高中数学选修21第2章《圆锥曲线与方程》单元测试题

、选择题:高二圆锥曲线单元测试姓名: 得分:1.动点M的坐标满足方程13tx2 2y |12x 5y 12|,那么动点M的轨迹是〔A. 抛物线B.双曲线C.椭圆D.以上都不对2.设P是双曲线2 2\上一1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3xa292y 0, F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,假设IP% | 5,那么| PF2 | (A. 1 或5B. 1 或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为那么椭圆的离心率是〔〕F i、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,假设^ F1PF2为等腰直角三角形,A;八.2B. C. 2 2 D. 24.过点〔2,-1〕引直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线共有〔〕条A. 1B.2C. 3D.45.点A〔2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PA PB 2y ,那么点P的轨迹是〔〕A.圆B,椭圆C,双曲线 D.抛物线6.如果椭圆A x 2y2 2x y36 90 B. x1的弦被点〔4, 2〕平分,那么这条弦所在的直线方程是〔7、无论为何值,方程2y 4 0 x22sinC . 2x 3y 12 0y21所表示的曲线必不是〔D x 2y 8 0A.双曲线B.抛物线2 28.万程mx ny 0与mx 2nyC.椭圆D.以上都不对1 (m n 0〕的曲线在同一坐标系中的示意图应是C2 2 y — 1和双曲线—9 7 2y — 1有以下命题:9三、解做题:,,—………,14 (1),1共焦点,它们的离心率之和为二,求双曲线方程.(12分)5216. P 为椭圆—25.y — 1上一点,92的面积；点P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA PF(1)求点P 的坐标;(2)设M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线AP 的距离等于| MB | ,求椭圆上的点到 二、填空题:①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点；②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点 ③ 双曲线与椭圆共焦点；④椭圆与双曲线有两个顶点相同 .其中正确命题的序号是 10.假设直线 (1 a)x y 1 0与圆x 2 y 22x 0相切,那么a 的值为11、抛物线y x 2上的点到直线4x 3y 8 0的距离的最小值是 12、抛物线 C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,那么点Q 的坐标 2 2 13、椭圆 —L 1的焦点为F I 和F 2,点P 在椭圆上,如果线段 PF 1中点在y 轴上, 12 3那么|PR|是|PF 2|的 14.假设曲线1的焦点为定点,那么焦点坐标是17、求两条渐近线为2y 0且截直线x y 3 0所得弦长为曳3的双曲线方程.(14分)3.......................... 2 18、知抛物线y 焦点为F,顶点为.,点P 在抛物线上移动,Q 是OP 的中点,M 是FQ 的中点,求点M 的轨迹方程.(12分) 19、某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口道总AP 、BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m, PB=150m,/ APB=60 ° ,试说明怎样运土石最省工? 20、点A 、B 分别是椭圆——36 20 1长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,2• , 一 x 9.对于椭圆一1615.双曲线与椭圆25F I 、F 2为左右焦点,假设 F 1PF 2 60(2)求P 点的坐标.(14分)M 的距离d 的最小值圆梦教育高二圆锥曲线测试题做题卡选择题(5*8=40)题号12345678答案、填空题(5*6=30)9. ______________ 10 ______11. _______________ 12 ______13. _______________ 14. ______17、(14 分)19、〔14 分〕20、〔14 分〕高二理科数学圆锥曲线测试题答案9.①② 10、-1 11 > -12.3三、解做题：1.、(,,1) 13. 7倍 14. (0, ±3)415.(12 分)解：由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为 e=4 ,所以双曲线的焦点为522c=4,a=2,b=2#.所以求双曲线方程为：匕 x- 1412x 2-4y 2 = o联立方程组得： X 4y ,消去y 得,3x 2-24x+(36+x y 3 0、选择题ADDCDDBA填空题: 16.［解析］：丁 a=5, b= 3 c = 4(1)设 | PF I | t 1 , | PF 2 1t 2 ,那么 t 1t 210 ①t 12 t ；F 1PF 22"2 cos60 1"2 sin 60 2 82②,1 122由①3 2—②得用21233(2)设 P(x,y),由 S F 1PF 222c |y14 1yH 寸 4| y | 3%；33 31y1方入椭圆方程解得x 5J3, 417、解：设双曲线方程为 x 2-4y 2=.P(迎幽或P (返,室)或4 , 44 ,4P ( 5713 33、成丁 J P(4 5 1343J.设直线被双曲线截得的弦为 AB,且AlxjyDBl x 2,y 2),那么: 那么：|AB|二、.(1 , 2 2k )[(X I X 2) 4x 1X 2] (1 1)(82 36 4 3)解得： =4,所以,所求双曲线方程是: X IX 1X2242x 2 8 36 3 12(368(12—)8.318 [解析]: 4设 M (x,y), P ( X 1,yJ, Q y 2 1X 2 FQ 的中点 (X2, y2),1 X 22 2y 2易求4x 的焦点F 的坐标为( 1, 0)X2 V22x 2y1 ,又Q 是OP 的中点X I 2V1X I 2x 2 4x2y 2 4yF(0, 4),离心率为 2,从而)=0••.P 在抛物线y 2 4x 上,(4y)2 4(4x 2),所以M 点的轨迹方程为y 2x 工219解析：设直线l 与椭圆交于P i (x i, y .、P 2(X 2, y 2), 将P i 、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率犬1 +/2当一为［网』 产 £k= 1 t =- -：1. '< =- 一 =-二二—J由点斜式可得l 的方程为x+2y-8=0. 答案：x+2y-8=0 解：以直线l 为x 轴,线段AB 的中点为原点对立直角坐标系,那么在l 一侧必存在经A 到P 和 经B 到P 路程相等的点,设这样的点为 M,那么 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即 |MA| — |MB|=|BP|- |AP|=50,| AB | 50 7 ,椭圆上的点(x , y )到点M 的距离d 有M 在双曲线2522y2252 61的右支上.故曲线右侧的土石层经道口 按这种方法运土石最省工.B 沿BP 运往P 处,曲线左侧的土石层经道口 A 沿AP 运往P 处, 20(14分)解:(1)由可得点uuu设点 P (x , y ),那么 AP =( x +6,A(-6,0),F(0,4)uuuy ) , FP = ( x — 4, y ),由可得2(x 6)(x 4) y 2那么 2x 2+9x —18=0, x =3或 x =—6.2由于y >0,只能x = 3,于25、. 3 y= ---------了 2.・•点P 的坐标是(3,5-13-) 2 2(2)直线AP 的方程是x — J 3 y +6=0.设点M( m ,0),那么M 到直线AP 的距离是于是m 6,又—6M < 6军得 m =2.36 202 2 2 2 5 2 4 9.2d (x 2) y x 4x 4 20 x (x ) 15,9 9 2由于一6<m <6,,当x = 9"时,d取得最小值v1152说明：在解析几何中求最值：一是建立函数关系,利用代数方法求出相应的最值；再是利用圆锥曲线的几何性质或者曲线的参数方程求最值.。

选修2-1数学第2章圆锥曲线与方程单元练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A.√2B.12C.√24D.√222. 如图，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|=6，|BC|=52，则此双曲线的离心率为（）A.√2B.32C.52D.√53. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（）A.x24+y23=1 B.x23+y2=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=14. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点和焦点到C的同一条渐近线的距离之比为12，则双曲线C的离心率是()A.√2B.2C.√3D.35. 已知点A(0,1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:√5，则a=()A.2B.4C.6D.86. 焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x7. 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A.√32B.34C.√22D.238. 若双曲线x24−m +y2m−2=1的渐近线方程为y=±13x，则m的值为（）A.1B.74C.114D.59. 抛物线y=2x2的通径长为( )A.2B.1C.12D.1410. 已知双曲线C:x24−y2=1，则C的渐近线方程为 ( )A.y=±14x B.y=±13x C.y=±12x D.y=±x11. 椭圆x24+y25=1的离心率是（）A.3 5B.√55C.25D.1512. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线l与两条渐近线交于A，B两点．若△OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点）则△OAB的面积为( )A.a2B.2a3C.2a2或a2D.2a2或12a213. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.14. 若直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是________．15. 与椭圆x25+y23=1共焦点的等轴双曲线的方程为________．16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若k OD+k OE+k OF=−8（点O为坐标原点，且k OD，k OE，k OF均不为零），则1k AB +1k BC+1k AC=________.17. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.18. 回答下列问题：（1）求过点(2,−2)且与双曲线x 22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线x 24−y25=1的焦点到其渐近线的距离．19. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|=4，且∠F1AF2的最大值为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A′是A关于x轴的对称点，设点N(4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，问直线A′E与x轴是否交于一定点，如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.20. 已知椭圆的焦点在α轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e=√5，过椭圆的右焦点F的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程．(2)设点C是点A关于x轴的对称点，在α轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知直线l：x−y+1=0与焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P(1, 32)为椭圆上一点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，过点C(0, 1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．参考答案与试题解析选修2-1数学第2章 圆锥曲线与方程单元练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】 椭圆的定义 【解析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a 2−b 2=c 2，和离心率公式e =ca ，计算即可．【解答】解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b =2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2√2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a =2√2， 则椭圆的半焦距c =√a 2−b 2=1， 根据离心率公式得，e =c a =√2=√22； 故选D ． 2. 【答案】 B【考点】双曲线的标准方程 【解析】本题主要考查双曲线的几何性质． 【解答】解：因为2c =|AB|=6，所以c =3． 因为b 2a =|BC|=52，所以5a =2b 2． 又c 2=a 2+b 2，所以9=a 2+5a 2，解得a =2或a =−92（舍去），故该双曲线的离心率e =c a=32．故选B ． 3. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程 【解析】由|BF 2|=|F 1F 2|=2，可得a =2c =2，即可求出a ，b ，从而可得椭圆的方程． 【解答】解：∵ |BF 2|=|F 1F 2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=√3，∴椭圆的方程为x24+y23=1．故选A．4.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：∵双曲线C的顶点和焦点到同一条渐近线的距离之比为12，由三角形相似得ac =12，∴e=ca=2.故选B．5.【答案】D【考点】斜率的计算公式抛物线的性质【解析】无【解答】解：依题意F点的坐标为(a4,0)，作MK垂直于准线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|:|MN|=2:√5，则|KN|:|KM|=1:2.k FN =0−1a4−0=−4a ，k FN =−|KN||KM|=−12，所以−4a =−12，求得a =8. 故选D ． 6. 【答案】 A【考点】抛物线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，抛物线的焦点为(0,2)， 可得p =4.又抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 所以抛物线的标准方程为x 2=8y . 故选A. 7. 【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.【答案】 B【考点】 双曲线的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 C【考点】 抛物线的定义 抛物线的性质 【解析】抛物线y =−2x 2，即x 2=−12y ，可得2p .解：抛物线y=2x2，化为标准方程为x2=12y，可得2p=12，因此通径长为12.故选C．10.【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可. 【解答】解：由题意可得，a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故选C.11.【答案】B【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2=a2−b2就可求出c，再利用离心率e=ca得到离心率．【解答】解：由椭圆方程为x 24+y25=1可知，a2=5，b2=4，∴c2=a2−b2=1，a=√5，∴c=1，∴椭圆的离心率e=ca =√55.故选B.12.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线中的平面几何问题本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.【解答】解：①若∠AOB=90∘，则∠AOF=45∘，∴ba=1故c=√a2+b2=√2a，∴S△OAB=12⋅2c⋅c=c2=2a2；②若∠BAO=90∘，则l与y=bax垂直且过F点，垂足为A，∴ l的斜率为−ab，则直线l的方程为y=−ab(x−c)，联立{y=−ab⋅(x−c),y=bax,解得x=a 2c ，y=abc，则点A为(a 2c ,ab c)∴ △OAB为等腰直角三角形，OB为斜边，∴ OA=AB，OA2=(a2c )2+(abc)2=a2，∴S△OAB=12OA⋅AB=12OA2=12a2.综上所述S△OAB=2a2或12a2.故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√15【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆方程可知a=3，c=2，∴F(−2, 0)，根据题意，画出图形：设线段PF中点为M，椭圆右焦点为F1，∵M在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，∴F1也在圆上，连接OM, PF1, MF1，则∠FMF1=90∘，OM是△FPF1的中位线，∴|PF1|=2|OM|=2|OF|=2×2=4，由椭圆定义|PF|+|PF1|=2a=6，得|PF|=2，|MF|=|PF|2=1，又∵∠FMF1为直角，|MF1|2=|FF1|2−|MF|2=15，∴tan∠MFF1=|MF1||MF|=√151=√15，∴直线PF的斜率是√15.故答案为：√15.14.【答案】(−1,1]∪{−√2}【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】x=√1−y2⇔x2+y2=1(x≥0)方程x2+y2=1(x≥0)所表示的曲线为半圆（如图）当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．此时−1<b≤1或b=−√2，所以b的取值范围是(−1,1]∪{−√2}．15.【答案】x2−y2=1【考点】双曲线的标准方程圆锥曲线的共同特征【解析】利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．【解答】解：对于x 25+y23=1知半焦距为c=√5−3=√2所以双曲线的焦点为(±√2,0)设等轴双曲线的方程为x 2a2−y2a2=1据双曲线的三参数的关系得到2a2=2所以a2=1所以双曲线的方程为x2−y2=1．故答案为：x2−y2=116.【答案】−1【考点】斜率的计算公式中点坐标公式与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12−y128=1，x22−y228=1,两式相减得(x1−x2)(x1+x2)=(y1+y2)(y1−y2)8，整理可得x1−x2y1−y2=y08x0，即1k AB=k OD8，同理得1k BC =k OE8，1k AC=k OF8.因为k OD+k OE+k OF=−8，所以1k AB +1k BC+1k AC=−1.故答案为：−1.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 双曲线的标准方程 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 18. 【答案】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线， 所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．【考点】双曲线的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2， 所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．19.【答案】解：(1)点A 为椭圆C 上任意一点， A 关于原点O 的对称点为B ， 由|AF 1|+|BF 1|=4知 2a =4， 得a =2.又∠F 1AF 2的最大值为π3，知当A 为上顶点时，∠F 1AF 2最大， 所以a =2c ， 得c =1，所以b 2=a 2−c 2=3. 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题知NA 的斜率存在，设NA 方程为 y =k(x −4)，与椭圆联立，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0.① 设点A (x 1,y 1),E (x 2,y 2)， 则A ′(x 1,−y 1).直线A ′E 方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y1=k(x1−4),y2=k(x2−4)代入，整理得，x=2x1x2−4(x1+x2)x1+x2−8.②x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3.代入②整理，得x=1.所以直线A′E与x轴交于定点Q(1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题与直线关于点、直线对称的直线方程直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，由|AF1|+|BF1|=4知2a=4，得a=2.又∠F1AF2的最大值为π3，知当A为上顶点时，∠F1AF2最大，所以a=2c，得c=1，所以b2=a2−c2=3.所以椭圆C的标准方程为x 24+y23=1.(2)由题知NA的斜率存在，设NA方程为y=k(x−4)，与椭圆联立，得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0.①设点A(x1,y1),E(x2,y2)，则A′(x1,−y1).直线A′E方程为y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y 1=k (x 1−4),y 2=k (x 2−4)代入， 整理得，x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8.②x 1+x 2=32k 24k 2+3， x 1x 2=64k 2−124k 2+3.代入②整理，得x =1.所以直线A ′E 与x 轴交于定点Q(1,0). 20. 【答案】（1）椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）由椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(ab >0)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b =1， 由e =ac √1−b 2a 2=√5解得a 2=5，∴ 椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）由得F (2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)设直线l 的方程为y =k (x −2)(k ≠0),代入椭圆方程，消去y 可得 (5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0, 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1x 2=20k 2−55k 2+1．∵ 点C 与点A 关于x 轴对称， ∴ C (x 1,−y 1) ．假设存在N (t,0),使得C ，B ，N 三点共线， 则BN →=(t −x 2,−y 2),CN →=(t −x 1,y 1). ∵ C ，B ，N 三点共线，∴ BN →//CN →，∴ (t −x 2)y 1+(t −x 1)y 2=0， 即(y 1+y 2)t =x 2y 1+x 1y 2 ∴ t =k (x 1−2)x 2+k (x 2−2)x 1k (x 1−2)+k (x 2−2) =2⋅20k 2−55k 2+1−2⋅20k 25k 2+120k 25k 2+1−4=52∴ 存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线．21.【答案】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 【考点】直线与抛物线结合的最值问题 二次函数在闭区间上的最值 抛物线的标准方程 直线与圆的位置关系【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 22. 【答案】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =ca =2，则a ＝2c ． 又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0． ∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x 12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0． 解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a ＝2c ，进而可得b =√3c ，则椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将P 的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案； （2）根据题意，设直线l 的方程为y ＝kx +1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将直线的方程与椭圆联立，可得(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0，由根与系数的关系分析，：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0，解可得k 的值，即可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =c a=2，则a ＝2c ．又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0．∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴ y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k 3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0．解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32．。

选修2-1《圆锥曲线与方程》单元测试题一、选择题1．已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） Ａ．k ＜１ Ｂ．k ＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２2、已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 ( )A.a 2B.a 4C.a 8D.b a 22+3、一动圆与圆221x y +=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆 的圆心在（ ）.A 一个椭圆上 .B 一条抛物线上 .C 双曲线的一支上 .D 一个圆上4、抛物线y 2=4px （p ＞0）上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴距离为 ( )A.a －pB.a+pC.a －2pD.a+2p5.双曲线22a x -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A. 2B.3C. 2D.236、.我们把离心率e =的椭圆叫做“优美椭圆”。

设椭圆22221x y a b+=为优美椭圆，F 、A 分别是它的右焦点和左顶点，B 是它短轴的一个端点，则ABF∠等于（ ）A. 60B.75C.90D. 120二、填空题7．设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆的方程是8.直线1y x =-与椭圆22142x y +=相交于,A B 两点，则AB = ． 9. 已知F P ),1,4(-为抛物线x y 82=的焦点，M 为此抛物线上的点，且使MF MP +的值最小，则M 点的坐标为10．过原点的直线l ，如果它与双曲线14322=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ．三.解答题11.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线12222=-by a x 的右焦点,而且与x 轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点)6,23(-,求抛物线和双曲线的方程.12.双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围.选修2-1《圆锥曲线与方程》单元测试题解答一．选择题： CBB AAC二．填空题：7. 1222=+y x8. 39.1(,1)8- 10. 22k k <-> 三．解答题11. 解：由题意可设抛物线方程为)0(22>-=p px y因为抛物线图像过点)6,23(-，所以有)23(26-⨯-=p ，解得2=p所以抛物线方程为x y 42-=，其准线方程为1=x 所以双曲线的右焦点坐标为（1，0）即1=c又因为双曲线图像过点)6,23(-，所以有164922=-b a 且122=+b a ，解得43,4122==b a 或8,922-==b a （舍去）所以双曲线方程为1434122=-y x 12. 解:直线l 的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1 =22)1(b a a b +-.同理得到点(-1,0)到直线l 的距离d 2=22)1(b a a b ++.s= d 1 +d 2=22b a ab +=c ab 2.由s ≥54c,得c ab 2≥54c,即5a 22a c -≥2c 2.于是得512-e ≥2e 2.即4e 2-25e+25≤0.解不等式,得45≤e 2≤5.由于e>1>0,所以e 的取值范围是525≤≤e。

第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（ ）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．32D ． 26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）A ．22 B ．2 C ．322D ．2 2 10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|P A |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积． 21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ．（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4．4．若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =c a a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（ab）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ． 二、填空题13．18 14．x 281＋y 272＝1 15．10 16．92 17．823 18．3提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823． 18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p ，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p 212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0），从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576，所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1．20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，①又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c＝－1，得：c 2＝25，② 又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1；（2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8，所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1， 所以e 的取值范围为（62，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713．24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3，所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2， 所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0），则（x 1－x 2）2＝36t (3t ＋4)2＝369t ＋16t ＋24≤3629t ×16t ＋24＝34， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．。

第二章圆锥曲线与方程单元综合测试班别： 姓名： 成绩：一、选择题(每小题5分，共60分) 1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34C.22D.232．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1020D.1023．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB | 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．37．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0 9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴 上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.3210．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b <0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若 PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.1＋32 C ．2 D.1＋2212．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意 一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3] 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是．14．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________， ∠F 1PF 2的大小为________．15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，则点M 的轨迹方程是 ． 16．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于__________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共60分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18、（12分）知抛物线xy42 ，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，P A →·PB→＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标．21．（14分）已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．第二章圆锥曲线与方程单元综合测试参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．A 解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，故选A.2．A 解析 把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m＝1，则a 2＝－3m ，b 2＝－1m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝－4m ＝4，∴m ＝－1.3．B 解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．4．D 解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2， 则点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选D. 5．D 解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，故选D. 6．B 解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，则 易求得|AB |＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝3，故选B.7．B 解析：由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条．8．D 解析：设l 与椭圆的两交点分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.9．C 解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，因为A 、B 在渐近线上，所以1＝b a ·2，b a ＝22，e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝62.10．C 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.11．A 解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，则由勾股定理，得 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，① 由双曲线的定义，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③ 由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)． 12．D 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca ≤3， 得e ∈(1,3]，故选D. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．x 29－y 2＝1 解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是 (10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.14．2；120° 解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.15．(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2 解析：由题意知|MP |＝|F 1P |，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a .∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.16．2 2 解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由2(1)4y x y x=--⎧⎨=⎩,得y 2＋4y －4＝0，∴|y 1－y 2|＝()()221212444442y y y y +-=-+⨯=∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2. 三、解答题17．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. （10分）18． [解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22122y y x x ⇒⎩⎨⎧=-=y y x x 21222，又Q 是OP 的中点 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==221212y y x x ⇒⎩⎨⎧==-==yy y x x x 422422121，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y . （12分）19．解：设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1. （12分）20．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB→＝x 2－2＋y 2.① ②∵P A →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2， 即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为 m 1：y ＝kx ＋b . 由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.① 把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0， 则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 此时，由方程组⎩⎨⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．（12分）21． [解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)， 2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322 将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2 即Q (－3km 1＋3k 2，m1＋3k 2) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上，∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22 …③又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0， ∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1). （14分）。

选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.2－12 D.347．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( ) A ．2a ＋2m B ．4a ＋2m C ．a ＋m D ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( ) A ．5 6 B ．6 5 C ．10 2 D ． 5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r|等于( )A ．3B ．6C ．1D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ ___________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF u u u r＝3FB u u u r，则k ＝________.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (p,0)的直线与抛物线交于A 、B 两点，则OA u u u r ·OB uuu r ＝________.16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_ _______. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18．(本小题满分12分)已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．19.( 本小题满分12分)已知两个定点A (－1,0)、B (2,0)，求使∠MBA ＝2∠MAB 的点M 的轨迹方程．20．(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA u u u r ·PB u u u r ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)．21.( 本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA u u u r ＝m FA u u u r ，MB u u u r ＝n FB u u u r，求m ＋n 的值．选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题参考答案选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDDABBABACB【第5题解析】2201.02.21 3.x y b y x a c ======∴=-=时，时，故选A.【第6题解析】2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2，又∵c ＝m 2－m 2－1＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.故选B.【第7题解析】∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a ，|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m ，∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ..故选B. 【第8题解析】如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.故选A. 【第9题解析】由题意B 为抛物线的焦点．令A 的横坐标为x 0，则|AB |＝x 0＋1＝1，∴x 0＝0.故选B. 【第10题解析】由题得2,0|3,26,P p x y ∴=∴=±焦点的坐标为（），PM|=5,1526562PFM S ∆∴=⋅⋅= .故选A.【第11题解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x消去y 得，k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝[－4(k ＋2)]2－4k 2×4＝64(1＋k )>0，解得k >－1，由x 1＋x 2＝4k ＋2k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2.故选C. 【第12题解析】因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.填空题答案第13题 22或2－1 第14题 3 第15题－p 2第16题2【第14题解析】设直线l 为抛物线的准线，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，由AF →＝3FB u u u r ，∴cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴tan∠BAE ＝ 3.即k ＝ 3.故填 3.【第15题解析】直接取两个特殊点1212(2)(,2)A p B p OA OB x x y y -∴⋅=+u u u r u u u r和，222p p =-2p =-.故填－p 2.【第16题解析】设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故|BF |＝|AF |＝2. 故填2. 【第17题答案】x 24－y 2＝1.【第17题解析】由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5c 2＝a 2＋b 2c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 【第19题答案】点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)． 【第19题解析】设动点M 的坐标为(x ，y )． 设∠MAB ＝β，∠MBA ＝α，即α＝2β， ∴tan α＝tan 2β，则tan α＝2tan β1－tan 2β.① (1)如图(1)，当点M 在x 轴上方时，tan β＝y x ＋1，tan α＝y2－x， 将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y >0)； (2)如图(2)，当点M 在x 轴的下方时， tan β＝－y x ＋1，tan α＝－y2－x， 将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y <0)；(3)当点M 在x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段AB 上运动(端点A 、B 除外)，只能有α＝β＝0. 综上所述，可知点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)． 【第20题答案】（1）x 2＝2y ；（2）证明见解析. 【第20题解析】(1)解 ∵A (0，－2)，B (0,4)， ∴PA →＝(－x ，－2－y )，PB →＝(－x,4－y )．【第21题答案】（1）抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；（2）符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【第21题解析】(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ， 得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 【第22题答案】（1）x 25＋y 2＝1；（2）m ＋n ＝10.【第22题解析】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)， 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝255. 得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.FA u u u r ＝ (x 1－2，y 1)，FB u u u r＝(x 2－2，y 2)．∵MA →＝m FA u u u r ，MB →＝n FB u u u r ，∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2， ∴m ＋n ＝2x 1x 2－2x 1＋x 24－2x 1＋x 2＋x 1x 2， 又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k2 ＝－101＋5k2， 4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2 ＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2， ∴m ＋n ＝10.。

高二数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程单元检测（含答案）圆锥曲线与方程是高二数学最常考察的知识点，以下是第2章圆锥曲线与方程单元检测，希望对大家有帮助。

一、填空题1.已知A-12，0，B是圆F：x-122+y2=4 (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹为________.2.方程5(x+2)2+(y-1)2=|3x+4y-12|所表示的曲线是________.3.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从焦点F2向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，延长F2P 交F1M的延长线于G，则P点的轨迹为__________(写出所有正确的序号).①圆;②椭圆;③双曲线;④抛物线.4.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹是____________.5.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是________.6.若点P到F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点P的轨迹表示的曲线是________.7.已知两点F1(-5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是__________.8.一动圆与⊙C1：x2+y2=1外切，与⊙C2：x2+y2-8x+12=0内切，则动圆圆心的轨迹为______________.二、解答题9.已知圆A：(x+3)2+y2=100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P 过B点且与圆A内切，求证：圆心P的轨迹是椭圆.10.已知△ABC中，BC=2，且sinB-sinC=12sinA，求△ABC的顶点A的轨迹.能力提升11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号).①直线;②圆;③双曲线;④抛物线.12.如图所示，已知点P为圆R：(x+c)2+y2=4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹.1.椭圆定义中，常数F1F2不可忽视，若常数2.双曲线定义中，若常数F1F2，则这样的点不存在;若常数=F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线.3.抛物线定义中Fl，若Fl，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l的直线.第2章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线知识梳理3.两个定点F1，F2的距离的和焦点焦距4.两个定点F1，F2距离的差的绝对值焦点焦距5.到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点定点F 定直线l6.圆锥曲线作业设计1.椭圆解析由已知，得PA=PB，PF+BP=2，PA+PF=2，且PA+PFAF，即动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆.2.抛物线解析由题意知(x+2)2+(y-1)2=|3x+4y-12|5.左侧表示(x，y)到定点(-2,1)的距离，右侧表示(x，y)到定直线3x+4y-12=0的距离，故动点轨迹为抛物线.3.①解析∵F2MP=GMP，且F2PMP，F2P=GP，MG=MF2.取F1F2中点O，连结OP，则OP为△GF1F2的中位线.OP=12F1G=12(F1M+MG)=12(F1M+MF2).又M在椭圆上，MF1+MF2=常数，设常数为2a，则OP=a，即P在以F1F2的中点为圆心，a为半径的圆上.4.椭圆5.椭圆6.抛物线解析由题意知P到F的距离与到直线x=-4的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线.7.双曲线8.双曲线的一支9.证明设PB=r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距PA=10-r，即PA+PB=10(大于AB).点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.10.解由正弦定理得：sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.代入sinB-sinC=12sinA得：b-c=12a，即b-c=1，即AC-AB=1 (A的轨迹是以B、C为焦点且靠近B的双曲线的一支，并去掉与BC的交点.11.④解析∵D1C1面BCC1B1，C1P平面BCC1B1，D1C1C1P，点P到直线C1D1的距离即为C1P的长度，由题意知，点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离相等，这恰符合抛物线的定义.12.解由题意，得MP=MQ，RP=2a.MR-MQ=MR-MP=RP=2a点M的轨迹是以R、Q为两焦点，实轴长为2a的双曲线右支. 第2章圆锥曲线与方程单元检测的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家新学期可以取得更好的成绩。

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积． 解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。