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第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点落在矩形域的概率为),(Y X ],[2121y y y x x x ≤<≤< .),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-2、的分布函数为，则 0 .),(Y X ),(y x F =-∞),(y F3、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+),0(y x F ),(y x F4、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+∞),(x F )(x F X5、设随机变量的概率密度为),(Y X ，则.⎩⎨⎧<<<<--=其其042,20)6(),(y x y x k y x f =k 816、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.),(Y X 7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则1 .),(y x f Y X ,)(x f X X =⎰∞+∞-)(x f X8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0.),(Y X X Y =ρXY0123jP ⋅10838308638108182⋅i P 818383819、如果随机变量的联合概率分布为),(Y X YX12316191181231αβ则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， .βα,186=+βαX Y =α184=β18210、设相互独立，，则的联合概率密度Y X ,)1.0(~),1,0(~N Y N X ),(Y X，的概率密度.=),(y x f 22221y x e +-πY X Z +==)(Z f Z 42221x e-π12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为则 A =__1___。
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,222二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律.X Y ),(Y X 解： 031}1,1{⋅===Y X P 31131}2,1{=⋅===Y X P 312132}1,2{=⋅===Y X P 312132}2,2{=⋅===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设为投入1号信箱的信数，为投入2X Y 号信箱的信数，求的联合分布律.),(Y X 解：的可能取值为0,1,2,3的可能取值为0,1,2,3X Y331}0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 3323333}2,0{====C Y X P XY 12103123131331}3,0{===Y X P 333}0,1{===Y X P 3323}1,1{⨯===Y X P3313}2,1{⨯===Y X P 0}3,1{===Y X P 3233}0,2{C Y X P === 333}1,2{===Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 331}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P X Y123271273273271127327627322732730032710003、设 函 数 F(x , y) = ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的⎩⎨⎧≤+>+120121y x y x 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第三章 多维随机变量及其分布（一）一、填空题：1、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为2,01,01(,)0,A xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他，则常数A =6 。
2、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为arctan arctan ,0,0(,)0,A x y x y F x y ⋅>>⎧=⎨⎩其他，则常数A =24π。
二、计算题：1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。
我们定义随机变量X ，Y 如下：1X ⎧=⎨⎩若第一次出的是正品若第一次出的是次品 ， 01Y ⎧=⎨⎩若第二次出的是正品若第二次出的是次品试分别就（1），（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。
（1）放回抽样（2）不放回抽样2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求（1）13{,04}22P X Y <<<<， （2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤（1）1/4（2）5/163．设随机变量(,)X Y 的联合分布律如表：求：（1）a 值； （2）(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y （3）(,)X Y 关于X ，Y 的边缘分布函数()X F x 和()Y F y （1）a=1/3（2）0x <1y<-1112,1045(,)2,10121120212,0⎧⎪⎪≤<-≤<⎪⎪⎪=≥-≤<⎨⎪⎪≤<≥⎪⎪≥≥⎪⎩x y F x y x y x y x y 或，（3）010115()12()10.2121210XY x y F x x F y y x y <<-⎧⎧⎪⎪⎪⎪=≤<=-≤<⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩；4．设随机变量(,)X Y 的概率密度为(6)0<x <2,2<y<4(,)0k x y f x y --⎧=⎨⎩其他，求：（1）常数k ； （2）求{1,3}P X Y <<； （3）{ 1.5}P X <； （4）{4}P X Y +≤（1）24021(6)1;8k x y d y d x k --=⇒=⎰⎰（2）130213(1,3)(6);88PX Y x y d y d x <<=--=⎰⎰（3） 1.5402127( 1.5)( 1.5,24)(6);832P X P X Yx y d y d x <=<<<=--=⎰⎰（4）(4)P X Y +≤240212(6).83x x y d y d x -=--=⎰⎰概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第三章 多维随机变量及其分布（二）一、选择题：1、设随机变量X 与Y 独立，且221122(,),(,)X N Y N μσμσ ，则Z X Y =-仍服从正态分布，且有 [ D ] （A ）221212(,)Z N μμσσ++ (B) 221212(,)Z N μμσσ+- (C) 221212(,)Z N μμσσ-- (D) 221212(,)Z N μμσσ-+ 2、若(,)X Y 服从二维均匀分布，则 [ B ] （A ）随机变量,X Y 都服从均匀分布 （B ）随机变量,X Y 不一定服从均匀分布 （C ）随机变量,X Y 一定不服从均匀分布 （D ）随机变量X Y +服从均匀分布 二、填空题：1、设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为2,01,02(,)30,.xy x x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他， 则(1)P X Y +≥=6572。
第3章多维随机变量及其分布试题答案、选择（每小题 2分）1、设二维随机变量的分布律为则 P{ X Y = 0} = ( C ) (A) 0.2(B)0.5(C) 0.6(D) 0.7”c, —1 c x c 1,-1 < y c 12、设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为f(x, y)=」，则常数0, otherC =( A )1 1 (A)-(B) -(C) 2 (D)4423、设二维随机变量（X ,Y ）的分布律为设P jj = P{X =i,^ j}, i, j =0,1，则下列各式中错误的是（ D ） （A ） P 00 ：： P 01（B ） P 10 ：：：P 11 （C ） P 00 ：：P 11 （D ） P 10 ：：：P 014、设二维随机变量的分布律为则 P{X 二Y}=(A ) (A)0.3(B) 0.5(C) 0.7(D)0.8• V -Ae*e y , x > 0, y a 0 门宀*..5、设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f(x,y)，则常数A = ,0, other(D )(B) 16、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为则 P{XY =0} = (C )7、设二维随机变量）的分布律为为其联合分布函数，则 = （D ）3 310、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F （x, y ），则F （x, •：：）=（ B ） (D)2(A) (B)12(C) (D)11 (B) 12(C)1(D)4-X T e e f (x, y)= \ 0,X 0, y 0，则 P{ X 一 Y}= other（B ）1123(A)—(B)-(C)-(D)—4 23 4它们取-1，1两个值的概率分别 1 31，-，则 P{ XY —1}=4 4(A)1 16(B)花(C)(D)(A) 0(B) F X (x) (C) F Y (y) (D) 1 8、设二维随机变量（X ，丫）的概率密度为 9、设随机变量X 与Y 独立同分布,11、设随机变量 X 和Y 相互独立，且 X ~ N(3,4) , Y 〜N(2,9)，则Z = 3X Y ~ ( D ) (A)N(7,21)(B)N(7,27)(C)N(7,45)(D)N(11,45)12、设二维随机变量的联合分布函数为 ，其联合概率分布为则 F(0,1)=( B )则 k =( B )贝U P{XY =2} =( C )0^y 乞1时，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f Y (y)= ( D )(A)0.2(B)0.5(C) 0.713、设二维随机变量(X ,Y)的联合概率分布为(D) 0.8k(x y), 0 _ x _ 2,0 _ y _ 1 other(A)(B) (C) (D)(A)0.2(B) 0.3(C) 0.515、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(D) 0.6f (x, y)= ；4xy,b,0乞x 乞1,0乞y乞1 other，则当(A)2； (B)2x(C)1 2y(D) 2y(B) 2「=1(C) > - 1J = 2 (D) .9 93 3 3 3-7、设二维随机变量的分布律为18、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为20、设（X ，Y ）的概率分布如下表所示，当 X 与Y 相互独立时，p,q ）=（ C ）则有（B ） (A)(A)1 12(B)1 (C)3(D)(A) a = 0.2, b = 0.6 (B) a = 0.1, b = 0.9 (C)a = 0.4,b = 0.4(D) a = 0.6, b = 0.219、设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为1f (x, y) = < 40,0 ：： x 2,0 ：y ：： 2 则 P{0：： X ::: 1,0 :： Y ::: 1} =( A )1(A)4(B)23(C)4(D) 1P{X 1X 2 =0} =1，贝y P{X 1 =X 2}= (A )24、设两个相互独立随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N （0,1）和N （1,1），则（B ） 1 1 (A)P{ X Y - 0}(B) P{ X Y -1} 22 1 1 (C) P{X -Y _0}(D) P{X - Y _1}=221 解：由Z = X Y ~ N(1,2)，其分布密度关于1对称，故P{X Y -1}=-。
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为___ ____ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B =（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为__ 31ln 444- .7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8．随机变量(,)(0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 .9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ，()D X Y -= 37 .10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+====0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt ey x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）．A ．X 与Y 不相关B ．(,)()()X Y F x y F x F y =⋅C ．X 与Y 相互独立D ．1XY ρ=-5．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12C ． 23D ．34三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k ===-==与相互独立.(1)确定a,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布列； (3)求X-Y 的概率分布.解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒= ()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒=(2)(X,Y)的联合分布律为(3) X-Y 的概率分布为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数；(3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()43||112y y x x e dx k e e dy k k e ∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236z zz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰36(1)z z e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z z Z e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x y x X p x p x y dy e dy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩5．设随机变量X,Y 相互独立,其密度函数分别为2,01()0,X x x p x ≤≤⎧=⎨⎩其他，(5),5()0,y Y e y p y --⎧>=⎨⎩其他，求XY ρ.解：因为X,Y 相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以0XY ρ=6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：20()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰ 四、证明题.1．已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立.证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0所以E(XY)= E(X) E(Y) 即X 与Y 不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)≠P(X=1) P(Y=1) 所以X 与Y 不独立.2．设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ=====,证明22(max{,})1E X Y ≤证明：因为()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ===== 所以2222()()()1,()()()1E X D X E X E Y D Y E Y =+==+= ()(,)()()E XY Cov X Y E X E Y ρ=+=2222221max(,)[||]2X Y X Y X Y =++-因所以2222222211(max(,))[()()(||)1(||)22E X Y E X E Y E X Y E X Y =++-=+-由柯西施瓦兹不等式有222()()()E XY E X E Y ≤所以22221(max(,))1(||)12E X Y E X Y =+-≤+又因为22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ+=++=++=+ 22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ-=+-=+-=-所以22(max(,))11E X Y =≤=+ 3．设二维随机变量),Y X （的联合概率密度为：1(1),1,1(,)40,xy x y p x y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他证明X 与Y 不独立，而2X 与2Y 相互独立．证明：因为1111()(,)(1),1142X p x p x y dy xy dy x ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 1111()(,)(1),1142Y p y p x y dx xy dx y ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 所以(,)()()X Y p x y p x p y ≠ 即X 与Y 不独立． 设22,U X V Y ==则22(,)(,)(F u v P X u Y v P X Y =≤≤=≤≤≤≤所以当0,0(,)0u v F u v <<=时，；当111111,1(,)(1)14u v F u v xy dxdy --≥≥=+=⎰⎰时，；当1111,01(,)(1)u v F u v xy dxdy -><<=+=⎰时，；当11101,1(,)(1)4u v F u v xy dxdy <<>=+=⎰时，当01,01(,)(1)u v F u v xy dxdy ≤<≤<=+=时，；所以1,0101,1(,)01,011,1,10,0,0u v u v F u v u v u v u v ⎧><<⎪<<>⎪=≤<≤<≥≥⎪⎪<<⎩所以0,(,)1,01p u v u v ⎧⎪=≤<≤<其他所以10()1U p u v ==≤<10()1V p v du u ==≤<故()()(,)U V p u p v p u v =所以U 与V 独立，即2X 与2Y 相互独立．。
考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X>a，Y>b}，下列结论正确的是( )A．为对立事件．B．为互不相容事件．C．为相互独立事件．D．P{X≤a，Y≤b}>P{X＞a，Y＞b}．正确答案：B解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选(B)．知识模块：多维随机变量及其分布2．设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(Y，X)的分布函数G(x，y)为( )A．F(x，y)．B．F(y，x)．C．F(－x，－y)．D．F(－y，－x)．正确答案：B解析：G(x，y)=P{Y≤x，X≤y}：P{X≤y，Y≤x}=F(y，x)．故应选(B)．知识模块：多维随机变量及其分布3．设二维随机变量(X，Y)的分布函数为则常数A和B的值依次为( ) A．B．C．D．正确答案：C解析：F(x，y)能够作为分布函数，则需满足0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(－∞，－∞)=F(x，－∞)=F(－∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故满足此条件的只有(C)．知识模块：多维随机变量及其分布4．设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是( )A．FZ(2z)=2F(z)．B．FZ(2z)=[F(z)]2C．FZ(2z)≤[F(z)]2D．FZ(2z)≥[F(z)]2正确答案：D解析：如图3—2所示，FZ(2z)=P{Z≤2z}－P{X+Y≤2z}，X+Y≤2z对应区域为A，由于X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，从而[F(z)]2=F(z)F(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=P{X≤z，Y≤z}，X≤z，Y≤z对应区域B，显然故FZ(2z)≥[F(z)]2，因此选(D)．知识模块：多维随机变量及其分布5．设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为f1(x)和fZ(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则下列说法正确的是( )，A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度．B．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度．C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数．D．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．正确答案：D解析：由已知条件，有选项(A)不正确；例如令故选项(B)不正确；F1(+∞)+F2(+∞)=2，故选项(C)不正确，因此选(D)．知识模块：多维随机变量及其分布6．已知随机变量X和Y相互独立，其概率分布为随机变量Y的概率分布为则下列式子正确的是( )A．X=YB．P{X=Y}=0．C．D．P{X=Y}=1．正确答案：C解析：知识模块：多维随机变量及其分布解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为_______ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为_ _31ln 444- . 7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .9．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 则{1}P x y +≤= 1/4 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布4．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12 C ． 23 D ．345.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ C ）．A ．;X Y =B ．{}0;P X Y ==C ．{}12;P X Y ==D ．{} 1.P X Y ==6.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424i X i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ A ）．A ．0；B ．14； C ．12； D ．1.8.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k===-==与相互独立.(1)确定a ,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布律；解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒=()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒= (2)(X,Y)的联合分布律为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()430||112yy x x e dx k e e dy k k e∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236zzz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰ 36(1)zz e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z zZ e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x yx X p x p x y dy edy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：2()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰。
第三章 多维随机变量及其分布答案一 选择题1. 设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，F(x)为X 的分布函数，则对任意实数a ，有 【 】(A) ()0()1aF a x dx ϕ-=-⎰． (B) ()01()2aF a x dx ϕ-=-⎰． (C ) ()()F a F a -=.(D) ()2()1F a F a -=-． 【答案】应选 (B) .【详解】因()()01()2aaF a x dx x dx ϕϕ--∞--==-⎰⎰，而()()00a a x dx x dx ϕϕ-=⎰⎰，所以()01()2aF a x dx ϕ-=-⎰画图容易理解。
2. 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)()(y f x f Y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的密度)|(|y x f Y X 为 【 】 (A) )(x f X ． (B) )(y f Y ． (C ) )()(y f x f Y X . (D))()(y f x f Y X ． 【答案】应选 (A) .【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .3. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则 【 】 (A) {}01/2P X Y +≤=． (B) {}11/2P X Y +≤=． (C ) {}01/2P X Y -≤=. (D) {}11/2P X Y -≤=． 【答案】应选 (B) .【详解】由~(0,1)~(1,1)X N Y N X Y 与以及与相互独立，得X ~(1,2)Y N + ,X-~(1,2)Y N - 因为，若2Z~N(,)μσ，则必有{}12P Z μ≤=，比较四个选项，只有(B)正确。
4. 设随机变量X 和随机变量Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 【 】 (A) X 与Y 一定独立． (B) (X,Y)服从二维正态分布． (C ) X 和Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布． 【答案】应选 (B) .【详解】由于只有当(X,Y)服从二维正态分布时，X 与Y 不相关X 和Y 相互独立。
习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。
解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >， 解得，29a =。
注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。
解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-； （2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞； （3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。
3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。
解：由(,)X Y 的分布律，得 （1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=； （2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题1.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .【解题分析】首先要根据Z 的定义确定Z 的取值范围,然后求Z 取值的概率即可.解: 由于,X Y 仅取0、1两个数值，故Z 也仅取0和1两个数值，因,X Y 相互独立，故 {0}{max(,)0}{0,0}P Z P X Y P X Y ======111{0}{0},224P X P Y ====⨯=3{1}1{0}.4P Z P Z ==-==Z 的分布律为Z ０１P14342．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 则{1}P x y +≤= . 【解题分析】利用(){}()DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰，，求解.解: 如图10-5所示X ０１P1212图10-511201(1)664x xDP x y xdxy dx dxdy -+≤===⎰⎰⎰⎰． 二、选择题1.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ ）．A ．;X Y =B ．{}0;P X Y ==C ．{}12;P X Y ==D ．{} 1.P X Y ==【解题分析】乍看似乎答案是A ,理由是X 和Y 同分布,但这是错误的,因为,若X Y =,说明X 取什么值时, Y 也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算{}P X Y =即可.解: 由X 和Y 相互独立知{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={1}{1}{1}{1}P X P Y P X P Y ==-=-+==11111.22222=⨯+⨯= 所以,正确答案是C .2.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424iX i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ ）．A ．0；B ．14；C ．12； D ．1.【解题分析】本题应从所给条件{}1201P X X ==出发,找出随机变量12,X X 的联合分布.解: 设随机变量12,X X 的联合分布为 由121212{0}{0,1}{0,1}P X X P X X P X X ====-+==121212{1,0}{1,0}{0,0}P X X P X X P X X +=-=+==+==21231232221p p p p p =++++=知 111331330,p p p p ====从而有 2111311144p p p =--=, 类似地 231232111,,.444p p p ===进一步可知 22123210.2p p p =--=即 1122330.p p p ===因此有12{}0.P X X ==正确答案是A .3.(1999年数学四)假设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数（ ）．A ．是连续函数；B ．至少有两个间断点；C ．是阶梯函数；D ．恰好有一个间断点.【解题分析】从公式(){}{}{}{}min 1min z F z P X z P X Y z =≤=->，Y ，{}{}{}1,1P X z Y z P X z P Y z =->>=->> ()()()()111X Y F z F z =---出发求解即可.解: 由题设,0,()0,0.x e x X e x λλλ-⎧>=⎨≤⎩ 令12,2,X ξξ==则120,0,0,2,()()1,0,1, 2.xx x F x F x e x x ξξλ-≤<⎧⎧==⎨⎨->≥⎩⎩ 于是12min{,2}min{,}Y X ξξ==的分布函数为120,0,()1(1())(1())1,02,1, 2.x x F x F x F x e x x λξξ-≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩可见其仅有一个间断点 2.x =正确答案是D .4.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．解: 由于若随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为1()F x 与2()F y ，则max{,}Z X Y =的分布函数为12()()()z F z F x F y =，可知12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数.故选择B .注：本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解. 三、计算与证明题1.(1994年数学三)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布,{0}0.6,{1}0.4(1,2,3,4,)i i P X P X i =====求行列式1234X X X X X =的概率分布.【解题分析】X 由22⨯阶行列式表示,仍是一随机变量,且1423X X X X X =-,由于1234,,,X X X X 独立同分布, 故14X X 与23X X 也是独立同分布的,因此可先求出14X X 和23X X 的分布律,再求X 的分布律.解: 记114Y X X =,223Y X X =,则12X Y Y =-.随机变量1Y 和2Y 独立同分布:1223{1}{1}{1,1}P Y P Y P X X ====== {}{}23110.16P X P X ====.12{0}{0}10.160.84P Y P Y ====-=.随机变量12X Y Y =-有三个可能值-1,0,1.易见12{1}{0,1}0.840.160.1344,P X P Y Y =-====⨯= 12{1}{1,0}0.160.840.1344,P X P Y Y =====⨯={0}120.13440.7312.P X ==-⨯=于是12341010.13440.73120.1344X X X X X -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 2．(2003年数学三)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布律为120.30.7X⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而Y 的分布密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的分布密度()g u .【解题分析】本题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据X 的不同取值,利用全概率公式来求解.解: 设()F y 为y 分布函数,则由全概率公式及X 与Y 的独立性可知,U X Y =+的分布函数为()()()G u P U u P X Y u =≤=+≤()()()()1|12|2P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=0.3(|1)0.7(|2)P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤=0.3(1|1)0.7(2|2)P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=0.3(1)0.7(2)0.3(1)0.7(2)P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-,由此得 ()0.3(1)0.7(2).g u f u f u =-+-3.(2006年数学四) 设二维随机变量()X Y ，的概率分布律为其中a b c ，，为常数,且X 的数学期望0.2EX =-,{}000.5P Y X ≤≤=,记Z X Y =+.求(1) a b c ，，的值;(2)Z 的概率分布;(3){}P X Z =【解题分析】要求a b c ，，的值，只需要找到三个含有a b c ，，的等式即可，这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求Z 的概率分布，首先要弄清楚Z 的可能取值，由X Y ，的取值可知，Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后再求Z 取值的概率；要求{}P X Z =，只需要转化为求关于X Y ，的概率，由{}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+==，既可得出结论. 解: (1)由概率分布的性质知,0.61a b c +++=, 即 0.4a b c ++=．由 0.2EX =-,可得 0.1a c -+=-．再由{}{}{}000.1000.50.50P Y X a b P Y X a b P X ≤≤++≤≤===++≤，，得 0.3a b +=.解以上关于a b c ，，的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2,{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-=，{}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{}{}{}{}01,10,0 1,10.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+===， {}{}21,10.1P Z P X Y =====． 即Z 的概率分布律为(3) {}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+===00.10.2b ++=.4.(1987年数学一)设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为1,01,0()()0,0,y X Y x e y f x f y y -≤≤⎧>⎧==⎨⎨≤⎩⎩其它, 求2Z X Y =+的概率密度函数.【解题分析】此类问题,一般有两种解法:一种是先写出二维随机变量(,X Y )的联合概率分布密度函数,再计算2Z X Y =+的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解.解: 方法１ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以二维随机变量(,X Y )的概率分布密度函数为(,),01,0,(,)()()0,y X Y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其它. 因此,随机变量Z 的分布函数为2(){2}()()Z X Y x y zF z P X Y z f x f y dxdy +<=+<=⎰⎰2222000121200000,0,0,(1),02,(1), 2.zz z x yx z z xy x z z z dx e dy e dx z dx e dye dx z ------⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⎪==-<≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪->⎩⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以,随机变量Z 的分布密度函数为()()Z Z f z F z '==20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩ 方法２ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以,由卷积公式知,随机变量Z 的密度函数为1()()(2)(2)Z X Y Y f z f x f z x dx f z x dx +∞-∞=-=-⎰⎰=(2)201(2)00,0,,02,, 2.z z x z x z e dx z e dx z ----⎧≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰=20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩5.(1999年数学四)设二维随机变量(,X Y )在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布,试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率分布密度函数()f s .【解题分析】由题设容易得出随机变量(,X Y )的分布密度,本题相当于求随机变量,X Y 的函数S XY =的分布密度.可先求出其分布函数,再求导得分布密度.在求分布函数时,一定要注意对S 的取值范围进行讨论.解: 由于二维随机变量(,X Y )服从均匀分布,所以,它的概率分布密度函数为1,(,),2(,)0,(,).x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩若若 设(){}F s P S s =≤为S XY =的分布函数,则 当0s ≤时, ()0;F s = 当2s ≥时, () 1.F s =现在，设02,s <<如图10-6所示, 曲线xy s =与矩形G 的上边交于点(,1)s ；图10-6位于曲线xy s =上方的点满足xy s >,位于下方的点满足xy s <,于是(){}{}1{}F s P S s P XY s P XY s =≤=≤=->211111(1ln 2ln ).222s s x xy ssdxdy dx dy s >=-=-=+-⎰⎰⎰⎰ 于是,1(ln 2ln ),02()20,0 2.s s f s s s ⎧-<<⎪=⎨⎪≤≥⎩若若或6.(2001年数学一)设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为(01)p p <<,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量(,)X Y 的概率分布.【解题分析】显然，第一问求的是条件概率, 发车时有n 个乘客, 中途有m 人下车的概率,为n 重伯努利概型,可以依此求解.其次，要求二维随机变量(,)X Y 的概率分布,首先确定X Y ，的取值,然后按乘法公式求解.解: (1)设事件A ={发车时有n 个乘客},B ={中途有m 个人下车},则在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 个人下车的概率是一个条件概率,即(|)(|).P B A P Y m X n ===根据n 重伯努利概型,有()(|)1n mm mn P B A C p p -=-，其中0,0,1,2,m n n ≤≤=.(2)由于(,)()(|)(),P X n Y m P AB P B A P A ====而上车人数服从()P λ,因此 (),!nP A e n λλ-=于是(,)X Y 的概率分布律为()()(,)(1),!nmmn mnP X n Y m P Y m X n P X n C p p e n λλ--=======-其中0,0,1,2,m n n ≤≤=.7.(2001年数学三)设随机变量X 和Y 的联合分布在正方形{(,):13,13}G x y x y =≤≤≤≤(如图10-7)上服从均匀分布,试求随机变量||U X Y =-的概率分布密度函数().p u图10-7【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布,可从分布函数出发求解.但是,这里要注意的是随机变量函数带有绝对值.解: 由条件知X 和Y 联合密度为 13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩若1其它.以()()()F u P U u u =≤-∞<<∞表示随机变量U 的分布函数,显然,当0u ≤时, ()0F u =；当2u ≥时，()1F u =.设02,u <<则||{||}1()(,)4x y u x y u GF u f x y dxdy dxdy -≤-≤==⎰⎰⎰⎰ 2211[4(2)]1(2)44u u =--=--, 于是,随机变量U 的分布密度为()1(2)2,()20,U u <u <f u F u ⎧-⎪'==⎨⎪⎩若0其它.8.(2002年数学三、四)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（()E X ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数().F y【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布.首先要找到Y 与X 的关系,然后分情况进行讨论.解: 设X 的分布参数为λ,由于1()5,E X λ==可见15λ=.显然,{}min 2Y X =，.对于0,()0;y F y <=对于2,() 1.y F y ≥=设02,y ≤<有(){}{min{,2}}F y P Y y P X y =≤=≤=5{}1y P X y e-≤=- 于是，Y 的分布函数为50,0,()12,1, 2.y y F y ey y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩若若0若 求随机变量函数的分布,是概率论中考试的重点,对于求连续型随机变量函数的分布密度,一般从求分布函数出发,结合图形对自变量的取值范围进行讨论,求出分布函数,然后求导即得分布密度.。
第三章多维随机变量及其散布一、填空题1.〔1994年纪学一〕设互相独破的两个随机变量存在统一散布律，且的散布律为那么随机变量的散布律为.【解题剖析】起首要依照的界说断定的取值范畴,而后求取值的概率即可.解: 因为仅取0、1两个数值，故也仅取0跟1两个数值，因互相独破，故的散布律为2．〔2003年纪学一〕设二维随机变量的概率密度为那么=.【解题剖析】应用求解.解:如图10-5所示图10-5．二、选择题1.(1990年纪学三)设随机变量跟互相独破,其概率散布律为那么以下式子准确的选项是〔〕．．．．．【解题剖析】乍看大概谜底是,来由是跟同散布,但这是过错的,因为,假定,阐明取什么值时,也必定取一样的值,而这是不能够的,因而只能从剩下的三个谜底当选一个,这时只要直截了当盘算即可.解:由跟互相独破知因而,准确谜底是.2.(1999年纪学三)设随机变量,且满意那么即是〔〕．．0；．；．；．1.【解题剖析】此题应从所给前提动身,寻出随机变量的联合散布.解: 设随机变量的联合散布为由知从而有,相似地进一步可知即因而有准确谜底是.3.(1999年纪学四)假定随机变量听从指数散布,那么随机变量的散布函数〔〕．．是延续函数；．至多有两个延续点；．是门路函数；．恰恰有一个延续点.【解题剖析】从公式动身求解即可.解: 由题设令那么因而的散布函数为可见其仅有一个延续点准确谜底是.4.(2002年纪学四)设跟是恣意两个互相独破的延续型随机变量,它们的概率密度分不为跟,散布函数分不为跟,那么．必为某一随机变量的散布密度；．必为某一随机变量的散布函数；．必为某一随机变量的散布函数；.必为某一随机变量的散布密度．解: 因为假定随机变量与互相独破，它们的散布函数分不为与，那么的散布函数为，可知必为某一随机变量的散布函数.应选择.注：此题与2002年高数一中的选择题类同.此题也能够用赋值法求解.三、盘算与证实题1.(1994年纪学三)假定随机变量互相独破,且同散布,求行列式的概率散布.【解题剖析】由阶行列式表现,还是一随机变量,且,因为独破同散布,故与也是独破同散布的,因而可先求出跟的散布律,再求的散布律.解: 记,,那么.随机变量跟独破同散布:..随机变量有三个能够值-1,0,1.易见因而．2．(2003年纪学三)设随机变量与独破,此中的概率散布律为,而的散布密度为,求随机变量的散布密度.【解题剖析】此题是求随机变量函数的散布,这里的两随机变量一个是团圆型,一个是延续型,咱们依然从求散布函数动身,依照的差别取值,应用全概率公式来求解.解: 设为散布函数,那么由全概率公式及与的独破性可知,的散布函数为,由此得3.(2006年纪学四)设二维随机变量的概率散布律为此中为常数,且的数学希冀,,记.求(1)的值;(2)的概率散布;(3)【解题剖析】请求的值，只要求寻到三个含有的等式即可，这能够由散布函数的性子及题设中所给的两个前提失掉；求的概率散布，起首要弄清晰的能够取值，由的取值可知，的能够取值为-2，-1，0，1，2，而后再求取值的概率；请求，只要求转化为求对于的概率，由，既可得出论断.解: (1)由概率散布的性子知,,即．由,可得．再由，得.解以上对于的三个方程得.(2)的能够取值为-2，-1，0，1，2,，，，．即的概率散布律为(3)=.4.(1987年纪学一)设随机变量互相独破,其概率密度函数分不为求的概率密度函数.【解题剖析】此类咨询题,普通有两种解法:一种是先写出二维随机变量()的联合概率散布密度函数,再盘算的概率散布密度函数,另一种是直截了当应用两独破随机变量跟的散布密度盘算公式(即卷积公式)求解.解: 办法１因为随机变量互相独破,因而二维随机变量()的概率散布密度函数为因而,随机变量的散布函数为因而,随机变量的散布密度函数为办法２因为随机变量互相独破,因而,由卷积公式知,随机变量的密度函数为==5.(1999年纪学四)设二维随机变量()在矩形上听从平均散布,试求边长为跟的矩形面积的概率散布密度函数.【解题剖析】由题设轻易得出随机变量()的散布密度,此题相称于求随机变量的函数的散布密度.可先求出其散布函数,再求导得散布密度.在求散布函数时,必定要留意对的取值范畴进展探讨.解:因为二维随机变量()听从平均散布,因而,它的概率散布密度函数为设为的散布函数,那么事先,事先,如今，设如图10-6所示,曲线与矩形的上边交于点；图10-6位于曲线上方的点满意,位于下方的点满意,因而因而,6.(2001年纪学一)设某班车终点站上车人数听从参数为的泊松散布,每位搭客半途下车的概率为,且半途下车与否互相独破.以表现在半途下车的人数,求：〔1〕在发车时有个搭客的前提下，半途有人下车的概率；〔2〕二维随机变量的概率散布.【解题剖析】显然，第一咨询求的是前提概率,发车时有个搭客,半途有人下车的概率,为重伯努利概型,能够依此求解.其次，请求二维随机变量的概率散布,起首断定的取值,而后按乘法公式求解.解: (1)设事情{发车时有个搭客},{半途有团体下车},那么在发车时有个搭客的前提下,半途有团体下车的概率是一个前提概率,即依照重伯努利概型,有，此中.(2)因为而上车人数听从,因而因而的概率散布律为此中.7.(2001年纪学三)设随机变量跟的联合散布在正方形(如图10-7)上听从平均散布,试求随机变量的概率散布密度函数图10-7【解题剖析】此题要紧考察随机变量函数的散布,可从散布函数动身求解.然而,这里要留意的是随机变量函数带有相对值.解: 由前提知跟联合密度为以表现随机变量的散布函数,显然,事先,；事先，.设那么,因而,随机变量的散布密度为8.(2002年纪学三、四)假定一装备开机后无毛病任务的时刻听从指数散布，平均无毛病任务的时刻〔〕为5小时，装备准时开机，呈现毛病时主动关机，而在无毛病的状况下任务2小时便关机.试求该装备每次开机无毛病任务的时刻的散布函数【解题剖析】此题要紧考察随机变量函数的散布.起首要寻到与的关联,而后分状况进展探讨.解: 设的散布参数为,因为可见.显然,.对于对于设有=因而，的散布函数为求随机变量函数的散布,是概率论中测验的重点,对于求延续型随机变量函数的散布密度,普通从求散布函数动身,联合图形对自变量的取值范畴进展探讨,求出散布函数,而后求导即得散布密度.。
考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X与Y都服从正态分布，则( )A．X与Y一定独立B．(X，Y)服从二维正态分布C．X与Y未必独立D．X+Y服从一维正态分布正确答案：C解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系．(X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+bY服从一维正态分布，其中a，b不同时为0．即使(X，Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从正态分布，因此选项B和D都不正确．知识模块：多维随机变量及其分布2．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，Z服从N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则( )A．a＞bB．a＜bC．a=bD．a，b大小不能确定正确答案：A解析：考查独立条件下服从正态分布的随机变量线性运算的性质和利用正态分布计算概率的方法，主要是将随机变量标准化，利用标准正态分布计算或比较概率．由于X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，且X与Y相互独立，从而X-Y 服从N(-1，4)，同理Y-Z服从N(-1，9)．从而a＞b．知识模块：多维随机变量及其分布3．设随机变量X和Y相互独立，且都服从指数分布E(λ)，则下列结论正确的是( )A．X+Y服从E(2λ)B．X-Y服从E(2λ)C．min(X，Y)服从E(2λ)D．max(X，Y)服从E(2λ)正确答案：C解析：由于X和Y相互独立，且都服从E(λ)，其分布函数为的分布函数Fmin(x)=1-[1-F(x)]2=1-e-2λx，x＞0．即min(X，Y)服从E(2λ)．知识模块：多维随机变量及其分布4．设随机变量X与Y相互独立，且X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=P{Y=2}=1/3，记FZ(z)=Y/X的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：本题考查分布函数的求法，可以根据定义求解．由于Y为离散型随机变量，X为连续型随机变量，求分布函数时，利用全概率公式计算概率．因为X在区间(0，1)上服从均匀分布，所以X的分布函数为于是显然，z=0是FZ(z)的间断点，因此选B．知识模块：多维随机变量及其分布5．设X，Y为连续型随机变量，且P{XY≤0}=3/5，P{max(X，Y)≥0}=4/5，则P{min(X，Y)≤0}=( )A．1/5B．2/5C．3/5D．4/5正确答案：D解析：考查最大值最小值分布的概率的计算，可以从对立事件着手．事件{max(X，Y)≥0}的对立事件为{X＜0，Y＜0}，由P{max(X，Y)≥0}=4/5，得P{X ＜0，Y＜0}=1/5．知识模块：多维随机变量及其分布6．设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y ＞x时在(x，y)处的值为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：多维随机变量及其分布解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
