导数中的双变量任意、存在恒成立问题
解决方法：转化为最值问题处理
●类型 一：若2211D x D x ∈∀∈∀，，)()(21x g x f >恒成立 ⇔ max 2min 1)()(x g x f >. 基本思想是：函数)(x f 的任一函数值均大于)(x g 的任一函数值，
故只需max 2min 1)()(x g x f >即可. 几何解释如图一.
例1、已知x x x f ln )(=，3)(2++-=ax x x g ，若对)0(1∞+∈∀，x ，
]1
[2e x ，∈∀使得)(21x f ≥)(2x g 成立，求实数a 的取值范围.
【变式训练1】已知函数14341ln )(-+-=x
x x x f ，42)(2-+-=bx x x g ，若)20(1，∈∀x ， ]21[2，∈∀x ，不等式)(1x f ≥)(2x g 恒成立，求实数b 的取值范围.
●类型 二：若2211D x D x ∈∃∈∃，，)()(21x g x f >恒成立 ⇔ min 2max 1)()(x g x f >. 基本思想是：函数)(x f 的某些函数值大于)(x g 的某些函数值，
只要求有这样的函数值，不要求所有的函数值.
故只需min 2max 1)()(x g x f >即可. 几何解释如图二.
例2、已知a ≤2，设函数x a x x x f ln 1)(--=，e
x x x g 1ln )(--=， 若在]1
[e ，上存在21x x ，，使)(1x f ≥)(2x g 成立，求实数a 取值范围.
【变式训练2】已知函数x
x x g ln )(=，ax x g x f -=)()(. （1）求函数)(x g 的单调区间；
（2）若函数)(x f 在（1，∞+）上是减函数，求实数a 的最小值；
（3）若存在][221e e x x ，，∈，使得)(1x f ≤a x f +')(2成立，求实数a 取值范围.
●类型 三：若2211D x D x ∈∃∈∀，，)()(21x g x f >恒成立 ⇔ min 2min 1)()(x g x f >. 基本思想是：函数)(x f 的任一函数值大于)(x g 的某些函数值，
但并不要求大于)(x g 所有的函数值.
故只需min 2min 1)()(x g x f >即可. 几何解释如图三.
例3、已知函数x x x f 2)(2+=，m x g x -=)2
1()(. 若对]11[]21[21，，，-∈∃∈∀x x ，使得 )(1x f ≥)(2x g 成立，求实数m 取值范围.
【变式训练3】已知函数)()(2R n m n
x mx x f ∈+=，在1=x 取得极值2. （1）求)(x f 的解析式； （2）设函数x a x x g +
=ln )(，若对]1[]11[21e x x ，，，∈∃-∈∀，使得)(2x g ≤2
7)(1+
x f 成立，求实数a 的取值范围.
●类型 四：若2211D x D x ∈∀∈∃，，)()(21x g x f >恒成立 ⇔ max 2max 1)()(x g x f >. 基本思想是：函数)(x f 的某些函数值大于)(x g 的任一函数值，
只要求)(x f 有函数值大于)(x g 的函数值即可.
故只需max 2max 1)()(x g x f >即可. 几何解释如图三.
例4、已知函数，x ax x f ln )(+=，22)(2+-=x x x g . 若a 1->且]1
[1e x ，∈∃，对 ]10[2，∈∀x ，使得)()(21x g x f >成立，求实数a 的取值范围.
【变式训练4】已知函数x
x x f 2ln )(-=，x x x f x g ln 62)()(-+=，设4)(2+-=mx x x h . 若)10(1，
∈∃x ，对]21[2，∈∀x ，总有)(1x g ≥)(2x h 成立，求实数m 的取值范围.
例4、【解析】：因为22)(2
+-=x x x g ，]1,0[∈x ，易得2)0()(max ==g x g . 又x ax x f ln )(+=，x a x f 1)(+
='，易知)(x f '在[1，e]上单调递减，∴]11[)(++∈'a e a x f ，，若a ≥e
1-，则)(x f '＞0，)(x f 在[1，e]上单调递增，1)()(max +==ae e f x f ＞2，解得a ＞e 1.若e a 11-<<-，)(x f 在（1,a 1-）上单调递增，在（a
1-，e ）上单调递减，)ln(1)1()(max a a
f x f ---=-=＞2，得31e a ->，此时与e a 11-<<-矛盾. 综上所述，所求a 的取值范围是（+∞,1e
）.
