第3节2 有效数字及其与误差的关系

有效数字与绝对误差和相对误差的关系示例文章篇一：《有效数字与绝对误差和相对误差的关系》嘿，你知道吗？在数学的奇妙世界里，有一些特别有趣的东西，就像有效数字、绝对误差和相对误差。

这几个家伙呀，就像一群小伙伴，有着千丝万缕的关系呢。

我先来说说有效数字吧。

有效数字就像是一个数的身份证号码里特别重要的那几位数字。

比如说3.14，这三个数字都是有效的，它们能准确地告诉我们这个数大概是多少。

有效数字越多，这个数就被表示得越精确。

就好像我们描述一个人的长相，如果只是说“有眼睛有鼻子”，这就很模糊，但是如果说“大眼睛、高鼻梁、小嘴巴”，那就能让人更清楚地想象出这个人的样子啦。

有效数字也是这样，它让我们能更清楚地知道这个数的大小情况。

那绝对误差呢？绝对误差就像是我们猜一个东西的重量和它实际重量之间的差距。

比如说，我猜一个苹果的重量是100克，可实际上这个苹果是105克，那这个5克就是绝对误差啦。

绝对误差告诉我们我们的猜测或者测量和真实值差了多少。

这就好比我们要去一个地方，我们以为距离是100米，结果实际是105米，那多出来的5米就是我们对距离估计的绝对误差。

现在我们再来说说相对误差。

相对误差就有点像把绝对误差放在一个“放大镜”下面看。

怎么说呢？还是用刚才苹果的例子。

苹果实际重105克，我们猜100克，绝对误差是5克。

那相对误差就是这个绝对误差5克除以苹果的实际重量105克，得到的结果就是相对误差啦。

相对误差就像是在告诉我们，我们的错误在整个真实值里面占了多大的比例。

这就好比我们考试，100分的卷子，我们答错了5分，那这5分占100分的比例就是相对的错误程度啦。

我给你讲个故事吧。

我和我的小伙伴小明、小红一起做测量小实验。

我们要测量一个小盒子的长度。

我测量出来是10.5厘米，小明测量出来是10.3厘米，小红测量出来是10.6厘米。

那这个小盒子的真实长度呢，老师告诉我们是10.4厘米。

那我测量的绝对误差就是10.5 - 10.4 = 0.1厘米，小明测量的绝对误差就是10.4 - 10.3 = 0.1厘米，小红测量的绝对误差就是10.6 - 10.4 = 0.2厘米。

第一章实验基础知识——误差和有效数字在关于最新必修加选修教材的教学大纲中，对误差和有效数宁作出了明确的规定。

1．关于误差认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差，知道用多次测量求平均值的方法减小偶然误差，能在某些实验中分析误差的主要来源，不要求计算误差。

2．关于有效数字了解有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果。

间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2—3位有效数字表示。

一、误差做物理实验，离不开对物理量的测量，而测量值和真实值总有差异。

这种差异就叫做误差。

从来源看，误差分成系统误差和偶然误差两种，从数值看，误差又分为绝对误差和相对误差两种。

1．系统误差和偶然误差①系统误差：系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。

其特点是，在多次重做同—实验时，其结果总是同样地偏大或偏小，不会出现有几次偏大而另外几次偏小的情况。

要减小系统误差，必须校准仪器、改进实验方法、设计原理更完善的实验。

②偶然误差：是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。

偶然误差的特点是，多次重做同—实验时，结果有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。

减小偶然误差的一般方法是多次测量，取其平均值。

[例题1] 指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。

B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，豪米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大[)．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差[解析] A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。

一、误差和有效数字1.误差测量值与真实值的差异叫做误差。

误差可分为系统误差和偶然误差两种。

⑴系统误差的特点是在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小。

⑵偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。

减小偶然误差的方法，可以多进行几次测量，求出几次测量的数值的平均值。

这个平均值比某一次测得的数值更接近于真实值。

2.有效数字带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。

⑴有效数字是指近似数字而言。

⑵只能带有一位不可靠数字，不是位数越多越好。

凡是用测量仪器直接测量的结果，读数一般要求在读出仪器最小刻度所在位的数值（可靠数字）后，再向下估读一位（不可靠数字），这里不受有效数字位数的限制。

间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2~3位有效数字表示。

二、基本测量仪器及读数高考要求会正确使用的仪器主要有：刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器、天平、秒表、打点计时器、弹簧秤、温度表、电流表、电压表、多用电表、滑动变阻器、电阻箱等等。

1.刻度尺、秒表、弹簧秤、温度表、电流表、电压表的读数使用以上仪器时，凡是最小刻度是10分度的，要求读到最小刻度后再往下估读一位（估读的这位是不可靠数字，但是是有效数字的不可缺少的组成部分）。

凡是最小刻度不是10分度的，只要求读到最小刻度所在的这一位，不再往下估读。

例如⑴读出下图中被测物体的长度。

(6.50cm)⑵下图用3V量程时电压表读数为多少？用15V量程时电压表度数又为多少？1.14V; 5.7V1 23V5 10150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1⑶右图中秒表的示数是多少分多少秒？3分48.75秒凡仪器的最小刻度是10分度的，在读到最小刻度后还要再往下估读一位。

⑴6.50cm 。

⑵1.14V 。

15V 量程时最小刻度为0.5V ，只读到0.1V 这一位，应为5.7V 。

⑶秒表的读数分两部分：小圈内表示分，每小格表示0.5分钟；大圈内表示秒，最小刻度为0.1秒。

误差理论和有效数字运算规则
错误差理论和有效数字运算是现代计算机中重要的研究学科，它们可以改善运
算结果的精度，提升计算机程序运行效果，发挥计算机的最高性能。

错误差理论是将数值分析结果估计为精确值与实际值之间某种限定偏差之间的
一般理论。

它不仅考虑极限，还考虑了按一定步长穿越某数量计算步骤时所造成的误差。

该理论同时也对加减乘除等算术运算的误差现象有所描述。

有效数字运算规则是讨论有条件地删除某些精度量的规则。

例如，给定一个精
度为T的运算结果，可以有条件的删除最后T个数字，而不影响结果的有效性，从而减少计算机存储空间，降低计算量。

这使得数学计算运算被有效地优化。

错误差理论和有效数字运算规则在计算机技术中极其重要，它们在计算机程序
中使用得越多，才能发挥计算机的最大性能。

此外，在传统的数值分析和统计学中，他们也有着重要的应用，有助于准确地描述不同数据类型之间的关系，更好地透视出普遍规律。

总而言之，错误差理论和有效数字运算规则在计算机技术中发挥着重要作用，
有效地改善运算结果精度，提高程序运行效率，有助于在数值分析和统计学中更好地揭示普遍规律。

有效数字和绝对误差限的关系
有效数字及其绝对误差限在任何精确计算当中都扮演着至关重要的角色。

有效
数字是指在表示测量技术中，将不可靠值和可靠值分离的基本概念。

同时，绝对误差限也是非常重要的计算概念，它指的是在实现任务时允许误差的最大限度。

在可靠性方面，有效数字是测量精度的一个重要指标。

它是一个数值，根据规定，只有在误差小于其绝对误差限的情况下反映的测量精度才有用。

互联网的发展主要取决于衡量精度的有效数字。

在信息传输、处理和存储当中，有效数字必须要保证其精度和准确性。

通常来说，绝对误差限是根据实际应用所需的有效位数来进行取舍的，而有效
位数取决于精度的需求等因素，绝对误差限的确定要依赖与目的的不同而有所变化，常用的方法是将有效位数乘以一个定量的参数，从而确定有效数字的绝对误差限。

在互联网中，有效数字和绝对误差的关系有显著影响，高精度的有效数字将实
现高精度的计算与传输。

由大量的有效数字计算构成的互联网信息传输是提供安全且可靠的数据传输和储存服务的必要条件，同时，低误差绝对偏差也是确定该系统安全稳定性和可靠性的重要因素。

结论：
有效数字和绝对误差是衡量计算精度的两个重要概念，它们对于互联网的正常运行也具有显著重要性。

在互联网中，使用的有效数字保证了其精确的计算和传输，而绝对误差限则确保了该计算系统安全可靠的運行。

数据的误差与有效数字在科学研究、实验、工程设计和生产过程中，数据的准确性是至关重要的。

然而，由于各种因素的干扰，我们很难获得完全准确的测量结果。

因此，了解数据的误差以及有效数字的概念对于正确分析和解释数据至关重要。

一、误差的概念和分类误差是指测量结果和实际值之间的差距。

它可以由多种因素引起，包括仪器精度、操作技巧、环境条件等。

根据误差的来源和性质，可以将误差分为系统误差和随机误差。

1. 系统误差系统误差是由于测量仪器的固有缺陷或操作方法的不准确性而引起的。

它具有固定的方向和大小，使得测量结果偏离了实际值。

系统误差可以通过校正仪器或改进操作方法来减小。

2. 随机误差随机误差是由于各种无法预测的因素引起的。

它的出现是由于实验过程中的不确定性，使得多次测量结果有一定的差异。

随机误差可以通过多次重复测量并取平均值的方法来减小。

二、有效数字的概念和表示方法有效数字是指测量结果中具有实际意义和可靠性的数字。

它可以帮助我们更好地了解数据的精度和准确性。

根据有效数字的规则，我们可以将测量结果进行截断或四舍五入来表示。

1. 规则一：非零数字是有效数字在测量结果中，所有非零数字都是有效数字。

例如，测量结果为12.345，其中的1、2、3、4、5都是有效数字。

2. 规则二：零位于非零数字之间时是有效数字当零位于非零数字之间时，它也是有效数字。

例如，测量结果为1.2034，其中的0也是有效数字。

3. 规则三：首位零不是有效数字当测量结果的首位出现零时，它不是有效数字。

例如，测量结果为0.0456，其中的首位零不是有效数字。

4. 规则四：末尾零位于小数点之后时是有效数字当测量结果的末尾有零，并且小数点在末尾零的右侧时，末尾的零是有效数字。

例如，测量结果为450.0，其中的末尾零是有效数字。

三、误差的表示和有效数字的应用在数据分析和科学计算中，正确地表示误差和应用有效数字是非常重要的。

以下是一些常见的方法和技巧：1. 误差范围表示对于实验测量结果，可以用一个误差范围来表示。

一、有效数字=可靠数字+末尾1~2位的可疑数字可疑数字为估读：1.可疑数字后的数字无意义不能出现2.估读数为0，也不能舍去3.可疑数字的位置由使用该种仪器测量时的绝对误差确定。

4.可靠数字在仪器的刻度上获得，可疑数字在仪器的刻度之间估计读书二、有效位数1.中间和末尾的0算有效数位（末尾不能随便加0）2.单位换算有效数位不能改变3.数据过大或过小时常用科学计数法4.10的幂次数均不算有效数位5.数显仪器所显示的数字，全部都是有效数字6.有效数位与测量工具的精度关系：mm刻度有效位小数点后两位，游标卡尺小数点后3位7.读数1）读至仪器误差所在位置（估读一位，为0也必记）2）连续可读，估读一位。

不连续可读，止于最小刻度位3）数字仪器读全部三、有效数字的运算1．加减法：结果的可疑数位置与参与运算变量中可疑数位最高的数保持一致2．乘除法：结果的有效数位与参与运算变量中的有效数位最少的量相同3．乘方与开方：一般与其底的有效数位相同4．混合运算每一级都要按规则取。

有效数字的修约：四舍六入五凑偶：等于5时，拟保留的最后一位是奇数时，入。

偶数时，舍去。

（较少用。

）四、测量结果的不确定度不确定度：测量得可能误差范围表明了测量结果（近真值）的可疑程度A类：统计方法估算就算N吃重复测量得平均值（近真值）贝塞尔公式计算不确定度测量结果的表达：近真值、不确定度、单位三要素却一不可。

规定Uc只能取1位有效数字（四舍五入）X一把与Uc保持单位一致、数量级一致近真值和不确定度一致（末尾对齐）。

有效数字及误差分析一、有效数字在进行实验时，仪表指针往往停留在两条刻度线之间，这时就需要凭目力和经验来估计读数，估计出来的最后一位数字称为“欠准数字”。

实验数据或实验结果处理用几位数字来表示，是一件很重要的事情，在超过有效位数的数字上花费大量时间是没有必要的。

另外，计算结果中也并非保留的位数愈多准确度就愈高，因为小数点的位置与所用单位的大小有关，准确度的高低取决于实际测量的准确度。

例如：用100mA的电流表测量电流，如果电流表的指针停留在50mA和51mA之间，读数为50.4mA，则最末一位数字“4”是估计读出的，它可能被读为50.3mA，也可能被读为50.5mA，因此该读数的最后一位“4”被称为“欠准数字”，那么它的有效数字应该是三位。

实验时一般可估计到最小刻度的十分位，也就是说实验数据应保留一位欠准数字。

另外，50.4mA与0.0504A的准确度是完全相同的。

二、有效数字的正确表示(1)记录测量结果时，除最后一位数字外，前面的各位数字都必须是准确的。

(2)关于数字“0”要特别注意，它只有在数字之间和数字末尾才算作有效数字。

例如，50.4和0.0504都是三位有效数字。

(3)对于较大或较小的数字，必须用10的幂次前面的数字代表有效数字。

例如15000Ω这种写法，后面三个“0”无法知道是否为有效数字，为了明确表示有效数字的位数起见，写成1.5×l04Ω表示有二位有效数字；1.50×l04Ω就表示有三位有效数字；1.500×l04Ω就表示有四位有效数字。

同理，50.4mA应记为0.0 504A或5.04×l04 A,它表示有三位有效数字。

(4)表示常数的数字可以认为它的有效数字的位数为无限制。

(5)表示误差时，一般情况下只取一位有效数字，最多取二位有效数字。

例如，±2%、±2.5%。

三、有效数字的舍入规则为了保证各数据有相同的有效数字位数，表示测量结果时对多余的位数需要舍入。

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