中考数学专题复习16矩形折叠问题(最新整理)

中考数学专题复习矩形折叠问题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】中考数学专题复习16——矩形折叠问来源：【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】 2012年05月18日2012中考数学专题复习16矩形折叠问题一.知识要点折叠问题实质是轴对称问题，其主要特征有：1．图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等。

2．点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。

问题化归：1．直角三角形的三边关系（勾股定理）2．图形（三角形或四边形）的面积3．相似三角形的对应边成比例。

由以上等量关系得出方程解决问题。

二.例题精选例1．在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将图形沿着AE对折，使得D点落在BC边上的F处，试求EC的长.思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出其他线段长度）例2．在长方形ABCD中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC对折，如图所示：（1）请说明△ABF△CFF （2）求思路分析：在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了.例3. 在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，将图形沿着EF对折，使得B点与D点重合。

（1）说明DE=DF（2）求（3）求EF的长度思路分析：（1）要说明DE=DF，有两种思路：①可说明全等；②可说明△DEF是等腰三角形，DE、DF是两腰所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰例4 如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B 落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．(1)如图②，若M为AD边的中点，①,△AEM的周长=_____cm；②求证：EP=AE+DP；(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．思路分析：（1）①设AE=x，由折叠的性质可知EM=BE=12-x，在Rt△AEM中，运用勾股定理求AE；②过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接BM，根据折叠的性质得点B和点M关于EF对称，即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求EF的问题转化为求BM；（2）设AE=x，AM=y，则BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长．三.能力训练1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.A．2＋ B．2＋2 C．12 D．182. 如图，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．13.如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于（）（A）144° （B）126° （C）108° （D）72°4.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合点为A＇，则△A＇BG的面积与该矩形的面积比为（）A． B． C． D．第4题图第5题图5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，则AM的长是（）A． B．2 C． D．6. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm7. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8. 小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．9.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm.10.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.思维拓展：1. 如图，折叠矩形的一边AD，折痕为AE，点E在边CD上，折叠后点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求AE的长.2.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕,且，求直线CE与x轴交点P的坐标；3.已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

矩形的折叠问题折叠的规律：1、重叠部分的线段、角相等。

2、对应点的连线段被折痕垂直平分。

例1、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。

例2、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。

（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。

（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。

（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是 。

分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。

问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。

另外，还可以从另一个角度分析。

由折痕BD 可以找到∠OBD=∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB=∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB=OD 。

这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。

问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。

因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以列勾股定理的等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。

下面的这个题目就是用这个思路解决的。

例3、已知：如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB ，OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 坐标为（0,3），∠OAB ＝60°,以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D点的坐标.OA CB E D例4、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。

矩形中的折叠问题山东省枣庄市峄城区第二十八中学 潘歌 邮编：277300折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

对于折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

一、求角度例1 如图 把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．【解析】在矩形折叠问题中，折叠前后的对应角相等来解决。

解：根据矩形的性质AD ∥BC ，有∠EFG =∠FEC =58°，再由折叠可知，∠FEC =∠C ′EF =58°，由此得∠BEG =64°例2 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD = 度．【解析】折叠前后的对应角相等．解：BC 、BD 是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC ，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90°．例4 如图 四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）8【解析】在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决．解：由折叠可知，AE =AB =DC =6，在Rt △ADE 中AD =6，DE =3由勾股定理，得AD =33，设EF =x ，则FC =x -33，在Rt △EFC 中由勾股定理求得x =32,则EF =32，在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF =A ．A B CDEFA B E C D F G C 'D 'C三、求图形面积例5如图3-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm解析：折叠后重合部分为直角三角形． 解：重合部分其面积为22122=⨯⨯，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 － 两个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（2cm ）．故选B ．∴62 + (8 - x )2 = x2解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754 cm2四、数量及位置关系例7 如图 将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF =． （2）AE BD ∥ 【解析】（1）欲证明BF =DF ，只需证∠FBD =∠FDB ； （2）欲证明AE BD ∥，则需证AEB DBE ∠=∠。

矩形中的折叠问题一、折叠问题常见的类型有：二、与折叠有关的计算常用性质：(1)折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形；①线段相等：ED′＝_____，EG＝_____，FD′＝____；②角度相等：∠D′＝_____，∠D′EG＝________；③全等关系：四边形FD′EG≌________________．(2)折痕可看作垂直平分线：GF⊥____，AO＝_____(折痕垂直平分连接两个对应点的连线).(3)折痕可看作角平分线：∠EGF＝________(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等).类型一沿矩形对角线折叠1、如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18，将△ADC沿AC折叠至△AD′C(点D的对应点为D′)，AD′交BC于点E.(1)BE的长为_____；(2)△ACE的面积为_____．类型二折痕过矩形的一个顶点2、将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：图①图②(1)如图①，将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处．(2)如图②，将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M.若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是( )A.135°B. 120°C. 112.5°D. 115°3、在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC边上的一点，将△ABE沿AE折叠至△AB′E(点B的对应点为点B′)．(1)如图①，当点B′落在AD边上时，则CE的长为_____；(2)如图②，当B′C∥AE时，则BE的长为_____；4、如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平，E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN 上．若CD＝5，则BE的长是________．5、如图，在矩形ABCD 中，AD＝5，AB＝a，点E在DC上，且DE＝59a，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为点D′，若D′落在线段BC的垂直平分线上，则a的值为_______．图①图②6、如图，矩形ABCD中，点P为AD上一个动点，以PB 为对称轴将△APB折叠得到△EPB，点A的对称点为点E，射线BE交矩形ABCD的边于点F，若AB＝4，AD＝6，当点F为矩形ABCD边的中点时，AP的长为_____．7、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM13=AD，BN13=BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将DCE沿DE所在直线翻折得到DC E'，当点C'恰好落在直线MN上时，tan∠DEC的值是_______．8、如图1，F是矩形ABCD边上一点，将矩形沿AF折叠，点D落在BC上点E处，G是BC上一点（如图2），将ABG沿AG折叠，点B落在AE上点H处，如图3，若GHE△的两条直角边的比为3:4，则ADAB=_________．9、综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ 与∠CBQ的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．类型三折痕经过矩形的两边1.折痕过邻边的两点10、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E，F分别是边BC，CD上的点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当△AEC′是以AE为腰的等腰三角形时，BE 的长为________．2. 折痕过对边的两点11、如图，将▱ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A＝60°，AD ＝4，AB ＝6，则AE 的长为______．12、在矩形ABCD 中．AB ＝4，BC ＝8，点E 、P 分别是线段BC 、AD 上的点． (1)如图①，将矩形ABCD 沿直线PE 折叠，使顶点B 恰好落在顶点D 处，则折痕PE 长为________；(2)如图②，将矩形纸片ABCD 沿直线PE 折叠，则图中阴影部分的周长为________； （3）如图③，将矩形ABCD 沿直线PE 折叠，使点B 恰好落在CD 边的三等分点处，则折痕PE 的长为________；13、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6, AD ＝8，将此矩形折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点D ′处，折痕为EF ，则AD ′的长为________， DD ′的长为________．图③图①图②答案1、答案5 782、答案C3、答案2、3解析：4、10√33解析：5、33【解析】6、43或4104【解析】如图1中，当点F 是AD 的中点时， ∵四边形ABCD 是矩形， ∵∵A ＝90°，AB ＝6，AF ＝3， ∵BF ＝22AB AF +＝2243+＝5，由翻折可知：AB ＝BE ＝4，设P A ＝PE ＝x ，则PF ＝3﹣x ，EF ＝5﹣4＝1，在Rt∵PEF 中，∵PE 2+EF 2＝PF 2， ∵x 2+12＝（3﹣x ）2， ∵x ＝43， ∵P A ＝43如图2中，当点F 是CD 的中点时，延长AD 交BF 的延长线于H ．∵∵C ＝90°，BC ＝6，CF ＝DF ＝2， ∵BF ＝22BC CF +＝210， ∵DH ∵BC ， ∵∵H ＝∵FBC ，∵∵DFH ＝∵BFC ，DF ＝FC ， ∵∵DHF ∵∵CBF （AAS ），∵DH ＝BC ＝6，FH ＝BF ＝210， ∵AB ＝BE ＝4，∵EF ＝210﹣4，EH ＝210﹣4+210＝410﹣4， 设P A ＝PE ＝y ，则PD ＝6﹣y ，PH ＝6﹣y +6＝12﹣y ， 在Rt∵PEH 中，∵PE 2+EH 2＝PH 2， ∵y 2+（410﹣4）2＝（12﹣y ）2， ∵y ＝41043-，∵P A ＝41043-， 综上所述，P A 的长为43或41043-．故答案为：43或41043-．7、解：如图1，当E 点在B 点左侧时，由折叠可知，CD ＝C 'D ，∵AB ＝5，BC ＝6，AM 13=AD ，BN 13=BC ，∵AM ＝2，BN ＝2，∵MD ＝4，在Rt ∵DMC '中，C 'M 222516C D MD =-=-'=3，∵tan ∵C 'DM 34=，∵∵C 'DM +∵MC 'D ＝90°，∵MC 'D +∵EC 'M ＝90°，∵∵C 'DM ＝∵EC 'M ，∴''tan tan C DM EC M ∠=，∵34EN C N '=，∵348EN=，∵EN ＝6，∵CE ＝10，∵tan ∵DEC 51102CD EC ===；如图2，当E 点在B、C 之间时，由折叠可知，CD ＝C 'D ＝5，∵MD ＝4，∵C 'M ＝3，∵C 'N ＝2，设CE ＝x ，则C 'E ＝x ，NE ＝4﹣x ，在Rt ∵NEC '中，C 'E 2＝NE 2+C 'N 2，∵x 2＝(4﹣x )2+4，∵x 52=，∵EC 52=，∵tan ∵DEC 552CD EC ===2；综上所述：tan ∵DEC 的值为2或12， 故答案为：2或12． 8、53或54【解析】∵GHE △的两条直角边的比为3:4， ∴34GH HE =或43GH HE =． ①当34GH HE =时，设3GH m =，则4HE m =， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90B D ∠=∠=︒．由题意ABG 折叠形成GHE △，∴90GHE D ∠=∠=︒，3BG GH m ==， ∴225GE GH HE m =+=，∴8BE BG GE m =+=， ∵3tan tan 4GEH AEB ∠=∠=， ∴34AB GH BE HE ==， ∴6AB m =， ∴2210AE AB BE m =+=．由题意ADF 折叠形成AEF ，∴10AD AE m ==， ∴10563AD m AB m ==． ②当43GH HE =时，设4GH n =，则3HE n =， 由①得90GHE D ∠=∠=︒，4BG GH n ==， ∴225GE GH HE n =+=，∴9BE BG GE n =+=， ∵4tan tan 3GEH AEB ∠=∠=， ∴43AB GH BE HE ==， ∴12AB n =． ∴2215AE AB BE n =+=，由题意ADF 折叠形成AEF ，∴15AD AE n ==， ∴155124AD n AB n ==． 故答案为：53或54．9、（1）BME ∠或ABP ∠或PBM ∠或MBC ∠（2）①15，15；②MBQ CBQ ∠=∠，理由见解析（3）4011AP =cm【解析】（1）由折叠可得，点E 是AB 的中点，AB ＝BM ，∠BEM ＝90°，∠ABP ＝∠PBM ，EF ∥BC ，在Rt △BEM 中，∵sin ∠BME ＝ ，∴∠BME ＝30°，∴∠MBC ＝∠BME ＝30°，∴∠ABM ＝60°，∴∠ABP ＝∠PBM ＝30°，故可填：∠ABP 或∠PBM 或∠MBC 或∠BME.（2）①由(1)可知，∠MBC ＝30°，∵BM ＝BA ＝BC ，∠BMQ ＝∠C ＝90°，BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌△BCQ(HL)，∴∠MBQ ＝∠CBQ ＝15°.②MBQ CBQ ∠=∠理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°.由折叠的性质，得BM ＝AB ，∠BMP ＝∠A ＝90°．∴∠BMQ ＝∠C ＝90°，BM ＝BC.∵BQ ＝BQ ，∴Rt △MBQ ≌Rt △CBQ(HL).∴∠MBQ ＝∠CBQ ；（3）4011AP =cm 理由如下：当点Q 在CF 上时，如解图，∵BM ＝BA ＝BC ，∠BMQ ＝∠C ＝90°， BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌Rt △BCQ(HL)，∴MQ ＝CQ ＝4－1＝3，∴DQ ＝5，设AP ＝x ，则PD ＝8－x ，PQ ＝3＋x ，在Rt △PDQ 中，由勾股定理得(8－x)2＋52＝(3＋x)2，解得x ＝4011 ；10、43 或 78【解析】①当AE ＝AC ′时，如图，过点A 作AG ⊥C ′E 于点G ，∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°，∠AEG ＋∠FEG ＝90°，∵∠FEC ＝∠FEC ′，∴∠AEB ＝∠AEG ，在△ABE 和△AGE 中，90ABE AGE AEB AEG ,AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△AGE(AAS)，∴EG ＝BE ，设BE ＝x ，则CE ＝C ′E ＝4－x ，∵AE ＝AC ′，AG ⊥C ′E ，∴C ′E ＝2EG ＝2BE ＝2x ，∴4－x ＝2x ，解得x ＝43 ；②当AE ＝C ′E 时，∵C ′E ＝4－x ，AB ＝3，BE ＝x ，∴AE 2＝AB 2＋BE 2，∴32＋x 2＝(4－x)2，解得x ＝ 78 . 综上所述，BE 的长为 43 或 78 . 11、19412、5 24解析403799或13、 6，145【解析】如解图，过点F 作FG ⊥D ′D 于点G ，连接AC ，交EF 于点H ，∴AC ＝AB 2＋BC 2 ＝62＋82 ＝10.由折叠的性质可知，AD ′＝CD ＝6，AH ＝CH ＝12A C ＝5，∠AD ′F ＝∠ADC ＝90°，AC ∥DD ′，DF ＝D ′F ，设DF 的长为x ，则AF ＝8－x ，在Rt △AD ′F中，AF 2＝AD ′2＋D ′F 2，即(8－x )2＝62＋x 2，解得x ＝74 ，∴AF ＝254，∵AC ∥DD ′，∴△FGD ∽△FHA ，∴GD FD ＝HA F A ，即GD 74 ＝5254，解得GD ＝75 ，∴DD ′＝2GD ＝145.。