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离散序列傅里叶变换习题教学教材

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离散序列傅里叶变换习题

离散序列傅里叶变换习题

1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 (1)1()(3)x n n δ=- (2)211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++- (3)3()(),01nx n a u n a =<<(4)4()(3)(4)x n u n u n =+--2、 设()j X e ω就是序列()x n 的离散时间傅里叶变换,利用离散时间傅里叶变换的定义与性质,求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

(1)()()(1)g n x n x n =-- (2)()*()g n x n = (3)()*()g n x n =- (4)()(2)g n x n = (5)()()g n nx n = (6)2()()g n x n =(7)(),()20,n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换(1)1()(),||1nx n a u n a =< (2)2()(),||1nx n a u n a =->(3)||3,||()0,n a n M x n n ⎧≤=⎨⎩为其他(4)4()(3),||1nx n a u n a =+<(5)501()()(3)4n m x n n m δ∞==-∑ (6)6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4、 设()x n 就是一有限长序列,已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,n x n n --=⎧=⎨⎩为其他它的离散傅里叶变换为()j X e ω。

不具体计算()j X e ω,试直接确定下列表达式的值。

(1)0()j X e (2)()j X e π (3)()j X e d πωπω-⎰ (4)2|()|j X e d πωπω-⎰(5)2()||j dX e d d ωππωω-⎰ 5、 试求以下各序列的时间傅里叶变换(1)11,||()0,n N x n n ≤⎧=⎨⎩为其他(2)21||/,||()0,n N n N x n n -≤⎧=⎨⎩为其他(3)3cos(),||()20,n n N x n Nn π⎧≤⎪=⎨⎪⎩为其他6、证明:若()j X e ω就是序列()x n 的离散时间傅里叶变换,而1(),()0,nnx x n kk⎧⎪=⎨⎪⎩为整数其他则1()()j j X e X e ωω=。

数字信号处理(第2版)教学课件第3章 离散傅里叶变换

数字信号处理(第2版)教学课件第3章 离散傅里叶变换

数 N min。如果不变，要求频谱分辨率增加一倍时,求最少的采样点数和最小
的记录时间是多少。
解
Tp
1 F
1 10
0.1s
Tpmin 0.1s
Tmax
1 fs
1 2 fc
1 2 5000
0.1103s 1ms
N min
2 fc F
2 5000 10
1000
为利用 FFT，N 通常取 2 的整数幂，这里可取 N 210 1024
3．频域循环移位定理
DFT[x(n)WNmn ] X ((k m))N RN (k)
3.3.4 循环卷积性质 1．循环卷积的定义
yc
(n)
N 1 m0
x1(m)
x2
((n
m))N
RN
(n)
N 1 m0
x2
(m)
x1((n
m)) N
RN
(n)
2．DFT 的循环卷积性质
DFT[x1(n) x2(n)] DFT[x1(n)] DFT[x2(n)]
3 4
2 4 24 3 3 22
yc (0)
yc
(1)
1 2
0 1
0 0
0 0
0 0
4 0
3 4
2 4 3 3
4 11
yc
(2)
yc (3)
3 4
2 3
1 2
4 2
1
1
24 30
yc (2) 3 2 1 0 0 0 0 4 2 20
yc yc
(3)
(4)
4 0
3 4
2 3
DFT[x1(n)
x2 (n)]
1 N

第3章5-8 离散傅里叶变换及其快速算法 数字信号处理 教学课件

第3章5-8 离散傅里叶变换及其快速算法 数字信号处理 教学课件
把图3. 19中与x(4)水平相邻的所有节点和与x(1)水平相邻的所有节 点交换，把与x(6)水平相邻的所有节点和与 x(3)水平相邻的所有节点 交换，而与x(2)、x(5)和x(7)水平相邻各节点位置不变，就可以从图3. 19得到图3.22。图3.22与图3.19的区别只是节点的排列不同，而支路 传输比，即WN的 各次幂保持不变。显然图3.22所示流程图的输入是 正序(自然顺序)排列的，输出是码位倒置 排列的，所以输出要进行 变址计算。图3. 22所示的流程图相当于最初由库利和图基给出的时 间抽选算法。
3.5.3 蝶形、同址和变址计算
1. 蝶形计算 任何一个N为2的整数幂(即N=2M)的DFT，都可以通过M次分解，最
后成为2点的 DFT来计算。M次分解构成了从x(n)到X(k)的M级迭代计 算，每级由N/2个蝶形组成。图3.20表示了蝶形的一般形式表示。 其输入和输出之间满足下列关系：
从上式可以看出完成一个蝶形计 算需一次复数乘法和两次复数加法。 因此，完成N点的时间抽选FFT计 算的总运算量为
后4个k值的X(k)表示为：
因为Βιβλιοθήκη 所以(3.65)(3.66)
按照式(3.65)和式(3.66)可画出图3．15所示的信号流程图。
式(3.65)和式(3.66)把原来N点DFT的计算分解成两个N/2点DFT的计 算。照此可进一 步把每个N/2点DFT的计算再各分解成两个N/4点 DFT的计算。具体说来，是把{x(0)，x(2)，x(4)，x(6)}和{x(1)，x(3)， x(5)，x(7)}分为{x(0)，x(4) | x(2)，x(6)}和{x(1)，x(5) | x(3)，x(7)}。这样， 原信号序列被分成{x(0)，x(4) | x(2)，x(6) I x(1)，x(5) I x(3)，x(7)}4个2项 信号。G(k)和H(k)分别计算如下:

课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--上机习题

课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--上机习题
n a x( n ) = 0
n L n >L
其中 a=0.9， L=10。 （1） 计算并绘制信号 x(n)的波形。 （2）证明： X (e jω ) = FT[ x(n)] = x(0) + 2 （ 3） 按照 N=30 对 X(ejω)采样得到
Ck = X (e jω )
ω=
－|n|
R21(n+10)
2
2π k N
∑ x(n)cosω n
n =1
L
, k = 0,1, 2,L , N − 1
（4） 计算并图示周期序列
% n) = x 1 N
∑C e
k k =0
N −1
j(2 π / N ) k n
%(n) 与 x(n)的关系。 试根据频域采样定理解释序列 x
1
% ( n) = （5） 计算并图示周期序列 y
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第3章 上机习题
离散傅里叶变换(DFT)
1. 已知序列 x(n)={1, 2, 3, 3, 2, 1}。 （1） 求出 x(n)的傅里叶变换 X(ejω)， 画出幅频特性和相频特性曲线(提示： 用 1024 点 FFT 近似 X(ejω))； （2） 计算 x(n)的 N（N≥6）点离散傅里叶变换 X(k)， 画出幅频特性和相频 特性曲线； （3） 将 X(ejω)和 X(k)的幅频特性和相频特性曲线分别画在同一幅图中， 验 证 X(k)是 X(ejω)的等间隔采样， 采样间隔为 2π/N； （4） 计算 X(k)的 N 点 IDFT， 验证 DFT 和 IDFT 的惟一性。 2. 给定两个序列: x1(n)={2, 1, 1, 2} , x2(n)={1, －1, －1, 1}。

课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题答案

课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题答案
l =0 n′=0
m −1 N −1
−j
2 π ( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk k r −1 − j2mπ lk mN m = ∑ ∑ x( n′)e = X ∑e e l =0 n′=0 r l =0 k 因为 m = 整数 m −1 − j 2 π lk m m = ∑e k l =0 0 ≠ 整数 m m −1 N −1
m =0 n =0
N −1
N −1
由于
∑W
n =0
N −1
n (m+ k ) N
N = 0
m= N −k m ≠ N − k, 0 m
N −1
所以
5.
DFT［X(n)］=Nx(N－k)
N −1 k =0
k=0, 1, …, N－1
证: 由 IDFT 定义式
x(n) = 1 N
∑ X (k )W
=
1− e
−j
2π (m −k ) N N 2π (m−k ) N
1− e
N −1 n =0
−j
N = 0
N −1 n =0
k=m k≠m
2π 2π
0≤k≤N－1
- j mn - j kn 2π 1 j mn (6) X (k ) = cos ∑ mn ⋅ WNkn = ∑ (e N + e N )e N
Xep(k)=DFT［xr(n)］ ， 是 X(k)的共轭对称分量；
Xop(k)=DFT［jxi(n)］,
是 X(k)的共轭反对称分量。 所以， 如果 x(n)为实序列， 则 Xop(k)=DFT ［jxi(n)］
=0，

2离散付里叶变换复习与习题课

2离散付里叶变换复习与习题课

x(n) 0 ≤ n ≤ 5 x(n) = 他 0 其 n y(n) 0 ≤ n ≤ 14 y(n) = x(n) = 他 0 其 n
解 ： (k) = ∑x(n)e X
n=0
14
−j
2 π k n N
Y (k) = ∑y(n)e
n=0
14
−j
π 2 k n N
f (n) = x(n) ⊗ y(n) = ID T[ X (k) (k)] F Y 2 π 14 j k n 1 N = ∑X (k)Y(k)e N n=0 = 线 卷 积 ： x(n) * y(n) = =
−j 2π kn0 N n=0 N− 1 −j 2π kn N
(d)x(n) = n RN (n)
2
解 X（ ) = ∑x(n)e ： k = ∑n e
2 n=0 N− 1 n=0 2π N− 1 −j kn N 2 N− 1
N− 1
−j
2π kn N 2 −j 2π kn N
N 2 d = ∑− ( ) (e 2 2 π dk n=0
j
N−1
2π kn N
专题3.根据DFT性质求解X(k)
(c)x(n) = δ (n − n0 ),0 < n0 < N DFT 解 ∵δ (n) 1 ： → ∴根 ∴根 时 特 : 据 移 性
δ (n − n0 ) e →
DFT
2π −j kn0 N
专题4.圆周卷积
• P105页，第10题 • 设有两序列，各作15点的DFT，然后将 两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所 得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于 x(n)*y(n)线卷积应得到的点。
2π kn N

第3章1-4 离散傅里叶变换及其快速算法讲解


考虑到DFT关系的对偶性，可以证明，长为N的两序列之积的DFT 等于它们的DFT的循环卷积除以N，即
3种卷积： 线性卷积 线性卷积不受主值区间限制 周期卷积 循环卷积 是周期卷积取主值，在一定条件下与线性卷积相等。 两个长度都为N的因果序列的循环卷积仍是一个长度为N的序列， 而它们的线性卷积却是一个长度为2N-1的序列。
设x1(n)和x2(n)都是长度为N的有限长因果序列，它们的线性卷 积为
它是长为2N-1的序列。
现将x1(n)和x2(n)延长至L(L>N)，延长部分(从N到L-1)均填充为零 值，计算x1(n)和x2(n)的L点循环卷积，得到
为了下面分析方便，先将x1(n)和x2(n)以L为周期进行延拓，得 到两个周期序列
若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注 意此时DFT与未补零的DFT不相等。
此性质可以直接由DFT的定义进行证明。
2．对称性 最常遇到的是实序列。设x(n)是一个长度为N的实序列，且
DFT[x(n)]=X(k)，则有 这意味着
或
这就是说，实序列的DFT系数X(k)的模是偶对称序列，辐角是 奇对称序列。
何信息。这正是傅里叶变换中时域和频域对偶关系的反映，这有 着十分重要的意 义。DFT实现了频域离散化，开辟了在频域采用 数字技术处理的新领域。
这使我们自然想到，对于任意一个频率特性，是否均能用频域
采样的办法来逼近，这是一个很吸引人的问题，因为用频率采样 来逼近，可使问题大大简化。因此我们要讨论频率采样的可行性 以及所带来的误差。
Matlab实现 fft1.m
X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)= 0.50746+j0.40597 X(7)= 0.71063+j0.92558

课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题

课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题数字信号处理第三版第3章离散傅里叶变换(DFT)习题1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为(1) x(n)=1(2) x(n)=δ(n)(3) x(n)=δ(n－n0) 0n0N(4) x(n)=Rm(n) 0mN(5) n ) jNmn N x(=e,0 mπ 2 (6) n ) x(=cos mn ,0mN2π(7) x(n)=ejω0nRN(n)(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)(9) x(n)=cos(ω0n)RN(N)(10) x(n)=nRN(n)2．已知下列X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］Njθ 2e N（1）X (k)= e jθ20 N k=m k=N m其它kNjθ j2e N jθ（2）X (k)= je 2 0 k=m k=N m 其它k其中，m为正整数，0mN/2, N为变换区间长度。

3．已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)，循环卷积区间长度L=10。

，4．证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］数字信号处理第三版证明DFT［X(n)］=Nx(N－k)5．如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理1x(0)=N∑X(k)k=0N 16．设x(n)的长度为N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n) m为自然数H(k)=DFT［h(n)］mN 0≤k≤mN－1求H(k)与X(k)的关系式。

7．证明: 若x(n)为实序列，X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=__（N－k)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。

第3章(146)教材配套课件


及
xa
(t)

1 2π

xa
(
j)e
jΩt
dΩ
(3-1b)
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
在图3.1中，我们还列出了该信号的频谱示意图。不难看到，
一个时域连续的非周期信号的频谱是连续的、非周期的。 类似
地，对于图3.2所示的时域连续的周期信号，其傅里叶变换对则
如式（3-2）所示。
xa(t)
~x (n' )WNn'kWNmk

W mk N
X~
(k
)
n'm
n'm
同时，对于 X~1(k) X~(k l) ，也可求得其 ~x1(n) WNnl ~x (n)
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
3.3.3 调制特性
WNnl ~x (n)的傅里叶系数为 X~ (k l) 。为获此结果，我们同
nl
n0
N 1

n0
1 N
Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
X~
(k
)e
j
2π N
n(k
l
)
k 0

N 1 k 0
X~
(k
)
1 N
N 1 j2π n(k l ) eN
n0

（3-7）
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
考虑到
1
N
N 1 j2π n(k l )
eN
n0

1 0
1
N
1
X~
(k
)e
j2π N
nk
N k0
（3-6）
式 性中影乘响上。系下数面我N1们是就为着了手求确解定X系~ (数k )X~时(k方)

离散序列傅里叶变换习题

离散序列傅里叶变换习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(3)x n n δ=- （２)211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++- （3）3()(),01nx n a u n a =<<（４)4()(3)(4)x n u n u n =+--2、 设()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质,求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（1）()()(1)g n x n x n =-- (2)()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4)()(2)g n x n = （5)()()g n nx n = (6）2()()g n x n =（7)(),()20,n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换(１）1()(),||1nx n a u n a =< (2)2()(),||1nx n a u n a =->(3）||3,||()0,n a n M x n n ⎧≤=⎨⎩为其他（4)4()(3),||1nx n a u n a =+<（5）501()()(3)4n m x n n m δ∞==-∑ （6)6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4、 设()x n 是一有限长序列，已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,n x n n --=⎧=⎨⎩为其他它的离散傅里叶变换为()j X e ω。

不具体计算()j X e ω，试直接确定下列表达式的值。

（1）0()j X e （２）()j X e π (3)()j X e d πωπω-⎰ (4)2|()|j X e d πωπω-⎰（5）2()||j dX e d d ωππωω-⎰ 5、 试求以下各序列的时间傅里叶变换(１）11,||()0,n N x n n ≤⎧=⎨⎩为其他(2)21||/,||()0,n N n N x n n -≤⎧=⎨⎩为其他(3)3cos(),||()20,n n N x n Nn π⎧≤⎪=⎨⎪⎩为其他6、证明:若()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而1(),()0,nnx x n kk⎧⎪=⎨⎪⎩为整数其他则1()()j j X e X e ωω=。

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1、 2、 11、试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(3)x n n δ=-（2）211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++- （3）3()(),01nx n a u n a =<<（4）4()(3)(4)x n u n u n =+-- 12、设()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2()()g n x n =（7）(),()20,n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数13、试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(),||1nx n a u n a =< （2）2()(),||1nx n a u n a =->（3）||3,||()0,n a n M x n n ⎧≤=⎨⎩为其他（4）4()(3),||1nx n a u n a =+<（5）501()()(3)4nm x n n m δ∞==-∑（6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦14、设()x n 是一有限长序列，已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,n x n n --=⎧=⎨⎩为其他它的离散傅里叶变换为()j X e ω。

不具体计算()j X e ω，试直接确定下列表达式的值。

（1）0()j X e （2）()j X e π （3）()j X e d πωπω-⎰（4）2|()|j X ed πωπω-⎰（5）2()||j dX e d d ωππωω-⎰ 15、 试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）11,||()0,n N x n n ≤⎧=⎨⎩为其他（2）21||/,||()0,n N n N x n n -≤⎧=⎨⎩为其他（3）3cos(),||()20,n n N x n Nn π⎧≤⎪=⎨⎪⎩为其他6、证明：若()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而1(),()0,n nx x n kk⎧⎪=⎨⎪⎩为整数其他则1()()j j X e X e ωω=。

7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为1()(2)1j j l X e l e ωωπδωπ∞-=-∞=+--∑ 8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω表示其他序列的离散时间傅里叶变换。

9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即221|()||()|2j n x n X ed πωπωπ∞-=-∞=∑⎰10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即()[()]j dX e DTFT nx n j d ωω=式中，()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换。

11、证明：（1）若()x n 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω是ω的实偶函数。

（2）若()x n 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω是ω的虚奇函数。

12、设4()()x n R n =，试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。

13、设实序列()x n 的偶对称序列1()[()()]2e x n x n x n =+-，奇对称序列1()[()()]2o x n x n x n =--，试证明222|()||()||()|eon n n x n x n x n ∞∞∞=-∞=-∞=-∞==∑∑∑14、设实序列()x n 的波形如图所示，（1）试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。

（2）设序列1()()()e o x n x n x n =+，式中，()e x n 和()o x n 为（1）所求结果。

画出1()x n 的波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？（3）分别求序列()x n 、()e x n 和()o x n 的离散时间傅里叶变换()j X e ω、()j e X e ω和()j o X e ω，分析()j X e ω、()j e X e ω和()j o X e ω的实部Re{()}()j j R X e X e ωω=、虚部Im{()}()j j I X e X e ωω=的关系。

15、已知序列()()(01)nx n a u n a =<<，试分别求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n 的离散时间傅里叶变换()j e X e ω和()j o X e ω。

16、若序列()x n 是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω的实部()j e X e ω为 ()1cos j R X e ωω=+求序列()x n 及其离散时间傅里叶变换()j X e ω。

17、若序列()x n 是实因果序列，(0)1x =，已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω的虚实部()j I X e ω为()sin j I X e ωω=-求序列()x n 及其其离散时间傅里叶变换()j X e ω。

18、如果()x n 是实序列，试证明*()()j j X e X eωω-=19、设()x n 是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为()j X e ω，若序列()y n 的离散时间傅里叶变换为221(){()][()()]2j j j Y e DTFT y n X e X e ωωω-==+试求序列()y n 。

离散时间傅里叶变换习题解答：1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(3)x n n δ=-解：3()j j X e e ωω-=（2）211()(1)()(1)22x n n n n δδδ=+++-解：()1cos j X e ωω=+（3）3()(),01nx n a u n a =<<解：1()1j j X e ae ωω-=-（4）4()(3)(4)x n u n u n =+--解：771111()1cos cos 2cos32221j j j a e X e ae ωωωωωω---=+++=-2、 设()j X e ω是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（1）()()(1)g n x n x n =--解：()(1)()j j j G e eX e ωωω-=-（2）()*()g n x n =解：()*()j j G e X eωω-=（3）()*()g n x n =-解：()*()j j G e X e ωω=（4）()(2)g n x n =解：()()j jn n G e x n eωω∞-=-∞=∑(2)jn n x n eω∞-=-∞=∑令'2n n =，'2'()(')jn j n G e x n eωω-=∑为偶数21[()(1)()]2jn nn x n x n e ω∞-=-∞=+-∑2211()()22j jn jn n X e x n e e ωωπ∞-=-∞=+∑()22211()()()22j j jn jn n X e X e x n e e ωωωππ∞--=-∞=+∑ （5）()()g n nx n =解：()()j dX e jnx n d ωω⇔-Q ()()j j dX e G e j d ωωω∴= （6）2()()g n x n =解：1()()*()2j j j G e X e X e ωωωπ=（7）(),()20,n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数解： ()()j jn n G e x n eωω∞-=-∞=∑22()()j m j m x m eX e ωω∞-=-∞==∑3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(),||1nx n a u n a =<解： 1()1j j X e aeωω-=- （2）2()(),||1nx n a u n a =->解： 11()1j j X e a e ωω-=-（3）||3,||()0,n a n M x n n ⎧≤=⎨⎩为其他解： ()()12Re[]MMj jn n jn n jn n n Mn MX e x n ea ea eωωωω∞---=-∞=-=-===+∑∑∑1221cos cos[(1)]cos 2Re[]12112cos M M Mn jn n Ma a M a M a ea aωωωωω++-=---++=-=--+∑ 212212cos[(1)]2cos 12cos M M a a M a M a aωωω++--++=-+ （4）4()(3),||1n x n a u n a =+<33(3),||1n a a u n a -+=+<解： 3311()1j j j X e a ea eωωω--=-（5）501()()(3)4n m x n n m δ∞==-∑301()(3)4mm n m δ∞==-∑解： 3333300111()()()(3)()1441()4j jn m jn m j m j n n m m X e x n en m e e eωωωωωδ∞∞∞∞----=-∞=-∞====-==-∑∑∑∑（6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1sin(/3)sin(/4)12/3/4n n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 解：2sin()()cc c c n g nωωπωωω⇔% 232sin(/3)sin(/4)3()4()/3/4n n g g n n ππππωωππ∴⇔⇔%%2321()()*()2j X e g g ωππωωπ∴=%%10()12477()[()]/2()/2121212412j j X e X e ωωπωπππππωωπωπ∴≤≤=≤≤=--+=-1,0412()77()/2,121212j X e ωπωπππωπω⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩4、 设()x n 是一有限长序列，已知1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,n x n n --=⎧=⎨⎩为其他它的离散傅里叶变换为()j X e ω。