热力学部分习题课 2011(2)

热力学练习题全解热力学是研究热能转化和热力学性质的科学，它是物理学和化学的重要分支之一。

在热力学中，我们通过解决一系列练习题来巩固和应用所学知识。

本文将为您解答一些热力学练习题，帮助您更好地理解和应用热力学的基本概念和计算方法。

1. 练习题一题目：一个理想气体在等体过程中，吸收了50 J 的热量，对外界做了30 J 的功，求该气体内能的变化量。

解析：根据热力学第一定律，内能变化量等于热量和功之和。

即ΔU = Q - W = 50 J - 30 J = 20 J。

2. 练习题二题目：一摩尔理想气体从A状态经过两个等温过程和一段绝热过程转变为B状态，A状态和B状态的压强和体积分别为P₁、P₂和V₁、V₂，已知 P₂ = 4P₁，V₁ = 2V₂，求这个过程中气体对外界做的总功。

解析：由两个等温过程可知，气体对外界做的总功等于两个等温过程的功之和。

即 W = W₁ + W₂。

根据绝热过程的特性，绝热过程中气体对外做功为零。

因此，只需要计算两个等温过程的功即可。

根据理想气体的状态方程 PV = nRT，结合已知条件可得：P₁V₁ = nRT₁①P₂V₂ = nRT₂②又已知 P₂ = 4P₁，V₁ = 2V₂，代入式①和式②可得：8P₁V₂ = nRT₁③4P₁V₂ = nRT₂④将式③和式④相减，可得：4P₁V₂ = nR(T₁ - T₂) ⑤由于这两个等温过程温度相等，即 T₁ = T₂，代入式⑤可得：4P₁V₂ = 0所以，这个过程中气体对外界做的总功 W = 0 J。

通过以上两个练习题的解答，我们可以看到在热力学中，我们通过应用热力学第一定律和理想气体的状态方程等基本原理，可以解答各种热力学问题。

熟练掌握这些计算方法，有助于我们更深入地理解热力学的基本概念，并应用于实际问题的解决中。

总结：本文对两道热力学练习题进行了详细解答，分别涉及了等体过程和等温过程。

通过这些例题的解析，读者可以理解和掌握热力学的基本计算方法，并将其应用于实际问题的求解中。

第2章 热力学第一定律2-1 定量工质，经历了下表所列的4个过程组成的循环，根据热力学第一定律和状态参数的特性填充表中空缺的数据。

过程 Q/ kJ W/ kJ△U/ kJ1-2 0 100 -1002-3-11080 -1903-4 300 90 210 4-1 20 -60802-2 一闭口系统从状态1沿过程123到状态3，对外放出47.5 kJ 的热量，对外作功为30 kJ ，如图2-11所示。

（1） 若沿途径143变化时，系统对外作功为6 kJ ，求过程中系统与外界交换的热量； （2） 若系统由状态3沿351途径到达状态1，外界对系统作功为15 kJ ，求该过程与外界交换的热量；（3） 若U 2=175 kJ ，U 3=87.5 kJ ，求过程2-3传递的热量，及状态1的热力学能U 1。

图2-11 习题2-2解：（1）根据闭口系能量方程，从状态1沿途径123变化到状态3时，12313123Q U W −=∆+，得1347.5kJ 30kJ 77.5kJ U −∆=−−=−从状态1沿途径143变化到状态3时，热力学能变化量13U −∆保持不变，由闭口系能量方程14313143Q U W −=∆+，得14377.5kJ 6kJ 71.5kJ Q =−+=−，即过程中系统向外界放热71.5kJ（2）从状态3变化到状态1时，()31133113U U U U U U −−∆=−=−−=−∆，由闭口系能量方程35131351Q U W −=∆+，得35177.5kJ 15kJ 62.5kJ Q =−=，即过程中系统从外界吸热92.5kJ（3）从状态2变化到状态3体积不变，323232323232Q U W U pdV U −−−=∆+=∆+=∆∫，因此23233287.5kJ 175kJ 87.5kJ Q U U U −=∆=−=−=−由1331187.577.5kJ U U U U −∆=−=−=−，得1165kJ U =2-3 某电站锅炉省煤器每小时把670t 水从230℃加热到330℃，每小时流过省煤器的烟气的量为710t ，烟气流经省煤器后的温度为310℃，已知水的质量定压热容为 4.1868 kJ/(kg ·K)，烟气的质量定压热容为1.034 kJ/(kg ·K)，求烟气流经省煤器前的温度。

热 学 习 题 课Ⅰ 教学基本要求 气体动理论及热力学1.了解气体分子热运动的图象。

理解理想气体的压强公式和温度公式。

通过推导气体压强公式，了解从提出模型、进行统计平均、建立宏观量与微观量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。

能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。

了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。

2.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程。

3.了解麦克斯韦速率分布率及速率分布函数和速率分布曲线的物理意义。

了解气体分子热运动的算术平均速率、方均根速率。

了解波耳兹曼能量分布律。

4.通过理想气体的刚性分子模型，理解气体分子平均能量按自由度均分定理，并会应用该定理计算理想气体的定压热容、定体热容和内能。

5.掌握功和热量的概念。

理解准静态过程。

掌握热力学过程中的功、热量、内能改变量及卡诺循环等简单循环的效率。

6.了解可逆过程和不可逆过程。

了解热力学第二定律及其统计意义。

了解熵的玻耳兹曼表达式。

Ⅱ 内容提要一、气体动理论(主要讨论理想气体) 1.状态方程 pV =( M/M mol )RTpV /T = 常量 p=nkT2.压强公式32 3 322/ n /v /v nm p t ερ===3.平均平动动能与温度的关系232/2kT/v m w ==4.常温下分子的自由度 单原子 i=t=3 双原子 i=t+r =3+2=5 多原子 i=t+r =3+3=65.能均分定理每个分子每个自由度平均分得能量 kT /2 每个分子的平均动能()kT i k /2=ε理想气体的内能：E =( M/M mol ) (i /2)RT ； 6.麦克斯韦速率分律：22232)2(4d d ve kTmv N N )v (f kT mv -==ππmol 2rms 33RT/M kT/m v v === ()()mol 88M RT/m kT/v ππ== mol 22RT/M kT/m v p ==7.平均碰撞次数 v n d Z 22π=8.平均自由程 ()n d 221πλ=二、热力学基础 1.准静态过程(略)2.热力学第一定律Q= (E 2－E 1)+A d Q =d E +d A准静态过程的情况下()⎰+-=21d 12V V V p E E Q d Q=d E +p d V3.热容 C =d Q /d T定体摩尔热容 C V ,=(d Q /d T )V /ν 定压摩尔热容 C p ,=(d Q /d T )p /ν 比热容比 γ=C p ,/C V , 对于理想气体：C V ,=(i /2)R C p ,=[(i /2)+1]R C p ,-C V ,=R γ=(i +2)/i4.几个等值过程的∆E 、 A 、 Q 等体过程 ∆E = (M/M mol )C V ,∆TA =0 Q=(M/M mol )C V ,∆T等压过程 ∆E = (M/M mol )C V ,∆TA = p (V 2-V 1) Q=(M/M mol )C p ,∆T等温过程 ∆E =0 A =(M/M mol )RT ln(V 2/V 1)Q =(M/M mol )RT ln(V 2/V 1)绝热过程 pV γ=常量Q=0 ∆E= (M/M mol )C V ,∆TA = -(M/M mol )C V ,∆T =(p 1V 1-p 2V 2)/( γ-1)5.循环过程的效率及致冷系数：η=A /Q 1=1-Q 2/Q 1 w=Q 2/A =Q 2/(Q 1-Q 2) 卡诺循环: ηc =1-T 2/T 1 w c =T 2/(T 1-T 2) 6.可逆过程与不可逆过程(略)7.热力学第二定律两种表述及其等价性(略) 8.熵 S=k ln Ω熵增原理 孤立系统中 ∆S ＞0 Ⅲ 课堂例题一.选择题1. 下面各种情况中可能存在的是(A) 由pV =(M/M mol )RT 知,在等温条件下,逐渐增大压强,当p →∞时,V →0； (B) 由pV =(M/M mol )RT 知,在等温条件下,逐渐让体积膨胀,当V →∞时,p →0； (C) 由E =(M/M mol )iRT /2知,当T →0时,E →0；(D) 由绝热方程式V γ－1T =恒量知，当V →0时，T →∞、E →∞.2. AB 两容器分别装有两种不同的理想气体,A 的容积是B 的两倍,A 容器内分子质量是B 容器分子质量的1/2.两容器内气体的压强温度相同,(如用n 、ρ、M 分别表示气体的分子数密度、气体质量密度、气体质量)则(A) n A =2n B , ρA =ρB , M A = 2M B . (B) n A = n B /2 , ρA =ρB /4 , M A = M B /2. (C) n A = n B , ρA =2ρB , M A = 4M B . (D) n A = n B , ρA =ρB /2 , M A = M B . 3. 由热力学第一定律可以判断一微小过程中d Q 、d E 、d A 的正负,下面判断中错误的是(A) 等容升压、等温膨胀 、等压膨胀中d Q >0； (B) 等容升压、等压膨胀中d E >0； (C) 等压膨胀时d Q 、d E 、d A 同为正； (D) 绝热膨胀时d E >0.4. 摩尔数相同的两种理想气体，一种是氦气，一种是氢气，都从相同的初态开始经等压膨胀为原来体积的2倍，则两种气体 (A) 对外做功相同，吸收的热量不同. (B) 对外做功不同，吸收的热量相同. (C) 对外做功和吸收的热量都不同. (D) 对外做功和吸收的热量都相同.5. 如图3.1所示的是两个不同温度的等温过程，则(A) Ⅰ过程的温度高，Ⅰ过程的吸热多. (B) Ⅰ过程的温度高，Ⅱ过程的吸热多. (C) Ⅱ过程的温度高，Ⅰ过程的吸热多. (D) Ⅱ过程的温度高，Ⅱ过程的吸热多.二.填空题 1. 质量相等的氢与氦放在两个容积相等的容器里，它们的温度相同，用脚码1代表H 2，用脚码2代表He ，则质量密度之比ρ1:ρ2= ；分子数密度之比n 1:n 2= ；压强之比p 1:p 2 ；分子平均动能之比1ε:2ε= ；总内能之比E 1:E 2= ；最可几速率之比v p1:v p2= .2. 取一圆柱形气缸，把气体密封在里面，由外界维持它两端的温度不变,但不相等，气缸内每一处都有一不随时间而变的温度，在此情况下，气体是否处于平衡态？答 .3. 设气体质量均为M ,摩尔质量均为M mol 的三种理想气体,定容摩尔热容为C V ,分别经等容过程(脚标1)、等压过程(脚标2)、和绝热过程(脚标3),温度升高均为∆T ,则内能变化分别为∆E 1 = , ∆E 2 = , ∆E 3 = ；从外界吸收的热量分别为Q 1= ,Q 2= ,Q 3= ；对外做功分别为A 1= , A 2= , A 3= .三.计算题1. 一气缸内盛有一定量的刚性双原子分子理想气体,气缸活塞的面积S =0.05m 2, 活塞与缸壁之间不漏气,摩擦忽略不计, 活塞左侧通大气,大气压强p 0=1.0×105pa,倔强系数k =5×104N/m 的一根弹簧的两端分别固定于活塞和一固定板上,如图 3.2,开始时气缸内气体处于压强、体积分别为p 1=p 0=1.0×105pa, V 1=0.015m 3的初态,今缓慢的加热气缸,缸内气体缓慢地膨胀到V 2=0.02m 3.求:在此过程中气体从外界吸收的热量.2. 一定量的理想气体经历如图3.3所示的循环过程,A →B 和C →D 是等压过程,B →C 和D →A 是绝热过程.己知:T C = 300K, T B = 400K,试求此循环的效率.图3.1图3.2图3.3Ⅳ 课堂例题解答一.选择题 B D D A A二.填空题1. 1:1, 2:1, 2:1, 5:3, 10:3, 2:1 .2. 否.3. M /M mol C V ∆T , M /M mol C V ∆T ,M /M mol C V ∆T ;M /M mol C V ∆T , M /M mol (C V +R )∆T , 0;0,M /M mol C V ∆T , M /M mol R ∆T , －M /M mol C V ∆T .三.计算题1. 从V 1变到V 2，弹簧压缩x =(V 2-V 1)/S ，则p 2=p 0+kx/S= p 0+k (V 2-V 1)/S 2∆E=νC V (T 2-T 1)=(i /2)(p 2V 2-p 1V 1) =(i /2){[p 0+k (V 2-V 1)/S 2]V 2-p 0V 1} =(i /2)[p 0(V 2-V 1)+k V 2(V 2-V 1)/S 2]A =p 0Sx +(1/2)kx 2=p 0(V 2-V 1)+(1/2) k [(V 2-V 1)/S ]2，Q =∆E +A=p 0(V 2-V 1)(i +2)/2+k (V 2-V 1)[(i +1)V 2-V 1]/(2S 2)=7000J2.吸热过程AB 为等压过程Q 1=νC p (T B -T A )放热过程CD 为等压过程Q 2=νC p (T C -T D )η=1-Q 2/Q 1=1- (T C -T D )/(T B -T A )=1- (T C /T B )[(1-T D /T C )/(1-T A /T B )而 p A γ-1T A -γ= p D γ-1T D -γp B γ-1T B -γ= p C γ-1T C -γ p A =p B p C =p D所以 T A /T B =T D /T C 故 η=1-T C /T B =25%。

2－3．偏心因子的概念是什么？为什么要提出这个概念？它可以直接测量吗？答：纯物质的偏心因子ω是根据物质的蒸气压来定义的。

实验发现，纯态流体对比饱和蒸气压的对数与对比温度的倒数呈近似直线关系，即符合：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r sr Tp 11log α 其中，c s s r p p p =对于不同的流体，α具有不同的值。

但Pitzer 发现，简单流体（氩、氪、氙）的所有蒸气压数据落在了同一条直线上，而且该直线通过r T =0.7，1log -=sr p 这一点。

对于给定流体对比蒸气压曲线的位置，能够用在r T =0.7的流体与氩、氪、氙（简单球形分子）的s r p log 值之差来表征。

Pitzer 把这一差值定义为偏心因子ω，即)7.0(00.1log =--=r s r T p ω任何流体的ω值都不是直接测量的，均由该流体的临界温度c T 、临界压力c p 值及r T =0.7时的饱和蒸气压s p 来确定。

2－4．纯物质的饱和液体的摩尔体积随着温度升高而增大，饱和蒸气的摩尔体积随着温度的升高而减小吗？答：正确。

由纯物质的p –V 图上的饱和蒸气和饱和液体曲线可知。

2－5．同一温度下，纯物质的饱和液体与饱和蒸气的热力学性质均不同吗？答：同一温度下，纯物质的饱和液体与饱和蒸气的Gibbs 自由能是相同的，这是纯物质气液平衡准则。

气他的热力学性质均不同。

3-1 思考下列说法是否正确① 当系统压力趋于零时，()()0,,≡-p T Mp T M ig（M 为广延热力学性质）。

（F ） ② 理想气体的H 、S 、G 仅是温度的函数。

（F ） ③ 若()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=00ln p p R S S A ig，则A 的值与参考态压力0p 无关。

（T ） ④ 对于任何均相物质，焓与热力学能的关系都符合H ＞U 。

（T ） ⑤ 对于一定量的水，压力越高，蒸发所吸收的热量就越少。

（T ） 3-2 推导下列关系式：V T T p V S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ p T p T V U VT -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂()2RT H T RT G p ∆∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂ ()RTV p RT G T ∆∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂ 证明：（1）根据热力学基本方程 V p T S A d d d --= (a)因为A 是状态函数，所以有全微分：V V A T T A A TV d d d ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= (b) 比较(a)和(b)得： p V A S T A TV -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂, 由全微分性质得：V V T T p T T p p A T T A p V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-即 VT T p V S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂（2）由热力学基本方程 V p S T U d d d -= 将上式两边在恒定的温度T 下同除以的d V 得：p V S T V U TT -⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂由（1）已经证明VT T p V S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 则 p T p T V U VT -⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂（3）由热力学基本方程 p V T S G d d d +-= 当压力恒定时 SdT dG -=由Gibbs 自由能定义式得 S T H G ∆∆∆-=()()()222T H T S T H S T T GT GTT T G p∆∆∆∆∆∆∆-=---⋅=-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂等式两边同乘以R 得()2RT H T RT G p∆∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂（4）当温度恒定时Vdp dG =()T V p T G T ∆∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂ 所以 ()RTVp RT G T ∆∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂ 3-4 计算氯气从状态1（300K 、1.013×105Pa ）到状态2（ 500K 、1.013×107Pa ）变化过程的摩尔焓变。