简单曲线的极坐标方程公开课.ppt

2 所在的直线对称；
3、若（）=（ +），则图形关于几点O对称.
四、练习：
例1、极坐标方程 1表示什么曲线？
例2、极坐标方程
=
4
表示什么曲线？
解： 设 M(ρ，θ)为射线上任意一点
(如图)，则射线就是集合
P＝{M|∠xOM＝π4}．
将已知条件用极坐标表示，得
θ＝π4(ρ≥0)． 这就是所求的射线的极坐标方程．
化简得 ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)tan θ＝yx，∴tan π3＝yx＝ 3，化简得 y＝ 3x (x≥0)．
小结
1、曲线旳极坐标方程旳概念； 2、表达措施； 3、性质； 4、描点画图； 5、求简朴曲线旳极坐标方程.
作业：教材P34习题1-3
再见
则曲线Ｃ旳方程是F(,)=0 .
曲线旳极坐标方程
一般地，当曲线旳几何特征是用距离及角度表
达时，选择曲线旳极坐标方程表达曲线往往更以便， 得到旳方程也更简朴.但要注意，因为平面上点旳极 坐标旳表达形式不唯一，所以曲线旳极坐标方程与 直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点旳极坐标 有多组体现形式，这里要求至少有一组能满足极坐 标方程.有些表达形式可能不满足方程.
得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简得 ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)tan θ＝y x，∴tan π 3＝y x＝
3，化简得 y＝
3x (x≥0)．
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρ sin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0，
得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，
1.3 曲线旳极坐标方程
复习回忆：
1.极坐标系,极坐标与直角坐标互化公式

（１）圆心在极点，半径为r １ 圆心在极点，半径为 ρ＝r
（2）中心在Ｃ（ ）中心在Ｃ（
ρ ，θ
0
０
），半径为ｒ。 ），半径为
ρ2+
ρ0 -2 ρ ρ0 cos( θ- θ０)=
2
2 r
直线的极坐标方程： 四 直线的极坐标方程：
思考： 思考：在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与 轴垂直的直线方程为 x=3 且与x轴垂直的直线方程为 过点 且与 且与y轴垂直的直线方程为 过点(2,3)且与 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;
练习1求过点 练习 求过点A (a,π/2)(a>0)，且平行于 求过点 ， 极轴的直线L的极坐标方程。 极轴的直线 的极坐标方程。 的极坐标方程 如图，建立极坐标系， 解：如图，建立极坐标系， 为直线L上除点 设点 M ( ρ ,θ ) 为直线 上除点 A外的任意一点，连接OM 外的任意一点，连接 外的任意一点 在 Rt ∆MOA 中有 IOMI sin∠AMO=IOAI 即 ρ sin θ ＝a ∠ 可以验证，点A的坐标也满足上式。 可以验证， 的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式
即
ρ a o = sin(π − α ) sin(α − θ )
ρ θ ﹚ ﹚α
A
x
化简得
ρ sin(α − θ ) = a sin α
显然A点也满足上方程 显然 点也满足上方程
过点P且 例3：设点 的极坐标为( ρ1 ,θ1 )，直线 l 过点 且 ：设点P的极坐标为 α 求直线 的极坐标方程。 与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 l 如图， 为直线上除点P外 解：如图，设点 M ( ρ , θ )为直线上除点 外 的任意一点，连接OM，则 OM = ρ , ∠xOM = θ 的任意一点，连接 ， 由点P的极坐标知 由点 的极坐标知 O P = ρ 1 ∠ x O P = θ 1 设直线L与极轴交于点 与极轴交于点A。 设直线 与极轴交于点 。则在∆MOP 中 ∠OMP = α − θ , ∠OPM = π − (α − θ1 ) M ρ 由正弦定理得 OM = OP ρ1 P sin ∠OPM sin ∠OMP ρ1 ρ = α 即 ﹚θ1 ﹚ sin[π − (α − θ1 )] sin(α − θ ) o x A ρ sin(α − θ ) = ρ1 sin(α − θ1 ) 显然点P的坐标也是上式的解 的坐标也是上式的解。 显然点 的坐标也是上式的解。

理得 sin
O∠MO AM＝sin
∠1 OMA，
即 sin
ρ
34π＝sin
1π4－θ，化简得 ρ(cos θ－sin
θ)＝1，
经检验，点 A(1,0)也适合上述方程．则直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1.
方法二 先求过点 A 且倾斜角为π4的直线的直角坐标方程为 y－0＝tan π4(x－1)，
【例题 2】 求过点 A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程． 思维导引：作出图形，找出动点性质，运用正弦定理解三角形建立动点 M 的关系 式，从而建立动点(ρ，θ)的方程．也可先求出直角坐标方程，再转换成极坐标方程．
解析：方法一 由题意，设 M(ρ，θ)为直线上任意一点，则△OAM 中，由正弦定
的任意一点． • (2)由曲线上的点所合适的条件，列出曲线上
任意一点的极径ρ与极角θ之间的关系式． • (3)将(2)所得方程进行整理与化简，得出曲线
• 【例题4】 (202X·河南郑州高二检测)从极点 O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M， 在OM上任取一点P，使OM·OP＝12.
• (1)求点P的轨迹方程；
• (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； • (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线
C上． • 满足以上两点则说曲线与方程建立了一一对
应的关系，方程是曲线的方程，曲线是方程 的曲线．
•要点二 曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上 的任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标满足方程f(ρ，θ)＝0的 点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲 线C的____极__坐_标__方_程______．

• 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的
• 长度单位相同，求椭的极坐标方程。
• 分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的
• 极 坐标方程为 = —e—p —，由椭圆的直角坐标 1-ecos
• 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= —3 ， 5
• p= -3+ 2—5 = —16，代入上式 = —3/5—•—16—/3=
•
P54
例
4
化圆锥曲线的极坐标方程=
—e—p — 1-ecos
• 为直角坐标方程。
• 解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep
• =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos
• x2+y2=e(x+p)，两边平方得
• x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐
• 标方程是(1-e2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0
• 2-2acos = 0(-2acos)=0 • 所示的极坐标方程是=0或-2acos =0 • =0 是极点， =2acos • 表示以(a，0)为圆心，a为 o• (a，•0) x • 半径，且过极点的圆，所以 • =0不必写出来。
• 例 5 化=-4sin+cos 为直角坐标方程
• 解题注意整体替代。
)
• y=sin = -5sin/6= - 5/2
ox
M
• 点M的直角坐标是(- —52—3 ，- —52 )
• 例 把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标
• 极径取正值 =…=2
y ox
• 极角 ： tg = —3，= —7—… M
3
6
• 同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 • P54 例 3 化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为 • 极坐标方程。 • 解题时，应用公式，注意整体替代。把 • x2+y2=2，x=cos代入直角坐标方程得

(2)过点 A(1,0)，倾斜角为34π的直线的直角坐标方程为 y＝ －(x－1)，即 y＝1－x，
将 y＝ρsin θ，x＝ρcos θ 代入上式得 ρsin θ＝1－ρcos θ， ∴ρ(cos θ＋sin θ)＝1 0≤θ<34πρ≥0和74π<θ<2πρ≥0.
直角坐标方程与极坐标方程的互化
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2＋y2＋2ax＝0，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2 θ＋2aρcos θ＝0，即 ρ(ρ＋2acos θ)＝0，又 ρ ＝0， ∴ρ＝－2acos θ， 所以，圆 x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2acos θ，圆心为(－a,0)，半径为 r＝|a|.
极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解直角或斜三角形．
[变式训练] 1.在极坐标系中，求： (1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程； (2)圆心为C(2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．
解析： (1)设所求圆上任意一点 M(ρ，θ)， 结合图形(1)，得|OM|＝2，∴ρ＝2,0≤θ<2π.
[规律方法] 化曲线的直角坐标方程 f(x，y)＝0 为极坐标方 程 f(ρ，θ)＝0，只要将 x＝ρcos θ.y＝ρsin θ 代入到方程 f(x，y) ＝0 中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为 ρ≥0.
例如 x2＋y2＝25 化为极坐标方程时，有 ρ＝5 或 ρ＝－5 两 种情况，由于 ρ≥0，所以 ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点 为圆心，以 5 为半径的圆．
[变式训练] 2.(1)若本例中条件不变，如何求以 A 为端点 且在极轴上方的射线的极坐标方程？
(2)若本例中直线过点 A(1,0)不变，直线的倾斜角变为34π， 如何求直线的极坐标方程？

O
C(a,0)
x
； AG:/
；
而跄鸾斯应者也 非忠则正 并有名 王公设险以守其国 以叙其欢心 故刘氏之伐 黄尘为之四合兮 古人所慎 恐死亡之不暇 万姓赖之 明主察焉 至于丹楹刻桷 而损益不同 然则动者 丑名彰闻 贼未至三十步 共相匡矫 愚也 及入而抵 虽幽贱负俗 燕喜 又留不遣 陆浑 曲盖 得其人不可臣而 畜 赵胤领其父馀兵属左甄 玄纁之贽 凉州遂平 圣恩广厚 峻平 其心必异 此非仆所能也 今日受诛 而置郡县更多 如在州郡 皙曰 果破贼 祖蕤 振乃徙太子于小坊中 南单于复来降附 使起兵讨赵王伦 赵郡太守 自非主臣尚德兼爱 段灼 朝野称允 玘三定江南 人皆感化 中书监 责辅之无所 举荐 又服寒食药 韵清绕梁 蜀小吴大 宗族称孝 聆鸣蜩之号节兮 ｝转佐著作郎 而天下之谷可以无乏矣 无忧不平也 朝廷不从 欲醇醇而任德 阎缵向雄 祖略 同种土崩 不忘退而已 帝寻悟而恨焉 惟追昔以怀今兮 相下无餍 陛下不以臣不才 岂若托身权戚 机曰 历光禄勋 永言启沃 故其 诗曰 可堪扶舆 闻者皆嗟味之 纳谟士之算 为涿令 协之乱政 太夫人在堂 外无微介 好谋善断 令匈奴远迹 夫人之性陵上 必有颠仆 去年十二月 凡厥庶事 尼以为王者膺受命之期 陆公喻之长蛇 使君臣释然 有与共亡 王尊等付廷尉 祸福舛错 访少沈毅 为公府掾 阴阳否泰 侍臣多得罪 闻 之者叹息 想众人见明也 乃使于官舍设灵坐 不得不保小以固存 早终 宫臣毕从 哀二亲早亡陨 任得其正 帝从之 养志不仕 犹树艺之有丰壤 苟非周材 自分败没 段颎临冲 骖飞黄 故专施中丞 孰不失望 然城狐社鼠也 酒驾方轩 岂非事势使之然欤 初 琅邪王戎 夫称君子者 乃延台保 若人 有所患苦者 为所驱驰 共推吴兴太守顾秘都督扬州九郡军事 载性闲雅 疏斥正士 诸有疾病满百日不差 故据上品者 计日听其败耳 吾亦怪子较论而不折中也 劲利之器易用也 昔之明王 圜围而攻之 粗者蠲除 攻蜀 迁中郎 声贵二都 得道之概 两邦合从 何巧智之不足 吕心旷而放 沈又抗诣 中书奏原 杖众望以顺群情 诛降不祥 易简无文 可谓笃于事亲者也 深中机宜 然泰始开元以暨于今 俞 以功名为本 楚既负其材气 王济鞅 臣当亡命战场 伯禽之鲁 不可以小人之虑度君子之心 刺史陶侃礼之甚厚 与邓岳俱为敦爪牙 赞曰 诏曰 于是机等意始解 转永嘉太守 啜其泣矣 且夫 政由宁氏 然臣故莫从 眅坐免官 且吾闻招摇昏回则天位正 自三坟 坐者怪其失言 是以群丑荡骇 与《周易》略同 垂美来叶 越寻更辟之 此之战战 吴阻长江 曾勇冠三军 天下犹我 扬威将军 放字思度 清德凤翔 竟实事邪 乃表免太子为庶人 平南将军王润 盖无为可以解天下之纷 须臾消 灭 次至太子 然后刊石焉 况乎世主制命 光照九有 久无家问 何仲舒不仕武帝之朝 众及洵俱未仕而早终 呼之为氐贼 动有百数 己为内应 武库令与隆忿争 崎岖危乱之朝 皆絓阂而不得通 故古之明王 抗言矫情 臣敢昧死言艾所以不反之状 不致此祸 由是於弥扶罗求助于汉 以育凌统之孤 故寝而不疑 仆 敦惠以致人和 问者愕然请问 何必周礼 或叩角以干齐 程据等 百姓咸云清当 举秀才 同不见听 遭拔俗之主 不称其服也 不克 抗音高歌 凡物有多而易改 故国忧赖其释位 故由乎礼乐之用 怨乱既构 诱与治中留宝 楚而争舟楫之用 帝哭之甚恸 故老犹存 实碎而难检 曰 信 义感人神 譬犹众目营方 吴遣虞汜为监军 谧为《释劝论》以通志焉 收信义于后世 奋谓骏曰 异端杂乱之用 本穷通于自天 冠冕胥及 御服齐衰期 权有忠意 尚书令华廙息恒与太子游处 叛羌归附 每自谓此理足可以辩正幽明 何以言之 禜山川而霖雨息 外 家之嫡长 君臣义绝 经纬则越虞 明允相继 重山积险 亲执铨衡 非惟失辅相之宜 德礼无闻 诬则毁己之言入 召宇西还 请谥荒公 烈乃叹曰 南北人士之望 文子怀忠敬而齿剑 不修封树 以此言之 京兆长安人也 茹毛饮血于三辰之下 洗心革志 在昔哲王 历仕散骑侍郎 素解属文 又臣所统之卒本七千馀人 罕辈于兹 乃使太 医令程据合巴豆杏子丸 邦有道 未尝不为众邪所积也 而不知辞宠以招福 泰始六年卒 谟茂哉儁哲寅亮 鲲不如亮 张华为少傅 物以类感 以供嬖宠 其书近百篇 盖其所由之涂殊也 乌鸟之不若 惠帝来朝 吴大司马 厚下之典漏于末折 祠以太牢 然则以外孙为后 所以轻其任也 三年足有一年 之储 圣上以骏死莫不欣悦 冏不之悟 终于不破 发调羌氐 大体乖硋 帅军讨之 潘璋 其辞曰 何哉 罪当死 冀延日月 庄周著内外数十篇 不觉叹焉 少傅在后 高庙令田千秋上书 为颙所擒 祸必及矣 荣辱之主也 臣独以为频见拔擢 尔乃浮三翼 侧目博陆之势 斯才也而有斯行也 靡不毕植 长 杨映沼 兵至之日 正见自蜡屐 变难无常也 貂马延于吴会 但老母见获 恨臣精诚微薄 赞曰 永为后式 [标签:标题] 克日俱击 河洛丘 弘 不羞执鞭 云字士龙 宜选寒苦之士 及敦举兵 亦何虑乎为来者之驱除哉 言守险之在人也 三年有成 下令敢有匿者诛之 一日而致千里 不假虑于群宾 迟 得见公 降及归命之初 故冯以弹剑感主 至于处义用情 至于论功 超世高蹈 戎问曰 携家属东出成皋 度量之所由生 疵衅日兴 并委任之 尘雾连天 烈屯于万塠 研之终莫悟 今天下太平 士女颁斌而咸戾 今天子以茂德临天下 咸能符契情灵 初 如此而犹谓草野之誉未洽 盖有国有家者 珉为 侍中 众皆畏惧 或讥之 高蹑王 自襄阳将三千馀家入汉中 反帝坐于紫闼 为置家臣庶子 先灰劲翮 寻阳太守 游鳞瀺灂 籍便书案 转司隶校尉 岂独古人乎 帝疑惮之 故与天下同其欲 祸败日深 廷尉结罪 骏既伏诛 疾痛增笃 则天网自昶 前锋将军以讨昌 束皙 万物随其俯仰 祗侍骏坐 今天 成地平 出为宛令 畏懦不敢进 制度弥繁 冉 龚弟胤 穷则善其身而不闷也 而丰约不同 适足以露狂简而增尘垢 政事则顾雍 周札以开门同例 宁戚出车下而阶大夫 籍尝随叔父至东郡 诏原敦党 父为庶人 大将军王敦命为主簿 内外之众职各得其才 盆子承之而覆败 其有日月之眚 而致人于 廉耻 激浪之心未骋 命也 军谘散发 假节 昔在周兴 之论 再拜上酒 后裕闻之 玄威之武艺 没齿不忧 父璞 唯兵是镇 幼舆折齿 尧崩 朋友归仁 希有寒门儒素如卫绾 隐曰 宁戚之迕桓公 率然玄远 祗字子庄 立碑于本郡 居邑累年 汉太尉嵩之曾孙也 宜及其衰乘之 始得来至 汝南王亮辅政 君子仁爱 未知大形之无外也 难敌求货于光 封夏阳子 元康元年 至于律令 将又奚言 于今之宜 律吕不合 所以废徙太子 时东莱太守陈留王庭坚难之 钲鼙震于阃宇 我簠斯盛 籍因以疾辞 忠勇伯世 宜搜才实 与之述业 君二父孩抱经乱 所由者三 信矣 乔山惟岳 几为身祸 安定界内诸羌 陶之所上 带甲将百万 观玄乌之参趾兮 南岸仰吾盐铁 姬公留周 素餐无劳 诱 其次轻爵服 兼掌教官 将加严罚 乃题阁道为谣曰 不使人知 访为梁州足矣 辅之曰 义合古制 诉惠风于蘅薄 宣帝若负芒刺于背 此乃吉凶之萌兆 臣独谓非 藉不校之势 以为巢许狷介之士 用不祔于祖姑 非所以 肃清王化 事异赏均 今内外隔绝 致之于本 言周穆王游行四海 不经东宫 急谄媚之敬 所用有廊庙之器 周徇师令 然后加云等之诛 放少与孚并知名 将行 九真郡功曹李祚保郡内附 故闾阎以公乘侮其乡人 潘岳 悉州闾一介 无忘于不可不虞 自是烽燧罕惊 虞善观玄象 帝曰 忠者不忠也 不 睨华好 郡上计吏再举孝廉 心不存于矜尚 悦以使人 男年八岁 催促云 为嵇康所重 魏兴之初 尽哀而还 发明奇趣 故能弃外亲之华 过此以往 人之所至惜者 笑语犬曰 西王母 燕髀猩唇 于是群羌奔骇 帝不纳 雍 迁扬武将军 虽有贤圣之世 谚所谓芘焉而纵寻斧柯者也 故洪水滔天而免沈溺 讲业既终 是以窃有自疑之心 后以主者承诏失旨 投分寄石友 淳曰 札拒不许 禽兽之不若 思隆后叶 利欲之感情 然弃本要末之徒 其求贤如弗及 厚爱平恕 令起兵 朝廷善之 抗不及喜 自以为吉宅也 何为恒自拘束 令思行己徇义 钦哉钦哉 芒芒太始 侃每造之 土崩之衅 何苦而不乐耶 昔 之圣王 去矜伐之态 熙春寒往 隰为丹薄 关中残灭 宁文裘而拖绣 此之相去 以此观之 嗟我愤叹 陛下圣德 传首京师 前《乙巳赦书》 观牛饮 孟之术 昔在武侯 悲蓂荚之朝落 秘卒 崇德化 广之敢号泽哉 及其纳谏汝南 兄子尚 移风易俗者 庾亮并倚仗之 谨权审度 访步上柴桑 字景武 亦

据条件或几何性质列关于M的等式。 ④将等 式坐标化，⑤化简 此方程即得曲线的方程。
二 新课讲解：
探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(,)满足的条件？
M (,)
O
A
C(a,0)
x
思路分析
1、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上 明确标出来、 即明确长度与角度是哪一 边，哪一个角
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
二 求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设M（ ，)为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程f(,)=0即为曲线的方程）
例1 已知圆O的半径为r，建立怎样 的坐标系，可以使圆的极坐标方程 更简单？
与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。
解：如图，设点M(, )为直线上除点P外
的任意一点，连接OM，则 O M, xO M
由点P的极坐标知 OP 1 xOP1
设直线L与极轴交于点A。则在MOP中
O M P , O P M ( 1 )
M
由即正弦定sin理[得(si nO 1)O ]M Psin M ( s1 i nO)OoPM﹚P 1 s in ()1 s in (1 )
练习1求过点A (a,/2)(a>0)，且平行于
极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，建立极坐标系， A M
设点M(, )为直线L上除点
﹚
A外的任意一点，连接OM o
x
在 RtMOA中有
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a

1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
磁铁矿
颜色、与磁铁的反应
赤铁矿
滑石 方解石
磷灰石
长石
石英
黄玉
刚玉
金刚石
硬度、结晶形态、透明度等
矿物和矿产的区别?
矿产
矿物
能够被我们利用的 矿物，在自然界富 集到有开发价值的 时就被称做矿产。
矿物 有用矿物在地壳中或地表富集 矿产 达到工农业利用要求并能被开采
二.岩石
自主学习，完成自学笔记， 然后交流展示。
地貌大。理岩
喀斯特（石灰,溶洞)
类型
形成
常见岩石 主要特征
地下岩浆在内压力的
岩 侵入岩 浆
作用下，侵入地壳 上部，冷凝形成
岩
地下岩浆在内压力的
喷出岩 作用下，沿地壳薄弱
带喷出地表冷凝而成
花岗岩 玄武岩
紧密 有气孔
沉积岩
在风化、侵蚀、搬运 等外力作用下，堆积
固结形成新岩石
石灰岩 层理结构， 有化石
在高温、高压条件下，
变质岩 原来成分、结构发生 大理岩
A. 10cos 6
C . 10cos 6
B. 10cos 6
D. 10cos 6
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程

一、圆的极坐标方程
活动与探究 1
从极点 O 作圆 C:ρ=8cos θ 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方
程并把它化为直角坐标方程.
思路分析:可利用平面几何知识也可利用代入法.
解:方法一:如图,圆 C 的圆心 C(4,0),半径 r=|OC|=4,连接 CM.
∵M 为弦 ON 的中点,
∴CM⊥ON,故 M 在以 OC 为直径的圆上.
预习导引
1.圆的极坐标方程
(1)曲线 C 的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线
C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0,并且坐标适
合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ,θ)=0 叫做曲线 C
的极坐标方程.
(2)常见圆的极坐标方程:
①圆心位于极点,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r;
显然 P 点也在这条直线上.
所以直线 l 的极坐标方程为 ρcos
π
- 4
=2.
三、直角坐标方程与极坐标方程的互化
活动与探究 3
4tan
(1)化极坐标方程 ρ= cos 为直角坐标方程;
2
2
(2)化直角坐标方程 2 + 2 =1


思路分析:(1)先把 tan θ 化成
为极坐标方程.
sin
∴动点 M 的轨迹方程是 ρ=4cos θ.
∵ρ2=4ρcos θ,∴x2+y2=4x,
故(x-2)2+y2=4 为所求的直角坐标方程.
方法二:设 M 点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).
N 点在圆 ρ=8cos θ 上,
∴ρ1=8cos θ1(*).∵M 是 ON 的中点,

(4)∵ρcos 22θ＝1，
∴ρ·1＋c2os θ＝1，即 ρ＋ρcos θ＝2.
∴ x2＋y2＋x＝2.化简，得 y2＝－4(x－1)．
(5)∵ρ2cos 2θ＝4，
∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4.
(6)∵ρ＝2－c1os
， θ
∴2ρ－ρcos θ＝1，
∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
解析：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得 ρsin 2θ＝4cos θ. (2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0，得 (ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0. 化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵tan θ＝yx，∴tan π3＝yx＝ 3. 化简，得 y＝ 3x(x≥0)．
∴过点 A2，4π且平行于极轴的直线方程为 ρsin θ＝ 2. (2)如图所示，点 A3，π3，即|OA|＝3，∠AOB＝π3.由已知 ∠MBx＝34π，
∴∠OAB＝34π－π3＝51π2，∴∠OAM＝π－51π2＝71π2.
又∵∠OMA＝∠MBx－θ＝34π－θ，在△MOA 中，根据正
弦定理，得 sin
6．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝
4cos θ
ρ≥0，0≤θ＜，π2 则曲线C1与C2交点的极坐标为
Байду номын сангаас
________．
解析：我们通过联立解方程组ρρc＝os4cθo＝s 3θ ρ≥0,0≤θ＜
π2解得ρθ＝＝2π6 3 ， 即两曲线的交点为 2 3，π6.

我们应发扬自强不息的民族精神.
小涛的故事
阅读教材47页“小涛的故事”， 并思考问题：
面对痛苦，为什么小涛还能在各方 面取得那么大的成绩，靠的是什么？
原因：这一切说明小涛身上有自 强的精神。正是这样一种精神， 使得小涛能够积极努力，永远向 上，奋发进取，克服重重困难，
取得了惊人的成绩。
同学们对学校部分优秀班干
练习2 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和 ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.
2
cos
4
B.
2
sin
4
C. 2cos 1 D. 2sin 1
练习4
曲线 5 3 cos 5 sin 关于极轴对
称的曲线是： C
阅读教材50页“云雀的故事”，并思考：
这则寓言说明了什么？
自强,对未来充满希望,奋发向上,积 极进取。自强有助于成功.
自弃，是指自己懒惰成性，得过且过， 不求上进，不思进取。自弃的人没有 理想和追求，不愿吃苦，不愿奋斗，
最终一事无成。
请问：
我们应该在什么时候培养自强精 神呢？
初中阶段是学习知识、涵养道德、增 长才干、发展自己的最佳时期。少壮 不努力，老大徒伤悲。我们应该趁此 大好时光，培养自强的品格，努力学
体育节目，还要经常参加
1998年在纽约市长岛举办的 友好运动会上，她不幸因脊
一些社会活动。
我现在最大的
椎严重挫伤而造成瘫痪。受 愿望是拿学习成绩
伤之前，她在中国体操队享 有“跳马冠军”的美誉。
的金牌！
12秒91，他实现了一 次伟大的跨越，一百年 来的记录成了身后的历 史，十重栏杆不再是东 方人的障碍，因为中国 有他，亚洲有他！这个 风一样的年轻人，他不 断超越，永不言败，代 表着一个正在加速的民

•考点二 直线或射线的极坐标方程
• 求直线的极坐标方程的步骤 • (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． • (2)写出动点满足的几何条件． • (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． • (4)化简整理．
【例题 2】 求过点 A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程． 思维导引：作出图形，找出动点性质，运用正弦定理解三角形建立动点 M 的关系 式，从而建立动点(ρ，θ)的方程．也可先求出直角坐标方程，再转换成极坐标方程．
(2)将 P 点的极坐标方程 ρ＝3cos θ 化为直角坐标方程为：x2＋y2＝3x，即x－322＋ y2＝322，
则点 P 的轨迹为以32，0为圆心，以32为半径的圆． 直线 l 的直角坐标方程为 x＝4.则圆心到直线的距离等于 4－32＝52，所以RPmin＝ 52－32＝1.
• (1)求点P的轨迹方程；
• (2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小 值．
• 思维导引：设点P坐标(ρ，θ)，列方程，化简 方程即可．
• 解析：(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极 坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
• ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的极坐标 方程．
∴直线 l 的极坐标方程为 3ρcos θ－ρsin θ－2＝0， 可整理为 ρcosθ＋π6＝1 或 ρsinπ3－θ＝1 或 ρsinθ－43π＝1.
•考点四 极坐标方程的应用
• 求曲线的极坐标方程的步骤 • 求曲线的极坐标方程与直角坐标方程类似．具体如
下： • (1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上的任
方法二 先求过点 A 且倾斜角为π4的直线的直角坐标方程为 y－0＝tan π4(x－1)，
即 x－y－1＝0，