超级全能生26省联考数学理答案

“超级全能生”2018高考全国卷26省9月联考乙卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.已知会合A{x|ylog2(4x)},B{x|x22x30}，则AB（）A．(3,4)B．(,1)C．(,4)D．(3,4)(,1)2.已知i是虚数单位，复数z i，则z的虚部为（）22i．2i i2D．2A．B C．5555 3.以下说法正确的选项是（）A．命题“若x23x40，则x 4.”的否命题是“若x23x40，则x4.”B．a0是函数y x a在定义域上单一递加的充足不用要条件C．x0(,0),3x04x0D．若命题P:nn500，则p:n0N,3n0500 N,34.《九章算术》是中国古代的数学专著，此中的一段话“可半者半之，不行半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”用程序框图表示如图，那么这个程序的作用是（）A．求两个正数a,b的最小公倍数B．求两个正数a,b的最大条约数 C.判断此中一个正数能否能被另一个正数整除D．判断两个正数a,b能否相等5.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对应边，若sinC3cosC，则以下式子正确的是（）A．ab2c B．ab2c C.ab2c D．ab2c6.在ABC中，AB4,BC6,ABC2,D是AC的中点，E在BC上，且AE BD，则AEBC（）A．16B．12 C.8D．4学习为了奖赏数学比赛中获奖的优异学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位学生，每个学生起码获取一幅，则在全部送法中甲获取名画“竹”的概率是（）A．2B．1C.1D．1 32368.一个几何的三视图以下图，则表面积为（）A．1823D．943B．18 2 3或12 4 3 C.18 2 3或12 239.已知F是双曲线C:x2y21(a0,b0)的右焦点，P是y轴正半轴上一点，以a2b2OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M（O为坐标原点）.若点P,M,F三点共线，且MFO的面积是PMO的面积的3倍，则双曲线C的离心率为（）A．6B．5 C.3D．210.若正四棱锥P ABCD内接于球O，且底面ABCD过球心O，设正四棱锥PABCD1）的高为，则球O的体积为（A．4B．2 C.4D．2 33211.已知正ABC的边长为23，在平面ABC中，动点P,M知足AP1,M是PC的中点，则线段BM的最小值为（）A ．5B．2C.31D．32112.已知向量a(sinx,cosx),b(1, 1)，函数f(x)ab ，且,xR ，若f(x)2的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(3 ,4)，则 的取值范围是（ ）A ．[7,15] [13,19] 12 16 12 16D ．(1,11][11,15] 216 12 16B．[7,11][11,15]C.(1,7][11,19]12 16 12 162 1212 16第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若(xa2)9的二项睁开式中的x 6的系数为 9，则a．xx y 3, y的取值范围为14. 若实数x,y 知足x y, 则z ．2x y 3,x15. 已知椭圆C:x 2y 2 1与圆M:x 2 y 2222r 20(0 r2)，过椭圆C82的上极点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆 C 订交于A,B 两点（不一样于P 点），则直线PA 与直线PB 的斜率之积等于．16. 若对于x 的不等式x|x a| b(a R)在[1,2]上恒成立，则实数b 的取值范围是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.）17. 已知正项数列{a n }知足a 1a 2a 3...a n1 (a n 1)2(nN *).4（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18. 如图1，四边形ABCD 为等腰梯形，AB 2,AD DCCB1，将 ADC 沿AC 折起，使得平面ADC 平面ABC ，E 为AB 的中点，连结DE,DB .（1）求证：BC AD ；（2）求直线DE 与平面BCD 所成的角的正弦值 .19. 某研究小组为了研究某品牌智好手机在正常使用状况下的电池供电时间， 分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选用 6部进行测试，其结果以下：甲种手机供电时间（小时）乙种手机供电时间（小时）19 18 21 22 23 2018 17.5 20 23 221）求甲、乙两种手机供电时间的均匀值与方差，并判断哪一种手机电池质量好；2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述6部乙种手机中随机抽取4部，记所抽4部手机供电时间不小于20小时的个数为X ，求X 的散布列和数学希望.x 2 y 2 1(ab 0)过点(2,1)，其离心率为220.已知椭圆E:b 2.a 22（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l:yxm 与E 订交于A,B 两点，在y 轴上能否存在点C ，使 ABC 为正三角形，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明原因.21.已知函数f(x)x.x(alnx),g(x)e x（1）若函数f(x)的最小值为1a 的值；，务实数e（2）当a0,x0 时，求证： g(x)f(x)2.e请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .选修4-4：坐标系与参数方程x2 2cos, 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建已知圆C:2（ x2sin立极坐标系，点 A,B 的极坐标分别为 (1, ),(1,0).（1）求圆C的极坐标方程；（2）若P为圆C上的一动点，求|PA|2|PB|2的取值范围.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)|2x1||x2|.（1）求不等式f(x)3的解集；（2）若f(x)11(,0)对随意x R恒成立，求m n的最小值. m n mn试卷答案一、选择题1-5:DCDBC6-10:ACBDA11、12：AB二、填空题13.114.[1,)15.116.(2,)3三、解答题解：（1）设数列{a n}的前n项和为S n.当n1时，a11(a11)2,a11，4当n2时，4S n(a n1)2,4S n1(a n11)2，两式相减得4a n a n 2a n22a n12a n1，即(a n a n1)(a n an12)0，又a n0,a n a n12，数列{a n}的首项为12的等差数列，即a n2n1.，公差为（2）b n(2n1)2n,T n121322523...(2n1)2n，①2T n122323524...(2n3)2n(2n1)2n1，②①-②得T n22(2223...2n)(2n1)2n1282n2(2n1)2n162n1(22n1)62n1(32n)，T n 62n1(2n3)18.解：（1）证明：在图1中，作CHAB 于H ，则BH1 3 ,AH，又22BC1, CH3, CA 3,2AC BC ， 平面ADC平面ABC ，且平面ADC平面ABCAC ，BC平面ADC ，又AD 平面ADC ，BC AD .（2）取AC 中点F ，连结DF,FE ，易得FA,FE,FD 两两垂直，以 FA,FE,FD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴成立空间直角坐标系，以下图，E(0,1,0),D(0,0,1),B(3,1,0),C(3,0,0)22 22DE(0,1,1),BC(0, 1,0),CD(3,0,1)，2 222设m(x,y,z)为平面BCD 的法向量，则mBC 0，即y 0 ，mCD3x z 0取x1，则m(1,0, 3) .设直线DE 与平面BCD 所成的角为 ，则sin|cos m,DE |6，46 直线DE 与平面BCD 所成的角的正弦值为.419.解：（1）甲的均匀值X 甲 1( 1 2 12 3 0) 20，1(6乙的均匀值X乙20 3 2 2. 5) 20，6甲的方差2 1 19) 218)2( 21)222) 223)220) 2 ]S 甲[( 635 12乙的方差S 乙21[(18)2(17.5)220)2 23)2 22)2(22.5)2]6 14 3由于甲、乙两种手机的均匀数同样， 甲的方差比乙的方差小， 因此以为甲种手机电池质量更好.（2）6部乙种手机供电时间不小于 20 小时的有4部，小于20 小时的有2部，因此X 得可能取值为2,3,4，则P(X2) C 42C 222,P(X3) C 43C 218,P(X 4) C 44 1 ，C 62 5 C 64 15 C 64 15故X 得散布列为X234P28 151515238 41 8因此EX215 15 .53111a 2b 220.解：（1）由已知得c 2，解得a2,b2.a 2c 2a 2b 2x 2y 2椭圆E 的方程为1.4 2（2）把yxm 代入E 的方程得3x 2 4mx2m 24 0，设(,),(,)，则4m2m 2 4，Ax 1 y 1Bx 2y 2x 1 x 23 ,x 1x 238(6 m 2) 0,6 m6，|AB|1k2(x 1 x 2) 24x 1x 2216m 24 2m 24 42936m3设AB 的中点为P ，则x Px 1 x 22m,y Pm x Pm ,P(2m ,m)2333 3PC:yxm，令x0，则C(0,m)，33由题意可知，|PC|3|AB|24m 2 4m 234 6 m 2 ，解得m 310 .切合0，9 9235直线l 的方程为yx3 105.21.解：（1）f(x)a 1 lnx(x 0) ，由f(x)0，得x e a1，由f(x)0，得0xe a1，f(x)在(0,e a 1)上单一递减，在(ea1,)上单一递加.f(x)minf(e a1)e a 1(a lne a1)e a11 .ea0.（2）证明：当a0,x 0时，由（1）知f(x)x(alnx) ax xlnxxlnx1，1e即f(x).eg(x)x，则g(x)1 x (x 0) ，e xe x由g(x)0，得0x 1，由g(x) 0，得x1，g(x)在(0,1)上单一递加，在 (1,)上单一递减.g(x)g(1)1，e1 1 22 g(x)f(x)g(x)[f(x)]e e，即g(x)f(x).ee22.解：（1）把圆C 的参数方程化为一般方程为(x2)2 (y2)2 2，即x 2 y 24x4y60，由x 2y 22,x cos ,ysin ，得圆C 的极坐标方程为 24 cos 4sin60.（2）设P(2 2cos ,2 2sin ),A,B 的直角坐标分别为(1,0),(1,0)，则|PA|2|PB|2 (3 2cos )2 (22sin )2(12cos )2 (22sin)222 16sin() [6,38]4因此|PA|2|PB|2的取值范围为[6,38].3x 3(x 1)x1(1 223.解：（1）f(x)x 2)，23x 3(x 2)其图象以下图，由图可知 f(x) 3的解集为{x|x0或x2}.（2）由图知f(x)min3, 1 1 3 . m n 3，2m n2mn 2 即m n3mn3 (mn )2，当且仅当mn 时等号成立，2228m,n0 ，解得m nn 时等号成立，当且仅当m3故m n 的最小值为8.3精选文档11。

2018“超级全能生”3月联考Word版含答案。

2018届高考全国卷26省3月联考乙卷数学(理)试题超级全能生”是2018年高考全国卷26省3月联考乙卷(A)数学(理科)的一道题目。

本试题共12小题，每小题5分，共60分。

考生需在答题卡上完成全部答案，答在本试题上无效。

选择题中，每小题给出四个选项，只有一项符合题目要求。

第一题给出两个集合A和B，要求求出A并B的结果。

通过题干中给出的条件，可以得到A的元素为a和0，B的元素为-4和log2(a+3)。

由于A并B的结果为2，因此可以列出方程a+3=2，解得a=-1.因此，A的元素为-1和0，B的元素为-4和log2(2)。

因此，A并B的结果为{-1,0,-4}，答案为A。

第二题要求求解一个纯虚数z，已知z(1-i)=a+i(a∈R)。

可以将z表示为x+yi的形式，其中x=0，y为所求。

将z代入方程中，可以得到-y+xi=a+ai。

由于z是纯虚数，因此实部为0，因此可以得到-y=a。

将y代入方程中，可以得到x=a。

因此，z 的形式为a-ai，答案为D。

第三题给出两个向量a和b，已知它们平行，求出a的第一个分量m。

可以列出方程m/b1=1，解得m=b1.因此，m=11，答案为A。

第四题给出一个函数f(x)，要求画出其大致图像。

可以将f(x)表示为2x/x2+x，通过对x趋于正无穷和负无穷时的极限值，可以画出f(x)的大致图像，如下图所示。

第五题给出一个等比数列和的关系式，要求求出S2017.通过将等式两边展开，可以得到a2S4=a4S2，即a2(a1+ar)(a1+a2+。

+a4)=a4(a1+ar)(a1+a2+。

+a2)，其中r为等比数列的公比。

化简后可以得到a2=a4/r2，代入S2017的表达式中，可以得到S2017=a1(1-r2017)/(1-r)。

由于未给出等比数列的首项和公比，因此无法求出S2017，答案为D。

第六题给出六个人进行羽毛球双打练，求出不同的分组方式数量。

“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考乙卷数学（理科）一、选择题：本题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{－1，0，1，2，3，4}，B ＝{x|y =，则A∩B ＝（ ） A ．{1，2} B ．{0，1，2}C ．{－1，0，1，2}D ．{－1，0，1，2，3，4}2．在复平面内，O 为原点，已知z （1－2i ）＝2－i ，OZ所对应的复数为zi ，则Z 点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．“一带一路”是为了带动世界经济和社会的发展，其中男女平等是社会进步的一个重要方面．基于人类发展指数中的性别发展指数，联合国开发计划署测算了世界主要国家和地区的性别不平等指数．据统计，“一带一路”沿线国家的性别不平等指数的平均值为0.322（数值越大，性别不平等问题越严重），低于0.449的世界平均水平，根据下列统计图表，其中说法正确的是（ ）A ．中国的性别不平等程度较低，不平等指数小于0.2B ．“一带一路"沿线国家的性别发展不平等状况不存在显著的地区差异C ．蒙俄、中东欧地区的性别不平等问题的严重程度较重，不平等指数平均值高于“一带一路”沿线国家平均值D ．阿拉伯国家以及南亚地区的男女不平等问题比较弱，性别不平等指数较低 4．已知2sin()63απ+=，则cos(2)3α2π-=（ ） A ．19- B ．19 C ．23D 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，E 为△ABC 的中线BD 的中点，0AB BC ⋅=且1AE =，则ac 的最大值为（ ）A ．23 B ．43C ．163D ．836．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球半径为（ ）ABC ．12D ．127．已知（x ＋1）n 的展开式中，奇数项的二项式系数和为32，则22()nx x-的展开式的常数项为（ ） A ．32 B ．64 C ．120 D ．608．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，32B，C 成等差数列，2a c +==，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．12C 1D 19．已知实数x ，y 满足230,240,210,x y a x y x y --⎧⎪+-⎨⎪++⎩≤≥≥且z ＝x －2y ＋2的最大值为4，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．92 C．52D ．3210．过抛物线x 2＝8y 焦点的直线交抛物线于M ，N 两点，则OM NO ⋅=（ ）A ．－20B ．12C ．－12D ．2011．函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，02ϕπ<<）的部分图象如图所示，则下列选项中是函数1()3f x +的单调递增区间的是（ ）A ．[19，29]和[49，79] B ．[59-，29-]∪[19，49]C ．[59-，29-]和[19，49]D ．[－1，59-]∪[19，29]12．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，对任意x 均满足f （－x ）＝－f （x ），g （－x ）＝g （x ）≠0，当x ＞0时，总有f′（x ）·g （x ）＞f （x ）·g′（x ），f （2）＝0，则()()303f x g x --≥的解集为（ ）A ．[1，3]∪[5，＋∞）B ．[－2，0]∪[2，＋∞）C ．（－3，－2）∪（－1，＋∞）D ．[－5，－2]∪[3，＋∞） 二、填空题：本题共4小题．13．命题“x ∃∈R ，sinx ＋cosx ＜1”的否定是________．14．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |．若|a ＋b |＝|2b －a |，则向量a ，b 的夹角为________． 15．双曲线x 2－y 2＝4的渐近线与圆C ：（x －3）2＋（y －2）2＝4交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 16．如图，点P 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体对角线A 1C 上（不包含线段端点），若AB ＝2AD ＝2AA 1＝2，则下列结论正确的有________．①存在P 点，使直线A 1C 与平面D 1AP 所成角为直角； ②无论P 点在何位置，都有∠APD 1＜90°； ③当112A P PC =时，D 1P ∥平面BDC 1． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n ＝An 2＋Bn （A ，B 为常数）．（Ⅰ）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （Ⅱ）若a 8＝17，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．18．某羽毛球俱乐部规定，每天一人打球1小时收费30元（不足1小时部分按1小时收费，以此类推），注册消费时间 1小时 2小时 3小时 收费比例 1 0.9 0.8 消费时间 1小时 2小时 3小时 人数20128（Ⅰ）估计该俱乐部一位会员至少打球2小时的概率；（Ⅱ）假设每个会员每天最多打球3小时，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该俱乐部的会员中随机抽取2人，记俱乐部从这2位会员的消费中每小时获得的平均利润之和为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）．19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 的对角线互相垂直，且BC ＝CD ，PA ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若1cos 2BAD ∠=-，12AB PA AC ==，M 在PC 上，且2PM MC = ，试求直线BM 与平面PBD 所成角的正弦值．20．已知F1，F2分别为椭圆C：2221xy+=（a＞1）的左、右焦点，过F1且斜率不为零的直线l与C交于A，B两点．若△AF1F2的周长为222+（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设l的倾斜角为θ，若2cos3θ=，直线F2A，AB，F2B与直线21xa=-分别交于P，Q，R三个不同的点，记P，Q，R三点的纵坐标分别为y P，y Q，y R，求证：|y P|·|y R|＝|y Q|2．21．已知函数f（x）＝（e x－1）mx－e x＋x＋1，m∈R．（Ⅰ）若m＝0时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若关于x的不等式（m－1）e x＋x＋1＞m在x∈[12，3）上恒成立，求m的取值范围．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线C1的参数方程为4cos,4sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程；（Ⅱ）设P是曲线C1上的动点，M（－2，5），N（6，1），求|PM|2＋|PN|2的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|2x－1|－|2x－a|（a＞2且a∈R）．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）若f （x ）的最大值为M ，且正实数m ，n 满足12m a m n ++=，求2112m n +--的最小值．“超级全能生”2019高考全国卷26省12月联考乙卷数学（理科） 答案详解1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A A D B D B B BC A13．x ∀∈R ，sinx ＋cosx≥114．3π 1516．①③ 17．解：（Ⅰ）证明：依题意，S n ＝An 2＋Bn ，所以nS An B n =+， 所以11n n S SA n n+-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（Ⅱ）依题意可得{a n }为等差数列，183,17,a a =⎧⎨=⎩所以183,30,S S =⎧⎨=⎩所以1,2,A B =⎧⎨=⎩所以S n ＝n 2＋2n ，所以11(2)n S n n =+， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11111111323[(1)()()()]232411242(1)(2)nn T n n n n n n +=-+-++-+-=--++++ ． 18．解：（Ⅰ）在40名会员中，至少打球2小时的会员有12＋8＝20（人）， 故估计至少打球2小时的概率为201402P ==． （Ⅱ）某会员打球1小时，该俱乐部每小时的平均利润为30－5＝25（元），概率为1201402P ==； 某会员打球2小时，该俱乐部每小时的平均利润为1(2300.910)222⨯⨯-=（元），概率为21234010P ==； 某会员打球3小时，该俱乐部每小时的平均利润为1(3300.815)193⨯⨯-=（元），概率为381405P ==； 由题意可知，X 的所有可能取值为50，47，44，41，38．111(50)224P X ==⨯=，133(47)221010P X ==⨯⨯=，331129(44)2101025100P X ==⨯+⨯⨯=，313(41)210525P X ==⨯⨯=，111(38)5525P X ==⨯=．所以X所以数学期望()504744413845.84101002525100E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． 19．解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 的对角线瓦相垂直，所以BD ⊥AC ，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥PA ， 因为PA∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ， 又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）因为1cos 2BAD ∠=-， 所以∠BAC ＝∠DAC ＝60°， 又因为12AB AC =，所以∠ABC ＝90°， 如图，以BC ，BA ，Bz （Bz ∥AP ）所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设PA ＝AB ＝1，所以B （0，0，0），C 30，0），A （0，1，0），P （0，1，1），D （32，32，0）， 又因为2PM MC = ，所以M 3，23，23），所以322(,)33BM = ， 设平面PBD 的法向量为m ＝（x ，y ，z ），3,0)2BD = ，(0,1,1)BP = ，所以0,0,BD BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 令y ＝1，有1,1,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩所以(,1)=-m ，所以355cos ,55||||BM BM BM ⋅==-m m m ． 故直线BM 与平面PBD 355． 20．解：（Ⅰ）由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以△AF 1F 2的周长为1212||||||222AF AF FF ++=， 所以2221222a a +-=+2a =所以C 的方程为2212x y +=． （Ⅱ）证明：由题意得直线l 的方程为51)y x =+， 联立方程225(1),21,2y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得7x 2＋10x ＋1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），显然x 1≠1，x 2≠1，所以12107x x +=-，1217x x =． 因为l 与直线12x =-交点Q 的纵坐标为5Q y =所以25||16Q y =．因为直线F 2A 的方程为11(1)1y y x x =--，故直线F 2A 与直线12x =-交点P 的纵坐标为1132(1)P y y x -=-，同理，点R 的纵坐标为2232(1)R y y x -=-，所以121233||||2(1)2(1)P R y y y y x x --⋅=⋅-- 121294(1)(1)y y x x =--1212121259(1)44[()1]x x x x x x x x ⋅+++=-++516=， 所以|y P |·|y R |＝|y Q |2． 21．解：（Ⅰ）若m ＝0时，f （x ）＝－e x ＋x ＋1， 所以f′（x ）＝－e x ＋1， 令f′（x ）＝0，得x ＝0．故x ∈（－∞，0）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增； x ∈（0，＋∞）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以函数f （x ）的极大值为f （0）＝0，无极小值． （Ⅱ）由（m －1）e x ＋x ＋1＞m ， 得m （e x －1）＞e x －x －1，由x ∈[12，3）知，e x －1＞0， 所以e 11e 1e 1x x x x xm -->=---，令()1e 1x x h x =--，x ∈[12，3），所以2e (1)1()(e 1)x x x h x -+'=-，令g （x ）＝e x （x －1）＋1， g′（x ）＝e x （x －1）＋e x ＝xe x ，因为x ∈[12，3），所以g′（x ）＞0， 即g （x ）＝e x （x －1）＋1在[12，3）上单调递增，又1e 102g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以g （x ）＞0恒成立，即2e (1)1()0(e 1)x x x h x -+'=>-，所以h′（x ）＞0在[12，3）上恒成立，所以()1e 1x x h x =--在[12，3）上单调递增，所以33()(3)1e 1h x h <=--，所以331e 1m --≥．22．解：（Ⅰ）因为曲线C 1的参数方程为4cos ,4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝16．（Ⅱ）设P （4cosθ，4sinθ）（θ为参数）， 又因为M （－2，5），N （6，1），所以|PM|2＋|PN|2＝（4cos θ＋2）2＋（4sinθ－5）2＋（4cosθ－6）2＋（4sinθ－1）2＝98－16（3sinθ＋2cosθ）98)θϕ=-+（其中cosϕ=）． 因为－1≤sin （θ＋φ）≤1，所以|PM|2＋|PN|2的最大值为98+ 23．解：（Ⅰ）将函数f （x ）＝|2x －1|－|2x －4|去绝对值，当12x ≤时，f （x ）＝－3≥x ⇒x≤－3； 当122x <<时，5()4523f x x x x =-⇒<≥≤； 当x≥2时，f （x ）＝3≥x ⇒2≤x≤3， 综上所述，不等式的解集为（－∞，－3]∪[53，3]． （Ⅱ）由绝对值三角不等式可得||2x －1|－|2x －a||≤|（2x －1）－（2x －a ）|＝|a －1|＝a －1， 所以f （x ）的最大值为a －1，因为正实数m ，n 满足12M a m n+==， 所以121m n +=，所以2n m n =-，所以21211122(2)21222212n n n m n n n n n +=+=-+-⨯=-------≥（当且仅当1232n n n -=⇒=-时，取等号），所以2112m n +--的最小值为2．。

“超级全能生”全国卷26省联考2020届高考数学（理）试题（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺2．已知三棱锥S ABC -各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若2AB BC ==，23ABC π∠=，三棱锥S ABC -的体积为4，则球O 的表面积为（ ） A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π3．函数()log ()a f x x b =+大致图象如图所示，则函数()x g x a b =-图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()ln xf x x a =-，（0x >，01a <<）的两个零点为1x ，2x ，则（ ） A ．1201x x << B ．121=x x C ．121x x e<< D ．12x x e>5．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为1P ，2P ，3P ，4P ，则下列选项正确的是（ ）A ．12P P =B ．123P P P +=C ．40.5P = D ．2432P P P +=6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，以A 为圆心，OA（O 为坐标原点）为半径的圆与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若2PF PA ⊥，且122PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．15+ B ．13+C ．5D ．37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．220C ．200D ．260 8．若函数图象与函数的图象关于原点对称，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ） A ．(0,4)B ．(2,23)C ．(22,3)D ．(22,4)10．若81(1)2x ax x ⎫-⎪⎭展开式中含12x 项的系数为21，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．-3 C ．2 D ．-211．将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移ϕ02πϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若方程()()124f x g x -=的根1x ，2x 满足12min 6x x π-=，则ϕ的值是（ ）A ．4πB ．6πC ．3πD ．2π12．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点3)B ，且在5(,)1212ππ上单调，把()f x 的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当1224,(,)33x x ππ∈且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=( )A ．3B 3C ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

“超级全能生”2016高考全国卷26省联考（甲卷）理科数学试卷一．选择题（本题共12小题，，每小题5分，共60分）1. 已知集合B ＝{1}，C ＝{3}，A B ＝{1，2}，则（）A 、AB =∅ B 、AC =∅ C 、A C ＝{1，2，3}D 、AC ＝{2，3}2. 若复数31z i =，22z i =+，则12z z ＝（）A 、－1－2iB 、－1+2iC 、1+2iD 、1－2i 3. 掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数的概率为（） A 、12 B 、25 C 、516 D 、144. “0xy ≠”是“0x ≠”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，...，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有 只蜜蜂。

（）A. 972B. 1456C. 4096D. 54606. 如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体表面积是（）A. 80－2πB. 80C. 80+4πD. 80+6π 7. 对任意非零实数a,b,若的运算原理如图所示，则的值为（）A.21+ B. 2 C.22 D. 212- 8. 下列函数中在3(,)44ππ上为减函数的是（）A. tan y x =-B.cos(2)2y x π=--C. sin 2cos 2y x x =+D. 22cos 1y x =-9. 下列函数中满足121212()()()()22x x f x f x f x x ++<≠的是（） A. ()f x ax b =+ B. ()f x x α= C. ()log (0,1)a f x x a a =>≠ D. 2()f x x ax b =++10. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为2，过右焦点F 作x 轴的垂线交双曲线与A,B 两点，△OAB （O 为坐标原点）的面积为45，则F 到一条渐近线的距离为（） A. 3 B. 2 C. 5 D. 311. 半径为R 的球O 中有两个半径分别为23与22的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R ，则R= （） A. 43 B. 5 C. 33 D. 4 12. 以下关于(0)x x ≥的不等式2ln(1)0x kx x ++-≥的结论中错误的是（） .A.14k ∃≤，使不等式恒成立 B. 14k ∀≥，使不等式恒成立 C. 12k ∃≤，使不等式恒成立 D. 12k ∀≥，使不等式恒成立二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线24y x =上，则这个等腰直角三角形的面积为14、若关于x 的不等式2x x mx -+>的解集为{}|10x x -<<，则二项式2016(1)mx +的展开式中的x 系数为15、等比数列{}n a 中，130,256,448,n n a a S T >==为数列{}n a 的前n 项乘积，则n T 当取得最大值时，n ＝16、已知向量(,),(1,1)a m n b ==，满足a b ≥2，且(2)0a a b -≤，则a b 的取值范围是 三、解答题（本题共6小题，共70分）17、（12分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2sin sin 2sin()B C A C -=- （1）求cosA ；（2）若10,5a b c =+=，求△ABC 的面积。

“超级全能生”２０２０高考全国卷２４省１月联考乙卷数学（理科）答案详解１２３４５６７８９１０１１１２ＡＢＡＢＣＢＡＤＢＣＢＤ１．Ａ【解析】本题考查复数的概念与运算．由题意知ｚ＝２＋３ｉ１＋ｉ＝（２＋３ｉ）（１－ｉ）２＝５２＋１２ｉ，所以ｚ的虚部为１２，故选Ａ．【方法技巧】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ－ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ）；其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的实部为ａ、虚部为ｂ、模为在复平面内对应点为（ａ，ｂ）、共轭复数为ａ－ｂｉ．２．Ｂ【解析】本题考查不等式的解法、集合的基本运算．由题意可知集合Ａ＝ｘｘ＞{}１３，所以ＵＡ）∩Ｂ＝ｘ－３＜ｘ≤}{１３，故选Ｂ．３．Ａ【解析】本题考查等差数列的性质．由已知可得Ｓ１００＝（ａ１＋ａ３＋…＋ａ９９）＋（ａ２＋ａ４＋…＋ａ１００）＝（ａ１＋ａ３＋…＋ａ９９）＋（ａ１＋ａ３＋…＋ａ９９＋５０ｄ），所以１０＋５０ｄ＝６０，解得ｄ＝１，故选Ａ．４．Ｂ【解析】本题考查程序框图．由题意可知起始值：Ｓ＝１，ｋ＝０；第一次循环：Ｓ＝１＋ｃｏｓ（０×π）＝２，ｋ＝２；第二次循环：Ｓ＝２＋ｃｏｓ２π＝３，ｋ＝４；第三次循环：Ｓ＝３＋ｃｏｓ４π＝４，ｋ＝６；第四次循环：Ｓ＝４＋ｃｏｓ６π＝５，ｋ＝８；第五次循环：Ｓ＝５＋ｃｏｓ８π＝６，若要输出ｋ＝８，则判断框中应填入Ｓ＞５？，故选Ｂ．５．Ｃ【解析】本题考查函数的性质、指数、对数、幂函数的大小比较．因为函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且ｆ（－ｘ）＝ｌｎ（｜－ｘ｜＋２０２０）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为偶函数，且在（０，＋∞）上单调递增．故ｂ＝ｆｌｎ()１２＝ｆ（－ｌｎ２）＝ｆ（ｌｎ２）．因为５１２＞１＞ｌｎ２＞ｌｏｇ３２，所以ｃ＞ｂ＞ａ，故选Ｃ．【方法技巧】涉及函数的大小比较，首先要对函数的定义域进行正确的分类，一般情况下分为（－∞，０）和（０，＋∞），在（０，＋∞）上再分为（０，１）和（１，＋∞），偶函数的大小比较，利用偶函数满足ｆ（ｘ）＝ｆ（｜ｘ｜）的性质，转化为在（０，＋∞）上再进行比较．６．Ｂ【解析】本题考查抛物线的定义与方程、基本不等式．由题可知｜ＰＦ｜＝２＋ｐ２＝３，解得ｐ＝２，则抛物线的方程为ｙ２＝４ｘ．设点Ｍ（ｘ０，ｙ０），则｜ＭＦ｜＝ｘ０＋１．Ａ（－１，０），∴｜ＭＡ｜＝＝｜ＭＡ｜｜ＭＦ｜＝＝当ｘ０＝０时，｜ＭＡ｜｜ＭＦ｜＝１；当ｘ０＞０时，｜ＭＡ｜｜ＭＦ｜＝＝．∵ｘ０＋１ｘ０＋２≥４，∴０＜４ｘ０＋１ｘ０＋２≤１，∴１＜１＋４ｘ０＋１ｘ０＋２≤２，∴１当且仅当ｘ０＝１时取得最大值，所以｜ＭＡ｜｜ＭＦ｜的取值范围为［１，故选Ｂ．【方法技巧】涉及分式最值的计算，常常分离常数，利用基本不等式求出最值与取值范围，适当的变形是解题的关键．７．Ａ【解析】本题考查排列与组合、古典概型．由题意可知分组情况有１，１，３和１，２，２两种，其中第一种情况共有Ｃ３５·Ａ３３种不同的分配方法；第二种情况共有Ｃ２５Ｃ２３Ａ２２·Ａ３３种不同的分配方法，则所有的分配方法一共有Ｃ３５＋Ｃ２５Ｃ２３Ａ()２２·Ａ３３种，其中甲、乙在同一地区且只有甲、乙的情况为Ｃ２３Ａ３３种，则所求的概率Ｐ＝Ｃ２３Ａ３３Ｃ３５＋Ｃ２５Ｃ２３Ａ()２２·Ａ３３＝３２５，故选Ａ．８．Ｄ【解析】本题考查三角函数的平移变换、图象及性质．由图象相邻两条对称轴之间的距离为π２可得Ｔ２＝π２（Ｔ为最小正周期），则Ｔ＝π，∴Ｔ＝２πω＝π，即ω＝２．由相邻最高点与最低点的距离为＝解得Ａ＝２，∴ｙ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋φ）．将函数的图象向右平移π６个单位长度后可得ｇ（ｘ）[(＝２ｓｉｎ２ｘ－π)６＋]φ＝２ｓｉｎ２ｘ＋φ－π()３的图象．∵ｇ（ｘ）为偶函数，∴φ－π３＝ｋπ＋π２（ｋ∈Ｚ），∴φ＝ｋπ＋５π６（ｋ∈Ｚ）．∵｜φ｜＜π２，∴φ＝－π６，∴ｇ（ｘ）＝－２ｃｏｓ２ｘ，则ｇ（ｘ）在０，π(]３上的最大值为ｇπ()３＝１，故选Ｄ．【方法技巧】函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ(）Ａ＞０，ω＞０，｜φ｜＜π)２的解析式的求解，首先确定Ａ的值，再确定ω的值，最后确定φ的值，三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握．９．Ｂ【解析】本题考查导数的几何意义以及直线与圆的位置关系．∵ｆ′（ｘ）＝２２ｘ－１＋１，∴ｆ′（１）＝３，且ｆ（１）＝１，∴直线ｌ的方程为ｙ＝３ｘ－２，则圆心到直线ｌ的距离故圆ｘ２＋ｙ２＝１０上的点到直线ｌ故选Ｂ．１０．Ｃ【解析】本题考查三角恒等变换、函数的奇偶性与最值．ｆ（ｘ）＝ｅ｜ｘ｜＋２ｓｉｎ２ｘ＋π()４ｅ｜ｘ｜＋１＝ｅ｜ｘ｜＋２ｉｎｘ２ｏｓ()ｘ２ｅ｜ｘ｜＋１＝ｅ｜ｘ｜＋１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘｅ｜ｘ｜＋１＝１＋ｓｉｎ２ｘｅ｜ｘ｜＋１．因为函数ｈ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘｅ｜ｘ｜＋１为奇函数，所以ｈ（ｘ）的最大值与最小值的和为０，所以函数ｆ（ｘ）的最大值与最小值的和为２，故选Ｃ．１１．Ｂ【解析】本题考查三棱锥外接球的表面积、二面角．根据已知可得△ＡＢＤ，△ＢＤＣ为全等的等边三角形，取ＢＤ的中点Ｅ，连接ＡＥ，ＣＥ．由二面角的定义可知∠ＡＥＣ即为二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的平面角，∴∠ＡＥＣ＝１２０°．取△ＡＢＤ，△ＢＤＣ的重心分别为Ｇ１，Ｇ２，过两重心分别作两平面的垂线交于点Ｏ，则点Ｏ即为该三棱锥外接球的球心，连接Ｇ１Ｇ２，ＯＥ．在△Ｇ１Ｇ２Ｅ中，利用余弦定理可得Ｇ１Ｇ２２＝(２＋(２－２×ｃｏｓ１２０°＝１，∴Ｇ１Ｇ２＝１．根据正弦定理可得Ｇ１Ｇ２ｓｉｎ１２０°＝ＯＥ，∴ＯＥ设外接球的半径为Ｒ，则Ｒ∴该三棱锥外接球的表面积Ｓ＝４πＲ２＝２８３π，故选Ｂ．【方法技巧】求三棱锥的外接球，关键是求出底面的外心，过外心作底面的垂线，则球心在该垂线上，由此确定球心的位置，再根据几何意义，求出球的半径即可求解．１２．Ｄ【解析】本题考查函数的单调性以及不等式恒成立问题．由ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ＋４ｘ＋３可知ｆ（ｅｘ）＝ａｘ＋４ｅｘ＋３，则ｆ（２ｘ）＜ａｘ＋４ｅｘ＋３可以变形为ｆ（２ｘ）＜ｆ（ｅｘ）．当ｘ∈（０，＋∞）时，２ｘ＞１，且ｅｘ＞２ｘ，则可知函数ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递增，∴ｆ′（ｘ）＝ａｘ＋４＝ａ＋４ｘｘ≥０在（１，＋∞）上恒成立，即ａ≥－４ｘ在（１，＋∞）上恒成立．∵（－４ｘ）ｍａｘ＝－４，∴ａ≥－４，故选Ｄ．【方法技巧】根据函数的单调性来解决函数的最值问题，可以对函数的解析式进行适当的变形，把参数放到一边，变量放到另一边，根据恒成立求出参数的取值范围．１３．１２【解析】本题考查平面向量的数量积和夹角公式．∵ａ＝（３，４），∴｜ａ｜＝５．由（ａ－２ｂ）·（２ａ－ｂ）＝３３可得２ａ２－５ａ·ｂ＋２ｂ２＝３３．设向量ａ与向量ｂ的夹角为θ，则２×２５－５×５×２ｃｏｓθ＋２×２２＝３３，解得ｃｏｓθ＝１２，即向量ａ与向量ｂ夹角的余弦值为１２．１４．１【解析】本题考查二项式定理．设（１＋ａｘ）２（１＋ｘ）４＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ４＋ａ５ｘ５＋ａ６ｘ６，分别令ｘ＝１，ｘ＝－１，可得（１＋ａ）２×２４＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６，０＝ａ０－ａ１＋ａ２－ａ３＋ａ４－ａ５＋ａ６，两式相减可得（１＋ａ）２×２４＝２（ａ１＋ａ３＋ａ５），∴（１＋ａ）２×２４＝２×３２，解得ａ＝１或ａ＝－３（舍）．１５．槡１３２或槡１３３【解析】本题考查双曲线的几何性质．设双曲线的右焦点Ｆ（ｃ，０），过点Ｆ与ｘ轴垂直的弦长为２ｂ２ａ，当有且仅有三条直线满足题中条件时，有２ｂ２ａ＝３ｂ，３ｂ＞２{ａ或３ｂ＝２ａ，３ｂ＞２ｂ２ａ{，解得该双曲线的离心率ｅ１６．５－２ｎ＋５２ｎ【解析】本题考查利用数列的递推公式求数列的通项公式、错位相减法求数列的前ｎ项和．ａｎ＋１＝（ｎ＋１）ａｎ２ｎ＋ａｎ·２ｎ＋１可以变形为１ａｎ＋１＝２ｎ＋ａｎ·２ｎ＋１（ｎ＋１）ａｎ，∴ｎ＋１ａｎ＋１＝２ｎａｎ＋２ｎ＋１，即ｎ＋１２ｎ＋１ａｎ＋１－ｎ２ｎａｎ＝１，∴数列ｎ２ｎａ{}ｎ是首项为１，公差为１的等差数列，则ｎ２ｎａｎ＝ｎ，∴ａｎ＝１２ｎ，则Ｔｎ＝３２＋５２２＋…＋２ｎ＋１２ｎ，１２Ｔｎ＝３２２＋５２３＋…＋２ｎ＋１２ｎ＋１，两式相减可得Ｔｎ＝５－２ｎ＋５２ｎ．【方法技巧】根据数列的递推公式求数列的通项，首先对递推公式进行适当的变形，不是等差数列与等比数列的变为等差数列与等比数列，利用等差数列或等比数列的通项公式求出数列的通项，再求出数列的前ｎ项和即可．１７．【名师指导】本题考查余弦定理、三角形的面积公式，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想．（Ⅰ）利用余弦定理建立方程，求出ｃｏｓＣ的值即可求解；（Ⅱ）由余弦定理求出线段ＡＣ的长及角Ｄ的大小，再利用三角形的面积公式建立方程，即可求出ＤＥ的长．解：（Ⅰ）在△ＡＢＤ中，由余弦定理可得ＢＤ２＝ＡＢ２＋ＡＤ２－２ＡＢ·ＡＤ·ｃｏｓＡ＝５－４ｃｏｓπ３＝３．（２分）在△ＢＣＤ中，由余弦定理可得ＢＤ２＝ＢＣ２＋ＣＤ２－２ＢＣ·ＣＤ·ｃｏｓＣ＝２－２ｃｏｓＣ＝３，（４分）∴ｃｏｓＣ＝－１２，而Ｃ∈（０，π），∴Ｃ＝２π３．（６分）（Ⅱ）在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中，由余弦定理可得ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２－２ＡＢ·ＢＣ·ｃｏｓＢ＝２－２ｃｏｓＢ，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２－２ＡＤ·ＣＤ·ｃｏｓＤ＝５－４ｃｏｓＤ．（９分）由（Ⅰ）可得Ｂ＋Ｄ＝π，故ｃｏｓＤ＝－ｃｏｓＢ．∵２－２ｃｏｓＢ＝５＋４ｃｏｓＢ，∴ｃｏｓＢ＝－１２，即Ｂ＝２π３，故ＡＣＤ＝π３．（１１分）由三角形的面积公式可得Ｓ△ＡＣＤ＝１２ＡＣ·ＤＥ＝１２ＡＤ·ＣＤ·ｓｉｎπ３，故ＤＥ＝１．（１２分）１８．【名师指导】本题考查空间线面垂直的判定、二面角，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想．（Ⅰ）根据线面垂直，可以证明ＢＣ⊥平面ＭＤＣ，再证明ＭＣ⊥平面ＡＤＭ即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解．解：（Ⅰ）证明：已知ＢＣ⊥ＤＭ，ＢＣ⊥ＤＣ，ＤＭ∩ＤＣ＝Ｄ，∴ＢＣ⊥平面ＭＤＣ．又ＭＣ 平面ＭＤＣ，∴ＢＣ⊥ＭＣ．（２分）∵ＡＤ∥ＢＣ，∴ＡＤ⊥ＭＣ．又ＭＣ⊥ＭＡ，（４分）且ＡＤ∩ＭＡ＝Ａ，∴ＭＣ⊥平面ＡＤＭ．（６分）（Ⅱ）如图所示，过点Ｍ作ＭＯ⊥平面ＡＢＣＤ，交ＤＣ于点Ｏ，在底面ＡＢＣＤ中，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，以Ｏ为坐标原点，以ＯＥ，ＯＣ，ＯＭ所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ，则Ｍ（０，０，２），Ａ（２，－２，０），Ｃ（０，２，０），Ｂ（２，２，０）．（８分）设平面ＭＢＣ的法向量ｍ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１）．∵→ＭＢ＝（２，２，－２），→ＭＣ＝（０，２，－２），则→ＭＢ·ｍ＝０，→ＭＣ·ｍ{＝０ ２ｘ１＋２ｙ１－２ｚ１＝０，２ｙ１－２ｚ１＝０{，令ｙ１＝１，则ｍ＝（０，１，１）．设平面ＭＡＢ的法向量ｎ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）．∵→ＭＡ＝（２，－２，－２），则→ＭＢ·ｎ＝０，→ＭＡ·ｎ{＝０ ２ｘ２＋２ｙ２－２ｚ２＝０，２ｘ２－２ｙ２－２ｚ２＝０{，令ｘ２＝１，则ｎ＝（１，０，１）．（１０分）设二面角Ａ－ＭＢ－Ｃ的平面角为θ，则ｃｏｓθ＝ｍ·ｎ｜ｍ｜｜ｎ｜＝１２．（１１分）由图可知二面角Ａ－ＭＢ－Ｃ的平面角为钝角，故二面角Ａ－ＭＢ－Ｃ的余弦值为－１２．（１２分）１９．【名师指导】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想．（Ⅰ）根据题意列出方程，即可求出曲线Ｃ的轨迹方程；（Ⅱ）把直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理、弦长公式及点到直线的距离，求出四边形ＭＡＮＢ的面积表达式，再求出其最大值．解：（Ⅰ）设点Ｐ（ｘ，ｙ），则｜ＰＦ｜（２分）整理得ｘ２＋ｙ２＝１，即曲线Ｃ的轨迹方程为ｘ２４＋ｙ２＝１．（４分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２＝１，则Ｍ（２，０），Ｎ（０，１）．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），联立ｘ２４＋ｙ２＝１，ｙ＝１２ｘ＋{ｍ可得ｘ２＋２ｍｘ＋２ｍ２－２＝０，则Δ＝（２ｍ）２－４（２ｍ２－２）＝４（２－ｍ２）＞０，所以ｘ１＋ｘ２＝－２ｍ，ｘ１ｘ２＝２ｍ２－２，（６分）｜ＡＢ｜｜ｘ１－ｘ２｜点Ｍ，Ｎ到直线ｌ的距离分别为ｄ１ｄ２．由－１＜ｍ＜１可知ｄ１＋ｄ２（８分）所以四边形ＭＡＮＢ的面积Ｓ＝１２（ｄ１＋ｄ２）｜ＡＢ｜＝当且仅当ｍ＝０时，四边形ＭＡＮＢ面积取得最大值为（１２分）２０．【名师指导】本题考查函数与方程、导数在研究函数中的应用，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想．（Ⅰ）对函数求导，并对参数ａ的取值范围分两种情况讨论，从而确定函数ｆ（ｘ）的单调区间；（Ⅱ）对函数ｇ（ｘ）求导，可知导函数ｇ′（ｘ）在（０，＋∞）内有唯一零点ｘ０，根据图象可知ｇ（ｘ０）＜０，从而可得１ｘ０－ｘ０－２ｌｎｘ０＜０，再构造函数，即可求解实数ａ的取值范围．解：（Ⅰ）函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），且ｆ′（ｘ）＝－１ｘ２＋（ａ－１）＋１ｘ＝（ａ－１）ｘ２＋ｘ－１ｘ２，令ｈ（ｘ）＝（ａ－１）ｘ２＋ｘ－１．（２分）①当ａ＝１时，可知函数ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递增，在（０，１）上单调递减；（３分）②当ａ＞１时，Δ＝４ａ－３＞０，可知ｈ（ｘ）＝０有两个解，即ｘ１，２可知ｆ（ｘ）在(上单调递减，在)＋∞上单调递增．（５分）综上可知，当ａ＝１时，函数ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递增，在（０，１）上单调递减；当ａ＞１时，函数ｆ（ｘ）在(上单调递减，在()＋∞上单调递增．（６分）（Ⅱ）由函数ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ａ－ａ－ｌｎｘ有两个不同的零点可知函数ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－ａ－１ｘ＝０在（０，＋∞）上有唯一解ｘ０，所以当ｘ∈（０，ｘ０）时，ｇ′（ｘ）＜０，函数ｇ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（ｘ０，＋∞）时，ｇ′（ｘ）＞０，函数ｇ（ｘ）单调递增，故ｇ（ｘ０）＜０．根据ｅｘ０－ａ＝１ｘ０可知ａ＝ｘ０＋ｌｎｘ０，（８分）代入ｇ（ｘ０）＜０可得１ｘ０－（ｘ０＋ｌｎｘ０）－ｌｎｘ０＜０，化简可得１ｘ０－ｘ０－２ｌｎｘ０＜０．（９分）令φ（ｘ）＝１ｘ－ｘ－２ｌｎｘ，则φ′（ｘ）＝－１ｘ２－１－２ｘ＜０，可知φ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递减．由φ（ｘ０）＜０＝φ（１），可得ｘ０＞１，故ａ＝ｘ０＋ｌｎｘ０＞１，所以实数ａ的取值范围为（１，＋∞）．（１２分）２１．【名师指导】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查考生的运算求解能力和数据处理能力，考查数学建模思想．（Ⅰ）列出２×２列联表，求出观测值Ｋ２的值与表中数据比较判断，即可得出结论；（Ⅱ）分别求出东线和西线的数学期望，比较判断即可．解：（Ⅰ）根据已知数据得到如下２×２列联表：４０岁以上４０岁及４０岁以下合计想去逛新商场１０００１０００２０００不想去逛新商场２５００５００３０００合计３５００１５００５０００根据列联表中的数据，可得Ｋ２＝５０００×（１０００×５００－１０００×２５００）２２０００×３０００×３５００×１５００≈６３４．９２１＞１０．８２８，所以有９９．９％的把握认为想去逛新商场与年龄有关．（４分）（Ⅱ）设东线耽误的时间为Ｘ，则Ｘ的可能取值为１００，９０，８０，７０，３０，２０，１０，０，（５分）可知Ｐ（Ｘ＝１００）＝１６×１２×１３＝１３６；Ｐ（Ｘ＝９０）＝１６×１３×１－()１２＝１３６；Ｐ（Ｘ＝８０）＝１６×１－()１３×１２＝１１８；Ｐ（Ｘ＝７０）＝１６×１－()１３×１－()１２＝１１８；Ｐ（Ｘ＝３０）＝１－()１６×１２×１３＝５３６；Ｐ（Ｘ＝２０）＝１－()１６×１３×１－()１２＝５３６；Ｐ（Ｘ＝１０）＝１－()１６×１－()１３×１２＝５１８；Ｐ（Ｘ＝０）＝１－()１６×１－()１３×１－()１２＝５１８，（７分）则东线耽误时间Ｘ的分布列为Ｘ１００９０８０７０３０２０１００Ｐ１３６１３６１１８１１８５３６５３６５１８５１８数学期望Ｅ（Ｘ）＝１００×１３６＋９０×１３６＋８０×１１８＋７０×１１８＋３０×５３６＋２０×５３６＋１０×５１８＋０×５１８＝７０３≈２３．３．（９分）设西线堵车次数为Ｙ，则满足Ｙ～Ｂ４，()１４，所以Ｅ（２０Ｙ）＝２０×４×１４＝２０．（１１分）因为２０＜２３．３，所以走西线可以更快到达新商场．（１２分）２２．【名师指导】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想．（Ⅰ）先把直线ｌ的参数方程与曲线Ｃ的极坐标方程化为普通方程，再联立，求出交点坐标，利用弦长公式即可得出结论；（Ⅱ）把直线ｌ的参数方程代入曲线Ｃ的直角坐标方程，再利用参数的几何意义即可得出结论．解：（Ⅰ）曲线Ｃ的极坐标方程可化为ρ＝８ｃｏｓθ２ｓｉｎ２θ，即ρ２ｓｉｎ２θ＝４ρｃｏｓθ，化为直角坐标方程为ｙ２＝４ｘ．当α＝π４时，直线ｌ的参数方程为ｘ＝１ｔ，ｙ＝１＋槡２２{ｔ（ｔ为参数），化为普通方程为ｙ＝ｘ，（３分）代入ｙ２＝４ｘ可得直线ｌ与曲线Ｃ的交点坐标为（０，０），（４，４），故直线ｌ被曲线Ｃ截得的弦长为＝（５分）（Ⅱ）把ｘ＝１＋ｔｃｏｓα，ｙ＝１＋ｔｓｉｎ{(α其中ｔ为参数，０≤α≤π)２，代入ｙ２＝４ｘ可得ｔ２ｓｉｎ２α＋（２ｓｉｎα－４ｃｏｓα）ｔ－３＝０，由条件可得α≠０，且Δ＝（２ｓｉｎα－４ｃｏｓα）２＋１２ｓｉｎ２α＞０恒成立．设Ａ，Ｂ两点对应的参数分别为ｔ１，ｔ２，则ｔ１ｔ２＝－３ｓｉｎ２α＜０，∴｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜＝３ｓｉｎ２α＝９，（７分）∴ｓｉｎα又０≤α≤π２，∴ｓｉｎαｃｏｓα（９分）∴直线ｌ的斜率ｋ＝ｔａｎα（１０分）２３．【名师指导】本题考查绝对值不等式的解法、基本不等式的应用，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查分类与整合思想．（Ⅰ）根据ｘ的取值范围去掉绝对值符号，分别求解不等式的解集，再取并集即可；（Ⅱ）先根据绝对值不等式的性质及已知条件求出ｘ的取值范围，再利用函数的性质即可得出结论．解：（Ⅰ）当ｍ＝２时，不等式ｆ（ｘ）＜４即为２｜ｘ＋１｜＋｜ｘ－２｜＜４．①当ｘ＜－１时，不等式可化为－２（ｘ＋１）－（ｘ－２）＜４，解得ｘ＞－４３，故－４３＜ｘ＜－１；（２分）②当－１≤ｘ≤２时，不等式可化为２（ｘ＋１）－（ｘ－２）＜４，解得ｘ＜０，故－１≤ｘ＜０；③当ｘ＞２时，不等式可化为２（ｘ＋１）＋（ｘ－２）＜４，解得ｘ＜４３，无解．（４分）综上可知，原不等式的解集为－４３，()０．（５分）（Ⅱ）当ｍ＝１时，ｆ（ｘ）＝｜ｘ＋１｜＋｜ｘ－２｜≥｜（ｘ＋１）－（ｘ－２）｜＝３，当且仅当（ｘ＋１）（ｘ－２）≤０，即－１≤ｘ≤２时取等号．因为ｇ（ｘ）＝（ｘ＋２）＋９ｘ＋２－２，且当－１≤ｘ≤２时，１≤ｘ＋２≤４，（８分）令ｔ＝ｘ＋２（１≤ｔ≤４），易得ｙ＝ｔ＋９ｔ－２在［１，３］上单调递减，在［３，４］上单调递增．当ｔ＝３时，ｙ＝４；当ｔ＝１时，ｙ＝８；当ｔ＝４时，ｙ＝１７４，故ｇ（ｘ）的值域为［４，８］．（１０分）。

超级全能生2016高考全国卷26省联考 数学（理科乙卷）一、选择题1.已知{y |y 2,x 1}x U ==≥-，1{x |1}1A x =≥-则U C A =（） A.[1/2,2]B.[2,)+∞ C.[1/2,1](2,)+∞U D.[1/2,1)(2,)+∞U 答案：C解析：[1/2,),(1,2]U A =+∞= 2.复数z 满足zi z i=-则z =（） A.12i + B.12i- C.1＋iD.1－i 答案：B解析：设z a bi =+代入解得1/2a b ==3.执行如图所示的程序框图，则输出的k 为 A.7B.8C.9D.10 答案：B解析：348log 2log 3...log 7lg 2/lg81/3S =⨯⨯⨯==4.从自然数1~9中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为（） A.23B.13C.19D.18 答案：C解析：基本事件总数729936C C ==平均数为5的事件包括：辍选1,9;2,8,3,7;4,6共四种可能 5.如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A.163B.4C.3D.2 答案：D解析：四棱锥的直观图如图所示底面为直角梯形AA ’EC ，2()322a aS a =+⨯= 四棱锥的高FB ，22a h ==，因此123V Sh == 6.在平面内，过定点P 的直线1mx y +=与过定点Q 的直线30x my -+=相交于点M ，则||||MP MQ ⋅的最大值为（）A.102B.10C.10D.5 答案：D解析：查考过定点的直线系 定点(0,1),(3,0)P Q -10PQ =为定长设MQ=x ，MP=y ，则222210/2x y PQ xy xy +=≥⇒≤7.若函数f(x)同时满足以下三个性质：(1)f(x)的最小正周期为π；(2),()()04x f x f x π∀∈-+-=R ；(3)f(x)在(,)42ππ上是减函数，则f(x)的解析式可能是（）A.()sin 2cos 2f x x x =+B.()sin 2f x x =C.()tan(/8)f x x π=+D.()cos 2f x x = 答案：A解析：三个性质分别对应周期性、奇偶性和单调性 首先由单调性排除正切函数其余三个函数周期性与单调性均满足 考查()2sin(2/4)f x x π=+(/4)2sin(2/4)f x x ππ-=-正好满足性质(2)8.设x,y 满足约束条件3274x y x y a +≤⎧⎨-≤⎩且z ax y =+的最大值为4，则a ＝（）A.2B.23C.－2D.－4答案：A解析：联立线性方程得交点72283,1111a ax y +-==22(214)411ax y a a +=++=因此2280a a +-=即a=2或－4 其中a=－4使约束条件与目标函数平行故舍去 9.若函数12(),()f x f x 满足12()()dx 0(0)aa f x f x a -⋅=>⎰，则称12(),()x f x 是区间[－a,a]上的一组Γ函数，给出下列四组函数： (1)212(),()1f x x f x x ==+ (2)12()cos ,()tan f x x f x x == (3)12()21,()21f x x f x x =-=+ (4)12()sin ,()cos f x x f x x ==其中是区间[－1/2,1/2]上的Γ函数的组数是（） A.0B.1C.2D.3 答案：C解析：对称区间上定积分为零，被积函数一定是奇函数，因此只有(2)(4)10.已知a,b 是单位向量，且夹角为60°，若向量p 满足|a b p |1/2--=，则|p|的最大值为（） A.12B.1C.32D.2 答案：C解析：如图所示单位向量|a-b|=1 因此|1|p |||a b p |1/2|p |11/2-≤--=⇒≤+11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，P 为棱A ’B ’中点，点Q 在侧面DCC ’D ’内运动，若∠PBQ ＝∠PBD ’，则动点Q 的轨迹所在曲线为（） A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 答案：C解析：考查圆锥曲线的定义，如图所示 平行于圆锥旋转轴BP 的截面截得双曲线 而侧面DCC ’D ’显然平行于旋转轴BP12.已知函数22ln (x m)()x f x x+-=，若存在[1,2]x ∈使得'()()0f x x f x ⋅+>，则实数m 的取值范围是（）A.(－∞,2)B.(2,52)C.(0,52)D.(－∞,52)答案：D解析：考查导数及二次不等式22[2/2()][2ln (x m)]'()x x m x x f x x +--+-=因此2'()()2()0f x x f x x m x⋅+=+-> 不等式可转化为2()10,[1,2]g x x mx x =-+>∈ 本题要求存在x ，即(1)0(2)05/2g g m >>⇒<或 若要求恒成立，则根据对称轴x=m/2的位置分类讨论当122m ≤≤时()02mg m φ>⇒∈当/21m <时(1)02g m >⇒< 当/22m >时(2)0g m φ>⇒∈ 二、填空题13.已知:p x m ≤，:|2|1q x -<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是___ 答案：[3,)+∞解析：{x |x m}P =≤{x |1x 3}Q =<<题设等价于Q P ⊂14.已知n 为正整数，在2(1)n x -与(1)n x +展开式中2x 项的系数相同，则n=___ 答案：2解析：4222(21)(22)(23)/24(1)/2n n C C n n n n n n =⇒---=-化简得24802n n n -=⇒=15.在等腰ABC ∆中，AB=AC ，||26AC BC +=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为___答案：4解析：如图所示，设等腰ABC ∆底边上的高AO=h 底角α为锐角，设OC=x ，则BC=CD=2x ， 由三角形法则得26AD =ABC S hx ∆==22224(249)9()163S x x x =-=--+当24/3x =时面积S 取最大值416.设12,F F 是椭圆22:15x C y +=的两焦点，点P （异于两焦点）关于两焦点的对称点分别为12,P P ，线段PQ 的中点在椭圆C 上，则12|PQ ||P Q |+=___答案：解析：特殊点法，设P(0,0)，Q(2a,0)，则P1(-2c,0),P2(2c,0)则12|P Q ||P Q |+=2a+2c+2a-2c=4a ，而a =三、解答题17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，2222,*n n S a n n n N +=++∈ (1)求数列{}n a 的通项公式 (2)求数列{n(n)}n a -的前n 项和n T 解析：15/3a =当2n ≥时2112(1)2(1)2n n S a n n --+=-+-+，作差得1321n n a a n --=+，整理得13()(1)n n a n a n --=--因此{()}n a n -为首项2/3、公比1/3的等比数列因此23n n a n =+(2)2n(n)3n n na -=2122(...)333n n n T =+++2311122(...)3333n n n T +=+++作差得2121112(...)33333n n n n T +=+++-因此31(1)233n n n nT =--18.某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取）.第一种抽奖方式：若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元.第二种抽奖方式：抽到白球，获得奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元.(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获得奖金70元的概率(2)若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利.解析：(1)X=2000可抽奖4次，得奖金70元，共有两种情形：抽得3红1黑；抽得1红3白因此所求事件的概率为3113424349221C C C C P C +==(2)X=1200可抽奖2次用第一种抽奖方式，获得奖金可能为20,30,40,50,60,8024291(20)6C P C ==1143291(30)3C C P C ==23291(40)12C P C ==1142292(50)9C C P C ==1132291(60)6C C P C ==22291(80)36C P C ==随机变量 20 3040 50 60 80 P 1/61/3 1/12 2/9 1/6 1/36期望20/630/340/12100/960/680/3640E ξ=+++++= 用第二种抽奖方式，获得奖金可能为0,50,100,150,20024291(0)6C P C ==1143291(50)3C C P C ==2113422911(100)36C C C P C +==1132291(150)6C C P C ==22291(200)36C P C ==随机变量 0 50100 150 200 P 1/61/3 11/36 1/6 1/36期望050/31100/36150/6200/36700/9E η=++++=明显第二种抽奖方式更有利。

“超级全能生”2018年高考全国卷26省3月联考乙卷(A)数学(理科)注意事项：l ．本试题共8页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．5．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}(){}{}22,04log 3,0=A a B a A B A B ==-+⋂=⋃，集合，若，则 A ．{}104--，，B ．{}204--，，C ．{}04-，D ．{}104-，，2．若复数z 是纯虚数，且()1z i a i -=+ (a R ∈，i 是虚数单位)，则2018z= A ．20182 B. 20182- C ．1 D ．1-3．已知向量()11,1,,//a m b a b m m ⎛⎫==⎪⎝⎭，且，则实数m = A ．0或1 B ．0 C ．1 D ．1-4．函数()22ln x x f x x x+=+的图象大致是5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201724421S a S a S S =，则等于 A ．2 017 B ．2017- C ．1 D ．1- 6．A ，B ，C ，D ，E ，F 六人进行羽毛球双打练习，两人一组，不同的分组方式共有A ．15种B ．30种C ．90种D ．360种7．设函数()()1cos 2f x x ωϕ=+对任意的x ∈R ，都有()5f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若函数()()3sin 2g x x ωϕ=+-，则10g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是 A ．1 B ．2- C ．53-或 D ．5-或18．双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：过点(3,P ，其右焦点为()2,0F ，则双曲线的渐近线方程为A ．12-B ．12C ．1-D ．19．已知变量,x y 满足约束条件10,20,20,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩若目标函数z ax y =+取最小值时的最优解有无数个，则a =A ．12-B ．12C ．1-D ．110．已知函数()()()cos 042f x x f x ππωω⎛⎫=>⎪⎝⎭，若在区间，上存在零点，则ω的取值范围为A ．()1,3B ．()()1,23,⋃+∞C ．()2,3D ．()()0,13,⋃+∞ 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 6++B. 10++C. 10++D. 192+12．()00,P x y 是抛物线()2:20C y px p =>上一定点，A ，B 是C 上异于P 的两点，直线PA ，PB 的斜率PA pB k k ，满足PA PB k k λ+=（λ为常数，0λ≠），且直线AB 的斜率存在，则直线AB 过定点A ．00022,x px y λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．0002,x x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．00022,y p x y λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．0002,y x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为__________．14.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个教师办公室时，甲说：我去过的教师办公室比乙多，但没去过B 办公室；乙说：我没去过C 办公室；丙说：我和甲、乙去过同一个教师办公室；丁说：我去过C 办公室，我还和乙去过同一个办公室．由此可判断乙去过的教师办公室为________．15．已知正实数,a b 满足21a b +=，则221a b a b b+++的最小值是_________． 16．已知数列{}()12125,2,233n n n n a a a a a a n --===+≥中，，则下列结论正确的是__________(写出所有正确结论编号).①若设()()112=13=3n n n n a a a a n λλμλμ---⎧+=+≥⎨⎩，，则；②()()()121173231312n n n n n n a a n a a n ----+=≥-=-≥ 且； ③()111731314n n n a --⎡⎤=+-⎣⎦ ； ④数列77,312123n n n n a a ⎧⎫⎧⎫--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ 都是等比数列.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)在△ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 所对的边．且2,sin a A ==(I)求角A 的值；(Ⅱ)若角A 为钝角，求12b c +的取值范围．部分初中生因痴迷某款手机游戏而影响了学习．为了调查每天学生玩该款游戏的时间，某初中随机调查了本校男生、女生各50名，其中每天玩该游戏超过3小时的用户称为“游戏迷”，否则称其为“非游戏迷”，调查结果如下：(I)根据以上数据，能否有99％的把握认为“游戏迷”与“性别”有关?(Ⅱ)现从调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“游戏迷”和“非游戏迷”的人数；(III)从(Ⅱ)中抽取的5人中再随机抽取3人，调查该游戏对其学习的影响，记这3人中“游戏迷”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++，其中．参考数据：如图，已知四棱柱//,,PDCE AGFB AD BC AB AP CD PD -⊥⊥中，．(I)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(II)若四边形APDG 为正方形，PA=AB ，求二面角A —PB —C 的余弦值．20．(12分)设点()00,M x y 是椭圆22:12516x y C +=上任意一点，从原点O 向圆()()2200400:41M x x y y -+-=作两条切线，分别与椭圆C 交于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，分别记为12k k ，．(I)证明：12k k 为定值1625-； (Ⅱ)求OPQ ∆的面积OPQ S ∆．已知函数()11ln 12f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． (I)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)当1x >时，证明：12ln 101x x x -<-<-．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做。

2021届超级全能生高考数学联考试卷(理科)(4月份)(丙卷)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2<x≤3}，B={x∈R|0≤x<4}，则A∩B=()A. {x∈R|0≤x≤3}B. {x∈Z|−2<x<4}C. {−1,0，1，2，3}D. {0,1，2，3}2.设复数z=52−i(其中i为虚数单位)，则z⋅z−=()A. 1B. 3C. 5D. 63.函数f(x)=2−3x+1的大致图象是()A. B.C. D.4.若sin(π−α)=−√53，且a∈(π,3π2)，则sin(π2+α2)=()A. −√63B. −√66C. √66D. √635.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为()A. 53B. 103C. 56D. 1166.已知函数，则下列等式成立的是A. B.C. D.7. 某几何体的三视图下图所示(在下边的网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )A. 48B. 54C. 60D. 648.双曲线16y 2−m 2x 2=1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是15，则m 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 49.如图是某人按打中国联通客服热线10010，准备借助人工台咨询本手机的收费情况，他参照以下流程，拨完10010后，需按的键应该是( )A. 1B. 7C. 8D. 010. 已知0<a <b <1，则( )A. 3b <3aB. (lga)2<(lgb)2C. log a 3>log b 3D. (12)a <(12)b11. 设T(x)=|2x −1|，若不等式|a|T(x)≥|a +1|−|2a −1|对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值范围是( )A. (−∞,−1]∪[2,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. [0,1]D. [−1,2]12. 已知三棱锥A −BCD 中，CD ⊥平面ABC ，Rt △ABC 中两直角边AB =5，AC =3，若三棱锥的体积为10，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 50πB. 25πC.25π2D.25π4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设两个向量a⃗=(λ+3,λ−cos2θ)，b⃗ =(μ,μ2+sinθ)，其中θ∈R.若a⃗=2b⃗ ，则λμ的最小值为______．14.设棱长为1的正方体为图形C1，以C1各个面的中心为顶点的正八面体为图形C2，以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3，以C3各个面的中心为顶点的正八面体为图形C4，…，以此类推．设正多面体C n(n∈N+)的棱长为a n(各棱长相等的多面体称为正多面体)，则：(1)a1=1，a2=______ ；(2)当n为奇数时，a n=______ ．15.如果(1+x+x2)(x−a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为．16.抛物线y2=16x焦点与双曲线x2a2−y29=1的一个焦点重合，则曲线实轴长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=π3，且(a−b+c)(a+b−c)=37bc．(Ⅰ)求cos C的值；(Ⅱ)若a=5，求△ABC的面积．18.如图，在空间几何体A−BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD//BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形．(1)若F为AC的中点，求证：BF//平面ADE；(2)若AC=4，求证：平面ADE⊥平面BCDE．19.在2016年6月美国“脱欧”公投前夕，为了统计该国公民是否有“留欧”意愿，该国某中学教学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民，调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留欧”.现已得知50人中赞成“留欧”的占60%，统计情况如表：年龄层次赞成“留欧”反对“留欧”合计18～49岁650岁及50岁以上10合计50(Ⅰ)请补充完整上述列联表；(Ⅱ)请问是否有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关？请说明理由． 参考公式与数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d P(K 2>k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820. (本小题满分10分)选修4−1几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，BE 为圆0的切线，点c 为o 上不同于A 、B 的一点，AD 为的平分线，且分别与BC 交于H ，与O 交于D ，与BE 交于E ，连结BD 、CD ．(I )求证：BD 平分(II)求证：AH.BH =AE.HC21. 已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别为(3,−2√3)，(−2,0)，(4,−4)，(√2,√22).(Ⅰ)求C 1，C 2的标准方程；(Ⅱ)过点M(0,2)的直线l 与椭圆C 1交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−ty =4+√3t(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为{x =cosϕy =1+sinϕ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2：θ=π3(ρ>0)分别交直线l 和曲线C 1于点A ，B ，求|OB||OA|．23.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．(1)证明：ab+bc+ca≤13；(2)若不等式a2b +b2c+c2a≥t恒成立，求t的最大值．。

2021年超级全能生高考数学联考试卷（理科）（4月份）（丙卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)已知集合A={x|x>2}，B={x|x2−4x+3≤0}，则A∩B=()A. {x|2≤x≤3}B. {x|2<x≤3}C. {x|2<x<3}D. {x|2≤x<3}2.(2021·全国·模拟题)已知复数z=24−i63−4i，则z−=()A. 3+4iB. 3−4iC. −3+4iD. −4−3i3.(2021·全国·模拟题)函数f(x)=e x+e−xln|x|的部分图象大致为()A. B.C. D.4.(2021·全国·模拟题)若cosθ=725,θ∈(0,π)，则sin(π2+θ2)=()A. 12B. √32C. 35D. 455.(2021·全国·模拟题)已知递增等差数列{a n}，a1=1，且a2为a1+1与a3+1的等比中项，则公差d=()A. 1B. 1或−3C. 3或−1D. 36.(2021·全国·模拟题)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)=log3(x2+2)，则f(−2021)=()A. 1B. lg9C. lg3D. 07. (2021·全国·模拟题)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A. 16 B. 13 C. 12 D. 238. (2021·全国·模拟题)已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为E 左支上位于第二象限的一点，若直线PF 2与E 的右支相交于Q ，且满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|QF 2|=b ，则E 的渐近线方程为( )A. y =±13xB. y =±√32xC. y =±3xD. y =±2√33x9. (2021·全国·模拟题)斐波那契数列(Fibonacci sequence)是数学家莱昂纳多⋅斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在数学上，斐波那契数列{a n }用递推关系：a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n 来刻画.执行如图所示的程序框图来计算该数列的第2021项，则(1)(2)处分别填入的是( )A. T =S −T ，n ≥2020？B. T =S −T ，n ≥2021？C. T =S ，n ≥2020？D. T =S ，n ≥2021？10. (2021·全国·模拟题)若a =5ln5,b =3ln3,c =2ln2，则( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <a <cD. b <c <a11. (2021·全国·模拟题)设f(x)=e 2x −a ，g(x)=ln(x +a)(a ∈R)，若不等式f(g(x))−g(f(x))>0恒成立，则a 的取值范围为( )A. [0,1]B. (1,+∞)C. [−1,1]D. (−∞,1]12. (2021·全国·模拟题)已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的体积为108√3π，若E ，F ，G ，H 分别为棱A 1D 1，AB ，BC ，A 1B 1的中点，则三棱锥H −EFG 内切球的半径为( )A. 3√3+3√2B. 3√3−3√2C. 3√6−√2D. 2√3−√6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)已知向量a⃗=(t,−2),b⃗ =(3,2+t)(t≠0)，且满足|3a⃗+b⃗ |=5，则t=______ ．14.(2021·全国·模拟题)记S n为等比数列{a n}的前n项和，公比为q(q≠1,q∈N∗)，满足a n S n=2a n2−a n+1,n∈N∗，则数列{a n}的通项公式为a n=______ ．15.(2021·全国·模拟题)已知(m−2x)5展开式中各项系数和为32,(√x+2x)n的展开式中二项式系数和为512，则(m4x+1√x)n展开式中常数项为______ .(用数字作答)16.(2021·全国·模拟题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E：x24+y23=1的一个焦点重合，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OM，ON，与C分别交于M，N，则直线MN过定点______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·模拟题)在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4acsinBcosB=a2sin2C+c2sin2A．(1)求B；(2)若c2+a2+ac=16，求△ABC面积的最大值．18.(2021·全国·模拟题)如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，点E是棱AA1的中点，且异面直线BD与CD1所成角的余弦值为√510．(1)证明：AC//平面B1DE；(2)求锐二面角B1−ED−B的余弦值．19.(2021·全国·模拟题)2021年2月11日20：00整，中央电视台辛丑牛年春节联欢晚会隆重举行.晚会中，华美的舞台令观众沉醉，震撼的科技让酷炫尽显，饱含深情的歌曲、充满感染力的舞蹈、笑中有思的相声小品等一个个节目将过去一年来我国取得的举世成就生动，形象、深刻地呈现出来，描绘出逐梦中国的万千气象，携着吉祥的祝福与全国人民一同迈入新的春天.为了了解电视观众对晚会的整体评价，某调查机构通过不同途径调查了大量完整收看了春晚节目的电视观众的评分(满分100分)，并对其进行统计分析，制作了如图的频率分布直方图：(1)试估算春晚评分的平均值；(2)假设评分在60分以上的，则认为观众对春晚是满意的；不足60分，则认为观众对春晚是不满意的.研究者从样本中抽取了年龄在45岁以上和45岁以下的观众各100名，发现年龄在45岁以上的100名的观众中满意的有60人，年龄在45岁以下的观众中满意的有35人，请结合独立性检验的思想，完成下列列联表，并分析是否有99.9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关？(3)由问题(2)，现从45岁以上的观众中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，并从这10人中随机选出3人颁发参与奖励，设获得参与奖励的不满意的观众人数为X，求X的分布列及数学期望．附：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．20.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=ax2−2lnx(a∈R)．(1)若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线6x−y+8=0平行，求f(x)的单调区间；(2)已知函数g(x)=−2(a−1)x+2，且不等式f(x)−g(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立，求a的最小整数值．21.(2021·全国·模拟题)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(√3,√2),F1,F2为E的左、右焦点，且满足|F1F2|<4，cos∠F1MF2=35．(1)求E的方程；(2)过F1作互相垂直的直线l1与l2分别与E交于A，B和C，D，求|AB|+|CD|的取值范围．22.(2021·全国·模拟题)已知点C(−1,0)，P(−1,2)，曲线C1的参数方程为{x=−1+√3t y=2+t (t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=−1+rcosθy=rcosθ(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若C1与C2相交于A，B两点且|AB|=2√3．(1)求C1的普通方程C2的极坐标方程；(2)求1|PA|+1|PB|的值．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|2x−1|−|2−x|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≥−2x+92；(2)记不等式解集f(x)≥−2x+92中元素数值最小值为m，若正实数a，b，c满足a+ b+c=2m，证明：(9−3b−ac−a2)(a+b)≥8abc．答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|x>2}，B={x|1≤x≤3}，∴A∩B={x|2<x≤3}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：复数z=24−i63−4i =253−4i=3+4i，∴z−=3−4i故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【知识点】函数图象的作法【解析】解：根据题意，f(x)=e x+e−xln|x|，则有f(−x)=e −x+e xln|−x|=e x+e−xln|x|=f(x)，所以f(x)是偶函数，故排除选项A，D；因为f(100)=(e100+e−100)2ln10>e90所以排除选项B，故选：C．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除A、D，求出f(100)的值，排除B，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性函数值的分析，属于基础题．4.【答案】D【知识点】二倍角公式及其应用【解析】解：因为cosθ=725=2cos2θ2−1，所以2cos2θ2=3225，则cos2θ2=1625因为θ∈(0,π)，所以θ2∈(0,π2)．所以sin(π2+θ2)=cosθ2=45，故选：D．由已知利用二倍角公式可得cos2θ2=1625，进而根据角的范围利用诱导公式即可求解．本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题．5.【答案】D【知识点】等差数列的通项公式、等差数列与等比数列的综合应用、等比数列的通项公式【解析】解：在递增等差数列{a n}中，∵a2=1+d，a3=1+2d，且a2为a1+1与a3+1的等比中项，∴(1+d)2=(1+1)(2+2d)，解得：d=3或−1(舍)，故选：D．直接由等差数列的通项公式及等比数列的性质列式求解．本题考查等比数列的性质、等差数列的通项公式，考查数学运算核心素养，是基础题．6.【答案】A【知识点】函数的奇偶性、函数的性质【解析】解：由f(x)满足f(x+1)=−f(x)得f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)的最小正周期T=2，且当0≤x≤1时，f(x)=log3(x2+2)，f(x)为偶函数，所以f(−2021)=f(2021)=f(1)=1， 故选：A ．由已知先求出函数的周期，然后结合偶函数定义进行转化即可求解．本题考查函数的奇偶性与周期性，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．7.【答案】D【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据三视图可知，其还原后的几何体为三棱锥O −O′BC ， 将其补形为边长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1， 如图所示，其体积V O−O′BC =13×2×12×1×2=23． 故选：D ．由三视图还原原几何体，利用分割补形法把所得原几何体放置在正方体中，再由棱锥体积公式求解．本题考查几何体的三视图、锥体的体积，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数学运算核心素养，是中档题．8.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义 【解析】解：由|QF 2|=b,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以|PF 2|=3b ．由双曲线的定义得|PF 2|−|PF 1|=2a ， 即|PF 1|=|PF 2|−2a ， 所以|PF 1|=3b −2a ， 同理可得|QF 1|=2a +b ．在△PF 1F 2和△QF 1F 2中，cos∠PF 2F 1=(3b)2+4c 2−(3b−2a)22⋅3b⋅2c=b 2+4c 2−(2a+b)22⋅b⋅2c整理可得3a=b，所以双曲线E的渐近线方程为y=±3x，故选：C．利用双曲线的定义，结合双曲线的性质通过余弦定理，推出a，b关系，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的定义与几何性质，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】A【知识点】程序框图【解析】解：执行第一次循环，S=1+1=2，a3=S=2，此时(1)中T的值应为a2的值，即T=1，若(1)处所填的算法步骤为T=S，则1=2，矛盾，故排除C，D选项，故T=S−T．第一次循环，经过S=S+T算法步骤后S=a3，n=1+1=2；第二次循环，经过算法步骤S=S+T后S=a4，n=2+1=3．依此类推，最后一次循环，经过算法步骤S=S+T后S=a2021，n=2019+1=2020，n=2020，满足判断条件，应跳出循环体，则n≥2021不成立，故排除B选项，故选：A．根据题中条件可知：执行第一次循环，S=1+1=2，a3=S=2，此时(1)出中T的值应为a2的值，即T=1，然后逐一对各个选项进行分析利用排除法进行选择即可得解．本题考查程序框图、数学文化，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，是基础题．10.【答案】D【知识点】对数函数及其性质【解析】解：a=5ln5=306ln5=30ln56,b=3ln3=3010ln3=30ln310，c=2ln2=3015ln2=30ln215，∵310=(32)5>(23)5=215=(25)3>(52)3=56，∴ln310>ln215>ln56，∴30ln310<30ln215<30ln56，即b<c<a，故选：D．利用对数函数的单调性直接求解．本题考查了对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】B【知识点】不等式的恒成立问题【解析】解：令y=f(g(x))−g(f(x))(x>−a)，根据题意得y=e2ln(x+a)−a−lne2x=(x+a)2−a−2x=x2+(2a−2)x+a2−a．因为函数y=x2+(2a−2)x+a2−a(x>−a)的对称轴为x=1−a>−a，再结合二次函数的性质得(1−a)2+(2a−2)(1−a)+a2−a=a−1>0，解得a>1，故选：B．构造函数，利用二次函数的性质，得到不等式，求解即可．本题考查函数的性质、不等式恒成立，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【知识点】球的表面积和体积【解析】解：设正方体外接球的半径为R，由正方体的外接球的体积为43πR3=108√3π，得R=3√3，设正方体的棱长为a，则3a2=(2R)2=4×(3√3)2，解得a=6，根据题意得EH=FG=3√2，EF=HG=3√6,HF=6,EG=6√2，所以EF2+FG2=EG2，EH2+HG2=EG2，所以FG⊥EF，HG⊥EH，又因为HF⊥FG，HF∩EF=F，所以FG⊥平面EFH，所以三棱锥H−EFG的表面积S表=S△EFH+S△EHG+S△EFG+S△HGF=12×6×3√2+1 2×3√6×3√2+12×3√6×3√2+12×6×3√2=18√2+18√3，设三棱锥H−EFG内切球的半径为r，由等体积法知，V H−EFG=V G−EFH=13S△EFH⋅FG=13S表⋅r，所以r=S△EFH⋅FGS表=5418(√2+√3)=3√3−3√2．故选：B．由球的体积公式可得正方体外接球的半径，进而求得正方体的棱长，再由勾股定理逆定理可证FG⊥EF，HG⊥EH，故知FG⊥平面EFH，推出三棱锥H−EFG的表面积，然后利用等体积法和切割法，即可得解．本题考查正方体的外接球、球的体积、三棱锥的内切球等综合运算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题．13.【答案】−1【知识点】向量的概念及几何表示【解析】解：根据向量坐标运算得3a⃗+b⃗ =(3t+3,t−4)，故(3t+3)2+(t−4)2=25，解得t=0或t=−1．又因为t≠0，所以t=−1．故答案为：−1．先求出向量3a⃗+b⃗ =(3t+3,t−4)，再利用向量模的坐标公式即可求解．本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】2n【知识点】等比数列的通项公式【解析】解：当n=1时，a1S1=2a12−a2，所以a2=a12=a1q，所以a1=q，故a n S n=2a n2−a n+1,n∈N∗，即a n S n=2a n2−a n q=a n(2a n−q),n∈N∗所以S n=2a n−q,n∈N∗故当n=2时，S2=a1+a2=2a2−q，即q2−2q=0．因为q≠1，q∈N∗，所以q=2，故答案为：a n=2n．当n=1，2时求得关于a1，q的方程组，可解决此题．本题考查等比数列的通项公式和前n项和，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题．15.【答案】84【知识点】二项式定理【解析】解：由题知(m−2)5=32，2n=512，∴m=4，n=9，故(m4x√x)n=(x√x)9，故它的展开式的通项公式为Tr+1=C9r⋅x9−3r2，令9−3r2=0，求得r=6，可得展开式中常数项为C96=84，故答案为：84．由题意先求得m、n的值，再利用通项公式，计算求得(m4x+√x)n展开式中常数项．本题考查二项式的展开式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题．16.【答案】(4,0)【知识点】圆锥曲线中的综合问题【解析】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E：x24+y23=1的一个焦点重合，所以F(1,0)，p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．设OM的方程为y=kx，与抛物线C的方程联立得M(4k2,4k )，同理可得点N(4k2,−4k)，故直线MN的斜率k MN=4k+4k4k2−4k2=k+k31−k4=k1−k2(k≠±1)故直线MN的方程为y+4k=k1−k2⋅(x−4k2)，整理得y=k1−k2(x−4)，故直线MN过定点(4,0)；当k=±1时，直线MN的方程为x=4，过点(4,0)，故直线MN过定点(4,0)．故答案为：(4,0)．利用焦点相同，求解抛物线C的方程，设OM的方程为y=kx，与抛物线C的方程联立得M(4k2,4k)，求出N(4k2,−4k)，得到直线MN的斜率，求出直线MN的方程，推出直线MN过定点即可．本题考查椭圆、抛物线的几何性质、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由二倍角公式得4acsinBcosB=2a2sinCcosC+2c2sinAcosA，由正弦定理得2sinAsinCsinBcosB=sin2AsinCcosC+sin2CsinAcosA，∵A，C∈(0,π)，∴sinA≠0，sinC≠0，∴2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC，即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB，∵B∈(0,π)，∴sinB≠0，∴cosB=12，∴B=π3；(2)∵c2+a2+ac=16，∴16−ac=a2+c2≥2ac，当且仅当a=c=4√33时，等号成立，∴ac≤163，故S△ABC=12acsinB≤12×163×√32=4√33．则S △ABC 的最大值为4√33．【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)由正弦定理、二倍角公式，并结合角B 的取值范围，即可求解；(2)由已知条件利用基本不等式可得ac 的取值范围，再结合三角形的面积公式即可求解． 本题考查正弦定理、二倍角公式、三角形的面积公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数学运算核心素养．18.【答案】(1)证明：法一：设AC 与BD 的交点为O ，取B 1D 的中点F ．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，O 为BD 的中点，F 为B 1D 的中点，∴OF//BB 1，且OF =12BB 1，∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱AA 1的中点，∴AE//BB 1,AE =12BB 1∴OF//AE ，且OF =AE ，∴四边形AEFO 为平行四边形，∴EF//AO ，即EF//AC ．∵EF ⊂平面B 1DE ，AC ⊄平面B 1DE ，∴AC//平面B 1DE ．(2)解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设AA 1=a ，可得点A(0,0，0)，B(1,0，0)，D(0,1，0)，C(1,1，0)，A 1(0,0，a)，D 1(0,1，a)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,a)，∴|cos〈CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=1√1+a 2⋅√2=√510解得a =3(舍负)，故点B 1(1,0,3),E (0,0,32)∴EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,32),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−32)， 设平面B 1DE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{2x +3z =02y −3z =0不妨取z =2，可得n⃗ =(−3,3,2)． 设平面BDE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−32),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， ∴{m⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{2y 1−3z 1=0−x 1+y 1=0， 不妨取z 1=2，可得m ⃗⃗⃗ =(3,3,2)， ∴|cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=4√22⋅√22=422=211，∴锐二面角B 1−ED −B 的余弦值为211．(1)证明：法二：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设AA 1=a ，可得A(0,0，0)，B(1,0，0)，D(0,1，0)，C(1,1，0)，A 1(0,0，a)，D 1(0,1，a)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,a)，∴|cos〈CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√1+a 2⋅√2=√510，解得a =3(舍负)， 故点B 1(1,0,3),E (0,0,32)，∴EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,32),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−32)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)， 设平面B 1DE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2x +3z =02y −3z =0不妨取z =2，可得n ⃗ =(−3,3,2).∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−3+3+0=0， ∴AC//平面B 1DE ．(2)解：设平面BDE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−32),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， ∴{m⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{2y 1−3z 1=0−x 1+y 1=0， 不妨取z 1=2，可得m ⃗⃗⃗ =(3,3,2)， ∴|cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√22⋅√22=422=211，∴锐二面角B 1−ED −B 的余弦值为211．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、线面平行的判定 【解析】(1)法一：利用线面平行的判定定理即可证明；法二：以A 为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面B 1DE 的一个法向量，再利用空间向量的夹角公式即可证明；(2)法一：以A 为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，分别求出平面BDE 和平面B 1DE 的一个法向量，再利用空间向量的夹角公式即可求解．法二：以A 为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，分别求出平面BDE 和平面B 1DE 的一个法向量，再利用空间向量的夹角公式即可求解．本题考查线面平行的判定定理、二面角，考查推理论证能力，考查直观想象、数学运算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)估计春晚评分的平均值为35×0.05+45×0.075+55×0.1+65×0.3+75×0.225+85×0.15+95×0.1=69.25． (2)由题意得2×2列联表为：K 2=200×(35×40−60×65)295×105×100×100≈12.531>10.828，所以有99.9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关．(3)根据分层抽样，可知抽取的10人中，满意的观众有60100×10=6(人)，不满意的观众有40100×10=4(人)，设获得参与奖励的不满意的观众人数为X ，则X 的所有可能取值为0，1，2，3， 且P(X =0)=C 63⋅C 40C 103=20120=16， P(X =1)=C 62⋅C 41C 103=60120=12，P(X =2)=C 61⋅C 42C 103=36120=310， P(X =3)=C 60⋅C 43C 103=4120=130，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、独立性检验、频率分布直方图 【解析】(1)根据频率分布直方图即可求解；(2)根据题意列出2×2列联表，求出K 2并与临界值表进行比较，即可判断；(3)根据题意得出X 的所有可能取值，求出相应的概率，即可得到分布列，进而求出数学期望．本题考查频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列及数学期望，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数据分析与数学运算核心素养，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题可知f′(x)=2ax −2x (x >0)．因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线与直线6x −y +8=0平行， 所以f(x)在(1,f(1))处的切线斜率k =f′(1)=2a −2=6，解得a =4，此时f(x)=4x 2−2lnx ，x ∈(0,+∞)，f′(x)=8x −2x =8x 2−2x由f′(x)>0可得x >12， 由f′(x)<0可得0<x <12，所以函数f(x)的单调递增区间为(12,+∞)，单调递减区间为(0,12)． (2)因为不等式f(x)−g(x)≥0在x ∈(0,+∞)恒成立，所以f(x)−g(x)=ax 2+2(a −1)x −2lnx −2≥0在(0,+∞)恒成立， 即a(x 2+2x)≥2lnx +2x +2在(0,+∞)恒成立． 因为x >0， 所以a ≥2(lnx+x+1)x 2+2x，即a ≥2(lnx+x+1)x 2+2x在(0,+∞)上恒成立． 设ℎ(x)=2(lnx+x+1)x 2+2x，则ℎ′(x)=−2(x+1)(x+2lnx)(x 2+2x)2令p(x)=x +2lnx ，易知p(x)在(0,+∞)上单调递增，p(1)=1>0，p (12)=12+2ln 12=12−2ln2=12−ln4<0， 所以p(x)在(12,1)上存在唯一零点x 0， 即p(x 0)=x 0+2lnx 0=0,x 0∈(12,1)，所以当0<x <x 0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增； 当x >x 0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(x 0)=2lnx 0+2x 0+2x 02+2x 0=x 0+2x 02+2x 0=1x 0所以a ≥1x 0．又1x 0∈(1,2)，所以a 的最小整数值为2．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)利用导数的几何意义结合已知条件求出a 的值，再利用导数研究函数的单调性，即可求解；(2)将不等式恒成立问题转换为求最值问题，再利用导数研究函数的单调性、最值即可求解．本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性最值、不等式恒成立，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)根据题意设点F 1(−c,0)，F 2(c,0)，所以|F 1M|=√(√3+c)2+2，|F 2M|=√(√3−c)2+2， 在△F 1MF 2中，cos∠F 1MF 2=|F 1M|2+|F 2M|2−|F 1F 2|22|F 1M||F 2M|=√3+c)2√3−c)222√[(√3+c)2+2][(√3−c)2+2]=35， 整理得2c 4−29c 2+50=0， 解得c 2=2或252． 由于|F 1F 2|<4， 故c 2=2，又因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(√3,√2)，所以3a 2+2b 2=1． 又a 2=b 2+c 2， 解得b 2=4，a 2=6， 所以椭圆E 的标准方程为x 26+y 24=1．(2)当直线l 1的斜率不存在时，直线l 1的方程为x =−√2，直线l 2的方程为y =0， 此时|AB|=4√63，|CD|=2√6，|AB|+|CD|=10√63； 同理可得当直线l 1的斜率存在且为0时，|AB|+|CD|=10√63； 当直线l 1的斜率存在时，设直线l 1的方程为y =k(x +√2)，k ≠0，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立直线l 1与椭圆E 的方程{y =k(x +√2)x 26+y 24=1，消去y 整理得(3k 2+2)x 2+6√2k 2x +6k 2−12=0， 所以x 1+x 2=−6√2k 23k 2+2,x 1x 2=6k 2−123k 2+2，所以|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√6(1+k 2)3k 2+2， 易得直线l 2的方程为y =−1k (x +√2)， 同理得|CD|=4√6(1+k 2)3+2k 2， 所以|AB|+|CD|=4√6(1+k 2)3k 2+2+4√6(1+k 2)3+2k 2=20√6(1+k 2)2(3k 2+2)(3+2k 2)，令1+k 2=t ，t >1，则|AB|+|CD|=20√6t 2(3t−1)(2t+1)=20√6t 26t 2+t−1=20√6t 26+1t −1t 2，由于6+1t −1t 2=−(1t −12)2+254∈(6,254],所以|AB|+|CD|=20√6t 26+1t −1t 2∈(16√65,10√63)， 综上，|AB|+|CD|∈(16√65,10√63)．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(1)设出点F 1，F 2的坐标，求出|MF 1|，|MF 2|，利用余弦定理及椭圆中基本量的关系，结合已知条件，即可求解；(2)分直线l 1的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当直线l 1的斜率l 1不存在时，易得两直线方程即可求解；同理可得直线l 1的斜率为0时，|AB|+|CD|的值；当直线l 1的斜率存在且不为0时，设出直线l 1和l 2的方程，分别与椭圆E 的方程联立，结合韦达定理及二次函数的性质即可求解．本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =−1+√3t y =2+t(t 为参数)，消去参数t 得x =−1+√3(y −2)，故曲线C 1的普通方程为x −√3y +1+2√3=0．将曲线C 2的参数方程{x =−1+rcosθy =rsinθ(θ为参数)化为普通方程得(x +1)2+(y −0)2=r 2，其圆心为C(−1,0)，半径为r ．设圆心C(−1,0)，到直线x −√3y +1+2√3=0的距离为d ， 则d =√3×0+1+2√3|√12+(−√3)2=√3．因为直线与圆相交于A ，B 两点，对应弦长|AB|=2√r 2−d 2=2√3， 则r 2−d 2=3． 又因为d 2=3， 所以r 2=6，故曲线C 2的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=6， 展开得x 2+y 2+2x −5=0，故曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−5=0．(2)曲线C 1的参数方程为{x =−1+√32ty =2+12t(t 为参数)， 代入曲线C 2的直角坐标方程x 2+y 2=−2x +5， 得t 2+2t −2=0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=−2，t 1t 2=−2，1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2|t 1t 2=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2−t 1t 2=√122=√3．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)利用参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式即可求解；(2)利用参数的几何意义即可求解．本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数的几何意义，考查化归与转化思想，考查数学运算能力，是中档题．23.【答案】(1)解：f(x)=|2x −1|−|2−x|={x +1,x ≥23x −3,12<x <2−x −1,x ≤12， ①{x ≥2x +1≥−2x +92，解得x ≥2；②{12<x <23x −3≥−2x +92，解得32≤x <2；③{x ≤12−x −1≥−2x +92，解集为空集．综上，f(x)≥−2x +92的解集为{x|x ≥32}；(2)证明：由(1)知f(x)≥−2x +92解集中元素数值的最小值m =32，∴2m =3， 故a +b +c =3，∴(3−a)=b +c ，(3−b)=a +c ，(3−c)=a +b ．∵9−3b −ac −a 2=3(3−b)−a(a +c)=3(3−b)−a(3−b)=(3−b)(3−a)，∴(9−3b −ac −a 2)(a +b)=(3−a)(3−b)(3−c)=(a +b)(b +c)(a +c)≥2√ab ⋅2√bc ⋅2√ac =8abc ， 当且仅当a =b =c =1时，等号成立， 即(9−3b −ac −a 2)(a +b)≥8abc ．【知识点】证明不等式的基本方法、不等式和绝对值不等式【解析】(1)利用零点分段法去绝对值，解不等式组，最后取并集即可求解；(2)由(1)可得m，即可得a+b+c的值，再利用基本不等式证明即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养，是中档题．。