下载文档原格式
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
关于克莱姆法则推论的证明补充
克莱姆法则也称为克莱米法则，它原本是一种量子物理的定理，表示粒子在同一时间点中
的状态不会改变。
但是，它也被拓展到非物理领域，比如传播学、组织管理等，进而变成
一种推论原则。
在克莱姆法则下，如果对一个系统进行了动力学模型建模，那么这个系统
会处于一种恒定的状态，即势能是恒定的，即大小不会发生改变。
克莱姆法则的推论原理提供了无限多的用途。
简而言之，它主要是建立在动能定律的基础
上的，意思是某一当前状态中，一切不变量、势能、运动量等任何不能发生变化的对象都
是恒定不变的。
换句话说，它针对的是在系统中没有任何外力或是刺激作用，自身状态不
变的情况，强调量子系统不能自己波动或变化。
证明克莱姆法则推论原理的关键是概括它所涉及的动力学概念，即系统的势能不会改变。
根据牛顿的动力学第三定律，“当物体作用于某物上的力之和为零，动能不会改变”，即
动能是恒定的，没有发生任何变化，所以，可以证明某些特定情况下，量子状态不会改变，也就是克莱米法则。
克莱姆法则不仅涉及动力学定律，而且在有条件的情况下可以实际应用到传播学、组织管
理等领域，对于满足条件的系统的行为进行预测，即处于恒定状态。
如果物体能改变它自
身的动能，即表现出不稳定的状态，这是很难有结论的。
证明克莱米法则推论的完整性要
求认真地研究大量的数学等公式，以便满足外界的一致性要求，说明克莱米法则中所涉及
的假设系统条件。
线性代数培训之收获——对“克莱姆法则”的一个新教案有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。
李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。
李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n阶行列式在几何上表示“n维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。
对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。
这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。
§7克莱姆法则一、教学内容(1) 克莱姆法则的证明(2) 克莱姆法则的应用二、教学要求（1）理解克莱姆法则的证明（2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解（3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D≠0，方程组只有零解教学过程一、（定理1）克莱姆法则若n×n线性方程组⑴的系数行列式D=则方程组⑴有唯一解：x=x=,x=. ⑵其中D(i=1,2,,n)是把系数行列式D中的第i列的元素用方程组⑴右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即D=.证：先证明⑵式是方程组⑴的解.要证⑵式是方程组⑴的解，只需把它代入方程组⑴的第i个方程，如果左端也等于bi ，则说明⑵确是方程组⑴的解.将⑵代入方程组⑴的第i个方程的左端，并把D按照第i列展开，第i个方程的左端=a +a++a=(aD+aD++aD)=[ a(bA11+b2A21++biAi1++bnAn1)+ai2 (bA12+b2A22++biAi2++bnAn2)++ain(bA1n+b2A2n++biAin++bnAnn)]=[b1(ai1A11+ai2A12++ainA1n)+b2(ai1A21+ai2A22+ +ainA2n)++bi (ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin)++bn(ai1An1+ai2An2++ainAnn)]根据行列式按行展开法则，可以看出，上面最后一式的方括中只有bi的系数是D ，而其他bk(k≠i)的系数都是零，从而第i个方程的左端=a+a++a=（bi D）=bi =第i个方程的右端, i=1,2,,n.故⑵确是方程组⑴的解.再证明解的唯一性.若方程组⑴还有一个解：x1=c1 , x2=c2 ,,xn=cn⑶只要证明⑶与⑵相同即可.将⑶代入方程组⑴，得⑷现在构造一个新的行列式c1 D=（即在D的第1列乘以c1）给此行列式的第2，3，，n 列分别乘以c2，c3,,，cn后都加到第1列，得c1D=根据⑷式，得c1D==D1, 因为D≠0,所以 c1=.同理可证，c2=,, cn=.唯一性得证.（说明：我们学校现使用同济大学数学教研室编《工程数学：线性代数（第三版）》，其中克莱姆法则的证明（现略）,笔者认为，有以下几点值得商榷和改进：一是先证明解的唯一性，后验证解的存在性，是否符合思维逻辑？因为没有解的存在性这个前提，怎么谈解的唯一性？二是在解的唯一性的证明中所用的技巧很强与前面行列式的性质联系不够，教学实践也证明学生难以理解，而且不具备数学中证明很多“唯一性”问题的一般方法.因为一个好的方法应是一般性的、具有“以不变应万变”的功效，而且应充分利用学生已知的知识，化未知为已知，这是非常重要的数学思想方法。
线性代数培训之收获——对“克莱姆法则”的一个新教案有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。
李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。
李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n 阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n 阶行列式在几何上表示“n 维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。
对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。
这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。
§7克莱姆法则一、教学内容(1) 克莱姆法则的证明(2) 克莱姆法则的应用二、教学要求（1）理解克莱姆法则的证明（2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D ≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解（3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D ≠0，方程组只有零解 教学过程一、（定理1）克莱姆法则若n ×n 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, ⑴ 的系数行列式D=,0212222111211≠nn n n nna a a a a a a a a则方程组⑴有唯一解：x 1=,1D D x 2=,2D D ,x n =DD n . ⑵ 其中D i (i=1,2, ,n)是把系数行列式D 中的第i 列的元素用方程组⑴右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即D i =nn i n n i n n ni i ni i a a b a a a a b a a a a b a a1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-.证：先证明⑵式是方程组⑴的解.要证⑵式是方程组⑴的解，只需把它代入方程组⑴的第i 个方程，如果左端也等于b i ，则说明⑵确是方程组⑴的解.将⑵代入方程组⑴的第i 个方程的左端，并把D i 按照第i 列展开，第i 个方程的左端=a 1i D D 1+a 2i D D 2+ +a in D D n =D 1(a 1i D 1+a 2i D 2+ +a in D n ) =D1[ a 1i (b 1A 11+b 2A 21+ +b i A i1+ +b n A n1)+ a i2 (b 1A 12+b 2A 22+ +b i A i2+ +b n A n2)++a in (b 1A 1n +b 2A 2n + +b i A in + +b n A nn )] =D1[b 1(a i1A 11+a i2A 12+ +a in A 1n )+ b 2(a i1A 21+a i2A 22+ +a in A 2n )++b i (a i1A i1+a i2A i2+ +a in A in )++b n (a i1A n1+a i2A n2+ +a in A nn )] 根据行列式按行展开法则，可以看出，上面最后一式的方括中只有b i 的系数是D ，而其他b k (k ≠i)的系数都是零，从而第i 个方程的左端=a 1i D D 1+a 2i D D 2+ +a in DD n =D 1（b i D ）=b i =第i 个方程的右端, i=1,2, ,n.故⑵确是方程组⑴的解.再证明解的唯一性.若方程组⑴还有一个解：x 1=c 1 , x 2=c 2 , , x n =c n ⑶只要证明⑶与⑵相同即可.将⑶代入方程组⑴，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111,, ⑷ 现在构造一个新的行列式c 1 D=nn n n nna a c a a a c a a a c a211222*********（即在D 的第1列乘以c 1）给此行列式的第2，3， ，n 列分别乘以c 2，c 3, ,，c n 后都加到第1列，得c 1D= nn n n nn n n nn n nn n a a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a2221122222221211121212111+++++++++根据⑷式，得c 1D=nnn n nna ab a a b a a b222221121=D 1, 因为 D ≠0,所以 c 1=D D 1. 同理可证，c 2=D D 2, , c n =D D n . 唯一性得证.（说明：我们学校现使用同济大学数学教研室编《工程数学：线性代数（第三版）》，其中克莱姆法则的证明（现略）,笔者认为，有以下几点值得商榷和改进：一是先证明解的唯一性，后验证解的存在性，是否符合思维逻辑？因为没有解的存在性这个前提，怎么谈解的唯一性？二是在解的唯一性的证明中所用的技巧很强与前面行列式的性质联系不够，教学实践也证明学生难以理解，而且不具备数学中证明很多“唯一性”问题的一般方法.因为一个好的方法应是一般性的、具有“以不变应万变”的功效，而且应充分利用学生已知的知识，化未知为已知，这是非常重要的数学思想方法。
基于以上想法，，本文给出克莱姆法则的一个简捷的证明. 先证明了解的存在性，再证明了解的唯一性，在证明中充分应用了行列式的性质和行列式的展开定理，学生容易理解，而且具有一定意义的数学教育价值.另外，不足之处是，能否象李老师所说引导学生去自然而然的发现这个定理，而不是一开始直接给出这个定理，再去证明，本人目前还没有好的方法，有待继续考虑。
）例1 解线性方程组（现略）（说明：这是一个含有4个未知数4个方程的非齐次线性方程组，其目的是熟悉克莱姆法则的内容和直接的、简单的应用，也使学生对克莱姆法则从一般到特殊有感性的认识，加深学生对克莱姆法则的理解和应用。
）定理1的逆否定理为：定理1ˊ若线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式D=0二、齐次线性方程组的克莱姆法则若线性方程组（1）中的所有的常数项全为0，即b 1=b 2=…=b n =0, 若线性方程组（1）称为齐次线性方程组。
事实1：齐次线性方程组必有解，如x 1=x 2=…x n =0一定是它的解。
这个解称为它的零解。
如果有一组不全为0的数是它的解，则这个解称为它的非零解。
事实2：若齐次线性方程组有一个非零解，则它有无穷多解。
（说明：这2个事实不难证明，它们在后续的学习中反复遇到，而且可以以不同的形式出现：如零向量可以用任意一组向量线性表示，特别是事实2为后续学习齐次线性方程组的解的结构设下伏笔，正如李老师所说很多内容事实上是一回事，只是表现形式不同而已，这里讲透了以后可以少讲，这样使得学生精装上阵，减轻学生头脑的负担，先将书由薄读厚，再由厚读薄。
）定理2 若n ×n 齐次线性方程组的系数行列式D ≠0，则此齐次线性方程组只有零解。
定理2的逆否定理为：定理2ˊ若n ×n 齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0。
证：用反证法。
假设D ≠0，则由 克莱姆法则可知该齐次线性方程组线性方程组有唯一解x 1=,1D D x 2=,2D D ,x n =DD n 。
而D 1=D 2=…D N =0,因此唯一解是零解，这与有非零解相矛盾。
故D=0。
注1：定理2ˊ的逆命题也成立，即若n ×n 齐次线性方程组的系数行列式D=0，则它一定有非零解。
（第三章证明）注2：关于更一般的m ×n 线性方程组的情况在本书第三章讨论。
例2 设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(2,0)6(2,022)5(3121321x x x x x x x λλλ有非零解，问λ取何值？ 解 由定理2ˊ可知，若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0，即D=λλλ---402062225=()()()()()λλλλλ-------6444465 =()()()λλλ---825=0 从而得2=λ或5=λ或8=λ。
（说明：齐次线性方程组的情形是线性方程组的特例，从而定理2和定理2ˊ分别是定理1和定理1ˊ的特例，分别由定理1和定理1ˊ演绎得到。
数学教学中，归纳和演绎无处不在，我们要给学生强调一般化和特殊化的关系，这容易被忽视。
特别是定理2ˊ的逆命题我们还没有证明，所以这里的例2是将原例题改变而成，原例题是问λ取何值时，此齐次线性方程组有非零解。
这样，更符合逻辑，好让学生懂数学，让学生更好的掌握知识。
因为李教授说我们不但要教数学，也要教学生，不但要懂数学，更要懂学生。
）兰州交通大学李兴东2007，11，22。
