空间向量运算的坐标表示教学设计

《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍:一、教材分析（一)地位和作用本节课内容选自人教数学选修2—1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广,是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法"等内容的基础.它将数与形紧密地结合起来.这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构,起到了很重要的作用。

(二)目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解,结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：(1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示,并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题.（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法;②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力.(3)情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生主人翁意识、集体主义精神。

（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示,应用向量法求两条异面直线所成角及线线垂直问题.本课的难点是：建立恰当的空间直角坐标系，正确求出点的坐标及向量的坐标，把空间向量运算的坐标公式运用到立体几何问题中。

第三单元空间向量及其运算的坐标表示一、内容和内容解析（一）内容空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示，向量平行和向量垂直时坐标之间的关系，向量长度公式的坐标表示、两向量夹角公式的坐标表示，以及空间两点间的距离公式.（二）内容解析内容本质：本单元的内容本质就是建立向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，从而把空间向量的运算转化为数的运算.用空间直角坐标系刻画点的位置，建立空间向量及其运算的坐标表示，用这些知识解决简单的立体几何问题..蕴含的思想方法：在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”。

类比平面向量运算的坐标表示，到空间向量的坐标表示，蕴含了类比与转化的思想；把立体几何中的平行垂直和距离夹角问题转化为代数运算，体现了数形结合的数学思想方法.知识的上下位关系：在空间向量基本定理的基础上，找到一个特殊的“基底”：单位正交基底.同时为用空间向量解决空间距离、夹角问题等空间向量的应用做准备，让学生进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想和方法.通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间的推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。

育人价值：在通过空间向量运算的坐标表示的学习中，采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程，发展学生的数学思维和直观想象能力，提升学生的数学运算和直观想象的学科核心素养.基于以上分析，本单元的教学重点：掌握空间向量的坐标运算二、目标及其解析（一）单元目标1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示；2.掌握空间向量运算的坐标表示；3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.理解空间直角坐标系建立的必要性，理清空间向量的坐标与空间点的坐标的关系；2.会类比平面向量运算的坐标表示，推导出空间向量运算的表示；3.能够用空间向量运算的坐标表示立体几何中垂直与平行关系，使几何关系“代数化”；4.能熟练地将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，解决夹角和距离的计算问题.三、教学问题诊断分析学生在平面向量中已经对坐标表示进行过完整的学习，平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系.空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念、运算及其几何意义、坐标表示等方面具有一致性;平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性，但是讨论对象由二维图形变为三维图形，需要学生的空间想象能力.破解方法：在教学中，做好平面向量相关知识的复习，利用平面向量基本定理和空间向量基本定理的类比，准确把握立体图形代数化的条件及其思想方法，学生经历必要的解题训练，；通过几何图霸等教学软件，提升学生的空间想象能力，增强常用基本立体图形代数化的熟练程度，几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论.四、教学支持条件分析1.向量方法有别于综合几何方法，综合几何方法是借助图形直观，从公理、定义和定理等出发，通过逻辑推理解决几何问题;而向量方法则是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解决，要求学生对第一单元空间向量及其运算和第二单元空间向量基本定理充分理解和熟练掌握.利用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，在解决几何问题时具有程序性、普适性.2.硬件支持是导学案和多媒体，如果是pad智慧课堂更好.五、课时分配设计本单元共2课时，具体分配如下：第1课时，空间直角坐标系第2课时，空间向量运算的坐标表示。

3. 1.5空間向量運算的座標表示教學目標1．能用座標表示空間向量，掌握空間向量的座標運算。

2．會根據向量的座標判斷兩個空間向量平行。

重、難點1．空間向量的座標表示及座標運算法則。

2．座標判斷兩個空間向量平行。

教學過程：（一）複習上一節內容（二）新課講解：設a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b(1) a ±b ＝ 。

(2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．（5）模長公式：若123(,,)a a a a =， 則222123||a a a a a a =⋅=++ （6）夾角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++． （7）兩點間的距離公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，則2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-(8) 設),,(),,,(222111z y x B z y x A ==則AB ＝ ，=AB ．AB 的中點M 的座標為 ．例題分析：例1、（1）已知兩個非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它們平行的充要條件是（ ）A. a ：|a |=b ：|b |B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零實數k ，使a =k b（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，則x+y 的值是（ ）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各組向量共面的是（ ） A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)解析：（1）D ；點撥：由共線向量定線易知；（2）A 點撥：由題知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 點撥：由共面向量基本定理可得。

3．1.5空间向量运算的坐标表示整体设计教材分析空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．学生已掌握了平面向量坐标运算及其规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺．所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量的坐标运算规律；2．掌握空间向量平行与垂直的坐标表示；3．掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．过程与方法1．经历向量运算的坐标表示由平面到空间的类比过程，进一步熟悉类比、由一般到特殊的思维方法；2．通过空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉由直觉猜想到推理论证的思维方法，提高学生的科学思维素养．情感、态度和价值观通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．重点难点教学重点：1．空间向量的坐标运算；2．空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示；3．空间向量平行和垂直的条件的坐标表示．教学难点：1．向量坐标的确定；2．空间向量的夹角公式、距离公式和平行、垂直条件的应用．教学过程引入新课提出问题：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．活动设计：学生自由发言；教师板书记录．学情预测：学生可能回答：(1)可用尺子直接测量出来；(2)建立直角坐标系，求出A 、B 两点的坐标，再利用距离公式求出其模长．活动成果：因为上一节课已经学会了空间向量的坐标表示，所以建立空间直角坐标系后，向量MN →的坐标就可以表示出来，还须知道有了向量的坐标如何来求向量的模．设计意图：从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．同时教具的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受．把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步．探究新知提出问题：我们已经知道了空间向量坐标表示的由来，也已经学会了空间向量的加减、数乘和数量积运算的定义，请根据平面向量的坐标运算规律，猜想空间向量的坐标运算规律，填写下表，并证明你的结论．活动设计：1.学生自己推算并自觉讨论；教师巡视并注意和学生交流；2．部分学生到黑板上板演证明过程；教师点评补充．学情预测：学生基本上都能够猜想出空间向量运算的坐标表示，大部分同学能够给出证明，对数量积运算的坐标表示可能存在困难．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，λ是实数，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)； a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)； λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)； a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.证明一：加法的坐标表示的证明∵ a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )＋(x 2i ＋y 2j ＋z 2k ) ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ＋(z 1＋z 2)k ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)．证明二：空间向量的数量积的坐标表示的证明 ∵a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )·(x 2i ＋y 2j ＋z 2k )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 1z 2i ·k ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＋y 1z 2j ·k ＋z 1x 2k ·i ＋z 1y 2k ·j ＋z 1z 2k 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.设计意图：引导学生大胆地“由旧猜新”，即由平面向量的公式猜想出空间向量相应的公式，让学生在猜想的过程中发现二维与三维的内在联系，并根据学生的实际情况进行有针对性的指导，对普遍出现的问题组织全班性的讨论．理解新知 提出问题：空间向量的平行、垂直关系，空间向量的夹角、模的公式应如何用坐标表示？ 活动设计：1.学生自己推演，教师巡视指导；2．部分学生在黑板上板演，教师点评并请学生修改补充．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，且a ≠0，b ≠0. 1．a ∥b 存在唯一确定的实数λ，使得x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2； 2. a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；3.||a ＝ x 21＋ y 21＋ z 21；4．cos 〈a ，b 〉 ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2x 21＋ y 1 2 ＋ z 21x 22＋ y 22＋ z 22 . 设计意图：通过对公式的推导熟练坐标运算，增强学生应用向量坐标运算的意识． 运用新知 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，(1)求A ，B 中点M 的坐标和||AB ；(2)求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件．思路分析：(1)要求A ，B 中点M 的坐标，就是求向量OM →的坐标，已知A ，B 两点的坐标，就是已知向量OA →，OB →的坐标，由向量的加减运算即可求出向量OM →的坐标；要求||AB ，就是求||AB →，只需求出向量AB →的坐标即可．(2)要求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件，只需把到A ，B 两点距离相等这个条件用点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 表示出来即可．解：(1)∵M 为A ，B 的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12((3,3,1)＋(1,0,5))＝12(4,3,6)＝(2，32，3)．∴M 点的坐标为(2，32，3)．∵AB →＝OB →－OA →＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)， ∴||AB→＝(－2)2＋(－3)2＋42＝29. ∴||AB ＝29.(2)∵点P(x ，y ，z)到A ，B 的距离相等， ∴||PA →＝||PB→. 又∵PA →＝(3－x,3－y,1－z)，PB →＝(1－x ，－y,5－z)，∴(3－x)2＋(3－y)2＋(1－z)2＝(1－x)2＋(－y)2＋(5－z)2， 整理得4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：利用空间向量解决立体几何问题的关键就是立体几何问题向空间向量的转化，转化以后，再利用空间向量的运算或其坐标运算解决即可．巩固练习已知长方体ABCO —A 1B 1C 1O 1，OA ＝OC ＝2，OO 1＝4，D 为BC 1与B 1C 的交点，E 为A 1C 1与O 1B 1的交点，则DE 的长度为________．答案： 5变练演编如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点E ′，F ′分别是A ′B ′，C ′D ′的一个四等分点．(1)求BE ′和DF ′所成角的余弦值.(2)能否利用向量求直线BD ′和平面ABCD 所成的角？你能否给出一个可行的方案？ (3)能否利用向量求二面角F ′ADC 的大小？你能否给出一个可行的方案？ 解：(1)不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，E ′(1，34，1)，D(0,0,0)，F ′(0，14，1)．所以'BE ＝(1，34，1)－(1,1,0)＝(0，－14，1)，'DF ＝(0，14，1)－(0,0,0)＝(0，14，1)，|'BE |＝174，|'DF |＝174，'BE ·'DF ＝0×0＋(－14×14)＋1×1＝1516. 所以cos 〈'BE ，'DF 〉＝1516174×174＝1517.(2)方案一：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和BD →所成的角； 方案二：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和DD ′→所成的角的余角． (3)方案：二面角F ′ADC 的大小转化为'DF 和DC →所成的角．达标检测1．与向量a ＝(1,2,3)，b ＝(3,1,2)都垂直的向量为( )A ．(1,7,5)B ．(1，－7,5)C ．(－1，－7,5)D ．(1，－7，－5) 2．已知点A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC →＝25AB →，则点C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85) B. (65，－45，－85)C ．(－65，－45，85) D. (65，45，85)3．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值，并求出此时的||k a ＋b ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．答案：1.C 2.A 3.(1)k ＝－13，||k a ＋b ＝3213 (2)k ＝1063课堂小结1．知识收获：空间向量运算的坐标表示；空间向量平行与垂直关系的坐标表示；空间向量夹角和空间两点距离公式的坐标表示；2．方法收获：类比方法；转化方法； 3．思维收获：类比思维；转化思维． 布置作业 课本习题3.1A 组8,9,10. 补充练习1．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．设||a ＝1，||b ＝2，且a ，b 的夹角为120°；则||2a ＋b 等于________． 3．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．答案：1.C 2.23．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21， 由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0， 即当λ，μ满足－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，时λa ＋μb 与z 轴垂直．设计说明 本节课重点研究空间向量运算的坐标表示，并得出夹角、距离的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生把空间向量运算的坐标表示用平面向量运算的坐标表示类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n ，使n ⊥a ，n ⊥b . 解：设n ＝(x ，y ，z)，则 n ·a ＝(x ，y ，z)·(－2,2,0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z)·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.这个方程组有三个未知数，但只有两个方程．不妨把未知数x 当做已知，求y ，z.可得y＝x ，z ＝x ，于是n ＝(x ，x ，x)＝x(1,1,1)．显然，当x 取任意实数时，可以得到无穷多个向量都与a ，b 垂直，但这无穷多个向量都与向量(1,1,1)共线．2如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC.分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线． 证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ， 则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B.∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1. ∴EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C.又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析二：选基底，利用向量的计算来证明． 证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EF → ＝ EB 1 → ＋ B 1F → ＝ 12(BB 1→ ＋ B 1D 1→) ＝ 12(AA 1→ ＋ BD →) ＝ 12(AA 1→ ＋ AD →－AB →)＝－a ＋b ＋c 2，AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1→＝－a ＋b ＋c2·(a ＋b )＝b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b 2＝(||b 2－||a 2＋0＋0)2＝0.∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C ， 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)，∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)， ∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC.(设计者：徐西文)。

8.3 空间向量运算的坐标表示教案一．教学目标：1、空间向量运算的坐标表示；2、能运用向量坐标表示解决平行、垂直问题及距离、夹角问题。

3、选择合适的空间直角坐标系以解决立体几何问题。

二．课前知识准备提纲：1、空间向量基本定理的内容是什么？2、基底的概念？单位正交基底是怎么界定的？3、平面直角坐标系、空间直角坐标系？4、类比平面向量的坐标运算，你能得出空间向量运算的坐标表示吗？三．新课内容1.导入新课一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力为321,,F F F ，它们两两垂直，它们的大小分别为3000N ，2000N ，2000N.若以三个力的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示。

请同学们分小组回答课前准备知识提纲里的习题。

并按照下列问题进行新课（1）空间向量运算的坐标表示有哪些运算公式（2）空间向量平行与垂直的条件（3）向量的坐标及两点间的距离公式新知讲授完毕，紧接着用2道小题加以巩固，通过基础自测，让学生建立知识印象，为后续例题的研析奠定基础。

2、典例精析设计三种类型的例题，分别是空间向量的坐标运算，利用向量解决平行与垂直的问题以及利用向量的坐标形式求夹角与距离。

例1 在△ABC 中，),5,2,3(),2,1,4(),3,5,2(-==-A 求顶点B 、C 的坐标，向量及角A 的余弦值。

通过题型一的分析，让学生懂得空间向量坐标的求法有以下三种情况，由点的坐标求向量的坐标，利用运算求坐标以及利用方程组求坐标。

例2 已知空间三点)4,0,3(),2,1,1(),2,0,2(---C B A ,设==,（1c ,,3求平行BC c =（2）若b a k b a k 2-+与互相垂直，求k通过题型二，介绍向量平行与垂直问题的两种类型。

例3 在长方体1AC 中，底面ABCD 是边长为4的正方形。

空间向量的坐标表示教案一、教学目标1. 理解空间向量的坐标表示及其意义。

2. 掌握空间向量的坐标运算规则。

3. 能够运用空间向量的坐标表示解决实际问题。

二、教学重点和难点1. 教学重点：空间向量的坐标表示及其意义，坐标运算规则。

2. 教学难点：理解空间向量的坐标表示的实际应用，以及坐标运算规则的运用。

三、教学过程1. 导入新课：通过回顾空间向量的定义和性质，引出空间向量的坐标表示。

2. 新课学习：通过案例分析，引导学生理解空间向量的坐标表示及其意义，掌握坐标运算规则。

3. 巩固练习：通过小组讨论、个人展示等方式，让学生进行思考、计算、推导等活动。

4. 归纳总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。

四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、演示、小组讨论、个人展示等。

2. 教学手段：利用多媒体技术，如PPT、视频等，增强学生对所学内容的直观感受和理解。

五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：通过小组活动和个人展示等方式，让学生进行思考、计算等活动。

2. 作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学内容。

3. 评价方式：采用多元评价方式，包括学生的自我评价、互相评价、教师评价等，以全面了解学生的学习情况和表现。

六、辅助教学资源与工具1. 教学资源：PPT、教材、教案等。

2. 教学工具：多媒体设备、黑板、粉笔等。

七、结论本节课通过对空间向量的坐标表示的学习，帮助学生理解了空间向量的坐标表示及其意义，掌握了坐标运算规则，并能够运用这些知识解决实际问题。

同时，通过小组讨论和个人展示等活动，也锻炼了学生的思维能力和口头表达能力。

希望学生们在今后的学习中能够继续巩固和拓展这些知识，为后续课程的学习打下坚实的基础。

八、教学反思本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动，尽可能地激发学生的学习兴趣和积极性。

同时，通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生主动思考和解决问题，发挥了学生的主体作用。

但在教学过程中，也存在一些不足之处，如对某些细节的讲解不够深入，学生的反应不够积极等。

3.1.5空间向量运算的坐标表示
一、学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示；
2.掌握空间向量平行与垂直的条件及其应用；
3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题. 学习重点：空间向量平行与垂直的条件与应用，向量的模、夹角及两点间的距离公式； 学习难点：空间向量平行与垂直的条件与应用，向量的夹角公式；
二、导学指导与检测
练习第一题.
二、空间向量平行与垂直条件的坐标表示,,)b b 【即时训练2】
已知空间向量(2,,1)a λ=-，b .
减法 a b -
数乘 λa b •
三、空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示,)a a ，,,)b b b ，则a a =•= cos ,||||
a b a b <>== ）若111(,,)A a b c ，2(B a 【即时训练3】
2,-(32,6,0)
三、巩固诊断
1、已知空间向量(1,2,3)a =--，(2,4,)b x =-，(4,,6)c y =.
（1）若//m a ，且||27m =m ；
（2）若a c ⊥，求实数y 的值；
（3）若(2)//(3)a b a b -+，求实数x 的值.
2、在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 是1111A B C D 的中心，1E 在11B C 上，且111113
B E B
C =，求1BE 与1CO 所成角的余弦值.
闯关题：棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点.
（1）求证：EF CF ⊥；
（2）求异面直线EF 与CG 所成角的余弦值；
（3）求CE 的长.。

空间向量运算的坐标表示(公开课教案)空间向量运算的坐标表示导语：本节课将介绍空间向量运算的坐标表示方法，帮助学生建立空间向量的运算概念和技巧。

通过本节课的学习，学生将能够准确地进行空间向量的加法、减法和数量乘法运算，并能够将运算结果表示为坐标形式，提高对空间向量运算的理解和应用能力。

一、空间向量的定义及表示方法空间向量是指具有大小和方向的物理量，它可以用有序数对或坐标表示。

在三维空间中，一个向量可以用三个有序实数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的投影，即(x,y,z)。

例如，向量AB可以表示为(2,3,4)，其中2表示在x轴上的投影，3表示在y轴上的投影，4表示在z轴上的投影。

二、空间向量的加法运算空间向量的加法运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的和向量AD可以通过将对应的分量相加得到，即(2+1,3+2,4+3)=(3,5,7)。

表示向量AD的坐标形式即为(3,5,7)。

三、空间向量的减法运算空间向量的减法运算是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的差向量AD可以通过将对应的分量相减得到，即(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)。

表示向量AD的坐标形式即为(1,1,1)。

四、空间向量的数量乘法运算空间向量的数量乘法运算是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。

设有向量AB的坐标表示为(2,3,4)，将它与实数k相乘，即可得到数量乘积向量AD，即(2k,3k,4k)，表示向量AD的坐标形式为(2k,3k,4k)。

五、空间向量运算的坐标表示总结空间向量运算的坐标表示方法可以总结如下：1. 加法运算：将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。

2. 减法运算：将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。

3.2(3)空间向量的坐标表示(教案)西南模范中学 楼芸【教学目标】1．知识与技能: 掌握空间向量的坐标表示方法和空间向量的坐标表示的基本运算规律，掌握空间向量的数量积运算。

2．过程与方法:通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养。

3．情感态度与价值观:激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，猜想到论证，从而获得数学学习的成就感。

学生遇到问题学会质疑，猜想和论证。

培养严谨的研究态度，教授他们“类比”的研究方法。

提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力。

【重点难点】教学重点:空间向量的坐标表示与运算，空间向量数量积运算。

教学难点：空间向量数量积运算。

【教学环节设计】一课前复习1、前面几节课我们把向量的概念推广到了空间，在三维空间中认识了向量。

在空间建立了直角坐标系，实现了空间的点和有序数组之间的一一对应，实现了空间向量的坐标表示，和向量的加减运算以及找到了空间向量平行的充要条件。

今天我们将继续研究空间向量的数量积表示及运算。

2、回顾空间向量的坐标表示。

),,(,,,,,,,z y x a a z y x k z j y i x a a kj i z y x =++=记作坐标。

在空间直角坐标系中的）叫做向量那么有序实数组（，有对于空间任意向量轴方向相同的单位向量分别取与 推广：若),,(),,,(222111z y x Q z y x P ，则),,(121212z z y y x x ---= 而如果向量OP 的起点恰为坐标原点，则二、提出问题 我们知道，平面向量),,(),,(2211y x b y x a == 则2211y x y x b a +=∙ ，我们是如何得到这个计算公式的？基本单位向量j y i x b j y i x a j i2211,.,+=+= 则)(11y x +=∙∙)(22y x +=))(()()(1221221221j i y x y x j y y i x x∙+++=2121y y x x +那么空间向量的数量积的计算，有没有类似的公式？三、探求新知1、空间向量数量积的坐标表示1、设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =∵ 111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z = ∴)(111z y x ++=∙∙)(222z y x ++=))(())(())(()()()(122112211221221221221k j z y z y k i z x z x j i y x y x k z z j y y i x x∙++∙++∙++++=212121z z y y x x ++2、当a b =时，21212122z y x a a b a ++===∙ 所以212121z y x a ++=若),,(),,,(222111z y x Q z y x P ，则),,(121212z z y y x x ---=()()212212212)(z z y y x x -+-+-=3、我们知道，平面向量数量积有[]πθθ,0,cos ∈=∙b a b a （1）所以b a b a∙=θcos ，这个公式在空间中还成立吗？为什么？任意两个向量必然共面，所以仍然成立。

《空间向量运算的坐标表示》教课方案一、教材剖析：课程标准指出：“用空间向量解决几何问题，供给了新视角。

空间向量的引入，为解决三维空间中图形的地点关系与胸怀问题供给了一个十分有效的工具。

学生将在平面向量的基础上，把平面向量及运算推行到空间，运用空间向量解决相关直线、平面地点关系的问题，领会向量法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。

”本节课是在学生已经掌握了平面向量运算的坐标表示的基础长进行的，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是用向量法解决立体几何问题的基础，让学生初步领会向量法在解决立体几何问题中的优胜性，帮助空间想象能力较弱的同学顺利解题。

二、教课目的、知识目标：（）掌握空间向量加法、减法、数乘及数目积运算的坐标表示；（）掌握空间向量平行、垂直的坐标表示；（）掌握空间向量的模、距离、夹角公式的坐标表示；（）掌握用向量法解决两条异面直线所成角的方法。

、能力目标：（）在与平面向量的坐标运算的比较的基础上，培育学生察看、剖析、类比转变的能力；（）经过对几何图形的研究，使学生适合地成立空间直角坐标系，从“定性推理”到“定量计，算从”而提升剖析问题和解决问题的能力。

、感情目标：（）经过自主研究与合作沟通的教课环节的设置，激发学生的学习热忱和求知欲，充足表现学生的主体地位；（）经过数形联合的思想和方法的应用，让学生感觉和领会数学的魅力。

、教课要点（）掌握空间向量运算的坐标表示；（）应用向量法求两条异面直线所成角及线线垂直问题。

、教课难点（）成立适合的空间直角坐标系，正确求出点的坐标及向量的坐标；（）正确理解两条异面直线所成角与两个空间向量夹角的差别。

三、教课方法和手段、教课方法：自主研究、察看发现、类比猜想、合作沟通、教课手段：多媒体计算机、直尺、画有正方体的白纸、教课准备：（）因为维度的增添，新知识不可以直接被学生在原有的知识构造中同化汲取为学生装备了相应的训练题，经过训练更好地接受空间向量的坐标运算；（）在求异面直线所成角时，会出现所求余弦值为负数。

空间向量运算的坐标表示 教案一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。

二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离；三、教学方法：探究归纳，讲练结合；四、教学过程（一）、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。

（二）、探析新课数量积：（1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即 b a ⋅＝><b a b a ,cos ||||（2）夹角： 定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0 特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （3）运算律a b b a ⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，,A B d = （6）00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x b a b a（7）与非零向量a 同方向的单位向量为：}cos ,cos ,{cos },,{1γβα===z y x a a a a a a a 0（三）、知识运用 1、例1已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度； （2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=OB OA OM ．∴AB 的中点坐标是)23,3,2(， )3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=AB ． （2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ,化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ． 点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=a ，发现与)3,4,2(-=AB 共线。

空间向量运算的坐标表示教学设计讲课人：宋海阳指导人：韩红松一、教学内容分析课程标准指出：“用空间向量解决几何问题，提供了新视角。

空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

学生将在平面向量的基础上，把平面向量及运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。

”本节课是在学生已经掌握了平面向量运算的坐标表示的基础上进行的，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是用向量法解决立体几何问题的基础，让学生初步体会向量法在解决立体几何问题中的优越性，帮助空间想象能力较弱的同学顺利解题。

二、学生学情分析1学生学习本节内容的基础本节的学习对象是高二学生，他们已经掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构。

2、学生学习本节内容的能力具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。

具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。

3、学生学习本节内容的心理本节内容学生容易接受，学生在学习的过程中会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。

三、教学目标分析1知识与技能：（1）会运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示；（2）熟记空间向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；（3）会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；（4）掌握用向量法解决两条异面直线所成角的方法。

2、过程与方法：（1）在与平面向量的坐标运算的比较的基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力；（2）通过对几何图形的研究，使学生恰当地建立空间直角坐标系，从“定性推理”到“定量计算”，从而提高分析问题和解决问题的能力3、情感态度价值观：（1）通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；（2）通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力。

空间向量的坐标表示教学设计与反思
空间向量的坐标表示是数学中的一项重要的概念，它在高等数学及工程应用中
起着极为重要的作用，能够充分揭示出几何形体的特征。

本次教学设计的目的，是让学生理解空间向量的坐标表示、基本概念、运算规则，并运用其解决具体问题。

首先，我们搭建相关抽象知识点体系层次，梳理出空间向量的定义描述，包括
模量、向量、余弦解析法和角度解析法；接下来，我们构建课堂讨论机制，组建小组讨论把握、熟悉乘法法则；之后，以实际例题为切入点，再次梳理概念以及定义从而系统性的深化学习，让学生能够解答坐标表示的问题；最后，给出总结性的衔接，让学生更加全面、系统的把握空间向量的坐标表示及相关应用。

本次设计中，我除了给学生提供了丰富实际的例题，在讨论机制设置上也根据
学生具体能力，不断深化讨论，话题从实际例题衍生到理论概念，从流程性的理解转化到机制性的总结，互动式的教学设计充分调动学生学习积极性，从而更加自觉的把握解决问题的思维脉络及空间向量的坐标表示。

本节课的教学设计目的是让学生掌握空间向量的坐标表示，反思上如果能把实
际例题更加细化，再完善课堂讨论及小组协作，会更好的让学生从实践中活学活用，真正达到深化学习的效果。

1.3.2 空间向量运算的坐标表示教学设计一、内容和内容解析1.内容：空间向量的坐标运算；根据向量坐标判断两向量平行或垂直；向量长度公式；两向量夹角公式、空间两点间距离公式。

2.内容解析本节课是人教A版高中数学选择性必修第一册第一章第三节的第二课时。

引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

本节课是在学生学习了空间向量及其运算和基本定理的基础上进一步学习空间向量运算的坐标表示，是平面向量运算的坐标表示在空间的推广，是运用向量坐标运算解决几何问题的基础.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握空间向量运算的坐标表示（2）通过向量坐标判断两向量特殊位置关系（3）掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式（4）培养学生类比思想、转化思想，提升学生“数学运算”和“逻辑推理”学科素养2.目标解析（1）掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算（2）会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直（3）能根据向量的坐标计算出向量的模长，两向量夹角和空间两点距离，并能解决简单的立体几何问题三、教学问题诊断分析1.教学问题诊断：（1）空间向量运算的坐标表示同平面向量运算的坐标表示类似，可以类比平面向量运算的坐标表示进行推广，但怎样推广是学生的困难所在（2）学生难将向量坐标运算的代数结果与几何问题进行转化，利用空间向量运算的坐标表示解决一些立体几何问题是教学中的难点2.教学重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直的条件，距离公式，夹角公式3.教学难点：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题四、教学支持条件：多媒体辅助教学五、教学过程设计(一）知识回顾平面直角坐标系空间直角坐标系空间点和空间向量的坐标表示【设计意图】回顾上节课所学内容，为本节课的学习作铺垫。

(二）类比得到空间向量运算的坐标表示【探究一】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得到空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示{}123123123123111213212223313233,,,,()()10设为空间的一个单位正交基底，则所以因为，所以a a a b b b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++=++=++++=++++++++======i j k a i j k b i j k a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k i i j j k k i j j k k i a b 112233.a b a b a b =++其他运算的坐标表示可以类似证明。

新教材高中数学教案新人教A 版选择性必修第一册：1.3.2 空间运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.平面向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2)，λa ＝(λa 1，λa 2)(λ∈R )．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.(2)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ，即a 1＝λb 1，a 2＝λb 2.a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.(3)|a |＝a 21＋a 22，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22. 思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？1．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算 坐标表示加法 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 减法 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘 λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，λ∈R数量积a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则平行(a ∥b )a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，λ∈Ra 3＝λb 3垂直(a ⊥b )a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)模 |a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23思考：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b 一定有a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立吗？ [提示] 当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3成立． 3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)； (2)d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3. ( ) (2)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC →的坐标相同．( ) (3)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. ( )[提示] (1)× (2)√ (3)√2．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)D [4a ＝(12，－8,4)，2b ＝(－4,8,0)， ∴4a ＋2b ＝(8,0,4)．]3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B ．15 C ．35 D ．75D [由a ，b 的坐标可得k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，两向量互相垂直则a ·b ＝0，即3×(k －1)＋2×k －2×2＝0，解得k ＝75.]4．若点A (0,1,2)，B (1,0,1)，则AB →＝__________，|AB →|＝________.(1，－1，－1)3 [AB →＝(1，－1，－1)，|AB →|＝12＋－12＋－12＝ 3.]空间向量的坐标运算【例1】 (1)若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·2b ＝－2，则x ＝________.(2)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)，求a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )．(1)2 [c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )·2b ＝－2得2(1－x )＝－2，解得x ＝2.](2)[解] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2，(a ＋b )·(a ＋b )＝(a ＋b )2等．(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a )·(－b )，既可以利用运算律把它化成－2(a ·b )，也可以求出2a ，－b 后，再求数量积；计算(a ＋b )·(a －b )，既可以求出a ＋b ，a －b 后，求数量积，也可以把(a ＋b )·(a －b )写成a 2－b 2后计算．[跟进训练]1．(1)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为________．(2)已知M (1,2,3)，N (2,3,4)，P (－1,2，－3)，若|PQ →|＝3|MN →|且PQ →∥MN →，则Q 点的坐标为( )A ．(2,5,0)B ．(－4，－1，－6)或(2,5,0)C ．(3,4,1)D ．(3,4,1)或(－3，－2，－5)(1)120° (2)B [(1)因为a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，所以a ＋b ＝(－1，－2，－3)，所以|a ＋b |＝14.因为(a ＋b )·c ＝7，所以a ＋b 与c 夹角的余弦值为12，即夹角为60°.因为a ＝(1,2,3)与a ＋b ＝(－1，－2，－3)方向相反，所以可知a 与c 的夹角为120°.(2)设Q (x ，y ，z )，则PQ →＝(x ＋1，y －2，z ＋3)，MN →＝(1,1,1)，∴⎩⎨⎧x ＋12＋y －22＋z ＋32＝312＋12＋12，x ＋1＝y －2＝z ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1z ＝－6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，z ＝0，∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]空间向量的平行与垂直[探究问题]1．已知A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点P 的坐标是多少？ [提示] P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3.3．空间两个向量垂直的充要条件是什么？ [提示] 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.【例2】 (1)对于空间向量a ＝(1,2,3)，b ＝(λ，4,6)．若a ∥b ，则实数λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2(2)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是棱D 1D 的中点，P 、Q 分别为线段B 1D 1，BD 上的点，且3B 1P →＝PD 1→，若PQ ⊥AE ，BD →＝λDQ →，求λ的值．[思路探究] (1)利用向量共线充要条件．(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，求λ值．(1)D [因为空间向量a ＝(1,2,3)，b ＝(λ，4,6)，若a ∥b ，则1λ＝24＝36＝12，所以λ＝2，故选D.](2)[解] 如图所示，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，由题意，可设点P 的坐标为(a ，a,1)，因为3B 1P →＝PD 1→，所以3(a －1，a －1,0)＝(－a ，－a,0)， 所以3a －3＝－a ，解得a ＝34，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，1. 由题意可设点Q 的坐标为(b ，b,0)， 因为PQ ⊥AE ，所以PQ →·AE →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b －34，b －34，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0， 即－⎝ ⎛⎭⎪⎫b －34－12＝0，解得b ＝14，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，0，因为BD →＝λDQ →，所以()－1，－1，0＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，0，所以λ4＝－1，故λ＝－4.1．[变条件]若本例中的PQ ⊥AE 改为B 1Q ⊥EQ ，其他条件不变，结果如何？[解] 以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q 的坐标为(c ，c,0)，因为B 1Q ⊥EQ ，所以B 1Q →·EQ →＝0，所以(c －1，c －1，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，c ，－12＝0， 即c (c －1)＋c (c －1)＋12＝0,4c 2－4c ＋1＝0，解得c ＝12，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， 所以点Q 是线段BD 的中点， 所以BD →＝－2DQ →，故λ＝－2.2．[变条件，变设问]本例中若G 是A 1D 的中点，点H 在平面AC 上，且GH ∥BD 1，试判断点H 的位置．[解] 以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G 是A 1D 的中点，所以点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，因为点H在平面xDy 上，设点H 的坐标为(m ，n,0)，因为GH →＝(m ，n,0)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12，n ，－12，BD 1→＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)且GH ∥BD 1→，所以m －12－1＝n －1＝－121，解得m ＝1，n ＝12，所以点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0， 所以H 为线段AB 的中点．1．判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，根据x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2是否为0判断两向量是否垂直；根据x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )或x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2(x 2，y 2，z 2都不为0)判断两向量是否平行．2．由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．[跟进训练]2．已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)． (1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .[解] (1)由a ∥b ，得(λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k 2m －1，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋12＋12＋2λ2＝5，λ＋1，1，2λ·2，－2λ，－λ＝0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2)．空间向量的夹角与长度问题【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN ⊥平面C 1MN .[思路探究] 建系C ­xyz →得各点的坐标→数量积运算 →夹角、长度公式→几何结论[解] (1)如图所示，建立空间直角坐标系C ­xyz .依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN →|＝1－02＋0－12＋1－02＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. (3)证明：依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B (0,1,0)，N (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，∴C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ，又∵C 1M ∩C 1N ＝C 1，C 1M ⊂平面C 1MN ，C 1N ⊂平面C 1MN ， ∴BN ⊥平面C 1MN .1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．[跟进训练]3．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝14CD，H是C1G的中点．(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长．[解] 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D­xyz，则B1(1,1,1)，C(0,1,0)，E⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，G⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，C1(0,1,1)，H⎝⎛⎭⎪⎫0，78，12，(1)EF→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B1C→＝(－1,0，－1)，∴EF→·B1C→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12－12·(－1，0，－1)＝0，∴EF⊥B1C.(2)∵C1G→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，－1，∴EF→·C1G→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，－12·⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，－1＝38，|EF→|＝⎝⎛⎭⎪⎫122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＋⎝⎛⎭⎪⎫－122＝32，|C1G→|＝02＋⎝⎛⎭⎪⎫－142＋－12＝174，∴cos(EF→，C1G→)＝3832×174＝5117，∴EF与C1G所成角的余弦值是5117.(3)∵FH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12，∴|FH →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝418.1．类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a ＝(x ，y )．而在空间中则表示为a ＝(x ，y ，z )．2．在空间直角坐标系中，已知点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．3．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB |＝|AB →|＝|AB →|2＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.4．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．1．下列向量中，与向量a ＝(0,0,1)平行的向量为( ) A ．b ＝(1,0,0) B ．c ＝(0,1,0) C ．d ＝(－1，－1，－1)D ．e ＝(0,0，－1)D [法一：比较各选项中的向量，观察哪个向量符合λa ＝(0,0，λ)的形式，经过观察，只有e ＝－a .法二：向量a ＝(0,0,1)的横、纵坐标都是0，所以向量a ∥z 轴，经过观察易得只有e ＝(0,0，－1)的横、纵坐标也都是0.]2．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－16，y ＝32D ．x ＝16，y ＝－32D [因为a 与b 为共线向量，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝λ，1＝－2λy ，3＝9λ，解得x ＝16，y ＝－32，故选D.]- 11 - 3．已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 63[由已知得a ＝(1，2，3)，b ＝(1,0，3)， ∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1＋0＋36×4＝63.] 4．已知点A 的坐标为A (1,1,0)，向量12AB →＝(4,0,2)，则点B 的坐标为________． (9,1,4) [由条件可知AB →＝(8,0,4)，设B (x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝8y －1＝0z －0＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9y ＝1z ＝4.故点B 的坐标为(9,1,4)．]5．已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．[证明] 因为AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD . 又因为AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行， 所以四边形ABCD 为梯形．。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算的坐标表示。

通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。

1.教学重点：理解空间向量的坐标表示及其运算2.教学难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题多媒体教学过程教学设计意图 核心素养目标一、情境导学我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.二、探究新知一、空间直角坐标系与坐标表示1.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i,j,k },以点O 为原点,分别以i ,j ,k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫做原点,i ,j ,k 都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy 平面,Oyz 平面,Ozx 平面.创设问题情境，引导学生体会运用坐标法，实现将空间几何问题代数化的基本思想1.画空间直角坐标系Oxyz 时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系. 2.点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,i ,j ,k 为坐标向量,对空间任意一点A ,对应一个向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且点A 的位置由向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使OA⃗⃗⃗⃗⃗ =x i +y j +z k .在单位正交基底{i ,j ,k }下与向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的有序实数组(x ,y ,z ),叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标,记作A (x ,y ,z ),其中x 叫做点A 的横坐标,y 叫做点A 的纵坐标,z 叫做点A 的竖坐标.3.向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,给定向量a ,作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a 由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使a =x i +y j +z k .有序实数组(x ,y ,z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标,可简记作a =(x ,y ,z ).小试牛刀1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为.(3,2,-1)答案:向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标恰好是终点P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.思考：在空间直角坐标系中,向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标与终点P的坐标有何关系?二、空间向量运算的坐标表示1.空间向量的坐标运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么向量运算向量表示坐标表示加法a+b减法a-b数乘λa数量积a·b(a1+b1,a2+b2,a3+b3) ;(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(λa1,λa2,λa3);a1b1+a2b2+a 3b32.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:小试牛刀1.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=,3m-n=,(2m)·(-3n)=.(-1,-1,1) ;(5,-11,19) ;168解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,1 9),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=,若a⊥b,则λ=.4 ;-23解析:若a∥b,则有2λ=λ8=-1λ-6,解得λ=4.若a⊥b,则a·b=2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=-23.3.已知a=(-√2,2,√3),b=(3√2,6,0),则|a|=,a与b夹角的余弦值等于.答案:3√69解析:|a|=√a·a=√(-√2)2+22+(√3)2=3,a与b夹角的余弦值cos<a,b>=a·b|a||b|=-6+12+03×3√6=√69.例1在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A 1B 1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标. 思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系,再根据空间向量基本定理,将DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用基底表示,即得坐标.解:由已知AO ⊥OB ,O 1O ⊥OA ,O 1O ⊥OB ,从而建立以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量i ,j ,k 为正交基底的空间直角坐标系Oxyz ,如图,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4i ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2j ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4k ,DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +O 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-[OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=-OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2i -j -4k ,故DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(-2,-1,-4). A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4i+2j -4k , 故A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(-4,2,-4). 即DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,-4),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2,-4).用坐标表示空间向量的步骤如下:跟踪训练1.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为D 1C 1,B 1C 1的中点,若以{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底,则向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ,向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ,向量AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 .答案:(12,1,1) (1,12,1) (1,1,1)解析:因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(12,1,1). 因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(1,12,1). 因为AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以向量AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(1,1,1).例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5). (1)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点M 的坐标; (3)若p =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,q =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求(p +q )·(p -q ). 思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.解:(1)因为A (1,-2,4),B (-2,3,0),C (2,-2,-5),所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,5,-4),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,9). 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,5,5)，又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,5,5),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-5,4), 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,15,-3)，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,5,-4),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-9), 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+0+36=33.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a ,b 平行,可设a =λb ),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的. 跟踪训练3.已知a =(λ+1,1,2λ),b =(6,2m-1,2). (1)若a ∥b ,分别求λ与m 的值; (2)若|a |=√5,且与c =(2,-2λ,-λ)垂直,求a . 解:(1)由a ∥b ,得(λ+1,1,2λ)=k (6,2m -1,2), ∴{λ+1=6k ,1=k (2m -1),2λ=2k ,解得{λ=k =15,m =3.∴λ=15,m=3. (2)∵|a |=√5,且a ⊥c ,∴{(λ+1)2+12+(2λ)2=5,(λ+1,1,2λ)·(2,-2λ,-λ)=0,化简,得{5λ2+2λ=3,2-2λ2=0,解得λ=-1.因此,a =(0,1,-2).例4如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA 1=2,M ,N 分别是AA 1,CB 1的中点.(1)求BM ,BN 的长. (2)求△BMN 的面积.思路分析建立空间直角坐标系,写出B ,M ,N 等点的坐标,从而得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在此处键入公式。

空间向量运算坐标表示说课稿北师大版实用教案《空间向量运算的坐标表示》——讲课稿黑龙江省铁力市第一中学敬爱的各位评委、老师：大家好!李珊珊我是来自*********的数学教师，我叫李珊珊，很有幸能够参加此次的讲课活动，希望各位评委、老师对我的讲课内容提出可贵建议。

今日我讲课的题目是《空间向量运算的坐标表示》，这节课选自人民教育第一版社高二选修，节第一课时，下边我将从教材、教法、学法、教课过程及板书设计五个方面来介绍我对本节课的教课假想。

一、说教材.地位和作用纲领和课标要求掌握空间向量运算的坐标表示，而空间向量运算的坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式和基本定理的基础长进一步学习的知识内容，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推行和拓展，交流了代数与几何的关系，丰富了学生的认知构造。

为学生学习立体几何供给了新的视角、新的看法和新的方法，给学生的思想开发供给了更为广阔的空间。

为运用向量坐标运算解决高考取立体几何问题确定了知识和方法基础。

.教课目的知识与技术：会依据向量坐标，判断两个向量共线与垂直，掌握向量模长公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式，并会应用这些知识解决简单立体几何问题。

过程与方法：在学习本节内容过程中，要多与平面向量的知识、方法类比，进而降低在理解、学习中的难度，在类比中发现差别,防备类比迁徙中的错误。

感情态度与价值观：指引、组织学生踊跃参加到知识、方法的研究、建立的过程中，亲自经历并感悟、体验知识的魅力和学习的乐趣，形成踊跃、主动、勇于研究的个性质量和学致使用的创建精神。

.要点与难点教课要点：空间向量的坐标运算,夹角及距离公式。

教课难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。

二、说教法如何突出要点，打破难点，进而实现教课目的。

我在教课过程中将采纳了“类比”和“启迪研究”的教课方法，依据本课教材的特点和学生的实质状况在教课中要点突出以下两点：()由教材的特点确定类比思想为教课的主线。

3.3空间向量运算的坐标表示●三维目标1．知识与技能(1)掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示．(2)能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度和夹角．2．过程与方法通过坐标运算提高学生的运算能力．3．情感、态度与价值观从平面向量运算的坐标表示到空间向量运算的坐标表示，培养学生的类比、迁移能力．●重点难点重点：空间向量运算的坐标表示及空间向量模与夹角的求法．难点：空间向量的坐标运算在解决简单的立体几何问题中的应用．通过提问让学生类比平面向量的坐标运算去定义空间向量的坐标运算，在获得运算法则后，引导学生比较二者的差异．在比较中，深化学生对空间向量坐标运算的认识．为了突破难点，可设置一组不同层次的问题，引导学生从简单的做起，在求解的过程中，让学生体会空间向量的数字运算方法和空间向量的坐标运算在解决立体几何中的应用．(教师用书独具)●教学建议本节课可采用“启发探究”教学方法，根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中重点突出以下两点：(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线．(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法．在教学中通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索．将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．●教学流程回顾：平面向量的坐标运算―→类比：空间向量的坐标运算―→体验：空间向量运算的应用―→总结：升华对空间向量运算的认识1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？【提示】a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？【提示】设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.1．空间向量运算的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和．(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差．(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(4)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.。

空间向量运算的坐标表示【教学目标】1．掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； 2．掌握空间向量坐标运算的规律；3．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4．会用中点坐标公式解决有关问题。

【教学重点】空间右手直角坐标系，向量的坐标运算。

【教学难点】空间向量的坐标的确定及运算。

【授课类型】新授课。

【课时安排】1课时。

【内容分析】本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式。

在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础。

要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理。

【教学过程】：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a +=把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0= 2．平面向量的坐标运算若),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a+),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=3．a ∥b (b≠)的充要条件是x1y2-x2y1=04平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a⋅设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。