第六讲谓词演算的永真公式

二、谓词演算的基本永真公式
5 量词的分配形式 ① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ② x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ③ x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ④ xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 证： ①因为对一切x，A(x) B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且B(x)为真。 ② 对① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.量词的增加与删除 1）
xA A xA A
A中不含自由变元x
因为A不含自由变元x，所以A的真值与x无关，故恒等 式成立。
谢谢同学们的主动配合！ 愿大家天天快乐！
一、谓词演算基本概念
4. 两个任意谓词公式A和B,
1) A与B等价， A B iffA B 永真； E 2)在E上A与B等价，A B iffA B 在E上永真.
5. 两个任意谓词公式A和B, 1) A永真蕴含B ， A B iff A → B 永真； E 2)在E上A永真蕴含B， A B iff A → B 在E上永真.
将y代以w，得xP(x, w) Q(w, w)
注意： 换名规则的对象：只用于约束变元，换名后所得公式与原式等价；
代入规则的对象：只用于自由变元，换名后所得公式与原式一般
不等价，除非是永真式。
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a) P Q P Q，
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 因为存在一个x，使A(x) B(x)为真，则存在一个x， 使A(x)为真，同时使B(x)也为真。 x(A(x) B(x)) xA(x) xB(。 x) 所以
③
注：
xA(x) xB(x) x(A(x) B(x))
二、谓词演算的基本永真公式
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 xP(x, y) Q(w, y)，将y代以z，得xP(x, z) Q(w, z)
x(P(x) Q(x)) x(R (x) Q(x)) (R (x) P(x))
x(P(x) Q(x)) x(R (x) Q(x))
Q10 E5, x((R (x) Q(x)) (P(x) Q(x))) x((R (x) Q(x)) (Q(x) P(x))) E24
(R (x) Q(x)) (Q(x) P(x))
R (x) P(x)
x((P(x) Q(x)) (R (x) Q(x)))
Q1
I6
所以
x(P(x) Q(x)) x(R (x) Q(x)) (R (x) P(x))
作业： P48 1.7习题 1.证Q17、Q19 2.(2),(3) 4.(2),(4)
第六讲 谓词演算的永真公式
讲授内容： 1. 谓词演算基本概念 解释概念 永真 永假 2. 谓词演算的永真公式 共七大类演算公式 3. 谓词演算的变换规则
第六讲 谓词演算的永真公式
讲授重点：谓词演算基本概念
与解释的概念
讲授难点：谓词演算的七大类公式
一、谓词演算基本概念
对命题公式，指派， 确定的真值 对谓词公式，情况比较复杂。 谓词公式中个体，谓词未指定含义时，公式的意义不 清楚，可真可假。只有对谓词公式中各变项指定特殊的常 项后，谓词公式才有确定含义。 1.一个解释由下面四部分组成： (1) 一个确定的个体域D； (2) D上的每一原子谓词指定特定的谓词； (3) 对个体常元指定D中的一个特定元素； (4) 对自由变元指定D中的一个特定元素。 解释 相当于命题逻辑中的指派
一、谓词演算基本概念
例1 自然数集合N：{0,1.2,3,…}
任何自然数都大于零。
(1) x个体域:实数集合R
(2) N(x):x是自然数； (3) M(x):x大于等于0.
x (N(x) M (x))为真
任何整数都大于零。
(1) x个体域:实数集合R
(2) N(x):x是整数； (3) M(x):x大于等于0.
3.对偶原理 对偶式：当A中仅含， ， ，将与互换， 与 互换，
T与F互换，得到A *为对偶式。 若A B或A B，则A* B*,B* A *
例2：证明 x(P(x) Q(x)) x(R (x) Q(x)) (R (x) P(x)) 证：根据CP规则，上式等价于 而
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x)) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
二、谓词演算的基本永真公式
xA(x) xB(x) xA(x) xB(x) xA(x) xB(x) 7）关于多个量词的永真式 ① xyP( x, y) yxP( x, y) ② xyP( x, y) xyP( x, y);xyP( x, y) yxP( x, y); ③ yxP( x, y) xyP( x, y) ④ xyP( x, y) xyP( x, y) ⑤ xyP( x, y) yxP( x, y)
二、谓词演算的基本永真公式
4 量词辖域的扩张和收缩 xA( x ) P x(A( x ) P) xA( x ) P x(A( x ) P) xA( x ) P x(A( x ) P) xA( x ) P x(A( x ) P) P是不含自由变元x的谓词。
二、谓词演算的基本永真公式
3 量词的否定
(xP (x)) xP (x) (xP (x)) xP (x)
证明：设论述域为D ，任给一种解释I下. ① (xP (x)) xP (x) 若 ¬(∀xP(x))在解释I下为T， ∀xP(x)在解释I下为F, 存在a∈ D，使P(a)为F, ¬ P(a)为T ∃ x¬P(x)为T. ② xP (x) (xP (x)) 若 ∃ x¬P(x)在解释I下为T时，存在b∈ D，使¬ P(b)为T, P(b)为F ∀xP(x)为F ¬(∀xP(x)) 为T.
x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x))
xA(x) xB(x) x(A(x) B(x))
二、谓词演算的基本永真公式
6）量词对 及→的处理 x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 证：x(A(x) B(x)) x(A(x) B(x))
如解释：A(x):x是奇数；B(x)：x是偶数；论述域为N。 则xA(x) xB(x)为真，而x(A(x) B(x))为假。
④上面的 ③式为 x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
对③用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
2. A为谓词公式，
1)在任意论述域上,A在任何一种解释下均为真，称A(普遍)永真； 2)在任意论述域上,A在任何一种解释下均为假，称A(普遍)永假； 3)至少存在某一论述域E上，若存在一种解释，使A的真值为真，
称A可满足. 关系： A(普遍)永真 一定 A在E上永真； A(普遍)永假 一定 A在E上永假; A在E上可满足 一定 A可满足.
二、谓词演算的基本永真公式
或xP(x) P(x) 2）xP(x) P(y)
含义：如果对一切x,P(x)为真，则对任一确定的x， P(x)为真。
P(y) xP(x)或P(x) xP(x)
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由xP(x) P(x) 和P(x) xP(x) 根据前提三段论得 xP(x) xP(x)
x (N(x) M (x))为假
无个体常元与自由变元
一E是它们公有的论述域, 若
1) 在论述域E的任何一种解释下，A均为真，称A在E上永真； 2)在论述域E的任何一种解释下，A均为假，称A在E上永假； 3) 在论述域E上存在一种解释,使A的真值为真，称A在E上可满足.
P代以xP( x )，Q代以S(x) 得 xP( x ) S(x) xP( x ) S(x)
若原式是永真式, 则代入后仍得永真式;
若原式是非永真式, 则代入后可能变化。
另外, 命题演算中的代入规则是本规则的特例。
三、变换规则
2.替换规则
设A( x1, x2,...,xn) B( x1, x2,...,xn)，而A是公式C中的 子公式，将B去替换C中的A(不必每一处)，得到D, 则 C D。