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(64H)第14讲-第十章 刚体的平面运动2

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第十部分刚体的平面运动-精选

第十部分刚体的平面运动-精选
有
vvA vvB
avA avB
avA avB
avAn avBn
又因为
1
vA O 1A
1
a
A
O 1A
2

vB O 2B
2

a
B
O 2B
O1AO2B
所以
1 2 1 2
即A、B两点的角速度和角加速度完全相等。 结论：刚体作平动时，其上任意点的速度和加速度完全相同。
二、刚体平面运动的分解
(b)刚体平面运动实例
由于作刚体平面运动的刚体上任意点都在与固定参考平面平行的某一平面内运动，所以刚体的平 面运动可以简化为平面图形 S 在其自身平面内的运动，如上图a，即在研究平面运动时，不需考虑刚体 的形状和尺寸，只需研究平面图形 S 和其延展部分的运动即可。
研究平面图形的运动，可以用平面图形内任一线段的运动表示。确 定线段的位置可用线段一端点坐标和线段与某一坐标轴的夹角来表示。 （如右图 A 点的坐标，和 AB 与 x 轴的夹角φ）
vA l
B点的速度为
AB

vA AC

vBBCAB 2l
（d）
回目录
第三节 平面图形内点的加速度
当平面图形的平面运动方程已知时，与速度合成定理类似，可得到形式相同的及速度合成定理，即 基点法求加速度公式。将下式两端同时求导
vvBvvAvvBA
得
avBavAavBA
即平面图形上任一点B的加速度等于基点A的加速度与点B绕基点A转动的加速度的矢量和。这种求 加速度的方法称为基点法。
将上式两侧向AB投影，有
O 2 B 2 s i n O 2 B 2 2 c o s O 1 A 1 s i n O 1 A 1 2 c o s

大学本科理论力学课程第10章 刚体的平面运动(执行)

大学本科理论力学课程第10章 刚体的平面运动(执行)
vB vA vBA
aB
a A a BA
aA
a
BA
a
n BA
a
BA
AB
a
n BA
AB
2
5、刚体平面运动速度投影定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( v B ) AB ( v A ) AB
若C为AB两点连线中点
vC
vA
vB 2
aC
aA
aB 2
6、刚体平面运动速度瞬心法（P点为该瞬时速度瞬心）平面图形的平面运动可看
这样平面图形S上不同点的运动也就可以代表整 个刚体上相应各点的运动，
平面图形S在平面S2内的运动也就代表了整个刚
体的运动。
P194
因此，刚体的平面运动可简化为平面图形
在其自身平面内的运动。 P194
理论力学电子教程
第十章 刚体的平面运动
1．平面运动方程 P194
为了确定刚体的平面运动，我们只需确定可代表刚体的某一平面图形在自
定理·速度瞬心 §10-4 平面图形内各点的加速度 §10-5 刚体绕平行轴转动的合成
理论力学电子教程
第十章 刚体的平面运动
§10-1 刚体平面运动的概述
在学习掌握了刚体的基本运动和点的合成运动的 运动分析方法之后，可研究刚体的平面运动。
工程中除了平动和定轴转动两种基本运动外， 常见的还有一种 较为复杂的运动称为刚体的平面运动。
可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，结合点的合 成运动分析问题的方法，研究刚体的平面运动。
理论力学电子教程
第十章 刚体的平面运动
1. 平面运动的定义
在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始
终保持不变。
P193

第十章：刚体的平面运动

第十章：刚体的平面运动
点而不是平面图形
y
y
M A
牵连运动：随基点的平动 相对运动：绕基点的转动

x
o
x
平面图形的运动可 以分解为： 1、随基点的平动 2、绕基点的转动
？平面运动的分解与基点的选取是否有关？
刚体的平面运动
1.平面运动的分解与基点的选取。
！基点的选取是任意的，通常取运动情况已知 的点作为基点。
刚体的平面运动
A
vA rω AI ωAB
ωAB
O

B
vB
r v A vA 3r 3 3 AI AB tg
刚体的平面运动
v B BC ωAB
AB ωAB cos
2 3 r () 3 ——滑块B的速度
vA
AB
C
A
结论：

vB

B
速度瞬心可以位于平面图 O 形之上，也可以位于平面图形 边界之外（延长部分上）。
That’s all for today!
Thanks!
A2 ω 3、各点速度方向如图,大小为 I Rr v1 A1 I vO , r v1 A 2 2 R r 1 v 2 A2 I vO r （1）此题突显速度瞬心法的计
Rr vO , r R2 r 2 v 4 A4 I vO r v3 A3 I
刚体的平面运动
例1：已知OA杆的角速度 解：研究AB杆。 ，求图示瞬时滑块B的 基点法：取A为基点 速度和 AB杆的角速度。 曲柄OA作定轴转动，滑块B 0 OA r , 60 , AB OA 作平动，连杆AB作平面运动。
vA
A

O
AB

理论力学刚体的平面运动

理论力学刚体的平面运动

车轮的平面运动
刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 和绕基点的转动．
随基点A的平动
绕基点A'的转动
平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点A'转 1角到A'B' 以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点B'转 2 角到A'B' 图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
3
vC vB vCB
大小 ？ l l 2
方向 ?
vC vB2 vC2B 1.299 m s 方向沿BD杆向右
例3 曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 3。r 如曲柄OA以匀角速度ω转动。
求：当 60，0，90时点B的速度。
已知：OA r, AB
求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
已知：AB 600mm, OE 100mm, 10 rad s , BC GD 500mm, 求:
AB
解: 1 杆GE作平面运动,瞬心为 C1
OG 800mm 500mm sin 15 929.4mm
EC1 OC1 OE 3369mm
解： 1 AB作平面运动。
vB AB vA
vB cos 30 OA
OA
vB cos 30 0.2309 m s
已知
求
OA
vE

100mm,OA



2
rad
s
, CD

3CB, CD

理论力学 第十章 刚体的平面运动分解

理论力学 第十章 刚体的平面运动分解

2、平面图形内各点的速度分布
基点：C
v A v AC CM
平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速 度中心转动的速度。
3、速度瞬心的确定方法
已知 v A , vB 的方向， v v 且 A不平行于 B 。
vA // vB , 且不垂直于AB vB v A v AB vBA 0 AB 0 vB vA vM
绝对运动 ：待求 牵连运动 ：平移 相对运动 ：绕 O 点的圆周运动 vM ve vr vO OM
例10-1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向 运动，如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解：1、 AB作平面运动
基点： A
2、
大小 ？O r1 r2 Ⅱr2 方向
2 2 vB v A vBA 2 O r1 r2
4、 vC vA vCA
vC vA vCA 2O r1 r2
2、速度投影定理
由
vB vA vBA
沿AB连线方向上投影
求平面图形内各点速度的基点法
同一刚体上任意O′，M两点
vM vO ' vMO'
其中
vMO'
vMO' MO ' 方向垂直于MO ，指向同
大小
'
平面图形内任一点的速度等于基 点的速度与该点随图形绕基点转动速 度的矢量和。
M
M
M
=
+
动点：M
动系： O x y (平移坐标系)
2 2 vC vB vCB 1.299 m s

《刚体的平面运动 》课件

《刚体的平面运动 》课件
评估控制系统的性能。
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。

w10 刚体的平面运动.ppt


２．速度瞬心的概念
平面图形S，某瞬时其上一点A速度v A , 图形角速度，沿v A 方向取半直线AL, 然后
顺 的转向转90o至AL'的位置,在AL'上取长
度 APvA/ 则： vPvAvPA
v P A A P v A ,方 P ,恰 向 A v A 反 . 与 所 向 以
vP 0
17
1、定理
基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度
的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速
度的基本方法。
⒉ 讨论
⑴ aBaAaBA aBn A是矢量式，符合矢量合成法则； ⑵ aBaAaBA aBn A共包括大小﹑ 方向 八个要素，
已知任意六个要素，能求出另外两个要素。由于 aB A,aBnA
过A , B两点分别作速度 vA,vB 的垂线,交点
P即为该瞬间的速度瞬心.
④ 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 vA,vB
大小,且 vAA,BvBAB
(a) vA与 vB同,向 vA A vB B
(b)vA与 vB反, 向 vA A vB B
(a)
(b)
20
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直．
方向 ？ √ √ √
故应先求出 ．
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
vO/R （ ）
29
由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而
d1dO vaO
dt Rdt R
（
）
以O为基点，有 aPaOaPO aPO n其中：
a PO R a O ,a Pn O R2 R (v R O )2 v R O 2
选取运动情况已知的点作为基点)

第十章刚体的平面运动


理论力学
如图 10－2 所示，刚体运动方式为平面运动，刚体上点 A 的运动轨迹为圆弧，点 B 的运动轨迹为直线，可见刚体上各 点的运动轨迹各不相同。
图 10－2
第10章 刚体的平面运动
理论力学
为了研究刚体的运动情况，将刚体的运动分解为平动和
转动两种基本运动方式，平动部分可任选一点作为基点来研
究。例如 A 点，在基点建立动坐标系 o1x1y1。注意，动坐标系 原点 o1 与刚体上的 A 点是“铰接”关系，即 o1 与 A 点仅仅保 持坐标始终相等，运动轨迹始终相同，但刚体上的 A 点显然 还有与刚体一起旋转的运动，而动坐标系的原点 o1 始终不产 生任何转动，其 x1 轴和 y1 轴的指向始终不变，这样的动坐标 系随 A 点运动时必然只存在平动方式，而且只反映刚体平面 运动中的平动部分，接下来在动坐标系中研究刚体的运动时，
令(υM)O′M、(υO′)O′M、(υMO′)O′M 分别表示 υM、υO′、υMO′ 在 O′M 上的投影，则根据式(10－1)可得：
(υM)O′M＝(υO′＋υMO′)O′M＝(υO′)O′M＋(υMO′)O′M
＝(υO′)O′M
(10－2)
第10章 刚体的平面运动
理论力学
式(10－2)在推导时，利用了 υMO′始终与 O′M 所具有的 垂直关系，故 υMO′在 O′M 上的投影(υMO′)O′M＝0。速度投 影定理的成立主要是由于刚体不可变形的假设而存在的。试 想，如果刚体上两点的速度在其连线上的投影不相等，那么 这两点之间的距离必然发生变化，这与刚体不可变形的假定 相矛盾。
第10章 刚体的平面运动
理论力学
10.2 刚体平面运动时的速度
10.2.1 基点法 根据前面的分析，刚体的任何平面运动都可以分解为两个简

《刚体的平面运动 》课件


刚体的平面运动速度和加速度是描述 刚体在平面内运动的物理量，分别表 示刚体在单位时间内移动的距离和速 度的变化率。
刚体的平面运动速度和加速度对于分 析刚体的动力学特性和稳定性具有重 要意义。
刚体的平面运动速度和加速度可以通 过求解平面运动方程得到，也可以通 过测量或实验获得。
03
刚体的平面运动中的力与力矩
的转动惯量不同。
转动惯量的应用
在刚体的平面运动中，转动惯量 用于描述刚体的转动状态，是计 算角速度、角加速度等物理量的
基础。
04
刚体的平面运动的实例分析
滑轮的运动分析
滑轮的转动惯量
计算滑轮的转动惯量，了解其与刚体平面运动的关系。
滑轮的角速度和角加速度
分析滑轮的角速度和角加速度，理解刚体平面运动的动态特性。
4. 使用摄像机记录运动轨迹时，注意 调整拍摄角度和光线条件。
实验结果与数据分析
实验结果
通过摄像机记录的刚体运动轨迹，可以观察到刚体的平面运动规律。例如，当施加的外力矩恒定时，刚体会绕固 定点做圆周运动；当外力矩变化时，刚体的运动轨迹也会发生变化。
数据分析
根据实验结果，可以计算出刚体的运动轨迹方程、角速度、线速度等参数，并分析这些参数与外力矩之间的关系 。通过对比理论值与实验值，可以验证刚体平面运动的规律。同时，还可以分析实验误差产生的原因，提高实验 的精度和可靠性。
力对刚体平面运动的影响
力的定义
力是物体之间的相互作用，表示为矢量，具有大小和方向。
力的作用效果
力可以改变物体的运动状态，包括速度大小、方向和加速度大小 、方向。
力的分解与合成
力在平面内可以分解为水平和垂直两个分量，两个力等效于它们 的合力。
力矩对刚体平面运动的影响

《刚体的平面运动》课件


刚体平动的实例分析
总结词
刚体平动的实例分析主要介绍了刚体在平面内沿某一方向做直线运动的情况，包 括匀速平动和加速平动。
详细描述
刚体平动的实例分析中，我们可以通过观察汽车在路面上行驶、火车在铁轨上飞 驰等实际现象，理解刚体平动的概念和特点。同时，通过分析匀速平动和加速平 动的动力学特征，可以深入了解刚体的平动运动规律。
03
刚体的平面运动的动力学
刚体的平动的动力学方程
平动的动力学方程：$F = ma$
描述刚体在平面内平动时的加速度和力之 间的关系。 适用于刚体在平面内直线运动或曲线运动 的情况。 考虑了刚体的质量对运动的影响。
刚体的定轴转动的动力学方程
定轴转动的动力学方程：$T = Ialpha$
描述刚体绕固定轴转动时的角加速度和力 矩之间的关系。 适用于分析刚体在平面内定轴转动的情况 。 考虑了刚体的转动惯量对运动的影响。
特点
刚体上任意一点的速度方 向都与该固定轴线平行， 且各点的速度大小相等。
应用
许多机械的运动可以简化 为刚体的定轴转动，如车
轮、电机转子等。
刚体的平面运动
定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动的运 动。
特点
刚体的运动轨迹是一个平面曲线，同时具 有平动和定轴转动的特征。
应用
许多复杂的机械运动可以简化为刚体的平 面运动，如曲柄连杆机构、凸轮机构等。
刚体的平面运动的运动学方程
平面运动定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动 。
运动学方程
解释
该方程描述了刚体在平面内既有平动 又有定轴转动的复杂运动，需要综合 考虑平动和定轴转动的运动学方程来 描述其运动轨迹。
需要将平动和定轴转动的运动学方程 结合起来，描述刚体在平面内的运动 轨迹。
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2 1
可以解得： 2
1 21 ctg
2
1 2
运动学/刚体的平面运动
【例10- 5】曲柄滚轮机构
已知：滚轮半径R=15cm，OA的 转速n=60 r/min，OA=R。 求：当 =60º 时 (OAAB)，滚 轮的Ｂ、Ｂ。 分析: 要想求出滚轮的Ｂ、Ｂ， 先要求出vB 、aB。 解： OA杆作定轴转动，AB杆和 轮B作平面运动。 (1) 研究AB杆 用速度瞬心法求vB P１为其AB的速度瞬心。
aB
aA
aB cos 30 aBA

n
运动学/刚体的平面运动
aB cos 30 aBA

n
n
20 3 2 3 aB aBA / cos 30 / 3 2 131.5cm/s 2 ()
(2) 研究轮B P2为其速度瞬心

40 2 3
a BA
n aBA
B vB / BP2 20 3 / 15 7.25rad/s （ ）
aO

R ？
OP
R 2 ？
由P指向O
故应先求出车轮 。
运动学/刚体的平面运动
解： （1）求车轮 、
轮O作平面运动，P为速度瞬心。
vO / R
（
）
此式在任何瞬时都成立，故有
v 0 R a0 R （
（可以作为公式用）
aPO
）
n aPO
运动学/刚体的平面运动
【例10- 3】沿直线轨道作纯滚动的车轮
已知：车轮半径为R， 轮心O点的 速度为 vO，加速度为 a 。
O
试求速度瞬心P的加速度，并讨论匀速 滚动时的加速度瞬心。 aPO 分析： 用基点法求解 以O为基点

n PO
n aPO
aO
aP aO aPO a
大小 方向 ？ ？
将基点法加速度公式
aB a A aBA aBA
向AB连线方向投影，有

n
a
τ BA
[aB ] AB [aA ] AB a 当 = 0时，anBA=0
有:
a
ε
n BA
n BA
aA
即当平面图形作瞬时平动时，
[aB ] AB [aA ] AB
加速度投影定理仅当 瞬时平动时成立！
当平面图形作瞬时平动时， 平面图形上任意两点的加速度在 这两点连线上的投影相等。 ——加速度投影定理
瞬时平动有加速度投影定理：
aA
n aA
a
(b)
n B
aB
aA AB aB AB
即：

A AB
a a a a
n

n
A
AB
B
AB
B
AB
2
O1 A 1 sin O1 A cos O2 B 2 sin O2 B 2 cos
即： 其中：

aa ae ar n aB a A aBA aBA
AB
2
aBA AB
n BA
a
加速度基点法：平面图形内任一点的加 速度等于基点加速度与该点随图形绕基 点转动的切、法向加速度三者矢量和。
运动学/刚体的平面运动
10- 4.2 加速度投影定理（补充）
aBA
？

aBA
Hale Waihona Puke n？水平AB 2 AB
由B指向A
由A指向O
AB
加速度矢量图如右图所示。 其中：
a BA
2 2
2 2
aA OA 15 (2 ) 60 cm/s

aA
n aBA
aBA AB AB
n
2
20 3 2 3 将上式向BA投影，得
2 2 3 15 ( ) 3
PO
aPO
n aPO
aO
aP a
n PO
vO R ()
2
讨论：1、速度瞬心P 不是加速度瞬心； 2、匀速滚动时，a0=0，ε=0，
此时轮心O为瞬时加速度中心，以O为基点分析，
而各点速度与绕P 作瞬时定轴转动相同。
各点加速度与绕O作瞬时定轴转动相同（参见ch.7例），
运动学/刚体的平面运动
B aB / BP2 131.5 / 15
8.77rad/s 2
（ ）
aB
aA
P2
vB 20 3 cm/s ()
运动学
本章作业:
《习题精选》第十章“刚体的平面运动” 题一 ~ 题九 ：加速度分析
aO
（2）求速度瞬心P的加速度，以O为基点：
aP aO aPO a
大小 方向 ？ ？

n PO
2
aO
→
R
←
R
↑
运动学/刚体的平面运动
作出加速度矢量图如图示。
合成结果为
aO aO a R R R 2 vO 2 vO n 2 aPO R R ( ) R R
20 3 cm/s

P1
AB
OB 2R 用基点法求 aB AP 1 OP 1 R 2OB R 3R 以A为基点，则B点加速度为 BP1 3 OB 2 3R
()
3
aB aA a
BA
aBA
n
运动学/刚体的平面运动
aB
大小 方向
aA
OA2
n n
vA vB
A
A
B
1 a / O1 A, 2 aB / O2 B

1 2
运动学/刚体的平面运动
（b） AB作平面运动，且图示瞬时作瞬时平动，有
AB 0, vA vB 1 vA / O1 A, 2 vB / O2 B 1 2
第十章
刚 体 的 平 面 运 动
2
运动学/刚体的平面运动
§10- 4 平面图形内各点的加速度 10- 4.1 基点法
已知某一瞬时图形S的ω,ε及其一 点A 的加速度 a A 和图形。
y’
y
a BA
n aBA
aBA
aA
x’
x 以A为基点，将动系固结(铰接)于A并 O 随A作平动，考察B点运动，由牵连平动加速度合成定理：

P1

vB
运动学/刚体的平面运动
n / 30 60 / 30 2 rad/s vA OA 15 2 30 cm/s
AB vA / AP 1 30 / 3R 2 rad/s （ ） 3 2 vB BP 1 AB 2 3 R
【例10- 4】
(a) 已知：O1A=O2B，图示瞬时 O1A/O2B。 解： （a） 因AB杆作平动，故有
(b)
试问：(a)、(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？
aA aB (a a , aA aB ) 1 2 1 vA / O1 A, 2 vB / O2 B