2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第一次联考(9月)数学(理)

2020－2021学年上期第一次联考高二数学(文)试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{a n }为等差数列，a 2＝3，a 5＝15，则a 11＝ A.39 B.38 C.35 D.332.在△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB 2BC ＝3，则sin ∠BAC ＝ 10 10 310 53.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝a 7＋1，a 4＋a 7＝4，则a 10＝A.113 B.4 C.133 D.1434.在△ABC 中，若cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形5.已知数列{a n }满足a 1＝28，n 1n a a n +-＝2，则n an的最小值为 A.293 B.71 C.485D.2746.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形而积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝222222142a c b a c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a 2sinC ＝5sinA ，(a ＋c)2＝16＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 A.12B.32 3 D.27.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若a n >0，q>1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝ A.48 B.42 C.36 D.31 8.已知各项均为正数的等比数列{a n }，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则4567a a a a ++的值是A.19 B.16C.6D.9 9.若数列{a n }满足a n ＋1＝(2|sin 2n π|－1)a n ＋2n ，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝A.136B.120C.68D.4010.若△ABC (a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则ca的取值范围是A.(0，2)B.(2，＋∞)C.(0 ，＋∞)11.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2asinC c ，a ＝1，则△ABC 的周长取得最大值时△ABC 的面积为D.412.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且csin(B ＋3π)a ，CA CB ⋅＝20，c ＝7，则△ABC 的内切圆的半径为A.1 D.3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝－6，S 9－S 4＝75，则S n 取得最大值时n ＝ 。

2021－2021学年上期第一次联考高二数学(理)试题(考试时间：120分钟 试卷总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1.数列{a n }为等差数列，a 2＝3，a 5＝15，那么a 11＝△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB，BC ＝3，那么sin ∠BAC ＝A.10B.5C.10D.5 3.在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－n 11a -(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2021＝ A.12C.－1 △ABC 中，(a ＋b ＋c)(sinA ＋sinB －sinC)＝asinB ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，那么C ＝ A.3πB.23πC.34πD.56π 5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3＋a 4＝6，2a 5＝9，那么S 7＝ A.352 C.492△ABC 中，A ＝2C ，那么a c 的范围是 A.(0，，2){a n }为等比数列，a n >0，且a m a m ＋1a m ＋2＝26m ，假设p ＋q ＝6，那么a p ·a q ＝789108.假设数列{a n }满足a n ＋1＝(2|sin 2n π|－1)a n ＋2n ，那么a 1＋a 2＋…＋a 8＝ △ABC的面积为4(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，那么c a的取值范围是 A.(0，2)B.(0，＋∞)D.(2，＋∞)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设2asinC，a ＝1，那么△ABC 的周长取得最大值时△ABC 的面积为A.411.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的。

我国明代数学家、音乐理论家朱载填创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人。

绝密食启用前考生注意：juf南省天一大联考2020-2021学年（上）高二年级期末考试理科数学l答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2回答选得题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡对JSill里目的答案标号涂擦。

如需改动，用t章、皮擦干净后，再选涂其他答案；标号＠回答非选梅N2时，〉｜每答案写在答题卡上＠写在本试卷上无究生。

3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交囚。

一、远择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个j在项中，只有一项是符合题目要求的＠l不制之二！＿＜－！的解灿x －÷LA.(-3, 2)B.(-3, -2)C.(-3, 4)2下苦IJ命题为真命题的是D.(-2, 4)A.3xoεR, xo 2+4xo+6运。

B.正切函数y=tanx a（］定义域为R C函数y＝土的单调递减区间为（－＝，O)U叨，＋∞）D矩形的对角线相等且互相平分3己知直线x+2y=4过双由线C:兰兰＝I α＞ 0 b > 0) i'.J<J 一个焦点及酬的一个揣点，贝。

此双曲线的标准方程是22A 主二－二一＝l 16 122 2 Bι二－二－＝l164α。

C.x2L-1124D. x 2L-12584已知｛an};;i-J 等差数列，公室主d =2,a2+a.+a6= 18，则as+ai =A.8B.12C.16D.205已知直线l平日两个不同的平而α，p ，着αJ_j3，则“／／／，α”是“／J_j3＇’的A充分不必要条件B必要不充分条伶c.充要条件D.既不充分也不必要条伶6在.6.ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b, c, A=60。

，c=4,a=2.J宁，Sill A则一＝..：.＝sinB2－3A －J－3C.扫D.37在四楼锥P -ABCD 中，PD .l 平而ABCD .,AB//DC, CADC =90。

2020-2021学年河南省天一大联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x−8x2+2<−1的解集为()A. (−3,2)B. (−3,−2)C. (−3,4)D. (−2,4)2.下列命题为真命题的是()A. ∃x0∈R，x02+4x0+6≤0B. 正切函数y=tanx的定义域为RC. 函数y=1x的单调递减区间为(−∞,0)∪(0,+∞)D. 矩形的对角线相等且互相平分3.已知直线x+2y=4过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点及虚轴的一个端点，则此双曲线的标准方程是()A. x216−y212=1 B. x216−y24=1 C. x212−y24=1 D. x225−y28=14.已知{a n}为等差数列，公差d=2，a2+a4+a6=18，则a5+a7=()A. 8B. 12C. 16D. 205.已知直线l和两个不同的平面α，β，若α⊥β，则“l//α”是“l⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，c=4，a=2√7，则sinAsinB=()A. 23B. √73C. √7D. 37.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，∠ADC=90°，AD=AB=3，PD=4，DC=6，则DB与CP所成角的余弦值为()A. √35B. 2√56C. 3√2626D. 2√13138.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，a1=1，a12=9a10，要使数列{λ+S n}为等比数列，则实数λ的值为()A. 13B. 12C. 2D. 不存在9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=2π3，b=2√3，b2+c2−a2=√3bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE=()A. √6B. √7C. 2√2D. 310.已知圆C：x216+y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的一点，线段PF1的中点M在y轴上，则△PF1F2的面积为()A. 4B. 4√2C. 5√3D. 6√511.已知抛物线y2=2px(p>0)上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线C：x2 a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则双曲线C的离心率为()A. 3B. 4C. 6D. 912. 在直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//DC ，CD ⊥BC ，CC 1=2，CD =1，AB =4，BC =2√3，则直线BC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为( )A. √56B. √65C. √22D. √23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x −2y +2≥0x ≥0，则z =x −3y 的最大值是______ ．14. 已知抛物线y 2=2px(p >0)，点(p2,1)是抛物线上一点，则抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为______ ．15. 已知数列{a n }满足a 1=12，a n+1=a n2−a n ，若b n =1a n−1，则数列{b n }的通项公式为b n = ______ ．16. 设有下列命题：①当x >0，y >0时，不等式(x +y)(1x +1y )≥4恒成立； ②函数f(x)=3x +3−x 在(0,+∞)上的最小值为2； ③函数f(x)=xx 2+3x+1在(0,+∞)上的最大值为15；④若a >1，b >1，且log a 3+log b 27=4，则log 3(ab)的最小值为1+√32．其中真命题为______ .(填写所有真命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|41−x >1}，B ={x|x 2+(1−2a)x +a 2−a <0}．(Ⅰ)求集合A ，B ；(Ⅱ)若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．18. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且满足a(sinA −12sinB)=(sinC +sinB)(c −b)，c =4．(Ⅰ)求△ABC 的外接圆的半径； (Ⅱ)求△ABC 的面积的最大值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n −1，数列{b n }满足b n =log 2a n +log 2a n+1．(Ⅰ)求{a n }，{b n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n }满足c n =a n b n ，求{c n }的前n 项和T n ．20. 已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆上的动点P 到左焦点距离的最大值为2+√3．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，△OAB(O 为坐标原点)的面积为45，求直线l 的方程．21. 如图所示，在多面体ABCDPQ 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD为直角梯形，AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，AD =2CD =2BC =2a(a 为大于零的常数)，△PAD 为等腰直角三角形，PA =PD ，E 为AD 的中点，PQ//BE ． (Ⅰ)求PQ 的长，使得DQ ⊥EC ；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角B −AQ −D 的大小． 22. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(1,√22)，离心率为√22，直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程．(Ⅱ)若直线l 交y 轴于点M ，且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当直线l 的倾斜角变化时，λ+μ是否为定值？若是，请求出λ+μ的值；否则，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由x−8x2+2<−1化简可得：x2+x−6x+2<0，即解x2+x−6<0，解得：−3<x<2，故解集为：(−3,2)．故选：A．利用分式不等式定义求解不等式即可．命题意图本题主要考查一元二次不等式的求解．属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于A，因为△=42−4×1×6=−8<0，所以x2+4x+6>0恒成立，所以A为假命题；对于B，正切函数y=tanx的定义域为{x|x∈R,x≠kπ+π2,k∈Z}≠R.所以B为假命题；对于C，函数y=1x的单调递减区间为(−∞,0)，(0,+∞)，所以C为假命题；对于D，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以证，所以D为真命题．故选：D．A根据二次函数根的差别式判断，B求正切函数定义域判断，C求函数递减区间判断，D用平面几何证明判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了二次函数性质，考查了函数定义域及单调区间，属基础题．3.【答案】C【解析】解：设双曲线的半焦距为c，∵直线x+2y=4过点(4,0)和(0,2)，∴c=4，b=2，∴a=√42−22=2√3，双曲线C的标准方程是x212−y24=1．故选：C．利用已知条件求出b，c，推出a，然后求解双曲线方程即可．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求解，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意知，2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，∵a2+a4+a6=18，∴3a4=18，∴a4=6．∴a5+a7=2a4+4d=2×6+4×2=20．故选：D．根据等差数列的性质得到2a4=a2+a6，a5+a7=2a4+4d，代入求值即可．本题考查等差数列的性质的应用，准确计算是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：已知直线l 和两个不同的平面α，β，α⊥β， 若l//α，则l 与β平行，相交或在平面β内都有可能； 若l ⊥β，则l ⊂α或l//α，故“l//α”推不出“l ⊥β”，“l ⊥β”推不出“l//α”， 故“l//α”是“l ⊥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．根据线面垂直，线面平行的性质及判定，从而得到结论．本题本课程了充分必要条件，考查了线面垂直，线面平行的性质及判定，属于基础题． 6.【答案】B【解析】解：由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 即28=b 2+16−4b ，也即b 2−4b −12=0， 解得b =6或b =−2(舍去)， 所以sinA sinB=a b=2√76=√73， 故选：B ．由题意利用余弦线定理求得b 的值，再利用正弦定理求得sinAsinB 的值． 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 7.【答案】C【解析】解：因为PD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，∠ADC =90°， 故以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AD =AB =3，PD =4，DC =6，则D(0,0，0)，B(3,3，0)，C(0,6，0)，P(0,0，4)，所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−6,4)， 设DB 与CP 所成的角为α， 则cosα=|cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CP⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√18×√52=3√2626， 所以DB 与CP 所成角的余弦值为3√2626． 故选：C ．建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，求出两条直线的方向向量，然后利用异面直线所成角的计算公式求解即可．本题考查了空间角的求解，涉及了两条异面直线所成的角、向量夹角公式的应用，求解空间角经常会运用空间向量法，即建立空间直角坐标系，将空间角转化为空间向量的夹角进行研究，属于中档题． 8.【答案】B【解析】解：由公比q >0，a 12=9a 10可得q =3， 而a 1=1，∴S n =1−3n 1−3=3n −12．若数列{λ+S n }为等比数列，则有(λ+S 2)2=(λ+S 1)⋅(λ+S 3)， 即(λ+4)2=(λ+1)⋅(λ+13)，解得λ=12，于是λ+S n=12+3n−12=12×3n，而12+S n+112+S n=12×3n+112×3n=3，故λ=12时，数列{λ+S n}为等比数列．故选：B．由已知条件利用等比数列的定义和性质求解．本题主要考查等比数列的定义和性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：因为b2+c2−a2=√3bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =√3bc2bc=√32，因为A∈(0,π)，所以A=π6，因为B=2π3，b=2√3，所以C=π−A−B=π6，由正弦定理，可得 asinπ6=csinπ6=2√3sin2π3，解得a=c=2，因为∠BAC的平分线与BC交于点E，所以BECE =ABAC=22√3，即CE=√3BE，所以由BE+CE=BE+√3BE=2，可得BE=2√3+1=√3−1，在△ABE中，由余弦定理可得AE=√AB2+BE2−2AB⋅BE⋅cosB=√22+(√3−1)2−2×2×(√3−1)×cos2π3=√6．故选：A．由已知利用余弦定理可得cos A，结合A的范围及三角形内角和定理可求C，由正弦定理可得a=c=2，利用角平分线的性质求得BE的值，再在△ABE中由余弦定理可得AE的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，由题意知a=4，b=2√2．在△PF1F2中，PF1的中点M在y轴上，F1F2的中点为原点，故PF2//y轴，即PF2⊥x轴，所以|PF2|=b2a =84=2，又|F1F2|=2√16−8=4√2，于是△PF1F2的面积为12×2×4√2=4√2．故选：B ．求出a =4，b =2√2.说明PF 2⊥x 轴，求解|PF 2|，|F 1F 2|，然后求解三角形的面积． 本题主要考查椭圆的性质及三角形的解法，是基础题． 11.【答案】A【解析】解：由题意，5+p2=6，即p =2，则抛物线y 2=2px(p >0)的直线方程为x =−1， 双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线方程为y =±ba x ，取x =−1，可得A(−1,−ba )，B(−1,ba )，如图，则S △OAB =12×2b a×1=ba =2√2，则e =ca=√1+(ba )2=√1+8=3． 故选：A ．由已知求得抛物线的准线方程，可得抛物线的准线与双曲线的渐近线围成三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，整理后即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】C【解析】解：以B 为原点，BC ，BA ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0，0)，C 1(2√3,0，2)，A(0,4，0)，D(2√3,1，0)， ∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0，2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3，−3，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−4,2)，设平面ADC 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2√3x −3y =02√3x −4y +2z =0，令x =√3，则y =2，z =1，∴n ⃗ =(√3,2，1)，设直线BC 1与平面ADC 1所成角为θ， 则sinθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ ||=|√3×√3+24×2√2|=√22， ∴直线BC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为√22．故选：C ．以B 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面ADC 1的法向量n ⃗ ，设直线BC 1与平面ADC 1所成角为θ，由sinθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >|，即可得解． 本题考查线面角的求法，熟练掌握利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 13.【答案】3【解析】解：由约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，由x −y −1=0，取x =0，解得A(0,−1)， 化目标函数z =x −3y 为y =x 3−z3，由图可知，当直线y =x 3−z3过点A(0,−1)时，直线在y 轴上的截距最小， z 取得最大值，代入得0−3×(−1)=3，故z =x −3y 的最大值为3． 故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 14.【答案】5【解析】解：由已知把点(p 2,1)代入抛物线方程可得：1=2p ×p2， 解得p =1或−1(舍去)，所以抛物线的方程为：y 2=2x ，令y =3，解得x =92，则由抛物线的定义可得抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为92+12=5， 故答案为：5．代入已知点即可求出p 的值，再令y =3求出对应点的横坐标，然后利用抛物线的定义即可求解． 本题考查了抛物线的方程和定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 15.【答案】2n−1【解析】解：依题意，由a n+1=an2−a n ，可得1a n+1=2−a n a n=2×1a n−1，两边同时减1，可得1a n+1−1=2×1a n−1−1=2(1a n−1)，即b n+1=2b n ， ∵b 1=1a 1−1=1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗． 故答案为：2n−1．本题先将递推公式倒过来，然后两边同时减1，进行转化计算即可判别出数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，即可计算出数列{b n }的通项公式．本题主要考查由递推公式推导通项公式．考查了转化与化归思想，整体思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16.【答案】①③④【解析】解：①(x +y)(1x +1y )=2+yx +xy ≥2+2√xy ⋅yx =4， 当且仅当yx =xy 时，即x =y 时，取等号，故①正确． ②f(x)=3x +13x≥2√3x ⋅3−x =2，当且仅当3x =13x，即x =0时，取等号，但x ∈(0,+∞)，无法取等号，故②错误， ③因为f(x)=xx 2+3x+1，x ∈(0,+∞)， 所以f(x)=1x+1x +3≤2√x⋅1x+3=15， 当且仅当x =1x ，即x =1时，能取等号，故③正确， ④log a 3+log b 27=1log 3a+3log 3b=4，所以14log3a+14log 3b=1，所以log 3ab =log 3a +log 3b =(log 3a +log 3b)(14log 3a+14log 3b ) =14+34+log 3b 4log 3a+3log 3a 4log 3b≥1+2√log 3b 4log 3a⋅3log 3a 4log 3b=1+√32， 因为a >1，b >1，所以log 3a >0，log 3b >0， 当且仅当log 3b4log3a =3log 3a4log 3b，即b =a √3时，取等号，故④正确． 故答案为：①③④．分别按步骤“一正”“二定”“三相等”运用基本不等式进行分析，即可得出答案． 本题考查基本不等式的应用，解题中注意取等条件的满足，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)A ={x|x+3x−1<0}={x|−3<x <1}，B ={x|(x −a)(x −a +1)<0}={x|a −1<x <a}；(Ⅱ)∵A∩B=B，∴B⊆A，∴{a−1≥−3a≤1，解得−2≤a≤1，∴实数a的取值范围是[−2,1]．【解析】(Ⅰ)根据分式不等式和一元二次不等式的解法即可求出A={x|−3<x<1}，B={x|a−1<x< a}；(Ⅱ)根据A∩B=B可得出B⊆A，然后即可得出{a−1≥−3a≤1，然后解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意及正弦定理得到a(a−12b)=(c+b)(c−b)，即a2+b2−c2=ab2，由余弦定理可得cosC=14，所以sinC=√154．设△ABC的外接圆的半径为R．因为csinC =2R，即√154=2R，解得R=8√1515．(Ⅱ)因为c2=a2+b2−2abcosC，且c=4，所以16=a2+b2−ab2≥2ab−ab2=3ab2，即ab≤323，所以S△ABC=12absinC≤12×323×√154=4√153，当且仅当a=b时取等号．故△ABC的面积的最大值为4√153．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知的等式角化边，然后利用余弦定理得到cosC=14，再利用同角三角函数关系得到sinC=√154，由正弦定理即可求得答案；(Ⅱ)利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，然后再利用三角形的面积公式求解即可．本题考查了解三角形问题，涉及了正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是将已知的等式角化边，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1，当n≥2时，由S n=2a n−1，可得S n−1=2a n−1−1，两式相减，可得a n=2a n−2a n−1，化简整理，得a n=2a n−1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗，∴b n =log 2a n +log 2a n+1=log 22n−1+log 22n =n −1+n =2n −1，n ∈N ∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得c n =a n b n =(2n −1)⋅2n−1，∴T n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =1×1+3×21+5×22+⋯+(2n −1)×2n−1，2T n =1×21+3×22+⋯+(2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ，两式相减，可得−T n =1+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−(2n −1)×2n=1+2×(21+22+⋯+2n−1)−(2n −1)×2n=1+2×2−2n1−2−(2n −1)×2n =−(2n −3)×2n −3，∴T n =(2n −3)×2n +3．【解析】(Ⅰ)先根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可得数列{a n }的通项公式，然后代入b n =log 2a n +log 2a n+1，根据对数的运算性质即可计算出数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)先根据第(Ⅰ)题计算出数列{c n }的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(I)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，半焦距为c ， 由已知得{2a =2⋅(2b)a +c =2+√3a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1． (Ⅱ)由题可知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，{ x 24+y 2=1x =my +1⇒(m 2+4)y 2+2my −3=0，∴y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4， △OAB 的面积S =12×|y 1−y 2|=45，∴|y 1−y 2|=85，∴|y 1−y 2|2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=(−2m m 2+4)2−4(−3m 2+4)=6425，整理可得4m 4+7m 2−11=0，解得m =±1，所以直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0． 故答案为：(Ⅰ)椭圆的方程为x 24+y 2=1.(Ⅱ)直线l 的方程为x −y −1=0或x +y −1=0．【解析】(Ⅰ)由题意可得a =2b ，a +c =2+√3，a 2−b 2=c 2，解方程组即可；(Ⅱ)根据直线与椭圆的位置关系，建立联立方程组，列出未知参数方程，解方程即可．本题主要考查用待定参数法求椭圆方程及直线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题． 21.【答案】解：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 为等腰直角三角形，PA =PD ，E 为AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，PE ⊥BE ，由已知可得DC//BE ，AD ⊥CD ，∴BE ⊥AD ．∴可以直线EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E −xyz ，如图所示：则A(a,0，0)，D(−a,0，0)，B(0,a ，0)，C(−a,a ，0)，P(0,0，a)，由题可设Q(0,t ，a)．(I)∵DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,t,a)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a,0)，DQ ⊥EC ， ∴DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−a 2+at =0，∴t =a ，于是Q(0,a ，a)， 故|PQ|=a ．(Ⅱ)BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,0)，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a)， 设m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面ABQ 的法向量． 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{ax −ay =0az =0． 令x 1=1，则y 1=1，∴可取m⃗⃗⃗ =(1,1,0)， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,0,0)，DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,a)， 设n⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面ADQ 的法向量． 则{n −⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ax =0n ⃗ ⋅DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +ay +az =0， 令z 2=−1，则y 2=1，∴可取n⃗ =(0,1,−1)． 设二面角B −AQ −D 的平面角为θ，则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2×√2=12.∴θ=60°， 即二面角B −AQ −D 的大小为60°．【解析】直线EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E −xyz ，(I)通过向量的数量积，转化求解|PQ|=a ．(Ⅱ)求出平面ABQ 的法向量，平面ADQ 的法向量利用空间向量的数量积，求二面角B −AQ −D 的平面角的大小即可．本题考查二面角的平面角的求法，命题意图本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，是中档题． 22.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ， 则有{ 1a +12b =1c a =√22a 2=b 2+c 2，解得a =√2,b =1,c =1， 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，F(1,0)，由条件得直线l 的斜率必存在，设方程为y =k(x −1)，又M(0,−k)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则由{x 22+y 2=1y =k(x −1)，解得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2， 因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则有(x 1,y 1+k)=λ(1−x 1,−y 1)，所以λ=x 11−x 1，同理可得μ=x 21−x 2， 所以λ+μ=x 11−x 1+x 21−x 2=x 1+x 2−2x 1x 21−(x 1+x 2)+x 1x 2=4k 21+2k 2−4(k 2−1)1+2k 21−4k 21+2k 2+2k 2−21+2k 2=−4，即λ+μ是定值−4．【解析】(Ⅰ)利用点在椭圆上以及离心率列出关于a ，b ，c 的等式，求解即可得到a 和b 的值，从而得到椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l 的方程，联立方程组，得到韦达定理，利用MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出λ，μ的值，然后代入化简即可． 本题考查了直线与圆锥曲线的应用，涉及了椭圆标准方程的求解、椭圆几何性质的应用、直线与椭圆位置关系的应用，此类问题经常联立方程组，利用韦达定理进行研究，属于中档题．。

2020-2021学年河南省豫南九校高二(下)第一次联考数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x∈(0,+∞)，lnx=2x”的否定是()A. ∀x∈(0,+∞)，lnx=2xB. ∀x∈(0,+∞)，lnx≠2xC. ∃x∉(0,+∞)，lnx=2xD. ∃x∈(0,+∞)，lnx≠2x2.俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 既不充分又不必要条件D. 无法判断3.若a，b为非零实数，则下列不等式中成立的是()A. |a+b|>|a−b|B. a+b2≥√abC. (a+b2)2≥ab D. ab+ba≥24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosAcosB =ba，且4sinA=3sinB，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 钝角三角形5.数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N∗的都有a n+1=1+a n+n，则1a1+1a2+⋯…+1a99=()A. 9998B. 2 C. 9950D. 991006.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4√6x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为6√3，则|PF|=()A. 2√3B. 4√3C. 4√6D. 8√37.已知双曲线T：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点为F(2,0)，且经过点R(2√33,0)，△ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k1≠0，i=1，2，3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为−1.则1k1+1k2+1k3的值为()A. −1B. −12C. 1 D. 128. 函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，且当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，若1<a <2，则( )A. f(2a )<f(2)<f(log 2a)B. f(2)<f(log 2a)<f(2a )C. f(log 2a)<f(2a )<f(2)D. f(log 2a)<f(2)<f(2a )9.曲线f(x)=f′(1)e x −x 2+2在点(0,f(0))处的切线的斜率等于( )A. 2eB. 2e−1C. 2ee−1D.4−2e e−110. 已知f(x)=lnx√2x ，则△x →0limf(12)−f(12+△x)△x=( )A. −2−ln2B. −2+ln2C. 2−ln2D. 2+ln211. 已知函数f(x)=e x (sinx −cos x)，x ∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为( )A.B.C.D.12. 过双曲线x 24−y 28=1的右焦点作一直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=8，则这样的直线l 共有( )条？A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =√14[c 2a 2−(c2+a 2−b 22)2](其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边).在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若a =2，且a =c(cosB +√3cosC)，则三角形ABC 的面积最大时，B = ______ ． 14. 8、设斜率为的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，若点P ，Q 在 x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ．15. 设{x +y ≥0x −y ≥0与抛物线y 2=−4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ，P(x,y)为D 内的一个动点，则目标函数z =x −2y 的最大值为______．16. 已知函数f(x)=ae x −x +2a 2−3的值域为M ，集合I =(0,+∞)，若I ⊆M ，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 证明当x >−1时，e x −1≥ln(x +1)．18.如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．(1)证明平面ADE⊥平面ACC1A1;(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=bcosC+12c.(1)求角B．(2)若b=3，求△ABC面积的最大值．20.一椭圆x2a2+y29=1(a>3)的两个焦点分别为F1，F2，点P(1,m)是该椭圆曲线上一点，已知三角形F1F2P的周长是18．(1)求a的值；(2)求m的值．21.已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=92．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n+1}的前100项和．22.已知函数f(x)=(x+1)⋅(ln(x+1)−1)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−ax−b(a,b∈R)在区间[0,1]上存在零点，求a2+b的最小值．(参考数据：ln2≈0.6931)参考答案及解析1.答案：B解析：解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈(0,+∞)，lnx≠2x，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.答案：A解析：解：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选：A．由“好人”⇒“有好报”，即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，当a>0>b时，|a+b|<|a−b|，A错误；对于B，当a、b<0时，a+b2<√ab，C错误；对于C，(a+b2)2−ab=(a−b)22≥0，C正确；对于D，当a>0>b时，ab +ba<0，D错误；故选：C．根据题意，举出反例分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查不等式的基本性质，注意举出反例分析不等式是否成立，属于基础题．4.答案：B解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．由已知利用正弦定理可得4a=3b，由cosAcosB =ba，利用余弦定理整理可得(a2+b2)(a2−b2)=c2(a2−b2)，从而可求a2+b2=c2，利用勾股定理即可得解．解：∵4sinA=3sinB，∴4a =3b ， ∵cosAcosB =ba，可得：b 2+c 2−a 22bc a 2+c 2−b 22ac=ba ，整理可得：(a 2+b 2)(a 2−b 2)=c 2(a 2−b 2)，∴a 2−b 2=0，或a 2+b 2=c 2， ∴a 2+b 2=c 2，或a =b(舍去) ∴△ABC 的形状是直角三角形． 故选：B ．5.答案：C解析：解：根据题意，数列{a n }满足对任意n ∈N ∗的都有a n+1=1+a n +n ，则a n+1−a n =n +1， 则a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯…+(a 2−a 1)+a 1=n +(n −1)+⋯…+1=n(n+1)2，则1a n=2n(n+1)=2n −2n+1；则1a 1+1a 2+⋯…+1a 99=2[(1−12)+(12−13)+⋯…+(199−1100)]=2(1−1100)=9950；故选：C ．根据题意，将a n+1=1+a n +n 变形可得a n+1−a n =n +1，进而可得a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯…+(a 2−a 1)+a 1=n +(n −1)+⋯…+1=n(n+1)2，变形可得1a n=2n(n+1)=2n −2n+1；据此由数列求和的方法分析可得答案．本题考查数列的递推公式和数列的求和，关键是求出数列的通项公式，属于综合题．6.答案：C解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．求出抛物线的焦点坐标，然后利用三角形的面积求解P 的纵坐标，即可求解|PF|．解：O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=4√6x 的焦点，P 为C 上一点，若△POF 的面积为6√3， 可得抛物线的焦点坐标为：(√6,0)，∴12×√6×|y P |=6√3，可得|y p |=6√2， ∴x P =3√6，则|PF|=√(3√6−√6)2+(±6√2−0)2=4√6． 故选C ．7.答案：B解析：解：由题意可得，a =2√33，c =2，∴b 2=c 2=−a 2=83，∴双曲线T ：x 243−y 283=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)，M(s 1,t 1)，N(s 2,t 2)，P(s 3,t 3)，由：6⋅x 12−3⋅y 12=8，6⋅x 22−3⋅y 22=8，两式相减，得到6(x 1−x 2)(x 1+x 2)−3(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，∴k 1=y 1−y 2x 1−x 2=2⋅x 1+x 2y 1+y 2=2⋅s 1t 1，∴1k 1=12⋅t1s 1．同理可得，1k 2=12⋅t 2s 2，1k 3=12⋅t3s 3．再根据直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为(t 1s 1+t 2s 2+t 3s 3)=−1，可得1k 1+1k 2+1k 3=12(t 1s 1+t 2s 2+t 3s 3)=−12， 故选：B ．由条件求得a 、b 、c 的值，可得椭圆的标准方程，利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为−1，求得1k 1+1k 2+1k 3的值．本题考查双曲线的标准方程和简单性质，考查直线的斜率公式、点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x =1对称． 当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，则(x −1)f′(x)>0，x >1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；x <1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减． 若1<a <2，则0<log 2a <1<2<2a ，f(log 2a)=f(2−log 2a)，2−log 2a ∈(1,2)， ∴f(log 2a)=f(2−log 2a)<f(2)<f(2a )， 故选：D ．函数f(x)对任意的x ∈R 都有f(x)=f(2−x)，则函数f(x)关于直线x =1对称．当x ≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，可得(x −1)f′(x)>0，进而得到单调性．若1<a <2，则0<log 2a <1<2<2a ，f(log 2a)=f(2−log 2a)，2−log 2a ∈(1,2)，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：f(x)=f′(1)e x −x 2+2， 可得f′(x)=f′(1)e x −2x ，可令x =1，可得f′(1)=f′(1)e −2，解得f′(1)=2e−1，可得曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为2e−1， 故选：B ．对f(x)=f′(1)e x −x 2+2求导数，再令x =1，解方程可得f′(1)，再由导数的几何意义可得所求值． 本题考查导数的几何意义，运用导数的运算性质是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：本题考查了导数的定义及其导数的运算法则，属基础题． 对f(x)求导，然后由△x →0limf(12)−f(12+△x)△x=−f′(12)，求出值即可．解：∵f(x)=lnx√2x ， ∴f′(x)=−lnx−22√2x 32，∴f′(12)=2+ln2， △x →0limf(12)−f(12+△x)△x=−f′(12)=−2−ln2．故选：A ．11.答案：B解析：解：故答案选B．12.答案：C解析：解：①若A、B都在右支，若AB垂直x轴，a2=4，b2=8，c2=12，所以F(2√3,0)则AB：x=2√3，代入双曲线x24−y28=1，求得y=±4，所以AB=|y1−y2|=8，所以|AB|=8的有一条，即垂直于x轴；②若A、B分别在两支a=2，所以顶点距离为2+2=4<8，所以|AB|=8有两条，关于x轴对称．所以一共3条故选C．先看当A、B都在右支上时，若AB垂直x轴，根据双曲线方程求得焦点的坐标，把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标，进而求得AB的长等于8，则即为垂直于x轴的一条；再看若A、B分别在两支先看A，B为两顶点时，不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条，最后综合可得答案．本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系．考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用．13.答案：120°解析：解：因为a=c(cosB+√3cosC)，由正弦定理得sinA=sinC(cosB+√3cosC)=sin(B+C)，所以sinCcosB+√3sinCcosC=sinBcosC+sinCcosB，即√3sinCcosC=sinBcosC，因为cosC≠0，所以√3sinC =sinB ， 由正弦定理得b =√3c ，S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]=√14[4c 2−(c2+4−3c 22)2]=12√−c 4+8c 2−4=12√−(c 2−4)2+12，当c 2=4时，角形ABC 的面积最大，此时c =2，b =2√3， 故cosB =4+4−122×2×2=−12，故B =120°． 故答案为：120°．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是确定椭圆方程中a ，b 和c 的关系． 解：由题意，两个交点横坐标是−c ，c ，所以两个交点分别为，代入椭圆方程可得，∴c 2(2b 2+a 2)=2a 2b 2∵b 2=a 2−c 2∴c 2(3a 2−2c 2)=2a 4−2a 2c 2∴2a 4−5a 2c 2+2c 4=0， ∴(2a 2−c 2)(a 2−2c 2)=0，∵0<e <1．故答案为：15.答案：3解析：解：由题意，抛物线y 2=−4x 的准线x =1，它和不等式{x −y >0 x +y >0共同围成的三角形区域为{x −y ≥0x +y ≥0x ≤1， 目标函数为z =x −2y +5，作出可行域如右图， 由图象可知当直线经过点C 时，直线z =x −2y +5的截距最小，此时z 最大，点C 的坐标为(1,−1)，此时z =1−2×(−1)=3． 故答案为：3．先确定平面区域，作出可行域，进而可求目标函数z =x −2y 的最大值． 本题考查抛物线的简单性质，考查线性规划知识，正确确定平面区域是关键．16.答案：(−∞,1]解析：本题主要考查了利用导数求函数的值域，对参数分类讨论是求解问题的关键，属于中档试题． 由题意可得f(x)的最小值小于等于0，先对函数求导，然后结合a 的范围即可求解． 解：由题意可得f(x)的最小值小于等于0，f′(x)=ae x −1， 若a ≤0，则f′(x)<0，f(x)在R 上单调递减，当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→−∞，故f(x)的值域R ，满足题意， 若a >0，则易得函数在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， 所以当x =−lna 时，函数取得极小值f(−lna)=lna −2+a 2，>0恒成立，令g(a)=lna−2+a2，则g′(a)=4a+1a故g(a)在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=0，要使得g(a)≤0，则a≤1，故0<a≤1，综上可得，a的范围(−∞,1]故答案为：(−∞,1]17.答案：证明：令f(x)=e x−1−ln(x+1)，f(0)=1−1−0=0．f′(x)=e x−1，在(−1,+∞)上单调递增，f′(0)=0，−1<x<0时，f′(x)<0；，0<x时，f′(x)>0．x+1∴函数f(x)在x=0时取得极小值即最小值．∴f(x)>f(0)=0．∴当x>−1时，e x−1>ln(x+1)．解析：令f(x)=e x−1−ln(x+1)，f(0)=0.f′(x)=e x−1，在(−1,+∞)上单调递增．f′(0)=0，x+1可得函数f(x)在x=0时取得极小值即最小值．即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)如图所示，由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE，AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1．又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．(2)解法一：如图所示，设F是AB的中点，连结DF、DC1、C1F，由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质及D 是A1B1的中点，知A1B1⊥C1D，A1B1⊥DF．又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF．而AB//A1B1，所以AB⊥平面C1DF.又AB平面ABC1，故平面ABC1⊥平面C1DF．过点D作DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．连结AH，则∠HAD是直线AD和平面ABC1所成的角，由已知，不妨设，则AB=2，，，，，，所以，即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．解法二：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,−1,0)，B(，0，0)，C1(0,1,)，D()，易知=(，1，0)，=(0,2,)，=().设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,z)，则有解得，，故可取n=(1,，).所以cos〈n，〉=．由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．解析：(1)应用线面垂直来推证面面垂直．(2)先作出线面角，再求．19.答案：解：(1)因为a=bcosC+12c，所以sinA=sinBcosC+12sinC=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB，即12sinC=sinCcosB，因为sinC>0，所以cosB=12，由B∈(0,π)得B=π3；(2)由余弦定理得b2=9=a2+c2−ac≥ac，当且仅当a=c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S=12acsinB=√34ac≤9√34．故面积的最大值9√34．解析：(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosB，进而可求B；(2)由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题．20.答案：解：(1)∵椭圆x2a2+y29=1(a>3)的两个焦点分别为F1，F2，点P(1,m)是该椭圆曲线上一点，∴三角形F1F2P的周长是18=2a+2c，即a+c=9，又由a 2=9+c 2得：a =5，(2)由(1)得，椭圆的方程为：x 225+y 29=1， 将P(1,m)代入得：125+m 29=1，解得：m =±65√6解析：(1)由已知可得：三角形F 1F 2P 的周长是18=2a +2c ，即a +c =9，结合a 2=9+c 2可得：a 值；(2)将P(1,m)代入椭圆的方程可得m 的值．本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档． 21.答案：解：(1)设公差为d ，由a 3=2，前3项和S 3=92，可得a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1=1，d =12，所以a n =12n +12；(2)1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)， 则前100项和为4(12−13+13−14+⋯+1101−1102)=4(12−1102)=10051．解析：(1)设公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；(2)求得1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，运用裂项相消求法，计算数列{1a n a n+1}的前100项和即可．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域是(−1,+∞)，f′(x)=ln(x +1)，当x =0时，f′(x)=0，故f(x)在(−1,0)递减，在(0,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(0)=−1，无极大值；(Ⅱ)法一(分类讨论)：g(x)=f(x)−ax −b =(x +1)(ln(x +1)−1)−ax −b(0≤x ≤1)，则g′(x)=ln(x +1)−a(0≤ln(x +1)≤ln2)，(1)a ≤0时，则g′(x)≥0，g(x)在[0,1]递增，则{g(0)≤0g(1)≥0⇒{−1−b ≤02(ln2−1)−a −b ≥0⇒−1≤b ≤2(ln2−1)−a ， 故a 2+b ≥−1；(2)a ≥ln2时，则g′(x)≤0，g(x)在[0,1]递减，则{g(0)≥0g(1)≤0⇒{−1−b ≥02(ln2−1)−a −b ≤0⇒2(ln2−1)−a ≤b ≤−1， 故a 2+b ≥a 2+2(ln2−1)−a ≥(ln2)2+ln2−2>−1，(3)0≤a ≤ln2，则∃x 0∈[0,1]，使得a =ln(x 0+1)，易知g(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,1)递增，故{g(0)=−1−b g(1)=2(ln2−1)−a −b g(x 0)≤0⇒{g(0)=−1−bg(1)=2(ln2−1)−a −b b ≥(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0，故a 2+b ≥a 2+(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0=a 2+a −e a ，记ℎ(a)=a 2+a −e a ，则ℎ′(a)=2a +1−e a ，ℎ″(a)=2−e a ，由0≤a ≤ln2得ℎ″(a)>0，故ℎ′(a)在(0,ln2)递增，得ℎ′(a)≥ℎ′(0)=0，故ℎ(a)在(0,ln2)递增，得ℎ(a)≥ℎ(0)=−1，此时可验证g(0)或g(1)必有其一大于等于0，故零点存在，由(1)(2)(3)得：a 2+b 的最小值是−1；法二(变更主元)：设x 0是g(x)在区间[0,1]内的1个零点，则(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0−b =0，即b =(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−ax 0，故a 2+b =a 2−x 0a +(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)≥4(x 0+1)(ln(x 0+1)−1)−x 024，设ℎ(x)=4(x +1)(ln(x +1)−1)−x 2，x ∈[0,1]，则ℎ′(x)=4ln(x +1)−2x ，ℎ″(x)=4x+1−2=2(1−x)x+1，当x ∈[0,1]时，ℎ″(x)≥0，故ℎ′(x)递增，又ℎ′(0)=0，ℎ′(x)≥0，故ℎ(x)递增，ℎ(x)min =ℎ(0)=−4，故a 2+b ≥−1，当a =0，b =−1时“=”成立，故a 2+b 的最小值是−1．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，得到f(x)的单调区间，求出函数的极值即可；(Ⅱ)(法一)求出g(x)的解析式，求出g(x)的导数，通过讨论a的范围得到函数的单调性，求出b的范围，得到a2+b的最小值即可；(法二)设x0是g(x)在区间[0,1]内的1个零点，得到b=(x0+1)(ln(x0+1)−1)−ax0，从而a2+b≥4(x0+1)(ln(x0+1)−1)−x02，设ℎ(x)=4(x+1)(ln(x+1)−1)−x2，x∈[0,1]，根据函数的单调性求出ℎ(x) 4的最小值，从而求出a2+b的最小值．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

2020－2021学年高二年级阶段性测试(一)数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝31，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.152.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝A.25B.30C.32D.643.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.12134.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝110，则c ＝ 2 2 2 2 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝A.3B.5C.6D.106.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶。

据此可推得A.“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B.“宫”“徵”“商”的频率成公比为32的等比数列 C.“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D.“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 7.已知等比数列{a n }的首项a 1＝e ，公比q ＝e ，则数列{ln a n }的前10项和S 10＝A.45B.55C.110D.2108.已知等差数列{a n}的首项是2，公差为d(d∈Z)，且{a n}中有一项是14，则d的取值的个数为A.3B.4C.6D.79.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosa Bb A=，sinA>sinB，则△ABC的形状一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形10.一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，则灯塔与轮船原来的距离为A.5海里B.4海里C.3海里D.2海里11.已知数列{a n}满足a n＝()n62p n2n6p n6-⎧--≤⎪⎨>⎪⎩，，，(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有a n＋1>a n，则实数p的取值范围是A.(1，74) B.(1，107) C.(1，2) D.(107，2)12.在钝角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且其面积为12(a2＋b2－c2)，则ba的取值范围是A.(0，2)∪(3，＋∞) B.(0，2)∪)C.(0，12)∪，＋∞) D.(0，12)∪，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。