随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度

第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。

同样均方值也应是常数。

（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。

因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。

则称他们是联合宽平稳的。

第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

随机信号号的分析?功率谱密度2.3 平稳随机过程2.3.4 平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度的定义令: 是实平稳随机过程,为其实现,因为功率信号,所以也为功率信号,因为任意的确定功率信号,它的功率谱密度可表示成,2.3-1式中,是的截短函数之频谱函数。

图2-3-1 功率信号及其截短函数而对于功率型的平稳随机过程而言,它的每一实现也将是功率信号,而每一实现的功率谱也可以由式2-3-1表示。

但是,随机过程中的每一实现是不能预知的,因此,某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。

过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均。

设的功率谱密度为,的某一实现之截短函数为,且,其中:,于是有则称为的功率谱密度。

功率密度谱和互谱密度前面给出的一些数字特征如均值,方差和相关函数等,描述的是连续随机信号在时间域上的特征,那么,随机信号在频域的数字特征是什么?如何计算的?它与时域特征有什么关系?1、功率密度谱设Xt为平稳的连续随机信号,它的任一个样本函数xt是一个功率信号,其平均功率可以定义为: (9.2.20)? 依据帕斯瓦尔定理,设表示的傅立叶变换,则上式可表示为9.2.21? 式中称为样本功率密度或样本功率谱。

由于随机信号的每一个样本实现是不能预知的,所以必须用所有样本功率密度的统计平均值来描述平稳的连续随机信号Xt的频域特征,即随机信号在频域的数字特征可定义如下。

定义10? 平稳的连续随机信号Xt的功率密度谱定义为样本功率密度的统计平均,即(9.2.22)维纳?欣钦(Wiener-Khinchine)定理若Xt为平稳随机信号,当自相关函数为绝对可积时,自相关函数和功率谱密度为一傅里叶变换对,即( )。

(9.2.23)9.2.242、互谱密度同理,在频域描述两个随机信号Xt和 Yt相互关联程度的数字特征,可以定义为互谱功率密度简称互谱密度。

而且,互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换对( ),其中(9.2.25) 9.2.262FSK信号的功率谱密度的特点2FSK信号的功率谱密度也由连续谱和离散谱组成。

第3章 平稳随机过程的谱分析付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号,常常使分析工作大为简化.3.1 对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？3.2 随机过程的谱分析3.2.1 回顾：确定性信号的谱分析)(t f 是非周期实函数，)(t f 的付里叶变换存在的充要条件是：1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件；2．)(t f 绝对可积：+∞<⎰+∞∞-dt t f )(3．若)(t f 代表信号,则)(t f 信号的总能量有限,即：+∞<⎰+∞∞-dt t f 2)()(t f 的付里叶变换为：⎰+∞∞--=dt e t f F t j ωω)()(付里叶逆变换为⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t j )(21)(重要等式:⎰⎰+∞∞-+∞∞-=ωωπd F dt t f 22)(21)(此等式称为帕塞瓦（Parseval)等式,其物理意义是：等式左边信号在时域上的总能量，等式右边的2)(ωF 可认为是单位频带内的能量，总能量通过积分⎰+∞∞-ωωd F 2)(得到，称2)(ωF 等于为能谱密度。

3.2.2 随机过程的功率谱密度一、样本函数的平均功率问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的,在处理随机过程)(t X 时,取)(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线)来进行付里叶分析。

问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能量是无限的，需考虑平均功率.若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足+∞<=⎰-∞→TTT dt t x TW 2)(21limW 称为样本函数)(t x 的平均功率。

对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。

二、截取函数对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T，它满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(称)(t x T为)(t x 的截取函数.三、截取函数的付里叶变换0>T ,取定后,)(t x T的付里叶变换一定存在:⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(其付里叶逆变换为:⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)(其帕塞瓦（Parseval ）等式为+∞∞-==ωωπdXdttxdttxTTTT222)(21)()(⎰⎰⎰+∞∞--四、随机过程的平均功率说明:)(t x T与)(ωT X 具有随机性，因为)(t x 是)(t X 的一个样本，具有随机性，因此，)(t x T与)(ωT X 都是随机变量.由⎰⎰+∞∞--=ωωπd X dt t x T TT22)(21)(⇔⎰⎰+∞∞--=ωωπd X Tdt t x TT TT22)(41)(21⇔])(41[])(21[22⎰⎰+∞∞--=ωωπd X TE dt t x TE T TT⇔⎰⎰∞+∞--=ωωπd TX E dt t x E T T TT2])([21])([2122⇔⎰⎰∞+∞-∞→-∞→==ωωπd TX E dt t x E T W T T TT T 2])([lim 21])([21lim 22称⎰-∞→=T T T dt t x E T W ])([21lim 2为随机过程)(t X 的平均功率。

随机信号号的分析—功率谱密度2.3 平稳随机过程2.3.4 平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度的定义令: 是实平稳随机过程，为其实现，因为功率信号，所以也为功率信号，因为任意的确定功率信号，它的功率谱密度可表示成，(2.3-1)式中，是的截短函数之频谱函数。

图2-3-1 功率信号及其截短函数而对于功率型的平稳随机过程而言，它的每一实现也将是功率信号，而每一实现的功率谱也可以由式(2-3-1)表示。

但是，随机过程中的每一实现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。

过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均。

设的功率谱密度为，的某一实现之截短函数为，且，其中:，于是有则称为的功率谱密度。

功率密度谱和互谱密度前面给出的一些数字特征如均值，方差和相关函数等，描述的是连续随机信号在时间域上的特征，那么，随机信号在频域的数字特征是什么？如何计算的？它与时域特征有什么关系？1、功率密度谱设X(t)为平稳的连续随机信号，它的任一个样本函数x(t)是一个功率信号，其平均功率可以定义为：（9.2.20）依据帕斯瓦尔定理，设表示的傅立叶变换，则上式可表示为(9.2.21)式中称为样本功率密度或样本功率谱。

由于随机信号的每一个样本实现是不能预知的，所以必须用所有样本功率密度的统计平均值来描述平稳的连续随机信号X(t)的频域特征，即随机信号在频域的数字特征可定义如下。

定义10平稳的连续随机信号X(t)的功率密度谱定义为样本功率密度的统计平均，即（9.2.22）维纳—欣钦（Wiener-Khinchine）定理若X(t)为平稳随机信号，当自相关函数为绝对可积时，自相关函数和功率谱密度为一傅里叶变换对，即（）。

（9.2.23）(9.2.24)2、互谱密度同理，在频域描述两个随机信号X(t)和 Y(t)相互关联程度的数字特征，可以定义为互谱功率密度简称互谱密度。

而且，互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换对（），其中（9.2.25）(9.2.26)2FSK信号的功率谱密度的特点∙2FSK信号的功率谱密度也由连续谱和离散谱组成。

第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法；-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。

教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课（4学时）（2个单元）备注（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）单元四（2学时）§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。

通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（如能预知，通信就失去意义）。

我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。

通信系统中还必然遇到噪声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等，它们更不能预知。

凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。

从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。

因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。

其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。

§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。

这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。

或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。