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克莱姆法则

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克莱姆法则

克莱姆法则
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相 比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的 。
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。

克莱姆 法则

克莱姆 法则

b1 ，b2 ， ，bn 全为零，则此方程组称为 n 元齐次线性方程组，即
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 ， a2n xn 0 ，
ann xn 0 ．
（ 1-16 ）
相关概念
方程组（1-15）的系数 aij 构成的行列式
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6 2
81 ， D2
1 0
9 5
0 1
6 108 ， 2
0 4 7 6
1 0 7 6
2 18 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
27 ， D4
1 0
3 2
0 1
9 27 ， 5
140 6
1 4 7 0
所以， x1
D1 D
81 27
3 ， x2
根，则 f (x) 是一个零多项式。 证明：设 a1 ，a2 ， ，an1 是 f (x) 的 n 1 个不同的根，即
c0 c0
c1a1 c1a2
c2a12 c2a22
cna1n 0 ， cna2n 0 ，
c0
c1an1
c2
a2 n1
cn
an n 1
0，
这是以 c0 ，c1 ， ，cn 为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为
．
1 a1 a12 1 a2 a22
a1n
11
1
a2n
a1 a2
an1
D 1 a3 a32
a3n a12 a22
a2 n 1
1 an1
a2 n 1
an n 1

行列式克莱姆法则

行列式克莱姆法则
详细描述
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS

carmer法则

carmer法则

carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。

这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。

不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。

克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。

具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。

然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。

实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。

因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。

此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。

即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。

总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。

克莱姆法则

克莱姆法则
称为方程组的系数行列式。 称为方程组的系数行列式。 系数行列式
a1n a2n L ann
,
3
当 D ≠ 0 时，方程组有且仅有一个解 Dj xj = j =1,2,L, n D 其中
a11 L a1 j−1 b1 Dj = ai1 L aij−1 bi
a1 j+1 L a1n aij+1 L ain anj+1 L ann
(1)
D≠0
则（1）只有惟一的零解。 ）只有惟一的零解。
定理3 齐次方程组（ ） 定理 齐次方程组（1） 有非零解
6
例3
解齐次方程组
x1 + 3x2 + 2x3 = 0 2x1 − x2 + 3x3 = 0 3x + 2x − x = 0 2 3 1
解
1 3 D = 2 −1 3 2
2 3 = 42≠ 0 −1
因此方程组只有零解
x1 = x2 = x3 = 0
7
例4
λ 取何值时下列齐次方程组有非零解
λx1 + x2 + x3 = 0 x1 + λx2 + x3 = 0 x + x + λx = 0 3 1 2
解
λ 1 1 1 1 1 1 1 1 D = 1 λ 1 = (λ + 2)1 λ 1 = (λ + 2) 0 λ −1 0 1 1 λ 1 1 λ 0 0 λ −1
这样求解二元一次方程组归结为求三个二阶行列式 的值。 同样用此方法可解n元一次方程组。 元一次方程组。 的值。 同样用此方法可解 元一次方程组
2
定理1（克莱姆法则） 定理 （克莱姆法则） 个方程， 当含有 n 个方程，n 个未知数的线性方程组

1.4 克莱姆( Cramer )法则

1.4 克莱姆( Cramer )法则
24
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2

线性代数课件1-5克莱姆法则


线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保

克莱姆(Cramer)法则


0 2 1 2
1 4 7 6
又
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
Байду номын сангаас
1 4 7 0
1 cn cn2 cnn
为 n+1阶范德蒙行列式的转置,故D≠0 .由定
理1.4.2,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,从
而 an=0,此与题设条件矛盾.
n
bk Akj ( j 1,2,, n)
k 1
于是
n aij
j 1
Dj D
1 D
n j 1
aij
n
( bk
k 1
Akj )
1 D
nn
aijbk Akj
j1 k 1
1 D
n
(
k 1
n
aij Akj
j 1
)bk
1 D
bi
(
n
aij Aij
j 1
)
1 D
bi D
bi
(i 1,2,,n)
k1 1 D 1 k 1 (k 1)(k 4)
2 1 1
所以, k = 1或k=4 ，且易验证k = 1或k=4 时方程组确有非零解.
例1.4.4 试证: n次多项式
f (x) a0 a1x an x n (an 0)

线性代数—克莱姆法则

线性代数—克莱姆法则
克莱姆法则是由现代数学家狄里克·克莱姆在十九世纪二十年代初发现的一种数学方法，用于快速地解决某些复杂的非线性方程组。

该法则主要有四步：（1）假设一组未知量；（2）求解该组方程；（3）核查解的有效性；（4）如果解有效，则接受该解；否则更改第1步中的未知量，然后重新开始这一过程。

克莱姆法则的运用是基于线性代数中最优化方程组的求解，即确定未知连续变量的值来最大程度地满足非线性方程组限制条件的过程。

由于该法则具有容易理解、计算方便、解结构同构完整、解复杂度小等特点，因而迅速受到业界的欢迎，成为现代线性代数常用的求解方法之一。

克莱姆法则应用于显式多元线性方程组中，它假设这一方程组具有唯一的解，并通过将该方程组映射到另一个虚拟方程组来解决。

它也可以用来求解隐式的多元线性方程组，其优点是能够有效规避数值问题。

实际应用中，克莱姆法则也往往与其它数值技术相结合，如子程序法、减法法等，为解决最优化问题提供了更强大的解决方案。

同时，该法则也被拓展应用到其它领域（如运筹学），并在控制工程和机器人学等领域大量使用。

1.3 克莱姆(Cramer)法则


个方程相加， 再将 n 个方程相加，得
n n n n ∑ ak 1 Ak 1 x1 + ∑ ak 2 Ak 1 x2 + L + ∑ a k n Ak 1 xn = ∑ bk Ak 1 . k =1 k =1 k =1 k =1
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
考虑齐次线性方程组
显然，它总存在一组全为零的解(称为零解) 显然，它总存在一组全为零的解(称为零解)： 零解
x1 = x2 = L = xn = 0 .
定义 若齐次线性方程组的一组解不全为零 则称为非零解 若齐次线性方程组的一组解不全为零, 则称为非零解 非零解.
8
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
定理 若齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 , 则它只有零解 则它只有零解. 证明 由于当线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时有惟一解， 由于当线性方程组的系数行列式 时有惟一解， 线性方程组 故齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时只有零解. 齐次线性方程组的系数行列式 时只有零解 推论 若齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式必为零 若齐次线性方程组有非零解, 则其系数行列式必为零. (此为上述定理的逆否命题) 此为上述定理的逆否命题) 思考 (1) 若齐次线性方程组的系数行列式 D = 0 , 则它是否 一定有非零解？ 即定理的否命题是否成立？ 一定有非零解？ (即定理的否命题是否成立？) (2) 齐次线性方程组有非零解和它对应的非齐次线性 齐次线性方程组有非零解 有非零解和它对应的非齐次线性 方程组有无穷多解有何联系？ 方程组有无穷多解有何联系？ 有无穷多解有何联系 9
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14 0 6
27 27
=
1
2 1 5 8
1 D4 0
3 2
0 1
9 5
=27
x4
D4 D
27 27
1 4 7 0
=1
A
7
二、齐次线性方程组有非零解的充要条件
齐次线性方程组:
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a21x1
a22x2 a2n xn
0
an1x1 an2 x2 annxn 0
a21x1 an1x1
a22x2 a2nxn
an2x2 annxn
b2 bn
的系数行列式 a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
0
an1
aA n2
ann
2
则该线性方程组有且仅有唯一解:
x1D D 1,x2D D 2, ,xnD D n
其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即
(1)未知数个数等于方程个数
(2)系数行列式D0
A
4
2 x1 x2 5 x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 2x
3 2
x2 x3
6 x4 2 x4
9
5
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
解: 方程组的系数行列式
2 1 5 1
1 3 0 6
D 0
2
1
2 =27 0
1 4 7 6
a11 a1,j1
Dj
a 21
a2,j1
b1 a1,j1
b2 a2,j1
a1n a2n
an1 an,j1 bn an,j1 ann
A
3
定理中包含三个结论:
(1)方程组有解
(2)解是唯一的
(3)解由公式
xj
Dj D
( j=1,2,...,n)给出
注: 用克莱姆法则解线性方程组必须有两 个前提条件:
显然,齐次线性方程组总是有解的.因为 x1=0, x2=0,, xn=0就是一个解,它称为零解.
齐次线性方程组除了零解以外还有没
有其它解,即非零解? A
8
定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则 齐次线性方程组的系数行列式D=0. [证] 若D0
由克莱姆法则知齐次线性方程组只有 唯一的零解.
与已知矛盾
§1.3 克莱姆法则
1.克莱姆法则
2.齐次线性方程组有非零解的充要条件
我们已经知道,在一定条件下,二元(或
三元) 线性方程组的解可以用二阶(或三
阶)行列式表示出来.那么,对于n元线性方
程组能否用n阶行列式来表示?
A
1
一、克莱姆法则
定理二(克莱姆法则) 设线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
D=0
A
9
注: 由定理三可知,齐次线性方程组的系
数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解 的必要条件.
在第四章将会看到,D=0也是齐次线性 方程组有非零解的充分条件.
综合上述,得到: 齐次线性方程组有非 零解的充要条件是系数行列式D=0.
A
10
例2 取何值时,下述齐次线性方程组有非
零解?
( 1)x1 x2 x3 0 x1 ( 1)x2 x3 0 x1 x2 ( 1)x3 0
解:
1 1 1
D 1 1 1 =(+3)2
1 1 1
齐次线性方程组有非零解 D=0
A
= 3或0 11
A
5
由克莱姆法则知,方程组有唯一解
8 1 5 1

9 D1 5
3 2
0 1
6 2
=81
x1
D1 D
81 27
0 4 7 6
=3
2 8 5 1
1 D2 0
9 5
0 1
6 2
=
108
x2
D2 D
1 0 7 6 A
108 27
=
4
6
21 8 1
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
=
27
x3
D3 D