超级全能生26省联考数学文答案

“超级全能生”2019高考全国卷26省9月联考甲卷语文注意事项：1.本试题共8页，满分150分，考试时间150分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。

近年来，关于汉语在各国持续升温的报道不断见诸国内外媒体。

语言是民族的重要特征之一，语言的影响力和传播力也日益成为民族国家综合实力的体现。

海外“汉语热”实际上反映的是中国合作共赢、大国担当和文化自信的国际魅力。

互利共赢是重要动力汉语难学，但挡不住学习的热情，海外汉语热出现的根本原因是中国综合国力和国际影响力的大幅度提升，经济上的互利共赢是推动海外汉语热的根本动力。

首先，海外中资企业对熟悉汉语的当地员工的需求越来越大，尤其是对从事国际贸易的企业来说，懂汉语的员工在录用和薪酬方面往往都具有较大优势。

择业方面的语言优势以引领和示范作用影响着海外青年的外语学习选择。

其次，中国游客海外旅游数量屡破新高，而且展现出强大的消费能力，“学说中国话”成为外国商铺每天必须面对的市场现实。

经济搭台，文化唱戏，一些从业人员开始有意识地了解中国文化，了解中国人的生活习惯、行为方式甚至文化传统。

同时，一些有远见的海外家庭看好中国的发展前景，着手培养下一代的汉语语言能力，认为掌握汉语能让孩子站在更好的起点。

由于学习汉语的主要难点是汉字识别和四声发音，需要耳濡目染，因此懂汉语的家政服务人员格外受欢迎，成为高级私教，收入明显高于普通家政服务人员。

为了保持不间断的汉语语言学习环境，这些家庭还在生活中大量使用智能语音服务或其他支持中外互译的手机软件。

超级全能生2016高考全国卷26省联考 数学（理科乙卷）一、选择题1.已知{y |y 2,x 1}x U ==≥-，1{x |1}1A x =≥-则U C A =（ ）A.[1/2,2]B.[2,)+∞C.[1/2,1](2,)+∞D. [1/2,1)(2,)+∞ 答案：C解析：[1/2,),(1,2]U A =+∞=2.复数z 满足zi z i=- 则z =（ ） A.12i + B.12i - C. 1＋i D. 1－i答案：B解析：设z a bi =+ 代入解得1/2a b == 3.执行如图所示的程序框图，则输出的k 为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 答案：B 解析：348log 2log 3...log 7lg 2/lg81/3S =⨯⨯⨯==4.从自然数1~9中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为（ ） A. 23 B. 13 C. 19 D. 18 答案：C解析：基本事件总数729936C C ==平均数为5的事件包括：辍选1,9;2,8,3,7;4,6共四种可能 5.如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 163 B.4 C. 3 D. 2 答案：D解析：四棱锥的直观图如图所示底面为直角梯形AA ’EC ，2()3222a aS a =+⨯= 四棱锥的高FB ，222a h ==，因此123V Sh == 6.在平面内，过定点P 的直线1mx y +=与过定点Q 的直线30x my -+=相交于点M ，则||||MP MQ ⋅的最大值为（ ）A. 102 B. 10 C. 10 D. 5 答案：D解析：查考过定点的直线系定点(0,1),(3,0)P Q - 10PQ =为定长设MQ=x ，MP=y ，则222210/2x y PQ xy xy +=≥⇒≤7.若函数f(x)同时满足以下三个性质：(1)f(x)的最小正周期为π；(2),()()04x f x f x π∀∈-+-=R ；(3)f(x)在(,)42ππ上是减函数，则f(x)的解析式可能是（ ）A.()sin 2cos 2f x x x =+B. ()sin 2f x x =C. ()tan(/8)f x x π=+D. ()cos 2f x x =答案：A解析：三个性质分别对应周期性、奇偶性和单调性 首先由单调性排除正切函数其余三个函数周期性与单调性均满足 考查()2sin(2/4)f x x π=+(/4)2sin(2/4)f x x ππ-=-正好满足性质(2)8.设x,y 满足约束条件3274x y x y a +≤⎧⎨-≤⎩且z ax y =+的最大值为4，则a ＝（ ）A. 2B. 23 C. －2 D. －4 答案：A解析：联立线性方程得交点72283,1111a ax y +-==22(214)411ax y a a +=++= 因此2280a a +-= 即a=2或－4 其中a=－4使约束条件与目标函数平行故舍去 9.若函数12(),()f x f x 满足12()()dx 0(0)aa f x f x a -⋅=>⎰，则称12(),()x f x 是区间[－a, a]上的一组Γ函数，给出下列四组函数： (1) 212(),()1f x x f x x ==+ (2) 12()cos ,()tan f x x f x x == (3) 12()21,()21f x x f x x =-=+ (4) 12()sin ,()cos f x x f x x ==其中是区间[－1/2, 1/2]上的Γ函数的组数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：C解析：对称区间上定积分为零，被积函数一定是奇函数，因此只有(2)(4)10.已知a,b 是单位向量，且夹角为60°，若向量p 满足|a b p |1/2--=，则|p|的最大值为（ ）A. 12B. 1C. 32 D. 2 答案：C解析：如图所示单位向量|a-b|=1 因此|1|p |||a b p |1/2|p |11/2-≤--=⇒≤+11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，P 为棱A ’B ’中点，点Q 在侧面DCC ’D ’内运动，若∠PBQ ＝∠PBD’，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案：C解析：考查圆锥曲线的定义，如图所示 平行于圆锥旋转轴BP 的截面截得双曲线 而侧面DCC ’D ’显然平行于旋转轴BP12.已知函数22ln (x m)()x f x x+-=，若存在[1,2]x ∈使得'()()0f x x f x ⋅+>，则实数m 的取值范围是（ ）A. (－∞, 2)B. (2, 52)C. (0, 52)D. (－∞, 52) 答案：D解析：考查导数及二次不等式22[2/2()][2ln (x m)]'()x x m x x f x x +--+-= 因此2'()()2()0f x x f x x m x⋅+=+->不等式可转化为2()10,[1,2]g x x mx x =-+>∈ 本题要求存在x ，即(1)0(2)05/2g g m >>⇒<或 若要求恒成立，则根据对称轴x=m/2的位置分类讨论当122m ≤≤时()02mg m φ>⇒∈当/21m <时(1)02g m >⇒< 当/22m >时(2)0g m φ>⇒∈ 二、填空题13.已知:p x m ≤，:|2|1q x -<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是___ 答案：[3,)+∞解析：{x |x m}P =≤ {x |1x 3}Q =<< 题设等价于Q P ⊂14.已知n 为正整数，在2(1)n x -与(1)n x +展开式中2x 项的系数相同，则n=___ 答案：2解析：4222(21)(22)(23)/24(1)/2n n C C n n n n n n =⇒---=-化简得24802n n n -=⇒=15.在等腰ABC ∆中，AB=AC ，||26AC BC +=，则ABC ∆面积的最大值为___答案：4解析：如图所示，设等腰ABC ∆底边上的高AO=h 底角α为锐角，设OC=x ，则BC=CD=2x ， 由三角形法则得26AD =224(3)ABC S hx x x ∆==- 22224(249)9()163S x x x =-=--+当24/3x =时面积S 取最大值416.设12,F F 是椭圆22:15x C y +=的两焦点，点P （异于两焦点）关于两焦点的对称点分别为12,P P ，线段PQ 的中点在椭圆C 上，则12|P Q ||P Q |+=___ 答案：45解析：特殊点法，设P(0,0)，Q(2a,0)，则P1(-2c,0),P2(2c,0) 则12|P Q ||P Q |+=2a+2c+2a-2c=4a ，而5a = 三、解答题17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，2222,*n n S a n n n N +=++∈ (1)求数列{}n a 的通项公式 (2)求数列{n(n)}n a -的前n 项和n T 解析：15/3a =当2n ≥时2112(1)2(1)2n n S a n n --+=-+-+，作差得1321n n a a n --=+，整理得13()(1)n n a n a n --=--因此{()}n a n -为首项2/3、公比1/3的等比数列因此23n n a n =+(2) 2n(n)3n n na -=2122(...)333n n n T =+++ 2311122(...)3333n n n T +=+++作差得2121112(...)33333n n n n T +=+++-因此31(1)233n n n nT =--18.某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如下：消费金额X （元） [500,1000) [1000,1500) [1500,+∞) 抽奖次数 1 2 3抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取）.第一种抽奖方式：若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元.第二种抽奖方式：抽到白球，获得奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元.(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获得奖金70元的概率(2) 若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利.解析：(1)X=2000可抽奖4次，得奖金70元，共有两种情形：抽得3红1黑；抽得1红3白 因此所求事件的概率为3113424349221C C C C P C +== (2) X=1200可抽奖2次用第一种抽奖方式，获得奖金可能为20,30,40,50,60,8024291(20)6C P C == 1143291(30)3C C P C == 23291(40)12C P C ==1142292(50)9C C P C == 1132291(60)6C C P C == 22291(80)36C P C ==随机变量的分布列随机变量 20 3040 50 60 80 P 1/61/3 1/12 2/9 1/6 1/36期望20/630/340/12100/960/680/3640E ξ=+++++= 用第二种抽奖方式，获得奖金可能为0,50,100,150,20024291(0)6C P C == 1143291(50)3C C P C == 2113422911(100)36C C C P C +== 1132291(150)6C C P C == 22291(200)36C P C ==随机变量的分布列随机变量 0 50100 150 200 P 1/61/3 11/36 1/6 1/36期望050/31100/36150/6200/36700/9E η=++++=明显第二种抽奖方式更有利。

“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考乙卷数学（文科）一、选择题：1．已知集合M ＝{x|－1＜x ＜1），N ＝{x|2x 2－x －3≤0），则M∩N ＝（ ） A ．（－1，1）B ．13[,)22-C ．3[1,]2-D ．[－1，1）2．复数4421i z i -=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知椭圆22214x y b+=（b ＞0）的上、下顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且四边形AF 1BF 2的面积为4，则该椭圆的离心率为（ ） A ．14BCD ．124．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．24B ．48C ．88D ．1045．已知函数lg ,0,()8,0,x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若f （－5）＝3f （a ），则实数a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．－7或－1D ．10或－76．图中大正方形是由四个全等的直角三角形的斜边组成，每个直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b 且a ＝2b ，阴影部分是小正方形的内切圆，则在大正方形内任取一点，此点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．20πD ．167．在递增的等差数列{a n }中，a 2，a 8是函数f （x ）＝x 2－4x －5的两个零点，则{a n }的前50项和等于（ ） A ．2450 B ．1125 C ．1225 D ．－24508．某校高三第一次模拟考试，从全校文科学生中随机抽取10名学生的数学成绩如茎叶图所示，现将每人的分数依次输入到如下程序框图中，则输出的S ＝（ ）A ．110.5B ．111C ．111.5D ．1129．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点77,9sin )66P ππ-，则22sin 12cos sin cos αααα=+-（ ）B ．12C ．3D ．610．某圆柱的体积、侧面积都为16π，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．32π B． C．3D ．1282π11．对函数()333cos 33x xf x =+给出下列命题： ①f （x ）的图象向右平移2π个单位长度后所得的函数是非奇非偶函数；②f （x ）的图象关于点（π，0）中心对称； ③f （x ）的图象关于直线x ＝－2019π对称； ④f （x ）在[,]2π-π上单调递增． 其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 12．已知函数21,1,()62,1,2a x x f x a xx x +⎧≥⎪=⎨--<⎪-⎩当x 1≠x 2时，1221()()0f x f x x x -<-，则函数g （a ）＝2a 2＋16a ＋3的值域是 A ．[－27，＋∞）B ．（－∞，35]C ．（2，5]D ．（27，35] 二、填空题：13．已知点A （2，－1），(1,3)AC =，32AB AC =，则点B 的坐标为________．14．已知x ，y满足约束条件2360,3260,220,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z ＝x －3y 的最小值为________．15．双曲线x 2－y 2＝4的渐近线与圆C ：（x －3）2＋（y －2）2＝4交于A ，B 两点，则|AB|＝________．16．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，（a n ＋1－2S n ）2＝4S n ＋1S n ，且a 1＝1，设13log n n b S =，则b 1＋b 2＋…＋b 20＝________．三、解答题： （一）必考题：17．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos2A ＋sinBsinA ＝1，3C π=，且△ABC 的外接圆直径为33． （Ⅰ）求ab 的值； （Ⅱ）求△ABC 的面积．18．如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 的对角线互相垂直，且BC ＝CD ，PA ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若BD＝CD＝4，PA＝6，M为PC上一点，且2PM＝MC，试求三棱锥C—BDM的体积．19．某羽毛球俱乐部规定，每天一人打球1小时收费30元（不足1小时部分按1小时收费，依此类推），注册成为会员，对会员一天连续打球2小时、3小时的优惠标准说明如下表：消费时间1小时2小时3小时收费比例 1 0.9 0.8该俱乐部从注册的会员中，随机抽取了40位进行统计，得到统计数据如下表：消费时间1小时2小时3小时频数20 12 8假设该俱乐部一人1小时活动的成本为5元，根据所给数据，解答下列问题：（Ⅰ）估计该俱乐部一位会员消费时间至少为2小时的概率；（Ⅱ）若某会员消费时间不超过3小时，以频率作为概率，估计该俱乐部每小时对该会员获取的平均利润；（Ⅲ）小明、小王、小张、小军四名会员周六一起去俱乐部打球，小王打了1小时有事离开了，小军打了2小时，小明、小张打了3小时，他们今天共应付给俱乐部多少费用？20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于A点，过点Fl 交C 的准线于B 点，ABF S =△ （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知C 上一点P （t ，4），过点P 作C 的两条弦PD 和PE ，且PD ⊥PE ，求直线DE 恒过的定点的坐标．21．已知函数f （x ）＝3a 2lnx －x 2－5ax （a ∈R ）．（Ⅰ）若x ＝1是f （x ）的极值点，求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论f （x ）的单调性． （二）选考题：22．已知曲线C 1的参数方程为4cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）设P 是曲线C 1上的动点，M （－2，5），N （6，1），求|PM|2＋|PN|2的最大值．23．设函数f （x ）＝|2x ＋4|＋|x －a|（a ∈R ）． （Ⅰ）当12a =时，求不等式9()2f x <的解集； （Ⅱ）若1()|2|32f x x a >++-恒成立，求实数a 的取值范围．“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考乙卷数学（文科） 答案123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A BCCDBBCAC D D13．8(,1)3 14．8413-1516．－38017．解：（Ⅰ）因为cos2A ＋sinBsinA ＝1， 所以2sin 2A ＝sinBsinA ，因为sinA≠0， 所以sinB ＝2sinA ， 由正弦定理得b ＝2a ， 所以12a b =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知b ＝2a ，因为3C π=，三角形ABC 43所以由正弦定理得433sin 3c =π，所以c ＝2，由余弦定理得22222422cos 33a a a a a π=+-=， 解得243a =，所以△ABC 的面积为2134323sin 233ABC S ab π====△． 18．解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 的对角线互相垂直，所以BD ⊥AC ， 又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥PA ，因为PA∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面BCD ，过点M 在平面PAC 上作MN ⊥AC 于N 点， 所以MN ⊥平面BCD ，因为2PM ＝MC ，所以2PC ＝3CM ， 由Rt △PAC ∽Rt △MNC ，所以2PA ＝3MN ， 因为PA ＝6，所以MN ＝4， 因为BC ＝BD ＝CD ＝4， 所以144sin 60432BCD S =⨯⨯⨯︒=△， 所以三棱锥C —BDM 的体积11634343C BDMM BCD V V --==⨯=． 19．解：（Ⅰ）在40名会员中，消费时间至少为2小时的会员有12＋8＝20（人），故概率201402P ==． （Ⅱ）该会员消费时间为1小时、2小时、3小时的概率分别为12，310，15，所以估计该俱乐部每小时对该会员获取的平均利润为131(305)(300.95)(300.85)22.9()2105⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-=元． （Ⅲ）依题意，小王打了1小时应付30元； 小军打了2小时，应付2×30×0.9＝54（元）；小明、小张打了3小时，应付3×30×0.8×2＝144（元）； 所以他们今天共应付给俱乐部费用为30＋54＋144＝228（元）． 20．解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点(,0)2pF ， 所以直线l 的方程为2()2py x =-．则可得点B 的坐标为(,2)2p-， 因为22ABF S =△ 所以12222p =p ＝2．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得点P （4，4）， 且直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为x ＝my ＋n ，联立24,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩得y 2－4my －4n ＝0，则Δ＝16m 2＋16n ＞0． ① 设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则由韦达定理知y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n ． 因为PD ⊥PE ，所以1122(4,4)(4,4)PD PE x y x y =----=121212124()164()16x x x x y y y y -+++-++=2222121212124()164()164444y y y y y y y y -+++--+= 2212121212()()34()3216y y y y y y y y -++-++= 22161232160n m n m --+-=，即n 2－12n ＋32＝16m 2＋16m ， 整理得（n －6）2＝4（2m ＋1）2， 所以n －6＝±2（2m ＋1），即n ＝－4m ＋8或n ＝－4m ＋4（不合题意，舍去）， 所以直线DE 的方程为x ＝my ＋4m ＋8＝m （y ＋4）＋8． 所以直线DE 恒过定点（8，－4）．21．解：（Ⅰ）因为f （x ）＝3a 2lnx －x 2－5ax ， 所以2223253()25(0)a x ax a f x x a x x x--+'=--=>，因为x ＝1是f （x ）的极值点，所以3a 2－5a －2＝0， 解得a ＝2或13a =-．当a ＝2时，f （1）＝－11，f′（1）＝0，所以f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＋11＝0． 当13a =-时，2(1)3f =，f′（1）＝0，所以f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为203y -=， 即3y －2＝0．故f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＋11＝0或3y －2＝0． （Ⅱ）由（Ⅰ）知22253(3)(2)()(0)x ax a x a x a f x x x x--+-+-'==>， 令f′（x ）＝0得x ＝－3a 或2ax =，①当a ＝0时，f′（x ）＜0，所以f （x ）的单调递减区间为（0，＋∞）； ②当a ＞0时，32a a -<，由()0,0f x x '>⎧⎨>⎩得02a x <<； 由()0,0f x x '<⎧⎨>⎩得2a x >． 所以f （x ）在(0,)2a 上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减； ③当a ＜0时，33a a ->，由()0,0f x x '>⎧⎨>⎩得0＜x ＜－3a ； 由()0,0f x x '<⎧⎨>⎩得x ＞－3a ．所以f （x ）在（0，－3a ）上单调递增，在（－3a ，＋∞）上单调递减． 综上，当a ＝0时，f （x ）在（0，＋∞）上单调递减；当a ＞0时，f （x ）在(0,)2a 上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减；当a ＜0时，f （x ）在（0，－3a ）上单调递增，在（－3a ，＋∞）上单调递减．22．解：（Ⅰ）因为曲线C 1的参数方程为4cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝16．（Ⅱ）设P （4cosθ，4sinθ）（θ为参数），又因为M （－2，5），N （6，1），所以222222||||(4cos 2)(4sin 5)(4cos 6)(4sin 1)PM PN θθθθ+=++-+-+- 9816(3sin 2cos )981613sin()θθθϕ=-+=-+（其中cos 13ϕ=）． 因为－1≤sin （θ＋φ）≤1，所以|PM|2＋|PN|2的最大值为981613+．23．解：（Ⅰ）当12a =时，1()|24|||2f x x x =++-，所以73,2,291(),2,22713,.22x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩ 由2,793,22x x <-⎧⎪⎨--<⎪⎩解得823x -<<-； 由12,299,22x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩解得－2≤x ＜0； 由1,2793,22x x ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩无解． 综上所述，不等式9()2f x <的解集为8(,0)3-．（Ⅱ）因为f （x ）＝|2x ＋4|＋|x －a|， 所以1()|2|32f x x a >++-恒成立等价于1|2|||32x x a a ++->-恒成立，因为|x ＋2|＋|x －a|≥|x ＋2＋a －x|＝|2＋a|， 所以1|2|32a a +>-， 解得a ＜－10或23a >，故实数a 的取值范围为2(,10)(,)3-∞-+∞．。

“超级全能生”2016高考全国卷26省联考（甲卷）文科数学试卷一．选择题（本题共12小题，，每小题5分，共60分）1. 已知集合B ＝{1}，A B ＝{1，2}，则A ＝（）A 、∅B 、{2}C 、{1，2}D 、A C ＝{2}或{1，2} 2. 若复数1z i =-，22z i =+，则12z z ＝（）A 、－1－2iB 、－1+2iC 、1+2iD 、1－2i 3. 掷一枚均匀的硬币4次，则出现“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（） A 、15 B 、14 C 、13 D 、124. “0xy =”是“0y =”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，...，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有 只蜜蜂。

（）A. 972B. 1456C. 4096D. 54606. 如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体表面积是（）A. 80－2πB. 80C. 80+4πD. 80+6π 7. 对任意非零实数a,b,若的运算原理如图所示，则的值为（）A.12C.2 D. 128. 下列函数中在3(,)44ππ上为减函数的是（）A. tan y x =-B.cos(2)2y x π=--C. sin 2cos 2y x x =+D. 22cos 1y x =- 9. 下列函数中满足121212()()()()22x x f x f x f x x ++<≠的是（）A. ()32f x x =+B. ()f x =C. 1()()2xf x =- D. 2()1f x x x =++10. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>为等轴双曲线，过右焦点F 作x 轴的垂线交双曲线与A,B 两点，若｜AB ｜＝OAB （O 为坐标原点）的面积为（）11. 半径为R 的球O 中有两个半径分别为它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R ，则R= （）12. 以下关于(0)x x ≥的不等式2ln(1)0x kx x ++-≥的结论中错误的是（）14k ∃≤，使不等式恒成立 B. 14k ∀≥，使不等式恒成立 C. 12k ∃≤，使不等式恒成立 D. 12k ∀≥，使不等式恒成立二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线24y x =上，则这个等腰直角三角形的面积为14、若关于x 的不等式2x x mx -+>的解集为{}|10x x -<<，且函数2()()f x x x m =-在x n =处有极小值，则n ＝15、等比数列{}n a 中，130,256,448,n n a a S T >==为数列{}n a 的前n 项乘积，则17T ＝ 16、已知向量(,)(0,0),(2,3),(3,2)a m n m n b c =≥≥=-=-，满足a b ≥－3，且3a c ≤，则||a 的最大值为三、解答题（本题共6小题，共70分）17、（12分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2sin sin 2sin()B C A C -=- （1）求cosA ；（2）若5a b c =+=，求△ABC 的面积。

“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考甲卷语文及答案注意事项：1.本试题满分150分，考试时间150分钟；2.答题考生务必将自己准考证号填写在答题卡的相应位置；3.全部答案在答题卡，答在本试题卷上无效.一、现代文阅（3分）（一）论述类文本（本题共3小题，共9分）阅读下面的，宽1～3题。

展览通过实物、摹本、AR技术、仿制洞窟等方式将不便移动的壁画呈现在公众面前。

其中，大量数字化技术的运用对传统壁画临摹带来了新挑战。

人们不禁发问：当数字复制技术愈发成熟，古代壁画还需要临摹吗？过去，古代壁画临摹常常出于研究保护之目的，为历史而摹。

如山西永乐宫在进行整体搬迁保护工程前，组织中央美术学院师生进行了全部壁画临摹工作，以为后续搬迁工作服务。

这样的临摹，不仅对壁画保护具有重要意义，在这一过程中，通过对壁画形式语言结构的深入分析，也培养出了一批年轻的壁画研究人才。

另外，临摹流失海外的古代壁画也为还原文化遗产面貌提供了有益借鉴。

还有一批画家、学者是为艺术而摹。

出于对古代壁画艺术的崇敬向往，他们在临摹中更强调梳理壁画创作媒介、图像及方法。

如敦煌研究院，在临摹壁画艺术宝库作品时，探索出了一套从起稿、线稿、上色、画面整体调整到完稿的临摹技法体系。

又如段文杰先生临摹的《都督夫人礼佛图》，通过长达两年时间对唐人的研究，最终使本已残破的原壁画重绽光辉。

类似这样的“整理临摹”“复原临摹”等研究性临摹实践，在“客观临摹”的基础上，进一步凸显了当代研究者对壁画的理解感悟。

然而，这些实践成果的应用却面临着传播困境。

传统临摹作品虽具备较高的学术性，但因数量少、临摹耗时长等因素，大多用于研究、保护、教学工作，很少以展览、研究成果的形式走出洞窟，走向大众。

此时，数字技术的合理介入是满足公众诉求的必由之路，也是让静默千年的文化遗产“活”起来的必然要求。

数字复制、VR技术、3D动画复原演示、线上展览、配套互动游戏等高科技，为盘活传统壁画这个超级IP提供了无限可能，也为壁画保护提供了新思路。

“超级全能生”2020届高考全国卷26省9月联考乙卷数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位，复数1+=i iz ，则z 的虚部为（ ） A ．i 21 B ．i 21- C ．21 D ．21-2. 已知集合}032|{)},4(log |{22>--=-==x x x B x y x A ，则=⋂B A （ ） A ．)4,3( B ．)1,(--∞ C ．)4,(-∞ D ．)1,()4,3(--∞⋃ 3.设m 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程0132=++mx x 有实数根的概率为（ ） A ．65 B ．32 C ．21D ．314. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的一段话“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”用程序框图表示如图，那么这个程序的作用是（ ）A ．求两个正数b a ,的最大公约数B ．求两个正数b a ,的最小公倍数 C.判断其中一个正数是否能被另一个正数整除 D ．判断两个正数b a ,是否相等 5. 下列说法正确的是（ ）A ．命题“若0432=--x x ，则4=x .”的否命题是“若0432=--x x ，则4≠x .” B ．0>a 是函数ax y =在定义域上单调递增的充分不必要条件 C ．0043),0,(0x x x <-∞∈∃D ．若命题5003,:>∈∀nN n P ，则5003,:00≤∈∃⌝n N n p6.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤+,32,,3y x y x y x 则x y z =的取值范围为（ ）A ．),1(+∞B ．),1[+∞ C. ),2(+∞ D ．)1,0( 7. 在ABC ∆中，D ABC BC AB ,2,6,4π=∠==是AC 的中点，E 在BC 上，且BD AE ⊥，则=⋅→→BC AE （ ）A ．16B ．12 C. 8 D ．4- 8.将函数)0)(6sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移ωπ6个单位，得到函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在]4,6[ππ-上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C. 23 D ．5129.已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧∈∉+=+**12,2,N nqa N n d a a n nn （q 为非零常数），若}{n a 为等比数列，且首项为)0(≠a a ，公比为q ，则}{n a 的通项公式为（ ）A ．a a n =或1-=n n q aB ．a a n n 1)1(--= C. a a n =或a a n n 1)1(--= D ．1-=n n q a10. 已知F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，P 是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M （O 为坐标原点）.若点F M P ,,三点共线，且MFO ∆的面积是PMO ∆的面积的3倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．6B ．5 C. 3 D ．211.已知函数||)(x a e x f x-=有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．)0,(-∞ B ．)1,0( C. ),0(e D ．),(+∞e12. 若正四棱锥ABCD P -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，则球O 的半径与正四棱锥ABCD P -内切球的半径之比为（ ）A ．13+B ．2 C. 3 D ．13-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．14.已知直线b x y +=与圆222=+y x 相交于B A ,两点，O 为坐标原点，若1-=⋅→→OB OA ，则=b ．15.已知函数t x x x t x f ++-=2233)(23在区间),0(+∞上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是 ．16.已知数列}{},{n n b a 满足1,2,1121-===b a a ，且对任意的正整数1,2,1121-===b a a ，当q p n m +=+时，都有q p n m b a b a -=-，则)(2018120181i i i b a -∑=的值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，4,4,24π=∠==ABC BC AC .（1）求角A 和ABC ∆的面积； （2）若CD 为AB 上的中线，求2CD .18. 如图1，四边形ABCD 为等腰梯形，1,2====CB DC AD AB ，将ADC ∆沿AC 折起，使得平面⊥ADC 平面ABC ，E 为AB 的中点，连接DB DE ,.（1）求证：AD BC ⊥； （2）求E 到平面BCD 的距离.19. 某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取6部进行测试，其结果如下：（1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好；（2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述6部乙种手机中随机抽取2部求这两部手机中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的概率.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 过点)1,2(，其离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线m x y l +=:与E 相交于B A ,两点，在y 轴上是否存在点C ，使ABC ∆为正三角形，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数R a x ax x g x x f ∈-==,21)(,ln )(2. （1）设)()()(x g x f x h -=，若0)1(=h ，求)(x h 的单调区间； （2）设0>>n m ，比较n m n f m f --)()(与222n m n+的大小.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆⎩⎨⎧+=+=θθsin 22,cos 22:x x C （θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点B A ,的极坐标分别为)0,1(),,1(π.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若P 为圆C 上的一动点，求22||||PB PA +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|2||12|)(-+-=x x x f . （1）求不等式3)(≥x f 的解集； （2）若)0,(11)(>+≥n m nm x f 对任意R x ∈恒成立，求n m +的最小值.“超级全能生”2020届高考全国卷26省9月联考乙卷数学文试题答案一、选择题1-5:CDCAD 6-10:BABCC 11、12：DA二、填空题13. 8+π 14. 1± 15. )89,0( 16. 2019三、解答题17.解：（1）由4sin 24sin 4π=∠BAC ，得21sin =∠BAC ，又AC BC <，则4π<∠BAC ，解得6π=∠BAC .所以127π=∠ACB ， 所以ABC ∆的面积)13(4127sin 42421+=⨯⨯⨯=πS . （2）设x AB =，则在ABC ∆中，由余弦定理得4cos816322πx x -+=，即016242=--x x ，解得6222+=x （舍负），62+=∴BD .在BCD ∆中，由余弦定理34164cos2222-=⋅-+=πBD BC BD BC CD .18. 解：（1）证明：在图1中，作AB CH ⊥于H ，则23,21==AH BH ，又,3,23,1=∴=∴=CA CH BC BC AC ⊥∴， 平面⊥ADC 平面ABC ，且平面⋂ADC 平面AC ABC =， ⊥∴BC 平面ADC ，又⊂AD 平面ADC ，AD BC ⊥∴.（2）如图2，E 为AB 的中点，E ∴到平面BCD 的距离等于A 到平面BCD 距离的一半.而平面⊥ADC 平面BCD ，所以过A 作CD AQ ⊥于Q ，又由C CD BC BC AQ =⋂⊥,则⊥AQ 平面AQ BCD ,就是A 到平面BCD 的距离.由图易得23==CH AQ . E ∴到平面BCD 的距离为43.19. 解：（1）甲的平均值5.2020)031221(61=++++--=→甲X ， 乙的平均值5.2020)5.22305.22(61=+++++--=→乙X ， 甲的方差])205.20()235.20()225.20()215.20()185.20()195.20[(612222222-+-+-+-+-+-=甲S1235=乙的方差])5.225.20()225.20()235.20()205.20()5.175.20()185.20[(612222222-+-+-+-+-+-=乙S314= 因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好. （2）由题意得上述6部乙种手机中有3部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值，记它们分别是321,,A A A ，其余的为321,,a a a ，从上述6部乙种手机中随机抽取2部的所有结果为),,(),,(),,(),,(21113121a A a A A A A A ),,(),,(3231A A a A),,(),,(),,(322212a A a A a A ),,(),,(),,(332313a A a A a A ),(),,(),,(323121a a a a a a ，共有15种，其中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的结果为),,(),,(),,(312111a A a A a A ),,(12a A),(),,(),,(),,(),,(3323133222a A a A a A a A a A ，共有9种，所以所求概率为53159==P . 20. .解：（1）由已知得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+2222222111c b a a c b a ，解得2,2==b a . ∴椭圆E 的方程为12422=+y x . （2）把m x y +=代入E 的方程得0424322=-++m mx x ，设),(),,(2211y x B y x A ，则342,3422121-=-=+m x x m x x ， 66,0)6(82<<->-=∆m m ，222212212634342491624)(1||m m m x x x x kAB -=-⨯-⋅=-++=设AB 的中点为P ，则)3,32(,3,32221mm P m x m y m x x x P P P -∴=+=-=+=3:m x y PC --=∴，令0=x ，则)3,0(m C -， 由题意可知，||23||AB PC =222634239494m m m -⨯=+∴，解得5103±=m .符合0>∆， ∴直线l 的方程为5103±=x y . 21.解：（1）0121)1(=+-=a h ，所以2=a ， 此时xx x x x x h x x x x x h 2221121)(,0,ln )(-+=+-='>+-=，0>x ，由0)(>'x h 得10<<x ，由0)(<'x h 得1>x ，)(x h ∴的单调增区间是)1,0(，单调递减区间是),1(+∞.（2）设0),()]()([)(>---=x m x m f x f m x ϕ，则xxm x -=')(ϕ， 当),0(m x ∈时，)(,0)(x x ϕϕ∴>'在),0(m 上单调递增，0)()(,0=<∴>>m n n m ϕϕ ，即mn m n f m f m n m f n f m 1)()(,0)()]()([>--∴<---，又mn m n mn n m 12,22222<+∴>+ ， 222)()(nm nn m n f m f +>--∴. 22.解：（1）把圆C 的参数方程化为普通方程为2)2()2(22=-+-y x ，即064422=+--+y x y x ， 由θρθρρsin ,cos ,222===+y x y x ，得圆C 的极坐标方程为06sin 4cos 42=+--θρθρρ.（2）设B A P ,),sin 22,cos 22(θθ++的直角坐标分别为)0,1(),0,1(-，则222222)sin 22()cos 21()sin 22()cos 23(||||θθθθ+++++++=+PB PA]38,6[)4sin(1622∈++=πθ所以22||||PB PA +的取值范围为]38,6[.23.解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<+≤+-=)2(33)221(1)21(33)(x x x x x x x f ，其图象如图所示，由图可知3)(≥x f 的解集为0|{≤x x 或}2≥x .（2）由图知2311,23)(min ≤+∴=n m x f .23≤+∴mn n m ， 即2)2(2323n m mn n m +≤≤+，当且仅当n m =时等号成立，0,>n m ，解得38≥+n m ，当且仅当n m =时等号成立故n m +的最小值为38.。

超级全能生2016高考全国卷26省联考 数学（理科乙卷）一、选择题1.已知{y |y 2,x 1}x U ==≥-，1{x |1}1A x =≥-则U C A =（） A.[1/2,2]B.[2,)+∞ C.[1/2,1](2,)+∞U D.[1/2,1)(2,)+∞U 答案：C解析：[1/2,),(1,2]U A =+∞= 2.复数z 满足zi z i=-则z =（） A.12i + B.12i- C.1＋iD.1－i 答案：B解析：设z a bi =+代入解得1/2a b ==3.执行如图所示的程序框图，则输出的k 为 A.7B.8C.9D.10 答案：B解析：348log 2log 3...log 7lg 2/lg81/3S =⨯⨯⨯==4.从自然数1~9中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为（） A.23B.13C.19D.18 答案：C解析：基本事件总数729936C C ==平均数为5的事件包括：辍选1,9;2,8,3,7;4,6共四种可能 5.如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A.163B.4C.3D.2 答案：D解析：四棱锥的直观图如图所示底面为直角梯形AA ’EC ，2()322a aS a =+⨯= 四棱锥的高FB ，22a h ==，因此123V Sh == 6.在平面内，过定点P 的直线1mx y +=与过定点Q 的直线30x my -+=相交于点M ，则||||MP MQ ⋅的最大值为（）A.102B.10C.10D.5 答案：D解析：查考过定点的直线系 定点(0,1),(3,0)P Q -10PQ =为定长设MQ=x ，MP=y ，则222210/2x y PQ xy xy +=≥⇒≤7.若函数f(x)同时满足以下三个性质：(1)f(x)的最小正周期为π；(2),()()04x f x f x π∀∈-+-=R ；(3)f(x)在(,)42ππ上是减函数，则f(x)的解析式可能是（）A.()sin 2cos 2f x x x =+B.()sin 2f x x =C.()tan(/8)f x x π=+D.()cos 2f x x = 答案：A解析：三个性质分别对应周期性、奇偶性和单调性 首先由单调性排除正切函数其余三个函数周期性与单调性均满足 考查()2sin(2/4)f x x π=+(/4)2sin(2/4)f x x ππ-=-正好满足性质(2)8.设x,y 满足约束条件3274x y x y a +≤⎧⎨-≤⎩且z ax y =+的最大值为4，则a ＝（）A.2B.23C.－2D.－4答案：A解析：联立线性方程得交点72283,1111a ax y +-==22(214)411ax y a a +=++=因此2280a a +-=即a=2或－4 其中a=－4使约束条件与目标函数平行故舍去 9.若函数12(),()f x f x 满足12()()dx 0(0)aa f x f x a -⋅=>⎰，则称12(),()x f x 是区间[－a,a]上的一组Γ函数，给出下列四组函数： (1)212(),()1f x x f x x ==+ (2)12()cos ,()tan f x x f x x == (3)12()21,()21f x x f x x =-=+ (4)12()sin ,()cos f x x f x x ==其中是区间[－1/2,1/2]上的Γ函数的组数是（） A.0B.1C.2D.3 答案：C解析：对称区间上定积分为零，被积函数一定是奇函数，因此只有(2)(4)10.已知a,b 是单位向量，且夹角为60°，若向量p 满足|a b p |1/2--=，则|p|的最大值为（） A.12B.1C.32D.2 答案：C解析：如图所示单位向量|a-b|=1 因此|1|p |||a b p |1/2|p |11/2-≤--=⇒≤+11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，P 为棱A ’B ’中点，点Q 在侧面DCC ’D ’内运动，若∠PBQ ＝∠PBD ’，则动点Q 的轨迹所在曲线为（） A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 答案：C解析：考查圆锥曲线的定义，如图所示 平行于圆锥旋转轴BP 的截面截得双曲线 而侧面DCC ’D ’显然平行于旋转轴BP12.已知函数22ln (x m)()x f x x+-=，若存在[1,2]x ∈使得'()()0f x x f x ⋅+>，则实数m 的取值范围是（）A.(－∞,2)B.(2,52)C.(0,52)D.(－∞,52)答案：D解析：考查导数及二次不等式22[2/2()][2ln (x m)]'()x x m x x f x x +--+-=因此2'()()2()0f x x f x x m x⋅+=+-> 不等式可转化为2()10,[1,2]g x x mx x =-+>∈ 本题要求存在x ，即(1)0(2)05/2g g m >>⇒<或 若要求恒成立，则根据对称轴x=m/2的位置分类讨论当122m ≤≤时()02mg m φ>⇒∈当/21m <时(1)02g m >⇒< 当/22m >时(2)0g m φ>⇒∈ 二、填空题13.已知:p x m ≤，:|2|1q x -<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是___ 答案：[3,)+∞解析：{x |x m}P =≤{x |1x 3}Q =<<题设等价于Q P ⊂14.已知n 为正整数，在2(1)n x -与(1)n x +展开式中2x 项的系数相同，则n=___ 答案：2解析：4222(21)(22)(23)/24(1)/2n n C C n n n n n n =⇒---=-化简得24802n n n -=⇒=15.在等腰ABC ∆中，AB=AC ，||26AC BC +=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为___答案：4解析：如图所示，设等腰ABC ∆底边上的高AO=h 底角α为锐角，设OC=x ，则BC=CD=2x ， 由三角形法则得26AD =ABC S hx ∆==22224(249)9()163S x x x =-=--+当24/3x =时面积S 取最大值416.设12,F F 是椭圆22:15x C y +=的两焦点，点P （异于两焦点）关于两焦点的对称点分别为12,P P ，线段PQ 的中点在椭圆C 上，则12|PQ ||P Q |+=___答案：解析：特殊点法，设P(0,0)，Q(2a,0)，则P1(-2c,0),P2(2c,0)则12|P Q ||P Q |+=2a+2c+2a-2c=4a ，而a =三、解答题17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，2222,*n n S a n n n N +=++∈ (1)求数列{}n a 的通项公式 (2)求数列{n(n)}n a -的前n 项和n T 解析：15/3a =当2n ≥时2112(1)2(1)2n n S a n n --+=-+-+，作差得1321n n a a n --=+，整理得13()(1)n n a n a n --=--因此{()}n a n -为首项2/3、公比1/3的等比数列因此23n n a n =+(2)2n(n)3n n na -=2122(...)333n n n T =+++2311122(...)3333n n n T +=+++作差得2121112(...)33333n n n n T +=+++-因此31(1)233n n n nT =--18.某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取）.第一种抽奖方式：若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元.第二种抽奖方式：抽到白球，获得奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元.(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获得奖金70元的概率(2)若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利.解析：(1)X=2000可抽奖4次，得奖金70元，共有两种情形：抽得3红1黑；抽得1红3白因此所求事件的概率为3113424349221C C C C P C +==(2)X=1200可抽奖2次用第一种抽奖方式，获得奖金可能为20,30,40,50,60,8024291(20)6C P C ==1143291(30)3C C P C ==23291(40)12C P C ==1142292(50)9C C P C ==1132291(60)6C C P C ==22291(80)36C P C ==随机变量 20 3040 50 60 80 P 1/61/3 1/12 2/9 1/6 1/36期望20/630/340/12100/960/680/3640E ξ=+++++= 用第二种抽奖方式，获得奖金可能为0,50,100,150,20024291(0)6C P C ==1143291(50)3C C P C ==2113422911(100)36C C C P C +==1132291(150)6C C P C ==22291(200)36C P C ==随机变量 0 50100 150 200 P 1/61/3 11/36 1/6 1/36期望050/31100/36150/6200/36700/9E η=++++=明显第二种抽奖方式更有利。

2017年26省份超级全能生联考注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1、学习为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位学生，每个学生至少获得一幅，则在所有送法中甲得到名画“竹”的概率是（）A．B．C．D．来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题【答案】C【解析】由题意可知总方法数，先分3组，，再分配=6，由分步计数原理可知总方法数，满足条件方法数，概率。

选C.2、已知集合，则（）A．B．C．D．来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题【答案】D【解析】由题意得，所以=，选D.3、下列说法正确的是（）A．命题“若，则.”的否命题是“若，则.”B．是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件C．D．若命题，则来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题【答案】D【解析】“若p则q”的否命题是“若则”，所以A错。

在定义上并不是单调递增函数，所以B错。

不存在，C错。

全称性命题的否定是特称性命题，D对，选D.4、《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的一段话“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”用程序框图表示如图，那么这个程序的作用是（）A．求两个正数的最小公倍数B．求两个正数的最大公约数C．判断其中一个正数是否能被另一个正数整D．判断两个正数是否相等除来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题【答案】B【解析】这是更相减损术，是用来求两个正数的最大公约数，选B.5、在中，分别是角的对应边，若，则下列式子正确的是（）A．B．C．D．来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题【答案】C【解析】由题意可知,由余弦定理,所以,即,选C.6、在中，是的中点，在上，且，则（）A．B．C．D．来源：【全国省级联考】”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（理）试题【答案】A【解析】如下图，以B为原点，BA,BC分别为x,y轴建立平面坐标系A(4,0),B（0，0），C（0，6），D(2,3),设E(0,t),,即，。

2021年“超级全能生”高考数学联考试卷（文科）（3月份）（甲卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·陕西省·模拟题)已知集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|x>a}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围是()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. (−∞,1]D. (−∞,1)2.(2021·天津市市辖区·模拟题)为检测疫苗的有效程度，某权威部门对某种疫苗进行的三期临床效果比较明显的受试者，按照年龄进行分组，绘制了如图所示的样本频率分布直方图，其中年龄在[20,30)内的有1400人，在[60,70)内有800人，则频率分布直方图中a的值为()A. 0.008B. 0.08C. 0.006D. 0.063.(2021·陕西省·模拟题)已知锐角α满足2cosα+sinα2cosα−sinα=−5，则cos2α的值为()A. 35B. 45C. −35D. −454.(2021·陕西省·模拟题)已知z+1z−=2i(i为虚数单位)，则|z−1|=()A. 23B. 2√23C. 2D. 2√25.(2021·陕西省·模拟题)已知函数f(x)=x+sin2x，则函数y=f(x)的图象大致为()A. B.C. D.6.(2021·陕西省·模拟题)一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中不放回地抽取2个球，则2个球的编号和不小于7的概率为()A. 25B. 310C. 35D. 7107.(2021·陕西省·模拟题)如图，已知A，B分别是半径为2的圆C上的两点，且∠ACB=45°，P为劣弧AB⏜上一个异于A，B的一点，过点P分别作PM⊥CA，PN⊥CB，垂足分别为M，N，则MN的长为()A. 3√22B. √2C. 2D. 328.(2021·全国·模拟题)如图所示的程序输出的结果为10221023，则判断框中应填()A. i ≥10？B. i ≤10？C. i ≥9？D. i ≥11？9. (2021·陕西省·模拟题)已知M ，N 是椭圆x 24+y 29=1上关于原点对称的两点，P 是该椭圆上不同于M ，N 的一点，若直线PM 的斜率k 1的取值范围为[−54,−1]，则直线PN 的斜率k 2的取值范围为( )A. [59,1]B. [95,94]C. [1,54]D. [49,59]10. (2021·陕西省·模拟题)已知函数f(x)=e x −a +1在点O(0,0)处的切线与函数g(x)=ax 2−ax −xlnx +1的图象相切于点A ，则点A 坐标为( )A. (14,58+12ln2)B. (12,12+12ln2)C. (1,1)D. (2,5−2ln2)11. (2021·陕西省·模拟题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ∈[√53,√2]，a =1，且abcosC +ccosB =bc ，则cos A 的取值范围是( )A. [12,58]B. [12,34]C. [0,58]D. [0,34]12. (2021·陕西省·模拟题)已知函数f(x)={|xlnx|,x >0|x(x +1)|,x ⩽0，关于x 的方程f 2(x)+tf(x)+1=0(t ∈R)有8个不同的实数根，则t 的取值范围是( )A. (−1e −e,+∞) B. (−2e ,−12)∪(−∞,−1e −e) C. (−∞,−174)D. (2,+∞)∪(−∞,−174)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·全国·模拟题)已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−1,1)，则|2a ⃗ +3b ⃗ |= ______ ．14. (2021·陕西省·模拟题)设变量x ，y 满足约束条件{x +4y −14⩽04x −3y +1⩽05x +y +6⩾0，则z =y+2x+4的最大值是______ ．15. (2021·全国·模拟题)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的右支交于第一象限内的一点P ，若G(b 3,a3)为△F 1PF 2的重心，则该双曲线的离心率为______ ．16. (2021·陕西省·模拟题)如图，在三棱锥A −BCD 中，BC =CD =BD =2√2，AB =AC =AD =2a ，若该三棱锥的侧面积是底面积的√3倍，则该三棱锥外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·广东省东莞市·模拟题)数列{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 1=1，a 18=a 2a 9，数列{b n }满足b n =2a n ． (Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)令T n =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n ，求T n 的值．18. (2021·陕西省·模拟题)如图，在底面为菱形的四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=A 1B =1，∠BAD =∠A 1AD =60°，A 1在底面ABCD 内的射影E 为线段AC 上一点． (Ⅰ)求AE 的长；(Ⅱ)求三棱锥C −ABD 1的体积．19.(2021·陕西省·模拟题)某企业为改变工作作风，树立企业形象，开展了为期半年的行风整治行动，现需要对整顿之后的情况进行问卷调查，随机从收回的有效问卷中抽查100份，根据这100份问卷的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，样本数据分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(Ⅰ)估计评分的平均数和中位数(结果保留四位有效数字)；(Ⅱ)用分层抽样从[60,70)和[80,90)抽取5人，然后从这5人中选取3人进行进一步调查，求这3人中只有1人来自[60,70)的概率．x2+ax−20.(2021·陕西省·模拟题)已知函数f(x)=e x+alnx(a∈R)，g(x)=e x−12 1．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a>0时，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有两个极值点x1，x2(x1≠x2)，求证：ℎ(x1)+ℎ(x2)<−2．21.(2021·全国·模拟题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(2,1)是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得|AE|+|EF|有最小值3．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)设直线l：2x−y+4=0，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线l1，过点A的动直线l2与抛物线相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线l1于点M，N，证明：|AM|=|AN|．22. (2021·全国·模拟题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =4k1+k 2y =√3(1−k 2)1+k2(k 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ+π3)=1．(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点A(1,0)，若l 和曲线C 的交点为M ，N ，求|AM|⋅|AN|．23. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=2x +1+a|x −1|． (Ⅰ)当a =3时，求函数f(x)的最小值m ；(Ⅱ)当x ∈(−1,1)时，不等式f(x)>x 2+2恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【知识点】交集及其运算【解析】解：因为集合A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，又A∩B=⌀，所以a≥3．故选：A．先求出集合A，然后利用集合交集的定义以及空集的含义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集以及空集的理解和应用，属于基础题．2.【答案】A【知识点】频率分布直方图【解析】解：频率分布直方图中，年龄在[20,30)内的有1400人，在[60,70)内有800人，[20,30)的对应的小矩形的高为0.014，[60,70)对应的小矩形的高为a，∴14000.014=800a，解得a=0.008．故选：A．频率分布直方图中，年龄在[20,30)内的有1400人，在[60,70)内有800人，再由[20,30)的对应的小矩形的高为0.014，[60,70)对应的小矩形的高为a，列方程能求出a的值．本题考查频率的运算，涉及到频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．3.【答案】D【知识点】二倍角公式及其应用【解析】解：∵2cosα+sinα2cosα−sinα=−5，∴2+tanα2−tanα=−5，∴tanα=3，∴cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−91+9=−45．故选：D．对已知等式同除余弦，可求得tanα=3，再结合二倍角公式和同除余弦，即可得解．本题考查二倍角公式，同角三角函数的商数关系，对于齐次式，采用“同除余弦可化切”的处理方法是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．4.【答案】B【知识点】复数的模【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，由z+1z−=2i，得(a+1)+bi=2i(a−bi)=2b+2ai，∴{a+1=2bb=2a，解得a=13，b=23，∴|z−1|=|13+23i−1|=|−23+23i|=√(−23)2+(23)2=2√23．故选：B．设z=a+bi(a,b∈R)，代入z+1z−=2i，整理后利用复数相等的条件列式求得a与b的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．5.【答案】D【知识点】函数图象的作法【解析】解：f(−x)=−x−sin2x=−(x+sin2x)=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x>π时，f(x)>0，排除C，故选：D．判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】C【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6， 从中不放回地抽取2个球， 基本事件总数n =6×5=30，2个球的编号和不小于7包含的基本事件有18个，分别为： (1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,3)，(5,4)， (5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)， 则2个球的编号和不小于7的概率为P =1830=35． 故选：C ．从中不放回地抽取2个球，基本事件总数n =6×5=30，2个球的编号和不小于7包含的基本事件有18个，利用列举法能求出2个球的编号和不小于7的概率．本题考查概率的运算与应用，涉及到古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等数学核心素养，是基础题．7.【答案】B【知识点】解三角形的实际应用 【解析】解：因为PM ⊥CA ，PN ⊥CB ， 所以P ，N ，M ，C 四点在以PC 为直径的圆上， 由题意可知，PC =2，所以△MNC 外接圆的直径为2， 由正弦定理可得，MNsin45∘=2，解得MN =√2． 故选：B ．利用平面几何知识，得到P ，N ，M ，C 四点在以PC 为直径的圆上，求出PC 的长，然后利用正弦定理求解MN 即可．本题考查了三角形外接圆问题，解题的关键是掌握正弦定理及其应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．8.【答案】A【知识点】程序框图【解析】解：因为S =S +2I(2I −1)(2i+1−1)=S +12i −1−12i+1−1，模拟程序的运行，k 次运行后，S =121−1−122−1+122−1−123−1+⋯+12k −1−12k+1−1=1−12k+1−1=2k+1−22k+1−1=10221023， 解得k +1=10， 可得k =9．所以判断框中应填i ≥10？ 故选：A ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】B【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：设M(x 0,y 0)，由题意可得N(−x 0,−y 0)，P(x 1,y 1)，则{x 024+y 029=1x 124+y 129=1，作差可得：y 02−y 12x 02−x 12=−94，k MP ⋅k NP =y 1−y 0x 1−x 0⋅y 1+y0x 1+x 0=y 12−y 02x 12−x 02=−94，所以k 2=−94k 1，又因为率k 1∈[−54,−1]，所以4k 1∈[−5,−4]， 所以94k 1∈[−94,−95]所以k 2∈[95,94]， 故选：B ．设M ，P 的坐标，由题意可得N 的坐标，将M ，N 的坐标代入椭圆的方程，作差可得直线PM ，PN 的斜率之积，再由直线PM 的斜率的范围，求出直线PN 的斜率的范围． 本题考查点差法求两条直线的斜率之积及椭圆的性质，属于中档题．10.【答案】C【知识点】导数的几何意义【解析】解：函数f(x)=e x −a +1的导数为f′(x)=e x ， 可得函数f(x)=e x −a +1在点O(0,0)处的切线的斜率为e 0=1， 且f(0)=2−a =0，即a =2，又g(x)=2x 2−2x −xlnx +1的导数为g′(x)=4x −2−1−lnx =4x −3−lnx ， 设A(m,n)，则n =2m 2−2m −mlnm +1， 且4m −3−lnm =1，即4m −lnm =4， 由y =4x −lnx 的导数为y′=4−1x ，可得x >14时，y =4x −lnx 递增，又x =1时，y =4−ln1=4， 所以方程4m −lnm =4的解为m =1， 则A 的坐标为(1,1)． 故选：C ．求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率，设A(m,n)，求得g(x)的导数，可得切线的斜率，即4m −lnm =4，由y =4x −lnx 的单调性，可得所求m ，n 的值． 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【知识点】利用基本不等式求最值、两角和与差的三角函数公式、余弦定理、正弦定理 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式得到b =1c ，进而利用余弦定理，基本不等式，分类讨论即可求解． 【解答】解：因为a =1，且abcosC +ccosB =bc ，所以bcosC +ccosB =bc ，由正弦定理可得sinBcosC +sinCcosB =bsinC ， 所以sin(B +C)=sinA =bsinC ， 所以b =sinAsinC =a c=1c，因为cosA =b 2+c 2−a 22bc =1c 2+c 2−12≥2√1c2⋅c 2−12=12，当且仅当c =1时取等号，当c =√53，c 2=59，cosA =95+59−12=6190；当c =√2，c 2=2，cosA =12+2−12=34，因为34>6190，所以cosA ∈[12,34]. 故选：B ．12.【答案】C【知识点】分段函数模型【解析】解：当x >0时，f(x)=|xlnx|，令F(x)=xlnx ，F′(x)=lnx +1， 令F′(x)=lnx +1=0，解得x =1e ，F(1e )=−1e ，f(1e )=1e ，故当x >0时，函数f(x)在(0,1e )上单调递增，在(1e ,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当x <0时，可得函数f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,−12)上单调递增，在(−12,0)上单调递减．又f(−12)=14，f(1e )=1e ，故刻画出函数f(x)的大致图象如图：令m =f(x)，则已知方程可化为m 2+tm +1=0．观察图象可知，当m >1e 时，只有2个交点；当m =1e 时，有3个交点；当14<m <1e 时，有4个交点；当0<m <14时，有6个交点．要想满足题意，则只需使得方程m 2+tm +1=0在(14,1e )上存在两个不同实数根，或在(1e ,+∞)和(0,14)上各有1个根，方程m 2+tm +1=0的两根之积为1， 令g(m)=m 2+tm +1， 由题意，{g(14)<0g(4)<0，解得t <−174，即t 的取值范围是(−∞,−174).故选：C ．利用导数及二次函数分析原函数的单调性，画出图象，令m =f(x)，则已知方程可化为m 2+tm +1=0，由m 的不同范围可得y =m 与y =f(x)的交点情况，得到符合题意的m 的范围，转化为关于m 的不等式组求解．本题考查分段函数的应用，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，属难题．13.【答案】√26【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、向量的概念及几何表示 【解析】解：∵a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−1,1)， ∴2a ⃗ +3b ⃗ =2(1,1)+3(−1,1)=(−1,5)， 故|2a ⃗ +3b ⃗ |=√1+25=√26， 故答案为：√26．求出2a ⃗ +3b ⃗ 的坐标，再求出|2a ⃗ +3b ⃗ |的值即可． 本题考查了向量的运算，考查向量求模问题，是基础题．14.【答案】3【知识点】简单的线性规划【解析】解：画出约束条件{x +4y −14⩽04x −3y +1⩽05x +y +6⩾0所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z =y+2x+4，表示平面区域的点与点D(−4,−2)连线的斜率， 结合图象可知，当过点C 时，此时直线的斜率最大，又由{x +4y −14=05x +y +6=0，解得x =−2，y =4，所以目标函数的最大值为z =4+2−2+4=3，故答案为：3．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.【答案】1+√52【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：令P(m,n)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，由重心坐标公式可得，{b3=m+c−c3a3=n+0+03，即{m =b n =a ，∴P(b,a)，∵P 在曲线C 上，∴b 2a 2−a 2b2=1，即b 4−a 4=a 2b 2， 把b 2=c 2−a 2代入，可得c 4−3a 2c 2+a 4=0， 即e 4−3e 2+1=0，解得e 2=3+√52或e 2=3−√52(舍去)，∴e =1+√52(e >1)，故答案为：1+√52．设出P 点坐标，利用重心坐标公式求得P 的坐标，代入双曲线方程，结合隐含条件即可求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查重心坐标公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】12π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：取BC 边的中点E ，连结AE ，如图所示， △BCD 外接圆的圆心为F ，三棱锥A −BCD 外接球的球心为O ， 因为AB =AC 且点E 为BC 的中点，所以AE =√4a 2−2， 由此可知该三棱锥的侧面积S 侧=3√2×√4a 2−2=6√2a 2−1，底面△BCD 的面积为2√3，所以6√2a 2−1=√3×2√3，解得a =1， 设三棱锥A −BCD 外接球半径为R ，OF =x ，因为AB =AC =AD =2，所以点A 在底面BCD 上的射影为点F ， 因为AB <BC ，故三棱锥外接球球心O 在直线AF 的延长线上， BF 为△BCD 外接圆的半径，所以BF =2√63，)2=4①，在Rt△ABF中，由勾股定理可得(R−x)2+(2√63)=R2②，在Rt△OBF中，由勾股定理可得x2+(2√63，由①②解得R=√3,x=√33所以外接球的表面积S=4πR2=12π．故答案为：12π．取BC边的中点E，连结AE，如图所示，△BCD外接圆的圆心为F，三棱锥A−BCD外接球的球心为O，求出侧面积和底面积，从而可求出a的值，再利用球的几何性质结合勾股定理，求出球的半径，利用球的表面积公式求解即可．本题考查了三棱锥的外接球问题，主要考查了外接球的表面积的求解，解题的关键是掌握三棱锥和球的几何性质，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d，由题意得1+17d=(1+d)(1+8d)，解得d=1或0(舍)，∴a n=1+(n−1)×1=n，∴b n=2n．(Ⅱ)由(Ⅰ)知T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n b n=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，∴2T n=1×22+2×23+3×24+⋯+(n−1)×2n+n×2n+1，两式相减得−T n=1×2+1×22+1×23+⋯+1×2n−n×2n+1=(1−n)×2n+1−2，∴T n=(n−1)×2n+1+2．【知识点】错位相减法、等差数列的通项公式【解析】本题考查等差数列的通项公式、错位相减法求数列前n项和，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件列出关于d的方程，解方程求出d，进而求出数列{a n}的通项公式，即可求出数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)得T n，再利用错位相减法即可求解．18.【答案】解：(Ⅰ)∵AB=AD=AA1=A1B=1，∴△BAA 1为等边三角形，又∠A 1AD =60°，A 1A =AD ，∴△A 1DA 为等边三角形， 可得A 1B =A 1A =A 1D ，又E 为A 1在底面ABCD 内的射影， 可知AE =BE =DE ，即E 为底面三角形ABD 外接圆的圆心， ∴AE =23×√32×1=√33； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，A 1E ⊥底面ABCD ，且AC ⊂底面ABCD ， ∵AE =√33，AA 1=1，∴A 1E =√1−13=√63，∴V C−ABD 1=V D 1−ABC =13×12×1×1×sin120°×√63=√212．【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】(Ⅰ)由已知条件得出点A 1在底面ABCD 上的射影是三角形ABD 的外心即可求解；(Ⅱ)利用等体积法求三棱锥C −ABD 1的体积．本题考查三棱锥的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)估计评分的平均数为：55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77． ∵[50,70)的频率为：(0.005+0.020)×10=0.25， [70,80)的频率为：0.035×10=0.35， ∴中位数为：70+0.5−0.250.35×10≈77.14．(Ⅱ)用分层抽样从[60,70)和[80,90)抽取5人，则从[60,70)中抽取：5×0.0200.020+0.030=2人，从[80,90)中抽取：5×0.0300.020+0.030=3人， 然后从这5人中选取3人进行进一步调查，基本事件总数n =C 53=10，这3人中只有1人来自[60,70)的包含的基本事件个数m =C 21C 32=6．∴这3人中只有1人来自[60,70)的概率P =m n=610=35．【知识点】频率分布直方图、基本事件【解析】(Ⅰ)利用频率分布直方图的性质能估计评分的平均数和中位数．(Ⅱ)用分层抽样从[60,70)和[80,90)抽取5人，则从[60,70)中抽取2人，从[80,90)中抽取3人，然后从这5人中选取3人进行进一步调查，分别求出基本事件总数和这3人中只有1人来自[60,70)的包含的基本事件个数，由此能求出这3人中只有1人来自[60,70)的概率．本题考查平均数、中位数、概率的运算，涉及到频率分布直方图的性质、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=e x+ax，当a≥0时，f′(x)>0，故函数f(x)在(0,+∞)单调递增，当a<0时，令y1=e x，y2=−ax，显然这两个图像有1个交点，不妨令f′(x0)=0，则当x∈(0,x0)时，y2>y1，即f′(x)<0，故f(x)在(0,x0)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，y2<y1，即f′(x)>0，故函数f(x)在(x0,+∞)单调递增，综上：当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)单调递增，当a<0时，f(x)在(0,x0)单调递减，在(x0,+∞)单调递增；(Ⅱ)证明：ℎ(x)=alnx+12x2−ax+1，则ℎ′(x)=x2−ax+ax，此时x1，x2是方程x2−ax+a=0的两根，且△=a2−4a>0，解得：a>4，由韦达定理得：x1+x2=a，x1x2=a，∴ℎ(x1)+ℎ(x2)=aln(x1x2)+12(x12+x22)−a(x1+x2)+2=alna+12(a2−2a)−a2+2=alna−a−12a2+2，令F(a)=alnx−a−12a2+2，(a>4)，则F′(a)=lna+1−1−a=lna−a，令S(a)=lna−a，则S′(a)=1a−1，∵a>4，∴S′(a)<0，函数S(a)在(4,+∞)单调递减，∴S(a)<S(4)=ln4−4<0，即F′(a)<0，∴函数F(a)在(4,+∞)上单调递减，∴F(a)<F(4)=4ln4−4−8+2=4ln4−10=8ln2−10，∵ln2<1，∴8ln2<8，∴F(a)<−2，∴ℎ(x1)+ℎ(x2)<−2．【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，对参数a 的取值范围分类讨论，再利用导数研究函数的单调性即可；(Ⅱ)先确定ℎ(x)存在极值点的条件，再利用韦达定理对ℎ(x 1)+ℎ(x 2)进行化简，构造函数求其最大值并比较即可得到结论．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)过点E 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为点D ，根据抛物线的定义可得|EF|=|ED|， 于是|AE|+|EF|=|AE|+|ED|，当A ，E ，D 三点共线时，|AE|+|ED|有最小值2+p2， 所以2+p2=3，解得p =2， 所以抛物线C 得方程为y 2=4x ． (Ⅱ)证明：直线l ：2x −y +4=0， 令x =0得y =4， 所以点B(0,4)，因为直线l 1平行于直线l ：2x −y +4=0，且过点A(2,1)， 所以直线l 1：2x −y −3=0， 设直线l 2：x −2=t(y −1)，联立{x −2=t(y −1)y 2=4x ，得y 2−4ty +4t −8=0，所以△=16(t 2−t +2)>0， 设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由韦达定理可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=4t −8， 所以直线PB 的方程为y =y 1−4x 1x +4，直线QB 的方程为y =y 2−4x 2x +4，联立{y =y 1−4x 1x +42x −y −3=0，解得x M =7x 12x1−y 1+4=7(ty 1+2−t)(2t−1)y 1+8−2t，同理可得x N =7(ty 1+2−t)(2t−1)y2+8−2t，所以x M +x N =7(ty 1+2−t)(2t−1)y1+8−2t +7(ty 1+2−t)(2t−1)y2+8−2t=2t(2t −1)y 1y 2+[(8−2t)t +(2t −1)(2−t)](y 1+y 2)+2(2−t)(8−2t)(2t −1)2y 1y 2+(2t −1)(8−2t)(y 1+y 2)+(8−2t)2×7=4t 2−4t+8t 2−t+2=4，因为x A =2， 所以x M +x N =2x A ， 即A 是线段MN 的中点． 所以|AM|=|AN|．【知识点】抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系【解析】(Ⅰ)利用抛物线的定义可得|EF|=|ED|，其中点D 为点E 在准线上的射影，再根据抛物线的定义可得|AE|+|ED|的最小值的表达式，从而求出p 的值，即可得出答案．(Ⅱ)由已知条件可求出直线l 1的方程，再设出直线l 2的方程并代入抛物线C 中化简求出P ，Q 两点横坐标之间的关系，从而设出直线BP ，并与直线l 1的方程联立求出x M ，同理可得x N ，从而可得x M +x N 的表达式，化简可得x M +x N =2x A ，即可得出结论． 本题考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程是{x =4k1+k 2y =√3(1−k 2)1+k 2(k 为参数)，转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1；直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ+π3)=1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x −√3y −1=0；(2)把直线的直角坐标方程为转换为{x =1+√32t y =12t(t 为参数)代入x 24+y 23=1，得到：134t 2+3√3t −9=0， 所以t 1t 2=−3613，即|AM|⋅|AN|=|t 1t 2|=3613．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极、坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)当a=3时，f(x)=2x+1+3|x−1|，当x≥1时，f(x)=2x+1+3x−3=5x−2，为递增函数，可得f(x)的最小值为3；当x<1时，f(x)=2x+1+3−3x=4−x，为递减函数，可得f(x)>3，所以f(x)的最小值为m=3；(Ⅱ)当x∈(−1,1)时，不等式f(x)>x2+2恒成立，即为2x+1+a(1−x)>x2+2，即a(1−x)>(x−1)2，可得a>1−x对x∈(−1,1)恒成立，由1−x∈(0,2)，可得a≥2，即a的取值范围是[2,+∞)．【知识点】不等式的恒成立问题【解析】(Ⅰ)由绝对值的定义，去绝对值，结合一次函数的单调性，可得所求最小值m；(Ⅱ)由题意可得a>1−x对x∈(−1,1)恒成立，求得1−x的范围，结合恒成立思想可得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．第21页，共21页。

2016年“超级全能生”26省联考高考数学模拟试卷（乙卷）（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，则A∩B=（）A．B． C． D．3．根据如下的样本数据：x 1 2 3 4 5 6 7y 7.3 5.1 4.8 3.1 2.0 0.3 ﹣1.7得到的回归方程为y=bx+a，则（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜04．点A是⊙O上的动点，点B是⊙O内的定点（不与点O重合）PQ垂直平分AB于Q，交OA 于点P，则点P的轨迹是（）A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线5．若函数f（x）同时满足以下三个性质：①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）+f（﹣x）=0；③f（x）在（，）上是减函数，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=sin2x+cos2x B．f（x）=sin2xC．f（x）=tan（x+）D．f（x）=cos2x6．已知点A（1，1），B（2，1），C（1，2），若﹣1≤λ≤2，2≤μ≤3，则的取值范围是（）A．[1，10] B．C．[1，5] D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．78．设x，y满足约束条件，且z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣49．如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．3 D．210．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：f（x）＞xf′（x），且f（2）=4，则不等式f（x）﹣2x＞0的解集为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（0，4）D．（4，+∞）11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P，Q是抛物线C的两点，且，弦PQ的中点E在准线上的射影为H，则的最大值为（）A．1 B．C．D．212．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上的动点，过点M作垂直于面ACC1A1的直线与正方体表面分别交于P、Q两点，设AM=x，PQ=y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知p：x≤m，q：|x﹣2|＜1，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．14．某校从五月开始，要求高三学生下午2：30前到校，加班班主任李老师下午每天到校，假设李老师和小红同学在下午2：00到2：30之间到校，且每人在该段时间到校都是等可能的，则小红同学比李老师至少早5分钟到校的概率为．15．已知点O为△ABC内一点，满足，若，则OB= ．16．直线l⊥平面α，垂足是点P，正四面体OABC的棱长为2，点O在平面α上运动，点A在直线l上运动，则点P到直线BC的距离的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n=n2+2n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）求数列{n•（a n﹣n）}的前n项和T n．18．某校高安文科600名学生参加了12月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语请客，利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000，001，002， (599)（1）若从第6行第7列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4恒值第7行）；12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （2）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：外语优良及格数学优8 m 9 良9 n 11 及格8 9 11若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；（3）在外语成绩为良的学生中，已知m≥12，n≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率．19．已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=AP，∠BAC=90°，D、E分别是AB，PC的中点，BF=2FC，△ABC是边长为2的等边三角形，O为它的中心，，D为PC的中点．（1）求证：PD∥平面AEF；（2）求AC与平面AEF所成角的正弦值．20．已知为椭圆C的左右焦点，点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线交椭圆C与A、B两点，圆M为△ABF1的内切圆，求圆M的面积的最大值．21．已知函数f（x）=xlnx（1）当x≥1时，若f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的取值范围；（2）求证：当n≥2且n∈N*时，．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1几何证明选讲】22．已知AB、DE为圆O的直径，CD⊥AB于N，N为OB的中点，EB与CD相交于点M，切线EF与DC的延长线交于点F．（1）求证：EF=FM；（2）若圆O的半径为1，求EF的长．【选修4-4坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，曲线为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，直线（1）求曲线C与直线l的直角坐标方程；（2）若P、Q分别为曲线C与直线l上的两动点，求|PQ|的最小值以及此时点P的坐标．【选修4-5不等式选讲】24．已知（1）比较f（3）与的大小；（2）求证：．2016年“超级全能生”26省联考高考数学模拟试卷（乙卷）（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复平面内表示复数==1﹣i，对应点为：（1，﹣1）在第四象限．故选：D．2．已知，则A∩B=（）A．B． C． D．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和集合B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵，∴A={x|1＜x＜3}，B={y|}，∴A∩B={x|1}=（1，）．故选：C．3．根据如下的样本数据：x 1 2 3 4 5 6 7y 7.3 5.1 4.8 3.1 2.0 0.3 ﹣1.7得到的回归方程为y=bx+a，则（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【考点】线性回归方程．【分析】已知中的数据，可得变量x与变量y之间存在负相关关系，且x=0时，a＞7.3＞0，进而得到答案．【解答】解：由已知中的数据，可得变量x与变量y之间存在负相关关系，故b＜0，当x=0时，a＞7.3＞0，故选：B．4．点A是⊙O上的动点，点B是⊙O内的定点（不与点O重合）PQ垂直平分AB于Q，交OA 于点P，则点P的轨迹是（）A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线【考点】轨迹方程．【分析】由题意可得，PQ是线段AB的中垂线，PB+PO=PA+PO=半径R（R＞OB），由椭圆的定义可得，点P的轨迹为椭圆．【解答】解：由题意可得，PQ是线段AB的中垂线，∴PA=PB，∴PB+PO=PA+PO=半径R，即点P到两个定点O、B的距离之和等于定长R（R＞OB），由椭圆的定义可得，点P的轨迹为椭圆，故选：C．5．若函数f（x）同时满足以下三个性质：①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）+f（﹣x）=0；③f（x）在（，）上是减函数，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=sin2x+cos2x B．f（x）=sin2xC．f（x）=tan（x+）D．f（x）=cos2x【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质逐个排除可得．【解答】解：四个选项的函数均满足：①f（x）的最小正周期为π；③f（x）在（，）上是减函数，可排除C；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）+f（﹣x）=0，用x+替换式中的x可得f（x﹣）+f（﹣x﹣）=0，即函数的图象关于点（﹣，0）对称，可排除BD，验证可得A符合题意．故选：A．6．已知点A（1，1），B（2，1），C（1，2），若﹣1≤λ≤2，2≤μ≤3，则的取值范围是（）A．[1，10] B．C．[1，5] D．【考点】向量的模．【分析】用坐标表示出λ+μ以及模长，根据λ、μ的取值范围，转化为不等式组表示的平面区域内的点到原点的距离最值问题，即可求出答案．【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），∴λ+μ=（λ，μ），∴|λ+μ|=；又∵﹣1≤λ≤2，2≤μ≤3，∴λ、μ满足不等式组，作出不等式组对应的平面区域，得到如图所示的矩形CDEF及其内部区域，其中C（2，2），D（2，3），E（﹣1，3），F（﹣1，2），则区域内的点到原点的距离最小值为|OP|=2，最大值为|OD|==；∴的取值范围是[2，]．故选：D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．8．设x，y满足约束条件，且z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣4【考点】简单线性规划．【分析】由题意可得最值只能在两直线的交点取到，解方程组代点可得a的方程，解方程结合图象验证可得．【解答】解：由题意可得约束条件所对应的区域为两直线3x+2y=7和4x﹣y=a所夹的角形的无限区域，故最值只能在交点取到，解方程组可得，代入计算可得a•+=4，解得a=2或a=﹣4，经验证当a=2时，z=ax+y取最大值4，当a=﹣4时，z=ax+y取最小值4，故选：A．9．如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为：AB⊥BC，AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABD+V E﹣ABC，即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为：AB⊥BC，AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC．连接AE，该几何体的体积V=V E﹣ABD+V E﹣ABC=+=+=2．10．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：f（x）＞xf′（x），且f（2）=4，则不等式f（x）﹣2x＞0的解集为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（0，4）D．（4，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＞xf′（x），∴g′（x）＜0即当x＞0时，函数g（x）单调递减，∵f（2）=4，∴g（2）==2，则不等式f（x）﹣2x＞0等价为g（x）＞g（2），即0＜x＜2，则不等式f（x）﹣2x＞0的解集为（0，2）．故选：B．11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P，Q是抛物线C的两点，且，弦PQ的中点E在准线上的射影为H，则的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由题意可知，P，Q到抛物线：y2=8x的准线的距离为d1和d2，根据中点坐标公式，求得丨EH丨=（丨PF丨+丨FQ丨），在△FPQ中，根据余弦定理丨PQ丨2丨PF丨2+丨FQ丨2﹣丨PF丨•丨FQ丨， =+，由基本不等式的性质可知≤1，即可求得≤1，求得的最大值．【解答】解：根据题意，设点P到抛物线C：y2=8x的准线的距离为d1，点Q到该抛物线的准线的距离为d2，则丨EH丨=（d1+d2）=（丨PF丨+丨FQ丨），在△FPQ中，根据余弦定理得：丨PQ丨2=丨PF丨2+丨FQ丨2﹣2丨PF丨•丨FQ丨cos∠PFQ，=丨PF丨2+丨FQ丨2﹣丨PF丨•丨FQ丨，==+，由均值不等式，丨PF丨2+丨FQ丨2≥2丨PF丨•丨FQ丨，则≤1，那么≤1，当且仅当丨PF丨=丨FQ丨时等号成立．故答案为：A．12．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上的动点，过点M作垂直于面ACC1A1的直线与正方体表面分别交于P、Q两点，设AM=x，PQ=y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据题意和正方体的特征，分析点P动的过程中，x随着y变化情况以及变化速度，结合正方体的对称性质可求．【解答】解：设正方体的棱长为1，AM=x∈[0，]，PQ=y∈[0，]，PQ在底面上的射影平行于BD，且最大值为BD．从而当P在AO上时，O为AC1的中点，分别过M、Q、P作底面的垂线，垂足分别为M1、Q1、P1，则y=PQ=P1Q1=2M1Q1=2AM1=2•xcos∠C1AC=2x•=x．而当P在C1O上时，然后x变大y变小，直到y变为0，根据对称性可知此时y=2﹣x，故函数y=，结合所给的答案，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．已知p：x≤m，q：|x﹣2|＜1，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1得1＜x＜3，若p是q的必要不充分条件，则m≥3，故答案为：[3，+∞）14．某校从五月开始，要求高三学生下午2：30前到校，加班班主任李老师下午每天到校，假设李老师和小红同学在下午2：00到2：30之间到校，且每人在该段时间到校都是等可能的，则小红同学比李老师至少早5分钟到校的概率为．【考点】几何概型．【分析】设小红和老师到校的时刻分别为x和y，由题意可得0≤x≤30，0≤y≤30，小红同学比李老师至少早5分钟到校可得0≤x≤30，0≤y≤30且y﹣x≥5，作出平面区域，由几何概型概率公式可得．【解答】解：设小红和老师到校的时刻分别为x和y，则由题意可得0≤x≤30，0≤y≤30，小红同学比李老师至少早5分钟到校，则0≤x≤30，0≤y≤30且y﹣x≥5，数形结合可得P==，故答案为：．15．已知点O为△ABC内一点，满足，若，则OB= 2．【考点】向量在几何中的应用．【分析】以O为原点，建立平面直角坐标系，设OB=x，OC=y，求出，的坐标，代入列出方程组解出．【解答】解：以OA为x轴，O为原点建立平面直角坐标系，如图，则∠AOB=，设OB=x，OC=y，则B（x，﹣），C（﹣，），A（4，0）．∴=（4，0），=（x，﹣），=（﹣，）．∵，∴，解得x=2．故答案为：2．16．直线l⊥平面α，垂足是点P，正四面体OABC的棱长为2，点O在平面α上运动，点A在直线l上运动，则点P到直线BC的距离的最大值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】P到BC的距离为四面体上以AO为直径的球面上的点到BC的距离，最大距离为BC 到球心的距离（即AO与BC的公垂线）+半径．【解答】解：由题意，直线AO与动点P的空间关系：点P是以AO为直径的球面上的点，∴P到BC的距离为四面体上以AO为直径的球面上的点到BC的距离，最大距离为BC到球心的距离（即AO与BC的公垂线）+半径，∵正四面体OABC的棱长为2，∴AO与BC的公垂线长为： =，以AO为直径的球的半径r=1，点P到直线BC的距离的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n=n2+2n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）求数列{n•（a n﹣n）}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由2S n+a n=n2+2n+2，n∈N*，可得2a1+a1=1+2+2，解得a1．当n≥2时，可得：2a n+a n﹣a n﹣1=2n+1，变形为a n﹣n=，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵2S n+a n=n2+2n+2，n∈N*，∴2a1+a1=1+2+2，解得a1=．当n≥2时，2S n﹣1+a n﹣1=（n﹣1）2+2（n﹣1）+2，可得：2a n+a n﹣a n﹣1=2n+1，化为a n﹣n=，∴数列{a n﹣n}是等比数列，首项为，公比为．∴a n﹣n=，可得a n=n+2×．（2）n•（a n﹣n）=．∴数列{n•（a n﹣n）}的前n项和T n=，=2，∴=，∴T n=1+++…+﹣n×=﹣n×=﹣×．18．某校高安文科600名学生参加了12月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语请客，利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000，001，002， (599)（1）若从第6行第7列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4恒值第7行）；12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （2）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：外语优良及格数学优8 m 9 良9 n 11 及格8 9 11若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；（3）在外语成绩为良的学生中，已知m≥12，n≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先抽出的5人的编号．（2）由频率=，能求出m，n．（3）由题意m+n=35，且m≥12，n≥10，由此利用列举法能求出数学成绩优比良的人数少的概率．【解答】解：（1）从第6行第7列的数开始右读，最先抽出的5人的编号依次为：544，354，378，520，384．（2）由，解得m=18，∵8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，解得n=17．（3）由题意m+n=35，且m≥12，n≥10，∴满足条件的（m，n）有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），（18，17），（19，16），（20，15），（21，14），（22，13），（23，12），（24，11），（25，10），共14种，且每种出现都是等可能的，记“数学成绩优比良的人数少”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），共6种，∴P（M）=．19．已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=AP，∠BAC=90°，D、E分别是AB，PC的中点，BF=2FC，△ABC是边长为2的等边三角形，O为它的中心，，D为PC的中点．（1）求证：PD∥平面AEF；（2）求AC与平面AEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BF的中点G，连结DG、PG，DG∥AF，EF∥PG，从而平面PDG∥平面AEF，由此能证明PD∥平面AEF．（2）取AC的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABC，过H作HM⊥AF于M，连结EM，过H作HN ⊥EM于N，连结AN，则∠HAN为AC于平面AEF所成的角，由此能求出AC与平面AEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取BF的中点G，连结DG、PG，∵D是AB的中点，∴DG∥AF，又BF=2FC，∴F为CG的中点，又E为PC的中点，∴EF∥PG，又EF∩AF=F，∴平面PDG∥平面AEF，∴PD∥平面AEF．解：（2）取AC的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABC，过H作HM⊥AF于M，连结EM，∴AF⊥平面EHM，∴平面AEF⊥平面EHM，过H作HN⊥EM于N，即HN⊥平面AEF，连结AN，则∠HAN为AC于平面AEF所成的角，在等腰Rt△ABC中，设AC=1，则CF=，∠ACB=，∴AF=，cos，即sin，在Rt△AHM中，HM=AH•sin，在Rt△EHM中，EH=，EM==，即HN=，在Rt△AHN中，sin∠HAN==，∴AC与平面AEF所成角的正弦值为．20．已知为椭圆C的左右焦点，点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线交椭圆C与A、B两点，圆M为△ABF1的内切圆，求圆M的面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，c=，a2=3+b2，点在椭圆C上，代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）过F2的直线斜率不为0，设l：x=my+，并代入椭圆方程，由韦达定理求得y1+y2和y1•y2，利用弦长公式求得丨AB丨，点到直线的距离公式求得F1到l的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质求得S△ABF1最大值，即可求得切圆M的面积最大值．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由c=，a2=3+b2，又点在椭圆C上，，即b2=1，a2=1，∴；（2）过F2的直线斜率不为0，设l：x=my+，与A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线代入椭圆得：（m2+4）y2+2my﹣1=0，∴y1+y2=，y1•y2=，丨AB丨===，点F1（﹣，0）到l：x=my+，的距离为d=，S△ABF1=××==4，=4≤4×=2，当且仅当m2+1=，即m=±时取等，设内切圆M的半径为r，则S△ABF1=×r max×4a=4r=2，即r max=，即内切圆M的面积最大值为：S圆Mmax=πr2=．21．已知函数f（x）=xlnx（1）当x≥1时，若f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的取值范围；（2）求证：当n≥2且n∈N*时，．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）原不等式可化为xlnx≥a（x﹣1），从而讨论x=1与x＞1时不等式成立的条件即可；（2）根据lnx＞（x＞1），令x=（n≥2且n∈N*），即ln＞，通过赋值叠加即可．【解答】解：（1）f（x）≥a（x﹣1）（x≥1）可化为xlnx≥a（x﹣1），当x=1时，0≥0，显然成立；当x＞1时，不等式可化为a≤，令g（x）=，g′（x）==，令h（x）=x﹣lnx﹣1，h′（x）=1﹣，故h（x）=x﹣lnx﹣1在（1，+∞）上是增函数，故x﹣lnx﹣1＞1﹣0﹣1=0，故g′（x）=＞0；故g（x）=在（1，+∞）上是增函数，且=1，故a≤1；（2）当a=1时：lnx＞（x＞1），令x=（n≥2且n∈N*），即ln＞，得：lnn﹣ln（n﹣1）＞，∴ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）＞，ln（n﹣2）﹣ln（n﹣3）＞，…，ln2﹣ln1＞，上述各式相加得：lnn＞++…++，即当n≥2且n∈N*时，．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1几何证明选讲】22．已知AB、DE为圆O的直径，CD⊥AB于N，N为OB的中点，EB与CD相交于点M，切线EF与DC的延长线交于点F．（1）求证：EF=FM；（2）若圆O的半径为1，求EF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AE，证明A，E，M，N四点共圆，可得∠FME=∠EAB，EF是圆O的切线，可得∠FEB=∠EAB，∠EMF=∠FEB，即可证明EF=FM；（2）若圆O的半径为1，利用射影定理求EF的长．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB为圆O的直径，∴∠AEB=90°，∵CD⊥AB，∴A，E，M，N四点共圆，∴∠FME=∠EAB，∵EF是圆O的切线，∴∠FEB=∠EAB，∴∠EMF=∠FEB，∴EF=FM；（2）解：连接EC，∵DE为圆O的直径，∴EC⊥CD，ON∥EC，ON=EC，∵圆O的半径为1，N为OB的中点，∴EC=1，CD=，Rt△DEF中，EC2=FC•CD，∴FC=∴EF2=FC•FD=，∴EF=．【选修4-4坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，曲线为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，直线（1）求曲线C与直线l的直角坐标方程；（2）若P、Q分别为曲线C与直线l上的两动点，求|PQ|的最小值以及此时点P的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由cos2α+sin2α=1，能求出曲线C的直角坐标，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的直角坐标方程．（2）由题意得曲线C上的动点P与直线l上的动点Q的距离|PQ|的最小值等价于曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值，由此利用三角函数性质能求出|PQ|的最小值以及此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，曲线为参数），∴曲线C的直角坐标为．∵直线，∴ρcosθ+2ρsinθ=4，∴直线l的直角坐标方程为x+2y﹣4=0．（2）由题意得曲线C上的动点P与直线l上的动点Q的距离|PQ|的最小值等价于曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值，设P（），则点P到直线l的距离为：d==，（其中，cos，sin），当sin（α+β）=1时，|PQ|取最小值|PQ|min=，此时，，sin，∴|PQ|min=．此时P（）．【选修4-5不等式选讲】24．已知（1）比较f（3）与的大小；（2）求证：．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据题意求出f（3）与的值，再比较f（3）与f（）的大小；（2）利用绝对值不等式和放缩法，即可证明．【解答】解：（1）∵，∴f（3）==，==；又∵3＜，∴1+＞1+，∴＜，即f（3）＜f（）；（2）证明：∵+≥+ ==≥=；∴．。

2021年超级全能生高考数学联考试卷（文科）（5月份）（丙卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−2,−1,0，1}，B={y|y=x2−x−6,x∈A}，则A∪B的元素个数为()A. 6B. 5C. 3D. 22.复数z满足z=(1+i)(1−i)2，则z的虚部为()A. −2iB. −2C. 2D. 2i3.若a=ln0.4，b=0.23，c=log23，则a，b，c的大小关系正确的是()A. b<a<cB. a<c<bC. b<c<aD. a<b<c4.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径R=√5，扇形弧长l=4π，则该圆锥的表面积为()A. 2πB. (4+2√5)πC. (3+√5)πD. 8π+√55.若过函数f(x)=lnx−2x图象上一点的切线与直线y=2x+1平行，则该切线方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x−y−2ln2+1=0C. 2x−y−2ln2−1=0D. 2x+y−2ln2−1=06.在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a−b)(sinA+sinB)=sinC(b+c)，b+c=2，则△ABC的面积的最大值为()A. 14B. √34C. 12D. √327.五行学说最早出现在黄老、道家学说中，据《尚书⋅洪范》记载：“五行：一日水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土.水曰润下，火曰炎上，木曰曲直，金曰从革，土曰稼穑.润下作咸，炎上作苦，曲直作酸，从革作辛，稼穑作甘.”后人根据对五行的认识，又创造了木、火、土、金、水五行相生相克理论，如金与木、金与火、水与火、水与土、土与木相克，若从5大类元素中任选2类，则2类元素相克的概率是()A. 34B. 25C. 35D. 128.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,−1)，c⃗=(m,2)，c⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，则m的值为()A. √2B. √3C. 2D. 109.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，∠F1PF2=π3，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. √3D. 310.已知函数f(x)=2√3sinωx2cosωx2+2sin2ωx2−1(ω>0)的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)的图象关于坐标原点对称，则ω的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 411.如图，在四棱锥P−ABCD中，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，PA=√5，AB=2，则四棱锥P−ABCD内切球的体积为()A. √354πB. 4√327πC. 11√327πD. 125√354π12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点在直线x−√2y−√2=0上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点Р是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线l与直线x=−2交于点M，设直线PF1，MF2的斜率分别为k1，k2，则k1k2的值为()A. −13B. 13C. −12D. −14二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x+1≥0x+2y−4≤0x−y≤0，则z=2x+y的最大值为______ ．14.某社区为了解本社区中老年人锻炼身体的方式，在全社区范围内随机抽查部分中老年人，了解到锻炼方式有：A——走路、B——骑行、C——打球、D——其他方式，且统计得知走路锻炼占45%，并将收集的数据整理绘制得到如图所示不完整的统计图，则打球锻炼的人数为______ ．15. 已知角α∈(0,π4)，β∈(π2,π)，若sin(α−π3)=−35，cos(π3−β)=−12，则cos(α−β)= ______ ．16. 已知函数f(x)=ln(x 2+1)+e x +e −x ，则不等式f(x −2)−f(2x +1)≤0的解集为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在递增的等比数列{a n }中，a 2，a 5是一元二次方程x 2−9x +8=0的根．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{log 2a n }的前n 项和T n ．18. 实施新规后，某商场2020年1月份至10月份的收入情况如表．月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 收入y(万元) 10 12 15 13 16 17 15 16 16 20并计算得∑x i 10i=1y i =890，∑x i 210i=1=385，∑y i 10i=1=150，√∑(10i=1x i −x −)2∑(10i=1y i −y −)2≈75.99． (Ⅰ)是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请用相关系数r 加以说明；(当0.75≤|r|≤1时，那么变量x ，y 有较强的线性相关关系)(Ⅱ)建立y 关于x 的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(结果保留1位小数)，并预测该商场12月份的收入情况.(结果保留整数)附：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x n i=1y−nx −y −∑x i 2n i=1−nx −2，a ̂=y −−b ̂x −，r =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)√∑(n i=1x i −x −)2∑(n i=1y i −y −)219.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，M，E分别为AB，CC1的中点，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，AA1=4，AB=2．(Ⅰ)证明：DM⊥DE；(Ⅱ)求D1到平面DME的距离．20.f(x)=x−log a x(a>0,a≠1)．(Ⅰ)当a=e时，求证：f(x)≥1；(Ⅱ)当a=4时，求证：函数g(x)=f(x)−1有两个零点．21. 已知抛物线C 1：y 2=2px(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 24−y 212=1右顶点重合．(Ⅰ)求抛物线C 1的标准方程；(Ⅱ)设过点(0,1)的直线l 与抛物线C 1交于不同的两点A ，B ，F 是抛物线C 1的焦点，且FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求直线l 的方程．22. 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2−2aρsinθ+a 2−3=0，直线l 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(Ⅰ)求曲线C 的参数方程，若曲线C 过原点O ，求实数a 的值；(Ⅱ)当a =1时，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB|．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|．(Ⅰ)当a =3时，求不等式f(x)>3x +1的解集；(Ⅱ)若f(x)≥2a −3对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．先利用函数的解析式求出集合B，由集合并集的定义求出A∪B，即可得到答案．【解答】解：因为集合A={−2,−1,0，1}，则B={y|y=x2−x−6,x∈A}={0,−4,−6}，所以A∪B={−6,−4,−2,−1,0，1}，则A∪B的元素个数为6个．故选：A．2.【答案】B【解析】解：z=(1+i)(1−i)2=(1+i)(1−2i−1)=(1+i)(−2i)=2−2i，故z的虚部为−2，故选：B．根据复数的运算法则和复数的定义即可求出．本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：a=ln0.4<ln1=0，b=0.23=0.008，c=log23>log22=1，故选：D．分别确定三个数的取值范围或取值，从而比较大小．本题考查了对数运算及对数函数的单调性应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：圆锥的侧面展开图中，扇形所在圆的半径R=√5，扇形弧长l=4π，所以扇形的面积为S扇形=12×√5×4π=2√5π；设扇形的底面圆半径为r，则2πr=4π，解得r=2，所以底面圆的面积为S底面圆=π×22=4π；所以该圆锥的表面积为S=2√5π+4π=(4+2√5)π．故选：B．求出圆锥侧面展开图的面积和底面圆的面积，求和即可．本题考查了圆锥的侧面展开图以及圆锥表面积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意，求导函数可得y′=1x−2，∵切线与直线y=2x+1平行，∴1x−2=2，∴x=14，∴切点坐标为(14,−2ln2−12)，∴过点P且与直线y=2x+1平行的切线方程为y+2ln2+12=2(x−14)，即2x−y−2ln2−1=0．故选：C．求导函数，利用切线与直线y=2x+1平行，求得切点坐标，即可求出过点P且与直线y=2x+1平行的切线方程．本题考查切线方程的求法，考查导数的几何意义，正确求导是关键，是中档题．6.【答案】B【解析】解：因为(a−b)(sinA+sinB)=sinC(b+c)，由正弦定理得(a−b)(a+b)=c(b+c)，所以a2−b2=bc+c2，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =−12，由A为三角形内角得A=2π3，因为b+c=2，所以bc≤(b+c2)2=1，所以S△ABC=12bcsinA≤12×1×√32=√34，当且仅当b=c=1时取等号，故选：B．由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简，然后结合基本不等式及基本不等式可求bc的范围，然后结合三角形面积公式可求．本题主要考查了余弦定理定理，正弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：从5大类元素中任选2类，基本事件总数n=C52=10，2类元素相克包含的基本事件有：金与木、金与火、水与火、水与土、土与木，共5种，则2类元素相克的概率是P=510=12．故选：D．基本事件总数n=C52=10，利用列举法求出2类元素相克包含的基本事件有5种，由此能求出2类元素相克的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,−1)，c⃗=(m,2)，∴2a⃗−b⃗ =(−5,5)，∵c⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，∴c⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=−5m+10=0，解得m=2．故选：C．利用向量坐标运算法则求出2a⃗−b⃗ =(−5,5)，再由c⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．由已知条件结合双曲线定义知|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F1F2|=2c，再由∠F1PF2=π3，利用余弦定理推导出c=√3a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|=2|PF2|，且P为右支上一点，∴由双曲线定义知|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∵∠F1PF2=π3，∴(2c)2=(2a)2+(4a)2−2⋅2a⋅4a⋅cosπ3，解得c=√3a，∴e=ca =√3aa=√3．故选：C．10.【答案】B【解析】解：把函数f(x)=2√3sinωx 2cos ωx 2+2sin 2ωx 2−1=√3sinωx −cosωx =2sin(ωx −π6)(ω>0)的图象， 向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)=2sin(ωx +ωπ12−π6)的图象关于坐标原点对称， ∴ωπ12−π6=kπ，即ω=12k +2，k ∈Z ， 则ω的最小值为2，故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的性质，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的性质，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由PO ⊥底面ABCD ，PA =√5，AB =2，O 是正方形ABCD 的中心，那么AO =√2． 则OP =√AB 2−AO 2=√3．那么，四棱锥P −ABCD 的体积V =13S ABCD ×OP =4√33． 设四棱锥P −ABCD 内切球半径为r ，那么，四棱锥P −ABCD 的体积V =13×(S ABCD +S ABP +S ADP +S BCP +S CDP )×r∴13×(4+4×2)r =4√33． 解得r =√33； 则四棱锥P −ABCD 内切球的体积V =43πr 3=4√327π；故选：B ．利用等体积法求解内切球的半径，从而求解内切球的体积．本题考查了等体积法求解内切球的半径问题，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：直线x −√2y −√2=0，令x =0，得y =−1，令y =0，得x =√2，因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点在直线x−√2y−√2=0上，所以a=√2，b=1，所以c2=a2−b2=1，所以椭圆C的方程为x22+y2=1，设过点P的切点方程为y=kx+m，P(x0,y0)，联立{y=kx+mx22+y2=1，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，所以△=(4km)2−4(2k2+1)(2m2−2)=0，化简得2k2+1−m2=0，即m2=1+2k2①，同时解得点P的横坐标x0=−2km1+2k2，则y0=kx0+m=m2k2+1，所以P(−2km1+2k2,m2k2+1)，把①代入上式，得P(−2km ,1m )，所以k1=1m−0−2km−(−1)=1m−2k，对y=kx+m，令x=−2得y=m−2k，所以点M的坐标为(−2,m−2k)，又F2(1,0)，则k2=(m−2k)−0−2−1=2k−m3，所以k1k2=1m−2k ⋅2k−m3=−13(定值)．故选：A．求出直线x−√2y−√2=0与x轴，y轴交点的坐标，即可得a，b，进而可得椭圆的方程，设过点P的切点方程为y=kx+m，P(x0,y0)，联立椭圆的方程，由△=0，得m2=1+2k2①，解得P点坐标，计算出k1，求出M点坐标，计算出k2，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y =0x +2y −4=0，解得A(43,43). 化z =2x +y 为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2×43+43=4．故答案为：4．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】120【解析】解：由条形统计图得走路锻炼人数为360人，∵走路锻炼占45%，∴总人数为：36045%=800(人)，∴打球锻炼的人数为：800−360−280−40=120(人)．故答案为：120．由条形统计图得走路锻炼人数为360人，再由走路锻炼占45%，求出总人数，由此能求出打球锻炼的人数． 本题考查打球锻炼人数的求法，考查条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】−4+3√310【解析】解：∵α∈(0,π4)，∴α−π3∈(−π3,−π12)，∵sin(α−π3)=−35，∴cos(α−π3)=45，∵β∈(π2,π)，∴π3−β∈(−2π3,−π6)，∵cos(π3−β)=−12，∴sin(π3−β)=−√32，∴cos(α−β)=cos[(α−π3)+(π3−β)]=cos(α−π3)cos(π3−β)]−sin(α−π3)sin(π3−β)=45×(−12)−(−35)×(−√32)=−4+3√310．故答案为：−4+3√310．利用同角三角函数的关系求出cos(α−π3)和sin(π3−β)，再表示出cos(α−β)=cos[(α−π3)+(π3−β)]，最后利用两角和与差的余弦公式即可求解．本题考查用已知角表示未知角的应用，考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于基础题．16.【答案】(−∞,−3]∪[13,+∞)【解析】解：因为f(x)=ln(x2+1)+e x+e−x，，所以f(−x)=ln(x2+1)+e−x+e x=f(x)，即函数f(x)为偶函数，函数f(x)的导数f′(x)=2xx2+1+e x−e−x=2xx2+1+e2x−1e x，当x>0时，2xx2+1>0，e2x−1e x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由函数f(x)的奇偶性可得f(x)在(−∞,0)上单调递减，则不等式f(x−2)−f(2x+1)≤0⇔f(x−2)≤f(2x+1)⇔f(|x−2|)≤f(|2x+1|)，所以|x−2|≤|2x+1|，即3x2+8x−3≥0，解得x≤−3或x≥13，故不等式的解集为(−∞,−3]∪[13,+∞)．故答案为：(−∞,−3]∪[13,+∞)．利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2，a 5是一元二次方程x 2−9x +8=0的根，且数列{a n }是递增数列，所以a 2=1，a 5=8，由{a 1q =1a 1q 4=8，解得{a 1=12q =2， 所以a n =12×2n−1=2n−2(n ∈N ∗)．(Ⅱ)设b n =log 2a n ，由(Ⅰ)知b n =log 2a n =log 22n−2=n −2，所以b n+1−b n =(n −1)−(n −2)=1，又b 1=−1，所以数列{b n }是以−1为首项，1为公差的等差数列，所以T n =nb 1+n(n−1)2d =−n +n(n−1)2=n 2−3n 2．【解析】(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，由已知求得a 2=1，a 5=8，利用等比数列的通项公式列方程可求得a 1和q ，从而可得通项公式；(Ⅱ)设b n =log 2a n ，由(Ⅰ)可得数列{b n }的通项公式，利用等差数列的前n 项和公式即可求解． 本题主要考查等比数列的通项公式及等差数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)x −=110×∑x i 10i=1=5.5，y −=110×∑y i 10i=1=15， 所以相关系数r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2=n i=1−−√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2≈890−10×5.5×1575.99≈0.86，所以0.75≤|r|≤1，故变量x ，y 有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(Ⅱ)b ̂=∑x n i=1y−nx −y −∑x i 2n i=1−nx −2=890−10×5.5×15385−10×5.52=6582.5≈0.8， a ̂=y −−b ̂x −=15−6582.5×5.5≈10.7，所以y 关于x 的回归方程为y ̂=0.8x +10.7，当x =12时，y ̂=0.8×12+10.7≈20，故预测该商场12月份的收入为20万元．【解析】(Ⅰ)根据相关系数r的参考公式计算其值，并判断是否符合0.75≤|r|≤1，即可得解；(Ⅱ)由b̂和â的参考公式计算回归系数，即可得回归方程，再把x=12代入，求得ŷ的值，即可．本题考查相关系数，线性回归方程的求法与应用等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：连接CM，BD，∵四边形ABCD是菱形，∠AD=60°，∴AB=AD=BD，∵M是AB的中点，∴DM⊥AB，∵AB//CD，∴DM⊥CD，∵ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，∴DD1⊥平面ABCD，∵DM⊂平面ABCD，∴DM⊥DD1，∵DD1∩CD=D，∴DM⊥平面CDD1C1，∵DE⊂平面CDD1C1，∴DM⊥DE；(Ⅱ)设D1到平面DME的距离为d，∵∠ABC=120°，菱形ABCD的边长为2，M是AB的中点，∴DM⊥AB，∴DM=√AD2−AM2=√3，又四棱柱ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，侧棱长为4，E为CC1的中点，∴DE=√CD2+CE2=2√2，由(Ⅰ)知DM⊥DE，∴S△DD1E =12×DD1×CD=12×4×2=4，S△DEM=12×DM×DE=12×√3×2√2=√6∵DM⊥平面CDD1C∴∴V D1−DEM =V M−DD1E，即13×S△DEM=13×S△DD1E⋅DM，解得d=4×√3√6=2√2，∴由此能求出D1到平面DME的距离为：d=4×√3√6=2√2．【解析】(Ⅰ)连接CM，BD，推导出DM⊥AB，AB//CD，DM⊥CD，DD1⊥平面ABCD，由此能求出DM⊥平面CDD1C1∵DE⊂平面CDD1C1，∴DM⊥DE；(Ⅱ)设D1到平面DME的距离为d，推导出DM⊥平面CDD1C，由此能求出点到平面的距离．本题考查立体几何中点、线、面的位置关系，考查运算求解能力、空间想象能力、推理论证能力，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，是中档题．20.【答案】解：(I)证明：当a =e 时，f(x)=x −lnx ，x >0，∴f′(x)=1−1x =x−1x ，令f′(x)=0，解得x =1，当x >1时，f′(x)>0，∴f(x)在(1,+∞)上单调递增，当x <1时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递减，∴f(x)在x =1处取得极小值，也是最小值，最小值f(1)=1−ln1=1，∴f(x)≥1，即得证．(II)证明：当a =4时，g(x)=x −log 4x −1，(x >0)，求导可得g′(x)=1−1xln4=x−1ln4x (x >0)， 当x ∈(0,1ln4) 时，g′(x)<0，g(x)在(0,1ln4) 上单调递减，当x ∈(1ln4,+∞) 时，g′(x)>0，g(x)在(1ln4,+∞) 上单调递增，∵g(1)=0，g(14)=14>0，g(1ln4)<g(1)=0，根据函数的零点存在定理，可得∃x 0∈(14,1ln4)，使得g(x 0)=0，∴g(x)存在两个零点x 0，1，∴函数g(x)=f(x)−1有两个零点，即得证．【解析】(1)对f(x)求导，研究f(x)的单调性，确定函数的最小值，即可证明，(2)：当a =4时，g(x)=x −log 4x −1，(x >0)，对g(x)求导，研究g(x)的单调性，并结合零点存在定理，即可证明．本题考查了利用导数求单调性、极值，以及对函数的零点存在定理应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，双曲线C 2：x24−y 212=1右顶点为(2,0)， 则p 2=2，解得p =4，所以抛物线C 1的标准方程为y 2=8x ；(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，联立方程组{y =kx +1y 2=8x，可得k 2x 2+(2k −8)x +1=0， 由△>0，可得(2k −8)2−4k 2>0，解得k <2，所以x 1+x 2=−2k−8k 2,x 1x 2=1k 2， 因为FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，所以FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=1，则x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+(k −2)(x 1+x 2)+5=1，即k 2+4k −5=0，解得k =1或k =−5，所以直线l 的方程为y =x +1或y =−5x +1．【解析】(Ⅰ)利用双曲线的标准方程求出右顶点的坐标，从而得到抛物线的焦点，由此求出p 的值，即可得到抛物线的方程；(Ⅱ)直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程与抛物线的方程联立，得到韦达定理，由△>0，得到k <2，然后利用向量的数量积的坐标表示结合韦达定理进行化简，求出k 的值，即可得到答案．本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)将ρ2=x 2+y 2，y =ρsinθ代入ρ2−2aρsinθ+a 2−3=0，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y −a)2=3，∴曲线C 的参数方程为{x =√3cosαy =a +√3sinα(α为参数)． ∵曲线C 过原点O ，∴a 2=3，得a =±√3；(Ⅱ)当a =1时，曲线C 的极坐标方程为ρ2−2ρsinθ−2=0，将θ=π6代入ρ2−2ρsinθ−2=0，得ρ2−ρ−2=0．设A 、B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，∴ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=−2，∴|AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√12−4×(−2)=3．【解析】(Ⅰ)直接由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，结合平方关系可得曲线C 的参数方程，在曲线C 的直角坐标方程中，代入原点坐标即可求得a 值；(Ⅱ)把a =1，θ=π6代入ρ2−2ρsinθ−2=0，得到关于ρ的一元二次方程，再由根与系数的关系求解|AB|．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查普通方程化参数方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)当a =3时，f(x)={−2x +2,x ≤−14,−1<x <32x −2,x ≥3，因为f(x)>3x +1，当x ≤−1时，由−2x +2>3x +1，解得x ≤−1；当−1<x <3时，由4>3x +1，解得−1<x <1；当x ≥3时，由2x −2>3x +1，解得x ∈⌀；综上，f(x)>3x +1的解集为(−∞,1)；(Ⅱ)因为f(x)≥2a −3对任意x ∈R 恒成立，等价于f(x)min ≥2a −3，因为f(x)=|x +1|+|x −a|≥|1+a|，当且仅当(x +1)(x −a)≤0时，等号成立，所以只需|1+a|≥2a −3，即{1+a ≥01+a ≥2a −3或{1+a ≤0−(1+a)≥2a −3， 解得−1≤a ≤4或a <−1，所以实数a 的取值范围是(−∞,4]．【解析】(Ⅰ)当a =3时，f(x)={−2x +2,x ≤−14,−1<x <32x −2,x ≥3，f(x)>3x +1，分段求解后，取并可得f(x)>3x +1的解集；(Ⅱ)f(x)≥2a −3对任意x ∈R 恒成立，等价于f(x)min ≥2a −3，利用绝对值不等式可得f(x)=|x +1|+|x −a|≥|1+a|，问题转化为解不等式|1+a|≥2a −3，解之可得答案．本题考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．。

“超级全能生”2019高考全国卷26省2月联考乙卷数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若负数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.3.下面是实验中学157班第一小组5位同学的立定跳远、跳绳、800米跑的成绩折线图，则这5位同学立定跳远的成绩的中位数、跳绳成绩的平均数、800米跑成绩的众数分别是（）A.1.87，131，3.65B.1.87，130，3.88C.1.98，130，3.88D.1.98，131，3.654.已知等比数列的公比为2，为的前n项和，若=254，则=（）A.7B.8C.9D.105.执行如图所示的程序框图，如果输入的N=20，则输出的S=（）A.81B.100C.121D.3616.已知椭圆的离心率是，则点（1,0）到直线Ax+By=0（A>B>0）的距离是（）A.B.C.D.7.已知2a+b=(1,2+m)，b=(1,m)，且a在b方向上的投影是，则m=（）A.1B.C.D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）正视图侧视图俯视图A.B.C.D.9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，若，则a=（）A.或2+B.或2+C.-或-2+D.或-2+10.函数的所有零点之和是（）A.-4B.-2C.2D.411.已知函数，若函数f(x)在区间（0,1）内不单调，则的最小值是（）A.1B.2C.3D.412.已知三棱锥D-ABC中，AB=AC=2，BC=，DB=DC=，AD=4，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积是（）A.B.C.12D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数，则在点（1,2）处的切线方程为________。

14.若实数x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值是________。

2021年超级全能生高考数学联考试卷（文科）（5月份）（丙卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)已知集合A={−2,−1,0，1}，B={y|y=x2−x−6,x∈A}，则A∪B的元素个数为()A. 6B. 5C. 3D. 22.(2021·全国·模拟题)复数z满足z=(1+i)(1−i)2，则z的虚部为()A. −2iB. −2C. 2D. 2i3.(2021·全国·模拟题)若a=ln0.4，b=0.23，c=log23，则a，b，c的大小关系正确的是()A. b<a<cB. a<c<bC. b<c<aD. a<b<c4.(2021·全国·模拟题)如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径R=√5，扇形弧长l=4π，则该圆锥的表面积为()A. 2πB. (4+2√5)πC. (3+√5)πD. 8π+√55.(2021·全国·模拟题)若过函数f(x)=lnx−2x图象上一点的切线与直线y=2x+1平行，则该切线方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x−y−2ln2+1=0C. 2x−y−2ln2−1=0D. 2x+y−2ln2−1=06.(2021·全国·模拟题)在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a−b)(sinA+sinB)=sinC(b+c)，b+c=2，则△ABC的面积的最大值为()A. 14B. √34C. 12D. √327.(2021·全国·模拟题)五行学说最早出现在黄老、道家学说中，据《尚书⋅洪范》记载：“五行：一日水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土.水曰润下，火曰炎上，木曰曲直，金曰从革，土曰稼穑.润下作咸，炎上作苦，曲直作酸，从革作辛，稼穑作甘.”后人根据对五行的认识，又创造了木、火、土、金、水五行相生相克理论，如金与木、金与火、水与火、水与土、土与木相克，若从5大类元素中任选2类，则2类元素相克的概率是()A. 34B. 25C. 35D. 128.(2021·全国·模拟题)已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,−1)，c⃗=(m,2)，c⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，则m的值为()A. √2B. √3C. 2D. 109.(2018·北京市市辖区·期末考试)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，∠F1PF2=π3，则双曲线的离心率为() A. √2 B. 2 C. √3 D. 310.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=2√3sinωx2cosωx2+2sin2ωx2−1(ω>0)的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)的图象关于坐标原点对称，则ω的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 411.(2021·全国·模拟题)如图，在四棱锥P−ABCD中，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，PA=√5，AB=2，则四棱锥P−ABCD内切球的体积为()A. √354πB. 4√327πC. 11√327πD. 125√354π12.(2021·全国·模拟题)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点在直线x−√2y−√2=0上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点Р是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线l与直线x=−2交于点M，设直线PF1，MF2的斜率分别为k1，k2，则k1k2的值为()A. −13B. 13C. −12D. −14二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)若x，y满足约束条件{x+1≥0x+2y−4≤0x−y≤0，则z=2x+y的最大值为______ ．14.(2021·全国·模拟题)某社区为了解本社区中老年人锻炼身体的方式，在全社区范围内随机抽查部分中老年人，了解到锻炼方式有：A——走路、B——骑行、C——打球、D——其他方式，且统计得知走路锻炼占45%，并将收集的数据整理绘制得到如图所示不完整的统计图，则打球锻炼的人数为______ ．15.(2021·全国·模拟题)已知角α∈(0,π4)，β∈(π2,π)，若sin(α−π3)=−35，cos(π3−β)=−12，则cos(α−β)=______ ．16.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=ln(x2+1)+e x+e−x，则不等式f(x−2)−f(2x+1)≤0的解集为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·模拟题)在递增的等比数列{a n}中，a2，a5是一元二次方程x2−9x+8=0的根．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{log2a n}的前n项和T n．18.(2021·全国·模拟题)实施新规后，某商场2020年1月份至10月份的收入情况如表．月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10收入y(万元) 10 12 15 13 16 17 15 16 16 20并计算得∑x i 10i=1y i =890，∑x i 210i=1=385，∑y i 10i=1=150，√∑(10i=1x i −x −)2∑(10i=1y i −y −)2≈75.99． (Ⅰ)是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请用相关系数r 加以说明；(当0.75≤|r|≤1时，那么变量x ，y 有较强的线性相关关系)(Ⅱ)建立y 关于x 的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(结果保留1位小数)，并预测该商场12月份的收入情况.(结果保留整数) 附：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x n i=1y−nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −，r =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)√∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1y i −y −)219. (2021·全国·模拟题)如图，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，E 分别为AB ，CC 1的中点，底面ABCD 是菱形，且∠BAD =60°，AA 1=4，AB =2． (Ⅰ)证明：DM ⊥DE ； (Ⅱ)求D 1到平面DME 的距离．20. (2021·全国·模拟题)f(x)=x −log a x(a >0,a ≠1)．(Ⅰ)当a =e 时，求证：f(x)≥1；(Ⅱ)当a =4时，求证：函数g(x)=f(x)−1有两个零点．21. (2021·全国·模拟题)已知抛物线C 1：y 2=2px(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 24−y 212=1右顶点重合．(Ⅰ)求抛物线C 1的标准方程；(Ⅱ)设过点(0,1)的直线l 与抛物线C 1交于不同的两点A ，B ，F 是抛物线C 1的焦点，且FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求直线l 的方程．22. (2021·全国·模拟题)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2−2aρsinθ+a 2−3=0，直线l 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)． (Ⅰ)求曲线C 的参数方程，若曲线C 过原点O ，求实数a 的值； (Ⅱ)当a =1时，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB|．23.(2021·全国·模拟题)设函数f(x)=|x+1|+|x−a|．(Ⅰ)当a=3时，求不等式f(x)>3x+1的解集；(Ⅱ)若f(x)≥2a−3对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【知识点】并集及其运算【解析】解：因为集合A={−2,−1,0，1}，则B={y|y=x2−x−6,x∈A}={0,−4,−6}，所以A∪B={−6,−4,−2,−1,0，1}，则A∪B的元素个数为6个．故选：A．先利用函数的解析式求出集合B，由集合并集的定义求出A∪B，即可得到答案．本题考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．2.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：z=(1+i)(1−i)2=(1+i)(1−2i−1)=(1+i)(−2i)=2−2i，故z的虚部为−2，故选：B．根据复数的运算法则和复数的定义即可求出．本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【知识点】对数函数及其性质【解析】解：a=ln0.4<ln1=0，b=0.23=0.008，c=log23>log22=1，故选：D．分别确定三个数的取值范围或取值，从而比较大小．本题考查了对数运算及对数函数的单调性应用，属于基础题．4.【答案】B【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征【解析】解：圆锥的侧面展开图中，扇形所在圆的半径R=√5，扇形弧长l=4π，所以扇形的面积为S扇形=12×√5×4π=2√5π；设扇形的底面圆半径为r，则2πr=4π，解得r=2，所以底面圆的面积为S底面圆=π×22=4π；所以该圆锥的表面积为S=2√5π+4π=(4+2√5)π．故选：B．求出圆锥侧面展开图的面积和底面圆的面积，求和即可．本题考查了圆锥的侧面展开图以及圆锥表面积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【知识点】导数的几何意义【解析】解：由题意，求导函数可得y′=1x−2，∵切线与直线y=2x+1平行，∴1x−2=2，∴x=14，∴切点坐标为(14,−2ln2−12)，∴过点P且与直线y=2x+1平行的切线方程为y+2ln2+12=2(x−14)，即2x−y−2ln2−1=0．故选：C．求导函数，利用切线与直线y=2x+1平行，求得切点坐标，即可求出过点P且与直线y=2x+1平行的切线方程．本题考查切线方程的求法，考查导数的几何意义，正确求导是关键，是中档题．6.【答案】B【知识点】正弦定理【解析】解：因为(a−b)(sinA+sinB)=sinC(b+c)，由正弦定理得(a−b)(a+b)=c(b+c)，所以a2−b2=bc+c2，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =−12，由A为三角形内角得A=2π3，因为b+c=2，所以bc≤(b+c2)2=1，所以S△ABC=12bcsinA≤12×1×√32=√34，当且仅当b=c=1时取等号，故选：B．由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简，然后结合基本不等式及基本不等式可求bc 的范围，然后结合三角形面积公式可求．本题主要考查了余弦定理定理，正弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．7.【答案】D【知识点】古典概型的计算与应用、基本事件【解析】解：从5大类元素中任选2类，基本事件总数n=C52=10，2类元素相克包含的基本事件有：金与木、金与火、水与火、水与土、土与木，共5种，则2类元素相克的概率是P=510=12．故选：D．基本事件总数n=C52=10，利用列举法求出2类元素相克包含的基本事件有5种，由此能求出2类元素相克的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．8.【答案】C【知识点】向量垂直的判断与证明【解析】解：∵向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,−1)，c⃗=(m,2)，∴2a⃗−b⃗ =(−5,5)，∵c⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，∴c⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=−5m+10=0，解得m=2．故选：C．利用向量坐标运算法则求出2a⃗−b⃗ =(−5,5)，再由c⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【知识点】双曲线的概念及标准方程、余弦定理、双曲线的性质及几何意义【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．由已知条件结合双曲线定义知|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F1F2|=2c，再由∠F1PF2=π3，利用余弦定理推导出c=√3a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|=2|PF2|，且P为右支上一点，∴由双曲线定义知|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∵∠F1PF2=π3，∴(2c)2=(2a)2+(4a)2−2⋅2a⋅4a⋅cosπ3，解得c=√3a，∴e=ca =√3aa=√3．故选：C．10.【答案】B【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质 【解析】解：把函数f(x)=2√3sin ωx 2cosωx 2+2sin 2ωx 2−1=√3sinωx −cosωx =2sin(ωx −π6)(ω>0)的图象，向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)=2sin(ωx +ωπ12−π6)的图象关于坐标原点对称， ∴ωπ12−π6=kπ，即ω=12k +2，k ∈Z ，则ω的最小值为2， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的性质，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的性质，属于中档题．11.【答案】B【知识点】球的表面积和体积【解析】解：由PO ⊥底面ABCD ，PA =√5，AB =2，O 是正方形ABCD 的中心，那么AO =√2．则OP =√AB 2−AO 2=√3．那么，四棱锥P −ABCD 的体积V =13S ABCD ×OP =4√33． 设四棱锥P −ABCD 内切球半径为r ，那么，四棱锥P −ABCD 的体积V =13×(S ABCD +S ABP +S ADP +S BCP +S CDP )×r ∴13×(4+4×2)r =4√33． 解得r =√33；则四棱锥P −ABCD 内切球的体积V =43πr 3=4√327π；故选：B ．利用等体积法求解内切球的半径，从而求解内切球的体积． 本题考查了等体积法求解内切球的半径问题，属于基础题．12.【答案】A【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：直线x−√2y−√2=0，令x=0，得y=−1，令y=0，得x=√2，因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点在直线x−√2y−√2=0上，所以a=√2，b=1，所以c2=a2−b2=1，所以椭圆C的方程为x22+y2=1，设过点P的切点方程为y=kx+m，P(x0,y0)，联立{y=kx+mx22+y2=1，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，所以△=(4km)2−4(2k2+1)(2m2−2)=0，化简得2k2+1−m2=0，即m2=1+2k2①，同时解得点P的横坐标x0=−2km1+2k2，则y0=kx0+m=m2k2+1，所以P(−2km1+2k2,m2k2+1)，把①代入上式，得P(−2km ,1m )，所以k1=1m−0−2km−(−1)=1m−2k，对y=kx+m，令x=−2得y=m−2k，所以点M的坐标为(−2,m−2k)，又F2(1,0)，则k2=(m−2k)−0−2−1=2k−m3，所以k1k2=1m−2k ⋅2k−m3=−13(定值)．故选：A．求出直线x−√2y−√2=0与x轴，y轴交点的坐标，即可得a，b，进而可得椭圆的方程，设过点P的切点方程为y=kx+m，P(x0,y0)，联立椭圆的方程，由△=0，得m2= 1+2k2①，解得P点坐标，计算出k1，求出M点坐标，计算出k2，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．13.【答案】4【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y =0x +2y −4=0，解得A(43,43). 化z =2x +y 为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2×43+43=4． 故答案为：4．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】120【知识点】频率分布直方图【解析】解：由条形统计图得走路锻炼人数为360人， ∵走路锻炼占45%，∴总人数为：36045%=800(人)，∴打球锻炼的人数为：800−360−280−40=120(人)． 故答案为：120．由条形统计图得走路锻炼人数为360人，再由走路锻炼占45%，求出总人数，由此能求出打球锻炼的人数．本题考查打球锻炼人数的求法，考查条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】−4+3√310【知识点】两角和与差的三角函数公式【解析】解：∵α∈(0,π4)，∴α−π3∈(−π3,−π12)，∵sin(α−π3)=−35，∴cos(α−π3)=45，∵β∈(π2,π)，∴π3−β∈(−2π3,−π6)，∵cos(π3−β)=−12，∴sin(π3−β)=−√32，∴cos(α−β)=cos[(α−π3)+(π3−β)]=cos(α−π3)cos(π3−β)]−sin(α−π3)sin(π3−β)=45×(−12)−(−35)×(−√32)=−4+3√310．故答案为：−4+3√310．利用同角三角函数的关系求出cos(α−π3)和sin(π3−β)，再表示出cos(α−β)=cos[(α−π3)+(π3−β)]，最后利用两角和与差的余弦公式即可求解．本题考查用已知角表示未知角的应用，考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于基础题．16.【答案】(−∞,−3]∪[13,+∞)【知识点】函数的奇偶性【解析】解：因为f(x)=ln(x2+1)+e x+e−x，，所以f(−x)=ln(x2+1)+e−x+e x=f(x)，即函数f(x)为偶函数，函数f(x)的导数f′(x)=2xx2+1+e x−e−x=2xx2+1+e2x−1e x，当x>0时，2xx2+1>0，e2x−1e x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由函数f(x)的奇偶性可得f(x)在(−∞,0)上单调递减，则不等式f(x−2)−f(2x+1)≤0⇔f(x−2)≤f(2x+1)⇔f(|x−2|)≤f(|2x+1|)，所以|x−2|≤|2x+1|，即3x2+8x−3≥0，解得x≤−3或x≥13，故不等式的解集为(−∞,−3]∪[13,+∞)．故答案为：(−∞,−3]∪[13,+∞)．利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2，a 5是一元二次方程x 2−9x +8=0的根，且数列{a n }是递增数列， 所以a 2=1，a 5=8，由{a 1q =1a 1q 4=8，解得{a 1=12q =2， 所以a n =12×2n−1=2n−2(n ∈N ∗)． (Ⅱ)设b n =log 2a n ，由(Ⅰ)知b n =log 2a n =log 22n−2=n −2， 所以b n+1−b n =(n −1)−(n −2)=1， 又b 1=−1，所以数列{b n }是以−1为首项，1为公差的等差数列， 所以T n =nb 1+n(n−1)2d =−n +n(n−1)2=n 2−3n 2．【知识点】数列求和方法、等比数列的通项公式【解析】(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，由已知求得a 2=1，a 5=8，利用等比数列的通项公式列方程可求得a 1和q ，从而可得通项公式；(Ⅱ)设b n =log 2a n ，由(Ⅰ)可得数列{b n }的通项公式，利用等差数列的前n 项和公式即可求解．本题主要考查等比数列的通项公式及等差数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)x −=110×∑x i 10i=1=5.5，y −=110×∑y i 10i=1=15，所以相关系数r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2=n i=1−−√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2≈890−10×5.5×1575.99≈0.86，所以0.75≤|r|≤1，故变量x ，y 有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(Ⅱ)b ̂=∑x ni=1y−nx −y −∑x i2n i=1−nx−2=890−10×5.5×15385−10×5.52=6582.5≈0.8， a ̂=y −−b ̂x −=15−6582.5×5.5≈10.7，所以y 关于x 的回归方程为y ̂=0.8x +10.7，当x=12时，ŷ=0.8×12+10.7≈20，故预测该商场12月份的收入为20万元．【知识点】回归直线方程【解析】(Ⅰ)根据相关系数r的参考公式计算其值，并判断是否符合0.75≤|r|≤1，即可得解；(Ⅱ)由b^和a^的参考公式计算回归系数，即可得回归方程，再把x=12代入，求得y^的值，即可．本题考查相关系数，线性回归方程的求法与应用等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：连接CM，BD，∵四边形ABCD是菱形，∠AD=60°，∴AB=AD=BD，∵M是AB的中点，∴DM⊥AB，∵AB//CD，∴DM⊥CD，∵ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，∴DD1⊥平面ABCD，∵DM⊂平面ABCD，∴DM⊥DD1，∵DD1∩CD=D，∴DM⊥平面CDD1C1，∵DE⊂平面CDD1C1，∴DM⊥DE；(Ⅱ)设D1到平面DME的距离为d，∵∠ABC=120°，菱形ABCD的边长为2，M是AB的中点，∴DM⊥AB，∴DM=√AD2−AM2=√3，又四棱柱ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，侧棱长为4，E为CC1的中点，∴DE=√CD2+CE2=2√2，由(Ⅰ)知DM⊥DE，∴S△DD1E =12×DD1×CD=12×4×2=4，S△DEM=12×DM×DE=12×√3×2√2=√6∵DM⊥平面CDD1C∴∴V D1−DEM =V M−DD1E，即13×S△DEM=13×S△DD1E⋅DM，解得d=4×√3√6=2√2，∴由此能求出D 1到平面DME 的距离为：d =√3√6=2√2．【知识点】空间中直线与直线的位置关系、利用空间向量求点、线、面之间的距离 【解析】(Ⅰ)连接CM ，BD ，推导出DM ⊥AB ，AB//CD ，DM ⊥CD ，DD 1⊥平面ABCD ，由此能求出DM ⊥平面CDD 1C 1∵DE ⊂平面CDD 1C 1，∴DM ⊥DE ；(Ⅱ)设D 1到平面DME 的距离为d ，推导出DM ⊥平面CDD 1C ，由此能求出点到平面的距离．本题考查立体几何中点、线、面的位置关系，考查运算求解能力、空间想象能力、推理论证能力，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，是中档题．20.【答案】解：(I)证明：当a =e 时，f(x)=x −lnx ，x >0，∴f′(x)=1−1x =x−1x，令f′(x)=0，解得x =1， 当x >1时，f′(x)>0， ∴f(x)在(1,+∞)上单调递增， 当x <1时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，∴f(x)在x =1处取得极小值，也是最小值，最小值f(1)=1−ln1=1， ∴f(x)≥1，即得证．(II)证明：当a =4时，g(x)=x −log 4x −1，(x >0)， 求导可得g′(x)=1−1xln4=x−1ln4x(x >0)，当x ∈(0,1ln4) 时，g′(x)<0，g(x)在(0,1ln4) 上单调递减， 当x ∈(1ln4,+∞) 时，g′(x)>0，g(x)在(1ln4,+∞) 上单调递增， ∵g(1)=0，g(14)=14>0，g(1ln4)<g(1)=0，根据函数的零点存在定理，可得∃x 0∈(14,1ln4)，使得g(x 0)=0， ∴g(x)存在两个零点x 0，1，∴函数g(x)=f(x)−1有两个零点，即得证．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】(1)对f(x)求导，研究f(x)的单调性，确定函数的最小值，即可证明，(2)：当a =4时，g(x)=x −log 4x −1，(x >0)，对g(x)求导，研究g(x)的单调性，并结合零点存在定理，即可证明．本题考查了利用导数求单调性、极值，以及对函数的零点存在定理应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，双曲线C 2：x 24−y 212=1右顶点为(2,0)，则p2=2，解得p =4，所以抛物线C 1的标准方程为y 2=8x ； (Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1， 联立方程组{y =kx +1y 2=8x ，可得k 2x 2+(2k −8)x +1=0，由△>0，可得(2k −8)2−4k 2>0，解得k <2， 所以x 1+x 2=−2k−8k 2,x 1x 2=1k 2，因为FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，所以FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=1，则x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+(k −2)(x 1+x 2)+5=1，即k 2+4k −5=0，解得k =1或k =−5， 所以直线l 的方程为y =x +1或y =−5x +1．【知识点】直线与双曲线的位置关系、双曲线的性质及几何意义【解析】(Ⅰ)利用双曲线的标准方程求出右顶点的坐标，从而得到抛物线的焦点，由此求出p 的值，即可得到抛物线的方程；(Ⅱ)直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程与抛物线的方程联立，得到韦达定理，由△>0，得到k <2，然后利用向量的数量积的坐标表示结合韦达定理进行化简，求出k 的值，即可得到答案．本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)将ρ2=x 2+y 2，y =ρsinθ代入ρ2−2aρsinθ+a 2−3=0，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y −a)2=3， ∴曲线C 的参数方程为{x =√3cosαy =a +√3sinα(α为参数)．∵曲线C 过原点O ，∴a 2=3，得a =±√3；(Ⅱ)当a =1时，曲线C 的极坐标方程为ρ2−2ρsinθ−2=0， 将θ=π6代入ρ2−2ρsinθ−2=0，得ρ2−ρ−2=0． 设A 、B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2， ∴ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=−2，∴|AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√12−4×(−2)=3．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，结合平方关系可得曲线C 的参数方程，在曲线C 的直角坐标方程中，代入原点坐标即可求得a 值；(Ⅱ)把a =1，θ=π6代入ρ2−2ρsinθ−2=0，得到关于ρ的一元二次方程，再由根与系数的关系求解|AB|．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查普通方程化参数方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)当a =3时，f(x)={−2x +2,x ≤−14,−1<x <32x −2,x ≥3，因为f(x)>3x +1，当x ≤−1时，由−2x +2>3x +1，解得x ≤−1； 当−1<x <3时，由4>3x +1，解得−1<x <1； 当x ≥3时，由2x −2>3x +1，解得x ∈⌀； 综上，f(x)>3x +1的解集为(−∞,1)； (Ⅱ)因为f(x)≥2a −3对任意x ∈R 恒成立， 等价于f(x)min ≥2a −3，因为f(x)=|x +1|+|x −a|≥|1+a|，当且仅当(x +1)(x −a)≤0时，等号成立， 所以只需|1+a|≥2a −3，即{1+a ≥01+a ≥2a −3或{1+a ≤0−(1+a)≥2a −3， 解得−1≤a ≤4或a <−1， 所以实数a 的取值范围是(−∞,4]．【知识点】不等式的恒成立问题、不等式和绝对值不等式【解析】(Ⅰ)当a=3时，f(x)={−2x+2,x≤−14,−1<x<32x−2,x≥3，f(x)>3x+1，分段求解后，取并可得f(x)>3x+1的解集；(Ⅱ)f(x)≥2a−3对任意x∈R恒成立，等价于f(x)min≥2a−3，利用绝对值不等式可得f(x)=|x+1|+|x−a|≥|1+a|，问题转化为解不等式|1+a|≥2a−3，解之可得答案．本题考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．。