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【关键字】高中求】1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【学法指导】1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.1．1弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，读作．2．弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是 .如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．4．角度与弧度的互化：(1)角度转化为弧度：360°＝ rad；180°＝ rad；1°＝ rad≈0.017 45 rad.(2)弧度转化为角度：2π rad＝；π rad＝；1 rad＝°≈57.30°＝57°18′.探究点一弧度制问题11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，∠AOB就是1弧度的角．问题2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么_______________________，即_________.问题3除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．答一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．问题4角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．答半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝，扇形面积公式为S扇＝.∵＝，∴l＝|α|r.∵＝＝，∴S扇＝|α|r2.∵＝＝，∴S扇＝|α|r2.问题2 角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：探究点三 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z)，其中α的单位必须是弧度．问题2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.【典型例题】例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．解 先将112°30′化为112.5°，然后乘以π180 rad ，即可将112°30′化成弧度，－7π12乘以⎝⎛⎭⎪⎫180π°即可化为角度．所以，(1)112°30′＝112.5°＝⎝⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－7π12＝－7π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－105°.小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°即可．跟踪训练1 将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad ； (2)－22°30′＝________rad ； (3)8π5＝________度．例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.小结 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角． (2)∵23π6＝2π＋11π6，(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2<2π－4<π.小结 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练3 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式是___________．解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， ∴－1 485°可以表示为－10π＋7π4.课后小练1．时针经过一小时，时针转过了( )A ．π6 radB ．－π6 radC ．π12 radD ．－π12rad解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B. 2．若α＝－3，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 ∵α＝－3 rad ＝－3×57°18′＝－171°54′， 而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3为第三象限角．3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 解析 设扇形半径为r ，中心角弧度数为α， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．解析 －114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π.∴θ＝－34π. 课后小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标：1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点)2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)[自主预习·探新知]1．角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2．角的弧度数的计算l在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为αrad，则α＝. r3．角度与弧度的互化30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？[提示]这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，π?????＋＝2kπαZ，k∈α?或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．正确的表示方法应为??6?????5．扇形的弧长与面积公式页 1 第1可类比哪种图形的面积公式加以记lr在弧度制下的扇形面积公式S＝思考2：2 忆？此公式可类比三角形的面积公式来记忆．提示][][基础自测) 正确的打“√”，错误的打“×”．判断(1) ((1)1弧度是1度的圆心角所对的弧．) ((2)1弧度是长度为半径的弧．)(弧度是1度的弧与1度的角之和．(3)1) ((4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．(4)正确．解析[]根据弧度制的定义知(4)√(3)×(2)](1)××[答案) 1 080°等于(2．π 1 080 ．BA．103π6πD．C．10 6π.]1 080°化为弧度是180°×6，所以＝D[1 080°π________．．圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为33π1扇形的面积为][解析2 6π.×＝×632 6π][答案] 难重究作探·攻合[弧度制的概念)下列命题中，假命题是(A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位页 2 第11B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的2π360C．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．[解析]根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C 项均为真命题．[答案]D[规律方法]弧度制与角度制的区别与联系[跟踪训练]1．下列各说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D[根据1弧度角的定义可知选项C正确，D错误；由半角和周角概念及角度与弧度换算可知A，B项正确．]角度制与弧度制的转换37π，βπ. ＝－＝750°＝，βα＝－设角α570°，212135(1)将α，α用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；21(2)将β，β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所21有角．页 3 第[思路探究]由题目可获取以下主要信息：37π，－π；，用弧度制给出的两个角750°用角度制给出的两个角－570°，①35②终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β、β用角度制表示，再将其写成β＋k×360°(k ∈Z)的21形式．[解](1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α<2π)α0≤k∈Z,(00的形式，由α所在象限即可判定出α所在的象限．0195απ＝－4π＋π，＝－＝－570°166π25απ＝4π＋.＝＝750°266∴α在第二象限，α在第一象限．213π(2)β＝＝108°，设θ＝β＋k·360°(k∈Z)，115由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，∴k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°间与β有相同终边的角是－612°和－252°. 1同理β＝－420°22页 4 第跟踪训练][.θ的集合不包括边界)的角．用弧度表示终边落在如图1-1-6所示阴影部分内(2 】【导学号：7940201961-图1-7ππ＝30°]因为[解，＝rad rad,210°66π，Z k∈＝kπ＋，上的角为这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线ABα6π，从而终边落在阴影部分内的角的集合Z k∈kπ＋，轴上的角为而终边在yβ＝2ππ?????Z k∈＋＋<θ<kπ，πkθ?. 为??26?????弧长公式与扇形面积公式的应用][探究问题l |＝求圆心角时，应注意什么问题？1．用公式|αr应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，][提示又要注意其正负．为单位，度”2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“需注意什么问题？为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则”若已知的角是以“度[提示]结果出错．2，则扇形的圆心角的弧度数是4 cm设扇形的周长为(1)8 cm，面积为) (2 B．A．1D．．C3才能使扇形的，当它的半径和圆心角各取什么值时，20 cm(2)已知扇形的周长为面积最大？最大面积是多少？可通过通过解方程组求得；可由扇形周长和面积建立方程组，]思路探究[(1)(2)页 5 第建立扇形面积的目标函数来求解．[解析](1)设扇形半径为r，弧长为l，由题意得?，＝82r＋l?，4l＝???解得1?，2r＝·l4r＝，??2l则圆心角α＝＝2 rad. r[答案] B(2)设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.1122＋25(0＜r＜10)＝－(r－5)．－＝lr＝(202r)·r＝－r ＋10r∴则l＝20－2r，S 222. 时，扇形的面积最大，为25 cmr＝5 cm∴当半径20－2×5l此时α＝＝＝2 rad.页 6 第]双基达标·固[当堂) ′化为弧度是(1．把56°155π5π B.A.485π5πD. C. 1665ππ225.] ＝56.25°＝×[56°15′＝D 1618042) (π终边相同的角是．与角23211) Zk∈kπ－π(πB．2A.33210)Zk∈π(k∈Z) ＋1)π＋π(D．(2k－2kπC．3311π255，当∈Z－π，k π终边相同，故A项错；2kπ，与角π＋2πA[选项中＝C33331044，Z∈π，kB项错；2kπ－，π故与π有相同的终边，之间的角为[0,2π)＝k1时，得333221)π＋项对；(2kπ，与π有相同的终边，故C之间的角为当k ＝2时，得[0,2π)3352] 项错．，故D0时，得[0,2π)之间的角为πkπ，∈Z，当k＝＋33) (10的圆中，240°的圆心角所对弧长为3．在半径为2040 B.ππA.33400200 π D.πC.33π4044A.] ，选＝πr|·＝π×10，πrad∴弧长l＝|α＝rad240＝×A[240°331803 ________．Z)的形式为，＋α(0≤α<2πk∈k．将－41 485°化成2π，＋315°1 485°由－＝－5×360°][解析7 π.＋所以－1 485°可以表示为－10π47＋10π－答案[]π 4 4，求该扇形圆心角的弧度数．，周长为．一个扇形的面积为51页 7 第[解]设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4.①11由扇形的面积公式S＝lr，得lr＝1.②22l由①②得r＝1，l＝2，∴α＝＝2 rad. r∴扇形的圆心角为2 rad.页 8 第。
