公式转化为直角坐标系中的相关问题再求解，然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互化公式是解决问题的关键．式题 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5，点P (2cos α，2sin α＋2)，参数α∈[]0，2π.(1)求点P轨迹的直角坐标方程；(2)求点P到直线l的距离的最大值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________参数方程课前双基巩固1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(*)，并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫作这条曲线的________，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称________.2．直线、圆、椭圆的参数方程(θ过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数).若M 1，M 2是l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，则 (1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)； (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝|t 1＋t 2|2； (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.课堂考点探究探究点一曲线的参数方程1 [2016·辽宁丹东二模] 在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：x2＋y2＝1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C2；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出此最大值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 几种常见曲线的参数方程：(1)直线的参数方程．过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆的参数方程．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (4)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)． (5)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 式题 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 和直线l 的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，5ρcos(θ＋α)＝2其中 tan α＝2，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求圆C 和直线l 的直角坐标方程；(2)设圆C 和直线l 相交于点A 和点B ，求以AB 为直径的圆D 的参数方程.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点二 参数方程与普通方程的互化2 [2016·广东中山模拟] 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos αy ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)当α＝π3时，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程；(2)若直线AB 的斜率为54，点P (2，3)，求|PA |·|PB |的值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思] (1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致．式题 [2016·河南许昌、新乡、平顶山三调] 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1被C 2截得的线段的长； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，当α变化时，求A 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点三 直线的参数方程3 [2016·江西新余一中调研] 以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，圆C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若P 点的直角坐标为(2，1)，求||PA |－|PB ||的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t 的绝对值表示对应的点到定点的距离．(2)根据直线的参数方程的标准形式中t 的几何意义，有如下常用结论：①若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； ②若定点M 0是线段M 1M 2(点M 1，M 2对应的参数分别为t 1，t 2，下同)的中点，则t 1＋t 2＝0； ③设线段M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22.式题 在直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B ，求线段AB 的长度．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点四 圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 [2016·山西长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中一联] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题．式题 [2016·陕西汉中二模] 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 的切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC 面积的最小值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________答案 坐标系考试说明1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.教学参考【课前双基巩固】知识聚焦2. (1)极径 极角 (2)ρcos θ x 2＋y 2 y x【课堂考点探究】例1 (1)(1，－1) (2)(－5，0)，(5，0) [解析] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求． (2)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0)．例2 [思路点拨] (1)首先按两角差的正弦公式展开，然后两边同时乘ρ，利用转化公式ρ2＝x 2＋y 2, x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，转化为直角坐标方程；(2)圆外一点与圆上一点距离的最小值为圆心与圆外这点的距离减半径．解：(1)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2sin θ－2cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.(2)在直角坐标系中，易知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，又曲线C 的圆心为(－1，1)，半径为2， ∴|PQ |min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12－2＝3－ 2. 变式题 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ，即ρ＝2cos θ.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ，由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，1＋2或1－ 2.例3 解：(1)令θ＝0，可得ρ(3cos 0－4sin 0)＝2，∴直线l 与极轴的交点到极点的距离为ρ＝23. (2)直线l 的直角坐标方程为3x －4y －2＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝m 2，曲线C 表示以原点为圆心，m 为半径的圆，且原点到直线l 的距离为25.若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，则15<m <35. 变式题 解：(1)设点P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋2，且参数α∈[0，2π]， ∴点P 的轨迹的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5， ∴12ρsin θ－32ρcos θ＝5，即ρsin θ－3ρcos θ＝10， ∴直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋10＝0.由(1)知点P 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝4，是圆心为(0，2)，半径为2的圆，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋10|（3）2＋12＝4，∴点P 到直线l 的距离的最大值为4＋2＝6.教师备用例题[备选理由] 例1主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，意在考查基本运算能力，转化与化归思想、方程思想与数形结合思想．例2主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用等基础知识，综合性较强．例1 [配例2使用] 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)O 为极点，A ，B 为圆C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求||OA ＋||OB 的最大值． 解：(1)∵圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，又∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ，即x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)不妨设点A 的极角为θ，则点B 的极角为θ＋π3，则||OA ＋||OB ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝43sin θ，∴当θ＝π2时，||OA ＋||OB 取得最大值4 3.例2 [配例3使用] 在直角坐标系xOy 中，点M (0，4)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，直线l 过点M 且斜率为－2.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的标准参数方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)由ρsin 2θ－4cos θ＝0得，(ρsin θ)2＝4ρcos θ，∵y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－2，∴α为钝角，由平方关系可解得，cos α＝－55，sin α＝255，∴直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55t ，y ＝4＋255t(t 为参数)，代入y 2＝4x 整理得t2＋55t ＋20＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－55，t 1t 2＝20，则|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（－55）2－4×20＝3 5.参数方程考试说明1. 了解参数方程，了解参数的意义.2. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.教学参考【课前双基巩固】 知识聚焦1. 参数方程 参数 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用坐标变换写出C 2的直角坐标方程，再写出其参数方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式写出l 的直角坐标方程；(2)设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式将问题转化为三角函数的最值问题求解．解：(1)由题意知，曲线C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2)设P (3cos φ，2sin φ)，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos φ－2sin φ－6|5＝|4sin （60°－φ）－6|5，当sin(60°－φ)＝－1时，d 取最大值25，此时取φ＝150°，则点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1. 变式题 解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，转化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，由于tan α＝2，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255，极坐标方程5ρcos(θ＋α)＝2转化成直角坐标方程为x －2y －2＝0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋y 2＝1，x －2y －2＝0，解得A (2，0)，B 25，－45，设点M (x ，y )是圆D 上的任意一点，则＝(x －2，y )，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25，y ＋45，·＝0.所以(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋45＝0，整理得5x 2＋5y 2－12x ＋4y ＋4＝0，转化成标准形式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＝45，转化成参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65＋255cos θ，y ＝－25＋255sin θ(θ为参数). 例2 [思路点拨] (1)先求直线的普通方程，再化为极坐标方程；(2)将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程中，利用参数t 的几何意义求解．解：(1)当α＝π3时，直线AB 的普通方程为3x －y －3＝0，即直线AB 的直角坐标方程为3x －y －3＝0，∴直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＝3，即2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 3. (2)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ的普通方程是x 24＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程，整理得 (cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0.∴|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α＝12（cos 2α＋sin 2α）cos 2α＋4sin 2α＝12（1＋tan 2α）1＋4tan 2α，又直线的斜率为54，即tan α＝54，代入上式可求得|PA |·|PB |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5161＋4×516＝7.变式题 解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以C 1被C 2截得的线段的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. (2)将C 1的参数方程代入C 2的普通方程得t 2＋2t cos α＝0， ∴A 点对应的参数t ＝t 1＋t 22＝－cos α，∴A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)．故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2α，y ＝－sin αcos α(α为参数)．因此，A 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故A 点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆．例3 [思路点拨] (1)利用互化公式进行两种方程之间的转化；(2)将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程中，利用参数t 的几何意义和韦达定理求解．解：(1)易得直线l 的普通方程为y ＝x －1.因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0(或写成(x －2)2＋(y －2)2＝8)．(2)点P (2，1)在直线l 上，且在圆C 内，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t 代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0，得t 2－2t －7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－7<0，即t 1，t 2异号． 所以||PA |－|PB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝ 2.变式题 解：由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，得C 的普通方程是x 24＋y 2＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则线段AB 的长度|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56132－4×4813＝81013. 例4 [思路点拨] (1)由代入消元或加减消元，将直线l 的参数方程化为普通方程，由ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)求直线被圆所截得的弦长，可利用垂径定理，即|AB |＝2r 2－d 2，先根据圆心到直线的距离公式求得d ，再代入计算|AB |.解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)方法一：曲线C ：x 2＋(y －2)2＝4是以点(0，2)为圆心，2为半径的圆，易得圆心(0，2)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，则|AB |＝24－12＝14. 方法二：设A ，B 两点所对应的参数分别为t A ，t B .将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－4y ＝0并化简整理可得t 2＋2t －3＝0，从而⎩⎨⎧t A ＋t B ＝－2，t A t B ＝－3，因此|AB |＝（t A ＋t B ）2－4t A t B ＝14. 变式题 解：(1)∵圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρcos θ＋ρsin θ＝2，∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)圆心C (3，－4)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|3－4－2|2＝322＞2，即直线与圆C 相离． 由于M 是直线上任意一点，则|MC |≥d ＝322. ∴四边形AMBC 的面积S ＝2×12·|AC |·|MA |＝|AC |·|MC |2－|AC |2＝2|MC |2－4≥2d 2－4＝ 2.∴四边形AMBC 面积的最小值为 2.教师备用例题例1 [配例2使用] [2017·广东海珠区调研] 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：(1)曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x2＋y 2－4x ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入方程x 2＋y 2－4x ＝0，化简得ρ＝4cos θ.∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)∵直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y －4＝0，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2，2)，(4，0)， ∴弦长为（2－4）2＋（2－0）2＝2 2.例2 [配例4使用] 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ2＝151＋2cos 2θ，直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝ 3. (1)判断曲线C 与直线l 的位置关系，写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求|AB |的值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 25＋y 215＝1，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，与y 轴的交点为P (0，3)，将P (0，3)代入椭圆方程左边得0＋15<1，故点P (0，3)在椭圆的内部，所以直线l 与曲线C 相交．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为x25＋y 215＝1，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，有3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32t 2＝15，即t 2＋2t －8＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 2＋t 1＝－2，t 2t 1＝－8. ∴|AB |＝（t 2＋t 1）2－4t 2t 1＝（－2）2－4×（－8）＝6。

极坐标、参数方程知识概念见导学单一、重要概念、基础知识回顾（可以适度填空形式回顾知识点）自主填空：1直角坐标方程与极坐标方程的互化利用： x = 2ρ=y = tan θ=2、直线与圆的极坐标方程：1.若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为00sin()sin()ρθαρθα-=-2.圆心是A （0ρ，0θ），半径r 的圆的极坐标方程为2220002cos()-0r ρρρθθρ--+＝ 参数方程的定义：3一般地，在取定的坐标中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式： ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数 4直线圆椭圆的参数方程：1、过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 其中t 表示),,(000y x p 到l 上一点),(y x p 的有向线段p 0的数量。

2、圆22020)()(r y y x x =-+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）3、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）二、思想方法归纳（老师给出本周典型例题类型，通过例题体现重要的思想方法）（见导学案讲义）例1: 1、在极坐标系中，求过点M (4,6π)且平行于极轴的直线的极坐标方程。

2、(1) ．化曲线的直角坐标方程x 2=2p (y ＋2p ) (p >0)为极坐标方程。

(2) ．化曲线的极坐标方程ρ2=sin2θ为直角坐标方程。

极坐标与参数方程【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化 【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．【基本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点．极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3．极坐标与直角坐标的互化：4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =； 5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=.椭圆1b y a x 2222=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==.抛物线2px y 2=的参数方程可表示为)t (.2pt y ,2pt x 2为参数⎩⎨⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.tsin y y ,tcos x x o o αα（t 为参数）．【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例1、（1）点M 的极坐标)32,5(π化为直角坐标为（ ）B A ．)235,25(--B ．)235,25(-C ．)235,25(-D ．)235,25(（2）点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ）B A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(πD ．)6,2(π 评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式1：（1）点()22-，的极坐标为 ． （2）在极坐标系中，圆心在)4A(1,π，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例2、（1）曲线的极坐标方程θρsin 4=化 成直角坐标方程为（ ）A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4【解析】将ρ=22y x +，sin θ=22yx y+代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.（2）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. ①把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（1）x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.所以x 2+y 2=4x.即x 2+y 2-4x=0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2+y 2+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.变式1：极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆【解析】原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.变式2：在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-【解析】A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切．例3、在极坐标系中，已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度；变式1、在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．变式2、在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．例4、极坐标方程分别为θρcos 2=和θρsin =的两个圆的圆心距为____________；变式1、把极坐标方程cos()16πρθ-=化为直角坐标方程是 ．变式2、在极坐标系中，圆心在)π且过极点的圆的方程为_ .变式3、在极坐标系中，若过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则=||AB _________ _．题型二：参数方程的互化和应用例1、若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .变式1、设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______变式2、已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。

圆锥曲线的参数方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆锥曲线的概念及其标准方程；（2）掌握圆锥曲线的参数方程的定义及表示方法；（3）能够运用参数方程解决与圆锥曲线相关的问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察实物和图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用数形结合思想，引导学生从参数方程中揭示圆锥曲线的几何性质；（3）通过小组讨论和探究活动，提高学生合作交流的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、坚持不懈的精神；（3）引导学生认识数学在实际生活中的应用价值。

二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及其标准方程（1）介绍圆锥曲线的基本概念；（2）讲解椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及特点。

2. 参数方程的定义及表示方法（1）引入参数方程的概念；（2）举例说明参数方程的表示方法；（3）讲解参数方程与普通方程的互化方法。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆锥曲线的概念及其标准方程；（2）参数方程的定义及表示方法；（3）参数方程与普通方程的互化方法。

2. 教学难点：（1）圆锥曲线的几何性质的揭示；（2）参数方程在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入新课：（1）通过实物和图形，引导学生回顾圆锥曲线的基本概念；（2）提问：如何用数学语言描述圆锥曲线的形状和位置？2. 讲解新课：（1）讲解圆锥曲线的标准方程及其特点；（2）引入参数方程的概念，举例说明参数方程的表示方法；（3）讲解参数方程与普通方程的互化方法。

3. 课堂练习：（1）让学生独立完成教材中的相关练习题；（2）引导学生运用参数方程解决实际问题。

五、课后作业1. 复习圆锥曲线的标准方程及其特点；2. 熟练掌握参数方程的表示方法；3. 练习互化参数方程与普通方程；4. 探索圆锥曲线参数方程在实际问题中的应用。

六、教学策略与方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出圆锥曲线的参数方程需求；2. 利用数形结合思想，通过图形软件或实物展示，直观地展示圆锥曲线的几何性质；3. 组织小组讨论和探究活动，让学生合作交流，共同解决问题；4. 注重个体差异，针对不同学生提供个性化的指导和建议。

极坐标与参数方程环节１ 明晰高考要求高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用,突出极坐标以及参数方程的几何用法,考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力,命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。

主要考查四类题型：① 极坐标系中,极坐标的几何意义的应用真题示例题１ (２01７年全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1) M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程; (2） 设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值. 【解析】(１)设()00,M ρθ,(),P ρθ，则0OM ρ=,OP ρ=，依题意016ρρ=，00cos 4ρθ=,0θθ=, 解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=()0x ≠.常规方法：曲线1C :4x =,设(),P x y ,()4,M t ，则4tx y =16=, 将224x y x +=(0x ≠),即点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠．（2）连接2AC ,易知2AOC ∆为正三角形,OA 为定值. 所以当边AO 上的高最大时,AOB S △面积最大,如图，过圆心2C 作AO 垂线,交AO 于H 点,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大max 12S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2= 别解：设(),B ρθ(0ρ>),由题意知2OA =,4cos ρθ=,所以OAB ∆的面积1sin 2S OA AOB ρ=⋅∠4cos sin 3πθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭2sin 223πθ⎛⎫=-≤+ ⎪⎝⎭当12πθ=-时,S取得最大值2, 所以OAB ∆面积的最大值为2+．题2 (２０15年课标Ⅱ文理）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，(t 是参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=，3C:ρθ=． (Ⅰ) 求2C 与3C 的交点的直角坐标；(Ⅱ) 若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值.【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为()0,0和322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为θα=（ρ∈R ，0ρ≠）,其中0απ≤<. 因为A 的极坐标为()2sin ,αα,B的极坐标为(),αα,所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,当56πα=时,AB 取得最大值,且最大值为4． ② 直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用真题示例题1 (2０１7年全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数）.(1） 若1a =-,求C 与l 的交点坐标；（2） 若C 上的点到l求a .【解析】（１)1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程是2219x y +=, 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则C 与l 交点坐标是()3,0和2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭． （２）直线l 一般式方程是440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos ,sin P θθ， 则P 到l距离d ==，其中3tan 4ϕ=. 当40a +≥即4a ≥-时,max d ==即917a +=,解得8a =． 当40a +<即4a <-时,maxd ==解得16a =-． 综上,16a =-或8a =．题2 (2017年江苏）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数),曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=，因为P 在曲线C上，设()22,P s ,故点P 到直线l 的距离224s d -+==,当s=,min 5d =， 因此当P 的坐标为()4,4时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取得最小值5. ③ 直角坐标系中，直线参数方程的参数t 几何意义的应用真题示例题１ 【2018全国二卷２2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，直线的参数方程为(为参数). （1)求和的直角坐标方程；(2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率.(1)曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时,的直角坐标方程为, 当时，的直角坐标方程为．(2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程.①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，,则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ,故, 于是直线的斜率xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-题2【20１8全国三卷22】在平面直角坐标系中,的参数方程为（为参数）,过点且倾斜角为的直线与交于两点．（１）求的取值范围;(2)求中点的轨迹的参数方程. (1)的直角坐标方程为．当时，与交于两点. 当时，记,则的方程为与交于两点当且仅当,解得或，即或． 综上，的取值范围是. （2)的参数方程为为参数，.设，,对应的参数分别为，,，则,且,满足. 于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，. ④ 通过互化或消参呈现几何背景，利用相关的几何法解决真题示例题5 【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =lO ||1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t α=P (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.（1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.（２)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=,故43k =-或0k =．经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为22=,故0k =或43k =.经检验，当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点． 综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+． 题6 (2017年深圳二模）已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆Ｃ的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.(1）求圆心C 的直角坐标;（2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值． 解析:(I ）θθρsin 2cos 2-= ,θρθρρsin 2cos 22-=∴, …………(2分) 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）即1)22()22(22=++-y x ,)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………(５分） (II ）方法１:直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t , …………(８分) ∴直线l 上的点向圆Ｃ引的切线长的最小值是62 …………(１0分)方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线, …………(８分）圆心Ｃ到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-环节2 问题自主解决 1回归教材题组１ 人教A 版选修4－4 P12 课本习题编选：题1 在极坐标系中,132511(4,),(4,),(4,),(4,)6666ππππ-表示的点有什么关系？你是如何刻画这些点的位置的？题２已知点的极坐标分别为2(3,),(2,),(4,),()4322ππππ，求它们的直角坐标题3已知点的直角坐标分别为7),(,0),(2,2--,求它们的极坐标 问题自主探索：① 极坐标与直角坐标之间的区别与联系是什么? ② 极坐标的几何意义是什么?题组2人教A 版选修4-4 P15 课本习题编选：题1 说明下列极坐标方程表示什么曲线？ (1)5ρ= （2)5()6R πθρ=∈ （３）2sin ρθ=（４）sin()124πρθ-= （５)2sin cos ρθθ= （6）2cos 24ρθ= 题２ 将下列直角坐标方程化成极坐标方程(1）4x = (2）2320x y +-= （3）22(1)(4x y -+= （4）22148x y += 题3 在极坐标系中，求适合下列条件的曲线的极坐标方程（1）过极点,倾斜角是3π的直线 (2)圆心在(1,)4π，半径为1的圆(3)过点(2,)3π，且和极轴垂直的直线 (4）过点)4π，且与2320x y +-=垂直的直线题4 设点P 的极坐标为11(,)ρθ,直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程题 5 已知椭圆的中心为O ,长轴、短轴的长分别2,2(0)a b a b >>,,A B 分别为椭圆上的两点，并且OA OB ⊥,求证：2211OAOB+为定值问题自主探索:① 实现曲线极坐标方程与直角坐标方程互化的桥梁是什么？② 求解曲线极坐标方程,你是怎么处理的?它跟直角坐标求点轨迹方程的思路一样吗? ③ 极坐标的几何意义是如何应用的?题组3 人教A 版选修４-４ Ｐ２5-３4 课本例题编选 题１把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线(1）11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数) （２） sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）题2把下列普通方程化为参数方程，并说明它们各表示什么曲线(１）22(1)(2)4x y -+-= （2)221169x y +=题3 在椭圆22194x y +=上求一点M ,使点M 到2100x y +-=的距离最小,并求出最小距离。

圆锥曲线------ 极坐标系与参数方程【目标】:1、掌握点的极坐标与直角坐标的互化；2、掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、会把极坐标系的问题转化为直角坐标系的问题解决；4、掌握曲线的参数方程与普通（直角坐标）方程的互化；5、会参数方程解决曲线的交点与最值问题。

坐标系一、知识要点1. 对于极坐标系内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，则ρ叫做点M 的 ，θ叫做点M 的 ，点M 的极坐标是 。

2. 极坐标与直角坐标的互化公式：x = ，y = ，2ρ = ， θtan = 。

3. 特殊的圆的极坐标方程: r,2cos ,2sin ,cos sin a a a b ρρθρθρθθ====+4. 特殊的直线的极坐标方程：sin ,cos ,(R),a a ρθρθθαρ===∈ 二、例题与练习1. 点M 的直角坐标是 (1-，则M 点的极坐标为（ ）2.(2,).(2,).(2,).(2,2),()3333A B C D k k Z πππππ-+∈2. 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为 .3. 在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．4. 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为______________.5. 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程是π4cos 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

现以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则圆C 的半径是 ，圆心的直角坐标是 。

6.极坐标内曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为 ．7. 在极坐标系中，点A (1,)4π到直线sin 2ρθ=-的距离是__ _ _.8. 已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=,则圆心到直线距离为 ．9. 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ ；10. 在极坐标系中，直线π3θ=（ρ∈R ）与圆4cos ρθ=+θ交于A 、B 两点，则AB = ．11. 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是12. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是 ，它与方程π4θ=（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是 ．13. 已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.14. 极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是_____．15. 在极坐标系中，过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为 ．参数方程一、知识要点1． 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 x f (t),y g(t),=⎧⎨=⎩,并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号 ：学员编号： 年 级：高三 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：课 题圆锥曲线的参数方程 授课日期及时段教学目的 1：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义2：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程教学内容知识点检测；1.（北京卷理5）极坐标方程（ρ-1）（θπ-）=（ρ≥0）表示的图形是（ ）（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线2.（湖南卷理3文4）极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ） A 、圆、直线 B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线3.（湖南卷文4）极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A. 直线、直线B. 直线、圆C. 圆、圆D. 圆、直线4.（广东卷理15）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______。

5.（广东卷文15）在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为__________________. 6.（陕西卷理15C ）已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα⎧=⎨=+⎩（a 为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标系为______________7.（江苏卷21③）在极坐标系中，圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值二：知识点整理圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析圆锥曲线是数学中常见的一类曲线形状，参数方程和直角坐标方程是描述和推导圆锥曲线性质的两种常用方法。

本文将分析圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系，并推导解析圆锥曲线的性质。

一、圆锥曲线的参数方程参数方程是用参数表示曲线上的点，参数通常用t表示，通过给定不同的参数值，可以得到曲线上的一系列坐标。

对于圆锥曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数，通过给定不同的参数值t，可以得到曲线上的点坐标(x, y)。

以常见的椭圆为例，椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。

二、圆锥曲线的直角坐标方程直角坐标方程是使用x和y的关系来描述曲线的方程。

对于圆锥曲线，其直角坐标方程通常可以写成：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个包含x和y的函数，通过令F(x, y)等于零，可以得到曲线上的点坐标。

以椭圆为例，椭圆的直角坐标方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。

三、圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程是等价的，通过互相转换可以得到相同的曲线信息。

圆锥曲线的参数方程(x = f(t), y = g(t))可以转化为直角坐标方程F(x, y) = 0的形式。

同样地，直角坐标方程F(x, y) = 0也可以转化为参数方程(x = f(t), y = g(t))的形式。

以椭圆为例，可以将椭圆的参数方程(x = a * cos(t), y = b * sin(t))转化为直角坐标方程：((a * cos(t))^2 / a^2) + ((b * sin(t))^2 / b^2) = 1化简后得到：cos^2(t) / a^2 + sin^2(t) / b^2 = 1这正是椭圆的直角坐标方程。

二圆锥曲线的参数方程课堂导学三点剖析一、利用参数方程求点的轨迹【例1】已知A、B分别是椭圆93622yx+=1的左顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.解析:本题有两种思考方式,求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ,3sinθ)的形式,从而予以求解.解：由动点C在该椭圆上运动,故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ),点G的坐标为(x,y),则由题意可知点A(-6,0)、B(0,3).由重心坐标公式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+-=++-=.sin13sin33,cos223cos66θθθθyx由此消去θ得到4)2(2+x+(y-1)2=1,即为所求.温馨提示本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得更简单、更便捷.各个击破类题演练 1已知双曲线2222byax-=1(a>0,b>0)的动弦BC平行于虚轴,M、N是双曲线的左、右顶点.(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程;(2)若P(x1,y1),B(x2,y2),求证:a是x1、x2的比例中项.(1)解:由题意可设点B(asecθ,btanθ),则点C(asecθ,-btanθ),又M(-a,0),N(a,0),∴直线MB的方程为y=aab+θθsectan(x+a),直线CN的方程为y=θθsectanaab-(x-a).将以上两式相乘得点P的轨迹方程为2222byax+=1.(2)证明:因为P 既在MB 上,又在CN 上,由两直线方程消去y 1得x 1=θsec a ,而x 2=asecθ,所以有x 1x 2=a 2,即a 是x 1、x 2的比例中项.变式提升 1 在直角坐标系xOy 中,参数方程⎩⎨⎧-=+=12,122t y t x (t 为参数)表示的曲线是___________. 解析:t=21-x 代入y=2t 2-1得y=2(21-x )2-1,即(x-1)2=2(y+1). 答案:抛物线二、利用参数方程求坐标【例2】 在椭圆7x 2+4y 2=28上求一点,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出这一最短距离.解：把椭圆方程化为7422y x +=1的形式, 则可设椭圆上点A 坐标为(2cosα,7sinα),则A 到直线l 的距离为d=13|16)sin(8|13|16sin 72cos 6|--=--αβαα(其中β=arcsin 43). ∴当β-α=2π时,d 有最小值,最小值为13138138=. 此时α=β-2π,∴sinα=-cosβ=47-,cosα=sinβ=43. ∴A 点坐标为(23,47-). 温馨提示用参数方程解决一些坐标问题,简单易行,本例是很典型的.类题演练 2椭圆⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 4y x (θ为参数)的左焦点的坐标是__________.解析:a=4,b=3,∴c=7.∴坐标为(7-,0). 答案:(7-,0)变式提升 2在椭圆2222by a x +=1(a>b>0)的第一象限的上求一点P,使四边形OAPB 的面积最大,并求最大面积.解析:如图,将四边形OAPB 分割成△OAP 与△OPB,则P 点纵坐标为△OAP 的OA 边上的高,P 点横坐标为△OPB 的OB 边上的高.解:设P(acosθ,bsinθ),S 四边形OAPB =S △OAP +S △OPB =21absinθ+21abcosθ =21ab(sinθ+cosθ)=22absin(4π+θ). 当θ=4π时,四边形OAPB 面积最大,最大面积为22ab,此时,P 点坐标为(22a,22b). 三、范围及最值问题【例3】 圆M 的方程为x 2+y 2-4Rxcosα-4Rysinα+3R 2=0(R>0).(1)求该圆圆心M 的坐标以及圆M 的半径;(2)当R 固定,α变化时,求圆心M 的轨迹,并证明此时不论α取什么值,所有的圆M 都外切于一个定圆.思路分析:本题中所给的圆方程中的变数有多个,此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变,而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.解:(1)由题意得圆M 的方程为(x-2Rcosα)2+(y-2R sinα)2=R 2,故圆心为M(2Rcosα,2Rsinα),半径为R.(2)当α变化时,圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==ααsin 2,cos 2R y R x (其中α为参数),两式平方相加得x 2+y 2=4R 2,所以圆心M 的轨迹是圆心在原点,半径为2R 的圆.由于22)sin 2()cos 2(ααR R +=2R=3R-R,22)sin 2()cos 2(ααR R +=2R=R+R, 所以所有的圆M 都和定圆x 2+y 2=R 2外切,和定圆x 2+y 2=9R 2内切.类题演练 3曲线C:⎩⎨⎧+-==θθsin 1,cos y x (θ为参数)的普通方程是,如果C 与直线x+y+a=0有________公共点,那么实数a 的取值范围是_________.解析：参数方程消去θ得x 2+(y+1)2=1.曲线C 与直线x+y+a=0有公共点,则圆心到直线的距离不超过半径长,即2|10|a +-≤1.∴1-2≤a≤1+2.答案:x 2+(y+1)2=1 1-2≤a≤1+2变式提升 3设a 、b∈R ,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值是________.解析:∵a 2+2b 2=6, ∴3622b a +=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 3,cos 6b a (θ为参数), ∴a+b=6cosθ+3sinθ=3sin(θ+φ),其中cosφ=33,sinφ=36,即a+b 的最小值是-3.答案:-3。