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一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
ﻫ二、极射赤平投影的基本原理(一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括:1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。
2.球面:投影球的表面称为球面。
3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。
当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。
５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。
当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。
赤平投影原理及讲解引言赤平投影是地图学中常用的一种投影方式，其最大的优点是可以充分保证地图上任意一点与赤道的角度都相等。
而赤平投影的实现原理，主要是利用了地球的旋转和中心线的垂直位置。
赤平投影原理坐标系在介绍赤平投影原理之前，我们需要先了解一下坐标系。
通常在地图制作中，我们使用的坐标系为地球坐标系。
地球坐标系是将地球上的点用三维坐标系表示的一种数学模型。
其中，地球坐标系的原点为地球质心，地球的赤道为该坐标系的 XY 平面，而该坐标系的 Z 轴即为地球北极点指向质心的连线。
在地球坐标系中，我们一般采用经度和纬度作为解释地球上位置的方式。
经度是一个定点的短圆弧与本初子午线之间的夹角，而纬度则是一个点与赤道之间的夹角。
它们的表示方式为度、分、秒，分别用符号 °、′、″ 表示。
赤平投影原理赤平投影又称为正射平面投影，需要满足投影面与地球的平面垂直，且中心点正好位于地球的北极或南极上。
投影点与赤道面的夹角都相等。
在赤平投影中，将地球的南北极作为坐标轴的原点，与水平面相交的平面即为投影面。
将该平面放在一张纸上，用垂线去描绘地球上的各个点。
这时，地球上的每一个点都可以在平面上找到一个对应的点，使得该点到点 O（即南极或北极）的距离与该点所对应的角度相等。
由于在赤平投影中，地球上的任何一点都可以延长与南北极的连线垂直于平面，这就形成了“正射平面投影”的名称。
在赤平投影中，投影长度与原长之比始终等于该点到南北极的夹角。
赤平投影的应用赤平投影具有保持等角性的特点，在工程制图、城市规划、制造业等领域得到了广泛的应用。
同时，在天文学中，赤平投影也是观测恒星时使用的一种重要工具。
赤平投影的应用广泛且其实现原理简单，只需将地球的南北极作为坐标轴的原点，与平面相交，以垂线去描绘地球上的各个点，便可以获得等角性的投影效果。
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
赤平投影原理与操作方法
赤平投影是一种把三维球体表面映射到二维平面上的技术。
技术原理是从球体中心到表面上各点的线段与平面垂直，投影到平面上得到的投影坐标。
操作方法：
1. 选择一个球体，并确定其中心坐标和半径大小。
2. 确定投影平面，通常为xoy 平面或者xoz 平面，也可以自定义一个平面。
3. 将球体表面上的每个点投影到平面上得到对应的坐标点。
4. 将投影得到的坐标点按照一定的规律映射到二维平面上形成图像，通常会使用等距投影或者等面积投影等方法进行映射。
5. 根据需要作出相应的修改，例如旋转角度、缩放大小等。
赤平投影可以有效地呈现球体表面上的信息，并且具有保持距离和角度比例不变、投影区域面积相等等优点。
常用于地图制作、天文学和计算机图形学等领域。
极射赤平投影极射赤平投影(Stereographic projection)简称赤平投影，主要用来表示线、面的方位，相互间的角距关系及其运动轨迹，把物体三维空间的几何要素(线、面)反映在投影平面上进行研究处理。
它是一种简便、直观的计算方法，又是一种形象、综合的定量图解，广泛应用于地质科学与岩土工程分析中。
运用赤平投影方法，能够解决地质构造的几何形态和应力分析等方面的许多实际问题，因此，它是研究地质构造与岩体结构的经常采用的一种手段。
一、面和线的赤平投影(一)投影原理一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。
以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。
本书一般采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。
图1为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP为过球心的水平面，即赤平面。
1(平面的投影方法(图1) 设一平面走向南北、向东倾斜、倾角40?，若此平面过球心，则其与下半球相交为大圆弧PGF，以A点为发射点，PGF弧在赤平面上的投影为PHF弧。
PHF弧向东凸出，代表平面向东倾斜、走向南北，DH之长短代表平面的倾角。
2(直线的投影方法(图2) 设一直线向东倾伏、倾伏角40?，此线交下半球面于G点。
以A为发射点，球面上的G点在赤平面上的投影为H。
HD的长短代表直线的倾伏角，D的方位角即直线的倾伏向。
同理，一条直线向南西倾伏、倾伏角20?，此线交下半球面于J点，其赤平投影为K点。
图1 图2为了准确、迅速地作图或量度方向，可采用投影网。
常用的有吴尔福网(简称吴氏网，也称等角距网)(图3A)和施密特网(等面积网)(图3B)。
吴尔福网与施密特网基本特点相同，下面以吴尔福网为例介绍投影网。
图3(二)吴尔福投影网(图3A)1(结构要素(1)基圆即赤平面与球面的交线，是网的边缘大圆。
由正北顺时针为0?-360?，每小格2?，表示方位角，如走向、倾向、倾伏向等。
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。
由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。
一般采用下半球投影。
7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。
铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。
（二）平面的赤平投影平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。
1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。
2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。
当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。
（三）直线的赤平投影直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。
铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。
（四）吴氏网及其CAD制作目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。
等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。
两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。
而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。
使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。
而使用施氏网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。
1.吴氏网的结构及成图原理吴氏网（图六）由基圆、南北经向大圆弧（NGS）、东西纬向小圆弧（ACB）等经纬线组成。
标准吴氏网的基圆直径为20cm，经、纬线间的角距为2°。
(1)基圆，由指北方向（N）为0°,顺时针方向刻出360°，这些刻度起着量度方位角的作用；(2)经向大圆弧是由一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由0°到90°（角距间隔为2°）的许多赤平投影大圆弧所组成。
这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点（E点和W点）的距离分别代表各平面的倾角。
如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜，倾角为30°。
(3)纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。
这些小圆弧离基圆的圆心O愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心O愈近，则半径角距就愈大。
相邻纬向小圆弧间的角距也是2°，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。
如图六所示，ED＝SH＝WG＝NF，角距都为30°。
2.吴氏网的CAD图解绘制吴氏网，其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。
那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢？在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。
而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。
(1)绘制大圆弧的原理与步骤要绘制大圆弧，应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B′（如图二所示），其中N、S点是每条大圆弧都必须经过的，是已知点。
现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点B′，问题就迎刃而解。
①计算OB′长度根据倾斜平面的倾角、基圆的直径，可按下式计算点O与点B′之间的距离?（公式一）式中R——基圆的半径；α——大圆弧所代表平面的倾角（°）。
②以基圆的圆心为圆心，OB′长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线EW交于B′点。
③过N、S、B′三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。
(2)绘制小圆弧的原理与步骤要绘制半径角距为的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点（如图六所示的A、C、B三个点）。
根据吴氏网的结构与原理，可以通过CAD制图确定A、C、B三个点的位置。
①确定点C，首先用公式一计算点O与点C间距离，但其中为小圆弧的半径角距；然后以基圆的圆心为圆心，OC长为半径画圆，该圆与基圆的南北径向线NS交于C点。
②以基圆的圆心为基点，将南北径线ON分别逆时针和顺时针旋转角度，得两条直线，分别与基圆交于A、B点??。
③过A、C、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。
三、赤平投影网CAD图解的应用利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是：把透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字网心，并用针固定于网心上，使透明纸能够绕网心旋转。
然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北（N）为0°，顺时针数到360°。
东西直径EW确定倾角，一般是圆周为0°，至圆心为90°。
这样做具有以下缺点：一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而移位；三就是准确性不高；四是效率低。
如果用CAD制图，则可避免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。
1.平面赤平投影的CAD图解（如图七）例1：一平面产状126°∠30°，绘制其赤平投影图。
(1)绘制一直径为20cm的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出E、S、W、N。
后面的例子均需要这一步，画法与之相同，所以不再重复。
(2)平面的倾向是126°，则其走向为36°。
将南北径线绕基圆的圆心O顺时针旋转36°到达AB位置，与基圆交于A、B两点，则AB就是平面的走向线。
(3)以基圆的圆心O为基点，将射线ON顺时针旋转126°到达OD位置，与基圆相交于点D，则OD即为该平面的倾向线。
(4)用公式一计算线段OC长度。
以基圆的圆心O为圆心，OC为半径画圆，交OD于C点。
(5)采用三点法，即过A、C、B三点画圆，并切掉基圆外部分，所得大圆弧ACB即为该平面的赤平投影。
2.直线赤平投影的CAD图解（如图八）例2：一直线产状330°∠40°，绘制其赤平投影图。
(1)将ON绕圆心O顺时针旋转330°后到达OA位置，与基圆交于点A，则OA即为该直线的倾伏向。
(2)用公式一计算OA′值。
以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交OA于A′点，则点A′即为该直线的赤平投影。
3.平面法线赤平投影的CAD图解（如图九）例3：一平面产状为105°∠40°，绘制其法线的赤平投影。
(1)按例1所述方法，绘制产状为105°∠40°平面的赤平投影大圆弧NB′S。
(2)平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此平面法线的倾角为50°。
用公式一计算OA′。
以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交B′O的延长线于A′点，则A′点为该平面法线的赤面投影，也称其为平面的极点。
由于平面法线倾向与平面倾向相反，相差180°，平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此也可根据平面法线产状与平面产状间的这种关系，首先计算法线的产状为285°∠50°，然后再按例2方法绘制法线的赤平投影。
4.相交两条直线所构成平面的产状例4：已知两直线180°∠20°和90°∠°相交，用赤平投影法求解这两条直线所构成平面的产状（如图十（a）、（b））。
(1)为很好地利用CAD制图解决这个问题，引入两条直线倾角与平面倾角间的关系式：tan2βsin2γ=tan2α1+tanα2-2tanα1tanα2cosγ（公式二）式中β——两条相交直线所构成平面的倾角（°）；α1、α2——分别为两条直线的倾伏角（°）；γ——两条直线倾向夹角（°）。
