高中数学 第5课 曲线的极坐标方程学案 新人教A版选修4-4

1.3 简单曲线的极坐标方程一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解极坐标方程的意义、能在极坐标系中给出简单曲线的方程，体会极坐标下方程与直角坐标系下曲线方程的互化，培养学生归纳类比推理、逻辑推理能力． （二）学习目标1．通过实例，了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法． 2．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程．3．能进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义． （三）学习重点1．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程． 2．进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． （四）学习难点1．求曲线的极坐标方程．2．对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第12页至第15页，填空：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 2．预习自测（1）下列点不在曲线θρcos =上的是( )A.)3,21(πB.)32,21(π-C.)3,21(π-D.)32,21(π-【知识点】极坐标方程【解题过程】将选项中点一一代入验证可得选项D 不满足方程 【思路点拨】由极坐标方程定义可得 【答案】D ．（2）极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为( ) A.2=ρ B .4=ρ C.2cos =θρD.1sin =θρ【知识点】极坐标方程【解题过程】任取圆上一点的极坐标为),(θρ，依题意R ∈=θρ,2,所以选A 【思路点拨】根据题意寻找θρ,的等量关系式 【答案】A ．（3）将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： ①射线)0(3≤=x x y ；②圆0222=++x y x ． 【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化【解题过程】①因为=x θρcos ，=y θρsin 代入可得3tan ,cos 3sin ==θθθ 又因为0≤x ，所以射线在第三象限，故取θ＝4π3(ρ≥0 )②将=x θρcos ，=y θρsin 代入0222=++x y x ，整理得θρcos 2-= 【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化可得 【答案】①θ＝4π3(ρ≥0 ) ②θρcos 2-=．（4）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆ρ＝2的公共点个数是 .【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系【解题过程】直线方程ρcos )4(πθ-＝2，即)sin 22cos 22(θθρ+＝2，所以直角坐标方程为x ＋y －2＝0.圆的方程ρ＝2，即ρ2＝2，所以直角坐标方程为x 2＋y 2＝2. 因为圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－2|2＝2＝r ，所以直线与圆相切，即公共点个数是1.【思路点拨】将问题转化为平面直角坐标系中的问题处理 【答案】 1 (二)课堂设计 1．知识回顾（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．问题探究探究一 结合实例，类比认识极坐标方程★ ●活动① 类比推理概念在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程0),(=y x f 表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x f 的解； (2)以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程0),(=θρf 表示呢？我们先看一个例子 半径为a 的圆的圆心坐标为)0,(a C ，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件吗？类比直角坐标方程的求解过程，我们先建立极坐标系，如右图所示，设圆经过极点O ,圆与极轴的另一个交点为A ，则a OA 2=，设),(θρM 为圆上除A O ,以外的任意一点，则AM OM ⊥,所以在AMO Rt ∆中，MOA OA OM ∠=cos ,即θρcos 2a =.经验证，点)0,2(),2,0(a A O π的坐标满足上式.于是上述等式为圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件，反之，坐标适合上述等式的点都在这个圆上.所以我们类比直角坐标方程可以得到极坐标方程的定义，即：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，所以我们这里要求至少有一组能满足极坐标方程．则这个点在曲线上.【设计意图】利用类比的思想，从熟悉的概念得到新的数学概念，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 归纳梳理、理解提升分析上述实例，你能得出求解极坐标方程的一般步骤吗？求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标θρ,的关系式0),(=θρf 表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．(2)连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．(4)检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．【设计意图】通过实例类比总结方法，培养学生数学抽象、归类整理意识． 探究二 探究直线的极坐标方程 ●活动 互动交流、初步实践组织课堂讨论：结合极坐标方程的定义及求解极坐标方程的步骤，我们动手求解：直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为3π的直线的极坐标方程.M如右图，以极点O 为分界点,直线l 上的点的极坐标分成射线,OM 射线M O '两个部分，射线OM 上任意一点的极角都为3π，所以射线OM 的极坐标方程为：)0(3≥=ρπθ；而射线M O '上任意一点的极角都是34π，所以射线M O '的极坐标方程为：)0(34≥=ρπθ 综上：直线l 的极坐标方程可以用)0(3≥=ρπθ和)0(34≥=ρπθ表示现在产生一个问题：能否用一个方程来表示呢？我们定义：若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称.这样就可以将ρ的取值范围推广到全体实数.于是在允许R ∈ρ，那么上述直线l 的极坐标方程就可以写为： )(3R ∈=ρπθ或)(34R ∈=ρπθ 【设计意图】得到特殊直线的极坐标方程，加深对极坐标方程内涵与外延的理解，突破重点． 探究三 探究极坐标方程与直角坐标方程的联系★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识在学习了极坐标方程及求解步骤后，动手做一做：在极坐标系中，圆心为)4,1(πA ,半径为1的圆的极坐标方程是多少呢？如右图所示，设),(θρP 为圆上任一点，当P A O ,,三点不共线是，在OPA ∆中利用余弦定理可得222)4cos(2AP OAOP OP OA =--+πθ1)4cos(212=--+∴πθρρ即 )4cos(2πθρ-=当P A O ,,三点共线时，点P 的坐标为)43,0(π或)4,2(π，这两点的坐标满足上式，所以上式为所求的圆的极坐标方程.在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.【设计意图】巩固极坐标方程的求解，同时为极坐标方程与直角坐标方程的转化作准备． ●活动② 强化提升、灵活应用),(θρPO根据上节的直角坐标与极坐标的互化，先把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.，然后先求直角坐标系下的圆的方程；即由于圆心在极坐标系下为)4,1(πA ，则在直角坐标系下圆心)22,22(A ，半径1=r ，所以圆的直角坐标方程为：1)22()22(22=-+-y x ，整理得：y x y x 2222+=+，因为=x θρcos ， =y θρsin ，代入直角坐标方程得)4cos(2sin 2cos 22πθρθρθρρ-=+=化简得： )4cos(2πθρ-= 【设计意图】掌握极坐标方程与直角坐标方程的转化，进一步认识极坐标系． 活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 极坐标方程2πρ=表示( )A ．直线B ．射线C ．圆D ．椭圆 【知识点】曲线与极坐标方程．【解题过程】44,222222ππρπρ=+∴=∴=y x ，所以曲线表示的是圆． 【思路点拨】通过转化为直角坐标方程来判断． 【答案】C同类训练 极坐标方程)(21sin R ∈=ρθ表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．一条射线 【知识点】曲线与极坐标方程． 【解题过程】∵sin θ＝21，∴)(26Z k k ∈+=ππθ或)(265Z k k ∈+=ππθ,又∵R ∈ρ，∴)(21sin R ∈=ρθ表示两条相交直线． 【思路点拨】通过极坐标方程来判断． 【答案】A例2 把下列直角坐标方程化成极坐标方程．（1）0132=--y x （2）0222=++y y x （3）1022=-y x【知识点】直角坐标方程化成极坐标方程．【解题过程】（1）由=x θρcos ，=y θρsin ，代入直角坐标方程0132=--y x 得，01sin 3cos 2=--θρθρ，即01)sin 3cos 2(=--θθρ（2）由上同理可得：θρsin 2-= （3）102cos 2=θρ 【思路点拨】利用直角坐标与极坐标互化公式求解．【答案】（1）01)sin 3cos 2(=--θθρ；（2）θρsin 2-=；（3）102cos 2=θρ同类训练 把下列极坐标方程化为直角坐标方程． （1） 2sin =θρ （2） θθρsin 4cos 2-= 【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化．【解题过程】（1）由=x θρcos ， =y θρsin ，代入极坐标方程2sin =θρ得，2=y ，即02=-y （2）由θθρsin 4cos 2-=，等式两边同乘以ρ得θρθρρsin 4cos 22-=，所以y x y x 4222-=+，即：5)2()1(22=++-y x【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如θρsin ，θρcos ，2ρ的形式，进行整体代换．【答案】（1）02=-y ； （2）5)2()1(22=++-y x .【设计意图】巩固极坐标方程的求解、判断以及直角坐标方程与极坐标方程的互化． ●活动4 强化提升、灵活应用例3 已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离．【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ化为直角坐标方程，得：1=+y x .把点A 的极坐标)47,2(π化为直角坐标，得：)2,2(-在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离222122=--=d ，所以点)47,2(πA 到直线22)4sin(=+πθρ的距离为22． 【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题． 【答案】22． 同类训练 求极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离． 【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程2)cos (sin =-θθρ化为直角坐标方程，得：2=-x y . 把极点的极坐标)0,0(化为直角坐标，得：)0,0(在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离22200=--=d ，所以极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离为2． 【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题． 【答案】2． 3.课堂总结 知识梳理（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．（2）求曲线的极坐标方程的一般步骤：①建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．②连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．④检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．（3）若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称． 重难点归纳（1）求解平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．（2）极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验． （三）课后作业 基础型 自主突破1．经过极点，从极轴到直线l 的夹角是4π的直线l 的极坐标方程是（ ）A ．)0(4≥=ρπθ B ．4πρ=C ．)0(4>=ρπθ D ．)(4R ∈=ρπθ【知识点】极坐标方程．【解题过程】将直线l 画在极坐标系中，易得选项D 正确. 【思路点拨】根据根据图像进行判断． 【答案】D ．2．直线33x －y ＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是( ) A ．θ＝π6 B ．θ＝76π C ．θ＝π6和θ＝76πD ．θ＝56π【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化． 【解题过程】由33x －y ＝0，得33ρcos θ－ρsin θ＝0，即tan θ＝33，∴θ＝π6和θ＝76π．又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝π6和θ＝76π表示 【思路点拨】极坐标方程与直角坐标方程互化． 【答案】C3．极坐标方程cos θ(ρ≥0)表示的曲线是( )．A ．余弦曲线B ．两条相交直线C ．两条射线D ．一条射线 【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】∵cos θ，∴θ＝4π±＋2k π(k ∈Z )．又∵ρ≥0，∴cos θ表示两条射线． 【思路点拨】利用三角函数图像可得． 【答案】C ．4．圆的极坐标方程ρ＝cos θ－2sin θ对应的直角坐标方程为( )A.45)1()21(22=+++y xB.45)1()21(22=++-y xC.45)1()21(22=-+-y xD.45)1()21(22=-++y x【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．【解题过程】θρθρρθθρsin 2cos ,sin 2cos 2-=∴-= ，所以y x y x 222-=+即45)1()21(22=++-y x ，所以选B.【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】B ．5．极坐标系内，点)2,1(π到直线ρcos θ＝2的距离是________．【知识点】极坐标与直角坐标的转化．【解题过程】点)2,1(π的直角坐标为(0，1)，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，故点(0，1)到直线x ＝2的距离是d ＝2.【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】2．6．在极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcos θ－4ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2cos θ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________．【知识点】直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x －4y ＋5＝0，圆的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d ＝|3×1－4×0＋5|32＋42＝85，所以A ，B 两点之间距离的最小值为d －r ＝85－1＝35．【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】 35． 能力型 师生共研7．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.)2,1(πB.)23,1(π C ．)0,1(D ．),1(π【知识点】极坐标与直角坐标互化、圆的标准方程．【解题过程】由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为)23,1(π. 【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】B ．8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1)3cos(=-πθρ，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【知识点】极坐标与直角坐标互化、极坐标方程．【解题过程】 (1)由1)3cos(=-πθρ，得1)sin 23cos 21(=+θθρ又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1， 即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N )2,332(π.(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标)332,0(. 又P 为MN 的中点， ∴点P )33,1(，则点P 的极坐标为)6,332(π. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 【思路点拨】把极坐标化为直角坐标求解． 【答案】(1)M (2,0)，N )2,332(π；(2) θ＝π6(ρ∈R ) 探究型 多维突破9．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ，曲线C 的极坐标方程为),2(sin 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππθθρ，求直线l 与曲线C 的交点的极坐标．【知识点】极坐标方程的应用． 【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】由⎪⎩⎪⎨⎧=-=22)4cos(sin 4πθρθρ 得：1sin cos sin 2=+θθθ，即：θθθ2cos cos sin = （1）当0cos =θ时，即2πθ=时，4=ρ（2）当0cos ≠θ时，即2πθ≠时，此时θθcos sin =，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππθθ,21tan ，所以不成立. 交点极坐标为)2,4(π【思路点拨】类比直角坐标系，联立方程组求解．【答案】)2,4(π．10．已知椭圆的中心在坐标原点O ，椭圆的方程为：12222=+b y a x ，B A ,分别为椭圆上的两点，且OB OA ⊥. （1）求证：2211OB OA +为定值；（2）求AOB ∆面积的最大值和最小值．【知识点】极坐标方程的应用．【解题过程】将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得（ρcos θ）2a 2＋（ρsin θ）2b 2＝1，即ρ2＝a 2b 2b 2cos 2θ＋a 2cos 2 θ，由于OA ⊥OB ，可设A (ρ1，θ1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ1＋π2，则ρ21＝a 2b 2b 2cos 2 θ1＋a 2sin 2 θ1，ρ22＝a 2b 2b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1.于是1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝b 2cos 2θ1＋a 2sin 2 θ1＋b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2θ1a 2b 2＝a 2＋b 2a 2b 2.所以1|OA |2＋1|OB |2为定值．(2)解析：依题意得到S △AOB ＝12|OA ||OB |＝12ρ1ρ2＝ 12·a 2b 2（b 2cos 2θ1＋a 2sin 2θ1）（b 2sin 2θ1＋a 2cos 2θ1）＝12·a 2b 2（a 2－b 2）2sin 22θ14＋a 2b 2，当且仅当sin 22θ1＝1，S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2；当sin 22θ1＝0，S △AOB 有最大值为ab 2. 【思路点拨】由于涉及到长度，所以将椭圆直角坐标方程转化为极坐标方程求解．【答案】（1）1|OA |2＋1|OB |2=a 2＋b 2a 2b 2；（2）S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2，S △AOB有最大值为ab2. 自助餐1．过点)4,2(πA 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A ．2sin =θρB ．2sin =θρC ．2cos =θρD ．2cos =θρ【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】如图所示，如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)(ρ≥0)，过Mx 轴于H .⎭⎪⎫2，π4，在直线l 上任意取点),(θρM ，过M 作x MH ⊥轴于H ，)4,2(πA 24sin 2==∴πMH ，,sin sin Rt OMH MH OM θρθ∴∆=∴=，所以，选B【思路点拨】利用根据所给的几何条件，寻找θρ,的关系式． 【答案】B ．2．极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.22B.2C.1D.2 【知识点】极坐标与直角坐标互化、两圆的关系．【解题过程】:将方程化为直角坐标方程.因为ρ不恒为零,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcos θ和ρ2=ρsin θ.∴x 2+y 2=x 和x 2+y 2=y .它们的圆心分别是(21,0)、(0,21),圆心距是22.【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解． 【答案】A ．3．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ上的两点A ，B 对应的极角分别为2π3，π3，则弦长|AB |＝________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、两点间的距离． 【解题过程】A ，B 两点的极坐标分别为)3,3(),32,3(ππ，化为直角坐标为)23,23(),23,23(-.故3)2323()2323(22=-+--=AB 【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解． 【答案】3．4．曲线θ＝0，θ＝π3(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积是__________． 【知识点】极坐标与直角坐标的互化、扇形的面积． 【数学思想】数形结合的思想【解题过程】将极坐标方程化为直角坐标系下的方程，分别为射线)0(3,0≥==x x y y ，圆1622=+y x ，他们围成的是一个圆心角为3πθ=，半径为4=r 的扇形，所以38212πθ==r S ． 【思路点拨】先化为直角坐标方程，再在直角坐标系中画出相应的图形可得．【答案】38π． 5．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：(1)x 2＋(y －2)2＝4； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】(1)∵x 2＋(y －2)2＝4，∴x 2＋y 2＝4y ，代入x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρ2－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)∵ρ＝9(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， ∴x 2＋y 2＝9x ＋9y ，即281)29()29(22=-+-y x(3)∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴x 2＋y 2＝16.【思路点拨】用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可．【答案】（1）ρ＝4sin θ；（2）281)29()29(22=-+-y x ；（3）x 2＋y 2＝16．6．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 【知识点】极坐标与直角坐标互化、三角形的面积．【解题过程】：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解，且把两圆画在极坐标系中，利用ρ的几何意义求三角形的面积．【答案】（1）C 1 ρcos θ＝－2，C 2 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0；（2）12.。

江苏省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.2.1曲线的极坐标方程的意义》教案教学目标：1. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程；2. 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．教学重点：在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程．教学难点：体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．教学过程：一、问题情境：回顾：1．直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2．曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3．求曲线方程的步骤二、新知探究：问题1：直角坐标系建立可以描述点的位置在极坐标系是否也有同样作用？问题2：直角坐标系的建立可以求曲线的方程， 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？思考：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上．因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示．提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？三、建构数学定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线．思考：求曲线的极坐标方程的步骤是什么？与直角坐标系中求曲线方程的基本步骤相同．第一步 建立适当的极坐标系；第二步 在曲线上任取一点(,)P ρθ；第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步 用极坐标,ρθ表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标方程．上述步骤可以简略地表示为：四、数学应用：例1 求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程．答案见书本P19例2 求圆心在)0,3(A 且过极点的圆A 的极坐标方程．答案见书本P19例3 （1）化直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程．答案见书本P20小结：①由曲线方程的意义可知，在方程变形过程中，应保持“方程同解”；②在不同的坐标系中，同一条曲线的方程具有不同的表现形式．例4 若直线l 经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线l 的极坐标方程． 例5 若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程．运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程．五、课堂练习：1．已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程．2．求圆心在)2,3(πA 且过极点的圆A 的极坐标方程．3．直角方程与极坐标方程互化（1）θρcos -= （2）θρtan 2=4．直线l 经过)2,3(πM 且该直线到极轴所成角为4π，求此直线l 的极坐标方程． 把前面所讲特殊直线用此通式来验证．5．在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．六、回顾小结：掌握求曲线极坐标方程的一般方法．七、课后作业：1． 方程)0(022≥=+--ρθρρθ表示的曲线是_________________．2． 已知方程0),(=θρf 是曲线C 的极坐标方程，那么点),(θρP 的坐标适合方程是点P 在曲线C 上的___________条件．3． 极坐标方程πθ43=的直角坐标方程为______________________． 4． 化直线方程02=-+y x 为极坐标方程为_______________________．5． 一个圆的圆心的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛π23,2，半径为2，则该圆的方程为__________________．6． 直线0=θ和直线1sin =θρ的位置关系是_____________．7． 在极坐标系中，3sin :=θρl ，则点⎪⎭⎫ ⎝⎛6,2π到直线l 的距离为___________． 8． 已知圆θρcos 2:1=C ，圆02sin 32:22=+-θρρC ，试判断两圆的位置关系．。

第 5 节：曲线的极坐标方程的意义教课目标：知识目标：掌握极坐标方程的意义。

能力目标：能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程。

教课要点：极坐标方程的意义。

教课难点：求简单图形的极坐标方程。

讲课种类：新讲课教课模式：启迪、引诱发现教课.教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：问题情境1、直角坐标系成立能够描绘点的地点，极坐标也有相同作用？2、直角坐标系的成立能够求曲线的方程，极坐标系的成立能否能够求曲线方程？学生回首1、直角坐标系和极坐标系中如何描绘点的地点？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？3、求曲线方程的步骤？二、解说新课：1、引例：以极点O 为圆心 5 为半径的圆上随意一点极径为 5，反过来，极径为 5 的点都在这个圆上。

所以，以极点为圆心， 5 为半径的圆能够用方程 5 来表示。

2、发问：曲线上的点的坐标都知足这个方程吗？3、定义：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线上 C 上随意一点的极坐标中起码有一个满足方程 f ( , ) 0 ，而且坐标合适方程 f ( , ) 0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f ( , ) 0 称为曲线C的极坐标方程，曲线C称为这个极坐标方程的曲线。

4、求曲线的极坐标方程：例 1．求经过点A(3,0) 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。

变式训练：已知点P 的极坐标为(1,) ，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。

例 2．求圆心在A(3,0) 且过极点的圆A的极坐标方程。

变式训练：求圆心在A(3, ) 且过极点的圆 A 的极坐标方程。

2例 3．（ 1）化在直角坐标方程x2y 28 y0 为极坐标方程，（ 2）化极坐标方程 6 cos() 为直角坐标方程。

3三、稳固与练习直角方程与极坐标方程互化2（ 1）cos（2）tan四、小结：本节课学习了以下内容：1．极坐标方程的定义；2．如何求曲线的极坐标方程。

五、课后作业：。

庖丁巧解牛知识·巧学一、求极坐标方程的步骤1.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.2.求曲线的极坐标方程的方法和步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ,θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.二、极坐标系中的平面曲线的极坐标方程为f(ρ,θ)=0设极坐标方程f(ρ,θ)=0及坐标平面上的曲线C，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点；曲线C上的点的坐标中至少有一个能满足这个方程，那么，方程f(ρ,θ)=0称为曲线C的极坐标方程，曲线C称为方程f(ρ,θ)=0的曲线.深化升华在找平面曲线的极坐标方程时，要找极径ρ和极角θ之间的关系式,这常用到解三角形（正弦定理,余弦定理）的知识，如利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.问题·探究问题1 极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？探究:根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的.这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.如直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.问题2 为何不能把对直角坐标系内点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢？探究:（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对，即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(2n+1)π+θ)（n为整数）表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(ρ,θ)不是一一对应的.（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程ρ1=1,ρ2=1,ρ3=1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的.（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P的极坐标为(,)，那么点P适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标(,)就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C的方程.典题·热题例1求：(1)过A(2,)且平行于极轴的直线；(2)过A(3,)且和极轴成的直线.思路分析：(1)在直线上任意取一点M，根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知OA的长度，还知∠AOx=，还可以得到MH的长度，从而在Rt△OMH中找到变量ρ、θ之间的关系.(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量ρ、θ之间的关系.解：(1)如图1-3-1所示,在直线l上任意取点M(ρ,θ)，∵A(2,)，图1-3-1∴|MH|=2·sin=.在Rt△OMH中,|MH|=|OM|sinθ,即ρsinθ=,∴过A(2,)平行于极轴的直线方程为ρsinθ=.(2)如图1-3-2所示,A(3,)，|OA|=3,∠AOB=，由已知∠MBx=，图1-3-2∴∠OAB=-=.∴∠OAM=π-.又∠OMA=∠MBx-θ=-θ.在△MOA中，根据正弦定理得，∵sin=sin(+)=，将sin(-θ)展开，化简上面的方程，可得ρ(sinθ+cosθ)=.∴过A(3,)且和极轴成的直线为ρ(sinθ+cosθ)=.深化升华可以看到，在求曲线方程时，要找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.例2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0;(3)θ=;(4)ρcos2=1;(5)ρ2cos(2θ)=4;(6)ρ=.思路分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置的方法.在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合.解：(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x，得(ρsinθ)2=4ρcosθ.化简得ρsin2θ=4cosθ.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsinθ)2+(ρcosθ)2-2ρcosθ-1=0.化简得ρ2-2ρcosθ-1=0.(3)∵tanθ=，∴tan==.化简得y=x(x≥0).(4)∵ρcos2=1,∴ρ·=1,即ρ+ρcosθ=2.∴+x=2,化简得y2=-4(x-1).(5)∵ρ2cos(2θ)=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.(6)∵ρ=,∴2ρ-ρcosθ=1.∴=1,化简得3x2+4y2-2x-1=0.方法归纳在进行两种坐标间的互化时，要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在,是等价变形，否则不是等价变形.例3判断点()是否在曲线ρ=cos上.思路分析：在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的,不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程，还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解：∵点()和点()是同一点，而cos=cos=,∴点()在曲线ρ=cos上，即点()在曲线ρ=cos上.误区警示本题容易犯的错误是:当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不相同的.在极坐标系中，尽管点()并不满足ρ=cos，但是据此并不能肯定这个点不在曲线上.例4从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.思路分析：在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.图1-3-3解：如图1-3-3，圆C的圆心C(4,0)，半径r=|OC|=4，连结CM.∵M为弦ON的中点，∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上.∴动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.方法归纳这种解法是定义法，下面我们用转移法来解决这个问题：设M点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).N点在圆ρ=8cosθ上，∴ρ1=8cosθ1(*).∵M是ON的中点，∴它代入(*)式得2ρ=8cosθ.故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.在极坐标系中，曲线可以用含有ρ,θ这两个变数的方程f(ρ,θ)来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.常见的曲线方程如下：①过极点，极角为α的直线方程：θ=α(ρ∈R).②与极轴平行并且与极轴距离等于a的直线方程：ρsinθ=±a(a>0).③与极轴所在直线垂直且与极点距离为a的直线方程：ρcosθ=±a(a>0).④圆的极坐标方程：圆心为(ρ0,θ0)，半径为r：ρ2-2ρ0-ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0；圆心为(ρ0,0)，半径为r：ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02-r2=0；圆心为(r,0)，半径为r：ρ=2rcosθ(r>0)；圆心为(-r,0)，半径为r：ρ=-2rcosθ(r>0)；圆心为(r,)，半径为r：ρ=2rsinθ(r>0)；圆心为(r,)，半径为r：ρ=-2rsinθ(r>0)；圆心为(0,θ),半径为r：ρ=r(r>0).例5极坐标ρ=cos(-θ)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆思路解析：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)；ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.答案：D拓展延伸方法一：将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得ρ2=ρcos(-θ)=ρ(cosθ+sinθ)=(ρcosθ+ρsinθ).这样，在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,因此有x2+y2=(x+y).∴方程ρ=cos(-θ)表示圆.方法二：极坐标方程ρ=2acosθ表示圆，而-θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ=cos(-θ)表示圆.例6设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连结MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程.图1-3-4思路分析：如图1-3-4,求P点的轨迹方程关键是解△APM，利用余弦定理，可以建立P(ρ,θ)点中ρ、θ之间的关系.解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系.如图1-3-4.设定圆O的半径为r，OM=a，P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.∵MP⊥MA，∴|MA|2+|MP|2=|PA|2.由余弦定理,可知|MA|2=a2+r2-2arcosθ，|MP|2=a2+ρ2-2aρcosθ.而|PA|=r-ρ，由此可得a2+r2-2arcosθ+a2+ρ2-2aρcosθ=(r-ρ)2.整理化简，得ρ=.深化升华若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.。

1.2 极坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M为θ.有序数对),(θρ，θ可取任意实数．为0≥（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(πB ．)0,2(C ．)2,2(πD ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ （学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西图145走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其图2B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），GFAD CE4πOx2π 65π π34π 35π图34πOx2π 65π π34π 35π x图4建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos36sin 2sin16x y πρθπρθ======所以点的极坐标)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．图5（2）由cos 3cos02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin 4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-．（2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)．同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π． （2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π．（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ 直角坐标),(y x M极坐标),(θρMθρθρsin ,cos ==y xA ．(5，67π)B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】 【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ． 【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。

- 1 - 第5课 曲线的极坐标方程一、学习要求1.了解曲线的极坐标方程；2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化。

二、先学后讲 1.曲线的极坐标方程如图，在极坐标系中，经过极点，圆心在极轴上，半径为的圆上任意一点满足的几何条件是：，设，则。

可以验证，点，的坐标也满足上述方程。

于是，方程就是圆上任意一点的坐标满足的条件；另一方面，可以验证，以方程的解为坐标的点都在圆上。

这时，我们把方程叫做圆的极坐标方程。

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程。

2．极坐标方程与直角坐标方程的互化 （1）运用互化公式，。

若不满足公式，可考虑将条件进行适当变形。

（2）几种变形方法：①两边平方；②两边同乘以；③两边同除以等。

三、问题探究 ■合作探究 例1．把极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线。

把“”用“”xM- 2 -解：∵，两边同乘以，得，∵，，，∴直角坐标方程为：. 即，∴曲线是以点为圆心，半径为的圆。

■自主探究1．极坐标方程化为直角坐标方程是；它表示的曲线是。

（答案：）■合作探究例2．把直角坐标方程化为极坐标方程。

解：∵，，∴，化简，得，用“”代替“”；用“”代“”∴或，∵满足，∴极坐标方程为。

四、总结提升本节课你主要学习了。

五、问题过关1.极坐标方程化为直角坐标方程是；它表示的曲线是。

（答案：）2.极坐标方程化为直角坐标方程是；它表示的曲线是。

（答案：）3.直角坐标方程化为极坐标方程是。

- 3 -。