解题技巧专题：矩形中的折叠问题

矩形折叠问题知识点总结1. 问题概述矩形折叠问题的基本情境是，给定一个长方形纸张，要求将其折叠成一个给定形状，通常是通过将纸张折叠后在两个边缘进行切割。

这个问题最早可以追溯到19世纪，由著名的数学家亨利·杜迪尼（Henri Dudeney）提出。

在这个问题中，关键点在于如何找到最优的折叠方法，使得得到的形状与目标形状最接近。

2. 解决方法矩形折叠问题涉及到了几何学、数学分析、最优化等多个学科知识，因此解决这个问题需要综合运用多种方法。

下面我将介绍一些常见的解决方法。

（1）分割法分割法是解决矩形折叠问题的一种常见方法。

首先将目标形状细分成若干个小矩形，然后将原始的长方形纸张按照这些小矩形进行折叠，最后再将边缘上多余的部分切掉，就可以得到最终的形状。

这种方法的关键在于如何将目标形状进行合理的分割，找到合适的折叠点和切割线。

（2）几何分析法几何分析法是另一种解决矩形折叠问题的常见方法。

通过对目标形状的几何特征进行分析，可以找到最优的折叠方法。

这种方法通常需要借助于数学工具，例如微积分、线性代数等，对目标形状进行数学建模，然后通过求解最优化问题，得到最佳的折叠方案。

（3）仿射变换法仿射变换法是一种比较高级的解决方法，它利用了几何变换的性质，将目标形状通过仿射变换映射成一个简单的形状，然后再将纸张按照这个简单的形状进行折叠，最后再通过逆变换将折叠后的纸张映射回原来的形状。

这种方法需要较强的数学功底和熟练的计算能力，但是可以得到非常优美的折叠结果。

3. 相关知识点解决矩形折叠问题需要涉及到很多相关的数学知识点，下面我将逐一介绍这些知识点。

（1）几何形状矩形折叠问题本质上是一个关于几何形状的问题，因此需要熟悉各种几何形状的性质，包括面积、周长、对称性等方面的知识。

在解决矩形折叠问题时，需要对目标形状进行合理的分割和组合，这就需要对几何形状的特征有深入的了解。

（2）数学分析数学分析是解决矩形折叠问题的重要数学工具，通过对目标形状进行数学建模，并利用微积分、线性代数等数学工具，可以求解最优的折叠方案。

例1如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=6，BC=10，则CE的长为多少？分析：根据折叠可知：△ADE≌△AFE⇒AD=AF=BC=10,DE=EF.在Rt△ABF中，AB=6，AF=10,根据勾股定理，得BF==8,所以CF=10-8=2.设CE的长为x,则DE=EF=6-x.在Rt△CEF中，CF=2,CE=x,EF=6-x,根据勾股定理列出方程，即可求出x的长.例2如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,若AB=3,AD=4,你能求折痕EF的长吗？分析：连接AC交EF与点O，由翻折可得到FE垂直平分AC，那么AF=FC，易证△AEO≌△CFO.那么求出OF长，乘2后就是EF长，利用直角三角形ABF求解即可．总结矩形折叠问题解题技巧和关键步骤（1）折叠确定全等等量线段转移（2）求出线段长度（3）设未知数，利用勾股关系建立方程好记性不如烂笔头，快快整理笔记在笔记本上，找题目练练哦！题目已经给你们准备好啦专题小练一．选择题1．（2018•牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（ ）A．6 B．5C．4 D．32．（2019•辽阳）如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP 折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4，则线段AB的长是（ ）3．（2019•桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（ ）4．（2018•朝阳）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（ ）5．（2018•毕节市）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）二．填空题（共4小题）6．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形纸片，将△BCD沿BD折叠，得到△BED，BE交AD于点F，AB＝3．AF：FD＝1：2，则AF＝ ．7．（2019•西藏）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为 ．8．（2019•长春）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC 相交于点G，则△GCF的周长为 ．9．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为 cm．三．解答题10．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．▍ 声明：本文整理自网络，如有侵权，请联系删除。

七年级折叠问题解题技巧一、折叠问题中的基本性质与关系1. 折叠性质在折叠过程中，折叠前后的图形全等。

这意味着对应边相等，对应角相等。

例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，折叠后的三角形与原三角形的对应边长度不变，对应角的大小也不变。

折痕是对应点连线的垂直平分线。

比如将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A与点C重合，那么EF就是AC的垂直平分线。

2. 常见的几何图形中的折叠三角形折叠例1：在△ABC中，∠C = 90°，将△ABC沿着直线DE折叠，使点A与点B 重合，若AC = 6，BC = 8，求折痕DE的长。

解析：因为点A与点B重合，所以DE是AB的垂直平分线。

先根据勾股定理求出AB=公式。

设AB中点为F，则AF=公式。

由于△ADE和△BDE全等，所以AD = BD。

设BD = x，则AD = x，CD = 8 x。

在Rt△ACD中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。

再根据相似三角形，△ADE∽△ABC，公式，即公式，解得DE=公式。

矩形折叠例2：矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将矩形沿对角线AC折叠，求重叠部分（△AEC）的面积。

解析：因为矩形沿对角线AC折叠，所以△ADC≌△AEC。

设AE = x，则BE = 4 x。

在Rt△ABE中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。

所以公式。

二、解题步骤与技巧1. 步骤第一步：根据折叠性质确定相等的边和角。

这是解决折叠问题的基础，只有明确了这些关系，才能进一步进行计算。

第二步：设未知数。

通常根据所求的量或者与所求量相关的线段设未知数，然后利用勾股定理、相似三角形等知识建立方程。

第三步：求解方程。

通过解方程得到未知数的值，从而求出最终答案。

2. 技巧利用勾股定理在直角三角形中，折叠后常常会形成新的直角三角形，此时可以利用勾股定理建立方程求解。

如上述矩形折叠的例子中，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度。

利用相似三角形当折叠后的图形与原图形存在相似关系时，利用相似三角形的对应边成比例来求解。

初二数学四边形的折叠问题技巧初二数学四边形的折叠问题技巧数学中的几何形状是我们学习的重要内容之一。

四边形作为一种常见的几何形状，其折叠问题技巧也是我们需要掌握的。

本文将介绍初二数学中四边形的折叠问题技巧。

一、矩形的折叠问题技巧矩形是一种特殊的四边形，其两对边相等且平行。

在处理矩形的折叠问题时，我们需要注意以下几个技巧。

1. 折叠对角线：将一个矩形沿对角线方向折叠，可以得到重叠的两个直角三角形。

这个技巧在解决一些矩形面积、周长等问题时很有用。

2. 平行线折叠：我们还可以将矩形沿其中一对平行边折叠，使得另外一对平行边重合。

这样可以得到一个与原来矩形相似且大小相等的矩形。

这个技巧在解决一些矩形相似性质的问题时很有帮助。

二、平行四边形的折叠问题技巧平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。

在处理平行四边形的折叠问题时，我们也可以运用一些技巧。

1. 对折：可以将平行四边形沿两对平行边分别对折，使得两对对折线上的点重合。

这样可以证明平行四边形的对角线互相平分。

2. 平移：可以将平行四边形平移，使得相邻两边重合，从而得到一个与原平行四边形相似的形状。

这个技巧在解决一些平行四边形相似或面积问题时很有用。

三、菱形的折叠问题技巧菱形是一种特殊的平行四边形，其四条边相等且对角线垂直。

在折叠菱形时，我们可以运用一些技巧。

1. 中点折叠：可以将菱形沿对角线方向折叠，使得两个对角线的中点重合。

这样可以得到一个与原菱形相似的等腰直角三角形。

2. 对称折叠：可以将菱形沿其中一条对称轴折叠，使得两个顶点重合。

这样可以得到一个与原菱形相似的小菱形。

四、梯形的折叠问题技巧梯形是一种具有一对平行边的四边形。

在折叠梯形时，有如下技巧可用。

1. 平行线折叠：可以将梯形沿长边折叠，使得两个平行边重合。

这样可以得到一个与原梯形相似的矩形。

这个技巧在解决一些梯形相似性质的问题时很有帮助。

2. 对称折叠：可以将梯形沿对称轴折叠，使得两个底边重合。

这样可以得到一个与原梯形相似的小梯形。

长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题是计算几何学中一个经典的问题，需要将一个矩形
单片纸折叠成不同的形状。

根据折叠的方式不同，长方形折叠问题可
以划分为四个类型。

一、矩形对折型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一边对折，得到的形状为一个小矩形。

其面积为原矩形面积的四分之一。

二、两个小矩形型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一个边对折，将得到两个小矩形。

这两个小矩形的面积之和等于原矩形面积。

三、梯形型
将矩形沿着某一边对折后再折成一三角形，将三角形的一条边与另一
边平行，得到的形状为梯形。

梯形的面积为原矩形面积的一半。

四、折叠成立体型
把矩形按一定方式折叠成一个几何立体体，如立方体、正四棱锥等。

这种类型的长方形折叠问题需要对几何概念和立体几何有一定的认识。

无论是哪种类型的长方形折叠问题，其解题方法都需要灵活掌握，考
虑到折叠的方向和次数，从而推导出最终的形状和面积。

长方形折叠
问题不仅能够训练我们的空间想象力，也有助于提高我们的计算能力和数学应用能力。

八年级折叠问题解题技巧一、折叠问题的基本性质1. 对应边相等在折叠过程中，折叠前后重合的边长度相等。

例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，那么折叠后重合的两条边是相等的。

例如，在矩形ABCD中，将矩形沿着对角线AC折叠，那么AB = AF（假设F是B折叠后的对应点）。

2. 对应角相等折叠前后重合的角是相等的。

比如将一个四边形进行折叠，原来的角和折叠后对应的角大小相同。

如在上述矩形折叠的例子中，∠B = ∠F，∠BAC = ∠FAC。

3. 对称轴垂直平分对应点连线如果沿着直线l折叠，A点折叠后得到A'点，那么直线l垂直平分AA'。

这一性质在解决折叠问题中常常用于构建直角三角形等。

二、解题技巧与题目解析1. 利用勾股定理求解折叠后的线段长度题目：如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A落在边CD上的点F处。

求CF的长。

解析：因为矩形ABCD沿BE折叠，所以AB = BF = 3，AE = EF。

在Rt△BCF中，BC = 5，BF = 3，根据勾股定理公式。

即公式。

2. 利用相似三角形解决折叠问题题目：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处。

求DE的长。

解析：根据勾股定理可得公式。

因为△ABC沿AD折叠，所以△ACD≌△AED，所以AC = AE = 6，CD = DE，那么BE = AB AE=10 6 = 4。

设DE = CD=x，则BD = 8 x。

因为∠DEB = ∠C = 90°，∠B是公共角，所以△BDE∽△BAC。

根据相似三角形的性质公式，即公式，解得公式，所以DE的长为3。

3. 利用折叠性质建立方程求解角度题目：将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在点D'处，若∠EFC = 125°，求∠D'EF的度数。

矩形中的折叠问题山东省枣庄市峄城区第二十八中学 潘歌 邮编：277300折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

对于折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

一、求角度例1 如图 把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．【解析】在矩形折叠问题中，折叠前后的对应角相等来解决。

解：根据矩形的性质AD ∥BC ，有∠EFG =∠FEC =58°，再由折叠可知，∠FEC =∠C ′EF =58°，由此得∠BEG =64°例2 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD = 度．【解析】折叠前后的对应角相等．解：BC 、BD 是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC ，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90°．例4 如图 四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）8【解析】在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决．解：由折叠可知，AE =AB =DC =6，在Rt △ADE 中AD =6，DE =3由勾股定理，得AD =33，设EF =x ，则FC =x -33，在Rt △EFC 中由勾股定理求得x =32,则EF =32，在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF =A ．A B CDEFA B E C D F G C 'D 'C三、求图形面积例5如图3-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm解析：折叠后重合部分为直角三角形． 解：重合部分其面积为22122=⨯⨯，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 － 两个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（2cm ）．故选B ．∴62 + (8 - x )2 = x2解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754 cm2四、数量及位置关系例7 如图 将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF =． （2）AE BD ∥ 【解析】（1）欲证明BF =DF ，只需证∠FBD =∠FDB ； （2）欲证明AE BD ∥，则需证AEB DBE ∠=∠。