专题05 数列(第02期)-决胜2016年高考全国名校试题理数分项汇编(浙江特刊)(解析版)

第六章 数列一．基础题组1.（安徽省合肥市第八中学2016届高三阶段考试、文、3）已知等差数列}{n a 的前13项之和为39，则876a a a ++等于 ( )A ．6B .9C ． 12D ．182(陕西省镇安中学2016届高三月考、文、7）以n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，若2756a a a +-=，则7S = ( )A ．42B ．28C ．21D ．143.（宁夏银川一中2015届高三模拟考试、文、4）等差数列}{n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．74.（重庆市部分区县2016届高三上学期入学考试、文、3）已知正数组成的等比数列}{n a ，若100201=a a ，那么147a a +的最小值为（ ） A ．20B ．25C ．50D ．不存在5.（广东省广州六中等六校2016届高三第一次联考、文、4）设等比数列}{n a 的公比21=q ，前n 项和为n S ，则=33a S ( ) A ．5 B ．7 C ．8 D ．156.（石家庄市2016届高三复习教学质检、文、13）已知等比数列{}n a 满足：13241,2,a a a a +=+=则46a a += ．二．能力题组1.（海南省文昌中学2015届高三模拟考试、文、5）已知一个等差数列的前四项之和为 21， 末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A ．24B ．26C ．27D ．282.（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高三联、文、4）设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ）A ． 6B ． 7C ． 10D ． 93.（云南省玉溪市第一中学2016届高三月考、文、8）在等差数列}{n a 中，912132a a =+，则数列}{n a 的前11项和=11S （ ）A ．24B ．48C ．66D ．1324.(辽宁省五校协作体2016届高三上学期期初考试数学、文、4)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 5 2，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n＝( )A.4n －1B.4n －1C.2n －1D.2n －15.(辽宁省五校协作体2016届高三上学期期初考试数学、文、14)数列}{n a 满足11=a ，且 11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 . 6.（广东省惠州市2016届高三调研、文、17）已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．三．拔高题组1.(黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2015届高三期末考试、文、10）已知等差数列}{n a 的公差d 不为零，等比数列}{n b 的公比q 是小于1的正有文数.若211,d b d a ==，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 的值可以是 A. 71B.61 C. 31 D. 212.（广东省廉江一中2016届高三月考、文、12）已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－323.(海南省嘉积中学2015届高三下学期测试、文、16）把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列{}n a ，若a n =2015，则n =_________.4.（广东省广州市荔湾区2016届高三调研测试、文、17）已知数列{}n a 满足：0n a ≠,113a =，112n n n n a a a a ++-=⋅，(n N *∈).（1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）证明：122311...6n n a a a a a a ++++<.5.(陕西省镇安中学2016届高三月考、文、18）已知等差数列}{n a ，满足15,351==a a ，数列}{n b 满足31,451==b b ,设n n n a b c -=，且数列}{nc 为等比数列.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式. (2)求数列}{n b 的前n 项和.6.(安徽省示范高中2016届高三第一次联考、文、17）已知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且3271,48a a a ==。

第六章 数列一．基础题组 1. 【福建省厦门第一中学2015——2016学年度第一学期期中考试】已知数列{}n a 为等比数列，且2113724a a a π+=，则212tan()a a 的值为（ ）A 、B 、CD 、2. 【汕尾市2016 届高三学生调研考试】已知是等差数列{}n a ，且28a a +＝16，则数列{}n a 的前9 项和等于（ ）A.36B.72C.144D.2883. 【2016届广东云浮、揭阳、清远、阳江等八市联考】已知等比数列{a n }的公比q=2，且2a 4，a 6，48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511D ．10234. 【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】在等差数列{}n a 中，912132a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =（ ）A ．24B ．48C ．66D ．1325. 【河北省衡水中学2016届上学期高三年级四调考试】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．926. 【河北省正定中学2015-2016学年高三第一学期期末考试】等比数列{}n a 中，4021=+a a ，6043=+a a ，=+87a aA ．135B ．100C ．95D ．807. 【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考】已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a aa a +=+ ( )A. 1+B. 1C.3+D.3-8. 【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且267n S n n =-++，则数列{}n a 的最大项的值为 .9. 【河北省衡水中学2016届上学期高三年级四调考试】已知数列{}n a 对于任意p ，q *∈N ，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ． 10. 【福建省厦门第一中学2015——2016学年度第一学期期中考试】（本小题满分12分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11n n S a a =-，数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和n T（Ⅰ）求,n n a T（Ⅱ）若n N *∀∈，不等式223n t t T λ++<恒成立，求使关于t 的不等式有解的充要条件．11. 【广东省韶关市2016届高三1月调研测试】（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b满足1n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 12. 【2016届广东云浮、揭阳、清远、阳江等八市联考】已知{}n a 是一个等差数列，{}n a 的前n 项和记为n S ，41=a ，213=S ． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设数列{}n b 满足7161=b ，n an n b b 21=-+，求数列{}n b 的通项公式． 13. 【湖南省2016届高三四校联考试题】（本小题满分12分）已知数列{}n a 与{}n b 满足))((211*++∈-=-N n b b a a n n n n . （1）若11=a ，53+=n b n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若61=a ，)(2*∈=N n b n n 且λλ22++>n a n n 对一切*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.14. 【江西省吉安一中2015-2016学年度上学期期中考试】（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，{}n b 为等比数列，且11a b =，2211()b a a b -=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n C a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .二．能力题组1. 【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】在等差数列{}n a 中，“13a a <”是“数列{}n a 是单调递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 【湖北省优质高中2016届高三联考试题】如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l ，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则233445201520169999a a a aa a a a ++++=（ ）A ．20122013B ．20132012C ．20142015D ．201420133. 【惠州市2016届高三第三次调研考试】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，{}(2)n n nS n a ++为等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =．4. 【汕尾市2016 届高三学生调研考试】已知数列为等比数列，，若数列满足则的前n 项和n S = .5. 【河北省衡水中学2016届上学期高三年级四调考试】（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有n m S λ<T +成立，求实数λ的取值范围．三．拔高题组1. 【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，245,2,a a a +成等差数列，12a =，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则104S S -=（ ）A ．1008B ．2016C ．2032D ．40322. 【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】已知数列{}n a 满足160a =，12n n a a n +-=（n *∈N ），则na n的最小值为 ． 3. 【河北省正定中学2015-2016学年高三第一学期期末考试】已知数列{}n a 满足11=a ，)2(1222≥-=n S S a n nn ，其中n S 为{}n a 的前n 项和，则=2016S ________.4. 【湖北省优质高中2016届高三下学期联考】已知数列3n n a =，记数列{n a }的前n 项和为n T ，若对任意的 n ∈N* ，3()362n T k n +≥-恒成立，则实数 k 的取值范围 ．5. 【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝______6. （2016郑州一测）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7. 【湖南省东部六校2016届高三联考】（本小题满分12分）已知ABC ∆的角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，其面积34=S ，060=∠B ，且2222b c a =+；等差数列{}n a 中，且1a a =，公差b d =．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前21n +项和21n P +．：。

第五章 数列一．基础题组1.（浙江省2015届高三第二次考试五校联考，文2）已知数列{}n a 满足：21n a n n =+，且910n S =，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C考点：裂项求和.2.（浙江省杭州第二中学2015届高三仿真考，文2）在各项均为正数的等比数列}{n b 中，若387=⋅b b ，则1432313log log log b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C考点：1、对数的运算法则；2、等比数列的性质．3.（浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试，文6）已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，1b 是正整数，若1110a b +=，则129b b b a a a +++=L （ ）A ．81B ．99C ．108D ．117 【答案】D . 【解析】考点：1、等差数列；2、等差数列的性质；5.（衢州市五校2015届高三上学期期中联考，文5）数列{a n }为等差数列，若a 2＋a 8＝23π，则)tan(73a a +的值为( ) A ．33 B ．33- C ．3 D ．3-【答案】D.【解析】由等差数列的性质，得33tan 32tan )tan()tan(8273-=-==+=+ππa a a a . 考点：等差数列的性质、诱导公式.6.（浙江省2015届高三第一次五校联考，文2）在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C.考点：等差数列的性质.7.（绍兴市2015年高三教学质量检查，文2）【答案】C【解析】试题分析：由已知得，311(12)12212a a -+⨯=-，解得113a =，故选C .考点：1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和公式.8.（嵊州市2015年高三第二次教学质量调测，文4）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84=a ，且11n n S pS +=+，则实数p 的值为（ ）A ．1B ．2CD ．4 【答案】B考点：1.等比数列的性质，等比数列的求和公式.9.（浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测，文4）设等差数列}{n a 的前行项和为n S ，若30953==S S ，，则=++987a a a （ ）A ．63B ．42C ．36D ．27 【答案】A考点：等差数列性质10.（温州市2015届高三下学期第三次适应性测试，文9）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，410=a ，312=S ，则数列{}n a 的首项1=a ▲ ，通项n =a ▲ ．【答案】1,32n -【解析】试题分析：由410=a ，312=S 知11310332122a d da +=⎧⎪⎨+⨯⨯=⎪⎩，解得11,3a d ==，所以32n a n =-. 考点：等差数列的通项公式及前n 项和公式11（嵊州市2015年高三第二次教学质量调测，文14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为正整数．．．d .若22331S a +=，则d 的值为 ▲ ． 【答案】1考点：1.等差数列的性质，2.等差数列的前n 项和，3.一元二次方程的根的判别式.12.（绍兴市2015届高三上学期期末统考，文9）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．若143n n S S +=-，则q = ，1a = ．【答案】4 3-考点：等比数列的公比及首项13.（宁波市鄞州区2015届高考5月模拟，文10）已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=-≥，121,3a a ==，记12n n S a a a =+++K .则3a = ▲ ，2015S = ▲ . 【答案】2,2. 【解析】试题分析：因为121,3a a ==，所以3214325436547652,1,3,2,1a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，且1234560a a a a a a +++++=，所以2015122015123452S a a a a a a a a =+++=++++=.考点：1.数列递推公式；2.周期数列求和.14.（浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测，文20）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()1n n n S t S a =-+（t 为常数，且0,1t t ≠≠）．（1）设2n n n n b a S a =+⋅，若数列{}n b 为等比数列，求t 的值；（2）在满足条件（1）的情形下，设41n n c a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式12274nkn n T ≥-+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）21=t ，（2）321≥k（1）()()211n n nn t t b tt t-=+⋅-，即212121n n n n t t t b t+++-=-，若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而()()23421232,21,21b t b t t b t t t ==+=++，故()()()2324221221t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =， 再将12t =代入n b ，得1()2n n b =， 由112n nb b +=，知{}n b 为等比数列，12t ∴=． （5分）考点：等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|13P x R x =∈≤≤，{}2|4Q x R x =∈≥，则()R P Q = ð（ ）（A ）[]3,2（B ）(]2,3- （C ）[)1,2 （D ）(][),21,-∞-+∞2．已知互相垂直的平面βα,交于直线l ，若直线n m ,满足α//m ，β⊥n 错误！未找到引用源。

，则（ ） （A ）l m // （B ）n m // （C ）l n ⊥ （D ）n m ⊥3．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线02=-+y x 上的投影构成的线段记为AB ，则=||AB （ ） （A ）22 （B ）4 （C ）23（D ）64．命题“R x ∈∀，+∈∃N n ，使得2x n ≥”的否定形式是（ ） （A ）R x ∈∀，+∈∃N n ，使得2x n <（B ）R x ∈∀，+∈∀N n ，使得2x n <（C ）R x ∈∃，+∈∃N n ，使得2x n < （D ）R x ∈∃，+∈∀N n ，使得2x n < 5．设函数()c x b x x f ++=sin sin 2，则()x f 的最小正周期（ ） （A ）与b 有关，且与c 有关 （B ）与b 有关，但与c 无关 （C ）与b 无关，且与c 无关（D ）与b 无关，但与c 有关6．如图，点列{}n A 、{}n B 分别在某锐角的两边上，且112||||n n n n A A A A +++=，1n n A A +≠，+∈N n ，112||||n n n n B B B B +++=，1n n B B +≠，+∈N n 。

一．基础题组1.【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理）试题】为得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移π4单位B. 向右平移π4单位C. 向左平移π8单位D. 向右平移π8单位【答案】D考点：三角函数图象的平移变换．【方法点睛】利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现．无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍（0ω>），再沿x 轴向左（0ϕ>）或向右平移||ϕω个单位可得到sin()y A x ωϕ=+的图象．2．【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ▲ ）A ． 向左平移3π个单位长度 B ． 向右平移3π个单位长度 C ． 向左平移6π个单位长度D ． 向右平移6π个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：因为sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需将函数sin 2y x =的图像向右平移6π各单位即可得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象；故D 正确. 考点：三角函数伸缩平移变换.3．【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对角分别为A ，B ，C ，且sin sin 2BAab=，则cosB 的值为（ ▲ ）A ．B ． 12C ． 12-D ． 【答案】C考点：正弦定理．4.【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】已知函数()sin()f x x π=-，()()g x cos x π=+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数)()(x g x f y ⋅=的最小正周期为π2B ．函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为2C ．将函数的图)(x f y =象向左平移2π单位后得)(x g y =的图象 D ．将函数)(x f y =的图象向右平移2π单位后得)(x g y =的图象【答案】C. 【解析】试题分析：∵()sin()sin f x x x π=-=-，()cos()cos g x x x π=+=-， ∴sin 2()()sin (cos )2x f x g x x x ⋅=-⋅-=。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=（）
A.[2,3]
B.(-2,3]
C.[1,2)
D.
2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则（）
A. B. C. D.
3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域
中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）
A. B.4 C. D.6
4.命题“使得”的否定形式是（）
A.使得
B.使得
C.使得
D.使得
5.设函数，则的最小正周期（）
A.与b有关，且与c有关
B.与b有关，但与c无关
C.与b无关，且与c无关
D.与b无关，但与c有关
6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，
，
，.（表示点P与Q不重合）
若，为的面积，则（）
A.是等差数列
B.是等差数列
C.是等差数列
D.是等差数列
7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，
分别为的离心率，则（）
A.且
B.且
C.且
D.且
8.已知实数. （）
A.若则
B.若则
C.若则
D.若则
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .
10.已知，则A= ，b= .
11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.。

一．基础题组1。

【浙江省金丽衢十二校2016届高三上学期第一次联考数学（文）试题】下列函数中,既不是奇函数，也不是偶函数的是( ） A ．0y = B ．sin 2y x = C ．lg y x x =+ D ．22xx y -=+【答案】C 。

考点:函数的奇偶性判定．2．【浙江省临海市台州中学2016届高三上学期第三次统练数学（文）试题】已知0log log,10<<<<n m a a a,则（)A ． 1n m <<B ． 1m n<< C ．1m n <<D ．1n m <<【答案】A 【解析】试题分析:因为0log log ,10<<<<n m a a a,所以log log log 11a a a m n m n <<⇒>>，所以选A 。

考点:对数函数的单调性.3。

【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（文）试题】若函数()xf x ab=-的图象如图所示，则( ）A 。

1a >，1b > B.1a >,01b << C 。

01a <<，1b > D 。

01a <<,01b <<【答案】D 【解析】试题分析：由图易知01a <<，而函数xy ab =-的图象是由函数x y a =的图象向下平移b 个单位得到的，而函数xy a =恒过点(0,1)，所以由图可知01b <<，故选D ．考点:函数的图象．4．【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】关于x 的方程0||2=+-a x ax 有四个不同的解,则实数a 的值可能是（ ▲ ）A ．41B ． 21 C ． 1 D ． 2【答案】A考点：根的存在性及根的个数判断．5．【浙江省台州市九峰高中2016届高考数学适应性试卷（文科）】设x取实数，则f（x）与g（x)表示同一个函数的是（）A． B．C．f（x）=1,g（x）=（x﹣1）0D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】对应思想;定义法；函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=x2（x∈R），与g（x）==｜x｜(x∈R)的对应关系不同，所以不是同一函数;对于B，f（x）==1(x＞0)，与g（x）==1（x＞0）的定义域相同，对应关系也相同,所以是同一函数；对于C，f（x)=1(x∈R），与g（x）=（x﹣1）0=1（x∈R）的定义域不同,所以不是同一函数；对于D,f（x)==x﹣3(x≠﹣3）,与g（x)=x﹣3(x∈R)的定义域不同，所以不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题目．6．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷(文科）】定义在R上的奇函数f（x)满足f（x+1)=f（﹣x），当x∈（0,1）时，f(x）=，则f（x)在区间（1，）内是( )A．增函数且f（x)＞0 B．增函数且f（x）＜0 C．减函数且f（x）＞0 D．减函数且f（x）＜0【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件可以判断出f(x）是周期为2的周期函数,并且x时，,从而可以得到f（x）=f（x﹣2)=﹣f（2﹣x）=，而，可换元,令2﹣x=t,从而求出f（t）即得出x的解析式，从而可以判断此时的f(x）的单调性及其符号．【解答】解：由f(x）为奇函数，f（x+1）=f（﹣x)得，f（x）=﹣f(x+1）=f（x+2）；∴f（x）=f（x+2）；∴f（x）是周期为2的周期函数;根据条件，x时，；∴,﹣(x﹣2);∴；设2﹣x=t，t，x=2﹣t;∴；∴；∴，；可以看出x增大时,减小,增大，f(x）减小；∴在区间(1，）内，f(x）是减函数;而由得0;∴;∴f（x）＜0．故选：D．【点评】考查奇函数的定义,周期函数的定义,以及换元法求函数解析式,减函数的定义，以及对数函数的单调性，不等式的性质．7．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷（文科）】若函数f（x)=x2+e x﹣（x＜0）与g(x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是（）A．(﹣）B．（）C．（） D．（）【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根,函数h（x)=e x ﹣﹣ln（﹣x+a)为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得:存在x0∈（﹣∞,0)，满足x02+e x0﹣=（﹣x0)2+ln(﹣x0+a）,即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根,∵当x趋近于负无穷大时,e x0﹣﹣ln（﹣x0+a)也趋近于负无穷大,且函数h（x)=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数,∴h（0)=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，)，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限,是函数图象和性质较为综合的应用．8．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷（文科)】在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图像与性质；正弦函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定．【解答】解：正弦函数的周期公式T=，∴y=sinax 的最小正周期T=；对于A:T ＞2π，故a ＜1，因为y=a x 的图象是减函数，故错； 对于B ：T ＜2π，故a ＞1，而函数y=a x 是增函数，故错； 对于C ：T=2π，故a=1,∴y=a x =1，故错;对于D ：T ＞2π，故a ＜1,∴y=a x 是减函数，故对; 故选D【点评】本题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题．9.【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（文）试题】计算：1338(0.027)log 2log 3--⋅=_______．【答案】3 【解析】试题分析：113333833331101(0.027)log 2log 3(0.3)log 2log 2log 833log 2--⨯-=-=-＝101333-=． 考点：1、指数与对数的运算；2、换底公式．10．【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】已知函数()()61477x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩；（1）当21=a 时，()x f 的值域为__ ▲___ ， (2)若()x f 是(,)-∞+∞上的减函数,则实数a 的取值范围是___ ▲___.【答案】()0,+∞;1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点：1。

⎨⎩一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合 P = {x ∈ R 1≤ x ≤ 3}, Q = {x ∈ R x 2≥ 4}, 则P ⋃ (ðR Q ) = （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ． (-∞, -2] ⋃[1, +∞)【答案】B考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时， x 2 的系数一定要保证为正数，若 x 2的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．2. 已知互相垂直的平面α，β交于直线 l .若直线 m ，n 满足 m ∥α, n ⊥βA ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n【答案】C 【解析】试题分析：由题意知α β= l ,∴l ⊂ β， n ⊥ β,∴ n ⊥ l ．故选 C ． 考点：空间点、线、面的位置关系．则（）【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．3. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影．由区域⎧x - 2 ≤ 0 ⎪x + y ≥ 0 中的点在直线 x +y - 2=0 上的投影构成的线段记为 A B ，则│AB │=（ ） ⎪x - 3y + 4 ≥ 0A ．2 【答案】C 【解析】B ．4C ．3D ． 62 2考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．4. 命题“ ∀x ∈ R ，∃n ∈ N * ，使得 n > x 2”的否定形式是（ ）A ． ∀x ∈ R ，∃n ∈ N *，使得 n < x 2C ． ∃x ∈ R ，∃n ∈ N * ，使得 n < x 2【答案】D B ． ∀x ∈ R ，∀n ∈ N *，使得 n < x2D ． ∃x ∈ R ，∀n ∈ N *，使得n < x2【解析】试题分析： ∀ 的否定是∃， ∃的否定是∀ ， n ≥ x 2 的否定是 n < x 2．故选 D ． 考点：全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称） 量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．5. 设函数 f (x ) = sin 2x + b sin x + c ，则 f (x ) 的最小正周期（ ）A ．与 b 有关，且与 c 有关B ．与 b 有关，但与 c 无关C ．与 b 无关，且与 c 无关D ．与 b 无关，但与 c 有关n 1 【答案】B考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数 f (x )，再判断b 和c 的取值是否影响函数 f (x )的最小正周期．6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 A A= A A, A ≠ A, n ∈ N * ，n n +1 n +1 n +2nn +2B B= B B, B ≠ B, n ∈ N * ，（ P ≠ Q 表示点P 与Q 不重合）.n n +1n +1 n +2nn +2若 d n = A n B n ，S n 为△A n B n B n +1的面积，则（）2A ．{S n }是等差数列B ．{S }是等差数列C ．{d }是等差数列D ．{d 2}是等差数列nn【答案】A 【解析】试题分析： S n 表示点 A n 到对面直线的距离（设为 h n ）乘以 B n B n +1 长度一半，即1S n = 2h n B n B n +1 ，由题目中条件可知 B n B n +1 的长度为定值，那么我们需要知道 h n 的关系式，过 A 1 作垂直得到初始距离h 1 ，那么 A 1 , A n 和两个垂足构成了等腰梯形，那么 h n = h 1 + A n A n +1 ⋅ tan θ，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么S = 1 (h + n2 1 1A 1 A n ⋅ tan θ)B n B n +1 ， S n +1 = 2(h 1 + A 1 A n +1 ⋅ tan θ) B n B n +1 ，作差后： S n +1 - S n = 2( A n A n +1 ⋅ tan θ) B n B n +1 ，都为定值，所以 S n +1 - S n 为定值．故选A ． 考点：等差数列的定义．1 2【思路点睛】先求出 ∆A n B n B n +1 的高，再求出 ∆A n B n B n +1 和 ∆A n +1B n +1B n +2 的面积 S n 和S n +1 ，进而根据等差数列的定义可得 S n +1 - S n 为定值，即可得{S n }是等差数列．7. 已知椭圆 C 1： x 2 +y 2=1(m >1)与双曲线 C 2： m x 2 –y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2 分别为 C 1，nC 2 的离心率，则（ ）A ．m >n 且 e 1e 2>1B ．m >n 且 e 1e 2<1C ．m <n 且 e 1e 2>1D ．m <n 且 e 1e 2<1【答案】A考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆C 的焦点时，要注意c 2= a 2- b 2；计算双曲线C 的焦点时，要注意c 2 = a 2 + b 2 ．否则很容易出现错误．8. 已知实数 a ，b ，c （ ）A ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则 a 2+b 2+c 2<100B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则 a 2+b 2+c 2<100C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则 a 2+b 2+c 2<100D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则 a 2+b 2+c 2<100【答案】D 【解析】试题分析：举反例排除法： A.令a = b = 10, c = -110，排除此选项， B.令a = 10, b = -100, c = 0，排除此选项， C.令a = 100, b = -100, c = 0，排除此选项，故选 D ． 考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个 选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．9.若抛物线 y 2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是．【答案】9222【解析】试题分析： x M + 1 = 10 ⇒ x M = 9 考点：抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到 y 轴的距离．10. 已知 2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则 A =，b=．【答案】 1考点：1、降幂公式；2、辅助角公式．【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简cos 2x ，再用辅助角公式化简cos 2x + sin 2x +1，进而对照 A sin (ωx +ϕ)+ b 可得 A 和b ．11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是cm 3.【答案】72 32【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为 4,2,2，所以体积为 2 ⨯ (2 ⨯ 2 ⨯ 4) = 32 ，由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形，所以表面积为 2(2 ⨯ 2 ⨯ 2 + 2 ⨯ 4 ⨯ 4) - 2(2 ⨯ 2) = 72考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．512.已知a >b >1.若 log a b +log b a = 5，a b =b a ，则 a = ，b = .2【答案】 42考点：1、指数运算；2、对数运算．5【易错点睛】在解方程log a b + log b a = 2时，要注意log b a > 1，若没注意到log b a > 1，方程log a b + log b a = 2的根有两个，由于增根导致错误．13.设数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5=.【答案】1 121【解析】试题分析： a 1 + a 2 = 4, a 2 = 2a 1 + 1 ⇒ a 1 = 1, a 2 = 3 ，再由 a n +1 = 2S n + 1, a n = 2S n -1 + 1(n ≥ 2) ⇒ a n +1 - a n = 2a n ⇒ a n +1 = 3a n (n ≥ 2) ，又 a 2 = 3a 1 ，1 - 35 所以 a n +1 = 3a n (n ≥ 1),S 5 = 1 - 3= 121.考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前 n 项和．【易错点睛】由 a n +1 = 2S n +1转化为 a n +1 = 3a n 的过程中，一定要检验当 n = 1时是否满足a n +1 = 3a n ，否则很容易出现错误．14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 PD =DA ，PB =BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .x2 + 22 - (x2 - 2 3x + 4) 3x2 - 2 3x + 431 1x1 11【答案】2PD2 +PB2 -BD2由余弦定理可得cos ∠BPD ===，所以∠BPD = 30 .2PD ⋅PB 2 ⋅x ⋅2 2过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO =d则S∆PBD=2BD ⨯d =2PD ⋅PB sin ∠BPD ，即1x2 - 2 3x + 4 ⨯d =1x ⋅2 s in 30 ，2 2解得d =.而∆BCD的面积S =CD ⋅BC sin ∠BCD =(2 -x) ⋅2 sin 30 =1(2 -x).2 2 233t 2 - 1 3 (（2）当故 x = + < x ≤ 2.时，有| x - |= x - = ，此时，V = 6 t= 1 ⋅ 4 - t 2 = 1 4 -t ).6 t 6 t1 4 1 由（1）可知，函数V (t ) 在(1, 2]单调递减，故V (t ) < V (1) = ( -1) = .6 12综上，四面体 PBCD 的体积的最大值为 1.2考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．3 3 3 t 2 -1 1 ( 3 + t 2 -1)[2 3 - ( 3 + t 2-1)]6 6 6 a 1 【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对 x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．15. 已知向量 a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量 e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜ ≤ ,则 a ·b 的最大值是．1 【答案】2考点：平面向量的数量积．2 2 【易错点睛】在 a + b ≤ 两边同时平方，转化为 a + b + 2a ⋅b ≤ 6 的过程中，很容易忘记右边的 进行平方而导致错误．三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本题满分 14 分）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c . 已知 b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积 S = a 4，求角 A 的大小.π π【答案】（I ）证明见解析；（II ） 或 ．2 4试题分析：（I ）先由正弦定理可得sin B + sin C = 2sin A cos B ，进而由两角和的正弦公式可得sin B = sin (A - B )，再判断 A - B 的取值范围，进而可证 A = 2B ；（II ）先由三角形2的面积公式可得 ab sin C = ，进而由二倍角公式可得sin C = cos B ，再利用三角形的 2 4内角和可得角 A 的大小．试题解析：（I ）由正弦定理得sin B + sin C = 2sin A cos B ，故 2sin A cos B = sin B + sin (A + B ) = sin B + sin A cos B + cos A sin B ， 于是sin B = sin (A - B )．23又 A ， B ∈(0,π)，故0 < A - B < π，所以B =π- (A - B )或B = A - B ，因此 A = π（舍去）或 A = 2B ， 所以， A = 2B ．考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式． 【思路点睛】（I ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有 A ，B 的式子，根据角的范围可证 A = 2B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有B ， C 的式子，再利用三角形的内角和可得角 A 的大小．17. (本题满分 15 分)如图,在三棱台 ABC - DEF 中,平面 BCFE ⊥ 平面ABC , ∠ACB =90 ,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面 ACFD ；(II)求二面角 B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ） ．4【解析】3 133 1333试题分析：（I）先证B F ⊥A C，再证B F ⊥ C K，进而可证B F⊥平面A CFD ；（II）方法一：先找二面角B-A D - F 的平面角，再在Rt∆B QF 中计算，即可得二面角B-A D - F 的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面A C K和平面ABK的法向量，进而可得二面角B-A D - F 的平面角的余弦值．（II）方法一：过点F作FQ ⊥AK，连结B Q ．因为B F ⊥平面A C K，所以B F ⊥AK，则AK⊥平面B QF ，所以B Q ⊥AK．所以，∠B QF是二面角B-A D - F 的平面角．在Rt∆A C K中，A C = 3，C K= 2，得FQ =．13在Rt∆B QF 中，FQ =，B F =，得cos ∠B QF =．13 4所以，二面角B-A D - F 的平面角的余弦值为3．4方法二：如图，延长A D ，BE，CF相交于一点K，则∆B C K为等边三角形．取B C 的中点O ，则KO ⊥ B C ，又平面B CF E ⊥ 平面 AB C ，所以， KO ⊥ 平面AB C ． 以点O 为原点，分别以射线OB ， OK 的方向为 x ， z 的正方向，建立空间直角坐标系O xyz ． 由题意得B (1, 0, 0)，C (-1, 0, 0)， K (0, 0, 3 )，A (-1, -3, 0)， E ⎛ 1 , 0,3 ⎫ ， F ⎛ - 1 , 0,3 ⎫． 2 2 ⎪ 2 2 ⎪因此，⎝ ⎭ ⎝ ⎭A C = (0, 3, 0)， AK = (1, 3, 3 )， AB = (2, 3, 0)．考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证 明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的 “三线合一”和菱形、正方形的对角线．18. （本小题 15 分）已知 a ≥ 3，函数 F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，2 ⎩⎨ ⎨2, a ≥ 4 min min⎨ ⎧ p ，p ≤ q ，其中 min{p ，q }= ⎨q , p > q.（I ）求使得等式 F （x ）=x 2−2ax +4a −2 成立的 x 的取值范围； （II ）（i ）求 F （x ）的最小值 m （a ）；（ii ）求 F （x ）在区间[0,6]上的最大值 M （a ）.【答案】（I ） [2, 2a ]；（II ）（i ） m (a ) = ⎧⎪0, 3 ≤ a ≤ 2 + ⎪⎩-a 2+ 4a - 2, a > 2 +；（ii ）M (a ) = ⎧34 - 8a , 3 ≤ a < 4 ．⎩f (x ) = f (1) = 0，g (x ) = g (a ) = -a 2+ 4a - 2， 所以，由 F (x )的定义知 m (a ) = min {f (1), g (a )}，即m (a ) = ⎧⎪0, 3 ≤ a ≤ 2 + ．⎪⎩-a 2+ 4a - 2, a > 2 + （ii ）当0 ≤ x ≤ 2时，F (x ) ≤ f (x ) ≤ max {f (0), f (2)}= 2 = F (2)，（II ）（i ）设函数 f (x ) = 2 x -1 ， g (x ) = x 2- 2ax + 4a - 2，则2222a2 k 2 + 2 当 2 ≤ x ≤ 6时，F (x ) ≤ g (x ) ≤ max {g (2), g (6)}= max {2, 34 - 8a } = max {F (2), F (6)}．所以，⎧34 - 8a , 3 ≤ a < 4 M (a ) = ⎨ ．⎩2, a ≥ 4考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式．【思路点睛】（I ）根据 x 的取值范围化简 F (x )，即可得使得等式F (x ) = x 2- 2ax + 4a - 2成立的 x 的取值范围；（II ）（i ）先求函数 f (x )和 g (x )的最小值，再根据F (x )的定义可得m (a )；（ii ）根据 x 的取值范围求出 F (x )的最大值，进而可得M (a )．19. （本题满分 15 分）如图，设椭圆x 2a2y= 1（a ＞1）.（I ）求直线 y =kx +1 被椭圆截得的线段长（用 a 、k 表示）；（II ）若任意以点 A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I ）1+ a 2 k 2 ⋅ ；（II ） 0 < e ≤ ． 21+ k 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2（II ）假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ， Q ，满足AP = A Q ．记直线 AP， A Q 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，且 k 1 ， k 2 > 0 ， k 1 ≠k 2 ． 由（I ）知，2a 2 k 1 + k 2 2a 2 k 1 + k 2AP = 1 1 ， A Q =22 ，1+ a 2k 2故1+ a 2k 22a 2 k 1 + k 22a 2 k 1 + k 21 1 = 2 2 ， 1+ a 2k 2 1+ a 2k 212所以(k 2 - k 2 )⎡⎣1+ k 2 + k 2 + a 2 (2 - a 2 )k 2k 2⎤⎦ =0 ．由于 k 1 ≠ k 2 ， k 1 ， k 2 > 0 得1+ k 2 + k 2 + a 2 (2 - a 2 )k 2 k 2= 0， 因此⎛ 1 +1⎫ ⎛ 1 +1⎫= 1+ a 2 (a 2 - 2)，①k 2 ⎪ k2 ⎪ ⎝ 1 ⎭ ⎝ 2 ⎭因为①式关于 k 1 ， k 2 的方程有解的充要条件是1+ a 2 (a 2 - 2) > 1，2a2 -1 2an+12c2n所以a >．因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 <a ≤ 2，由e ==得，所求离心率的取值范围为0 <e ≤．a a 2考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．x22【思路点睛】（I）先联立y =kx +1和+ya2= 1，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线y=kx+1被椭圆截得的线段长；（II）利用对称性及已知条件可得任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．20.（本题满分15 分）设数列{a }满足a-≤1，n ∈N*．n n（I）证明：an≥ 2n-1 (a- 2)，n ∈N*；（II）若an⎛3 ⎫n≤ ⎪⎝⎭，n ∈N*，证明：a ≤ 2，n ∈N*．【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．1a m a n a n +1 a n +1a m -1 a m a m 4 ⎪（II ）任取 n ∈ N *，由（I ）知，对于任意m > n ，- = ⎛- ⎫ + ⎛ - ⎫ + ⋅⋅⋅ + ⎛ - ⎫2n 2m 2n 2n +1⎪ 2n +1 2n +2 ⎪ 2m -1 2m ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭≤ 1 + 2n1 1 2n +1 + ⋅⋅⋅ +1 2m -1 < ， 2n -1故a <⎛ 1+⎫⋅ 2nn2n -1 2m ⎪⎝⎭ ⎡ 1 1 ⎛ 3 ⎫m⎤ ≤ ⎢ + ⋅ ⎪ ⎥ ⋅ 2n⎢⎣ 2n -12m ⎝ 2 ⎭ ⎥⎦⎛ 3 ⎫m= 2 + ⎪ ⎝ ⎭⋅ 2n．从而对于任意 m > n ，均有⎛ 3 ⎫ma < 2 + ⋅ 2n． n⎝ 4 ⎭a n a n +2a n +1 a n 1 4考点：1、数列；2、累加法；3、证明不等式．【思路点睛】（I ）先利用三角形不等式及变形得- ≤ ，再用累加法可得2n2n +12n- < 1，进而可证 a 2 2nn ⎛ 3 ⎫m≥ 2n -1( a - 2)；（II ）由（I ）的结论及已知条件可得 a < 2 + ⋅ 2n ，再利用 m 的任意性可证 a ≤ 2． n ⎪ n⎝ ⎭a n a 1 1。

第六章 不等式一．基础题组 1. 【浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试（二）理4】已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=a A ．2 B ．1 C ．21 D ．41 【答案】C考点：线性规划的应用.2. 【浙江省衢州市2015年4月高三年级教学质量检测 理5】已知实数,x y 满足：350100x y x y x a ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =+的最小值为4-，则实数a =（ ） A. 1 B.2 C. 4 D. 8 【答案】Bxyx+3y+5=0x +y -1=0–1–2–3–4–51234–1–2–3–4123ABCO -a考点：线性规划.3. 【2015年温州市高三第二次适应性测试 理5】若实数,x y 满足不等式组22000x y x ym y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于（ ▲ ）A ．1-B ．1C ．2-D ． 2【答案】A考点：简单的线性规划4. 【东阳市2015年高三模拟考试 理7】设a ,b R ∈，关于,x y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是（ ▲ ）A ．[]16,16-B ．[]8,8-C ．[]4,4-D ．[]2,2- 【答案】A . 【解析】试题分析：不等式||||1x y +<的解表示如下所示的平面区域，依题不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则需满足直线48ax by +=的截距81a≥且814b≥，即88a -≤≤且22b -≤≤，所以1616ab -≤≤；故选A . 考点：1.二元一次不等式所表示的平面区域；2.直线的截距；3.数形结合思想的应用. 5. 【2015年浙江省杭州二中高三年级仿真考 理5】若变量,x y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（ ）A ． 34 B. 43 C. 12D. 1【答案】D由103a b a b -+=⎧⎨+=⎩得12a b =⎧⎨=⎩，所以点()2,x y x y P -+所在区域的面积是12112⨯⨯=，故选D ．考点：线性规划．6. 【镇海中学2015学高考模拟试卷 理4】已知不等式组210y x y kx x ≤+⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为（ ） A ．1- B ．12- C ．12D ．1 【答案】B.考点：1、一元二次不等式组表示的平面区域；7. 【绍兴市2014-2015学年高三第一学期期末教学质量调测 理3】已知实数x ，y 满足22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则32z x y =-+的最小值为（ ） A ．4- B ．2 C ．4 D ．6 【答案】A 【解析】试题分析：作出平面区域图，易知32z x y =-+在A 处取得最小值，由⎩⎨⎧=--=++02202y x y x 得)2,0(-A ，所以4)2(203max -=-⨯+⨯-=z考点：线性规划8. 【2014学年浙江省第一次五校联考 理9】定义,max{,},a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数x ，y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）A.[8,10]-B.[7,10]-C.[6,8]-D.[7,8]-【答案】B. 【解析】试题分析：由题意可得，当433x y x y +≥-，即20x y +≥时，问题等价于在线性约束条件2220x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪+≥⎩下，求目标函数4z x y =+的值域，利用线性规划的知识可知，其取值范围为[7,10]-，同理可知，当20x y +<时，问题等价于在线性约束条件2220x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪+<⎩下，求目标函数3z x y =-的值域，为(7,8]-，综上，z 的取值范围是[7,10]-. 考点：1.线性规划；2.分类讨论的数学思想.9. 【宁波市2015年高考模拟考试数学试题 理8】已知点(x ，y )的坐标满足条件302602290x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数。

2016 年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．2R ）1．（ 5 分）（2016?浙江）已知集合 P={x ∈R|1≤x ≤3} ，Q={x ∈R|x ≥4} ，则 P ∪（? Q ）=（A ． [2， 3]B ．（﹣ 2， 3]C ． [1， 2）D ．（﹣ ∞，﹣ 2]∪ [1， +∞）2．（ 5 分）（ 2016?浙江）已知互相垂直的平面 α，β交于直线 l ，若直线 m ，n 满足 m ∥ α，n ⊥ β，则（ ） A ． m ∥ l B ． m ∥ n C ． n ⊥ l D ． m ⊥ n3．（ 5 分）（ 2016?浙江）在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域 中的点在直线 x+y ﹣ 2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则|AB|= （ ）A ． 2B ． 4C ． 3D ． 64．（ 5 分）（ 2016?浙江）命题 “? x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ≥x 2”的否定形式是（ ）A ． ? x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ＜ x 2B ． ?x ∈R ，? n ∈N * ，使得 n ＜ x 2C ． ?x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ＜ x 2D ．? x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ＜ x 25．（ 5 分）（ 2016?浙江）设函数f （ x ） =sin 2x+bsinx+c ，则 f （x ）的最小正周期（ ）A ．与 b 有关，且与 c 有关B ．与 b 有关，但与 c 无关C ．与 b 无关，且与 c 无关D ．与 b 无关，但与 c 有关6．（ 5 分）（ 2016?浙江）如图，点列 {A n } 、{B n } 分别在某锐角的两边上， 且 |A n A n+1|=|A n+1A n+2|，*，|B *，（ P ≠Q 表示点 P 与 Q 不重合）若 d A n ≠A n+1，n ∈Nn B n+1|=|B n+1B n+2|，B n ≠B n+1，n ∈Nn =|A n B n |，S 为 △ A B B的面积，则（）n n n n+1A ． {S n } 是等差数列 2 } 是等差数列B ． {S nC ． {d n } 是等差数列2} 是等差数列D ．{d n7．（ 5 分）（ 2016?浙江）已知椭圆C 1： +y 2=1（ m ＞ 1）与双曲线 C 2： ﹣ y 2=1（n ＞ 0）的焦点重合， e 1， e 2 分别为 C 1，C 2 的离心率，则（）D ．m ＜n 且 e e ＜ 1A ． m ＞ n 且 e e ＞ 1B ． m ＞n 且 e e ＜ 1C ． m ＜ n 且 e e ＞ 11 21 21 21 28．（ 5 分）（ 2016?浙江）已知实数 a ， b ，c ．（）A ．若 |a 2 +b+c|+|a+b 2+c|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜ 100B ．若 |a 2+b+c|+|a 2 +b ﹣ c|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜ 100C ．若 |a+b+c 2|+|a+b ﹣ c 2|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜ 1002 2 2 2 2D ．若 |a +b+c|+|a+b ﹣ c|≤1，则 a +b +c ＜ 100二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题4 分，共 36 分．9．（ 4 分）（ 2016?浙江）若抛物线 2y =4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离 是 ．10．（ 6 分）（ 2016?浙江）已知 2cos 2x+sin2x=Asin （ ωx+ φ）+b （ A ＞0），则 A=，b= ．11．（ 6 分）（ 2016?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是 cm 3．12．（ 6 分）（ 2016?浙江）已知 a ＞ b ＞ 1，若 log a b+log b a= ， a b =b a，则 a= ，b=．13．（ 6 分）（ 2016?浙江）设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 2 =4， a n+1=2S n +1， n ∈N *，则 a 1= ， S 5= ．14．（ 4 分）（ 2016?浙江）如图，在 △ ABC 中， AB=BC=2 ，∠ABC=120 °．若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 PD=DA ，PB=BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是．15．（ 4 分）（ 2016?浙江）已知向量 ， ， | |=1， | |=2，若对任意单位向量 ，均有| ? |+| ? |≤ ，则 ? 的最大值是．三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 14 分）（ 2016?浙江）在 △ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 b+c=2acosB ．（Ⅰ ）证明： A=2B（Ⅱ ）若 △ABC 的面积 S=，求角 A 的大小．17．（ 15 分）（ 2016?浙江）如图，在三棱台 ABC ﹣ DEF 中，已知平面 BCFE ⊥平面 ABC ，∠ A CB=90 °，BE=EF=FC=1 ， BC=2 ， AC=3 ， （Ⅰ ）求证： EF ⊥ 平面 ACFD ；（Ⅱ ）求二面角 B ﹣ AD ﹣F 的余弦值．18．（15 分）（ 2016?浙江）已知a ≥3，函数 F （x ） =min{2|x ﹣ 1|，x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2} ，其中 min（ p ， q ） =（Ⅰ ）求使得等式 F （ x ） =x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2 成立的 x 的取值范围 （Ⅱ ）（ i ）求 F （ x ）的最小值 m （ a ）（ii ）求 F （ x ）在 [0，6] 上的最大值 M （ a ）19．（ 15 分）（ 2016?浙江）如图，设椭圆 C ：+y 2=1（ a ＞ 1）（Ⅰ ）求直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长（用 a ，k 表示）（Ⅱ ）若任意以点 A （ 0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．20．（ 15 分）（ 2016?浙江）设数列满足n﹣* ．|a |≤1， n∈N（Ⅰ ）求证： |a n n﹣1（ |a1|﹣ 2）（ n∈N* ）|≥2（Ⅱ ）若 |a n|≤（）n，n∈N*，证明：|a n|≤2，n∈N*．2016 年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（ 5 分）【考点】 并集及其运算．【分析】 运用二次不等式的解法，求得集合 Q ，求得 Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．【解答】 解： Q={x ∈R|x 2≥4}={x ∈R|x ≥2 或 x ≤﹣ 2} ， 即有 ?R Q={x ∈R|﹣ 2＜ x ＜ 2} ，则 P ∪ （ ?R Q ） =（﹣ 2， 3]． 故选： B ．【点评】 本题考查集合的运算， 主要是并集和补集的运算， 考查不等式的解法， 属于基础题．2．（ 5 分）【考点】 直线与平面垂直的判定．【分析】 由已知条件推导出 l? β，再由 n ⊥ β，推导出 n ⊥ l ．【解答】 解： ∵ 互相垂直的平面 α， β交于直线 l ，直线 m ， n 满足 m ∥ α，∴m ∥ β或 m? β或 m ⊥β， l? β， ∵n ⊥ β， ∴n ⊥ l ． 故选： C ．【点评】 本题考查两直线关系的判断，是基础题， 解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养． 3．（ 5 分）【考点】 简单线性规划的应用．【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分），区域内的点在直线 x+y ﹣ 2=0 上的投影构成线段 R ′Q ′，即 SAB ，而 R ′Q ′=RQ ，由得，即 Q （﹣ 1， 1），由得，即 R （ 2，﹣ 2），则|AB|=|QR|== =3 ，故选： C【点评】 本题主要考查线性规划的应用， 作出不等式组对应的平面区域， 利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．4．（ 5 分）【考点】 命题的否定．【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 “?x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ≥x 2”的否定形式是： ?x ∈R ，? n ∈N * ，使得 n ＜ x 2． 故选： D ．【点评】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 5．（ 5 分）【考点】 三角函数的周期性及其求法．【分析】 根据三角函数的图象和性质即可判断．2∴c 是图象的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与 c 无关，当 b=0 时， f （ x ） =sin 2x+bsinx+c= ﹣ cos2x+ +c 的最小正周期为 T==π，当 b ≠0 时， f （ x ） =﹣ cos2x+bsinx+ +c ，∵ y =cos2x 的最小正周期为 π， y=bsinx 的最小正周期为 2π， ∴f （x ）的最小正周期为 2π，故 f （x ）的最小正周期与 b 有关，故选： B【点评】 本题考查了三额角函数的最小正周期， 关键掌握三角函数的图象和性质， 属于中档题．6．（ 5 分） 【考点】 数列与函数的综合．【分析】 设锐角的顶点为 O ，再设 |OA 1|=a ， |OB 1|=b ， |A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b ，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d ，由于 a ，b 不确定，判断 C ，D 不正确，设 △ A n B n B n+1 的底边 B n B n+1 上的高为 h n n n+2 n+1 n n n n+2 n+1，运用三角形相似知识， h +h =2h ，由 S = d?h ，可得 S +S =2S ，进 而得到数列 {S n } 为等差数列．【解答】 解：设锐角的顶点为 O ， |OA 1 |=a ， |OB 1|=b ，|A A |=|A A n+2 |=b ， |B B n+1 |=|B B |=d ，n n+1 n+1 n n+1 n+2由于 a ， b 不确定，则 {d n } 不一定是等差数列，{d n 2} 不一定是等差数列， 设△ A n B n B n+1 的底边 B n B n+1 上的高为 h n ，由三角形的相似可得= = ，= = ，两式相加可得， = =2，即有 h n +h n+2=2h n+1，由 S n = d?h n ，可得 S n +S n+2=2S n+1，即为 S n+2﹣S n+1=S n+1﹣ S n ， 则数列 {S n } 为等差数列． 故选： A ．【点评】 本题考查等差数列的判断， 注意运用三角形的相似和等差数列的性质， 考查化简整理的推理能力，属于中档题．7．（ 5 分）【考点】 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】 根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c 2=m 2﹣ 1=n 2+1，即 m 2﹣ n 2=2，进行判断，能得 m ＞ n ，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．【解答】 解： ∵ 椭圆 C 1：+y 2=1 （m ＞1）与双曲线 C 2： ﹣ y 2=1（ n ＞0）的焦点重合，∴满足 c 2=m 2﹣ 1=n 2+1 ，即 m 2﹣n 2=2＞ 0，∴ m 2＞ n 2，则 m ＞ n ，排除 C ， D则 c 2=m 2﹣ 1＜ m 2， c 2=n 2+1＞ n 2，则 c ＜ m ． c ＞ n ，e 1= ， e 2= ， 则 e 1?e 2= ? =，则（ e 1?e 2） 2=（ ）2?（ ）2= = = =1+ =1+ =1+ ＞ 1，∴ e 1e 2＞ 1，故选： A ．【点评】 本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断， 根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．8．（ 5 分）【考点】 命题的真假判断与应用． 【分析】 本题可根据选项特点对a ，b ，c 设定特定值，采用排除法解答．【解答】 解： A ．设 a=b=10， c=﹣ 110，则 |a 2+b+c|+|a+b 2+c|=0 ≤1， a 2+b 2+c 2＞100；B ．设 a=10， b=﹣ 100， c=0，则 |a 2+b+c|+|a 2+b ﹣ c|=0≤1， a 2+b 2+c 2＞100；C ．设 a=100， b=﹣100， c=0，则 |a+b+c 2|+|a+b ﹣ c 2|=0≤1， a 2+b 2 +c 2＞100；故选： D ．【点评】 本题主要考查命题的真假判断， 由于正面证明比较复杂， 故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．9．（ 4 分）【考点】 抛物线的简单性质． 【分析】 根据抛物线的性质得出 M 到准线 x= ﹣ 1 的距离为 10，故到 y 轴的距离为 9．【解答】 解：抛物线的准线为 x=﹣ 1，∵点 M 到焦点的距离为 10， ∴点 M 到准线 x= ﹣ 1 的距离为 10，∴点 M 到 y 轴的距离为 9．故答案为： 9．【点评】 本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 10．（ 6 分）【考点】 两角和与差的正弦函数．【分析】 根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．2=1+ （ cos2x+ sin2x ） +1=sin （ 2x+ ） +1，∴ A =， b=1 ， 故答案为：； 1．【点评】 本题考查了二倍角的余弦公式、 两角和的正弦函数的应用， 熟练掌握公式是解题的关键．11．（6 分）【考点】 由三视图求面积、体积．【分析】 由三视图可得，原几何体为由四个棱长为 2cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【解答】 解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为 22×（ 24﹣ 6） =72cm 2，其体积为 4×23=32 ， 故答案为： 72， 32【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积， 解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力． 12．（ 6 分） 【考点】 对数的运算性质．【分析】 设 t=log b a 并由条件求出 t 的范围，代入log a b+log ba= 化简后求出 t 的值，得到 ab a化简后列出方程，求出 a 、 b 的值． 与 b 的关系式代入 a =b 【解答】 解：设 t=log b a ，由 a ＞b ＞ 1 知 t ＞ 1， 代入 log a b+log b a= 得，即 2t 2﹣5t+2=0 ，解得 t=2 或 t= （舍去），所以 log b a=2，即 a=b 2，ba2b a2， 因为 a =b ，所以 b =b ，则 a=2b=b 解得 b=2 ，a=4， 故答案为： 4； 2．【点评】 本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题．13．（ 6 分）【考点】 数列的概念及简单表示法．【分析】运用 n=1 时，a 1=S 1，代入条件， 结合 S 2=4，解方程可得首项； 再由 n ＞ 1 时，a n+1=S n+1﹣S n ，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】 解：由 n=1 时， a 1=S 1，可得 a 2=2S 1+1=2a 1+1，又 S 2=4，即 a 1+a 2=4， 即有 3a 1+1=4 ，解得 a 1=1；由 a n+1=S n+1﹣ S n ，可得 S n+1=3S n +1，由 S 2=4，可得 S 3=3×4+1=13 ， S 4=3 ×13+1=40 ， S 5=3 ×40+1=121 ． 故答案为： 1， 121．【点评】本题考查数列的通项和前 n 项和的关系： n=1 时， a1=S1， n＞1 时， a n=S n﹣ S n﹣1，考查运算能力，属于中档题．14．（ 4 分）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，△ABD ≌△ PBD ，可以理解为△ PBD 是由△ ABD 绕着 BD 旋转得到的，对于每段固定的 AD ，底面积 BCD 为定值，要使得体积最大，△ PBD 必定垂直于平面 ABC ，此时高最大，体积也最大．【解答】解：如图， M 是 AC 的中点．①当 AD=t ＜ AM=时，如图，此时高为P 到 BD 的距离，也就是 A 到 BD 的距离，即图中AE ，DM=﹣ t，由△ ADE ∽ △ BDM ，可得，∴h=，V==，t∈（0，）②当 AD=t ＞ AM=时，如图，此时高为P 到 BD 的距离，也就是 A 到 BD 的距离，即图中AH ，DM=t ﹣，由等面积，可得，∴，∴h=，∴V==，t∈（，2）综上所述， V=，t∈（0，2）令 m=∈[1，2），则V=，∴ m=1时，V max=．故答案为：．【点评】本题考查体积最大值的计算， 考查学生转化问题的能力， 考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大． 15．（ 4 分）【考点】 平面向量数量积的运算．【分析】 根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】 解： ∵ |（ + ） ? |=| ? + ? |≤| ? |+| ? |≤ ，∴ |（ + ） ? |≤| + |≤ ，平方得： | |2+| |2+2 ? ≤6，即12+22+2 ? ≤6，则 ? ≤ ，故 ? 的最大值是 ，故答案为： ．【点评】 本题主要考查平面向量数量积的应用， 根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 14 分）【考点】 余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明 A=2B（Ⅱ ）若 △ABC 的面积 S=，则 bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．【解答】（Ⅰ ）证明： ∵ b+c=2acosB ，∴ s inB+sinC=2sinAcosB ， ∴ s inB+sin （A+B ） =2sinAcosB ∴ s inB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴ s inB=2=sinAcosB ﹣ cosAsinB=sin （ A ﹣ B ） ∵A ，B 是三角形中的角， ∴ B =A ﹣ B ，∴ A =2B ；（Ⅱ ）解： ∵ △ ABC 的面积 S=，∴ bcsinA=，∴ 2bcsinA=a 2，∴ 2sinBsinC=sinA=sin2B ，∴ s inC=cosB ，∴B+C=90 °，或 C=B+90 °，∴A=90 °或 A=45 °．【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．17．（ 15 分）【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（ I ）先证明 BF⊥ AC ，再证明BF⊥CK ，进而得到BF⊥平面 ACFD ．（II ）方法一：先找二面角 B ﹣AD ﹣ F 的平面角，再在Rt△BQF 中计算，即可得出；方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK 与平面 ABK 的法向量，进而可得二面角 B﹣ AD ﹣ F 的平面角的余弦值．【解答】（ I ）证明：延长 AD ，BE ，CF 相交于点 K ，如图所示，∵平面 BCFE ⊥平面 ABC ，∠ACB=90 °，∴AC ⊥平面 BCK ，∴BF ⊥ AC ．又EF∥BC ，BE=EF=FC=1 ，BC=2 ，∴△ BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF⊥ CK ，∴B F ⊥平面 ACFD ．（I I ）方法一：过点 F 作 FQ⊥ AK ，连接 BQ，∵ BF⊥平面 ACFD ．∴ BF⊥ AK ，则 AK ⊥平面BQF ，∴BQ ⊥ AK ．∴∠ BQF 是二面角 B﹣ AD ﹣F 的平面角．在 Rt△ ACK 中， AC=3 ， CK=2 ，可得 FQ=．在 Rt△ BQF 中， BF=，FQ=．可得：cos∠ BQF=．∴二面角 B ﹣ AD ﹣F 的平面角的余弦值为．方法二：如图，延长AD ， BE， CF 相交于点K ，则△BCK 为等边三角形，取 BC 的中点，则KO ⊥ BC ，又平面BCFE ⊥平面 ABC ，∴ KO ⊥平面 BAC ，以点 O 为原点，分别以OB ，OK 的方向为x， z 的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．可得： B（ 1，0，0），C（﹣ 1，0，0），K（ 0，0，），A（﹣1，﹣3，0），，．=（ 0， 3， 0），=，（2，3，0）．设平面 ACK 的法向量为=（ x1，y1，z1），平面 ABK 的法向量为=（ x2，y2，z2），由，可得，取=．由，可得 ，取 = ．∴= = ．∴二面角 B ﹣ AD ﹣F 的余弦值为．【点评】 本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．18．（ 15 分）【考点】 函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（ Ⅰ ）由 a ≥3，讨论 x ≤1 时， x ＞ 1，去掉绝对值，化简 x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2﹣ 2|x ﹣ 1|，判断符号，即可得到 F （ x ） =x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2 成立的 x 的取值范围；（Ⅱ ）（ i ）设 f （ x ） =2|x ﹣ 1|， g （ x ） =x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2，求得 f （ x ）和 g （ x ）的最小值，再 由新定义，可得 F （ x ）的最小值；（ii ）分别对当 0≤x ≤2 时，当 2＜ x ≤6 时，讨论 F （ x ）的最大值，即可得到F （ x ）在 [0， 6] 上的最大值 M （ a ）．【解答】 解：（ Ⅰ ）由 a ≥3，故 x ≤1 时，x 2﹣2ax+4a ﹣ 2﹣ 2|x ﹣ 1|=x 2+2（ a ﹣ 1）（2﹣ x ）＞ 0；当 x ＞ 1 时， x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2﹣ 2|x ﹣ 1|=x 2﹣（ 2+2a ） x+4a= （ x ﹣ 2）（ x ﹣ 2a ），2则等式 F （ x ） =x ﹣ 2ax+4a ﹣ 2 成立的 x 的取值范围是（ 2， 2a ）；则 f （x ） min =f （ 1） =0， g （x ） min =g （ a ） =﹣ a 2+4a ﹣ 2．由﹣ a 2+4a ﹣ 2=0，解得 a=2+ （负的舍去），由 F （ x ）的定义可得 m （ a ） =min{f （ 1），g （ a ） } ，即 m （ a ） =；（ i i ）当 0≤x ≤2 时， F （ x ） ≤f （x ） ≤max{f （ 0）， f （ 2） }=2=F （ 2）；当 2＜ x ≤6 时， F （ x ） ≤g （ x ） ≤max{g （ 2）， g （ 6） }=max{2 ， 34﹣8a}=max{F （ 2）， F （ 6） } ．则 M （ a ） =．【点评】 本题考查新定义的理解和运用， 考查分类讨论的思想方法， 以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（ 15 分）【考点】 椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ ）联立直线 y=kx+1 与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（Ⅱ ）写出圆的方程，假设圆 A 与椭圆由 4 个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一 A （ 0， 1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点， a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．【解答】 解：（ Ⅰ ）由题意可得：，可得：（1+a 2k 2） x 2+2ka 2x=0 ，得 x 1=0 或 x 2=，直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长为：= ．（Ⅱ ）假设圆 A 与椭圆由 4 个公共点，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足 |AP|=|AQ| ，记直线 AP ， AQ 的斜率分别为： k 1，k 2；且 k 1，k 2 ＞ 0， k 1≠k 2，由（ 1）可知|AP|=， |AQ|=，故： =2 2 2 2 2 2，所以，（ k 1 ﹣k 2 ） [1+k 1 +k 2 +a （ 2﹣ a ）22，由 k 1≠k 2，k 1 k 2] =0 222222k 1，k 2＞ 0，可得： 1+k1 +k2 +a （ 2﹣ a ）k 1 k 2 =0，因此a 2（ a 2﹣ 2） ① ，因为 ① 式关于 k 1， k 2；的方程有解的充要条件是：1+a 2（ a 2﹣ 2）＞ 1，所以 a ＞ ．因此，任意点 A （0， 1） 心的 与 至多有三个公共点的充要条件 ：1＜ a ＜2，e= = 得，所求离心率的取 范 是： ．【点 】 本 考 直 与 的位置关系的 合 用， 与 的位置关系的 合 用，考分析 解决 的能力，考 化思想以及 算能力．20．（ 15 分）【考点】 数列与不等式的 合．【分析】（ I ）使用三角不等式得出|a n ||a n+1|≤1， 形得≤，使用累加法可求得＜ 1，即 成立；（II ）利用（ I ）的 得出＜ ， 而得出 |a n |＜2+（） m 2n，利用 m的任意性可 |a n |≤2．【解答】 解：（ I ） ∵ |a nnn+1，|≤1， ∴ |a | |a |≤1∴≤， n ∈N *，∴=（ ） +（ ）+⋯+（ ）≤ ++ +⋯+ = =1 ＜ 1．∴ |a n |≥2n ﹣ 1（ |a 1| 2）（ n ∈N * ）．（II ）任取 n ∈N *，由（ I ）知， 于任意m ＞ n ，=（） +（） +⋯+（）≤+ +⋯+ = ＜ ．∴|a n |＜（+） ?2n ≤[+ ?（） m ]?2n=2+（ ） m ?2n． ①由 m 的任意性可知 |a n |≤2．否则，存在 n 0∈N *，使得 |a|＞ 2，取正整数 m 0＞ log且 m 0＞ n 0，则2 ?（ ） ＜ 2 ?（ ） =|a |﹣ 2，与 ① 式矛盾．综上，对于任意 n ∈N *，都有 |a n |≤2．【点评】 本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式， 放缩法证明不等式， 难度较大．。