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高校应用数学学报2021,36(2):247-252单圈图与双圈图补图的Aα-谱半径张荣,郭曙光(盐城师范学院数学与统计学院,江苏盐城,224002)摘要:设A(G)和D(G)分别表示n阶图G的邻接矩阵和度对角矩阵,对于任意实数α∈[0,1],图G的Aα-矩阵被定义为Aα(G)=αD(G)+(1−α)A(G),它是图的邻接矩阵和无符号拉普拉斯矩阵的共同推广,其最大特征根称为图G的Aα-谱半径.单圈图与双圈图补图的Aα-谱半径的上界被分别确定,相应的极图被完全刻画.关键词:Aα-矩阵;单圈图;双圈图;补图;谱半径中图分类号:O157.5文献标识码:A文章编号:1000-4424(2021)02-0247-06§1引言本文仅讨论有限无向简单图.G=(V(G),E(G))是n阶连通图,V(G)={v1,v2,···,v n}为其顶点集,E(G)为其边集,d G(v i)表示图G中顶点v i的度,A(G)为G的邻接矩阵,D(G)为G的度对角矩阵.图的无符号拉普拉斯矩阵被定义为Q(G)=D(G)+A(G).2017年,Nikiforov[1]提出并研究图的Aα-矩阵,即图G的度对角矩阵D(G)与邻接矩阵A(G)的凸线性组合:Aα(G)=αD(G)+(1−α)A(G),0≤α≤1.根据定义,A0(G)=A(G),A12(G)=12Q(G).因此图的Aα-矩阵可以看作是图的邻接矩阵和无符号拉普拉斯矩阵的共同推广.称det(λI−Aα(G))为图G的Aα-特征多项式,简记为Pα(G,λ).不难看出,当0≤α≤1时,Aα(G)为非负的实对称矩阵,所以其特征根均为实数.Aα(G)的特征根按从大到小次序可记为λ1(Aα(G))≥λ2(Aα(G))≥···≥λn(Aα(G)),称它的最大特征根为G的Aα-谱半径,简记为ρα(G).若G为连通图,则Aα(G)是不可约的.根据非负矩阵的Perron-Frobenius定理,ρα(G)的重数为1,并且存在唯一的正单位特征向量,称之为ρα(G)的Perron向量.图G的补图G c是指与G有相同顶点集的简单图,在G c中两个顶点相邻当且仅当它们在G中不相邻.1986年,Brualdi和Solheid[2]提出了确定图类邻接谱半径的界并刻画极图的问题．这类问题后来被称为Brualdi-Solheid问题,被人们广泛研究,并被移植到各种图矩阵的谱半径研究中,至今仍然是图谱研究的热点．2014年,Stevanovi´c的新著[3]对近十年来邻接谱半径(特别是Brualdi-收稿日期:2020-01-04修回日期:2020-04-08基金项目:国家自然科学基金(12071411);江苏省高等学校自然科学研究面上项目(18KJB110031)248高校应用数学学报第36卷第2期Solheid问题)的研究成果,证明技巧进行了综述,并提出一些值得进一步研究的猜想和待解决问题.2017年,Tait和Tobin[4]在n充分大的前提下证明了Brualdi-Solheid型问题的三个著名猜想, 2018年,Bollobás等人[5]研究了d维超方体图的m阶导出子图谱半径的最大化问题．图的Aα-矩阵统一并推广了邻接矩阵与无符号拉普拉斯矩阵,对它的研究可将邻接谱和无符号拉普拉斯谱的研究方法一般化,得到一般性的结果,因而成为近期图谱研究的又一热点.图的Aα-谱半径的Brualdi-Solheid问题更是受到研究者的广泛关注.例如,Nikiforov[1]分别确定了色数给定和不含K r+1(r≥2)图的Aα-谱半径的可达上界.Nikiforov等[6]给出最大度给定的树的Aα-谱半径一个紧的上界.Nikiforov等[7]和Xue等[8]同时确定了直径给定的图的Aα-谱半径最大的图和团数给定的图的Aα-谱半径最小的图.Lin等[9]分别确定了割点数给定的连通图和匹配数给定的树的Aα-谱半径最大的图.Li等[10]分别确定了给定度序列的n阶树和单圈图的Aα-谱半径最大的图.Yu等[11]给出了不含K2,t(t≥3)minor的图Aα-谱半径可达上界,并确定了具有最大Aα-谱半径的唯一的外平面图.Chen等[12]给出了一个图的二次幂图的Aα-谱半径的上界和下界,并确定了树的二次幂图的Aα-谱半径前三大的图.边数等于顶点数加c−1的简单连通图称为c圈图.当c=0,1,2,3时,分别称之为树,单圈图,双圈图,三圈图.Liu等[13]给出了n阶单圈图的补图的邻接谱半径的上界,并刻画了唯一的达到该上界的极图.Yin等[14]给出了n阶三圈图的补图的邻接谱半径的上界,并刻画了唯一的达到该上界的极图.本文研究单圈图与双圈图补图的Aα-谱半径,分别确定n阶单圈图与双圈图补图的Aα-谱半径的上界,并刻画相应的极图.§2记号与引理用C n表示n个顶点的圈,P n表示n个顶点的路,K n表示n个顶点的完全图,N n表示n个顶点的空图,N G(v)表示图G中邻接于v的顶点组成的集合.G的悬挂顶点是指度为1的顶点,与悬挂顶点相关联的边称为悬挂边.若S⊆V(G),用G[S]表示图G的由S导出的子图.两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)(V1∩V2=∅)的直和是指图G=G1∪G2,其中V(G)=V1∪V2, E(G)=E1∪E2.图G1=(V1,E1)与G2=(V2,E2)的完全积记为G1 G2,是指把G1∪G2中的V1的每一个顶点分别与V2的每一个顶点连接所得到的图.设x=(x1,x2,···,x n)T为n维单位实列向量,根据Rayleigh’s准则[15]知ρα(G)≥x T Aα(G)x,(2.1)其中等号成立当且仅当x为对应于ρα(G)的特征向量.引理2.1[7-8]设α∈[0,1),G为连通图,u,w是G的两个顶点,uv i∈E(G)且wv i/∈E(G) (i=1,2,···,k).设x=(x1,x2,···,x n)T为对应于ρα(G)的Perron向量.令G∗为从G中删除边uv i并加上边wv i(i=1,2,···,k)得到的图.若x w≥x u,则ρα(G∗)>ρα(G).引理2.2[16]设0≤α≤1,G是一个图,S⊆V(G)且|S|=k.若对任意w∈S,有d G(w)= d且对任意u,v∈S满足N(v)\{u}=N(u)\{v},则有下面的结论成立.(1)如果G[S]是一个团,则(d+1)α−1是Aα(G)的一个特征值,其重数至少为k−1.(2)如果G[S]是一个独立集,则dα是Aα(G)的一个特征值,其重数至少为k−1.下面的引理是引理2.1的一个推论,它是主要结果证明的关键.引理2.3设0≤α<1,图G是n阶简单连通图,其补图G c也连通,V(G)={v1,v2,···,v n}, u,v是G的两个顶点,x=(x1,x2,···,x n)T为对应于ρα(G c)的Perron向量,其中x i对应于顶点v i.张荣等:单圈图与双圈图补图的A α-谱半径249设v i 1,v i 2,···,v i s 为N G (v )\N G (u )中的s 个顶点(1≤s ≤d G (v )),令G ∗为删除图G 中的边vv i j 并加上边uv i j 得到的图,j =1,2,···,s .若x u ≤x v ,则ρα(G c )<ρα(G ∗c ).根据引理2.3,可证明下列引理.引理2.4设uv 是图G 的一条非悬挂边的割边,并且G c 也是连通图,记收缩边uv 成一点w 并在点w 接出一条悬挂边所得的图为G ∗(如图1所示),则ρα(G c )<ρα(G ∗c ).&%'$r r &%'$G 1G 2u v G &%'$rr &%'$G 1G 2w G ∗&%'$r &%'$G T n GT n &%'$r r d d d r G ......n −1GK 1,n −1图1G,G ∗图2GT n ,GK 1,n −1证设x =(x 1,x 2,···,x n )T 为对应于ρα(G c )的Perron 向量.如果x u ≤x v ,则图G ∗可以看作是图G 删除所有的边vz 并加上边uz 所得到的图,其中z 满足z ∈N G (v )\{u };如果x u >x v ,则图G ∗可以看作是图G 删除所有的边uz 并加上边vz 所得到的图,其中z 满足z ∈N G (u )\{v }.根据引理2.3,结论成立.设G 1,G 2为两个连通图,u 1,u 2分别是它们的顶点.将G 1中的顶点u 1和G 2中的顶点u 2粘合成一个顶点,所得的图记为G 1u 1u 2G 2(简记为G 1G 2).特别地,GT n (如图2所示)表示将图G 的一个顶点与一棵n 阶树T n 的一个顶点粘合所得图.GK 1,n −1(如图2所示)将图G 的一个顶点与K 1,n −1的中心粘合所得的图.推论2.1ρα((GT n )c )≤ρα((GK 1,n −1)c ),等号成立当且仅当T n ∼=K 1,n −1.证对图GT n 中的树T n 反复使用引理2.4中的变换,可以得到GK 1,n −1.根据引理2.4,推论2.1成立.特别地,如果图G 是一个顶点,则GT n 即为树T n .注意到图K c 1,n −1=K n −1∪N 1,ρα(K n −1)=n −2,由推论2.1可得:推论2.2设T n 为一棵n 阶树,则ρα(T c n )≤n −2,其中等号成立当且仅当T n ∼=K 1,n −1.§3单圈图补图的A α-谱半径用U n 表示所有n 阶单圈图组成的集合,U n,l 表示圈长为l 的所有单圈图组成的集合.对于G ∈U n,l ,设C l =v 1v 2···v l v 1为G 中唯一的圈.若l <n ,则G 可以看成是在圈C l 某些顶点上接出一些树得到的.为叙述方便,对于C l 上没有接出树的顶点,认为接出的是一棵平凡树.这样,G 可记成C l (T 1,T 2,···,T l ),其中T i (i =1,2,···,l )为顶点v i 处接出的树,T i 包含圈上的顶点v i ,称之为根点.记U ∗n,l 为所有那些单圈图C l (T 1,T 2,···,T l )组成的集合,其中T i 要么是平凡树,要么是以v i 为中心的星图.记S l n 为在圈C l 的某一点上接出n −l 条悬挂边所得到的图.当n >4时,不难看出,除S 3n 之外,其它n 阶单圈图的补图均为连通图.引理3.1设G ∈U n,l (3≤l ≤n ),则ρα(G c )≤ρα((S l n )c ),其中等号成立当且仅当G ∼=S l n.证若l =n ,则结论显然成立.若l <n ,则G =C l (T 1,T 2,···,T l ).对于G 中的每一非平凡树T i ,若T i 不是星图,对其反复应用推论2.1,可将其变成星图.这样,得到一个单圈图G 1∈U ∗n,l 使得ρα(G c )≤ρα(G c 1),其中等号成立当且仅当G ∼=G 1.若G 1=S l n ,则C l 上至少存在两个点v i ,v j 使得T i ,T j 均非平凡.设x =(x 1,x 2,···,x n )T 为对应于ρα(G c 1)的Perron 向量,不失250高校应用数学学报第36卷第2期一般性,不妨假设x j ≤x i .删除G 1中边v i z ,加上边v j z ,其中z ∈N T i (v i ),得到的图记为G 2.显然,G 2∈U ∗n,l .根据引理2.3,ρα(G c 1)<ρα(G c 2).若G 2=S l n ,重复这个步骤,最后得到S l n ,并且ρα(G c 2)<ρα((S l n )c ).综上所述,结论成立.引理3.2若l ≥4,则ρα((S l n )c )<ρα((S l −1n )c ).证不妨假设S l n 是圈C l =v 1v 2···v l v 1在其顶点v 1处接出n −l 条悬挂边得到的图.设x =(x 1,x 2,···,x n )T 为对应于ρα((S l n )c )的Perron 向量.若x 1≤x 2,删除边v 2v 3,添加边v 1v 3,得到图S l −1n .若x 1>x 2,删除边v 1v i ,添加边v 2v i ,其中i =l,l +1,···,n ,同样得到图S l −1n .根据引理2.3,ρα((S l n )c )<ρα((S l −1n )c ).综合引理3.1和引理3.2,可以得到下述结论.定理3.1设0≤α<1,图G 为n 阶单圈图,则ρα(G c )≤12 (n −1)α+n −4+ (n −1)2α2−2(n 2−n −4)α+n 2−8 ,其中等号成立当且仅当G ∼=S 3n.证当n >4时,根据引理3.1和3.2,有ρα(G c )≤ρα((S 3n )c ),其中等号成立当且仅当G ∼=S 3n.又(S 3n )c =(N 2 K n −3)∪N 1,结合引理2.2,通过直接计算可得P α((S 3n )c ),λ)=λ[λ−(n −3)α][λ−(n −1)α+1]n −4f (λ),其中f (λ)=λ2+[(1−n )α−n +4]λ+n (n −3)α−2n +6,其最大根λ0=12(n −1)α+n −4+ (n −1)2α2−2(n 2−n −4)α+n 2−8 .当0≤α≤12时,(n −3)α≥(n −1)α−1,直接计算可知λ0>(n −3)α;当12<α<1时,(n −3)α<(n −1)α−1,直接计算可知λ0>(n −1)α−1.综上可得ρα((S 3n)c )=λ0.从而结论成立.当n =4时通过直接计算可知结论成立.§4双圈图补图的A α-谱半径用B (n )表示所有n 阶双圈图组成的集合.令C k ,C l 是两个顶点不相交的圈,v 1是C k 的一个顶点,v s 是C l 的一个顶点.把v 1和v s 用长为s −1(s ≥1)的路v 1v 2···v s 连接起来所得到的图称为∞-图(如图3所示),其中s =1表示把v 1,v s 重合到一起.令P l +1,P p +1,P q +1(l,p,q ≥1)是三条顶点不相交的路,并且其中至多有一条路的长为1.把这三条路的起始顶点和终点分别重合到一起所得到的图称为θ-图(如图3所示).双圈图可分为两类,一类记为B n,1,其中的图要么是一个n 阶∞-图,要么是在∞-图的某些顶点接出一些树得到的n 阶图;另一类记为B n,2,其中的图要么是一个n 阶θ-图,要么是在θ-图的某些顶点接出一些树得到的n 阶图.&%'$r r ···r r &%'$∞-图v 1v s r d d d r r r r ···rr ···rr ···rrP l +1r P p +1r d d d P q +1r θ-图图3∞-图,θ-图设B 1与B 2是如图4所示的两个n 阶双圈图.当n >5时,不难看出,除B 1和B 2之外,其它所有n 阶双圈图的补图均为连通图.当n >5时,类似于单圈图补图的A α-谱半径的证明过程,可以张荣等:单圈图与双圈图补图的A α-谱半径251得到如下结论.当n =5时通过直接计算验证如下结论成立.引理4.1设0≤α<1,G ∈B n,1,则ρα(G c )≤ρα(B 1c ),其中等号成立当且仅当G ∼=B 1.引理4.2设0≤α<1,G ∈B n,2,则ρα(G c )≤ρα(B 2c ),其中等号成立当且仅当G ∼=B 2.对于n 阶双圈图,在引理4.1和引理4.2的基础上,可以证明下述定理.r r r r r ¨¨¨r d d d r r ···n −5r r r r ¨¨¨r v 1v 2v 3v 4v 5v 6v n B 1r r r r r ¨¨¨r ...n −4¨¨¨r r r r r r r r ¨¨¨r B 2v 1v 2v 4v 3v 5v n 图4B 1,B 2定理4.1设0≤α<1,n ≥5,G 为n 阶双圈图,则ρα(G c )≤ρα(B 2c ),其中等号成立当且仅当G ∼=B 2c ,进一步地,ρα(B 2c )是下面多项式的最大根:f (λ)=λ3+[(5−2n )α−n +4]λ2+[(n −1)(n −4)α2+(n −3)(2n −5)α−2n +7]λ−(n −4)(n 2−3n −2)α2+(n −4)(2n −9)α+n −4.证对于n 阶双圈图G ,若G ∈B n,1,根据引理4.1可知,ρα(G c )≤ρα(B 1c );若G ∈B n,2,根据引理4.2可知,ρα(G c )≤ρα(B 2c ),其中等号成立当且仅当G ∼=B 2c .设x =(x 1,x 2,···,x n )T 为对应于ρα(B 1c )的Perron 向量.若x 2≤x 4,在B 1c 中删除边v 5v 2,添加边v 5v 4,所得到的图记为G 1;若x 2>x 4,在B 1c 中删除边v 3v 4,添加边v 3v 2,所得到的图记为G 2.容易看出,G 1∼=G 2∼=B 2c .由引理2.1知,ρα(B 1c )<ρα(B 2c ).综上可得ρα(G c )≤ρα(B 2c ),其中等号成立当且仅当G ∼=B 2c .下面证明ρα(B 2c )是多项式f (λ)的最大根.注意到B 2c =((P 2∪N 1)∇K n −4)∪N 1,结合引理2.2,通过直接计算可知P α(B 2c ,λ)=λ[λ−(n −1)α+1]n −5[λ−(n −2)α+1]f (λ),其中f (λ)=λ3+[(5−2n )α−n +4]λ2+[(n −1)(n −4)α2+(n −3)(2n −5)α−2n +7]λ−(n −4)(n 2−3n −2)α2+(n −4)(2n −9)α+n −4.从特征多项式P α(B 2c ,λ)可知,只需证明ρα(B 2c )>(n −1)α−1.考察((P 2∪N 1)∇K n −4)∪N 1的真子图(N 3∇K n −4)∪N 1,根据非负矩阵理论知ρα(B 2c )=ρα((P 2∪N 1)∇K n −4)∪N 1)>ρα((N 3∇K n −4)∪N 1).结合引理2.2,通过直接计算可知P α((N 3∇K n −4)∪N 1,λ)=λ[λ−(n −4)α]2[λ−(n −1)α+1]n −5g (λ),其中g (λ)=λ2+((1−n )α−n +5)λ+(n −4)(n +1)α−3n +12,其最大根为λ1 (n −1)α+n −5+ (n −1)2α2−2(n 2−13)α+n 2+2n −232.当0≤α<1时,通过直接计算可知λ1>(n −1)α−1.从而ρα(B 2c )>(n −1)α−1,进而ρα(B 2c )是多项式f (λ)的最大根.致谢衷心感谢审稿人的意见和建议.参考文献:[1]Nikiforov V.Merging the A -and Q -spectral theories[J].Applicable Analysis and DiscreteMathematics,2017,11(1):81-107.252高校应用数学学报第36卷第2期[2]Brualdi R A,Solheid E S.On the spectral radius of completementary acyclic matrices ofzeros and ones[J].Society for Industrial and Applied Mathematics.Journal on Algebraicand Discrete Methods,1983,7(2):265-272.[3]Stevanovi´c D.Spectral Radius of Graphs[M].New York:Academic Press,2014.[4]Tait M,Tobin J.Three conjectures in extremal spectral graph theory[J],Journal of Combi-natorial Theory,Series B,2017,126:137-161.[5]Bollobás B,Lee J,Letzter S.Eigenvalues of subgraphs of the cube[J].European Journal 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G.The upper bound on Aα-spectral radius of the complement of unicyclic and bicyclic graphs with n vertices is determined respectively,and the extremal graphs are characterized completely.Keywords:Aα-matrix;unicyclic graph;bicyclic graph;complement of graph;spectral radius MR Subject Classification:05C50。
图谱简介图论与组合是一门历史悠久而在近四十年又获得蓬勃发展的应用数学学科，是处理离散问题的强有力的工具，是整个离散数学的一个重要组成部分。
图论与组合包含着十分丰富的内容，按其所研究的问题的侧重点不同，可以分为图论、计数理论、组合矩阵论、最优化理论、组合设计等几个方面。
近五十年来，随着计算机科学、信息科学和系统科学的发展，图论组合及其应用的研究越来越引起人们的关注。
无论从其理论价值和实际应用的广度和深度来看，图论与组合正处于一个具有强大生命力的迅速发展的新时期。
一．图的矩阵在图论中，为了研究图的性质，人们引进了各种各样的矩阵，诸如图的邻接矩阵，拉普拉斯矩阵，规范拉普拉斯矩阵等，这些矩阵与图都有着自然的联系，代数图论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质反映出来，这里所指的矩阵的代数性质，主要指矩阵的特征值。
图谱理论主要研究图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和规范拉普拉斯矩阵的特征值及其特征向量，是当前代数图论、组合矩阵论和代数组合论共同关注的一个重要研究课题，极大地丰富和促进了图论和组合学的研究内容。
假设),(E V G =是一个无向无环的图（简单图或多重图），其中{}n v v v V ,,,21 =，{}m e e e E ,,,21 =。
定义1 G 的邻接矩阵是一个n n ⨯的矩阵n n ij a G A ⨯=)()(，其中ij a 是连接顶点i v 与j v 的边的条数。
图的邻接矩阵的特征值，是代数图论的一个基本研究课题，已经形成相当成熟的理论。
图谱的第一篇论文发表于1957 年，其结果是.定理1 令G 是n 个结点的简单连通图，则1)(1cos 2-≤≤+n G n ρπ，左边的等号成立，当且仅当G 是一路；右边的等号成立，当且仅当G 是一个完全图。
在国内该方面的研究直到1979年才出现了第一篇论文，该论文由李乔和冯克勤合写并发表在1979年的《应用数学学报》上。
代表人物: C. D. Cvetkovic.专 著：D. M. Cvetkovic, M. Doob, and H. Sachs, Spectra of graph-theory and applications, VEB Deutscher Verlag d. Wiss. Berlin, 1979; Acad. Press, New York, 1979. 1995注：1．)()(),(k ijk ij k a a A = 表示 G 中点 i v 到 j v 长为 k 的路的数目—数学归纳法。
给定最大度及圈长的单圈图的若干性质许辛;宋海洲【摘要】通过图的移接变形对邻接谱半径的影响,研究最大度为△(△≥3),圈长为l的单圈图的邻接谱半径的若干问题,得到该类图的极图的一些性质,刻画该类图在某些情形下的上界,通过举例与已有的上界进行比较,说明本结果在一定程度上优于已有结论.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2016(033)001【总页数】6页(P59-64)【关键词】单圈图;上界;移接变形;邻接谱半径【作者】许辛;宋海洲【作者单位】华侨大学数学科学学院,泉州362021;华侨大学数学科学学院,泉州362021【正文语种】中文【中图分类】O157.5本文所考虑的图均为无环、无重边、有限且无向的简单连通图。
设T=(V,E)是n阶简单连通图，其顶点集为V(T)={v1,v2,…,vn}，边集为E(T)={e1,e2,…,em}，图T 中顶点vi的度记为dT(vi)，设A(T)为图T的邻接矩阵，ρ(T)为T的邻接谱半径。
设T=(V,E)是顶点数为n的简单连通图。
当|E|=n时，称T为单圈图。
本文中用T=(V(T),E(T),C)表示圈长给定的单圈图，其中C为T中唯一的圈，且V(C)={v1,v2,…vl}，则T-E(C)是一个由B1,B2,…,Bl构成的非连通图，其中B1,B2,…,Bl分别为T-E(C)的连通分支；用(u,v)表示E(T)中的一条边，简记uv，其中u,v∈V(T)；用T-uv表示从T中删去边uv∈E(T)所得到的图；用T+uv表示从T中添加边uv∉E(T)所得到的图；用NT(v)表示T中所有与顶点v相邻的顶点构成的集合；用d(u,v)表示在T中的顶点u到顶点v的最短距离；用Δ(T)表示T的所有顶点中的最大度，简记为Δ(Δ≥3)；用表示最大度为Δ(Δ≥3)，圈长为l，去掉单圈图的圈中所有边形成的每个连通分支Bi(i=1,…,l)的顶点数ni+1给定且单圈图的顶点个数为的单圈图构成的集合，其中n=(n1+1,n2+1,…,nl+1)。
增量式编码器的A.B.Z编码器A、B、Z相及其关系TTL编码器A相，B相信号，Z相信号,U相信号，V相信号，W相信号，分别有什么关系？对于这个问题的回答我们从以下几个方面说明：编码器只有A相、B相、Z相信号的概念。
所谓U相、V相、W相是指的电机的主电源的三相交流供电，与编码器没有任何关系。
“A相、B相、Z相”与“U相、V相、W相”是完全没有什么关系的两种概念，前者是编码器的通道输出信号；后者是交流电机的三相主回路供电。
而编码器的A相、B相、Z相信号中，A、B两个通道的信号一般是正交（即互差90°）脉冲信号；而Z相是零脉冲信号。
详细来说，就是——一般编码器输出信号除A、B两相（A、B两通道的信号序列相位差为90度）外，每转一圈还输出一个零位脉冲Z。
当主轴以顺时针方向旋转时，输出脉冲A通道信号位于B通道之前；当主轴逆时针旋转时，A通道信号则位于B通道之后。
从而由此判断主轴是正转还是反转。
另外，编码器每旋转一周发一个脉冲，称之为零位脉冲或标识脉冲（即Z相信号），零位脉冲用于决定零位置或标识位置。
要准确测量零位脉冲，不论旋转方向，零位脉冲均被作为两个通道的高位组合输出。
由于通道之间的相位差的存在，零位脉冲仅为脉冲长度的一半。
带U、V、W相的编码器，应该是伺服电机编码器A、B相是两列脉冲，或正弦波、或方波，两者的相位相差90度，因此既可以测量转速，还可以测量电机的旋转方向Z相是参考脉冲，每转一圈输出一个脉冲，脉冲宽度往往只占1/4周期，其作用是编码器自我校正用的，使得编码器在断电或丢失脉冲的时候也能正常使用。
ABZ是编码器的位置信号，UVW是电机的磁极信号，一般用于同步电机； AB对于TTL/HTL编码器来说，AB相根据编码器的细分度不同，每圈有很多个，但Z相每圈只有一个；UVW磁极信号之间相位差是120度，随着编码器的角度转动而转动，与ABZ 之间可以说没有直接关系。
/#############################################################编码器A+A-B+B-Z+Z-怎么用分别代表什么意思？这种编码器的输出方式为长线驱动（line driver），其中A+A-B+B-Z+Z-为输出的信号线，增量编码器给出两相方波，它们的相位差90°（电气上），通常称为A通道和B通道。
烟台大学学报(自然科学与工程版)Journal of Yantai University ( Natural Science and Engineering Edition)第34卷第1期2021年1月Vol. 34 No. 1oln ．0201文章编号：1024-8820 (2221) 21-0021-24doi ：12.13451/j. 3)0 37T213/n. 202621单圈图关联矩阵的特征值赵炳坤，王燕(烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台204025)摘要：图的特征值是图的重要指标，目前研究比较多的有图的邻接矩阵特征值，图的拉普 拉斯矩阵特征值和图的距离矩阵特征值等等。
一般来讲，图的关联矩阵不是方阵因而不存在特征值。
图的关联矩阵是方阵当且仅当图是单圈图。
在本文中，我们着重于计算单 圈图关联矩阵的特征值，证明了其特征值完全反映了圈上的顶点个数和圈外的顶点个数，体现出了特征值能够反应图指标的重要作用。
关键词：单圈图；关联矩阵,特征值中图分类号：0157.6文献标志码：A1引言与预备知识有关图的相关定义和符号请参阅文献［/,本 文中我们只考虑简单无向图，即不含自环也不含平行边的无向图。
令r = (v,E )为一个图，其中卩表示r 的顶点集合,e 表示厂的边集合。
图r 中一个圈指的是图中顶点与边的交错序列：/1”0…件+ / …"”e ”"i ，其中",(1 WiS)是厂中n 个互不相同的顶点,e(1 WiWn)是r 中n 条互不相同的边，且%, ",+/是边e 的2个端点，这里n 称为圈长。
恰好含有一个圈的图称为单圈图。
从定义可以得到单圈图 的以下简单性质，我们列为引理。
引理1简单无向连通图厂=(卩,E )为单圈图当且仅当IFI = \E\,即顶点数等于边数。
和图有关的矩阵主要有图的邻接矩阵、关联矩阵、距离矩阵和拉普拉斯矩阵等等。
在图论中，图的特征值一般指的是其邻接矩阵的特征值。
给定最大度的极大拉普拉斯谱单圈偶图林国光;宋海洲【摘要】By considering the effect of adding and grafting edges to a graph on the Laplacian spectral radius, this paper studies the properties of maximal Laplacian spectrum unicyclic bipartite graphs with order n and the given maximum degree Δ>2 , and concludes that the component of the normalized Laplacian vector which has the larg⁃est absolute value is corresponding to a vertex of degreeΔ, and this vertex is on the circle.%通过图的移接变形对拉普拉斯谱半径的影响，研究了给定最大度为Δ>2的n阶极大拉普拉斯谱单圈偶图的性质，得到了它的规范拉普拉斯谱向量中绝对值最大的分量对应的顶点的度均等于Δ且这些顶点的位置均在圈上。
【期刊名称】《华东交通大学学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】7页(P126-132)【关键词】单圈偶图;最大度;拉普拉斯谱半径;移接变形;向量【作者】林国光;宋海洲【作者单位】华侨大学数学科学学院，福建泉州362021;华侨大学数学科学学院，福建泉州 362021【正文语种】中文【中图分类】O157.5作通者讯简作介者：宋海洲（1971—），男，副教授，主要研究方向为图论。
本文所考虑的图均为无环、无重边、有限且无向的简单连通图。
设G=(V(G),E(G))是n阶简单连通图，其顶点集为V(G)={v1,v2,...,vn}，边集为E(G)={e1,e2,…,em}。
给定直径的单圈图的拟拉普拉斯谱半径【摘要】文章研究的是单圈图的拟拉普拉斯的最大特征值（谱半径），刻画了所有阶数为，直径为的单圈图中取得最大谱半径的单圈图是。
【关键词】单圈图直径拟拉谱拉斯谱半径[abstract] this paper vestigates the signless laplacian spectral radius of unicyclic graphs and unicyclic graphs of fixed order and diameter with greatest signless laplacian spectral radius are determined.[keywords] unicyclic graphs；diameter；signless laplacian；spectral radius1.引言及预备知识设是一个阶简单连通无向图，定义g的邻接矩阵为，这里。
矩阵为图g的度对角矩阵，其中表示顶点的度。
矩阵称为g的拉普拉斯矩阵，矩阵称为g的拟拉普拉斯矩阵。
由于是一个实对称方阵，它的特征值均为实数，不妨将其排列为。
称的最大特征值称为图g的拟拉普拉斯谱半径，通常记为。
此外，文中未给出定义的一些概念可以参考文献[6][7]。
图的拟拉普拉斯谱半径的研究是近年来热门的一个课题，在给定一个图的集合，在这个集合中寻找一个谱半径的上界或下界，并刻画达到这个界的图。
即在给定条件下确定具有最大或者最小谱半径的极图。
文献[2][3][5]分别研究了在给定围长、悬挂点个数、度序列的条件下的极图。
本文研究的是在给定直径的条件下，所有单圈图取得最大拟拉普拉斯谱半径的极图。
2.引理及相关定理引理1[3] 设为图g的一条边，在边中间加上一个新的顶点之后所得的图记为，那么有：（1）若不是图g的内部路，且，则，其中是n阶圈。
（2）若是图g的内部路，且，则，其中这里是阶路的首尾两个顶点各添加两条悬挂边而得到的图。
