八年级数学下册几何知识总结及试题

初二下数学几何部分知识点背诵一、勾股定理1、勾股定理的公式：勾²+股²=弦²用字母表示为：a ²+b ²=c ² (a,b 为直角边，c 为斜边）可变形为：a ²=c ²-b ²b ²=c ²-a ² 可推导出：b a c 22+=a cb 22-= b c a 22-=2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a,b,c 满足：a ²+b ²=c ²，那么这个三角形就是直角三角形。

（通常我们在验证时要知道，最长的边一定是斜边）勾股定理的逆定理用于判断一个已知三边长的三角形是否是直角三角形。

二、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

通常用表示平行四边形2、平行四边形的性质：①对边平行②对边相等③对角相等④对角线互相平分3、平行四边形的判定方法：①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

②对边相等法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

③对角相等法：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

④对角线平分法：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

⑤平行相等法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4、三角形的中位线：①定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

②中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

三、特殊的平行四边形----矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质：①平行四边形有的性质它都有。

②矩形的四个角都是直角。

（特有）③矩形的对角线相等。

（特有）3、直角三角形的重要性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、矩形的判定方法：①定义法：有一个角是直角的的平行四边形是矩形。

②对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形。

③直角法：有三个角是直接的四边形是矩形。

§9.1 图形的旋转概念：将图形绕一个顶点转动一定的角度.这样的图形运动称为图形的旋转.这个定点称为旋转中心.旋转的角度称为旋转角。

图形的旋转不改变图形的形状、大小.只改变图形上点的位置性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中.对应点到旋转中心距离相等.两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。

基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接.以旋转中心为圆心.连线段长为半径画图.按照旋转的角度来找出对应点.再画出所有的对应线段。

典型题：确定图形的旋转角度、确定图形的旋转中心、生活中的数学问题、作图题、§9.2 中心对称与中心对称图形1、中心对称的概念一个图形绕某点旋转180°.如果它能够与另一个图形重合.那么称这两个图形关于这点对称.也称这两个图形成中心对称。

这个点叫做对称中心.两个图形中的对应点叫做对称点。

2、中心对称的性质：成中心对称的两个图形中.对应点的连线经过对称中心.且被对称中心平分。

3、中心对称图形的定义及其性质把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合.那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

§9.3 平行四边形1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、平行四边形的性质平行四边形的性质：〔1平行四边形的对边相等；〔2平行四边形的对角相等〔3平行四边形的对角线互相平分。

3、判定平行四边形的条件〔1两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形〔概念〔2一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形〔3对角线互相平分的四边形叫做平行四边形〔4两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形5、反证法反证法是一种间接证明的方法.不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立.而是先提出与结论相反的假设.然后由这个"假设"出发推导出矛盾.说明假设是不成立的.因而命题的结论是成立的。

八年级下数学几何题（有答案）八年级下期末复习5如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，∠DAE的平分线交CD于F，BG⊥AF于G，交AE于H．（1）如图1，∠DEA=60°，求证：AH=DF；（2）如图2，E是线段CD上（不与C、D重合）任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论；（3）如图3，E是线段DC延长线上一点，若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）．证明：（1）延长BG交AD于点S∵AF是HAS的角的平分线，BS⊥AF∴∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90°又∵AG=AG∴△AGH≌△AGS∴AH=AS，∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAG，∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90°∴∠BAG=∠ASB∴∠ASB=∠AFD又∵∠BAS=∠D=90°，AB=AD∴△ABS≌△DAF∴DF=AS∴DF=AH．（2）DF=AH．同理可证DF=AH．（3）DF=AH如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C 两点重合），过点O作直线MN ∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．（1）OE 与OF相等吗？为什么？（2）探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）在（2）中，当∠ACB等于多少时，四边形AECF为正方形．（不要求说理由）解：（1）如图所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，FK⊥AC，F H⊥BF，因为直线EC，CF分别平分∠ACB与∠ACD，所以EG=EJ，FK=FH，在△EJO与△FKO中，∠AOE=∠CON ∠EJO=∠FKO EJ=FK ，所以△EJO≌△FKO，即OE=OF（2）当OA=OC，OE=OF时，四边形AECF是矩形，证明：∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠FCD，由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°，∴∠ECA+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，∴四边形AECF为矩形；（3）由（2）可知，四边形AECF是矩形，要使其为正方形，再加上对角线垂直即可，即∠ACB=90°（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？即：FG=（AB+BC+AC）（直接写出结果即可）（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是解如图（1）FG=1 /2 （AB+BC+AC）；（2）答：FG=1 /2 （AB+AC-BC）；证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M∵AF⊥BD，A G⊥CE，∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°在Rt△AGC和Rt△CGN中∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG∴Rt△AGC≌Rt△CGN∴AC=CN，AG=NG同理可证：AF=FM，AB=BM．∴GF是△AMN的中位线∴GF=1/ 2 MN．∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM ∴AB+AC-BC=MN∴GF=1 /2 MN=1 /2 （AB+AC-BC）；（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=1/ 2 （AC+BC-AB）．已知：△ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD 和BCE，M为CD中点，N为CE 中点，P为AB中点．（1）如图1，当∠ACB=120°时，∠MPN的度数为；（2）如图2，当∠ACB=α（0°＜α＜180°）时，∠MPN的度数是否变化？给出你的证明．解：（1）∠MPN的度数为60°；（2）∠MPN的度数不变，仍是60°，理由如下：证明：取AC、BC的中点分别为F，G，连接MF、FP、PG、GN，∵MF是等边三角形ACD的中位线，∴MF=1 /2 AD=1 /2 AC，MF∥AD，∵PG是△ABC的中位线，∴PG=1/ 2 AC，PG∥AC，∴MF=PG，同理：FP=CG，∴四边形CFPG是平行四边形，∴∠CFP=∠CGP，∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP，即∠MFP=∠PGN，∴△MFP≌△PGN（SAS），∴∠FMP=∠GPN，∵PG∥AC，∴∠1=∠2，在△MFP中，∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°，又∵∠MFC=60°，∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°，∵∠CFP=∠1+∠3，∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°，∵∠1=∠2，∠FMP=∠GPN，∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°，又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°，∴∠MPN=60°．如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=k/x（x＞0）图象上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，得正方形OBAC的面积为16．（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；．（2）点P（m，16/3 ）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过P点的直线l与y轴正半轴交于D点，使得BD⊥PC？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；（3）连BC，将直线BC沿x轴平移，交y轴正半轴于D，交x轴正半轴于E点（如图所示），DQ⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H，M是EH的中点，连接QM、OM．下列结论：①QM+OM的值不变；②QM/OM的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．解：（1）∵正方形OBAC的面积为16，∴A（4，4）；（2分）将A点代入反比例函数y=k /x （x＞0）中，得反比例函数的解析式：y=16/ x ；（2）将y=16/ 3 代入y=16 /x 得：P(3，16 /3 )；设存在点D，延长PC交x轴于E点；∵∠COE=∠DOB=90°，∠ECO=∠DCP，∴∠CEO=∠ODB；而OC=OB，∴△COE≌△BOD，∴OE=OD；而C（0，4），P(3，16 /3 )，∴直线CP的解析式为y=4 /9 x+4；当y=0时，x=-9，∴E（-9，0），故D（0，9），∴直线l的解析式为：y=-11/ 9 x+9（3）选②，值为1．连FM，∵DE∥BC，∴OE=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜边中点，∴EM=HM=FM；∵∠OEH=∠QFM=45°，∴△QMF≌△OME；∴QM=OM；∴QM OM =1．。

学科：数学 教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____． （3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。

八年级经典几何题一、三角形全等类。

题1：如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD。

解析：1. 在△ABD和△ACD中：- 已知AB = AC（题目所给条件）。

- 因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD（中线的定义）。

- AD = AD（公共边）。

2. 根据SSS（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得△ABD≌△ACD。

题2：已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF。

求证：∠A = ∠D。

解析：1. 因为BE = CF，所以BE+EC = CF + EC，即BC = EF。

2. 在△ABC和△DEF中：- AB = DE（已知）。

- AC = DF（已知）。

- BC = EF（已证）。

3. 根据SSS全等判定定理，△ABC≌△DEF。

4. 所以∠A = ∠D（全等三角形的对应角相等）。

二、等腰三角形性质类。

题3：等腰三角形的一个角是70°，求它的另外两个角的度数。

解析：1. 当70°角为顶角时：- 因为等腰三角形两底角相等，设底角为x。

- 根据三角形内角和为180°，则2x+70° = 180°。

- 2x = 180° - 70° = 110°，解得x = 55°。

- 所以另外两个角都是55°。

2. 当70°角为底角时：- 则另一个底角也是70°，顶角为180°-70°×2 = 180° - 140° = 40°。

- 所以另外两个角是70°和40°。

题4：已知等腰三角形ABC中，AB = AC，AD⊥BC于D，若∠BAD = 30°，求∠C的度数。

解析：1. 因为AB = AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是∠BAC的平分线。

初二下册几何总结归纳知识点几何是数学中的一个分支，主要研究空间和形状的性质与变化。

在初二下册的几何学习中，我们学习了许多与点、线、面、体相关的知识点。

下面是对这些知识点进行总结归纳。

一、点、线、面的性质：1.1 点的性质:- 点是没有大小、形状的，只有位置的概念；- 三点确定一条直线；- 两点确定一条直线段；- 两点间的最短距离是直线段。

1.2 直线的性质:- 直线的长度是无限的；- 直线上的任意两点可确定唯一一条直线；- 平面内直线外的点到直线只有一条线段最短；- 两条直线相交于一点，则这两条直线确定一个平面。

1.3 面的性质:- 面是有无限多个点的集合；- 三点不共线确定一个平面；- 平面内两直线相交于一点，则它们在这个平面内共有一点或共线。

二、多边形的性质：2.1 三角形的性质：- 三角形的内角和为180度；- 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；- 三角形的任意两边之和大于第三边；- 等腰三角形的两底角相等；- 等边三角形的三个角都相等，都为60度。

2.2 四边形的性质：- 任意相邻两边的内夹角的度数和为180度；- 矩形的对角线相等；- 正方形是矩形的特例，四个角都为90度，且对角线相等；- 平行四边形的对角线互相平分；- 菱形的对角线互相垂直且互相平分。

三、圆的性质：3.1 圆的性质：- 圆是由平面上到一个确定点的距离相等的点的集合；- 圆心：确定圆的位置，通常表示为O；- 半径：圆心到圆上任一点的距离，通常表示为r；- 直径：通过圆心的两个点之间的距离，通常表示为d；- 周长：圆上任意两点间的弧长，通常表示为C=2πr；- 面积：圆内的所有点到圆心的距离之和，通常表示为S=πr²。

3.2 弧与弦：- 弧：在圆上两点间的部分；- 弦：圆上两点间的线段。

以上是初二下册几何学习的主要知识点总结归纳，通过系统学习这些知识点，我们可以更好地理解和运用几何知识，解决与点、线、面、多边形和圆相关的问题。

QPONMFAEBC D 2图A E BDFC1图F GE 图3D CNMBA专题1.11 与角平分线有关的几何模型（知识讲解）【知识回顾】1、角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、角平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.3、角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【学习目标】1．了解几何模型的含义；2．掌握角平分线的几何模型，并运用几何模型解决问题. 【要点梳理】1、模型一、 角平分线+平行线模型如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

.+2.+3.+⇒⎫⎪⇒⇔⎬⎪⇒⎭拓展：1角平分线平行线等腰三角形角平分线等腰三角形平行线知二得一平行线等腰三角形角平分线 特别说明：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

【典型例题】1、 解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC 中，EF ∥BC ，点D 在EF 上，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系；（2）如图②所示，BD 平分∠ABC 、CD 平分∠ACG ，DE ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？并说明理由。

（3）如图③所示，BD 、CD 分别为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，，DE ∥BC 交AB 延长线于点E ，交AC 延长线于点F ，直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？.+⇒⇒思路分析：（1）BD.CD 为角平分线EF//CD ED=EB,FD=FC EF=BE+CF.+EF ⇒⇒⇒=（2）BD.CD 为角平分线EF//CD ED=EB,FD=FC EF=ED-FD EB-FD. .+EF DE DFEF ⇒⇒⇒=+⇒=（2）BD.CD 为角平分线EF//CD ED=EB,FD=FC EF=ED-FD EB+FD.举一反三：【变式】如图，点I 为△ABC 角平分线交点，AB ＝8，AC ＝6，BC ＝5，将△ACB 平移使其顶点C 与点I 重合，则图中阴影部分的周长为__．【答案】8【分析】此题有角平分线，平移可知ID//AC,BC//IE,构造平行线+角平分线解决问题：解：解：如图，连接AI ，BI ， △点I 为△ABC 角平分线交点， △IA 和IB 分别平分△CAB 和△CBA ， △△CAI ＝△DAI ，△CBI ＝△EBI ， △将△ACB 平移，使其顶点与点I 重合， △DI ∥AC ，EI ∥BC ，△△CAI ＝△DIA ，△CBI ＝△EIB ， △△DAI ＝△DIA ，△EBI ＝△EIB ， △DA ＝DI ，EB ＝EI ，△DE+DI+EI ＝DE+DA+EB ＝AB ＝8． 即图中阴影部分的周长为8． 故答案为：8．【点拨】解题关键在于作辅助线构造平行线+角平分线几何模型。

八年级下册数学知识点归纳总结一、代数知识点1. 代数表达式- 单项式与多项式的定义- 合并同类项- 代数式的加减运算- 代数式的乘除运算2. 一元一次方程- 方程的建立与解法- 利用等式性质解方程- 解含有括号的一元一次方程- 解应用题3. 一元一次不等式- 不等式的概念与性质- 不等式的解集表示- 解一元一次不等式- 解一元一次不等式组4. 二元一次方程组- 方程组的建立- 代入法解方程组- 加减法解方程组- 应用题的解决二、几何知识点1. 平行线与角- 平行线的判定与性质- 同位角、内错角、同旁内角- 平行线间的角关系2. 三角形- 三角形的基本概念- 三角形的内角和定理- 三角形的外角性质- 等腰三角形与等边三角形的性质3. 四边形- 四边形的基本概念- 矩形、菱形、正方形的性质- 平行四边形的性质与判定- 四边形的面积计算4. 圆的基本性质- 圆的定义与性质- 圆的直径、弦、弧、切线- 圆周角与圆心角的关系- 切线长定理三、统计与概率知识点1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读（条形图、折线图、饼图）2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算方法- 等可能事件的概率四、数列知识点1. 数列的概念- 数列的定义- 常见的数列类型（等差数列、等比数列）2. 等差数列- 等差数列的定义与通项公式- 等差数列的前n项和公式- 等差数列的性质与应用3. 等比数列- 等比数列的定义与通项公式- 等比数列的前n项和公式- 等比数列的性质与应用五、函数知识点1. 函数的概念- 函数的定义- 函数的表示方法（解析式、图像、表格）2. 一次函数- 一次函数的定义与图像- 一次函数的性质- 一次函数的应用题3. 二次函数- 二次函数的定义与图像- 二次函数的性质- 二次函数的应用题六、实数与根式知识点1. 实数- 实数的基本概念- 有理数与无理数- 实数的运算2. 根式- 平方根与立方根的定义- 根式的运算- 无理数的估算七、解题技巧与策略1. 解题步骤的规范化- 理解题意- 制定解题计划- 执行解题过程- 检查验证结果2. 常见解题误区与避免方法- 忽略题目条件- 计算失误- 逻辑推理错误3. 提高解题效率的方法- 练习典型题目- 分类记忆公式与定理- 定期复习巩固以上是对八年级下册数学知识点的一个全面归纳总结。

八年级下册数学重点知识点汇总在八年级下册的数学学习中，有许多重要的知识点需要我们深入学
习和掌握。

下面将对这些知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地
复习和理解。

1. 代数方程
代数方程是数学学习中的重要内容之一，包括一元一次方程、一元
二次方程等。

在解方程的过程中，我们需要掌握变形、消元、代入等
方法，以便准确求解方程的根。

2. 几何图形的性质
在几何学习中，我们需要了解各种几何图形的性质，如三角形的内
角和为180度、平行四边形对角线相等、圆的性质等。

这些性质对于
解题和证明都有重要作用。

3. 几何证明
几何证明是数学学习中的难点之一，需要我们掌握严密的逻辑推理
和证明方法。

在证明过程中，我们需要运用几何知识和常识，合理推
断和演绎，确保证明的正确性。

4. 空间几何体
空间几何体是数学学习中的重要内容，包括立方体、圆柱、圆锥等。

我们需要了解这些几何体的表面积、体积等性质，并能灵活运用到解
题中。

5. 概率统计
概率统计是数学学习中的一大分支，涉及到事件的概率计算、频率统计、抽样调查等内容。

我们需要了解基本概率规律和统计方法，以便分析和研究实际问题。

总的来说，八年级下册数学的重点知识点涵盖了代数、几何、概率统计等多个方面，需要我们全面掌握和理解。

通过不断练习和复习，相信大家一定能够在数学学习中取得更好的成绩！愿大家学有所成，加油！。

线段的垂直平分线----知识讲解(基础)责编：杜少波【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD 的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】（2015秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。

专题05中心对称图形-平行四边形综合压轴（50题12个考点）一．三角形中位线定理（共1小题）1．（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6B．C．7D．8【答案】C【解答】解：如图，延长BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案为：C．二．平行四边形的性质（共3小题）2．（2023春•辛集市期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E 的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【答案】C【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．3．（2023•六安模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD ＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴EC＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，：S△BCD＝1：4，∴S△BEO：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝1：4，∵S△AOD＝S△AOD，故④正确．∴S四边形OECD故选：C．4．（2023春•叙州区期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、A O为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2022C2023B的面积为cm2．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10（cm2），∴S△ADC＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5（cm2），∴S△AOB＝×5＝（cm2），∴＝S△AOB∴＝＝（cm2），＝＝（cm2），＝＝（cm2），……∴平行四边形AO n C n+1B的面积为，∴平行四边形AO2022C2023B的面积为（cm2），故答案为：．三．平行四边形的判定与性质（共2小题）5．（2023•莆田模拟）如图，在△ABD中，AD＜AB，点D在直线AB上方，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，点B，D的对应点分别是C，E，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°得到线段BF，点D的对应点是F，连接BE，CF．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中．四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（）A．菱形→矩形→正方形B．矩形→菱形→正方形C．菱形→平行四边形→矩形D．矩形→平行四边形→菱形【答案】D【解答】解：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，BD＝BF，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠DBF＝90°，∴CE＝BD＝BF，AE＝AD，∠ACE＝∠ABD，①当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，如图，∵∠COE＝∠AOB，∴∠CEO+∠CEO＝∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OBD+∠ABD，又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠CEO＝∠OAB+∠OBD＝90°+∠OBD，∴∠CEB+∠EBF＝90°+∠OBD+90°+∠OBD＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形；②当B、D、E三点共线且D在B、E之间时，∵∠DAE＝90°，AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠ADB＝135°＝∠AEC，∴∠DEC＝90°，又∵∠DBF＝90°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵∠DEC＝90°，∴四边形BFCE是矩形；③当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线，∠DAB＝135°之前时，∵∠CEB+∠EBF＝∠CEA+∠AEB+∠ABE+∠ABD+∠DBF＝∠ADB+（∠AEB+∠ABE）+∠ABD+∠DBF＝（∠ADB+∠ABD）+（∠AEB+∠AE）+∠DBF＝180°﹣∠ADB+180°﹣∠EAB+90°＝180°×2+90°﹣（∠DAB+∠EAB）＝180°×2+90°﹣（360°﹣∠DAE）＝180°×2+90°﹣360°+∠DAE＝90°+∠DAE＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，④当∠DAB＝135°时，∴∠EAB＝360°﹣∠DAE﹣∠DAE＝135°＝∠DAB，又∵AD＝AE，AB＝AB，∴△ADB≌△AEB（SAS），∴BD＝BE＝CE，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵BE＝CE，∴四边形BFCE是菱形；当∠DAB＝135°后时，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF﹣CE，∴四边形BFCE是平行四边形．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中，四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形．故选：D．6．（2023春•尤溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③＝1．正确的个数是（）∠DFE＝110°；④S四边形AEFDA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；过A作AG⊥DF于G，如图所示：则∠AGD＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG＝AD＝，∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6，故④错误；∴正确的个数是2个，故选：B．四．菱形的性质（共2小题）7．（2023•平房区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的＝中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC12，则线段CE的长为3．【答案】3．【解答】解：作EM⊥OA于M，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD＝OB，OA＝OC，∴EM∥OB，∴AM：MO＝AE：EB，∵AE＝BE，∴AM＝OM，∴EM是△ABO的中位线，∴EM＝，∵DF＝OF，∴OF＝OD，∴EM＝OF，∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，∴△EMG≌△FOG（AAS），∴MG＝OG＝1，∴OM＝2OG＝2，∴OA＝2OM＝4，∴AC＝2OA＝8，∵AE＝BE，∴△BAC的面积＝2×△BEC的面积＝2×12＝24，∴AC•OB＝24，∴OB＝6，∴EM＝OB＝3，∵CM＝OM+OC＝2+4＝6，∴CE＝＝3．故答案为：3．8．（2023春•泗水县期末）如图，在菱形ABCD中，∠ADB＝60°，点E，F分别在AD，C D上，且∠EBF＝60°．（1）求证：△ABE≌△DBF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．【答案】（1）见解答；（2）△BEF是等边三角形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠ADB＝60°∴△ADB是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠A＝∠BDC＝60°，∵∠ABD＝∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（ASA）．（2）解：结论：△BEF是等边三角形．理由：∵△ABE≌△DBF，∴BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△EBF是等边三角形．五．菱形的判定（共1小题）9．（2023春•桂林期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【答案】（1）PB＝（18﹣t）cm；（2）当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．六．菱形的判定与性质（共1小题）10．（2023•郧西县模拟）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．七．矩形的性质（共3小题）11．（2023春•定州市期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH 的长度为（）A．B．C．D．2【答案】C【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，∵AD∥BC，∴∠DHP＝∠FHC，在△PDH与△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝5，CH＝PH，∴AP＝AD﹣PD＝5，∴PE＝＝＝，∵点G是EC的中点，∴GH＝EP＝，故选：C．12．（2023秋•锦江区校级期中）如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEF B关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝3时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是2+2．【答案】3；2+2．【解答】解：当B与点D合时，如图：由于对称：BF＝B′F＝DF FC＝AE，设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2；∴x＝3，则AE＝3；如图：取EF中点O，∵AE＝CF，由题意知，无论EF如何变动，EF经过点O，连接B′O、OG、OB，在△B′OG中B′G＜OB′+OG，∵四边形AEFB关于EF对称得到四边形A′EFB′，∴OB＝OB′，故只有当B′、O、G三点共线时、GB′长度最大，此时GB'＝B′O+OG＝OB+OG，过点O作OH⊥BC，AD＝2AB＝8，CD＝AB＝4，∴在Rt△OBH中，OH＝CD＝2，BH＝BC＝4，∴OB＝＝2，∵在Rt△OGH中OH＝2，GH＝BH﹣BG＝2，∴OG＝＝2，∴GB'＝2+2，故答案为：3；2+2．13．（2023秋•丰城市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，∵点D是OA的中点，∴OD＝5，①如图1所示，以OP为对角线，点P在点D的左侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝OC＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，∴点P的坐标为（2，4），此时，点Q的坐标为（﹣3，4）；②如图2所示，以OQ为对角线，点P在点D的左侧时，OP＝OD＝5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：，∴点P的坐标为（3，4），此时，点Q的坐标为（8，4）；③如图3所示，以OP为对角线，点P在点D的右侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，∴点P的坐标为（8，4），此时，点Q的坐标为（3，4）；综上所述，点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；故答案为：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．八．矩形的判定（共1小题）14．（2022春•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长；（3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝×180°＝90°，∴Rt△CEF中，EF＝＝＝2，又∵OE＝OF，∴CO＝EF＝；（3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（2）可得∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．九．正方形的性质（共27小题）15．（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②④D．①②③【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∴∠EGD＝90°，延长CE交DA的延长线于H，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜边的中线，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等边三角形，∴∠EAG≠30°，故④错误；故选：D．16．（2023秋•福田区期中）如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A 作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正到直线DE的距离为；③S△APD确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】A【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正确；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正确；∵△ABE≌△ADP，＝S△ADP，∴S△ABE∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+×∴S△APD×1＝，∴③正确；如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，＝AB2＝2+；∴S正方形ABCD∴④正确；故选：A．17．（2023秋•呈贡区期中）如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形B EFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：BH2＝CH×GH．设AB ＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（）A．6B．8C．10D．20【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，AB＝a，CH＝b，∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝a+a﹣b＝2a﹣b，＝AB2＝a2，∴S正方形ABCDS长方形AEFG＝AE•EF＝（2a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣3ab+b2，∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，∴a2＝2a2﹣3ab+b2，整理得：a2+b2＝3ab，∴（a+b）2＝5ab，∵ab＝5，∴（a+b）2＝5×5，∴a+b＝5，∴阴影部分的周长为：2（CD+CH）＝2（a+b）＝10．故选：C．18．（2023秋•深圳月考）如图，在正方形ABCD中，点P为BD延长线上任一点，连接PA．过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．下列结论：①PA＝PE；②BD＝3PF；③CE＝2PD；④若BP＝BE，则PF＝（+1）DF．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠ABD＝45°，∴BF＝EF，在△BFG和△EFP中，，∴△BFG≌△EFP（SAS），∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，∵∠ABD＝∠FPG＝45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP＝BG，∴AP＝PE；故①正确；连接CG，由（1）知：PG∥AB，PG＝AB，∵AB＝CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG＝CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG＝PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，∵∠CEG＝45°，∴CE＝CG＝PD；故③错误；连接AC交BD于O，如图3：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOP＝90°＝∠PFE，∵∠APO＝90°﹣∠OPE＝∠PEF，AP＝PE，∴△AOP≌△PFE（AAS），∴OA＝PF，∵OA＝BD，∴PF＝BD，即BD＝2PF，故②错误；设PF＝m，DF＝n，则BD＝2m，∴BF＝BD+DF＝2m+n，BP＝BF+PF＝3m+n，∵∠DBC＝45°，∠BFE＝90°，∴BE＝BF＝2m+n，若BP＝BE，则3m+n＝2m+n，∴m＝n＝（+1）n，即PF＝（+1）DF，故④正确，故选：B．19．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，B C的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．B．1C．D．2【答案】C【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，在△AGE和MGD中，，∴△AGE≌△MGD（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵点H为AF的中点，∴GH＝FM，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FM＝＝2，∴GH＝，故选：C．20．（2023•温州模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，连接EH，GH，连接EG交AB于点K，当∠EHG＝90°时，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：以A为原点，以AB边所在直线为x轴建立如图所示坐标系：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴a2+b2＝c2，过E作EQ⊥x轴于Q，过H作HP⊥x轴于P，∵四边形ACDE与四边形BCMH都是正方形，∴∠EAC＝∠CBH＝90°，AC＝AE＝b，BC＝BH＝a，∴∠EAQ+∠BAC＝90°，∠HBP+∠ABC＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠EAQ，∠BAC＝∠HBP，∴Rt△EAQ∽Rt△ABC∽Rt△BHP，∴，，即，，∴AQ＝，EQ＝，HP＝，BP＝，∴AP＝AB+BP＝c+＝，∴E（﹣，），H（，），∵四边形BABGF是正方形，∴AB＝BG＝FG，BG⊥x轴，∴G（c，﹣c），当∠EHG＝90°时，在Rt△EHG中，由勾股定理可得：EH2+GH2＝EG2，∴（+）2+（﹣）2+（﹣c）2+（+c）2＝（+c）2+（﹣﹣c）2，整理可得：（a﹣b）（2a2+b2）＝﹣ab（a+b），∴2a3+ab2﹣2a2b﹣b3＝﹣a2b﹣ab2，∴（a2+b2）（2a﹣b）＝0，∵a、b是三角形的边长，∴a＞0，b＞0，∴a2+b2≠0，∴2a﹣b＝0，∴b＝2a，∵a2+b2＝c2，∴c2＝5a2，∵EQ∥BC，∴，即，∴，故选：D．21．（2023春•新吴区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【解答】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；②∵矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；③根据②得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；④当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③正确．故选：B．22．（2023春•西平县期中）如图，正方形ABCD边长为12，里面有2个小正方形，各边的顶点都在大正方形的边上的对角线或边上，它们的面积分别是S1，S2，则S1+S2＝（）A．68B．72C．64D．70【答案】A【解答】解：如图，由正方形的性质，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形，∵正方形的边长为12，∴AC＝12，∴两个小正方形的边长分别为×12＝4，×12＝6，∴S1+S2＝（4）2+62＝32+36＝68．故选：A．23．（2023•光山县校级三模）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（）A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）【答案】C【解答】解：∵OABC是正方形，A（4，0），∴OA＝OC＝AB＝4，∠AOC＝∠OAB＝90°，∵BD＝1，∴AD＝3，D（4，3），∵CE⊥OD，∴∠DOE＝90°﹣∠CEO＝∠OCE，在△COE和△OAD中，，∴△COE≌△OAD（ASA），∴OE＝AD＝3，∴E（3，0），设直线CE为y＝kx+b，把C（0，4），E（3，0）代入得：，解得，∴直线CE为y＝﹣x+4，由MN∥CE设直线MN为y＝﹣x+c，把D（4，3）代入得：﹣+c＝3，解得c＝，∴直线MN为y＝﹣x+，在y＝﹣x+中，令y＝0得﹣x+＝0，解得x＝，∴M（，0），故选：C．方法二：∵CE⊥OD，CE∥MN，∴OD⊥MN，∴∠ADM＝90°﹣∠ODA＝∠AOD，∵∠DAO＝90°＝∠MAD，∴△DAO∽△MAD，∴＝，∵点A（4，0），BD＝1，∴OA＝4＝AB，AD＝AB﹣BD＝3，∴＝，解答AM＝，∴OM＝OA+AM＝4+＝，∴M（，0），故选：C．24．（2023•鄞州区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则E F的长为（）A．2B．2+C．+1D．3【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°；∵OE⊥OF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COF＝60°，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，如图，∴∠OGF＝∠DGF＝90°，∵∠ODC＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴GF＝DG＝DF＝，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°，∴∠DOF＝30°，∴OF＝2GF＝，∴EF＝OF＝2．故选：A．25．（2023•淮南二模）如图，在△BCP中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（）A．B．6C．D．【答案】D【解答】解：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，∴PE＝BP＝2，在△CPE中，CE≤PE+CP，∴CE的最大值为2+4，即AP的最大值为2+4，故选：D．26．（2023春•平桥区期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（）A．2B．C．D．【答案】D【解答】解：作OH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形，∴∠BOP+∠EOC＝90°，∵OQ⊥OP，∴∠QOC+∠EOC＝90°，∴∠BOP＝∠COQ，∵∠ABO＝∠OCB＝45°，∴∠OBP＝∠OCQ＝135°，∵OB＝OC，∴△OBP≌△OCQ（ASA），∴PO＝QO，∴△OPQ是等腰直角三角形，∵OH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥OH，∴PB：BH＝PE：OE，∵OE＝PE，∴PB＝BH，∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB，∴OH＝BH＝AB＝×2＝1，∴PB＝BH＝1，∴PH＝PB+BH＝2，∴OP＝＝＝，∴PQ＝PO＝．故选：D．27．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（）A．8B．8C．8D．12【答案】C【解答】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°，∵AB＝12，BE＝4，∴AE＝＝＝4，∵DH∥MN，AB∥CD，∴四边形DHNM是平行四边形，∴DH＝MN，∵MN⊥AE，DH∥MN，EG∥MN，∴DH⊥AE，AE⊥EG，∴∠BAE+∠AHD＝90°＝∠AHD+∠ADH，∠AEG＝90°，∴∠BAE＝∠ADH，在△ABE和△DAH中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴DH＝AE＝4，∴MN＝DH＝AE＝4，∵EG∥MN，MG∥NE，∴四边形NEGM是平行四边形，∴NE＝MG，MN＝EG＝AE＝4，∴AM+NE＝AM+MG，∴当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，∴AG＝＝＝8．故选：C．28．（2023春•徐州期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且EF＝，AB＝4，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AD⊥CF；③CF＝；④四边形ABDO的面积与正方形ABCO的面积相等．其中正确的结论为（）A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④【答案】C【解答】解：过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图：∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，∴∠AOC＝90°＝∠COE，∠DOE＝45°，∴∠COD＝45°，故①正确，∵∠AOC＝90°＝∠FOD，∴∠AOD＝135°＝∠COF，又OA＝OC，OD＝OF，∴△AOD≌△COF（SAS），∴∠ADO＝∠CFO，AD＝CF，∵∠DKS＝∠FKO，∴∠DSK＝∠FOK＝90°，∴AD⊥CF，故②正确；∵四边形DEFO是正方形，∴△DON是等腰直角三角形，∵EF＝＝DO，∴DN＝ON＝DO＝1，∵∠MNO＝∠NOC＝∠OCM＝90°，∴四边形NOCM是矩形，∴MN＝OC＝AB＝4，CM＝ON＝1∴DM＝MN﹣DM＝1，BM＝BC+CM＝5，在Rt△BDM中，BD＝，∴CF＝BD＝，故③正确；＝BC•DM＝×2×3＝1.5，S△CDO＝OC•ON＝×4×1＝2，∵S△BCDS△CDO，∴S△BCD≠≠S△BCT，∴S△DTO≠S正方形ABCO，故④错误，∴S四边形ABDO∴正确的有①②③，故选：C．29．（2022秋•郑州期末）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，EF，OC交于点G．下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③DF2+BE2＝OG•OC；④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①②④D．③④【答案】C【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②由①全等可得OE＝OF，∴∠OEF＝∠OCF＝45°，∠OGE＝∠CGF，∴△OGE∽△FGC，故②正确；④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍，故④正确；③∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，∵∠OCE＝∠OEG＝45°，∠EOG＝∠COE，∴△EOG∽△COE，∴＝，∴OG•OC＝EO2≠EF2，∴DF2+BE2≠OG•OC，故③不正确；综上所述，正确的是①②④，故选：C．30．（2023秋•西安期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是A O的中点，点M在边BC上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠N PM时，PM+PN的值为5．【答案】5．【解答】解：设PM与AC相交于点Q，∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AC＝AB＝4，AC⊥BD，∠ABC＝90°，∴∠NOP＝∠QOP＝90°，∵O为AC中点，∴0A＝0C＝2，∵N为OA的中点，∴ON＝，∵对角线BD平分∠NPM，∴∠NPO＝∠QPO，∵PO＝PO，∴△NPO≌△QPO，∴OQ＝ON＝，PQ＝PN，∠PNO＝∠PQO，∴NQ＝2，CQ＝OC﹣CQ＝，∴∵AB＝4，BM＝3，∴CM＝1，∴，∴，∵∠ACB＝∠QCM＝45°，∴△CMQ～△CBA，∴∠CMQ＝∠CBA＝90°，∴∠PNO＝∠PQO＝∠CQM＝45°，∴MQ＝CM＝1，∠NPQ＝180°﹣∠PNO﹣∠PQO＝90°，∴PQ2+PN2＝NQ2，即2，∴PQ＝PN＝2，∴PM+PN＝PQ+MQ+PN＝2+1+2＝5．31．（2023秋•重庆月考）如图，正方形ABCD的边长为4，E为DC边上一点，DE＝3，连接AE，过D作AE的垂线交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，∴AB＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF+∠CDG＝90°，又∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CDG，在△ADE和△DCG中，，∴△ADE≌△DCG（ASA），∴DG＝AE，在Rt△ADE中，AD＝4，DE＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，∴DG＝AE＝5，＝AE•DF＝AD•DE，由三角形的面积得：S△ADE∴AE•DF＝AD•DE，∴5•DF＝4×3，∴DF＝，∴FG＝DG﹣DF＝5﹣＝，故答案为：．32．（2023•增城区一模）如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE 的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝4，BF＝10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为3；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论是①②③④．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠FAE＝∠BAE+∠BAF＝90°，∵∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，又∵AE＝AF，∴△AFD≌△AEB（SAS），故①正确；∴∠AFD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEF+∠BEF，∠AFD＝∠AEF+∠FAE，∴∠BEF＝∠FAE＝90°，即EB⊥ED，故②正确；过点B作BP⊥AE，交AE的延长线于P，则BF的长即点B到直线AE的距离，∵AE＝AF＝4，∠FAE＝90°，∴FE＝8，∠AEF＝∠AFE＝45°，在Rt△BEF中，FB＝10，FE＝8，∴BE＝6，∵EB⊥ED，BP⊥AP，∴∠EPB＝∠PBE＝45°，∴BP＝EP＝3，故③正确；连接BD，S△AFD+S△AFB＝S△AEB+S△AFB＝S△AEF+S△BEF＝×4×4+×6×8＝40，故④正确；综上，正确结论的序号是①②③④，故答案为：①②③④．33．（2023秋•余江区期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：ED＝EF；（2）若AB＝2，，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．【答案】（1）见解答；（2）2；（3）∠EFC＝120°或30°．【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，∴∠EFC＝∠CDE＝30°，综上所述，∠EFC＝120°或30°．34．（2023•歙县校级模拟）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；。

八年级下册几何知识点总结在初中阶段的数学学习中，几何作为其中一门重要的学科，涉及到了平面几何、立体几何、解析几何等方面。

本文将从几何的基础概念入手，列举八年级下册的重点知识点，供同学们复习参考。

一、基本概念1.点、线、面：几何学的三个最基本的概念。

2.平行线：在同一个平面内，两条直线没有交点，且在无限延伸的过程中仍然保持这种位置关系，我们可以称它们为平行线。

3.垂线：与一条直线相交，且互相成直角的直线为垂线。

4.角度：由两条射线、一个端点共同确定的平面角叫做角度。

5.相似图形：两个图形形状相同，但大小不一，我们称这两个图形为相似图形。

二、几何图形的性质1.三角形（1）直角三角形：有一个角为90度的三角形。

（2）等腰三角形：两边长度相等的三角形。

（3）等边三角形：三边长度均相等的三角形。

2.四边形（1）矩形：对角线相等，且每对对边平行的四边形。

（2）正方形：四边长度相等，并且每个角都是直角的四边形。

（3）菱形：对角线相等，且每个角都是锐角或钝角的四边形。

3.圆形（1）圆心角：以圆心为顶点的角。

（2）弧度：圆心角所对的弧长与圆的半径之比称为该圆心角的弧度。

（3）正弦、余弦、正切：利用三角函数求解圆的相关性质。

三、平面图形的计算1.三角形（1）勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）正弦定理：在任意一个三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c，则有a/sinA = b/sinB = c/sinC。

（3）余弦定理：在任意一个三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c，则有a² = b² + c² - 2bc*cosA。

2.四边形（1）矩形的面积公式：面积=长x宽。

（2）正方形的面积公式：面积=边长²。

（3）菱形的面积公式：面积=对角线之积的一半。

3.圆形（1）周长公式：圆的周长=2πr。

（2）面积公式：圆的面积=πr²。

线段的垂直平分线----知识讲解(基础)责编：杜少波【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD 的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】（2015秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。

初中八年级下册数学知识点
1. 勾股定理：勾股定理是一个基本的几何定理，用于描述直角三角形中三条边的关系。

在八年级下册，学生将学习如何使用勾股定理解决实际问题。

2. 二次根式：二次根式是数学中的一种表达式，表示一个数的平方根。

学生需要掌握二次根式的性质、运算规则以及与实数的关系。

3. 一元二次方程：一元二次方程是包含一个未知数的二次方程。

学生需要掌握一元二次方程的解法、应用以及与现实生活的关系。

4. 平面直角坐标系：平面直角坐标系是一个基本的数学工具，用于描述平面上的点的位置。

学生需要掌握如何使用坐标系表示点的位置，以及如何通过坐标系解决实际问题。

5. 一次函数与反比例函数：一次函数和反比例函数是两种基本的函数形式。

学生需要掌握它们的性质、图像以及在实际生活中的应用。

6. 数据的收集与整理：学生需要掌握如何收集和整理数据，以及如何使用图表来表示数据。

这将帮助他们更好地理解和分析现实生活中的问题。

以上是初中八年级下册数学的主要知识点。

在学习过程中，学生需要注重理解和应用，通过大量的练习来巩固所学知识。

最全面八年级下册数学知识点归纳总结八年级下册数学知识点归纳总结一、代数基础1.数的基础知识正数、负数的概念，求相反数，绝对值。

2.代数式代数式的概念，如何列代数式，代数式的简单加减乘除。

3.一元一次方程一元一次方程的概念，如何列一元一次方程，方程的解。

4.解一元一次方程组一元一次方程组的概念，如何列一元一次方程组，解一元一次方程组。

二、图形的性质1.平面图形各种多边形的定义、性质和判定方法。

2.圆的相关知识圆的定义和性质、弧、圆周角、相交弧、相切弧的性质。

3.相似三角形相似三角形的概念、性质、判定方法及三倍线定理。

4.勾股定理勾股定理的概念、性质、证明及应用场景。

5.解锐角三角函数正弦、余弦、正切函数，锐角函数基本关系式。

三、空间几何1.空间图形的计算长方体、正方体、球体等几何体的体积、表面积的计算。

2.解同面直线和平面的关系两个平面的交线是直线，两个直线的位置关系是什么，两个直线的夹角，两条垂直直线之间的夹角。

3.平面与立体图形的关系平面和立体图形的交、相交线，截面的形状及性质。

四、统计数学1.概率的基本概念概率的概念、事件、随机事件的计算公式，样本空间、基本事件。

2.事件的独立性事件的并、交、余、互斥，两个事件的独立性及其判定。

3.频率与概率的关系频率与概率的定义及其区别，频率越大，概率越小。

五、函数初步1.函数的定义函数的概念及表示方法，自变量、因变量和函数值。

2.函数的图像与性质函数图像的概念，单调性、奇偶性、周期性、对称性等。

3.函数的应用如何应用函数进行模型建立，自变量和因变量的定量关系。

六、反比例函数1.反比例函数的概念反比例函数的定义，反比例函数图像。

2.反比例函数的性质反比例函数的单调性、渐近线、变化率，反比例函数与直线的关系。

3.应用反比例函数如何应用反比例函数进行模型建立，自变量和因变量的定量关系。

七、数列1.等差数列等差数列的概念、通项公式、通项公式的推导及应用。

2.等比数列等比数列的概念、通项公式、通项公式的推导及应用。

八年级下册数学复习专题八年级下册数学复资料第一章直角三角形1、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

例如，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的中线，因此CD等于AB的一半。

③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

例如，在直角三角形ABC中，如果∠A=30°，那么BC等于AB的一半。

例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则正确的结论是AC²+BC²=AB²。

④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

例如，在直角三角形ABC 中，如果BC等于AB的一半，那么∠A=30°。

例如，如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么顶角的度数是60°。

⑤勾股定理及其逆定理1）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。

求斜边的长度，可以用c=√(a²+b²)；求直角边的长度，可以用a=√(c²-b²)或b=√(c²-a²)。

例如，在图中的拉线电线杆示意图中，已知CD⊥AB，∠CAD=60°，那么拉线AC的长度是6m。

例如，如果一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是√136.2）逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

可以分别计算“a²+b²”和“c²”，如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形。

例如，在Rt△ABC中，如果AC=2，BC=7，AB=3，那么正确的结论是∠C=90°。

例如，如果一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，那么这块木板的面积是18.例如，某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？直角三角形性质及勾股定理的应用常见于各种图形中。

P C G FBQ A D E 经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．APCDBAF G CE B O D D 2 C 2B 2 A 2 D 1C 1B 1C BD A A 1 A N FE C D MB · AD HE M C B O ·GAO D B E CQ P NM ·O Q PB DEC NM ·ADAFD EC BED ACBF F E P CB A ODB FAEP A求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。