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向量的概念与几何运算练习题

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平面向量复习 姓名 向量的概念与几何运算
1．向量的有关概念⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．⑶ 且 的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．3．实数与向量的积⑴ 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ．它的长度与方向规定如下：① | λa |＝ ．② 当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ．
⑵ λ(μa )＝ ． (λ＋μ)a ＝ ． λ(a ＋b )＝ ．⑶ 共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ．⑵ 设1e 、2e 是一组基底，a ＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则a 与b 共线的充要条件是 ．第2课时 平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量a 的直角坐标，记作 ．并且|a |＝ ．2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：若a ＝(x 1、y 1)，b ＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则：a ＋b ＝ a －b ＝ λa ＝
已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则AB ＝ ．4．两个向量a ＝(x 1、y 1)和b ＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ．平面向量的数量积
1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a 与b 的 ．当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作 ．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·
b ，即a ·b ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a ＝(x 1, y 1)，b ＝(x 2, y 2)，则a ·b ＝ ．
3．向量的数量积的几何意义： |b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影．a ·
b 的几何意义是，数量a ·b 等于 ． 4．向量数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角．
⑴ e ·a ＝a ·e ＝ ⑵ a ⊥b ⇔ ⑶ 当a 与b 同向时，a ·
b ＝ ； 1、若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A ．EF OF OE =+
B ．EF OF OE =-
C ．EF OF OE =-+
D ．EF OF O
E =--
2、已知向量(56)=-，a
，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向
D ．平行且反向
3、已知平面向量(11)(11)==-，，，a
b ，则向量1322-=a b ． 4、已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是
．
5、若向量a 、b b a 与,1==的夹角为120°，则b a a a ··+＝
6、若向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()
1=+⋅b a a ，则向量a ，b 的夹角的大小为 . 7、已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a .
8．已知a =(1,－2),b =(1,x),若a ⊥b ,则x 等于 .
9．已知向量a,b 的夹角为
120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a = .
10．设a =(2,－3),b =(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于 .
() 所得的比是BP 则A分,43所成的比为AB 若点P分 11.→--→-- ()()()
的取值范围是b a b
a 那么,2,3x
b ,x,1已知a 12.22+⋅==
13．向量a ＝（2k ＋3,3k ＋2）与b ＝（3，k ）共线，则k ＝___________．
()_.__________向量，则k的值为__且a与b为互相平行的,k,8b ,k ,29已知a 14.=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
15．设|a |＝1，|b |＝2，且a 、b 夹角120°，则|2a ＋b |等于 .
16．已知a ＝（2，1），b ＝（3，λ），若（2a －b ）⊥b ，则λ的值为 .
17．向量a ＝（1，－2），|b|＝4|a|，且a 、b 共线，则b 可能是 .
18．已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为 .
19．向量a ＝（1，1），且a 与（a ＋2b ）的方向相同，则a·b 的取值范围是________
20．已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为 .
21．设向量a ，b 满足|a|=|b |=1及|3a-2b|=3，求|3a+b |的值
22．已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)
（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）求|a －b |的取值范围 23.设O 为原点，
()()→--→--→--→--→--→--⊥-==OA //BC ,OB OC ,2,1OB ,1,3OA ，试求满足→--→--→--=+OC OA OD 的→--OD 的坐标． 24设1e 和2e 是两个单位向量，夹角是60°，试求向量
21e e 2a +=和21e 2e 3b +-=的夹角． 25． 不共线，
与e 设两个非零向量e 21(),e e 3CD ,8e 2e BC ,e e AB ①如果212121-=+=+=→--→--→-- 求证：A 、B 、D 三点共线．共线.ke 和e e 使ke ②试确定实数k的值,2121++
26．已知A （2，0），B （0，2），C （cos α，sin α），且0<α<π
（1）若|OA+OC|=，求OB 与OC 的夹角；
（2）若AC ⊥BC ，求tan α的值。

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高三数学专题复习 平面向量解题必会知识与方法整理试卷

高三数学专题复习 平面向量解题必会知识与方法整理试卷

高三数学专题复习——平面向量解题必会知识与方法整理必备知识： 1. 向量的基本概念。

2. 向量线性运算的几何运算（三角形法则和平行四边形法则）和坐标运算。

3. 两个定理：平面向量基本定理和向量共线定理。

4. 一个定义：平面向量数量积的定义及几何意义。

5. 极化恒等式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a解题方法与策略示例 一 回归定义解题1.在ABC ∆中，若2||AC AB AC ⋅>，则有（ ）A ．||||AC BC >B ．||||BC AC > C ．||||AC AB >D ．||||AB BC >2.已知平面向量2,1,,==βαβα，()βαα2-⊥，则βα+2的值是3.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =4.已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93-- 5．已知a ＝（5，4），b ＝（3，2），则与2a －3b 平行的单位向量为二 运用平面向量几何背景解题6. 已知P 是ABC ∆内一点,且满足=++PC PB PA 320,记ABP ∆、BCP ∆、ACP ∆ 的面积依次为1S 、2S 、3S ,则1S :2S :3S 等于（ ） A ．3:2:1B ．9:4:1C ．3:2:1D ．2:1:37.若b a ,是两个非零向量,且]1,33[|,|||||∈+==λλb a b a ,则b 与b a -的夹角的取值范围是8. 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，向量c 满足0c)(b c)(a =-⋅-,则|c| 的最大值为（ ）A . 1 B. 2 C. 2 D. 229. 已知平面向量α，β （α≠ 0，α≠β ）满足|β |=1，且α与β- α的夹角为 120°，则|α| 的取值范围是10. 若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是11．非零向量OA 与OB ，对于任意的,t R ∈OA tOB +的最小值的几何意义为 . 12. 已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA +OB |=|OA -OB |,其中O 为原点,则实数a 的值为13、如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的一个动点．若OC ＝x OA ＋y OB ，则x ＋3y 的取值范围是________．三 利用向量的坐标运算解题14. 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0c)(b c)(a =-⋅-,则|c| 的最大值为（ ）A . 1 B. 2 C. 2 D.2215.已知向量a ，b 是单位向量，0⋅=a b ．向量c 满足||1--=c a b ，则||c 的取值范围是（ ）A ．[221]B ．222]C ．212 D ．21216.给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心||OA 为半径的劣弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、R ∈y ，则22)1(-+y x 的最大值为_____．17. 设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B∙→P 0C ，则（ ） A ．∠ABC =90︒ B ．∠BAC =90︒ C ．AB =AC D ．AC =BC18. 如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，4AB =，E 是 BCD ∆内部任意一点，AE 与BD 交于点F ，则AF BF ⋅的最小值是 ．FDAEO PQA19. 若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c +⋅+≤，则||a b c +-的最大值为________．四. 根据平面向量基本定理，选好基底，进行运算20. 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x ，y ∈R ．若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于 ．21. 若等边ABC ∆的边长为2,平面内一点M 满足CA CB CM 2131+=,则=⋅MB MA （ ）A ．98B ．913C ．98-D ．913-22.在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若·=1,则AB 的长为 .五．运用数量积的几何意义运算23.已知圆O 的半径为2，圆O 的一条弦B A 长是3，P 圆O 上的任意一点， 则AP AB ⋅的最大值为________．24.如图所示的等腰梯形ABCD 中,已知AB=2,CD=4,则·等于 .25.正三角形ABC 中,D 是边BC 上的点,AB=3,BD=1,则·= .26.如图，两个半径分别为1和2的同心圆，点P 、Q 分别是大圆和小圆上 的一个动点，过点P 作小圆的一条切线，切于点A ，则PA PQ 的取值 范围是 .27．如图，已知圆M ：22(3)(3)4x y -+-=，ABC ∆为圆M 的内接正三 角形，E 为边AB 的中点，当正ABC ∆绕圆心M 转动，同时点F 在边AC 上运动时，ME OF ⋅的最大值是 。

平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。

答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。

答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。

答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。

答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。

答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。

答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。

答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。

答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。

答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。

计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。

(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。

1 向量的概念与几何运算

1 向量的概念与几何运算

EFDCBA1向量的概念与几何运算一、基础知识： 1．向量：（1）定义：既有 又有 的量。

（2）表示：向量常用一条有向线段来表示，也可以用字母a 表示，或用表示向量的方法表示，如AB 。

2．向量的长度（模）：向量AB 的 称为向量的长度，记作|AB |。

3．零向量：长度为何0的向量叫做零向量，记作0。

4．单位向量： 的向量叫做单位向量。

5．平行向量： 叫做平行向量。

性质：规定0与任一向量平行。

6．相等向量： 且 的向量叫做相等向量， 性质：零向量与零向量相等。

注：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

7．共线向量：由于任一组向量都可以移到同一直线上，因此有：平行向量也叫共线向量。

二、基本题型（一）向量的有关概念：1．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量A O 、OB 、CO 、O D是 （填序号） ①平行向量；②有相同终点的向量；③相等的向量；④模都相同的向量。

2．下列结论中,正确的序号是 。

①零向量只有大小没有方向；②对任一向量a ,0||>a 总是成立的；③||||BA AB =； ④ ||AB 与线段BA 的长度不相等。

3．如图， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 。

（填上正确的序号） ①0AD BE CF ++= ；②0BD CF DF -+= ； ③0AD CE CF +-= ；④0BD BE FC --= 。

4．下列各种情况中，向量终点构成什么图形？（1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ；（2）把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一点； （3）把平行于某一直线的一切向量的起点平移到同一起点。

5．下列物理量中，不能称为向量的序号是 ①距离；②加速度；③力；④位移。

O ABC DE F6．O 是正六边形ABCDE 的中心，且a OA =，b OB =，c AB =，在以O E D C B A ,,,,,为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有 ；（2）与b 相等的向量有 ；（3）与c 相等的向量有1向量的概念与几何运算一、基础知识：1．向量：（1）定义：既有 （大小）又有 （方向）的量。

高二数学向量的练习题

高二数学向量的练习题

高二数学向量的练习题一、基础练习1. 已知向量a = (3, 4)和向量b = (5, -2)，求向量a + b的坐标表示。

2. 已知向量a = (2, -1)和向量b = (-3, 5)，求向量a - b的坐标表示。

3. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (2, 3)，求向量a · b的结果。

4. 已知向量a = (3, 4)，求向量a的模长。

5. 求向量(4, 1)的单位向量。

二、向量运算1. 已知向量a = (5, -2)和向量b = (-3, 1)，求向量a + 2b的坐标表示。

2. 已知向量a = (2, 4)，向量b = (-3, 1)，和向量c = (0, -2)，求向量a + b - c的坐标表示。

3. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (2, 3)，求向量a · b + 2a的结果。

4. 若向量a的模长为5，向量b的模长为3，且向量a与向量b的夹角为45度，求向量a · b的结果。

5. 求向量(3, 4)的模长，并求与该向量夹角为60度的单位向量。

三、平面向量与几何应用1. 已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 3)，C(2, 6)，求向量AB和向量BC的坐标表示。

2. 已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1, 1)，B(5, 1)，C(5, 4)，D(1, 4)，求向量AB + 向量BC + 向量CD + 向量DA的坐标表示。

3. 若平行四边形ABCD的对角线AC的向量表示为(3, 2)，且向量CD的坐标表示为(4, 1)，求向量AB的坐标表示。

4. 已知平行四边形ABCD的对角线AC的向量表示为(2, 3)，向量AB的坐标表示为(-1, 4)，求向量BC的坐标表示。

5. 已知平行四边形ABCD的对角线AC的向量表示为(3, 4)，向量CD的坐标表示为(1, 2)，求平行四边形的面积。

四、向量的投影1. 已知向量a = (3, 5)和向量b = (1, -2)，求向量a在b方向上的投影的坐标表示。