深圳中考数学难题汇总

中考数学20道几何难题经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度求证：△PBC是正三角形．3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB 分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC 交DA延长线于F．求证：AE＝AF．3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC 的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC 上的点，∠DCA＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．答案经典难题（一）1、如下图做GH⊥AB，连接EO。

学而思·深圳中考数学压轴20题2020年，深圳中考即将到来，数学成为了考生最重要的一科，数学考试内容涉及大量的知识点，考生们除了要完全掌握全部知识点还要解决大量的数学解题练习。

为了帮助考生更好地备考，学而思汇集了20道深圳中考数学压轴题，下面就为大家讲解一下。

1、若锐角△ABC中，∠C=90°，AB=12cm，BC=8cm，则cosA的值为多少?答案为：cosA= AB/BC = 12/8 = 3/4.2、一个角的平分线的长度是5cm，则2倍的角的边长是多少?答案：2倍的角的边长是10cm。

3、若已知数列1,2,4,8,…，每一项都等于前一项的2倍，那么第n项的值等于多少?答案：第n项的值等于2的n-1次方。

4、一个圆的周长等于它的直径和半径的和，则这个圆的半径等于多少?答案：这个圆的半径等于圆的周长的一半。

5、若有四个角a,b,c,d，其中a+b+c+d=180°，角a=20°，角b=40°，则角d的度数是多少?答案：角d的度数是120°。

6、若有正四边形ABCD，边AB=BC，边AB=4cm，则正四边形ABCD 的周长是多少?答案：正四边形ABCD的周长是16cm。

7、若要求函数f(x)=ax2+bx+c（a, b, c为常数）的导数，则养函数为多少?答案：导数为2ax+b。

8、已知函数y=3x2+2x+1，若点M(1,6)在函数图像上，则a的值等于多少?答案：a的值等于3。

9、已知不等式2x2+x-6<0的解集为(a，b)，其中a<b，则a和b 的值分别为多少?答案：a=-2,b=-3。

10、一个圆的面积为100π，则该圆的周长是多少?答案：该圆的周长是50π。

11、已知开方函数y=√x+2，若y=2,则x的值等于多少?答案：x的值等于4。

12、在△ABC中，角A=45°，AB=AC，BC=6，则∠B的度数是多少?答案：∠B的度数是45°。

2020-2021深圳中考数学二次函数(大题培优易错难题)一、二次函数1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。

∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。

∴BD=4。

∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。

（3）存在。

∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。

若∠POB=90°，则∠POD=45°。

深圳深圳市新安中学中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．（1）问题发现如图1，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，40AOB COD ∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M .填空：①ACBD的值为______；②AMB ∠的度数为______．（2）类比探究如图2，在OAB 和OCD 中，90AOB COD ∠=∠=︒，30OAB OCD ∠=∠=︒，连接AC 交BD 的延长线于点M .请判断ACBD的值及AMB ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将OCD 绕点O 在平面内旋转，,AC BD 所在直线交于点M ，若1OD =，3OB =，请直接写出当点A 与点O D 、在同一条直线上时AD 的长．解析：（1）①1；②40︒；（2）3ACBD=90AMB ∠=︒．理由见解析；（3）2或4．【分析】（1）①证明△COA ≌△DOB （SAS ），得AC=BD ，比值为1；②由△COA ≌△DOB ，得∠CAO=∠DBO ，然后根据三角形的内角和定理先求∠OAB+∠OBA 的值，再求∠AMB 的值即可； （2）根据锐角三角比可得OD OBOC OA=，根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC ∽△BOD ，根据相似撒尿性的性质求解即可；（3）当点A 与点O D 、在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD 的长． 【详解】（1）①∵40AOB COD ∠=∠=︒， ∴∠BOD=∠AOC ， 又∵OA OB =，OC OD =， ∴△BOD ≌△AOC ， ∴BD=AC ， ∴ACBD=1；②∵40AOB ∠=︒， ∴∠OAB+∠OBA=140°， ∵△BOD ≌△AOC ， ∴∠CAO=∠DBO ，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°， ∴∠AMB=40︒； （2）如图2，3ACBD=90AMB ∠=︒．理由如下：Rt COD 中，30DCO ∠=︒，90DOC ∠=︒，3tan 30OD OC ∴=︒=同理得：3tan 30OB OA =︒=OD OB OC OA∴=， 90AOB COD ∠=∠=︒， AOC BOD ∴∠=∠， AOC BOD ∴△∽△，3AC OCBD OD∴==∠CAO=∠DBO ， ∵∠BEO+∠DBO=90°， ∴∠CAE+∠AEM=90°， ∴∠AMB=90°；（3） ∵∠A=30°，3OB = ∴OA=tan 30OB=3． 如图3，当点D 和点A 在点O 的同侧时， ∵1OD =， ∴AD=3-2=2；如图4，当点D 和点A 在点O 的两侧时， ∵1OD =，，OA=3 ∴AD=3+1=4．综上可知，AD 的长是2或4． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：△AOC ∽△BOD ，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． 2．问题背景（1）如图（1），ABD △，AEC 都是等边三角形，ACD △可以由AEB △通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 尝试应用（2）如图（2）．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AC ，AB 为边，作等边ACD △和等边ABE △，连接ED ，并延长交BC 于点F ，连接BD ．若BD BC ⊥，求DFDE的值． 拓展创新（3）如图（3）．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，2AB =，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AP ，连接PB ，直接写出PB 的最大值．解析：（1）旋转中心是点A ，旋转方向是顺时针，旋转角是60︒；（2）23；（3）1．【分析】（1）由等边三角形得出60BAD ∠=︒，60CAE ∠=︒，AD AB =，AC AE =，证明()ACD AEB SAS ≌，由旋转性质即可得；（2）证明()ADE ACB SAS ≌，由全等三角形的性质得90ADE ACB ∠=∠=︒，DE CB =，得出30BDF ∠=︒，由30直角三角形性质得12BF DF =，则可计算得答案； （3）过点A 作AE AB ⊥，且使AE =AD ，连接PE ，BE ，由直角三角形的性质求出BE 、PE 的长即可得解． 【详解】解（1）∵ABD △，AEC 都是等边三角形，∴60BAD ∠=︒，60CAE ∠=︒，AD AB =，AC AE =，BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE ∴∠=∠， ()ACD AEB SAS ∴≌，ACD ∴可以由AEB △绕点A 顺时针旋转60︒得到，即旋转中心是点A ，旋转方向是顺时针，旋转角是60︒； （2)ACD 和ABE △都是等边三角形，AC AD ∴=，AB AE =，60CAD BAE ∠=∠=︒，CAB DAE ∴∠=∠，()ADE ACB SAS ∴≌，90ADE ACB ∴∠=∠=︒，DE CB =，90ADE ∠=︒，90ADF ∴∠=︒， 60ADC ACD ∠=∠=︒，30DCF CDF ∴∠=∠=︒，CF DF ∴=，BD BC ⊥，30BDF ∴∠=︒，设BF =x ，则CF =DF =2x ，DE =3x ， ∴2233DF x DE x ==； （3）90ACB ∠=︒，∴点C 在以AB 为直径的圆上运动，取AB 的中点D ，连接CD ，112CD AB ∴==， 如图，过点A 作AE AB ⊥，且使AE =AD ，连接PE ，BE ， ∵将线段AC 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AP ，90PAC ∴∠=︒，PA =AC ． 90EAD ∠=︒， PAE CAD ∴∠=∠， ()CAD PAE SAS ∴≌，∴PE =CD =1． ∵AB =2，AE =AD =1，∴BE =22AE AB +=2212+=5， 51BP BE PE ∴≤+=+，∴BP 的最大值为5+1．【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 3．（基础巩固）（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△． （尝试应用）（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AEAF的值． （拓展提高）（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．解析：（1）见解析；（2）54；（3）113AB = 【分析】（1）由,ABC ACD ACE A ABC α∠=∠=∠=∠+∠证明A DCE ∠=∠，再根据相似三角形的判定方法解题即可；（2）由菱形的性质，得到AB AD =，60A ∠=︒，继而证明ABD △是等边三角形，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质，设,2,,BP a DP a AE PE x AF PF y ======，则3,3DE a x BF a y =-=-可整理得到54x y =，据此解题； （3）在AD 边上取点E ，F ，使得30ABE DCF ∠=∠=︒，由矩形的性质，得到120BEP BPC PFC ∠=∠=∠=︒，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质解题即可．【详解】解：（1）证明：∵,ABC ACD ACE A ABC α∠=∠=∠=∠+∠， ∴DCE A αα∠+=∠+，即A DCE ∠=∠， ∵ABC CED α∠=∠=， ∴ABC CED ∽△△； （2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB AD =， ∴60A ∠=︒，∴ABD △是等边三角形，∴60EPF A ADB ABD ∠=∠=∠=∠=︒， 由（1）得，EPD PFB ∽， ∴DE PD PEPB BF PF==， 设,2,,BP a DP a AE PE x AF PF y ======，则3,3DE a x BF a y =-=- ∴323a x a xa a y y-==-， 可得3ay xy ax -=①，32ax xy ay -=②， ①－②，得332ay ax ax ay -=-， ∴54x y =， ∴AE AF 的值为54； （3）如图，在AD 边上取点E ，F ，使得30ABE DCF ∠=∠=︒，设AB =CD =m ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴90A D ∠=∠=︒，∴120BEP BPC PFC ∠=∠=∠=︒， 60BPE DFC ︒∠=∠=1,sin 60233AB BE CF AE BE ∴====︒= DF ， 223PE AE ∴=-= 443PF DF ∴=-=由（1）可得，BEP PFC∽，∴BE EPPF FC=，∴22332433m mm m-=-，整理，得22380m m+-=，解得113m=-或311m=--（舍去），∴113AB=-．【点睛】本题考查相似三角形的综合题、等边三角形的性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．4．问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值．方法归纳：利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE．问题解决：（1）图1中tan∠BPD的值为________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；思维拓展：（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．解析：（1）2；（22；（32【分析】（1）由题意可得BE∥DC，则∠ABE=∠DPB，那么∠BPD就变换到Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（2）过点A作AE//CD，连接BE，那么∠BPD就变换到等腰Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）以BC为边长构造网格，然后把PC平移到AN，则∠CPD就变换成Rt△ADN中的∠NAD，再由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】（1）由勾股定理可得：22222222112AE BE=+=+=，∵CD//BE ，∴tan ∠BPD ＝tan ∠ABE ＝2222AE BE ==； （2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，由图可知E 点在格点上，且∠AEB ＝90°， 由勾股定理可得：22221251310AE AB =+==+=，， ∴cos ∠BPD ＝cos ∠BAE ＝5510522102101010AE AB ⨯====⨯（3）如图3构造网格，过点A 作AN //PC ，连接DN ，由图可知N 点在格点上，且∠AND ＝90°，由勾股定理可得：22221310,2425,DN AD =+==+= ∴sin ∠CPD ＝sin ∠NAD ＝1010552210225255DN AD ⨯====⨯，【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．5．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB=∠ABC ，AD ，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连结AC ，BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展；如图2，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt △ABD 绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10417或12﹣372．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′，设EB=ED′=x ， 由勾股定理得：42+（3+x ）2=（4+x ）2， 解得：x=4.5， 过点D′作D′F ⊥CE 于F ， ∴D′F ∥AC ， ∴△ED′F ∽△EAC ， ∴D F ED AC AE ''=， 即4.544 4.5D F '=+， 解得：D′F=3617， ∴S △ACE =12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S △BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117， 则S 四边形ACBD′=S △ACE ﹣S △BED′=15﹣8117=10417； （ii ）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E ⊥AC 于点E ， 如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3，在Rt △AED′中，根据勾股定理得：7， ∴S △AED′=12AE×ED′=12737S 矩形ECBD′=CE×CB=（47）×3=12﹣7， 则S 四边形ACBD′=S △AED′+S 矩形ECBD′37+12﹣737【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题． 6．已知△ABC 是等腰三角形，AB=AC ．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．解析：（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.【分析】试题（1）由DE∥BC，得到DB ECAB AC=，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，再简单计算即可．【详解】（1）∵DE∥BC，∴DB ECAB AC=，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=22，在△PEA中，PE2=（22）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【点睛】考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.7．（问题情境）如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：BCE 1S2=S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．解析：【问题情境】见解析；【探究应用1】18yx=；【探究应用2】见解析；【迁移拓1927【分析】（1）作EF⊥BC于F，则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，即可得出结论；（2）连接OH，由切线的性质得出OH⊥BC，OH＝12AD＝3，求出平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝18，由圆周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面积＝12BD×AM＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ．（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝＝，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF ＝，CE ，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示：则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCE ABCD S S =．（2）解：连接OH ，如图2所示：∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x ； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ，∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ．（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝3BP ＝23x ，∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，∴BQ ＝x ，∴EQ ＝3x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝22AP PF +＝27x ，CE ＝22EQ QC +＝19x ，连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．8．（感知）如图1，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为(0,0.5)，点A 的坐标为(1,0)，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ，易知AOC CMB ∆∆≌，得到点B 的坐标为(0.5,1.5)．（探究）如图2，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,)(0)m m >，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ．（1）求点B 的坐标．（用含m 的代数式表示）（2）求出BC 所在直线的函数表达式．（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 在y 轴上，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，连结BO 、BA ，则BO BA +的最小值为_______．解析：【探究】（1）点B 坐标为(,1)m m +；（2）1y x m m=+；【拓展】5． 【分析】探究:（1）证明△AOC ≌△CMB （AAS ），即可求解；（2）根据点B 的坐标为（m ，m+1），点C 坐标()0,m ，即可求解；拓展：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，即可求解．【详解】解：探究：（1）过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ．BMC 90∠∴=︒，MCB B 90∠∠∴+=︒．线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，BCA 90CB CA ∠∴=︒=，．MCB ACO 90∠∠∴+=︒．B ACO ∠∠∴=．ACO 90∠=︒，ΔAOC ΔCMB ∴≌，MC OA,MB OC ∴==．点C 坐标()0,m ，点A 坐标()1,0，∴点B 坐标为()m,m 1+（2）∵点B 的坐标为（m ，m+1），点C 为（0，m ），设直线BC 为：y=kx+b ，1b m km b m =⎧⎨+=+⎩，解得：1k m b m ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴1y x m m=+； 则BC 所在的直线为：1y x m m=+； 拓展：如图作BH ⊥OH 于H ．设点C 的坐标为（0，m ），由（1）知：OC=HB=m ，OA=HC=1，则点B （m ，1+m ），则：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，相当于在直线y=x 上寻找一点P （m ，m ），使得点P 到M （0，-1），到N （1，-1）的距离和最小，作M 关于直线y=x 的对称点M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，M′N=22--++=，(11)(01)5故：BO+BA的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中拓展，将BO+BA的值转化点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，是本题的新颖点9．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB=，如图，试确定线段AE的延长线上，且ED EC与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE_____DB（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：如图2，题目中，AE与DB的大小关系是：AE____DB（填“>”“<”或“=”）．理由如下：（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）．解析：（1）=；（2）=；（3）3或1【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，求出等边三角形AEF ，证△DEB 和△ECF 全等，求出BD=EF 即可；（3）当D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E 在BA 的延长线上，D 在BC 的延长线上时，求出CD=1．【详解】解：（1）如图 1 ，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F ，ABC ∆为等边三角形，60AFE ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒，∠A=60°，∴AEF ∆为等边三角形，120EFC EBD ∴∠=∠=︒，EF AE =，ED EC =，EDB ECB ∴∠=∠，ECB FEC ∠=∠，EDB FEC ∴∠=∠，在BDE ∆和FEC ∆中，EBD EFC EDB FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDE FEC AAS ∴∆≅∆，BD EF ∴=，AE BD ∴=，故答案为：=；（2）如图1，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，∵等边三角形ABC ，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC ，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF=AF ，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°， ∵DE=EC ，∴∠D=∠ECD ，∴∠BED=∠ECF ，在△DEB 和△ECF 中，DEB ECF DBE EFC DE CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD=EF=AE ，即AE=BD ，故答案为：=．（3）CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图2过A 作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ， 则AM ∥EN ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=12BC=12，∵DE=CE ，EN ⊥BC ，∴CD=2CN ，∵AB=1，AE=2，∴AB=BE=1，∵EN ⊥DC ，AM ⊥BC ，∴∠AMB=∠ENB=90°，在△ABM 和△EBN 中， ABM EBN AMB ENB AB BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AMB ≌△ENB （AAS ），∴BN=BM=12，∴CN=1+12=32，CD=2CN=3；②如图3，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=12BC=12，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴AB BMAE MN=，∴1122MN =，∴MN=1，∴CN=1-12=12，∴CD=2CN=1，即CD=3或1．【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF ，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD 值，注意，不要漏解啊．10．综合与实践如图①，在中Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，过点C 作CD AB ⊥于D ，将CDB △绕点D 逆时针方向旋转，得到C DB ''△，连接B C '，C A '，记旋转角为α． （1）问题发现如图②，当90α=︒时，B C AC '='__________；如图③，当180α=︒时，B C AC '='__________． （2）拓展探究试判断：当0360α︒≤≤︒时，B C AC ''的大小有无变化？请仅就图④的情形给出证明． （3）问题解决如图⑤，当CDB △绕点D 逆时针旋转至点C '落在边AC 上时，求线段B C '的长．解析：（1）34，34；（2）无变化，理由详见解析；（3）2125B C '=． 【分析】（1）首先利用勾股定理可求出AB 的值，再根据三角形面积求出CD 的值，再次利用勾股定理求出AD 、BD 的值，再分情况进一步得出,AC B C ''的值即可；（2）根据旋转的性质可得出95B D BD '==，125C D CD '==，再证明CDB ADC ''△∽△即可得出结论；（3）过点D 作DE AC ⊥于E ，证DEC ADC ∽△△，推出3625CE =，得出72225CC CE '==，继而得到2825AC AC CC ''=-=，再根据34B C AC '='，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =∴5AB =∵1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ∴125CD =∴16169,5555AD BD AB AD ===-=-= 当90α=︒时， 34,55B C CD B D CD BD AC AD C D AD CD ''''=-=-==-=-= ∴34B C AC '=' 当180α=︒时，3,4B C BC AC AC ''===== ∴34B C AC '=' 故答案为：34；34； （2）无变化．证明：∵在Rt ABC △中，4AC =，3BC =，90ACB ∠=︒， ∴5AB ==．∵CD AB ⊥，∴90BDC ∠=︒．∵90BDC ACB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BDC BCA ∽△△． ∴BD CD BC BC AC AB ==，即33445BD CD CD ===． ∴95BD =，125CD =． ∴165AD AB BD =-=． 由旋转可知95B D BD '==，125C D CD '==，90B DC BDC ''∠=∠=︒． ∴34B D CDCD AD '=='． ∵90B DC ADC ''∠=∠=︒，∴CDB ADC ''∠=∠．∴CDB ADC ''△∽△． ∴34B C CD AC AD '=='． （3）如图，过点D 作DE AC ⊥于E ．∵DC DC '=， ∴12CE CC '=． ∵90DEC ADC ∠=∠=︒，DCE ACD ∠=∠，∴DEC ADC ∽△△．∴CE CD CD AC =，即1251244CE =． ∴3625CE =． ∴72225CC CE '==． ∴2825AC AC CC ''=-=． ∵34B C AC '='， ∴321425B C AC ''==．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积公式、旋转的性质、相似三角形的判定及性质等多个知识点，综合性较强，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，会利用相似三角形的性质解题，此题结构精巧，考查范围广．11．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AE DF=_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______． 解析：（1330°；（213339+13339-【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解； （2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解； 拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，3cos 2BE AB ABD BF DB ∴∠===， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30，故答案为：32，30； （2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又3BE AB BF DB == ABE DBF ∴∆∆∽，∴32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠， 30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，3BE ∴=，2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，2216313DE BD BE ∴=-=-=，30DEA ∠=︒，11322DG DE ∴==， 由（2）可得：32AE BE DF BF ==， ∴32131AE=+， 3932AE +∴=， ADE ∴∆的面积11393131333922228AE DG ++=⨯⨯=⨯⨯=； 如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积11393131333922AE DG --=⨯⨯= 13339+13339-【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．12．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．（操作）将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．（探究）在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．（应用）P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【详解】试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；分三部分进行讨论：①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．试题解析：【问题】∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE•h≥1，∴h≥1；①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴当点P不可能在DE的上方；③∵MN=1，且O（0，0），a（4，0），∴P与O或A重合时，符合条件，∴m=0或m=4；综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考点：二次函数综合题．13．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，7C与点M重合时AC的长．解析：（1）①1；②40°；（2）3，90°；（3）AC 的长为33或23．【分析】（1）①证明△COA ≌△DOB （SAS ），得AC=BD ，比值为1；②由△COA ≌△DOB ，得∠CAO=∠DBO ，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°-140°=40°；（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC ∽△BOD ，则3AC OC BD OD=＝，由全等三角形的性质得∠AMB 的度数；（3）正确画图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC ∽△BOD ，则∠AMB=90°，3AC BD ＝，可得AC 的长． 【详解】（1）问题发现：①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ，∴1AC BD，= ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°-140°=40°，（2）类比探究：如图2，3AC BD =，∠AMB=90°，理由是： Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴3033OD tan OC ︒＝＝， 同理得：3033OB tan OA ︒＝＝， ∴OD OB OC OA＝， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴3AC OC BD OD=＝ ，∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM ）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°； （3）拓展延伸：①点C 与点M 重合时，如图3，同理得：△AOC ∽△BOD ，∴∠AMB=90°，3AC BD＝ 设BD=x ，则3，Rt △COD 中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x-2，Rt △AOB 中，∠OAB=30°，7，∴7在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，3)2+(x −2)2＝7)2，x 2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，x 1=3，x 2=-2，∴AC=33； ②点C 与点M 重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，3AC BD＝， 设BD=x ，则AC=3x ，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，(3x )2+（x+2）2=(27)2.x 2+x-6=0，（x+3）（x-2）=0，x 1=-3，x 2=2，∴AC=23；.综上所述，AC 的长为33或23．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC ∽△BOD ，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．14．问题情境：如图1，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB 、AE 、CD 于点M 、P 、N ．判断线段DN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P 恰好为AE 的中点，连接BD ，交MN 于点Q ，连接EQ ，并延长交边AD 于点F ．求∠AEF 的度数；（2）如图3，当垂足P 在正方形ABCD 的对角线BD 上时，连接AN ，将△APN 沿着AN 翻折，点P 落在点P'处．若正方形ABCD 的边长为4 ，AD 的中点为S ，求P'S 的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 、N 分别为边AB 、CD 上的点，将正方形ABCD 沿着MN 翻折，使得BC 的对应边B'C '恰好经过点A ，C'N 交AD 于点F ．分别过点A 、F 作AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，垂足分别为G 、H ．若AG ＝52，请直接写出FH 的长．解析：问题情境：DN MB EC +=.理由见解析；问题探究：（1）45AEF ∠=︒；（2）P S '2514. 【分析】问题情境：过点B 作BF ∥MN 分别交AE 、CD 于点G 、F ，证出四边形MBFN 为平行四边形，得出NF ＝MB ，证明△ABE ≌△BCF 得出BE ＝CF ，即可得出结论；问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作HI ∥AB ，分别交AD 、BC 于点H 、I ，证出△DHQ 是等腰直角三角形，HD ＝HQ ，AH ＝QI ，证明Rt △AHQ ≌Rt △QIE 得出∠AQH ＝∠QEI ，得出△AQE 是等腰直角三角形，得出∠EAQ ＝∠AEQ ＝45°，即可得出结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，则△APN 的直角顶点P 在OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P′与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA ＝∠ADO′＝45°，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，过点P′作P′H ⊥CD 交CD 延长线于点H ，连接PC ，证明△APB ≌△CPB 得出∠BAP ＝∠BCP ，证明Rt △PGN ≌Rt △NHP'得出PG ＝NH ，GN ＝P'H ，由正方形的性质得出∠PDG ＝45°，易得出PG ＝GD ，得出GN ＝DH ，DH ＝P'H ，得出∠P'DH ＝45°，故∠P'DA ＝45°，点P'在线段DO'上运动；过点S 作SK ⊥DO'，垂足为K ，即可得出结果；问题拓展：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，则EG ＝AG ＝52，PH ＝FH ，得出AE ＝5，由勾股定理得出BE ＝22AE AB -＝3，得出CE ＝BC ﹣BE ＝1，证明△ABE ∽△QCE ，得出QE ＝AE ＝203，AQ ＝AE+QE ＝203，证明△AGM ∽△ABE ，得出AM ＝258，由折叠的性质得：AB'＝EB ＝3，∠B'＝∠B ＝90°，∠C'＝∠BCD ＝90°，求出B'M ＝2'278AM AB -=，AC'＝1，证明△AFC'∽△MAB'，得出AF ＝25253,DF 4777=-=，证明△DFP ∽△DAQ ，得出FP ＝57，得出FH ＝FP ＝15FP 214=． 【详解】问题情境：因为四边形ABCD 是正方形，所以90ABE BCD AB BC CD DC AB ∠=∠=︒==，，∥.过点B 作BF MN ∥分别交AE CD 、于点G F 、.所以四边形MBFN 为平行四边形.所以NF MB =.所以90BF AE BGE ∠=︒⊥，，所以90CBF AEB ∠+∠=︒，又因为90BAE AEB ∠+∠=︒，所以CBF BAE ∠=∠.ABE BCF △△≌，所以BE CF =.因为DN NF CF BE EC ++=+，所以DN NF EC +=，所以DN MB EC +=.问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作HI AB ∥，分别交AD BC 、于点H I 、.易得四边形ABIH 矩形. 所以HI AD HI BC ⊥⊥，且HI AB AD ==.因为BI 是正方形ABCD 的对角线，所以45BDA ∠=︒.所以DHQ 是等腰直角三角形，HD HQ =.所以AH QI =.因为MN 是AE 的垂直平分线，所以AQ QE =.所以Rt Rt AHQ QIE △≌△.所以AQH QEI ∠=∠.所以90AQH EQI ︒∠+∠=.所以90AQE ∠=︒.所以AQE 是等腰直角三角形，45EAQ AEQ ∠=∠=︒，即45AEF ∠=︒.（2）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，由题意易得APN 的直角顶点P 在OB 上运动. 设点P 与点B 重合，则点P '与点D 重合；设P 与点O 重合，则点P 的落点为O '.易知45ADO '∠=︒.当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作CD 的垂线，垂足为G ，过点P '作P H CD '⊥，垂足为点H .易证：Rt PGN Rt NHP '△△≌，所以PG NH G H P N '==，，因为BD 是正方形ABCD 的对角线，所以45PDG ∠=︒，易得PG GD =，所以GN DH =.所以DH H P '=.所以45P DH '∠=︒，故45P DA '∠=︒.所以点P '在线段DO '上运动.过点S 作SK DO '⊥，垂足为K ，因为点S 为AD 的中点，所以2DS =，则P S '的最小值为2.问题拓展：解：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，如图4：。

2024年广东省深圳市中考数学高频易错题精选练习（一）一、单选题1．下列各组数中，互为倒数的是（）A．2020和-2020B．-2020与12020C．2020与12020-D．2020与120202．不等式组20211x x -⎧⎨-≥⎩＜的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．3．如图，这是一个带“矮”圆柱形底的半球形的碗，则该几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．4．某班九名同学在篮球场进行定点投篮测试，每人投篮五次，投中的次数统计如下：4，3，2，4，4，1，5，0，3，则这组数据的中位数，众数分别为()A．3，4B．4，3C．3，3D．4，45．据招商引资网消息，为加快新区经济发展，新区政府拟新区现代高效农业示范园区，共计划投入资金3.75亿元，精确到千万位可表示为( )A．83.710⨯B．83.810⨯C．100.3810⨯D．73710⨯6．下列运算中结果正确的是（ ）A．3a +2b =5abB．﹣4xy +2xy =﹣2xy C．3y 2﹣2y 2=1D．3x 2+2x =5x 37．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果120︒∠=，那么2∠的度数是（ ）A．20︒B．40︒C．60︒D．70︒8．下列说法中，正确的是（ ）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形9．不考虑优惠，买1本笔记本和3支水笔共需14元，买3本笔记本和5支水笔共需30元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（ ）A．3元B．5元C．8元D．13元10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D ．设BD ＝x ，tan∠ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（ ）A．x ﹣y 2＝3B．2x ﹣y 2＝6C．3x ﹣y 2＝9D．4x ﹣y 2＝12二、填空题11．若4x y +=-，9x y -=，那么式子22x y -= .12．若关于x 的一元二次方程()2280x m x --+=有两个相等实数根，则m = ．13．已知()()121,,2,A y B y -两点在双曲线32m y x+=上，且12y y >，则m 的取值范围是 ．14．（2016福建省莆田市）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为 人．15．如图，平面直角坐标系中，已知直线y x =上一点(1,1)P ，连接PC ，以PC 为边做等腰直角三角形PCD ，PC PD =，过点D 作线段AB x ⊥轴，直线AB 与直线y x =交于点A ，且2BD AD =，直线CD 与直线y x =交于点Q ，则Q 点的坐标是 ．三、解答题16．先化简，再求值：22521244x x x x x x --⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中1x -．17．1011|(2)3π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.18．如图，在四边形ABCD 中，∠A 与∠C 互补，∠ABC、∠ADC 的平分线分别于CD、AB 相交于点E、F．∠1与∠2有怎样的数量关系？为什么？19．南京到上海铁路长300 k m，为了适应两市经济的发展，客车的速度比原来每小时增加了40 km，因此从南京到上海的时间缩短了一半，求客车原来的速度.20．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲，乙两种图书．经调查，购进甲种图书的费用y （元）与本数x （本）之间的函数关系如图所示，乙种图书每本20元．(1)求线段OA 和射线AB 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若学校准备购买甲种图书80本，乙种图书60本，求购买两种图书所需的费用．21．在ABC ∆与CDE ∆中，90ACB CDE ∠=∠=︒，AC BC ==2CD ED ==，连接,AE BE ，点F 为AE 的中点，连接DF ，CDE ∆绕着点C 旋转．（1）如图1，当点D 落在AC 的延长线上时，DF 与BE 的数量关系是：__________；（2）如图2，当CDE ∆旋转到点D 落在BC 的延长线上时，DF 与BE 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；（3）旋转过程中，若当105BCD ∠=︒时，直接写出2DF 的值．22．某市今年前120天空气质量指数（均为整数）的统计图表（不完整）如下：空气质量指数050x ≤≤50100x <≤100150x <≤150200x <≤200250x <≤空气质量状况优良轻度污染中度污染重度污染频数144640m5(1)求统计表中m 的值，并将统计图补充完整．(2)求该市这120天中空气质量状况达到良以上（含良）的天数占被调查天数的百分比．(3)已知该市这120天中空气质量状况为优的14天的空气质量指数如下表：空气质量指数1020304050天数12452请直接写出这14天的空气质量指数的中位数和众数．参考答案1．D【分析】根据倒数的概念来进行判断即可．【详解】解：乘积是1的两个数互为倒数，故选：D．【点睛】本题考查的是倒数的概念，注意记忆：乘积为1的两个数互为倒数．2．B【分析】先分别解出不等式的解，然后求出不等式组的解集，然后对照选项即可得出答案．【详解】不等式组20 211xx-⎧⎨-≥⎩＜①②解不等式①得，2x> ,解不等式②得，1x≥ ,∴不等式组的解集为2x> ,用数轴表示为故选：B．【点睛】本题考查用数轴表示不等式组的解集，掌握数轴的相关知识和正确的解不等式组是解题的关键．3．C【分析】从上面看，“碗口”是可以看到“圆形”的轮廓线，而“圆柱形底座”是看不见的，用虚线表示，因此选项C中的图形符合题意．【详解】A项为主视图或左视图，B项是从下方观察的图案，C项是俯视图，D项虚线使用不正确．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识点，着重考查学生的空间想象思维．4．A【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】从大到小排列此数据为：5、4、4、4、3、3、2、1、0，数据4出现了三次最多为众数；3处在第5位，所以3为中位数．所以本题这组数据的中位数是3，众数是4.故选A.【点睛】本题考查了数据的收集和处理，掌握中位数和众数的概念是解题的关键5．B【分析】用科学记数法保留有效数字，要在标准形式10n a ⨯中a 的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍即可．【详解】解：3.75亿元，精确到千万位可表示为83.810⨯．故选择：B ．【点睛】本题考查科学记数法中精确数问题，关键要在标准形式10n a ⨯中a 进行，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入取舍．6．B【分析】根据同类项的概念与合并同类项法则逐一判断即可．【详解】A、3a +2b ，无法合并，故此选项错误；B、﹣4xy +2xy =﹣2xy ，正确；C、3y 2﹣2y 2=y 2，故此选项错误；D、3x 2+2x ，无法合并，故此选项错误；故选B．【点睛】本题考查了同类项和合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同及合并同类项法则．7．D【分析】依据120∠=︒，90ABC ∠=︒，即可得到70CBE ∠=︒，再根据//BE CD ，即可得出270CBE ∠=∠=︒.【详解】 120∠=︒，90ABC ∠=︒，∴70CBE ∠=︒，//BE CD，∴270CBE∠=∠=︒.故选D.【点睛】此题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等.8．A【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．故选A．考点： 命题与定理．9．C【分析】设每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可【详解】设购买1本笔记本需要x元，购买1支水笔需要y元，根据题意，得+314 3530x yx y=⎧⎨+=⎩．解得53xy=⎧⎨=⎩．所以x+y＝5+3＝8（元）故选C．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，难度不大，关键在于列出方程组10．C【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE =BD =x ，根据等腰三角形求出BQ =CQ =4，求出CM =QM =2，解直角三角形求出EM =2y ，AQ =4y ，在Rt △DEM 中，根据勾股定理即可得．【详解】解：过A 作AQ ⊥BC 于Q ，过E 作EM ⊥BC 于M ，连接DE ，∵BE 的垂直平分线交BC 于D ，BD =x ，∴BD =DE =x ，∵AB =AC ，BC =8，tan∠ACB =y ，∴EM AQ MC CQ==y ，BQ =CQ =4，∴AQ =4y ，∵AQ ⊥BC ，EM ⊥BC ，∴AQ EM ，∵E 为AC 中点，∴CM =QM =12CQ =2，∴EM =2y ，∴DM =8-2-x =6-x ，在Rt △EDM 中，由勾股定理得：x 2=（2y ）2+（6-x ）2，即3x -y 2=9，故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的运用，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的运用，垂直平分线的性质．11．-36.【分析】根据平方差公式解出即可.【详解】()()22(4)936x y x y x y -=+-=-⨯=-.故答案为:-36.【点睛】本题考查平方差公式的运用,关键在于熟练掌握平方差运算.12．2±【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程()2280x m x --+=有两个相等的实数根，则有Δ0=，得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()2280x m x --+=有两个相等的实数根，0∴∆=，即()2[2]4180m ---⨯⨯=，解得2m =±．故答案为：2±【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根．13．32m <-【分析】将()()121,,2,A y B y -两点分别代入双曲线32m y x +=，求出123y m =--，2322m y +=，再根据12y y >，列不等式求解即可．【详解】解：将()()121,,2,A y B y -两点分别代入双曲线32m y x +=，得：123y m =--，2322m y +=，∵12y y >，∴32232m m +-->，解得：32m <-，故答案为：32m <-．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式．14．480．【详解】试题分析：总人数是：10÷20%=50（人），第四小组的人数是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4=10，所以该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是：106450++×1200=480，故答案为480．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．15．99,74⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】过P 作MN y ⊥轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH y ⊥轴，交y 轴于H ，90CMP DNP CPD ∠=∠=∠=︒，求出MCP DPN ∠=∠，证MCP NPD ∆≅∆，推出DN PM =，PN CM =，设AD a =，求出21DN a =-，得出211a -=，求出1a =，得出D 的坐标，由两点坐标公式求出PC PD ==Rt MCP ∆中，由勾股定理求出2CM =，得出C 的坐标，设直线CD 的解析式是3y kx =+，把(3,2)D 代入求出直线CD 的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．【详解】解：过P 作MN y ⊥轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH y ⊥轴，交y 轴于H ，90CMP DNP CPD ∠=∠=∠=︒，90MCP CPM ∴∠+∠=︒，90MPC DPN ∠+∠=︒，MCP DPN ∴∠=∠，(1,1)P ，1OM BN ∴==，1PM =，在MCP ∆和NPD ∆中，CMP DNP MCP DPNPC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MCP NPD AAS ∴≅ ，DN PM ∴=，PN CM =，2BD AD = ，∴设AD a =，2BD a =，(1,1)P ，21DN a ∴=-，则211a -=，1a ∴=，即2BD =．直线y x =，3AB OB ∴==，∴点(3,2)D PC PD ∴=在Rt MCP ∆中，由勾股定理得：2C M===，则C 的坐标是(0,3)，设直线CD 的解析式是3y kx =+，把(3,2)D 代入得：13k =-，即直线CD 的解析式是133y x =-+，∴组成方程组133y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩解得：9494x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点9(4Q ，94，故答案为：9(4，94．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．16．3x -，【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．【详解】解：22521244x x x x x x --⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭()()2222522x x x x x x x --⎛-⎫=-÷ ⎪-⎭--⎝()()252222x x x x x x ---+=⋅--3x =-，当1x =时，原式31⨯+===．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，正确计算是解题的关键．17．（1）1；【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义得到原式= ，然后合并即可；（2）将分子分为两部分，再将式子拆分为两个二次根式，分母有理化即可．【详解】(1)原式=【点睛】此题考查负整数指数幂，二次根式的混合运算，零指数幂，解题关键在于掌握运算法则.18．∠1+∠2=90°；理由见详解.【分析】根据题意利用四边形的内角和为360°以及角平分线性质和互补的定义进行综合分析求解.【详解】解：∠1+∠2=90°；理由如下：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A+∠C=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE、DF 分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠2=12∠ABC，∠1=12∠ADC，∴∠1+∠2=12（∠ABC+∠ADC）=12×180°=90°．【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义，熟练掌握角平分线性质和四边形的内角和以及弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．19．客车原来的速度为40km/h.【分析】由“从南京到上海的时间缩短了一半”，等量关系为：原来用的时间＝现在用的时间12⨯，把相关数值代入，然后解方程即可．【详解】设客车原来的速度是x km/h，现在的速度是（x +40）km/h，由题意得：3003001402x x =⨯+．解得：x =40．经检验：x =40是原方程的解且符合题意．答：客车原来的速度是40km/h．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，根据减少的时间得到相应的等量关系是解答本题的关键．20．(1)线段OA 的解析式为22y x =，x 的取值范围050x ≤≤；射线AB 的解析式为18200y x =+，x 的取值范围50x >(2)2840元【分析】（1）利用待定系数法求解即可得解；（2）根据总费用等于甲图书的费用加乙图书的费用求解即可．【详解】（1）解：当050x ≤≤时，设OA 的解析式为1y k x =,将()501100A ，代入函数式1y k x =得，1501100k =，解得122k =，∴OA 的解析式为22y x =，x 的取值范围050x ≤≤，当50x >时，设AB 的解析式为2y k x b =+,将，()501100A ，，()1002000B ,分别代入函数式2y k x b =+221100502000100k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得218200k b =⎧⎨=⎩，∴AB 的解析式为18200y x =+，x 的取值范围50x >．（2）解：若学校准备购买甲种图书80本，乙种图书60本，乙种图书每本20元，设购进两种图书的总费用为w 元∵购买甲种图书80本，∴w =182006020188020012002840x ++⨯=⨯++=（元）．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及求函数值，熟练求解一次函数解析式是解题的关键．21．（1）12DF BE =；（2）具有，证明见解析；（3）14或8-．【分析】（1）；当点D 落在AC 的延长线上时，∠ADE=90º，点F 为AE 的中点，直角三角形斜边中线的性质12DF AE =，再证△ACE≌△BCE（SAS）利用性质得AE=BE 即可；（2）成立（具有）延长ED 到点G ，使DG ED =，连接,AG CG ，由点F 为AE 的中点，可知DF 是EAG ∆的中位线，有结论12DF AG =，先证()CDE CDG SAS ∆≅∆，再证()CBE CAG SAS ∆≅∆，BE AG =即可；（3）分两种情况∠BCD 再BC 的左边与右边，构造Rt△ECH，∠HCE =60º或Rt△CGE，∠GCE=30º，CH=12BE 2，再用（1）结论即可．【详解】（1）当点D 落在AC 的延长线上时，∠ADE=90º，∵点F 为AE 的中点，∴AF=EF=FD，∴12DF AE =，∵BC=AC，∠ACB=90º，CD=DE，∠CDE=90º，∴∠DCE=∠DEC=45º，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90º+45º=135º，∴∠ACE=360º-∠ACB-∠BCE=360º-90º-135º =135º=∠BCE，∵CE=CE，∴△ACE≌△BCE（SAS），∴AE=BE，∴12DF AE =，故答案为：12DF AE =；（2）成立（具有）证明：延长ED 到点G ，使DG ED =，连接,AG CG ，∵点F 为AE 的中点，∴DF 是EAG ∆的中位线，∴12DF AG =，∵90CDE ∠=︒，CD ED =，∴45DCE ∠=︒，∵,,90CD CD DG ED CDE CDG ==∠=∠=︒，∴()CDE CDG SAS ∆≅∆，∴,45CE CG DCE DCG =∠=∠=︒，∴90ECG ∠=︒，∵,,90CB CA CE CG BCE ACG ACE ==∠=∠=︒+∠，∴()CBE CAG SAS ∆≅∆，∴BE AG =，∴12DF BE =；（3）14或8-过E 作EH⊥BC 于H，∴在Rt△ECD ，∵∠BCD=105º，∴∠HCE=105º-∠DCE=60º，∴CH=12=∵BC=∴BH=BC-CH=∴FD 2=()(22222111BE 8444BH EH ⎡⎤=+=+=-⎢⎥⎣⎦延长BC，过E 作EG⊥BC 于G，∵∠BCD=105º，∠DCE=45º，∴∠GCE=180º-∠ACD-∠DCE=30º，∴GE=12，=∴BG BC CG=+==∴FD2=()(22222111BE14444BG GE⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦．综上所述，2DF的值为14或8-【点睛】本题考查直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，三角形的旋转变换，三角形中位线，解直角三角形，勾股定理的应用，涉及的知识多，习题难度大，关键是利用数形结合的思想画出准确的图形，画图时应注意分类来画是解题关键．22．(1)15，图见解析(2)50%(3)中位数是35，众数是40【分析】（1）先用总数120减去频数求出m的值，再补充统计图；（2）用空气质量状况达到良以上（含良）的天数除以总数再乘以100%即可；（3）根据中位数和众数的定义作答即可．【详解】（1）120144640515m=----=．统计图补充完整如图所示．（2）空气质量状况达到良以上（含良）的天数所占百分比为()1446120100%50%+÷⨯=（3）将数据从小到大表示出来为：10，20，20，30，30，30，30，40，40，40，40，40，50，50，∴中位数是3040352+=，众数是40．【点睛】本题考查了补充统计数据和求中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的那个数．当有奇数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置的数；当有偶数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置两个数的平均数．2024年广东省深圳市中考数学高频易错题精选练习（二）一、单选题1．若规定向东走1m 记为+1m ，则-8m 表示（）A．向东走8m B．向西走8m C．向西走-8mD．向北走8m 2．下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是()A．B．C．D．3．十八大报告指出：“建设生态文明，是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计”，这些年党和政府在生态文明的发展进程上持续推进，在“十一五”期间，中国减少二氧化碳排放1 460 000 000吨，赢得国际社会广泛赞誉.将1 460 000 000用科学记数法表示为（ ）A．146×107B．1.46×107C．1.46×109D．1.46×10104．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（）A．42B．45C．46D．485．爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能()1.025cos J α-，若某人爬了1000m，该坡角为1.732≈ 1.414≈）（ ）A．58J B．159J C．1025J D．1732J6．如图，在平行四边形ABCD 中，两内角的平分线交于点P ，5PB =，2PC =，则AD 的长是（ ）A．8D．10.57．如图，两条直线相交于点O，若射线OC 平分平角∠AOB，∠1＝56°，则∠2等于（ ）A．44°B．56°C．45°D．34°8．某中学为准备“十四岁青春仪式”，原计划由八（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务，如果这4个小组的人数相等，设每个小组有学生x 名，根据题意可列方程得（）A．360360343x x -=B．360360334-=x x C．36036013x x -=+D．36036013x x -=+9．已知正方形轨道ABCD 的边长为2,m 小明站在正方形轨道AD 边的中点M 处，操控一辆无人驾驶小汽车，小汽车沿着折线A B C D ---以每秒1m 的速度向点D (终点)移动，如果将小汽车到小明的距离设为,S 将小汽车运动的时间设为,t 那么()S m 与()t s 之间关系的图象大致是（ ）A．B．C．D．10．下列计算正确的是()A．2325a a a +=B．431x x -=C．22232x y yx x y-=D．325a b ab+=二、填空题11．一个口袋中装有4个红球，3个绿球，2个黄球，每个球除颜色外其他都相同，搅匀后随机的从中摸出一个球是绿球的概率是12．已知a 2＋2a ＝1，则代数式2a 2＋4a ＋2的值为 ．13．如图，A 、D 是O 上的两点，BC 是直径，若30ADC ∠=︒，则OCA ∠= ．14．如图，在平面直角坐标系中，点(3,4)A ，点(0,)B a ，点(6,)C a ，连接BC ，过A 点作双曲线(0)m y x x=>交线段BC 于点D （不与点B 、C 重合），已知0a >．（1）m = ．（2）若BD DC >，则a 的取值范围是 ．15．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点B ,有下列说法：①CD BE =；②112.5ADB ∠=︒；③AC CD AB +=；④若DEB 的面积为1，点P 是边AB 上的中点，则ADP △的面积为2+，其中正确的是 ．三、解答题16．先化简，再求值：21222x x y x xy x ⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭，其中x ，y 满足1y =．17．计算（1）2015201(1)(( 3.14)2π--+--（2）232(42)(2)x y x x -÷-18．“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋．(1)每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？(2)“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？19．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，D 经过点A 和点B 且与边BC 相交于点E ．（1）判断AC 与⊙D 的位置关系，并说明理由；（2）若6CE =，求⊙D 的半径．20．抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，B 两点，与y 轴交于点()0,2C ．(1)求抛物线的解析式；(2)①直接写出AOC 外接圆的圆心坐标；②如图1，点E 在第一象限抛物线上，连接BE ，CD BE ∥交OB 于点D ，连接DE ，DBE 面积为4，求E 点坐标．(3)如图2，将直线AC 绕点(),P m n 顺时针旋转90︒后，得到的对应直线FG 与抛物线有唯一公共点，求m 与n 的数量关系．21．抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()()1030A B -，、，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，M 为抛物线对称轴l 上一动点，连接MA MC 、，求MA MC +的最小值及此时M 点的坐标；(3)如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，点()21F ，，P 为抛物线上一动点，Q 为抛物线对称轴l 上一动点，以点E、F、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q 的坐标．22．某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：9.6；5；8.6；8.3；9.5；10.3；7.2；6；5.4；7.7；7.6；5.1；12.5；5.5；7.4；7.3；8.1；10.2；9.3；4.8根据数据绘制了如下的表格和统计图：换算为体考分数成绩（米）频数109.6x ≥487.79.5x ≤≤a6 5.37.6x ≤≤74 3.0 5.2x ≤≤b合计20根据上面提供的信息，回答下列问题：a_______，b=________；（1）统计表中的=（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是_________；（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？参考答案1．B【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【详解】解：根据题意知8m -表示向西走8m ，故选：B．【点睛】本题考查正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．D【详解】试题解析：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选D．考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形．3．C【详解】1460000000=1.46×109.故选C.点睛:对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.4．C【分析】根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.【详解】解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48∴中位数为4646462+=.故答案为：46.【点睛】找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.5．B【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．【详解】1000(1.025cos )=1000(1.025cos30)10251025500 1.732159α--︒=-≈-⨯=故选：B．【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．6．B【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义、三角形内角和定理可得90P ∠=︒，再利用勾股定理即可求得AD 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴180ABC BCD ∠+∠=︒，AD BC =，∵BP 平分ABC ∠，CP 平分BCD ∠，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB DCB ∠=∠，∴()1902PBC PCB ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴()18090P PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒，∴BPC 是直角三角形，∵5PB =，2PC =，∴AD BC ===故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的判定．判定BPC 是直角三角形是解题的关键．7．D【分析】直接利用平角的定义结合垂直的定义和对顶角的性质分析得出答案．【详解】∵射线OC 平分平角∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝90°，∵∠1＝56°，∴∠2＝90°﹣56°＝34°．故选D．【点睛】此题主要考查了对顶角以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键．8．B【分析】设每个小组有学生x 名，根据题意“其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务”列出分式方程，即可求解．【详解】解：设每个小组有学生x 名，根据题意可列方程得，360360334-=x x故选：B．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．9．D【分析】求出小汽车在AB、BC 上运动时，MQ 的表达式即可求解．【详解】解：设小汽车所在的点为点Q，①当点Q 在AB 上运动时，AQ=t，则MQ 2=MA 2+AQ 2=1+t 2，即MQ 2为开口向上的抛物线，则MQ 为曲线，②当点Q 在BC 上运动时，同理可得：MQ 2=22+（1-t+2）2=4+（3-t）2，MQ 为曲线；故选：D．【点睛】本题考查了动点图象问题，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．10．C【详解】解：A、3a +2a =5a ，故A 错误；B、4x -3x =x ，故B 错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，故D 错误．故选C．11．1 3【分析】本题主要考查了概率公式的应用，用绿球的个数除以球的总数即可求解．【详解】∵绿球的个数为3，球的总数为4329++=，∴随机地从中摸出一个球是绿球的概率是31 93 =，故答案为：13．12．4【分析】代数式2a2＋4a＋2化成2（a2＋2a）+2，然后把a2＋2a＝1代入求值即可.【详解】解：原式=2（a2＋2a）+2，把a2＋2a＝1代入上式，原式=2×1+2=4，故答案为：4.【点睛】本题是对代数式运算的考查，熟练掌握整体代入知识是解决本题的关键. 13．60°/60度【分析】连接AB，如图，根据圆周角定理得到∠BAC=90°，∠B=∠ADC=30°，然后利用互余计算出∠ACB即可．【详解】解：连接AB，如图，∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵∠B=∠ADC=30°，∴∠ACB=90°-∠B=90°-30°=60°，即∠OCA=60°．故答案为60°．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．14． 12 24a <<【分析】（1）将点A 坐标代入双曲线解析式即可求出m 的值．（2）由题意可用a 表示出D 点坐标．即可求出BD 和DC 的长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点B 、C 不重合和BD DC >可列出不等式，解出不等式即可求出a 的取值范围．【详解】（1）由题意可知点A 在双曲线上，∴将点A 坐标代入双曲线解析式得：43m =，解得：12m =．故答案为：12．（2）由（1）可知该双曲线解析式为12y x =，∵D 点纵坐标为a ，代入双曲线解析式得：12a x =，即12x a=，∴D 点坐标为12()a a．∵线段BC 与双曲线有交点且与点B 、C 不重合，∴1206a<<，解得：2a >．∵12120D B BD x x a a =-=-=，126C D DC x x a =-=-，且BD DC >．∴12126a a>-．∴4a <．综上可知24a <<．故答案为：24a <<．【点睛】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及解不等式．利用数形结合的思想是解答本题的关键．15．①②③【分析】利用角平分线的性质和等腰直角三角形的性质可以证明①和②是正确的，证明()Rt ACD Rt AED HL ≅ ，利用全等三角形的性质得到③是正确的，根据等腰直角三角形DEB 的面积求出它的边长，再去算出大的等腰直角三角形ABC 的边长，求出ADP △的面积证明④是错误的．【详解】解：∵ABC 是等腰直角三角形，∴45B ∠=︒，∵DE AB ⊥，∴90DEB ∠=︒，∴DEB 是等腰直角三角形，∴DE BE =，∵AD 平分CAB ∠，DC AC ⊥，DE AB ⊥，∴CD DE =，∴CD BE =，故①正确；∵AD 平分CAB ∠，∴122.52DAB CAB ∠=∠=︒，∵45B ∠=︒，∴在ADB 中，180112.5ADB DAB B ∠=︒-∠-∠=︒，故②正确；在Rt ACD 和Rt AED △中，AD AD CD ED=⎧⎨=⎩，∴()Rt ACD Rt AED HL ≅ ，∴AC AE =，∵CD BE =，∴AC CD AE BE AB +=+=，故③正确；∵DEB 是等腰直角三角形，且面积是1，∴DE BE ==1BD =，∴1BC BD CD =+=1AB ==∵P 是AB 中点，。

2024年广东省深圳市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【详解】解：选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C ．2．如图，实数a ，b ，c ，d 在数轴上表示如下，则最小的实数为（）A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】A【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断．【详解】解：由数轴知，0a b c d <<<<，则最小的实数为a ，故选：A ．3．下列运算正确的是（）A ．()523m m -=-B ．23m n m m n ⋅=C ．33mn m n-=D ．()2211m m -=-【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式．根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解．【详解】解：A 、()6523m m m -=≠-，故该选项不符合题意；B 、23m n m m n ⋅=，故该选项符合题意；C 、33mn m n -≠，故该选项不符合题意；D 、()2221211m m m m -=-+≠-，故该选项不符合题意；故选：B ．4．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A ．12B ．112C ．16D ．145．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，则反射光线与平面镜夹角4∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，根据CD AB ⊥，56∠=∠，则1250∠=∠=︒，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答．【详解】解：如图：∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，∴CD AB ⊥，56∠=∠，∴152690∠+∠=∠+∠=︒，则1250∠=∠=︒，∵光线是平行的，即DE GF ，∴2450∠=∠=︒，故选：B ．6．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质解决问题的关键是掌握角平分线的判定定理．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断AD 平分BAC ∠；在图③中，利用作法得AE AF AM AN ==，，可证明AFM AEN ≌，有AMD AND ∠=∠，可得ME NF =，进一步证明MDE NDF △≌△，得DM DN =，继而可证明ADM ADN △≌△，得MAD NAD ∠=∠，得到AD 是BAC ∠的平分线；在图②中，利用基本作图得到D 点为BC 的中点，则AD 为BC 边上的中线．【详解】在图①中，利用基本作图可判断AD 平分BAC ∠；在图③中，利用作法得AE AF AM AN ==，，在AFM △和AEN △中，AE AF BAC BAC AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AFM AEN ≌，∴AMD AND ∠=∠，AM AE AN AF -=- ME NF∴=在MDE 和NDF 中AMD AND MDE NDF ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS MDE NDF ≌，∴DM DN =，∵,AD AD AM AN ==，∴()SSS ADM ADN ≌，∴MAD NAD ∠=∠，∴AD 是BAC ∠的平分线；在图②中，利用基本作图得到D 点为BC 的中点，则AD 为BC 边上的中线．则①③可得出射线AD 平分BAC ∠．故选：B ．7．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x 间，房客y 人，则可列方程组为（）A ．()7791x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．()7791x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．()7791x y x y-=⎧⎨-=⎩D ．()7791x y x y+=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x 间，房客y 人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可．【详解】解：设该店有客房x 间，房客y 人；根据题意得：()7791x yx y +=⎧⎨-=⎩，故选：A ．8．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m 的测量仪EF 测得的仰角为45︒，小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得的仰角为53︒，则电子厂AB 的高度为（）（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）A ．22.7mB ．22.4mC ．21.2mD ．23.0m【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形，与俯角有关的解直角三角形，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG 、EFBM 、CDBN 是矩形，再设m GM x =，表示()5m EM x =+，然后在Rt tan AMAEM AEM EM∠=，，以及Rt tan AN ACN ACN CN ∠= ，，运用线段和差关系，即∵MEF EFB CDF ∠=∠=∠∴四边形EFDG 是矩形∵90MEF EFB B ∠=∠=∠=∴四边形EFBM 是矩形同理得四边形CDBN 是矩形故选：A二、填空题9．已知一元二次方程230x x m -+=的一个根为1，则m =．【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解： 关于x 的一元二次方程230x x m -+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m -+=，130m ∴-+=，解得，2m =．故答案为：2．10．如图所示，四边形ABCD ，DEFG ，GHIJ 均为正方形，且10ABCD S =正方形，1GHIJ S =正方形，则正方形DEFG 的边长可以是．（写出一个答案即可）∴正方形DEFG 的边长GH DE CD <<，即13DE <≤，∴正方形DEFG 的边长可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．11．如图，在矩形ABCD 中，BC =，O 为BC 中点，4OE AB ==，则扇形EOF 的面积为．12．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形，tan 3AOC ∠=，且点A 落在反比例函数3y x =上，点B 落在反比例函数()0ky k x=≠上，则k =．【答案】8【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点A B 、作x 轴的垂线，垂足分别为D E 、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得232A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，52OA =，再求得点()42B ，，利用待定系数法求解即可．【详解】解：过点A B 、作x 轴的垂线，垂足分别为D E 、，如图，∵4tan 3AOC ∠=，∴43AD OD =，∴设4AD a =，则3OD a =，∴点()34A a a ，，∵点A 在反比例函数3y x=上，∴343a a ⋅=，∴12a =（负值已舍），则点232A ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴2AD =，32OD =，∴2252OA OD AD =+=，∵四边形AOCB 为菱形，13．如图，在ABC 中，AB BC =，tan 12B ∠=，D 为BC 上一点，且满足5BD CD =，过D 作DE AD ⊥交AC 延长线于点E ，则CEAC=．∵85BD DC =，AB BC =，设13AB BC x ==，∴85BD x DC x ==，，∵5tan 12B ∠=，AH CB ⊥，∴cos DM CD =⋅∵DE AD ⊥,CM ∴MC DE ∥，∴CE DM ==三、解答题14．计算：()1012cos 45 3.1414π-⎛⎫-⋅︒+-+ ⎪⎝⎭．15．先化简，再求值：221111a aa a-+⎛⎫-÷⎪，其中1a=+16．据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数：学校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50，50学校B：(1)学校平均数众数中位数方差A①________4883.299B 48.4②________③________354.04(2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由．【答案】(1)①48.3；②25；③47.5(2)小明爸爸应该预约学校A ，理由见解析【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性：（1）根据平均数，中位数和众数的确定方法，进行求解即可；（2）根据方差判断稳定性，进行判断即可．【详解】（1）解：①()1283040454848484848505048.310++++++++++=；②数据中出现次数最多的是25，故众数为25；③数据排序后，排在中间两位的数据为45,50，故中位数为：()1455047.52+=；填表如下：学校平均数众数中位数方差A 48.34883.299B 48.42547.5354.04（2）小明爸爸应该预约学校A ，理由如下：学校A 的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的进行锻炼．17．背景【缤纷618，优惠送大家】今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．素材如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1m ，每增加一辆购物车，车身增加0.2m ．问题解决任务1若某商场采购了n 辆购物车，求车身总长L 与购物车辆数n 的表达式；任务2若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m ，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？任务3若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？18．如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若56AB =5BE =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)35【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：（1）连接BO 并延长，交AD 于点H ，连接OD ，易证BO 垂直平分AD ，圆周角定理，切线的性质，推出四边形BHDE 为矩形，即可得证；（2）由（1）可知5DH BE ==，勾股定理求出BH 的长，设O 的半径为r ，在Rt AOH △中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）证明：连接BO 并延长，交AD 于点H ，连接OD ，∵AB BD =，OA OD =，∴BO 垂直平分AD ，∴BH AD ⊥，AH DH =，∵BE 为O 的切线，∴HB BE ⊥，∵AC 为O 的直径，∴90ADC ∠=︒，19．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x ，y 轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD 的读数为x ，CD 读数为y ，抛物线的顶点为C ．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y 01 2.254 6.259（Ⅱ）描点：请将表格中的(),x y 描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y 与x 的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线()2y a x h k =-+的顶点为C ，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB ，竖直跨度为CD ，且AB m =，CD n =，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数()2y a x h k =-+平移，使得顶点C 与原点O 重合，此时抛物线解析式为2y ax =．①此时点B '的坐标为________；②将点B '坐标代入2y ax =中，解得=a ________；（用含m ，n 的式子表示）方案二：设C 点坐标为(),h k ①此时点B 的坐标为________；②将点B 坐标代入()2y a x h k =-+中解得=a ________；（用含m ，n 的式子表示）(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy 中有A ，B 两点，4AB =，且AB x ∥轴，二次函数()211:2C y x h k =++和()222:C y a x h b =++都经过A ，B 两点，且1C 和2C 的顶点P ，Q 距线段AB 的距离之和为10，若AB x ∥轴且4AB =，求a 的值．观察图象知，函数为二次函数，20．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．(1)如图1所示，四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，AF =2CE =，则AE =________；AB =________；(2)如图2，若四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，且AB BD =，猜想AF 与CD 的关系，并说明理由；(3)①如图3所示，在ABC 中，5BE =，212CE AE ==，BE AC ⊥交AC 于点E ，请画出以BC 为边的垂中平行四边形，要求：点A 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；②若ABC 关于直线AC 对称得到AB C 'V ，连接CB '，作射线CB '交①中所画平行四边形的边于点P ，连接PE，请直接写出PE的值．第二种情况：作ABC ∠的平分线，取CH CB =线BA 上取AF AB =，连接DF 故A 为BF 的中点；第三种情况：作AD BC ∥，交BE 的延长线于点在DA 延长线上取点F ，使则A 为DF 的中点，同理可证明12AD BC =，从而②若按照图1作图，∠=∠，由题意可知，ACB ACP四边形ABCD是平行四边形，ACB PAC∴∠=∠，∴∠=∠，PAC PCA延长CA 、DF 交于点G ，同理可得：PGC 是等腰三角形，连接PA ，GF BC ∥ ，故答案为：3414PE =或3412．【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的。

深圳深圳实验学校中考数学期末几何综合压轴题易错汇编一、中考数学几何综合压轴题1．（操作）如图①，在矩形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点（不与点A 重合），将ADE ∆沿射线AB 方向平移到BCF ∆的位置，E 的对应点为F ．已知ADE BCF ∆∆≌（不需要证明）．（探究）过图①中的点E 作//EG BC 交FB 延长线于点G ，连接AG ，其它条件不变，如图②．求证：EGA BCF ∆∆≌．（拓展）将图②中的BCF ∆沿BC 翻折得到BCF '∆，连接GF '，其它条件不变，如图③．当GF '最短时，若4AB =,2BC =，直接写出FF '的长和此时四边形BFCF '的周长．解析：探究：见解析；拓展：'4,FF = 四边形'BFCF 的周长为4 5. 【分析】探究：证明四边形EGBC 是平行四边形，推出EG=BC ，利用SAS 证明三角形全等即可． 拓展：如图3中，连接BD 交AC 于点O ，作BK ⊥AC 于K ，F′H ⊥BC 于H ．由题意四边形AGFC 是平行四边形，推出GF=AC=25，由BF=BF′，可以假设BF=x ，则BG=25,x -利用相似三角形的性质，求出BH ，HF′，利用勾股定理求出GF′，再利用二次函数的性质，求出GF′的值最小时BF′的值，推出BF′=5 此时点F′与O 重合，由此即可解决问题．【详解】解：探究：由平移AE BF =，//AE BF∴//AC GF ，即//CE BG又∵//EG BC ，∴四边形BCEG 为平行四边形∴EG BC =∵//AC FG ，∴∠CBF=∠ACB ，∵//EG BC∴∠AEG=∠ACB ，∴∠AEG=∠CBF∴EGA BCF ∆∆≌．拓展：如图3中，连接BD 交AC 于点O ，作BK ⊥AC 于K ，F′H ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°，AB=4，BC=2， ∴22224225,AC AB BC +=+∵11,22AB CB AC BK •=• ∴45BK = ∴22224535(5)()5OK OB BK -=- 由题意四边形AGFC 是平行四边形， ∴GF=AC=5∵BF=BF′，可以假设BF=x ，则BG=25,x∵AC ∥GF ， ∴∠BOK=∠HBF′，∵∠BKO=∠F′HB=90°，∴△F′HB ∽△BKO ，∴ '',F H BH BF BK OK OB== ∴'45355== ∴'4338,,2525,5555F H x BH x GH BG BH x x x ===-=-= ∴''222224816325()(25)20,5555GF F H GH x x x x =++--+ ∵ 165＞0， ∴当32555,1625x -=-=⨯ 时，GF′的值最小， 此时点F′与O 重合，由对折得：'',,CF CF BF BF ==由矩形的性质得：'',BF CF ='',BF CF BF CF ∴===∴ 四边形BFCF′是菱形，∴ 四边形BFCF′的周长为45， ',FF BC ∴⊥ 且'FF 与BC 互相平分， 由勾股定理得：'222(5)1 4.FF =-=【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．2．如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=，将边AB 绕点A 逆时针旋转至'AB ，记旋转角为α．过点D 作DF BC ⊥于点F ，过点B 作BE ⊥直线'B D 于点E ，连接EF ． （探索发现）(1)填空：当60α=时，'EBB ∠ = ．'EF DB 的值是 （验证猜想）(2)当0360α<<时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（拓展应用）(3)在(2)的条件下，若22AB =，当BDE ∆是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF 的长．解析：（1）3032）当0360α<<时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）线段EF 的长为33【分析】(1)当60α=时，点B ′与点C 重合，BE ⊥ CD ，由四边形ABCD 为菱形，可求∠ABE =90°，由120BAD ∠=，可求∠ABC =60°，'EBB ∠=30°，由DF ⊥BC ，DC ∥AB ，∠FDC =∠EBC =30°，由sin ∠FDC =sin ∠EBC =CF CE DC BC=，可得CF =CE ，可求∠CEF =∠FDC =30°即可； (2)当0360α<<时， (1)中的结论仍然成立．先求'60EB B ∠=︒，再证'EBB CBD ∠=∠．最后证'DBB FBE ∆∆∽即可；(3) 连接AC ，BD 交于点O ．先求OB =DE ='2EB =．分两种情况：①如图先求'2B D =，再证△B′BD ∽△EBF ，可得EF B D ′②如图先求'2B D =．再证△B′BD ∽△EBF ，EF B D ′ 【详解】(1)当60α=时，点B ′与点C 重合，∵BE ⊥ CD ，四边形ABCD 为菱形，CD ∥AB ，∴BE ⊥AB ，∴∠ABE =90°，∵120BAD ∠=，AD ∥BC ，∴∠ABC =180°-∠BAD =180°-120°=60°，∴'EBB ∠=∠ABE -∠ABC =90°-60°=30°，∵DF ⊥BC ，DC ∥AB ，∴DF ⊥AD ，∠CDA =180°-∠BAD =60°，∴∠FDC =90°-∠CDA =30°，∠FCD =90°-∠FDC =60°，∴∠FDC =∠EBC =30°，∴sin ∠FDC =sin ∠EBC =CF CE DC BC =， ∵DC =BC ，∴CF =CE ，∴∠CFE =∠CEF =12∠FCD =30°，∴∠CEF =∠FDC =30°，∴DF =FE ，∵cos ∠FDC =DF DC =，∴'EF DB =DF DC =故答案为30(2)当0360α<<时， (1)中的结论仍然成立．证明：如图1，连接BD ．'AB AD AB ==， 1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-，1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+． '180''180(90)(30)6022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒， '30EBB ∴∠=︒． 11(180)3022CBD ABC BAD ∠=∠=︒-∠=︒． 'EBB CBD ∴∠=∠．'''EBB FBB CBD FBB ∴∠+∠=∠+∠，即'DBB EBF ∠=∠．3cos 2BF DBF BD ∠==，3cos ''2BE EBB BB ∠==， 'BF BE BD BB ∴=． 'DBB FBE ∆∆∽．3''2EF BE DB BB ∴==，(3)线段EF 的长为3333连接AC ，BD 交于点O ．AC DB ⊥，1602BAO BAD ∠=∠=︒，sin 6OB AB BAO ∴=⋅∠=226BD OB ∴== ∵DE =BE ，∠DEB =90°，∴∠EDB =∠EBD =45°，2sin 26232DE BE BD DBE ∴==⋅∠=⨯=． 'AB AD AB ==，∠B′EB =90°，1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-，1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+． '180''180(90)(30)6022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒， '30EBB ∴∠=︒． 3'tan '2322EB BE EBB ∴=⋅∠=⨯=． 分两种情况：①如图，''232B D DE B E =+=+，∵∠B′BE =∠DBF =30°，∴cos ∠B ′BE =cos ∠DBF =3=2EB FB B B DB ='， 又∵∠B′BE +∠EBD =∠EBD +∠DBF ，∴∠B′BD =∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴3==2EB FB EF B B DB B D =''， 33(232)3322EF B D '∴==⨯+=+ ．②如图，''232B D DE B E =-=．∵∠B′BE =∠DBF =30°，∴cos ∠B′BE =cos ∠DBF =3EB FB B B DB =' 又∵∠B′BE -∠FBB′=∠DBF-∠FBB ′，∴∠B′BD =∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ， ∴3==2EB FB EF B B DB B D =''， 33(232)3322EF B D '∴=⨯=⨯-=-．综上所述，线段EF 的长为33+或33-．【点睛】本题考查图形旋转变换，菱形性质，锐角三角函数值，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，掌握图形旋转变换，菱形性质，锐角三角函数值，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质是解题关键．3．（问题原型）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以AC 为直径作O ．求证：点B 、D 在O 上．请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程．（发现结论）矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．（结论应用）如图，已知线段2AB =，以线段AB 为对角线构造矩形ACBD ．求矩形ACBD 面积的最大值．（拓展延伸）如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，以线段EF 为对角线构造矩形EGFH ，矩形EGFH 的边与正方形ABCD 的对角线AC 交于M 、N 两点，当MN 的长最大时，矩形EGFH 的面积为_____________________解析：问题原型：见解析；结论应用：见解析；发现结论：2；拓展延伸：2【分析】问题原型：运用矩形对角线互相平分且相等，即可求证四点共圆；结论应用：根据结论矩形面积最大时为正方形，利用对角线的长求得正方形的面积； 拓展延伸：由上一问的结论，可知四边形EGFH 为正方形, 证明四边形AEOH 是正方形，继而求得面积【详解】解：【问题原型】∵AC 为O 直径，∴OA 为O 半径.令OA r =.∵四边形ABCE 为矩形，∴AC BD =，12OA OC AC ==，.12OB OD BD == ∴OB OD OA r ===.∴点B 、D 在O 上.【结论应用】连续CD 交AB 于点O ，过点D 作DE AB ⊥于点E .∴DE OD ≤.由【发现结论】可知，点D 在以AB 为直径的圆上，即112OD OA AB ===， ∴当1DE OD ==即AB CD ⊥时，矩形ACBD 的面积最大.2AB CD ==∴矩形ACBD 的面积最大值为22112222AB =⨯=. 【拓展延伸】 如图，连接GH ,设AC 与EF 的交点为O四边形ABCD 是正方形2AB ∴=,90BAD ADC ∠=∠=︒，//AE DF点E 、F 分别为边AB 、CD 的中点1AE EB CF FD ∴====,2EF =∴四边形AEFD 是矩形//EF AD ∴EF AB ⊥，由【结论应用】可知，2EF =时，矩形EGFH 的面积最大为2122EF = 此时四边形EGFH 为正方形，此时MN 最大，EF GH ∴⊥,112EO OF OH OG EF ===== ∴四边形AEOH 是正方形∴112AE AH AB === ∴2222112EH AE AH =+=+=∴正方形EGFH 的面积为：22(2)2EH ==【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，灵活运用矩形，正方形的性质和判定是解题的关键．4．在ABC 中，点D ，E 分别是AB AC ，边上的点，//DE BC ．基础理解：（1）如图1，若43AD BD ==，，求AE AC 的值； 证明与拓展：（2）如图2，将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △，连接11,BD CE ； ①求证：11BD AD CE AE=； ②如图3，若90,6,BAC AB AC AD ADE ∠=︒<=，在旋转的过程中，点1D 恰好落在DE 上时，连接1113,4BD EE CE =，则11E D E 的面积为________． 解析：（1）47；（2）①见详解；②13.44 【分析】（1）利用平行线分线段定理，直接求解即可；、 （2）①先推出11AD AB AE AC=，从而得11ABD ACE ∽，进而即可得到结论；②先推出AE =AE 1 =8，DE =D 1E 1=10，过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM = 3.6，D 1E =2.8，再证明∠D 1EE 1=90°，进而即可求解．【详解】解：（1）∵//DE BC ，43AD BD ==，， ∴AE AC =44437AD AB ==+； （2）①∵将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △， ∴1AD =AD ，1AE =AE ，∠BAD 1=∠CAE 1，∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC =，即AD AB AE AC=， ∴11AD AB AE AC=， ∴11ABD ACE ∽， ∴1111BD AD AD CE AE AE ==；②由①可知11ABD ACE ∽， ∴111134BD AD CE AE ==， ∵将ADE 绕点A 逆时针旋转，得到11AD E △，点1D 恰好落在DE 上， ∴AD 1=AD =6，∠D 1AE 1=∠DAE =90°，∴AE =AE 1=43AD 1=8，DE =D 1E 1=226810+=，过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM =D 1M =AD ×cos ∠ADE = AD ×ADDE =6×610=3.6，∴D 1E =10-3.6 ×2=2.8， ∵∠D 1AE 1=∠DAE =90°， ∴∠DAD 1=∠EAE 1， 又∵AD 1=AD ，AE =AE 1， ∴∠ADE =11118018022DAD EAE AEE ︒-∠︒-∠==∠，∴∠AED +1AEE ∠=∠AED +∠ADE =90°，即：∠D 1EE 1=90°， ∴22110 2.89.6EE -， ∴11E D E 的面积=12D 1E ∙EE 1=12×2.8×9.6=13.44． 故答案是：13.44． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 5．[探究函数4y x x=+的图象与性质] （1）函数4y x x=+的自变量x 的取值范围是 ； （2）下列四个函数图象中函数4y x x=+的图象大致是 ；（3）对于函数4y x x=+，求当x 0>时，y 的取值范围. 请将下列的求解过程补充完整. 解：∵x 0> ∴()2224y x x x xx x =+=+=+∵20x x ≥∴ y ≥ .[拓展运用]（4）若函数259x x y x -+=，则y 的取值范围 .解析：（1）0x ≠；（2）C ；（3）4，4；（4）1y ≥ 【详解】试题分析：本题的⑴问抓住函数是由分式给定的，所以抓住是分母不为0,即可确定自变量的取值范围.本题的⑵问结合第⑴问中的0x ≠，即0x >或0x <进行分类讨论函数值y 的大致取值范围，即可得到函数的大致图象.本题的第⑶问根据函数的配方逆向展开即推出“（ ）”应填写“常数”部分，再根据配方情况可以得到当当0x >时，y 的取值范围.本题的⑷问现将函数改写为95y x x=+-的形式，再按⑶的形式进行配方变形即可求y 的取值范围. 试题解析：（1）由于函数4y x x=+是分式给定的，所要满足分母不为0，所以0x ≠. 故填：0x ≠.（2）0x ≠即0x >或0x <；当0x >时，y 的值是正数，此时画出的图象只能在第一象限；当0x <时，y 的值是负数，此时画出的图象只能在第三象限；所以函数4y x x=+的图象只在直角坐标系的一、三象限.故其大致图象应选C.（3）∵244x x x x =-+，∴(()22244y x x x xx x =+=+=+.故分别填：44，； （4） ∵0x >（这里隐含有y 首先是正数）∴()222259933551x x y x x x x xx x -+⎛⎫⎛⎫==-+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵230x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∴ 1y ≥.6．（问题情境）如图1，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 、CE ．求证：BCE1S2=S 平行四边形ABCD ．（说明：S 表示面积） 请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边相切于点H ，与BD 相交于点M ．若AD ＝6，BD ＝y ，AM ＝x ，试求y 与x 之间的函数关系式． （探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F 在CD 上，连接AF 、BF ，AF 与CE 相交于点G ，若AF ＝CE ，求证：BG 平分∠AGC ．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，过D 分别作DG ⊥AF 于G ，DH ⊥CE 于H ，请直接写出DG ：DH 的值．解析：【问题情境】见解析；【探究应用1】18y x=；【探究应用2】见解析；【迁移拓1927 【分析】（1）作EF ⊥BC 于F ，则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ，即可得出结论； （2）连接OH ，由切线的性质得出OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，求出平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝18，由圆周角定理得出AM ⊥BD ，得出△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ．（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝＝，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF ＝，CE ，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果． 【详解】（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示： 则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCEABCDSS =．（2）解：连接OH ，如图2所示： ∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9，∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ，∵AF ＝CE ， ∴BM ＝BN ， ∴BG 平分∠AGC ．（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示： ∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°， ∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1， ∴BE ＝2x ，BF ＝2x ， ∴BQ ＝x ，∴EQ ＝3x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝22AP PF +＝27x ，CE ＝22EQ QC +＝19x ， 连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 7．()1问题发现如图①，正方形,ABCD DEFG 、将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE CG 、交于点,P 请直接写出线段AE 与CG 的数量关系是 ，位置关系是 _；()2拓展探究如图②，矩形,2,2,ABCD DEFG AD DE AB DG ==、将矩形DEFG 绕点D 旋转，直线,AE CG 交于点,P ()1中线段关系还成立吗/若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AE CG 、的数量关系和位置关系，并说明理由；()3解决问题在()2的条件下，24,28,AD DE AB DG ====矩形DEFG 绕D 点旋转过程中，请直接写出当点P 与点G 重合时，线段AE 的长，解析：()1,AE CG AE CG =⊥；()()21中数量关系不成立，位置关系成立．1,2AE AE CG CG =⊥，理由见解析；()32565【分析】（1）证明△ADE ≌△CDG （SAS ），可得AE ＝CG ，∠DAG ＝∠DCG ，再由直角三角形两个锐角互余即可证得AE ⊥CG ；（2）先证明△ADE ∽△CDG ，利用相似三角形的性质证明即可．（3）先通过作图找到符合题意的两种情况，第一种情况利用勾股定理求解即可；第二种情况借助相似三角形及勾股定理计算即可． 【详解】（1）,AE CG AE CG =⊥；理由如下：由题意知在正方形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，,AD DC DE DG ==，EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠ EDA GDC ∴∠=∠在△ADE 与△CDG 中，AD DC ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CDG （SAS ） ∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等，∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠ 90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．即：1,2AE AE CG CG =⊥ 理由如下：由题意知在矩形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠2,2AD DE AB DG ==，12ED DG AD DC ∴== .EDAGDC ∴12AE CG ∴=，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠ 90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．综上所述：1,2AE AE CG CG =⊥ （3）如图1，当点G 、P 在点A 处重合时，连接AE ， 则此时∠ADE ＝∠GDE ＝90°∴在Rt △ADE 中，AE 22224225AD DE +=+，如图1，当点G 、P 重合时， 则点A 、E 、G 在同一直线上， ∵AD ＝DG ＝4， ∴∠DAG ＝∠DGA ，∵∠ADC ＝∠AGP ＝90°，∠AOD ＝∠COG ， ∴∠DAG ＝∠COG ， ∴∠DGA ＝∠COG ， 又∵∠GDO ＝∠CDG ， ∴△GDO ∽△CDG ， ∴DO DG OGDG DC CG == ∴448DO OGCG== ∴DO ＝2，CG ＝2OG ， ∴OC ＝DC －DO ＝8－2＝6， ∵在Rt △COG 中，OG 2＋GC 2＝OC 2， ∴OG 2＋（2OG ）2＝62， ∴OG 655∴CG 1255由（2）得：12AE CG =∴AE 655综上所述，AE 的长为25655【点睛】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． 8．问题探究（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD与BD之间的位置关系：________；②若AC＝BC＝10，DC＝CE＝2，则线段AD的长为________；拓展延伸（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．解析：（1）①垂直，②4；（2）作图见解析，33或23【分析】（1）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求DF，CF，AF的长，即可求AD的长；（2）分点D在BC左侧和BC右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD⊥BD故答案为：垂直②如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ADC=45°，CF ⊥AD ，CD=2 ∴DF=CF=1∴22AF AC CF 3=-= ∴AD=AF+DF=4 故答案为：4． （2）①如图：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝21，BC ＝7，CD ＝3，CE ＝1， ∴AB=27,DE=2,∠ACD ＝∠BCE, 7AC BCDC CE==． ∴△ACD ∽△BCE ． ∴∠ADC ＝∠E ，3AD ACBE BC==． 又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE =90°，即∠ADE=90°． ∴AD ⊥BE ．设BE=x ，则AD=3x ．在Rt △ABD 中，222AD BD AB +=，即2223)(2)(27)x x +-=（． 解得123,2x x ==-（负值舍去）． ∴AD=33． ②如图，同①设BE=x ，则3．在Rt △ABD 中，222AD BD AB +=，即2223)(+2)(27)x x +=（． 解得122,3x x ==-（负值舍去）． ∴AD=3综上可得，线段AD 的长为332 3.或 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线． 9．（基础巩固）（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△． （尝试应用）（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AEAF的值． （拓展提高）（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．解析：（1）见解析；（2）54；（3）113AB = 【分析】（1）由,ABC ACD ACE A ABC α∠=∠=∠=∠+∠证明A DCE ∠=∠，再根据相似三角形的判定方法解题即可；（2）由菱形的性质，得到AB AD =，60A ∠=︒，继而证明ABD △是等边三角形，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质，设,2,,BP a DP a AE PE x AF PF y ======，则3,3DE a x BF a y =-=-可整理得到54x y =，据此解题； （3）在AD 边上取点E ，F ，使得30ABE DCF ∠=∠=︒，由矩形的性质，得到120BEP BPC PFC ∠=∠=∠=︒，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质解题即可．【详解】解：（1）证明：∵,ABC ACD ACE A ABC α∠=∠=∠=∠+∠， ∴DCE A αα∠+=∠+，即A DCE ∠=∠， ∵ABC CED α∠=∠=， ∴ABC CED ∽△△； （2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB AD =， ∴60A ∠=︒，∴ABD △是等边三角形，∴60EPF A ADB ABD ∠=∠=∠=∠=︒，由（1）得，EPD PFB ∽， ∴DE PD PEPB BF PF==， 设,2,,BP a DP a AE PE x AF PF y ======，则3,3DE a x BF a y =-=- ∴323a x a xa a y y-==-， 可得3ay xy ax -=①，32ax xy ay -=②， ①－②，得332ay ax ax ay -=-， ∴54x y =， ∴AE AF 的值为54； （3）如图，在AD 边上取点E ，F ，使得30ABE DCF ∠=∠=︒，设AB =CD =m ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴90A D ∠=∠=︒，∴120BEP BPC PFC ∠=∠=∠=︒， 60BPE DFC ︒∠=∠=1,sin 60233AB BE CF AE BE ∴====︒= DF ， 223PE AE ∴=-= 443PF DF ∴=-= 由（1）可得，BEP PFC ∽， ∴BE EPPF FC=， ∴2332433m m -=-22380m m +-=， 解得113m =311m = ∴113AB =． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题、等边三角形的性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．10．在Rt ABC ∆中，90,7,2ACB AB AC ︒∠===，过点B 作直线//m AC ，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到A B C ''∆（点,A B 的对应点分别是,A B ''），射线,CA CB ''分别交直线m 于点,P Q ．（1）问题发现：如图1所示，若P 与A '重合，则ACA '∠的度数为_________________ （2）类比探究：如图2，所示，设A B ''与BC 的交点为M ，当M 为A B ''中点时，求线段PQ 的长；（3）拓展延伸：在旋转过程中，当点,P Q 分别在,CA CB ''的延长线上时，试探究四边形PA B Q ''的面积是否存在最小值，若存在，直接写出四边形PA B Q ''的最小面积；若不存在，请说明理由解析：（1）60°；（2）72；（3）存在，33【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到3∠A'BC=90°，可得cos ∠A'CB=3BC A C '=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°； （2）根据M 为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM ，进而得到PB= 3BC A C '=tan ∠BQC=tan ∠33，进而得出PQ=PB+BQ=72； （3）依据S 四边形PA'B′Q =S △PCQ -S △A'CB '=S △PCQ 3S 四边形PA'B′Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ =123，利用几何法或代数法即可得到S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA'B′Q =3-3【详解】解（1）由旋转得：2AC A C '==， 90,7,2,3ACB AB AC BC ︒∠===∴=90,//ACB m AC ︒∠=， 90A BC ︒'∴∠=，3cos BC A CB A C '∴∠==' 30A CB ︒'∴∠=， 60A CA ︒'∴∠=；(2)因为M 是AA '中点，所以A CM MA C ''∠=∠，A MA C '∠=∠，A A CM '∴∠=∠，3tan tan 2PCB A ∠=∠=∴， 3322PB BC ∴==． ∵∠PCQ=∠PBC=90°，∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°， ∴∠BQC=∠BCP=∠A ， 3tan tan 2BQC A ∴∠=∠=， 223BQ BC ∴=⨯=， 72PQ PB BQ ∴=+=； (3) 3PA B Q PCQ A CB PCQ S S S S ''''∆=-=-， PA B Q S ''∴最小，即PCQ S 最小，1322PCQ S PQ BC PQ ∴=⨯=， 取PQ 的中点G ，190,2PCQ CG PQ ︒∠=∴=，即PQ=2CG ， 当CG 最小时， PQ 最小，CG PQ ∴⊥， CG 与CB 重合，CG 最小，∵CG 3PA B Q S ''∴33= 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现：由5525510+=⨯；11112233333+=⨯=；0.40.420.40.40.8+=⨯=；1155255+>⨯=；0.2 3.220.2 3.2 1.6+>⨯；1111128282+>⨯ 猜想：如果0a >，0b >，那么存在2a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）．猜想证明：∵()20a b-≥∴①当且仅当0a b -=，即a b =时，20a ab b -+=，∴2a b ab +=； ②当0a b -≠，即ab 时，20a ab b -+>，∴2a b ab +>．综合上述可得：若0a >，0b >，则2a b ab +≥成立（当日仅当a b =时等号成立）． 猜想运用：（1）对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？解析：（1）1x =，函数y 的最小值为2；（2）4x =，函数y 的最小值为5；（3）每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米 【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为1333y x x =+-+-，再根据材料中方法计算即可； 拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可． 【详解】 猜想运用： ∵0x >， ∴10x>， ∴1122y x x x x=+≥⋅，∴当1x x=时，min 2y =， 此时21x =， 只取1x =，即1x =时，函数y 的最小值为2． 变式探究： ∵3x >， ∴30x ->，103x ，∴133353y x x =+-+≥=-， ∴当133x x =--时，min 5y =， 此时()231x -=， ∴14x =，22x =（舍去），即4x =时，函数y 的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意得：91263x y +=，即3421x y +=， ∵30x >，40y >， ∴34x y +≥，即21≥ 整理得：14716xy ≤， 即14716S ≤， ∴当34x y =时max 14716S =， 此时72x =，218y =， 即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米． 【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．12．如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，30C ∠=︒，4BC =，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE .将EDC △绕点C 按逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现 ①当0α=︒时，BD AE =；②当180α=︒时，BDAE=； （2）拓展探究试判断：当0360α︒≤<︒时，BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决当EDC △旋转至//DE AC 时，请直接写出BD 的长． 解析：（1）332）不变，证明见解析；（3）37【分析】（1）①当α=0°时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，分别求出AE 、BD 的大小，即可求出BD 、AE 的比值； ②中，图形如下，与①有所变化，但求解方法完全相同； （2）证明△ECA ∽△DCB ，从而根据边长成比例得出比值；（3）存在2种情况，一种是当0180α︒<<︒时，//DE AC ；另一种是当180360α︒<<︒时，//DE AC ，分别利用勾股定理可求得．【详解】（1）①∵在Rt ABC △中，90B ∠=︒，30C ∠=︒，4BC =，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点∴CD=BD=2，在Rt △ABC 中，4383∴43∴343BD AE =；②图形如下：同理可知：BC=4，AC=833，DC=2，DE=233，CE=433∴BD=DC+CB=2+4=6，AE=EC+AC=438333+=1233∴6321233BD AE ==；（2）不变，理由如下 ∵∠ECD=∠ACB ， ∴∠ECA=∠DCB ， 又∵32DC CB EC CA ==， ∴△ECA ∽△DCB ， ∴32BD DC AE EC ==； （3）情况一：当0180α︒<<︒时，//DE AC ，图形如下，过点D 作BC 的垂线，交BC 延长线于点F∵ED ∥AC ，∴∠ACD=∠EDC=90° ∵∠ACB=∠ECD=30° ∴∠ECF=30°，∴∠FCD=60° ∵CD=2∴在Rt △DCF 中，CF=1，3∴FB=FC=CB=1+4=5∴在Rt △FDB 中，DB=22DF FB +=27；情况二：当180360α︒<<︒时，//DE AC ，图形如下，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点F∵DE ∥AC ，∴∠ACD=90° ∵∠ACB=30°，∴∠DCF=60°∵CD=2，∴在Rt △CDF 中，CF=1，DF=3 ∴FB=CB －CF=4－1=3∴在Rt △FDB 中，DB=22DF FB +=23 综上得：DB 的长为23或27． 【点睛】此题属于旋转的综合题．考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 13．问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．（I ）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）． （II ）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．解析：(1)12;(2)12；（3）（ab）2sin2α．（ab）2sin2α．【解析】试题分析：（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=•22=，S2=•（4）2=4，由此即可解决问题；（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得，推出，推出xy=8，由S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，可得S1•S2=x•y=xy=12；（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，可得S1•S2=（ab）2sin2α．（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；试题解析：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，∵DE∥BC，∠EDF=60°，∴∠BND=∠EDF=60°，∴∠BDN=∠ADM=60°，∴△ADM，△BDN都是等边三角形，∴S1=•22=，S2=•（4）2=4，∴S1•S2=12，（2）如图2中，设AM=x，BN=y．∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴，∴，∴xy=8，∵S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，∴S1•S2=x•y=xy=12．（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，∴S1•S2=（ab）2sin2α．Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，∴S1•S2=（ab）2sin2α．考点：几何变换综合题．14．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现① 当0α︒=时，AEBD=；② 当时，AEBD=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEDB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.解析：（1）55.（2）无变化；理由参见解析.（3）5125.【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出AEBD的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据AC BCAE BD=，求出AEBD的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据5EC ACDC BC==△ECA∽△DCB，即可求出AE BD 的值是多少，进而判断出AEBD的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【详解】（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴2222(82)845AB BC+÷+=∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴45252AE ==,BD=8÷2=4， ∴25542AE BD ==． ②如图1，，当α=180°时， 可得AB ∥DE ，∵AC BC AE BD =， ∴45582AE AC BD BC === （2）如图2，，当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB ，∴∠ECA=∠DCB ，又∵52EC AC DC BC ==， ∴△ECA ∽△DCB ，∴52AE EC BD DC ==． （3）①如图3，，∵5CD=4，CD ⊥AD ，∴2222(45)480168AC CD ---∵AD=BC ，AB=DC ，∠B=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=45． ②如图4，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，，∵AC=45，CD=4，CD ⊥AD ，∴AD=2222(45)480168AC CD -=-=-=，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴DE=111(82)4222AB =⨯÷=⨯=2， ∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得52AE BD =， ∴BD=6125552=．综上所述，BD 的长为45或1255． 15．（问题）如图1，在Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线l 平行于AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；（数学思考）（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A C 、），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程；（拓展引申）（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点AB 、），N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与BC 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．解析：【探究发现】（1）见解析；【数学思考】（2）见解析；【拓展引申】（3）22AM =BQ 有最大值为2．【分析】根据等腰三角形的性质及平行的定义即可解得根据证明()CDP GDB ASA ≌即可推出DP DB =过点M 作MH MN ⊥交AC 于点H ，连接,CM HQ ，可证明()AMH BNQ ASA ≌，再推出ACM BMQ ∽即可得AC AM BM BQ =42AM BQAM =-，则22AM = 【详解】证明：【探究发现】 （1）∵90,ACB AC BC ∠=︒=∵CD AB∴45CBA DCB ∠=∠=︒，且BD CD ⊥∴45DCB DBC ∠=∠=︒∴DB DC =即DB DP =【数学思考】（2）∵,45DG CD DCB ⊥∠=︒∴45DCG DGC ∠=∠=︒∴,135DC DG DCP DGB =∠=∠=︒，∵90BDP CDG ∠=∠=︒∴CDP BDG ∠=∠，且,135DC DG DCP DGB =∠=∠=︒，∴()CDP GDB ASA ≌∴BD DP =【拓展引申】（3）如图4，过点M 作MH MN ⊥交AC 于点H ，连接,CM HQ ，∵MH MN ⊥，∴90AMH NMB ∠+∠=︒∵,90CD AB CDB ∠=︒∥∴90DBM ∠=︒∴90NMB MNB ∠+∠=︒∴HMA MNB ∠=∠，且,45AM BN CAB CBN =∠=∠=︒∴()AMH BNQ ASA ≌∴AH BQ =∵90,4ACB AC BC ∠=︒==， ∴42,AB AC AH BC BQ =-=-∴CH CQ =∴45CHQ CQH CAB ∠=∠=︒=∠∴HQ AB ∥∴HQM QMB ∠=∠∵90ACB HMQ ∠=∠=︒∴点H ，点M ，点Q ，点C 四点共圆，∴HCM QMB ∠=∠，且45A CBA ∠=∠=︒∴ACM BMQ ∽ ∴AC AM BM BQ = ∴442AM BQ AM=- ∴2(22)24AM BQ --=+ ∴22AM =时，BQ 有最大值为2．【点睛】本题考查等腰三角形，解题关键在于熟练掌握等腰三角形的性质.16．如图，四边形ABCD 是正方形，点O 为对角线AC 的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO ，分别取CB ，BO 的中点P ，Q ，连接PQ ，则PQ 与BO 的数量关系是_____，位置关系是____；（2）问题探究：如图②，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按顺时针方向旋转45︒得到的三角形，连接CE ，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．判断PQB ∆的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按逆时针方向旋转45︒得到的三角形，连接BO '，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．若正方形ABCD 的边长为1，求PQB ∆的面积．解析：（1）12PQ BO =，PQ BO ⊥；（2）PQB ∆的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）316【分析】（1）根据题意可得PQ 为△BOC 的中位线，再根据中位线的性质即可求解；（2）连接O P '并延长交BC 于点F ，根据题意证出 O PE FPC ∆'∆≌，'O BF ∆为等腰直角三角形，BPO ∆'也为等腰直角三角形，由'PQ O B ⊥且PQ BQ =可得PQB ∆是等腰直角三。

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：1≤L ＜中考数学经典难题集锦2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a4、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。

广东省深圳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共1小题）1．（2022•深圳）（π﹣1）0﹣+cos45°+（）﹣1．二．分式的化简求值（共3小题）2．（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．3．（2022•深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．4．（2021•深圳）先化简再求值：（）÷，其中x＝﹣1．三．一次函数的应用（共1小题）5．（2022•深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．四．二次函数图象与几何变换（共1小题）6．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为 ；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1 x2．（填不等号）五．二次函数的应用（共1小题）7．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？六．圆周角定理（共1小题）8．（2021•深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，延长DC至点E，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．七．作图-轴对称变换（共1小题）9．（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；（2）求四边形ABCD的面积．八．条形统计图（共1小题）10．（2023•深圳）为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），请根据统计图回答下面的问题：①调查总人数a＝ 人；②请补充条形统计图；③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：休闲儿童娱乐健身项目小区甲7798乙8879若以1：1：1：1进行考核， 小区满意度（分数）更高；若以1：1：2：1进行考核， 小区满意度（分数）更高．广东省深圳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2022•深圳）（π﹣1）0﹣+cos45°+（）﹣1．【答案】4．【解答】解：原式＝1﹣3+×+5＝3+1＝4．二．分式的化简求值（共3小题）2．（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．3．（2022•深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．【答案】，．【解答】解：（﹣1）÷＝＝＝，当x＝4时，原式＝＝．4．（2021•深圳）先化简再求值：（）÷，其中x＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝1．三．一次函数的应用（共1小题）5．（2022•深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．【答案】（1）甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；（2）最低费用为1100元．【解答】解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，由题意得，，解得x＝11，经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，解得25≤a≤100，根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，∵﹣1＜0，∴w随a的增大而减小，∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），答：最低费用为1100元．四．二次函数图象与几何变换（共1小题）6．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为　6　；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1　＜或＞　x2．（填不等号）【答案】（1）6；（2）见解答，交点坐标为（，），（﹣，）；（3）＜或＞．【解答】解：（1）将（0，0）先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3，6），∴m＝6，故答案为：6；（2）平移后的函数图象如图：联立方程组，解得，∴y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标为（，），（﹣，）；（3）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，当P，Q两点同在对称轴左侧时，若y1＞y2，则x1＜x2，当P，Q两点同在对称轴右侧时，若y1＞y2，则x1＞x2，故答案为：＜或＞．五．二次函数的应用（共1小题）7．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？【答案】（1）y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；（2）当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；（2）设该产品的销售利润为w，由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，∵﹣5＜0，∴当x＝13时，w最大，最大值为125（万元），答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．六．圆周角定理（共1小题）8．（2021•深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，延长DC至点E，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵AC∥BE，∴∠E＝∠ACD，∵D，C为的三等分点，∴＝＝，∴∠ACD＝∠A，∴∠E＝∠A，（2）解：由（1）知＝＝，∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E，∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BED，∴＝，即，解得DE＝，∴CE＝DE﹣CD＝﹣3＝．七．作图-轴对称变换（共1小题）9．（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解答过程；（2）8．【解答】解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝×4×1+×4×3＝8．八．条形统计图（共1小题）10．（2023•深圳）为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），请根据统计图回答下面的问题：①调查总人数a ＝　100　人；②请补充条形统计图；③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：项目小区休闲儿童娱乐健身甲7798乙8879若以1：1：1：1进行考核，　乙　小区满意度（分数）更高；若以1：1：2：1进行考核，　甲　小区满意度（分数）更高．【答案】①100；②详见解答；③30000；④乙，甲．【解答】解：①由题意得，a ＝40÷40%＝100，故答案为：100；②样本中“娱乐”的人数100﹣17﹣13﹣40＝30（人），补全条形统计图如下：③100000×＝30000（人），答：该城区10万名居民中愿意改造“娱乐设施”的约有30000人；④按照1：1：1：1进行考核，甲：＝7.75（分），乙：＝8（分），因此乙的较好，按照1：1：2：1进行考核，甲：＝8（分），＝7.8（分），因此甲的较好，故答案为：乙，甲．。