多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。

简记为（X1,X2,…,X n）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题：1．（X,Y）视为平面上的随机点。

研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal3．X与Y的相互关系；4．（X,Y）函数的分布。

§二维随机变量的分布一．离散型随机变量1．联合分布律定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,…——称式为(X,Y)的联合分布律。

(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：性质：(1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) ji ij p ,=12．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1= p{Y=y i }j=1,2, (30)S =1我们称p i.和分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j∑(Y=y j )}=j∑P{X=x i ,Y=y j }=j∑p ij 同理可得=i∑p ij例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X中取一值。

多维随机变量及其分布对于多维随机变量应理解其概念及其性质，在多位随机变量中，二维随机变量是基础，很多结论都是可以从二维随机变量推广到多维的。

对于二维随机变量，不仅要理解联合分布的概念与性质，还要理解二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布和二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度、和条件密度。

一、多维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数 [1]多维随机变量的及其分布的概念：如果N 维向量12{,}n X X X ⋅⋅⋅的每个分量都是随机变量，则，称之为N 维随机变量，并称函数121122(,){,,}n n n F x x x P X x X x X x ⋅⋅⋅=≤≤⋅⋅⋅≤是N 维随机变量12{,}n X X X ⋅⋅⋅的联合分布函数。

称函数(){}(,,,,i i ii F x P X x F x =≤=+∞+∞⋅⋅⋅+∞+∞为N 维向量12{,}n X X X ⋅⋅⋅关于i X 的边缘分布，或为12(,)n F x x x ⋅⋅⋅的边缘分布函数。

[2]二维随机变量的联合分布函数的概念和性质a) 二维随机变量的联合分布函数的概念：二维随机变量的联合分布函数定义如下：(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤b) 二维随机变量的联合分布函数的性质：① 对于任意x,y, 0(,)1F x y ≤≤② (,)F x y 为关于x 或y 均为单调非降、右连续的函数。

③ (,)(,)(,)F F y F x -∞+∞=-∞=-∞=④ (,)1F +∞+∞=⑤ 发生在矩形区域上的概率：(,)(,P a X b c Y d F a<≤<≤=[3]二维随机变量的边缘分布的概念二维随机变量(,)X Y 关于X 与Y 的边缘分布函数分别定义为： ①(){}{,}(,)x F x P X x P X x Y F x =≤=≤<+∞=+∞ ②(){}{,}(,)y F y P Y y P X Y y F Y =≤=<+∞≤=+∞二、二维离散型随机变量[1]二维离散型随机变量的联合概率分布的概念：二维离散型随机变量(,)X Y 是只能去有限个或可列个值，其相应的概率表示为：(,)i i ij P X x Y y p === (,1,2,3i j =⋅⋅⋅并称为联合概率分布或联合分布律： [2] 二维离散型随机变量的联合概率分布的性质：（a,d ）①(,)0i i ij P Xx Y y p ===≥ (,1,2,3i j =⋅⋅⋅②1ijijp=∑∑③(,)i j ij x x y yF x y p ≤≤=∑∑[3]二维离散型随机变量的边缘分布：二维离散型随机变量(,)X Y 关于X 和Y 的边缘概率分布（或边缘分布律）分别定义为：{}{,}i i ij i jjjp P X x P X x Y y p ∙======∑∑ {}{,}j i ij i jiip P Y y P X x Y y p ∙======∑∑ 依据边缘分布函数的定义：(){}{}i i x i i x xx xF x P X x p X x p ∙≤≤=≤===∑∑(){}{}j j y ijy yy yF x P Y y p Y y p∙≤≤=≤===∑∑[4]二维离散型随机变量的条件分布① 定义：设{}0j j p P Y y ∙==>，在事件“j Y y =”发生的条件下，事件“i X x =”发生的条件概率为：{,}{}()i j iji j j jP X x Y y p P X x Y y P Y y p ∙=======(,1,2,3)i j =⋅⋅⋅称为在“j Y y =”条件下，X 的条件分布律。

第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布在许多随机试验中，需要考虑的指标不⽌⼀个。

例如，考查某地区学龄前⼉童发育情况，对这⼀地区的⼉童进⾏抽样检查，需要同时观察他们的⾝⾼和体重，这样，⼉童的发育就要⽤定义在同⼀个样本空间上的两个随机变量来加以描述。

⼜如，考察礼花升空后的爆炸点，此时要⽤三个定义在同⼀个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。

在这⼀章中，我们将引⼊多维随机变量的概念，并讨论多维随机变量的统计规律性。

1.⼆维随机变量及其分布在这⼀节中.我们主要讨论⼆维随机变量及其概率分布，并把它们推⼴到n维随机变量。

1.⼆维随机变量及其分布函数1.⼆维随机变量定义3.1 设Ω ={ω }为样本空间，X=X(ω )和Y=Y(ω )是定义在Ω上的随机变量，则由它们构成的⼀个⼆维向量(X,Y)称为⼆维随机变量或⼆维随机向量.⼆维向量(X，Y)的性质不仅与X及Y有关，⽽且还依赖于这两个随机变量的相互关系。

因此，逐个讨论X和Y的性质是不够的，需把(X,Y)作为⼀个整体来讨论。

随机变量X常称为⼀维随机变量。

2. ⼆维随机变量的联合分布函数与⼀维的随机变量类似，我们也⽤分布函数来讨论⼆维随机变量的概率分布。

定义3.2 设(X,Y)是⼆维随机变量，x，y为任意实数，事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的概率称为⼆维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数，记作F(x,y)，即若把⼆维随机变量(X,Y)看成平⾯上随机点的坐标，则分布函数F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落⼊以(x,y)为定点且位于该点左下⽅的⽆穷矩形区域内的概率（见图3-1）。

⽽随机点(X,Y) 落在矩形区域内的概率可⽤分布函数表⽰（见图3-2）分布函数F (x，y)具有以下的基本性质。

(1) 0≤F (x，y)≤1.对于任意固定的x和y，有(2) F (x，y)是变量x或y的单调不减函数，即对任意固定的y，当x2 ≥x1时,；对任意固定的x，当y2 ≥y1时，。