高二数学期末知识点：复数

高中复数知识点总结高中数学中，复数是一个重要的概念，它对于解决方程、计算根式以及在物理学和工程中的应用都起着至关重要的作用。

本文将总结高中阶段学习中的复数知识点，并且探讨其应用。

1. 复数的定义和表示复数是由实数与虚数组合而成的数，形式上可以表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。

实部是一个实数，虚部是一个虚数，虚数的特点是它的平方等于负数。

复数的实部与虚部可以分别表示为Re(z)和Im(z)。

例如，复数3+4i的实部是3，虚部是4。

2. 复数的运算复数的运算规则与实数的运算规则类似。

对于复数a+bi和c+di，它们的加法和减法运算分别为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i复数的乘法运算为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i复数的除法运算为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i3. 一些特殊的复数(1) 实数：当虚部为0时，复数就是一个实数。

例如，5可以表示为5+0i。

(2) 纯虚数：当实部为0时，复数就是一个纯虚数。

例如，3i。

(3) 共轭复数：复数a+bi的共轭复数为a-bi。

两个共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。

例如，复数2+3i的共轭复数是2-3i。

4. 笛卡尔坐标系和极坐标系表示复数笛卡尔坐标系是用实轴和虚轴表示复数的方法，复数a+bi的实部对应实轴上的点，虚部对应虚轴上的点。

极坐标系是用模长和辐角表示复数的方法，复数a+bi的模长对应于复平面上的点到原点的距离，辐角对应于与实轴的夹角。

复数的模长可以用勾股定理计算，即|z| = √(a²+b²)，复数的辐角可以用反正切函数计算，即θ = arctan (b/a)。

5. 欧拉公式欧拉公式是复数与指数函数之间的重要关系，它可以表示为e^（iθ）= cosθ + isinθ，其中e为自然对数的底数，θ为角度。

最新高中数学复数基础知识点总结L（1）复数的单位为i,它的平方等于-1,即⑵复数及其相关概念：®复敏一形如口-Z>i的数（其中兴R）;②实数一当b=（O复教"凯即@©虚数一当八0时的复数4+折；©绳虚数一当。

=0且5村时的复救•+£即皈®复数豹实部与虚部一G叫做复翔的实部，方叫做虚部（注意。

，b都是实教）©复逖集C一全体复救段集合，一般用字母C表示.（3）两个复数相等的定义：a+bi=c-^di^a=c且方=d（其中，s b,c,d,eR）招U也+加=0。

口=。

=0.（4）两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若罕2为复数，则1°若Z1+Z2AO，则（X）旻为复数,而不是实数] 2°若Z1”2 ,则Zf Y0.（/）a,b,ceC,则（0-暗+0-c）2+（c-a）2=O是a=b=c的必要不布分条件.（当（a-02 =i2,（5-0）2=顷-d）2=0时，上式成立）2.⑴复平面内的两点间距离公式：d=|z]-Z2.其中Z1，勺是复平面内的两点小和Z2希对应的复数，d表示T1.和32间的距离-由上可得：复平面内以z°为园心，「为¥径的圆的复数方程：|z-zo|=r（r>0）.（2）曲统方程的复数形式：®|z-z0|=r表示贝°为圆心，f为半径的圆的方程.©Iz-z^z-zj表示线段」怀2的垂直平分线的方程.3）|z-z1|+z-z2|=2rj OO且25a|z】z J）表示以Z”Z）为焦点，长半轴长为a的椭El的方程（若2。

=府时，此方程表示统段Z“Z2）.到|—司-|12|二2口（0Y2々Y|zq），表示以Z”2：为焦点，实丰轮长为。

的双曲线方程（若2。

孔曷，此方程表示两条射线）6）绝对值不等式：设Zl，Z2是不等于零的复数，则。

|川一尻|业1+互|＜引|姑2•左边取等号的条件是zi（人普段Y0）,右边取等号的条件是Z2=z mR"A0）.©hl-kzhh-^+hl-左边取等号的条件是乓=所以《乩舟）,右讪取等号的条件是矣=初（如R,ZY0）.注：A x A2+A2A2+A2A^+—+A n^A n^A l A n3.共辄复救的性质,Z1+Z2=21+Z2z+z=2a9z-z=2bi、s a-bi）2^22=71-22Z：・为=勺*2£1==（中o）z2注：两个共辆复数之差是纸虚教・（X）［之差可能为零，此时两个复数是相等的］4（i）①复数S乘方：z七次生女e?r）n②对任何Z,z）,z2eC及皿咨_________________________________________________③Z气状)(z&)注：O以上结论不能拓展到分数指数莫由形式，否则会得到荒咨的结果，如1七-顼4=1若由4（"）2=12二1就会得到一1二倔错误结论.②在实数集成立的|X|=?.当x为虚数时，|r|*x2,所乂复数集内解方程不能采用两边平方法.（2）常用的结论:；21；4n+l；;4h+2i j4h+3-;4n iI=~V=IJ=一侦=TJ=17.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=（Xa^0）时，应注意"F述①当摹5时，若A〉0,则有二不等实数根.勺=二罕i若A=0,则有二相等实数根x,2=- b;®A<0,则有二相等复数根珂2二二J“为共辆复数）.2a M⑦当2但。

高中复数的知识点高中关于复数的知识点高中关于复数的知识点就在下面，复数是高二数学课本中的重点内容，为了帮助大家学习，下面就是为大家整理的关于复数的知识点哦！关于复数的知识点总结1、知识网络图2、复数中的。

难点（1）复数的向量表示法的运算。

对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难。

对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明。

（2）复数三角形式的乘方和开方。

有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练。

（3）复数的辐角主值的求法。

（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题。

复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会。

3、复数中的重点（1）理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点。

（2）熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角。

复数有代数，向量和三角三种表示法。

特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容。

（3）复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质。

复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的'运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容。

（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法。

定义数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。

比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。

形如z=a+bi的数称为复数（complex number），其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=—1（a，b是任意实数）我们将复数z=a+bi中的实数a 称为复数z的实部（real part）记作Rez=a 实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b。

已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

高二数学复数知识点总结【导语】高二年级有两大特点：一、教学进度快。

一年要完成二年的课程。

二、高一的新鲜过了，距离高考尚远，最容易玩的疯、走的远的时候。

导致：心理上的迷茫期，学业上进的缓慢期，自我束缚的疏松期，易误入歧路，大浪淘沙的挑选期。

因此，直面高二的挑战，认清高二，认清高二的自己，认清高二的任务，显中意义十分重大而迫切。

作者高二频道为你整理了《高二数学复数知识点总结》，期望对你的学习有所帮助！【一】复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。

全部复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示情势叫做复数的代数情势，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

明显，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是由于，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍旧成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

高中数学复数知识点总结 高中数学复数知识点总结 总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，它有助于我们寻找工作和事物发展的规律，从而掌握并运用这些规律，因此好好准备一份总结吧。你想知道总结怎么写吗？下面是店铺为大家整理的高中数学复数知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 高中数学复数知识点总结1 复数定义 我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数表达式 虚数是与任何事物没有联系的，是绝对的，所以符合的表达式为： a=a+ia为实部，i为虚部 复数运算法则 加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 减法法则：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; 乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i; 除法法则：(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c+d)]+[(bc-ad)/(c+d)]i. 例如：[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=0，最终结果还是0，也就在数字中没有复数的存在。[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=z是一个函数。 复数与几何 ①几何形式 复数z=a+bi被复平面上的点z(a，b)唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 ②向量形式 复数z=a+bi用一个以原点O(0,0)为起点，点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。 ③三角形式 复数z=a+bi化为三角形式 高中数学复数知识点总结2 方差定义 方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。 方差性质 1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动); 2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取); 3.若X、Y相互独立，则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为 当X、Y相互独立时，，故第三项为零。 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 方差的应用 计算下列一组数据的极差、方差及标准差(精确到0.01). 50，55，96，98，65，100，70，90，85，100. 答：极差为100-50=50. 高中数学复数知识点总结3 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的.数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0 a=0，b=0. 复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒： 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤： (1)把给的复数化成复数的标准形式; (2)根据复数相等的充要条件解之。 数学加法心算技巧 1、分裂再凑整数加法; 比如;8+5=13，先把“5”分裂成“2”和“3”;那么就是8+2+3=10; 2、比如;77+8=85，先把“8”分裂成“3”和“5”;那么就是77+3+5=85; 3、变整数再减去 比如，26+18=44，把“18”变成“20-2”，那么就是26+20-2=44; 4、比如;387+983=1370，把“983”变成“1000-17”，那么就是387+1000-17=1370; 5、错位数相加 比如，个位加十位得数是个位的; 51+15=66;这样算：5+1得6;1+5得6;两6合拼 72+27=99;这样算：7+2得9;2+7得9;两9合拼 63+36=99;这样算：6+3得9;3+6得9;两9合拼 52+25=77;这样算：5+2得7;2+5得7;两7合拼 6、比如，个位加十位得数是十位的; 78+87=165;这样算：7+8=15，再把“15”两个数字“1”和“5”相加得6，把这个“6”放在“15”的中间，得出“165”; 67+76=143，这样算：6+7=13，再把“13”两个数字“1”和“3”相加得4，把这个“4”放在“13”的中间，得出“143”; 高中数学复数知识点总结4 定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(real part)记作Rez=a 实数b称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b. 已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数 当a=0且b0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = 1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,yR)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 即 (a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cos+isin)，则 z=nr[cos(2k)/n+isin(2k)/n](k=0，1，2，3n-1)

高中数学复数知识点在高中数学中，复数是一个重要且有趣的概念。

它由实数和虚数构成，可以用到各种数学问题的解决中。

接下来，我们将深入探讨高中数学中的复数知识点。

一、复数的定义复数是由实数和虚数构成。

实数是我们通常使用的正数、负数和零，而虚数是-1的平方根的倍数，用i表示。

复数形式可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法复数的加法就是将实部和虚部相加。

例如，(3+2i) + (4-3i) = (7-i)。

而复数的减法则是将实部和虚部相减。

例如，(3+2i) - (4-3i) = (-1+5i)。

2. 复数的乘法和除法复数的乘法是将实部和虚部按照分配律相乘。

例如，(3+2i) * (4-3i)= (12+8i-9i+6i^2)= (18-1i) = (18-i)。

而复数的除法就是用乘法的逆运算。

例如，(3+2i) / (4-3i) = (18+7i) / 25。

三、复数的模和共轭1. 复数的模复数的模是一个复数到原点的距离，可以用来计算复数的大小或大小比较。

复数z=a+bi的模可以表示为|z|=√(a^2+b^2)。

例如，复数2+3i的模为√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。

2. 复数的共轭复数的共轭是将复数的虚部取负。

例如，复数3+4i的共轭为3-4i。

共轭复数在复数的乘法和除法中起着重要的作用。

四、复数的指数形式复数的指数形式可以用极坐标来表示。

复数z可以有模和辐角表示，即z=r*e^(iθ)。

其中，r是复数的模，θ是复数的幅角。

复数的指数形式在复数的乘法和除法中特别有用。

五、复数的解析几何复数在解析几何中有广泛的应用。

实部和虚部可以分别表示平面上的横坐标和纵坐标，而复数的加法和减法可以表示平移移动。

同时，复数的乘法和除法可以表示旋转和缩放。

六、复数的应用1. 三角函数复数可以用来表示三角函数，例如正弦函数和余弦函数。

欧拉公式是复数和三角函数之间的重要关系，即e^(iθ)=cosθ+isinθ。

高二会考数学知识点复数复数是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的一项重要知识点。

它广泛应用于代数、几何和物理等领域，并且在解决一些复杂问题时起到了关键作用。

本文将详细介绍高二会考的数学知识点复数。

一、复数的定义与表示方法复数由实数和虚数构成，形如a + bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

在复平面上，a表示横坐标，b表示纵坐标。

实部为0的复数为纯虚数，虚部为0的复数为实数。

二、复数的运算规则1. 复数的加减法：分别对实部和虚部进行运算。

2. 复数的乘法：使用分配律展开计算，并注意i的平方等于-1。

3. 复数的除法：将除数的分母有理化为实数，然后进行乘法运算。

4. 复数的共轭：将虚部的符号取反，得到原复数的共轭形式。

5. 复数的模：利用勾股定理计算复数在复平面上的模，即距离原点的长度。

三、复数的指数形式与三角形式1. 复数的指数形式：根据欧拉公式e^(ix) = cos(x) + i sin(x)，可以将任意复数表示为r e^(iθ)的形式，其中r为模，θ为辐角。

2. 复数的三角形式：利用三角函数，可以将复数的指数形式转化为三角形式，即r(cosθ + i sinθ)。

四、复数的应用1. 解方程：复数在解决一元二次方程、高次方程等问题时起到了重要作用，可以找到复数根。

2. 复数向量：复数可以表示二维向量，通过复数的加法和乘法运算，可以进行向量的加减法、旋转等操作。

3. 信号处理：复数在信号处理中有广泛应用，例如频率分析、滤波等领域。

4. 电路分析：复数方法可以方便地分析交流电路，求解电流、电压等参数。

总结：复数是一种重要的数学概念，高二学生在备考中需要掌握复数的定义、表示方法和运算规则。

同时，理解复数的指数形式和三角形式，以及复数在方程求解、向量运算、信号处理和电路分析等应用中的作用，能够帮助学生更好地应对高考数学考试。

参考资料：高等数学，北京大学出版社，2020。

高二数学复数复习小结苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 复数复习小结教学目的：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件。

理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。

了解复数的几何意义；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

教学重点：复数的运算与几何意义教学难点：复数的几何意义。

二. 知识要点：1. 虚数单位i ：（1）它的平方等于－1，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. i 与－1的关系： i 就是－1的一个平方根，即方程x 2＝－1的一个根，方程x 2＝－1的另一个根是－i 。

3.i 的周期性：i 4n+1＝i ，i 4n+2＝－1，i 4n+3＝－i ，i 4n ＝1。

4. 复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*。

5. 复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式。

6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b ＝0时，复数a +bi （a 、b ∈R ）是实数a ；当b ≠0时，复数z ＝a +bi 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，z ＝bi 叫做纯虚数；当且仅当a ＝b ＝0时，z 就是实数0。

7. 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 。

8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。

即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi ＝c +di ⇔a ＝c ，b ＝d 。

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。

如果两个复数都是实数，就可以比较大小。

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。

“复数”全章小结知识梳理与题型归类一、重点、难点：1. 复数的概念及其表示形式：通常复数z 的实部记作Rez ；复数z 的虚部记作Imz.两个重要命题：（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平面上的点来表示复数，一般地，可用点（）表示复数，（），Z a,b a +bi a,b R ∈或用向量表示复数OZ a bi →+.这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：（6）共轭复数的运算性质：（7）复数的模的运算性质：2. 复数的运算：（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）简记为“分母实数化”。

特例：()()()().a bi a bi a b i i i i +-=++=-=-22221212；，（）开平方运算的平方根（）可由22:()a +bi x +yi a,b,x,y R ∈+=+x yi a bi 利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。

（3）复数加法、减法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则。

复数减法即向量的减法，满足三角形法则。

z 1-z 2对应的向量，是以z 2的对应点为起点，指向z 1的对应点的向量，|z 1-z 2|表示复平面内与z 1，z 2对应的两点的距离，如：|z-i|表示z 与i 的对应的点的距离；3. 复数与方程：（1）含z 的复数方程：可设出z 的代数形式，利用复数相等转化为实方程组。

（2）实系数一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）△>0时，方程有两个不等实根；△=0时，方程有两个相等实根；△<0时，方程有两个互为共轭的虚根。

韦达定理以及求根公式仍然适用。

（3）复系数一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的判别式不再适用，如x 2-ix-2=0，△=7>0，但该方程并无实根。

但韦达定理以及求根公式仍适用。

［注］ 1. 解决复数问题，注意虚实转化的方法。

复数知识点小结1、复数的概念复数 (,)z a bi a b R =+∈Re Im a z b z ⎧⎨⎩——实部————虚部——，其中21i =-，i 叫做虚数单位. 2、复数的分类 (0) (,)(0) (0b z a bi a b R b a =⎧=+∈⎨≠=⎩实数复数虚数特别地，时为纯虚数)3、两个复数相等定义：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。

复平面中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。

5、复数的向量表示OZ Z 向量复平面上点复数↔↔+=),(b a bi a z6、复数的模复数模（绝对值）的定义，几何意义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。

|z|=|a+bi|=022≥+b a .[说明] ||||z z a ==为实数时，，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。

当且仅当a=b=0时，|z|=07、复数的四则运算性质：R d c b a ∈,,,1）、加法：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++2）、减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+3）、乘法：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++4）、除法：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++ （目的：分母实数化） [要点说明]①计算结果一律写成),(R b a bi a ∈+的代数形式；②复数的加法满足交换律、结合律；③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律；交换律：1221z z z z ⋅=⋅结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅分配律：3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即n n n mn n m n m n m z z z z z z z z z N n m C z z z 2121*321)(,)(,,,,,=⋅==∈∈+时：8、i 的整数指数幂的周期性特征：414243441, 1, , 1k k k k k i i i i i i ++++==-=-=若为非负实数，则（）；024*******=+++++++k k k k i i i i ）（9、||21z z -的几何意义：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 则2221)()(|)()(||)()(|||d b c a i d b c a di c bi a z z -+-=-+-=+-+=-几何意义：对应复平面上点12(,), (,)Z a b Z c d 两点间距离22)()(d b c a d -+-=10、共轭复数1）定义： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为bi a z -=问题：当R z ∈时，是否有共轭复数？两者关系如何？z z R z =⇔∈2）运算性质：结论可推广到n 个2121)1(z z z z ±=± 2121)2(z z z z ⋅=⋅ )0()()()3(22121≠=z z z z z 3）模的运算性质：① 121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；② 1212z z z z ⋅=⋅，可推广至有限多个，特别地n n z z= ③ 2121z z z z = ④ 22z z z z ==，特别地，当1=z 时，1=z z 即 1z z=. 11、复数的平方根：在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(， 则称bi a +是di c +的一个平方根.从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.12、复数的立方根 设i 2321+-=ω，则： 322331322(1) 1; (2) 10 ; (3) ;(4) 1,{}3.n n n nT ωωωωωωωωωωω++=++======即是的等比数列 13、实系数一元二次方程根的情况1）20(0)ax bx c a ++=≠实系数一元二次方程在复数集内根的情况：① 0 ,∆>当时有两个不相等的实根；② 0 ∆=当时，有两个相等的实根； ③ 0 ∆<当时，有两个共轭虚根.2）0∆<当时，2212112122Re ,||||b c x x x x x x x a a+==-⋅=== 3）120||x x a∆≥-=当时，；120||||22||b i b i x x a a a --∆<-=-=当时，12||x x -=综上：。