2_5维直流电法正演中Fourier逆变换离散波数的最优化选取

Fourier反变换（Inverse Fourier Transform）可以用于从Fourier系数幅度谱恢复原始信号。

具体步骤如下：
1. 首先，根据Fourier变换的定义，如果一个函数f(t)的Fourier 变换存在，那么它的Fourier变换和逆变换可以表示为：
F[f(t)] = ∫(-∞ to ∞) f(t) e^(-iωt) dt
f(t) = 1/π ∫(-∞ to ∞) F[f(t)] e^(iωt) dt
2. 在实际计算中，我们通常使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）及其反变换。

假设我们有一个离散时间信号f[n]，其傅里叶变换可以表示为：
F[f[n]] = ∑(-∞ to ∞) f[n] e^(-iωn)
3. 其中，ωn = 2πn/N，N是信号的采样点数。

4. 同样地，离散傅里叶反变换可以表示为：
f[n] = 1/N ∑(-∞ to ∞) F[f[n]] e^(iωn)
5. 在实际应用中，通常只考虑幅度谱，即|F[f[n]]|，因为相位信息通常对于恢复原始信号并不重要。

6. 因此，从Fourier系数幅度进行反变换的步骤是：
* 首先获取原始信号的Fourier幅度谱；
* 然后使用上述公式进行反变换；
* 最后，通过这种方式就可以恢复原始信号。

请注意，如果原始信号包含无限频率成分，那么在离散傅里叶变换
中，这些成分将被映射到更高的频率。

因此，如果原始信号包含无限频率成分，那么这种反变换可能无法准确恢复原始信号。

关于瞬变电磁法2.5维正演中的几个问题
熊彬
【期刊名称】《物探化探计算技术》
【年(卷),期】2006(28)2
【摘要】这里讨论了瞬变电磁法2.5维正演模拟中的两个积分变换:傅里叶逆变换和拉普拉斯逆变换.针对发收距为零的中心回线方式瞬变电磁法,提出了在傅氏域中考察傅氏变换函数随波数的变化规律,进而根据曲线首尾支渐近线来划定波数覆盖的范围,然后同解析解对比,确定出最少个数的傅氏域波数.另外,介绍了只需对较少的拉氏变换变量作纯实数运算的拉普拉斯数值反演计算方法.通过对均匀半空间表面上垂直磁偶极子源形成的瞬变电磁场进行正演模拟,结果表明,关于傅氏域波数的范围划定原则及个数选取方案是合理的、拉氏逆变换算法也是切实可行的.
【总页数】5页(P124-128)
【作者】熊彬
【作者单位】中南大学,信息物理工程学院,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】P631.3+25
【相关文献】
1.瞬变电磁法二维有限差分正演模拟研究 [J], 辛会翠
2.基于吸收边界条件的瞬变电磁法三维矢量有限元快速正演 [J], 张永超;王光杰;李宏杰;廉玉广;李文;邱浩;牟义
3.基于井-地瞬变电磁法的正演模拟研究 [J], 程崇峻
4.瞬变电磁法矩形回线源一维正演研究 [J], 殷成
5.地形对回线源瞬变电磁法探测影响的三维正演研究 [J], 马炳镇;郭建磊
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对离散fourier变换公式四种形式的讨论Fourier变换是一种广泛应用于信号处理、图像处理、声音处理等领域的数学工具。

离散Fourier变换是Fourier变换的一种离散形式，用于对离散信号进行频域分析。

离散Fourier变换公式有四种不同的形式，本文将对这四种形式进行讨论。

一、正向离散Fourier变换公式正向离散Fourier变换（DFT）公式是将一个离散信号转换为它在频域中的表示。

设$x(n)$为长度为$N$的离散信号，则它的DFT表示为：$$X(k)=sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-i2pi kn/N},k=0,1,cdots,N-1$$其中$i$为虚数单位。

公式中的$X(k)$表示信号在频域中第$k$个离散频率上的振幅和相位。

DFT公式是一种线性变换，因此可以用矩阵形式表示：$$begin{bmatrix} X(0) X(1) vdots X(N-1) end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 1 & e^{-i2pi/N} & cdots & e^{-i2pi(N-1)/N} vdots & vdots & ddots & vdots 1 &e^{-i2pi(N-1)/N} & cdots & e^{-i2pi(N-1)(N-1)/N} end{bmatrix} begin{bmatrix} x(0) x(1) vdots x(N-1) end{bmatrix}$$ 这个矩阵称为DFT矩阵，它的逆矩阵称为IDFT矩阵，可以用来进行反向DFT变换，将频域信号转换回时域信号。

二、反向离散Fourier变换公式反向离散Fourier变换（IDFT）公式是将一个离散频域信号转换为它在时域中的表示。

设$X(k)$为长度为$N$的离散频域信号，则它的IDFT表示为：$$x(n)=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{i2pi kn/N},n=0,1,cdots,N-1$$公式中的$x(n)$表示信号在时域中的振幅和相位。

第一章Fourier变换§ 1.1 Fouriei•积分§ 1.2 Fourier变换的概念与性质§ 13 Fourier变换的应用主要内容Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系•它既能简化计算（如解微分方程或化卷积为乘积等），又具有明确的物理意义（从频谱的角度来描述函数的特征），因而在许多领域被广泛地应用•离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要.§ 1.1 Fouriei•积分Recall:周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数;但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示;引进类似于F ourier级数的Fourier积分（周期趋于无穷时的极限形式）1.1 Recall:在工程计算中，无论是电学还是力学，经常要和随时间而变的周期函数广应）打交道•例如：具有性质/ra+rW/G,其中卩称作周期，而1/T代表单位时◎动的次数，单位时间通常取秒，即每秒重复多少次，单匸疋赫兹（Herz,或Hz）.最常用的一种周期函数是三角函数。

人们发现，所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近••…Fourier 级数研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况，通常研究在闭区间［-T/2JV2］内函数 变化的情况.Dirichlet 条件:•心⑴连续或仅有有限个第一类间断点;⑴仅有有限个极值点贝呢⑴可展开为Fourier 级数，且在连续点f 处成立:Q0九⑴为T-周期函数,在上满足©叶鉴+ 工（色cos neat + b n sin ncot^n=\其中3=2兀「£ = ¥『;/(/) bn =討丁;/厂⑴sin 叱血(〃 =1,2,…) 在间断点f 处成立：M+ 0) +m - 0)七 +£ (a” COST +b n sin n^t)2n=\• incot—e2i级数化为:2 2令5 =等C” = 乎,d” = 屮，则c° =缶心 S £ J ；；齐⑴ 2°cosncotdt (H = 0,1,2,-・・)2 引进复数形式： 』net * ^ incot cos HCD Z = ------------------------ , sin neo t = ---- 2 Jn (dt . -in (dt / -in (x )t 、e 4-ef e —ean -------------- - ----------- + O’ ------------- --- ----------22i )'a n - ib n in(dt + % +比八^一和冋]7占dtfc /=: —flWsin 妁M = * J；；") 〃” =£ J；；加)[COSM/+i sin ncot]dt= ”：J ⑴^^n = l,2,・.)(j =耳)合并为：C 弓］T ：J T (”叫心=0,± 1, ±2,…)=ly Pf 72T 厶 J-r/2丄 M=—8」C n = F(nco^—f T (J )的离散频谱；|c”|—A ・(r)的离散振幅频谱； argc”一/^(f)的离散相位频谱；乙若以触/)描述某种信号，贝陀”可以刻画齐(/)的◎频率特征。

第2章 离散Fourier 变换1. 概述1.1 定义连续Fourier 变换在处理由解析表达式表示的函数或进行理论推导时是非常适用的，但在实际的工程应用中，读者在多数情况下要借助计算机等数字工具对采样量化后的离散数据序列进行分析和处理，这就要用到离散Fourier 变换。

笔者在下面的公式(2-1)中列出了针对等间隔采样的离散Fourier 变换对：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==∑∑-=-=-1,,1,0 ,][1][1,,1,0 ,][][102102N n e k X N n x N k e n x k X N k knN j N n kn Nj ππ (2-1) 结合第一章中介绍过的正交函数的概念，我们知道，公式(2-1)中用到的向量组kn Nj eπ2⋅-与kn Nj eπ2⋅(1,,1,0-=N n k 、)是N 维复数空间上的两组完备的函数正交基。

根据公式(2-1)中的定义，可知位于首位的序列值都有特殊的意义：序列][n x 的总和等于其Fourier 变换在频率原点的值∑-==1][]0[N n n x X ，而∑-==1][1]0[N k k X N x 等于其Fourier 变换的均值。

笔者提醒读者注意公式(2-1)中正向变换后的离散频率自变量的排列顺序及其实际对应的频率值。

考虑采样间隔T ∆，公式(2-1)中正向变换后的频率分辨率为TN f ∆⋅=∆1，以频率作为自变量单位，]0[X 对应频率为0的直流分量，]1[X 、…、]12/[-N X 、]2/[N X 对应的频率自变量为：f ∆、…、f N ∆⋅-)12(、f N∆⋅2；而]12/[+N X 、]22/[+N X 、…、]1[-N X 对应的频率自变量为：f N ∆⋅--)12(、f N∆⋅--)22(、…、f ∆-，如果采用角频率作为自变量单位，只需再乘以一个系数π2。

笔者在本书中提供的离散Fourier 程序代码都遵循上述频率自变量的排列约定。

Fourier变换的应用分析信计040 （10040676）崔捷摘要：以Fourier变换为代表的积分变换在许多工程领域有着广泛应用，因此，总结和分析Fourier变换的主要应用案例，对于加深对积分变换理论和方法的理解有着重要的实际意义。

本文将在Fourier变换的基础理论介绍的基础之上，从理论和算例仿真两方面对Fourier变换的应用案例进行分析，从而总结出Fourier变换的优点和应用特点。

关键词：Fourier变换，应用分析，仿真模拟1 研究背景1.1 Fourier变换概论Fourier变换的基本思想首先由法国学者Fourier系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。

1807年，Fourier向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。

傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。

最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具[1]被提出的。

自此之后，Fourier 变换经过了长时间的发展，衍生了很多不同的变种，在各个领域逐渐的到更为广泛的应用。

在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域Fourier变换都有着广泛的应用（例如在信号处理中，Fourier 变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。

特别是在分数阶Fourier变换[2]被提出后，它的应用更是走上了一个新的台阶。

在现代数学的理论体系中，Fourier变换正在各个领域起着举足轻重的作用。

从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"[3]，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。

比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。

二维直流电阻率正反演研究直流电阻率法常常被工程勘察所采用,然而工区复杂的地质地形环境和严格的工程要求都对直流电法提出新的挑战,特别是在后期的资料解释环节和反演成像环节,高低起伏的地形给解释和成像带来错误解译和假异常等问题。

起伏地形对直流电法的影响情况和影响程度,起伏地形起伏度的变化引起的直流电法响应特征的变化等都是工程勘察中亟待解决的问题。

正演模拟的算法步骤较为繁杂,本文选取网格剖分和傅里叶反余弦变换做为研究重点。

起伏地形的数值模拟需要非结构化网格剖分技术,文中讨论并编程实现经典的三角单元网格剖分算法;反余弦变换而言,因为它关联着正演算法的精度,本文主要对反变换中的最优化波数电极距范围进行讨论,进而改进正演模拟算法。

具体来说,网格剖分使用限定Delaunay三角剖分算法,算法只需要提供限定条件,即地电模型的地形边界、人工边界和模型边界等,就能够自动得到地电模型的三角剖分结果,同时保证剖分结果中各条边界一定存在,又可根据人为需要加密某部分区域,使起伏地形能够进行正演模拟研究和反演成像研究。

本文的傅里叶反余弦变换研究以最优化波数算法为基础,通过对双层水平介质模型和垂直接触带模型的正反余弦变换解析公式的研究,得到计算离散波数的电极距范围应该根据地下空间电性变化和勘探深度要求进行设计,再采用最优化算法算得离散波数和变换系数,经对比分析证明上述计算离散波数的方法是正确的,提高数值模拟的精度,保证正演算法的有效性,为反演成像奠定基础。

文中第二部分利用正演算法研究起伏地形的高密度电法视电阻率响应特征,然后分析地形起伏度变化对响应特征的影响区域和程度变化。

最后,研讨反演成像算法并设计理论模型验证,最后将带地形实测资料进行成像解释。

详细工作包括采用不同的装置对山脊、山谷和陡坎地形分别进行数值计算,通过对比温纳装置、偶极装置和微分装置的视电阻率剖面图,发现温纳装置和微分装置对应剖面图中的假异常形态相似,在山脊地形下方有低阻假异常,坡脚两侧是高阻假异常;而在山谷下方高阻假异常,坡脚两侧为低阻假异常;陡坎地形坡顶对应低阻假异常,坡脚对应高阻假异常,但微分装置的视电阻率变化范围更大。

人工源电磁法复电阻率2.5维正演问题研究引言问题背景人工源电磁法（A rti f ic ia lS ou rc eE lec t ro ma gn et ic Me tho d，A S EM）是一种非常重要的地球物理勘探方法，广泛应用于地下矿产资源的探测和水文地质工程等领域。

而复电阻率2.5维正演问题是在使用A S EM方法进行电磁场模拟时遇到的一个重要问题。

研究目的本文旨在探讨人工源电磁法下的复电阻率2.5维正演问题，分析其原理及数学建模，并介绍一种有效的求解方法，为实际勘探工作和地质工程提供理论基础和技术支持。

人工源电磁法概述人工源电磁法是一种利用电磁感应原理，通过在地面上设置发送线圈和接收线圈，对地下的电磁场进行测量和研究的方法。

它通过变化的电感和电阻，记录了地下不同介质对电磁场的响应。

该方法无需打井、无需探针，非常适合应用于对大面积地区进行勘探。

复电阻率2.5维正演问题原理在人工源电磁法中，复电阻率2.5维正演问题是指在已知地下模型的情况下，通过数学模型计算电磁场在地面上的响应。

其基本原理是根据电磁感应定律，通过数值计算电场和磁场的分布情况，并进而得出电流密度、电阻率等有关参数。

这样就可以模拟地下介质对电磁场的响应情况。

数学建模复电阻率2.5维正演问题的数学建模需要考虑以下几个方面：地下模型在建模时需要确定地下模型的参数，包括不同层次的电导率、介电常数等信息。

通过合理的地下模型设定，可以反映出地下介质对电磁场的影响。

边界条件在正演问题的建模中，需要设定合适的边界条件。

边界条件是指电磁场在计算区域边界上的数学描述，它决定了电磁场的传播规律。

数值求解为了得到复电阻率2.5维正演问题的数值解，需要使用适当的数值方法进行求解。

常见的数值求解方法包括有限差分法、有限元法等。

求解方法及实例分析1.确定模型参数：地下模型的电导率和介电常数等参数信息。

2.设定边界条件：根据具体问题，设定相应的边界条件。

第 27 卷 第 1 期物探化探计算技术2005 年 2 月文章编号: 1001—1749 (2005) 01—0034—05计算最优化离散波数的优化算法柳建新, 刘海飞(中南大学 信息物理工程学院, 长沙 410083)摘 要: 在阐述用最优化方法计算离散波数的基础上, 对波数初值的给定及偏导数矩阵的计算 方法作了进一步的改进, 使其在数学推理上更加严密; 在计算量和计算精度方面也有了很大的改 善, 并简化了程序设计。

通过试算发现, 反付氏变换的均方误差随波数个数的变化规律, 即在变化 曲线上存在转折点, 在转折点之后误差趋于平稳变化。

选取转折点处的波数个数作为反付氏变换 的波数个数, 这样在正演、反演过程中, 既保证了计算精度, 又节约了计算时间。

关键词: 离散波数; 偏导数矩阵; 均方误差; 正演; 反演 中图分类号: 文献标识码: AO 241. 1 是文献3 没有说明波数初值的给定方法。

付氏电位对波数的偏导数也是用差商形式计算的, 那么差商的步长选取就有了一定的人为性。

对此, 作者对上述不足加以改进, 如用计算等比离散波数的方法给定波数的初值, 用解析方法计算付氏电位对波数 的偏导数, 使其在数学推理上变的更加严密; 并且改善计算量和计算精度, 简化程序设计。

通过试算,发现了反付氏变换的均方误差随波数个数的变化的规律, 即在变化曲线上存在转折点, 在转折点之后误差趋于平稳变化。

选取转折点处的波数个数作为反付氏变换的波数个数, 这样在正演、反演过程中, 既保证了计算精度, 又节约了计算时间。

0 前言用有限元法解点源二维问题时, 要用到反付氏 变换, 用数值方法进行反付氏变换时, 波数 Κ的选 取是保证计算精度和节约计算时间的主要问题。

罗 延钟1, 2在进行反付氏变换时, 根据零阶修正贝塞尔函数 K 0 (x ) 曲线的特点, 构造线性函数和负指数 函数, 然后对其进行分段积分来完成反付氏变换。

fourier函数-回复Fourier函数是以法国数学家约瑟夫·傅立叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）的名字命名的，它是数学领域中非常重要的一个函数。

傅立叶函数是解析函数的一种方法，它可将一个周期函数分解为一系列的正弦和余弦函数，可以用于信号处理、图像处理以及物理学中的波动现象等领域。

下面将逐步回答有关Fourier函数的问题。

第一步：什么是Fourier函数？Fourier函数是指以正弦和余弦函数为基础的一类函数。

它将一个周期函数拆分为一系列的正弦和余弦函数的和，其中每个正弦和余弦函数都有不同的频率和振幅。

这个拆分的过程被称为Fourier变换。

第二步：Fourier函数的公式是什么？Fourier函数可以表示为以下形式的无穷级数：f(x) = a₀+ ∑(aₙcos(nωx) + bₙsin(nωx))其中，f(x)表示原始周期函数，a₀、aₙ和bₙ是系数，ω是角频率，n是正整数。

第三步：Fourier系数如何计算？计算Fourier系数可以使用Fourier级数的公式和一些数学技巧。

首先，需要确定原始函数的周期，并确定要展开的区间。

然后，根据公式计算a₀、aₙ和bₙ的值，这可以通过求函数在整个周期内的积分来实现。

在实际计算中，可以使用数值方法对Fourier系数进行估计。

第四步：Fourier变换有哪些应用？Fourier变换在许多领域都有广泛的应用。

在信号处理中，Fourier变换可以将信号从时间域转换到频率域，使得信号中的不同频率成分能够被清晰地观测和分析。

在图像处理中，Fourier变换可以用于图像增强、噪声去除和图像压缩等方面。

在物理学中，Fourier变换被广泛应用于波动现象的研究，例如声音、光和电磁波等。

第五步：Fourier函数的性质有哪些？Fourier函数具有许多重要的性质。

其中之一是平移性质，即将函数向左或向右平移会对Fourier系数产生相应的影响。