8第八讲_赤平投影

一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。

其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。

如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。

2.球面：投影球的表面称为球面。

3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。

4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。

当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。

5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。

当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。

赤平投影图原理
赤平投影图是一种地图投影方法，用于将地球表面的经纬度坐标转化为平面坐标。

赤平投影图的原理是将地球表面投影到一个平面上，使得地球上的点在投影平面上的位置与其在地球上的位置保持一致。

赤平投影图的基本原理是将地球投影到一个与地球赤道平行的平面上。

在赤平
投影图中，地球的赤道线被映射为一条直线，而其他纬度线则呈现出一种放射状的形态。

经度线在赤平投影图上呈现为平行于赤道线的直线。

赤平投影图的优点是保持了地球表面上的角度关系和形状关系，使得地球上的
点在投影平面上的位置相对准确。

然而，赤平投影图也存在一些缺点，如在高纬度地区，地图的形状会出现扭曲，使得地图上的距离和面积不再准确。

为了绘制赤平投影图，需要使用一些数学公式和计算方法。

首先，需要确定投
影中心的经度和纬度。

然后，根据地球上的点的经纬度坐标，利用公式计算出该点在投影平面上的坐标。

最后，将计算得到的坐标绘制在地图上，形成赤平投影图。

赤平投影图在地图制作、导航、航海等领域有着广泛的应用。

通过赤平投影图，人们可以更直观地了解地球的地理特征和分布情况。

同时，赤平投影图也为地理信息系统（GIS）的开发和应用提供了基础。

总结起来，赤平投影图是一种将地球表面的经纬度坐标转化为平面坐标的方法。

它通过将地球投影到一个与赤道平行的平面上，保持了地球上点的位置关系。

赤平投影图在地图制作和导航等领域有着广泛的应用，并为GIS的发展提供了基础。

2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化:直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧(如图三KＤ′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时,投影是一个圆,且全部在基圆之内(如图三FG);⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时,赤平面以下部分的投影在基圆之内,以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线(如图一（ｃ)中ＰＡCＢ的投影为ＡB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′）,A′B′是一个与基圆同心的圆。
6.极射点:投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P)和下极射点(F)。由上极射点(Ｐ）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点(F)把上半球的几何要素投影到赤平面上
ﻫ
的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。
7.极点:通过球心的直线与球面的交点称为极点,一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点)；水平直线交基圆上两点;倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B)。
赤平投影原理及讲解
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一、序言
岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GＢ50021－94)推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线(包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得,不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

赤平投影原理及讲解Newly compiled on November 23, 2020一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。

其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。

如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。

2.球面：投影球的表面称为球面。

3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。

4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。

当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。

5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。

当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。

例9: 已知平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水 平旋转30 °求旋转后的平面产状。
操作步骤： ❖ 投影平面FD； ❖ 将大圆上若干点沿其所在
纬向小圆逆时针旋转30° （箭头所示）到新位置； ❖ 将旋转后得到的新位置点 旋转到同一经向大圆上， 拟合大圆弧即为旋转后的 平面D′F′投影。
例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
是指褶皱面各部位法线的赤平投影图解。
2、一般操作步骤： 特定：方法简便、直观、是一种形象、综合的定量图解。
投影新地层DHF 、老地层ABC 的产状; 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。 β图解是指以褶皱面各切点的切面所作的经向大圆图解。
预备阶段 一个背斜两翼的产状数据，求枢纽的产状 (1)、143∠37, (2)、104∠30, (3)、直立，走向104，(4)、154∠44 （3）、经向大圆弧：由一系列走向SN的，向东或西倾斜，倾角不同（0°-90°），间隔2°的投影大圆弧（代表倾斜平面）组成。 （7）求平面上的直线产状
例8:有两个平面 ⑴245 °∠30° ⑵145°∠48°
（二）据共轭剪节理求三个 主应力轴(σ1 、 σ2 、 σ3)
一共轭节理产状 为:70°∠60°和 120°∠60°， 求三个主应力轴产 状。
（二）面的旋转
❖ 问题：一个产状已知的平面，沿某方向旋转一定角度 后，求此面的产状。
❖ 原理：平面的投影是一个大圆，大圆是无数个点组成 的，因此大圆的旋转实际上是组成该大圆上许多点的 旋转。 球面上任一点绕SN轴 (定轴) 旋转，该点的旋转 轨迹为一圆，此圆为走向东西的一个直立平面，其投 影与吴氏网的纬向小圆重合。因此只要求出大圆上各 点绕轴旋转后的位置，即可知道旋转后的平面产状。

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二. 赤平投影网的使用方法
(一) 平面的赤平投影:
例如: 一平面的产状为120∠30°
1. 透明纸上指北箭头与投影网的0°重合, 从0°开始, 顺时针数到投影网的 120 °处, 用铅笔在该处的基圆上注记一点。该点为平面的倾向。
吴氏网
透明纸
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施密特网
一. 赤平投影的基本原理
(四) 赤平投影网:
1. 吴氏网的结构及成图原理:
2. 吴氏网与施氏网的区别:
吴氏网
施氏网
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一. 赤平投影的基本原理
(四) 赤平投影网:
1. 吴氏网的结构及成图原理:
2. 吴氏网与施氏网的区别: 吴氏网－球面上大小相等的小圆, 投影在吴氏网上直径角距是相等的，
当前你正在浏览到的事第九页PPTT，共三十九页。
一. 赤平投影的基本原理
(二) 平面的赤平投影解析: 1. 过球心的平面的赤平投影: 极射赤平投影的一个重要性质是, 球面大圆
投影到赤平面上仍是一个圆
当前你正在浏览到的事第十页PPTT，共三十九页。
一. 赤平投影的基本原理 (二) 平面的赤平投影解析:
3. 把透明纸指北箭头转回原来0°方位, 此时所画大圆弧的弧凸方向为 120 °, 角距为30°。
当前你正在浏览到的事第二十七页PPTT，共三十九页。
二. 赤平投影网的使用方法
(二)直线的赤平投影: 例如: 一直线的产状为330∠40° 1. 透明纸上指北箭头与投影网的0°重合, 从0°开始, 顺时针数到投影网的
密特创造的施氏网。

一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。

其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。

如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

ﻫ二、极射赤平投影的基本原理(一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括:1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。

2.球面:投影球的表面称为球面。

3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。

4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。

当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。

５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。

当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。

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二. 赤平投影网的使用方法
(四)求两平面的夹角及其等分面: 5. 在FG大圆弧上数二面角的平分角距, IH间平分为 57 °, 平分点为K, 在FI+HG间平分为33 °。 6. 转动透明纸, 使b点和K点位于同一大圆弧上, 该 大圆弧即为二平面夹角中的平分面(产状267∠85°)
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二. 赤平投影网的使用方法
21
二. 赤平投影网的使用方法
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二. 赤平投影网的使用方法
所需工具:
吴氏网(在实习指导书后面) 透明纸(>20×20cm) [硬纸板(>20×20cm)] 图钉一枚或大头针 橡皮擦 铅笔 透明胶带
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二. 赤平投影网的使用方法
投影前要作的准备工作: 1. 透明纸放在投影网上，用铅笔标记一个 “+” 以注明投影网中心；再用一5×5mm的透明 胶带贴在透明纸上( 贴在投影网中心所在部位) 。 2. 将透明纸上的“+”标记与投影网对准，用 图钉或大头针沿中心扎下去并固定在桌面上，此 时透明纸能绕图钉(投影网中心)作水平方向的旋 转。 3. 用铅笔在透明纸上描下投影网的基圆(圆 周)，并在上端0°处注记一箭头，箭头指向投影 网上0°的刻度处。
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的交线产状: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求其交线 产状 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b, 即为两平面交线的产状 (倾伏向和倾伏角为4∠13°)
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的夹角及其等分面: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求两平面 的夹角及其等分面 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b，为二平面的交线。

2．直径 分别为南北走向和东西走向直立平面的投影.自
圆心至基圆为900—00，每小格20，表示倾角、倾伏角.
3．经线大圆 经线大圆是通过球心的一系列走向南北，
向东或向西倾斜的平面投影．自南北直径向基圆代表倾角 由陡到缓的倾斜平面．
4．纬线小圆 纬线小圆是一系列不通过球心的东西走
向直立平面的投影，它们将南北向直径及经线大圆弧和基 圆等分(每小格20)
2．直线的投影 投影产状为3300 ∠ 400的直线。 (1)使透明纸上指N标记与网上N重合，以N为00，顺时针在基圆上 数至3300得A，为直线的倾伏向[图A] ;
(2)把A点转至东西直径上(也可转至南北直径上)，由基圆向圆心数 400(倾伏角)得A’点[图B]; (3)把透明纸的指N标志转至与网上正N重合，A’即为产状 3300∠400直线的投影（图C)。
2求两平面交线的产状(图12—11) (1)据巳知两平面的产状，在吴氏网上分别求出其投影大 圆弧EHF和JHK，两大圆弧的交点H为两平面交线与下半球 面交点的投影。 (2)作圆心O与H点的连线交基圆于G点，G点的方位角即两 平面交线的倾伏向，GH间的角距则为交线的倾伏角 。
极射赤平投影原理及应用
3．两直线为1200∠360和1800∠200，求所构成平面的产状及两直线间的夹角(图12-12)]
极射赤平投影原理及应用
将透明纸(或透明胶片 等)蒙在吴氏网上，描 画基圆及‘+’字中心， 固定网心,使透明纸能 旋转(或固定透明纸旋 转网)，然后在透明纸 上标出N，E，S，W．
1．平面的投影 投影产状l200∠300的平面(图12-5) (1)将透明纸上的指N标记与投影网正N重合，以N为00,在基圆上顺时针数至 1200(倾向)得一点D，为平面的倾向[图12-5(A)]。

一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。

其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。

如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。

2.球面：投影球的表面称为球面。

3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。

4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。

当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。

5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。

当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG 或图一（c）中PACB）。

赤平投影原理及讲解引言赤平投影是地图学中常用的一种投影方式，其最大的优点是可以充分保证地图上任意一点与赤道的角度都相等。

而赤平投影的实现原理，主要是利用了地球的旋转和中心线的垂直位置。

赤平投影原理坐标系在介绍赤平投影原理之前，我们需要先了解一下坐标系。

通常在地图制作中，我们使用的坐标系为地球坐标系。

地球坐标系是将地球上的点用三维坐标系表示的一种数学模型。

其中，地球坐标系的原点为地球质心，地球的赤道为该坐标系的 XY 平面，而该坐标系的 Z 轴即为地球北极点指向质心的连线。

在地球坐标系中，我们一般采用经度和纬度作为解释地球上位置的方式。

经度是一个定点的短圆弧与本初子午线之间的夹角，而纬度则是一个点与赤道之间的夹角。

它们的表示方式为度、分、秒，分别用符号 °、′、″ 表示。

赤平投影原理赤平投影又称为正射平面投影，需要满足投影面与地球的平面垂直，且中心点正好位于地球的北极或南极上。

投影点与赤道面的夹角都相等。

在赤平投影中，将地球的南北极作为坐标轴的原点，与水平面相交的平面即为投影面。

将该平面放在一张纸上，用垂线去描绘地球上的各个点。

这时，地球上的每一个点都可以在平面上找到一个对应的点，使得该点到点 O（即南极或北极）的距离与该点所对应的角度相等。

由于在赤平投影中，地球上的任何一点都可以延长与南北极的连线垂直于平面，这就形成了“正射平面投影”的名称。

在赤平投影中，投影长度与原长之比始终等于该点到南北极的夹角。

赤平投影的应用赤平投影具有保持等角性的特点，在工程制图、城市规划、制造业等领域得到了广泛的应用。

同时，在天文学中，赤平投影也是观测恒星时使用的一种重要工具。

赤平投影的应用广泛且其实现原理简单，只需将地球的南北极作为坐标轴的原点，与平面相交，以垂线去描绘地球上的各个点，便可以获得等角性的投影效果。

赤平投影原理与操作方法
赤平投影是一种把三维球体表面映射到二维平面上的技术。

技术原理是从球体中心到表面上各点的线段与平面垂直，投影到平面上得到的投影坐标。

操作方法：
1. 选择一个球体，并确定其中心坐标和半径大小。

2. 确定投影平面，通常为xoy 平面或者xoz 平面，也可以自定义一个平面。

3. 将球体表面上的每个点投影到平面上得到对应的坐标点。

4. 将投影得到的坐标点按照一定的规律映射到二维平面上形成图像，通常会使用等距投影或者等面积投影等方法进行映射。

5. 根据需要作出相应的修改，例如旋转角度、缩放大小等。

赤平投影可以有效地呈现球体表面上的信息，并且具有保持距离和角度比例不变、投影区域面积相等等优点。

常用于地图制作、天文学和计算机图形学等领域。

O
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（5）、求两平面 交线的产状。例5: 求220 °∠ 35 ° 和300 °∠ 55 ° 两平面的交线的 产状（图19-9)。
S2 H
O S1
S2
S1
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（6）求两相交直线所决定的平面产状。 例6: 线理LI 产状为120 °36 °，L2 产状 为180 °∠40°所决定的平面产状。
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6
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2、一般操作步骤：
预备阶段 ①将透明纸蒙在吴氏网上， ②画“+”中心， ③标出E、S、W、N方位（顺钟 向）。
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（1）、平面的赤平投影 投影步骤(口诀): A、基圆顺钟找倾向； B、东西直径数倾角（由圆周向圆心数）； C、径向圆弧拟平面； D、复原归位定投影。
例1： 平面产状 120°∠30°投影 操作如下。
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作业：
P230 9、11、12、16、18
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例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状;
将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
将老地层向相同方向旋转相 同角度，使老地层ABC大圆 达到新位置，将新位置各点 拟合大圆即可。
9
（2）、直线的赤平投影 步骤同1、2即可。 例2：线理产状 330°∠40°投影如下。
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（3） 、法线的投影 关键：法线和平面垂直，倾向相反（90°），倾角互 余。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。
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（4）、已知真倾角求视倾角 例4:某岩层产状300°∠40°，求在

岩体稳定的结构分析—赤平极射投影图法1.岩体稳定的结构分析的基本内容和实质通过对岩体结构要素结构面和结构体分析，明确岩体滑移的边界条件是否具备，就可以对岩体的稳定性作出判断。

举例说明赤平极射投影图的做法将透明纸放在吴尔福网上，按相同半径画一圆，并注上南北、东西方向。

利用投影网在圆角的方位度数上，经过圆心绘N30°E 及N20°W的方向线，分别注为AC及BD。

转动透明纸，分别使AC、BD与投影网的上下垂之线（南北线）相合，在投影网的水平线（东西线）上找出倾角为40°及60°的点（倾向为NE、SE时在网的左边找，倾向为NW、SW时在网的右边找），分别注上K及F。

通过K、F点分别描绘40°、60°的经度线，即得结构面J1、 J2的赤平极射投影弧AKC和BFD。

再分别延长OK、OF至圆周交于G、H点，就完成所求结构面J1、J2的投影图。

图中AC、BD分别为J1、 J2的走向；GK、HF表示J1、 J2的倾角；KO、FO线的方向为J1、 J2的倾向。

找AKC和BFD的交点，注上M，连OM并延长至圆周交于P。

MO 线的方向即为J1、 J2交线的倾向，PM表示J1、 J2交线的倾角分析步骤（1)对岩体结构面的类型、产状及其特征进行调查、统计、研究。

(2)对各种结构面及其空间组合关系以及结构体的立体形式进行图解分析。

初步判断边坡的稳定性：(1)当结构面或结构面交线的倾向与坡面倾向相反时，边坡为稳定结构；(2)当结构面或结构面交线的倾向与坡面倾向基本一致但其倾角大于坡角时，边坡为基本稳定结构；(3)当结构面或结构面交线的倾向与坡面倾向之间夹角小于45°且倾角小于坡角时，边坡为不稳定结构。

一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规》〔GB50021－94〕推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面〔包括结构面和坡面、坡顶面〕或直线〔包括平面的法线〕的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。

其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有创造极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。

如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

二、极射赤平投影的根本原理〔一〕投影要素极射赤平投影〔以下简称赤平投影〕以圆球作为投影工具，其进展投影的各个组成局部称为投影要素，包括：1.投影球〔也称投射球〕：以任意长为半径的球。

2.球面：投影球的外表称为球面。

3.赤平面〔也称赤平投影面〕：过投影球球心的水平面。

4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆〔如图一〔a〕中ASBN、PSFN、NESW〕，所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。

当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆〔如图一〔a〕中PSFN〕；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆〔如图一〔a〕中NESW〕；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆〔如图一〔a〕中ASBN〕。

5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆〔如图一〔b〕、〔c〕中AB、CD、FG、PACB〕。

当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆〔如图一〔b〕中DC〕；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆〔如图一〔b〕中AB〕；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆〔如图一〔b〕中FG或图一〔c〕中PACB〕。