误差和有效数字

误差与有效数字一、误差：1．系统误差产生的原因及特点(1)来源：一是实验原理不够完善；二是实验仪器不够精确；三是实验方法粗略．例如，在验证力的平行四边形定则实验中，弹簧测力计的零点未校准；在验证牛顿第二定律的实验中，用砂和砂桶的重力代替对小车的拉力等．(2)基本特点：实验结果与真实值的偏差总是偏大或偏小．(3)减小方法：改善实验原理；提高实验仪器的测量精确度；设计更精巧的实验方法．2．偶然误差产生的原因及特点(1)来源：偶然误差是由于各种偶然因素对实验者和实验仪器的影响而产生的．例如，用刻度尺多次测量长度时估读值的差异；电源电压的波动引起的测量值微小变化．(2)基本特点：多次重复同一测量时，偶然误差有时偏大，有时偏小，且偏大和偏小的机会比较接近．(3)减小方法：多次测量取平均值可以减小偶然误差．除上述两类误差外，还有因工作疏忽而引起的过失误差。

如试剂用错，度读错，砝码认错，或者计算错误，均可引起很大的误差，这些都应力求避免。

3．绝对误差和相对误差从分析数据看，误差分为绝对误差和相对误差．绝对误差：绝对误差是测量值与真实值之差，即绝对误差=|测量值-真实值|．它反映了测量值偏离真实值的大小．相对误差：相对误差等于绝对误差与真实值之比，常用百分数表示．它反映了实验结果的精确程度．对于两个实验值的评价，必须考虑相对误差，绝对误差大者，其相对误差不一定大．【例1】指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。

B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，毫米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大D．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差【解析】A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。

一、误差和有效数字1.误差测量值与真实值的差异叫做误差。

误差可分为系统误差和偶然误差两种。

⑴系统误差的特点是在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小。

⑵偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。

减小偶然误差的方法，可以多进行几次测量，求出几次测量的数值的平均值。

这个平均值比某一次测得的数值更接近于真实值。

2.有效数字带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。

⑴有效数字是指近似数字而言。

⑵只能带有一位不可靠数字，不是位数越多越好。

凡是用测量仪器直接测量的结果，读数一般要求在读出仪器最小刻度所在位的数值（可靠数字）后，再向下估读一位（不可靠数字），这里不受有效数字位数的限制。

间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2~3位有效数字表示。

二、基本测量仪器及读数高考要求会正确使用的仪器主要有：刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器、天平、秒表、打点计时器、弹簧秤、温度表、电流表、电压表、多用电表、滑动变阻器、电阻箱等等。

1.刻度尺、秒表、弹簧秤、温度表、电流表、电压表的读数使用以上仪器时，凡是最小刻度是10分度的，要求读到最小刻度后再往下估读一位（估读的这位是不可靠数字，但是是有效数字的不可缺少的组成部分）。

凡是最小刻度不是10分度的，只要求读到最小刻度所在的这一位，不再往下估读。

例如⑴读出下图中被测物体的长度。

(6.50cm)⑵下图用3V量程时电压表读数为多少？用15V量程时电压表度数又为多少？1.14V; 5.7V1 23V5 10150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1⑶右图中秒表的示数是多少分多少秒？3分48.75秒凡仪器的最小刻度是10分度的，在读到最小刻度后还要再往下估读一位。

⑴6.50cm 。

⑵1.14V 。

15V 量程时最小刻度为0.5V ，只读到0.1V 这一位，应为5.7V 。

⑶秒表的读数分两部分：小圈内表示分，每小格表示0.5分钟；大圈内表示秒，最小刻度为0.1秒。

误差和有效数字
1.误差：测量值与真实值的差异叫做误差。

误差可分为系统误差和偶然误差两种。

*系统误差：是由于仪器本身不精密、试验方法粗略或试验原理不完善而产生的。

如仪器调零不准。

系统误差的特点是在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小，不会出现几次偏大另外几次偏小的情况。

系统误差不能通过多次测量取平均值的方法来减小。

只能通过校准测量器材、改进试验方法、完善试验原理等方法来达到减小系统误差的目的。

*偶然误差：是由各种偶然因素对试验者及仪器、被测物理量的影响而产生的，偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同它遵从一定的统计规律。

减小偶然误差的方法，可以多进行几次测量，求出几次测量的数值的平均值。

这个平均值比某一次测得的数值更接近于真实值。

2.有效数字：带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。

高中物理：误差和有效数字
1．误差
(1)定义：在测量中，测出的数值(测量值)与真实值之间的差异叫作误差．
(2)分类：系统误差和偶然误差．
(3)系统误差
①产生：仪器本身不精确、实验方法粗略或实验原理不完善产生的．
②系统误差的特点：多次重复测量时，测量值总是大于(或小于)真实值．
③减小系统误差的方法：校准测量仪器(或使用更精密测量仪器)，改进实验方法，完善实验原理等．
(4)偶然误差
①产生：由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的．
②特点：测量值与真实值相比有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的概率相同．
③减小方法：多次重复测量求平均值．
(5)误差与错误的区别
误差不是错误．一般情况下误差不可以避免，只能想办法减小．而错误是由于操作不当引起的，在实验过程中可以避免．
2．有效数字
(1)可靠数字：通过直接读数获得的准确数字．
(2)存疑数字：通过估读得到的那部分数字．
(3)有效数字：测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字．
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相对误差限和有效数字的关系
当测量结果的相对误差限较小时，说明测量结果与真实值的差距较小，因此有效数字也就较多。

相反，当相对误差限较大时，则说明测量结果与真实值的差距较大，有效数字也就较少。

例如，如果某测量结果的相对误差限为1%，那么说明测量值可能偏离真实值不超过1%。

如果这个测量结果有3个有效数字，那么就可以认为这个测量结果与真实值的差距不会超过0.01×1000=10。

因此，在进行测量和数据处理时，需要考虑相对误差限和有效数字的关系，以确保测量结果的准确性和可靠性。

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误差和有效数字一、误差的概念测量值与真实值的差异，叫做误差。

造成误差的原因都有哪些？（学生讨论后回答，并引导学生进行归纳）归纳起来有两个方面：1．仪器本身的缺陷、实验原理或方法不完善。

如：米尺的刻度不准，天平两臂不严格等长，电表刻度、零点不准等。

这种误差有什么特点？（总是偏大或偏小）怎样才能减小这类误差？（校准仪器、完善原理）2．实验者操作和读数不准确。

如：按停表的时机把握不准，读数时视线对不准而导致读数有偏差，伏安法测电阻时电表内阻的影响等。

这种误差有什么特点？（有时偏大有时偏小）怎样才能减小这类误差？（多次测量取平均值）二、偶然误差和系统误差偶然误差：由于一些偶然因素所造成的误差。

系统误差：由于仪器本身的缺陷、实验原理或方法不完善所造成的误差。

三、误差大小的表示1．绝对误差：测量值与真实值的差值，叫绝对误差。

例1 用同一把刻度尺分别测一本书的厚度和长度，从PPT（见课件）所给出的图中可读出其读数分别为多少？其读数引起的绝对误差各多大？它们的测量结果的准确度谁大？是否绝对误差小的准确度一定高？（引导学生从单位长度的偏差支考虑）——引入相对误差2．相对误差：绝对误差与测量值的比值，叫做相对误差。

相对误差常常用百分数表示。

例2 上例中，测量长度和厚度的相对误差分别为多大？由此可知，当用同一工具测量时，被测数值越大，则其读数的相对误差就越小，结果的准确程度就越高，所以实验中我们应考虑的是怎么样去减小相对误差。

思考：用刻度尺测量一根金属丝的直径，为尽可能减小误差，可怎样进行测量？四、有效数字从上面的读数中，可以发现实验时读取的数据的最后一位是估计出来的，它是一位不可靠的近似数。

这种带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。

出示一刻度尺，请学生读出其有效数字：2．02cm ，3．27cm ，3．90cm ，5．00cm问：它们各有几位有效数字？若将其化为以米为单位，则应如何表示？若将其化为以微米为单位，则又应如何表示？为什么？指出：由以上分析可知，最末一位非0数字后面的0是有意义的，不能随意舍去或添加。

1.有效数字的位数：例：0.092 3、0.092 30、2.014 0有效数字的位数依次为3位、4位和5位．2.系统误差：一是实验原理不够完善；二是实验仪器不够精确；三是实验方法粗略．例如，在验证力的平行四边形定则实验中，弹簧测力计的零点未校准；在验证牛顿第二定律的实验中，用砂和砂桶的重力代替对小车的拉力等．3.偶然误差是由于各种偶然因素对实验者和实验仪器的影响而产生的．例如，用刻度尺多次测量长度时估读值的差异；电源电压的波动引起的测量值微小变化．4.绝对误差：绝对误差是测量值与真实值之差，即绝对误差=|测量值-真实值|．它反映了测量值偏离真实值的大小．5.相对误差：相对误差等于绝对误差与真实值之比，常用百分数表示．它反映了实验结果的精确程度．绝对误差大者，其相对误差不一定大．6.不需要估读的仪器(1)游标卡尺：由于游标卡尺是相差读数，游标尺上每一小格与主尺上每一小格的差值即为精确度，所以游标卡尺不需要估读．(2)机械秒表：因为机械秒表采用齿轮转动，指针不会停留在两小格之间，所以不能估读出比0.1s更短的时间，即机械秒表不需要估读．(3)欧姆表：由于欧姆表的刻度不均匀，只作为粗测电阻用，所以欧姆表不需要估读．(4)电阻箱：能直接读出接入电阻大小的变阻器，但它不能连续变化，不能读出比最小分度小的数值，所以电阻箱不需要估读．7.需要估读的仪器在常用的测量仪器中，刻度尺、螺旋测微器、电流表、电压表、天平、弹簧秤等读数时都需要估读．估读的一般原则：(1)最小刻度是1(包括0.1、0.01)的仪器要估读到最小刻度的下一位，即采用1/10估读，如刻度尺、螺旋测微器、安培表0~3A挡、电压表0~3V挡等．(2)最小刻度是2(包括0.2、0.02)的仪器，误差出现在本位上，采用半刻度(1/2刻度)估读，读数时靠近某一刻度读此刻度值，靠近刻度中间读一半，即所谓的指针“靠边读边，靠中间读一半”，如电流表量程0.6A，最小刻度为0.02A，误差出现在0.01A位，不能读到下一位．(3)最小刻度是5(包括0.5、0.05)的仪器，误差出现在本位上，采用1/5估读，如电压表0~15V挡，最小刻度是0.5V，误差出现在0.1V位，不能读到下一位．【例】读出图中电流表的示数【解析】甲图中电流表量程为0.6A，最小分度为0.02A，读数应保留到安培的百分位上即安培为单位时小数点后第2位。

有效数字及误差分析一、有效数字在进行实验时，仪表指针往往停留在两条刻度线之间，这时就需要凭目力和经验来估计读数，估计出来的最后一位数字称为“欠准数字”。

实验数据或实验结果处理用几位数字来表示，是一件很重要的事情，在超过有效位数的数字上花费大量时间是没有必要的。

另外，计算结果中也并非保留的位数愈多准确度就愈高，因为小数点的位置与所用单位的大小有关，准确度的高低取决于实际测量的准确度。

例如：用100mA的电流表测量电流，如果电流表的指针停留在50mA和51mA之间，读数为50.4mA，则最末一位数字“4”是估计读出的，它可能被读为50.3mA，也可能被读为50.5mA，因此该读数的最后一位“4”被称为“欠准数字”，那么它的有效数字应该是三位。

实验时一般可估计到最小刻度的十分位，也就是说实验数据应保留一位欠准数字。

另外，50.4mA与0.0504A的准确度是完全相同的。

二、有效数字的正确表示(1)记录测量结果时，除最后一位数字外，前面的各位数字都必须是准确的。

(2)关于数字“0”要特别注意，它只有在数字之间和数字末尾才算作有效数字。

例如，50.4和0.0504都是三位有效数字。

(3)对于较大或较小的数字，必须用10的幂次前面的数字代表有效数字。

例如15000Ω这种写法，后面三个“0”无法知道是否为有效数字，为了明确表示有效数字的位数起见，写成1.5×l04Ω表示有二位有效数字；1.50×l04Ω就表示有三位有效数字；1.500×l04Ω就表示有四位有效数字。

同理，50.4mA应记为0.0 504A或5.04×l04 A,它表示有三位有效数字。

(4)表示常数的数字可以认为它的有效数字的位数为无限制。

(5)表示误差时，一般情况下只取一位有效数字，最多取二位有效数字。

例如，±2%、±2.5%。

三、有效数字的舍入规则为了保证各数据有相同的有效数字位数，表示测量结果时对多余的位数需要舍入。