数学-高二(人教B版)选修2-2课时作业 3.2.2 复数的乘法-3.2.3 复数的除法

3.2.2复数代数形式的乘除运算【学习目标】1.理解并掌握复数的乘法、除法定义及运算方法2.掌握复数积与商的模运算并能熟练应用.【新知自学】 知识回顾：1.复数的加法运算法则为： ()()di c bi a +++=______.⑵两个复数的和仍然是 . ⑶复数的加法满足交换律、结合律，即： .2.复数的减法运算法则为： ()()di c bi a ++-=.⑵复数减法的运算法则为 .⑶两个复数的差是 .新知梳理：1．复数代数形式的乘法运算(1)设复数di c z bi a z +=+=21,，则=++=))((21di c bi a z z=(2)两个复数相乘所得的积是 数．(3)复数的乘法运算满足的有 ， ， ．即对于任意复数∈321z z z 、、C ，有 ，， ．2．共轭复数：(1)实部 ，虚部 的两个复数，叫做共轭复数．复数z 的共轭复数记作 ．虚部不为０的两个共轭复数又叫 ．(2)若21,z z 是两个共轭复数，那么：①在复平面内，它们所对应的两点 ．②它们的和与积都是 数．3．复数代数形式的除法运算(1)复数的除法是 的逆运算．(2) 复数的除法法则：)()(di c bi a +÷+)0(2222≠++-+++=di c i d c ad bc d c bd ac ． (3)两个复数相除的商是一个 数．对点练习：1.复数di c bi a ++与的积是实数的充要条件是（ ）A.0=+bc adB.0=+bd acC.bd ac =D.bc ad =2.复数2121,1,3z z z i z i z ⋅=-=+=则在复平面内的对应点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.－3的共轭复数是 ，0的共轭复数是 ，i -的共轭复数是 ．4．（1）=--)3)(67(i i ；（2）=--+)32)(43(i i ．5．（1）=i 1___ ；（2）=-+i i11 __ __ ；（3）=++i i437 __ ．【合作探究】 典例精析：(1) )43)(43(i i -+；(2)2)1(i +；(3))43()21(i i -÷+．变式练习：计算：（1）)23)(23(i i +-+；（2）2)1(i -；（3）)21)(2(i i i --；（4）i i i -++-)2)(1(;例2. 已知复数z 满足)3(1)3(i z i z z -=-⋅，求z ．变式练习：若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的取值【课堂小结】【当堂达标】1.计算：⑴ )3)(67(i i --；⑵ (34)(23)i i +--；⑶2)1(i -；2.计算：（1）2)2(1i - ；（2）)2()4(52i i i ++；（3）i i i -++-)2)(1(.【课时作业】1. 1.432i i i i +++的值为（） A.0 B.1 C.iD.－i2．i 322+的平方为（ ） A.i 388+ B.i 388+- C.i 3812- D.i 3812--3．复数ii i 21)2(-+等于( ) A.i B.i - C.1 D.1-4．如果复数)1)((2mi i m ++是实数，则实数m 等于（ ）A.１B.1-C.2D.2-5．复数z =12i+,则z 的共轭复数=z ．6．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ．7．(1)1-在复数集内的平方根是 或 ．（2）在复数集内分解因式：=+42x ．8．已知z 为复数，i z 1-为实数，iz -1为纯虚数，求复数z ．9．设z=x+yi(x,y ∈R)满足3)21()21(=++-+⋅z i z i z z ，求z 对应的点的轨迹．。

3.2.2 复数的代数形式的乘除运算学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算.学习重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念学习难点：复数的代数形式的乘除运算学习过程：一、知识回顾：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2+⨯-（2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、新课研究：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++. 例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯-（2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．计算（1）(14)(14)i i +⨯-（2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +结论：例3.已知复数Z ，若(23)8i Z +=，试求Z 的值.变式：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值.②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数. 注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数.练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--.=，试写出复数的除法法则. 2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例4．计算(32)(23)i i -÷+(12)(32)i i +÷-+练习：计算232(12)i i -+ 23(1)1i i -+-小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数. 巩固练习：（A ）1．计算（1）()()312i i i -++ （2）2345i i i i i ++++ （3(B)2．若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的取值.(A)变式：122,34z a i z i =+=-，且12z z 在复平面的下方，求a 的取值范围.(B)3.若32i +是关于x 的方程()20,x ax b a b R ++=∈的一个根，求,a b 的值.(C)4.已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+，求12z z ⋅的最大值和最小值.(B)5.设,x y 互为共轭复数，且()2346x y xyi i +-=-，求,x y .课后作业：1.已知复数(),,0z a bi a b R b =+∈≠，满足()()2211z z a b ++=+，且11z z -+是纯虚数，求z .2.课本112页A 组4，5，6和B 组1题。

3.2.2复数代数形式的乘除运算课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i (a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝________________.2．复数乘法的运算律对任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝________结合律(z1·z2)·z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________3.共轭复数设z＝a＋b i (a，b∈R)，则z＝________叫z的共轭复数．若b≠0，则z叫虚数z的________虚数，且z＋z＝______，z－z＝______，两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称．4．复数的除法a＋b ic＋d i＝____________＝____________ (c＋d i≠0)．5．i的乘方设i为虚数单位，则i1＝________，i2＝________，i3＝________，i4＝______.一、选择题1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于()A．4＋2i B．2＋iC．2＋2i D．3＋i2．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2 3．设z ＝3＋i ，则1z等于( )A ．3＋iB ．3－i C.310i ＋110 D.310＋110i 4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－346．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12 B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32 D ．a ＝1，b ＝37．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.8．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝__________________________________________________________. 9．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝______. 三、解答题10．计算：3＋4i4－3i ＋9＋2i.11.已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.能力提升12．复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．答案知识梳理1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 2.3.a －b i 共轭 24.(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i ) (ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 25．i －1 －i 1 作业设计1．A [∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ， ∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2 ＝3＋2i ＋1＝4＋2i.]2．A [z 2－2z z －1＝(1＋i )2－2(1＋i )1＋i －1＝2i －2－2i i＝－2i ＝－2ii2＝2i.]3．D [1z ＝13－i ＝3＋i 10＝310＋i 10.]4．B [∵a1＋i ＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i 为实数，∴1－a 2＝0，∴a ＝1.]5．A [∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i. z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.]6．A [∵1＋2ia ＋b i＝1＋i ，∴a ＋b i ＝1＋2i 1＋i ＝(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3＋i2，∴a ＝32，b ＝12.]7．1解析 ∵a ＋2i i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. 8．4 解析x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i) ＝(12x ＋15y )＋(12x ＋25y )i ＝12(1＋3i) ⇒⎩⎨⎧12x ＋15y ＝1212x ＋25y ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4. 9．1解析 由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2， 得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1.10．解3＋4i 4－3i ＋9＋2i ＝(3＋4i )i4i －3i 2＋9＋2i ＝(3＋4i )i3＋4i ＋9＋2i ＝9＋3i.11．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝|z2＋i|＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5， 故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．12．A [∵z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．] 13．解 方法一 (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i) ＝2－2i ， ∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.方法二 |z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3 ＝1×(2)3＝2 2. (2)∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值 9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.。

【成才之路12015-2016学年高中数学 第3章3.2第2课时 复数的乘法与除法课时作业新人教B 版选修2-2一、选择题熟记复数除法法则是解决题目的关键.3. 若复数？满足(2-i)z=|l+2i|,则？的虚部为()4B 当C. 1D. i［答案］A ［解析］解法 1：设 z=a+bi (a,方GR),则(2 —i) (a+bi) =5, ・•・(2日+力)+ (2方一日力=旃，由复数相等的条件知i 2d+b~^f〔2 方一$=0,1. (2015 •新课标II 理,2)若日为实数, 且(2+ai) (a —2i) =_4i,则 a=( A. -1B. 0［答案］ B［解析］ 由已知得4曰+ (/—4) i = —4i,所以4曰=0, / —4=—4,解得自=0,故选B.A. l-2iB. 2-iC. 2 + iD. l+2i［答案］D［解析］本题考查复数的四则运算.3 + i 3 + i 1 + i 7^= 22+4i= l+2i.・・・z 的虚部为逵.C. 1 D ・22.已知i 是虚数单位，则3+i)解法2：将两边同乘以2+i得，5?=质(2+i),4. 复数击在复平面上对应的点位于（） A. 第一象限 C.第三象限［答案］A_ i _ i 1-i _________________ 1 + i 1丄 =l + i = 1 + i □ —= 2 =2 十刁所以复数z 对应的点为g,在笫一象限.5. （2015 •湖北理，l ）i 为虚数单位，严?的共辘复数为（）• • • • A. i B. -i C ・ 1D. -1［答案］A［解析］因为1=1，所以，『―严沖勺——匚所以严7的共辘复数为i.故本题正 确答案选A.6. 设复数刀，©在复平面内的对应点关于虚轴对称，z. = 2 + i,则2也=（） A. -5 B. 5 C. -4+iD. -4-i［答案］A［解析］本题考查复数的乘法，复数的儿何意义.Tzi = 2 + i, zi 与 G 关于虚轴对称，.•.Z2=—2 + i, /. ziz 2= —1 —4 = —5, 故选 A.7. 已知i 为虚数单位，？为复数，下面叙述正确的是（） A. z_ z 为纯虚数B. 任何数的偶数次幕均为非负数C. i + 1的共觇复数为i —1D. 2 + 3i 的虚部为3［答案］DB.第二象限 D.第四象限［解析］［解析］当？为实数时A错；由［2= —1知B错；由共轨复数的定义知1 + i的共轨复数为l — i, C 错,故选D ・8. (2015 •安徽理，1)设i 是虚数单位，则复数L 在复平面内所对应的点位于() 1— 1 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限［答案］B1,1)，位于第二象限，故选B.二、填空题=1 —2i, Az=l —i.10. (2015 •徐州期末)已知复数？满足］厶i 尸i(i 为虚数单位)，若z=a+bx^方丘R),则a+ b= ________ .［答案］1［解析］由题意可得 z=i (1 — 2i)2=i (1—4 —4i) =i (_3_4i) =4 —3i, 由复数相等可得日=4且〃=一3, ・・・卄力=4一3 = 1. 三、解答题11. 设复数z 满足丨吻=5,且(3 + 4i)z 在复平面上对应的点在第二、四彖限的角平分 线上，|£z —刃| =5£(/〃WR),求z 和刃的值.［解析］设 z=x+y\ (x, pWR),・・・|z|=5, /.x+y=25,而(3 + 4i) ?= (3+4i) (%+yi) = (3x —4y) + (4卄3y) i又・・・(3+4i)z 在复平面上对应的点在第二、四彖限的角平分线上，3%— 4y+ 4+ 3y= 0,得 y=7x,2i［解析］由题意口2i 1 + i 1-i 1+i— 24-2i飞亠=—1+i,其对应的点坐标为(一9.规定运算ad~ be,若 = l-2i,设i 为庞数单位，则复数z［答案］1-i ［解析］由已知可得 = 2z+i 2=2z-l的复数？为（［答案］即 z(l + i)=4+2i,4 + 21 4 + 2i 1-i 6-2i•-3_1-即 z=±p^+耳^i ）； y ［2z=± （l + 7i ）. 当述？=l+7i 时，有|l+7i —〃/|=5jL 即（1-/^）2+72=50,得刃=0,刃=2.当边z=—（l + 7i ）时，同理可得刃=0, m=~2.能力握升三一、选择题— 9 + 311.在复平面内，复数3_£ （i 是虚数单位）所对应的点位于（）A.第一彖限 C.第三象限［答案］BB.第二象限 D.第四象限rAnlrn -2 + 3i-2 + 3i［解析］刁 ----------------- 5斗誓宀…••复数昔对应的点位于第二象限. -j2.若复数&■是纯虚数，则实数日的值为（A. 2B. c-lD .［答案］ ［解析］占+ i ____ 日+i l+2il-2i = l-2i l+2i曰-2 + 2卄1】是纯虚数,3. （2015 •会宁县期屮）定义运算= ad — be,则符合条件1 -1= 4 + 2iA. 3 —iB. l + 3iC. 3+i ［)•l-3i［解析］根据定义，可知lXzi-（-l ）Xz=4+2i,4.设i是虚数单位，z是复数z的共轨复数，若么・zi + 2 = 2z,则z=B. 1-i D. -1-iz i+2=2z,得(/+y) i +2=2(%+ yi) =2x二、填空题5. （2015・重庆理，11）设复数a+b\ （a,^eR ）的模为书，则（日+为）（日一伤）= _ .［答案］3［解析］由题易得+F=羽,故/+川=3； （&+方i ）（自一bi ） =/ +川=3.6. 关于/的不等式〃/—ZLY +Q >0（/〃，n, qWR ）的解集为（一1,2）,则复数加+pi 所对应的点位于复平而内的第 ________ 象限.［答案］二［解析］•.5/—加+刀>0（〃人〃、pER ）的解集为（一1, 2）,r/xo-1+ 2=-/〃 ，即 〃K0, /?>0. -1J X2=- m 故复数/〃+切所对应的点位于复平面内的第二彖限.— 3 7~\~ A7. 已知复数2= 1 + i,则复数.旷卜］的模为［答案］边/—3z+61 + i 2—3 1 + i +6~z+l~= 1 + i~+12i-3-3i+6 3-i =2+1 =2+7=1 _1故I —i 的模为Ji 三、解答题8. 已知？是复数，z+2i 、总均为实数（i 为虚数单位），且复数（z+m ）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数日的収值范围. ［解析］设 z= x+ yi 匕、yER ）,z+2i = /+（y+2） i,由题意得 y=—2.+ 2yi ，x +y =2y, 2 = 2 x,Jx=l, ［y=l ・z= 1 + i,故选 A.A. 1 + i C. -1 + i［答案］A［解析］设 z=x+yi(x, yWR),由［解析］#2 卄 2)+扣—4)i由题意得，x=4・ /.z=4 —2i ・T (z+^i)2= (12+4自一a) +8(a —2) i,解得2〈日〈6,・・・实数辺的取值范围是(2, 6).9. 复数1 + 1 . ：i+b} 1.1 z| = 4, z 对应的点在第一象限，若复数0、刁、G 对1 — 1应的点是正三角形的三个顶点，求实数臼、方的值.［解析］z — 1T (卄方］)—2】・1(卄加)=—2臼一2b\.由 |z|=4 得 a +1} =4,①・・•复数0、z 、2对应的点构成正三角形,I Z — z \ = \z\.把z=—2a —2bi 代入化简得\b\=l.② 又TZ 在第一象限，・・・日〈0, ZK0. 由①②得产"・［b=-l根据条件, 可知I12+4 臼一/〉o8 臼一2 >0z x —2i 1 = 2-f =5(%—2i) (2 + i)。

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.一、学情调查，情景导入（预习教材P 58~ P 59，找出疑惑之处）复习1：计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[复习2：计算：2()a b ±=(32)(32)a b a b +-=(32)(3)a b a b +--=二、问题展示，合作探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么______________________________________________________________即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成__，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？新知：对于任意123,,z z z C ∈，有试试：计算（1）(14)(72)i i +⨯-（2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部___，虚部互为____时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_______.试试：34i +的共轭复数为a bi +的共轭复数为bi 的共轭复数为问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：（2）12z z ⋅是一个怎样的数？探究任务三：复数的除法法则例1 计算（1）(12)(34)i i +÷-；（21996+变式：计算（1）232(12)i i -+，（2）23(1)1ii -+-三、达标训练，巩固提升1. 复数52i -的共轭复数是（ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -2. 复数31()2+的值是（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．13. 如果复数212bii -+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为（）A B ．-2 C ．23- D ．234.若1z =+，则22z z -的值为5. 若复数z 满足11zi z -=+，则|1|z +的值为四、知识梳理，归纳总结1. 复数的乘除运算；2. 共轭复数的定义.五、预习指导，新课链接见下节学案1. 计算：（1）1()(1)2i -++；（2）11)()22-- （3）274i i++；（4）25(4)(2)i i i ++。

§3.2.2 复数的乘法教学设计授课人：李海武教学教法分析三维目标：1．知识与技能(1)能够运用复数代数形式的乘法法则求两个复数的积．(2)了解复数的乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．2．过程与方法通过学习，使学生进一步理解复数的乘法运算法则，进一步提高学生对运算法则合理性的认识．3．情感、态度与价值观通过对复数乘法运算法则的学习，培养学生严密的推理能力、准确的计算能力．重点难点：重点：能准确进行复数的乘法、乘方运算．难点：复数中有关22(1),(1)+-的运算。

．i i教学方案设计教学思路：1．在教学中应向学生指明：复数的乘法，可按多项式相乘的方法进行，不必专记公式．2．学习共轭复数时，首先要求学生明确共轭复数的概念，其次必须注意共轭复数的性质，即222⋅==+∈.合理地运用这个结论，及时进行虚、实的转换，有时可以简化计算．z z z a b R3．关于复数的四则运算，应避免繁琐的计算和过分的技巧，突出基本方法和基本技能的应用，突出运算中的求简原则．4．对于i的正整数幂n i的运算，要引导学生发现n i结果的周期性．教学流程类比引入：类比多项式的乘法定义复数的乘法⇒复数乘法所满足的运算律⇒应用示例，感悟复数乘法法则及运算律的用法，探究其性质 ⇒归纳总结，深化认识。

复习提问：复数的加法与减法法则两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)引入新课：多项式(2+3)(1+)x x -是怎样进行计算的？你可以类比到(2+3)(1+)i i -进行计算么？新知探索：1、复数的乘法规定复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=++=+++=-++.即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.2、复数乘法满足的运算律：1221Z ⋅Z =Z ⋅Z 123123Z ⋅Z ⋅Z =Z ⋅Z ⋅Z （）（）1231213Z ⋅Z +Z =Z ⋅Z +Z ⋅Z （）问题3 两个共轭复数的乘积等于____________________________是_______数问题4 幂的运算性质：1i =_____； 2i = ______； 3i =_____； 4 i =____ 总结：41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41n i =典例探究：例１已知122,34z i z i =+=-，计算12z z ⋅选一选练一练(由电脑随机点名，让选中的学生自己回答，再一名学生点评)例2求证：22221212(1);(2)()(3)z z z z z z z z z z ⋅===⋅=⋅我练练我掌握（通过练习掌握共轭复数的性质）例3 计算2(1)合作交流：i 的指数变化规律1i =_____； 2i = ______； 3 i =_____； 4 i =____5i =_____； 6i = ______； 7 i =_____； 8 i =____ 你能发现规律吗？有怎样的规律？总结：41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41n i =例4 计算37281990,,,i i i i (砸金蛋)（利用砸金蛋新颖的形式，让学生们在玩中掌握了知识）例5 计算 (1)2(1)i +； (2)21)i -(； (3)2000(1)i +；结论：（让学生们自己总结出，增加对以后做题的速度）反思与总结本节课我学会了：掌握了那些？还有哪些疑问？当堂检测：1. ()()a bi a bi ---=_______ 2.设复数12z i =+，则 22z z -的值为_______3.设复数：121,2()z i z x i x R =+=-∈，若12z z 为实数，则x =______ 若123,34z a i z i =+=-且12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为___________5．()()2211i i ++-=___________ 6．2342018i ii i i +++++=__________作业： 必做：教材P94 A 组T120x z ax bx c x z -=++==选做：设复数是实系数方程的虚根，证明也是方程的根教师寄语：只有用心才能从细节里获得知识和感悟。

§3.2 复数的运算3．2.1 复数的加法与减法一、选择题1．已知复数z 满足z ＋(－3＋i)＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－2或13．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34－i C ．－34－i D.34＋i 4．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．0B.32＋52iC.52－52iD.52－32i 5．在复平面内点A ，B ，C 所对应的复数分别为1＋3i ，－i ，2＋i ，若AD →＝BC →，则点D 表示的复数是( )A ．1－3iB ．－3－iC ．3＋5iD ．5＋3i6．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )7．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．3－2 2B.2－1 C ．3＋2 2D.2＋1二、填空题8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于________．9．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.10．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，那么BC →表示的复数为________．三、解答题11．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －．12．设O 为坐标原点．已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i(其中a ∈R )，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求z 1与z 2的值．13．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．四、探究与拓展14．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．1615．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N .(1)指出集合P 在复平面上所表示的图形；(2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．答案精析1．D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.A 7.D8．3i 9.5－9i －8－7i 10.4－4i11．解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i ＝－1－8i.(2)5i －＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.12．解 因为z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，所以z 1＋z 2∈R . z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋(2a ＋a 2－15)i ∈R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5≠0且1－a ≠0，a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝3，所以z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i. 13．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. 所以点D 对应的复数为5.(2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210. 所以sin B ＝7210.所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7， 所以平行四边形ABCD 的面积为7.14．C15．解 (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如图所示．(2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1， 得A (2＋22，22)，B (2－22，－22)． ∴|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2.∵点O 到直线l 的距离为22，且过O 向l 作垂线，垂足在线段BE 上， ∴22<2－ 2. ∴集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22.。

第三章 §3.2 课时作业25一、选择题1．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限解析：z ＝i ＋i 2＝－1＋i 的对应点为(－1,1)，此点位于第二象限，故选B. 答案：B2．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：法一：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2，故选A.法二：1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2，故选A. 答案：A3．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i解析：因为z ＝1＋i ，所以zi ＋i·z ＝(－i ＋1)＋i ＋1＝2.答案：C4．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )A. p 2，p 3B. p 1，p 2C. p 2，p 4D. p 3，p 4解析：z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，所以|z |＝2，p 1为假命题；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2为真命题；z ＝－1＋i ，p 3为假命题；p 4为真命题．故选C.答案：C 二、填空题5．计算：3－i1＋i ＝________(i 为虚数单位)．解析：3－i 1＋i ＝(3－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－4i 2＝1－2i.答案：1－2i6．若n ∈N *，则(1＋i 2)4n ＋(1－i 2)4n＝__________.解析：∵(1＋i2)4＝i 2＝－1，(1－i 2)4＝(－i)2＝－1， ∴(1＋i 2)4n ＋(1－i2)4n ＝(－1)n ＋(－1)n .(1)当n 是奇数时，原式＝－2. (2)当n 是偶数时，原式＝2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－2 n 是奇数2 n 是偶数7．若z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根，则实数a ，b 的值分别为__________，__________.解析：把z ＝i －1代入方程z 2＋az ＋b ＝0，得(－a ＋b )＋(a －2)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. 答案：2 2 三、解答题8．计算－23＋i 1＋23i＋(21＋i )2014＋(4－8i )2－(－4＋8i )24＋3i .解：原式＝i (23i ＋1)1＋23i ＋(22i )1007＋(4－8i )2－(4－8i )24＋3i ＝i ＋(－i)1007＋04＋3i ＝i ＋i ＋0＝2i.9．复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az <0，求纯虚数a .解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0， ∴⎩⎨⎧－m2<0，m2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.。