§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT.

dft变换,z变换，离散傅里叶三者变换关系离散傅里叶变换(DFT)、Z变换和离散傅里叶变换(DTFT)是数字信号处理领域中常用的数学工具。

尽管它们的数学形式和实际应用略有不同，但它们之间存在紧密的联系。

首先我们来看离散傅里叶变换(DFT)。

离散傅里叶变换是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。

对于一个离散时间序列x(n)，DFT 将其表示为一组离散频谱X(k)，其中k表示频域中的离散频率。

DFT通过计算输入序列x(n)和一组复数旋转因子的点乘来实现。

在数学上，DFT的表达式如下：N-1X(k) = Σx(n)*e^(-j2πkn/N)n=0其中，N表示离散时间序列的长度，k表示离散频率的编号。

接下来我们来看Z变换。

Z变换是一种将序列转换为复数域表示的数学工具。

Z变换通过对序列x(n)中的每个样本进行加权求和，并使用复数变量Z来表示其变换结果。

Z变换的数学表达式如下：∞X(Z) = Σx(n)Z^(-n)n=0其中，X(Z)表示Z域中的复数函数，x(n)表示离散时间序列的样本值，Z表示复杂变量。

离散傅里叶变换(DFT)和Z变换之间存在紧密的联系。

如果我们将离散时间序列x(n)看作是一个去掉复杂变量Z的Z变换结果，那么离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换的特殊情况。

实际上，当变换的因子Z被设置为单位圆上的离散点时，离散傅里叶变换(DFT)和Z变换是等价的。

这时，离散傅里叶变换(DFT)可以用Z变换的形式表示：X(Z)|z=exp(-j2πk/N) = X(k)这个等式表示，当复数变量Z被设置为复数旋转因子z=exp(-j2πk/N)时，离散时间序列的Z变换结果X(Z)等于离散傅里叶变换(DFT)的离散频谱表示X(k)。

离散傅里叶变换(DFT)和离散傅里叶变换(DTFT)之间也存在联系。

离散傅里叶变换(DFT)可以被视为离散傅里叶变换(DTFT)的一种抽样。

离散傅里叶变换(DTFT)是将离散时间序列转换为连续频域表示的数学工具。

五种傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。

傅里叶变换可以分为五种：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和希尔伯特-黄变换（HHT）。

一、离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是指将一个有限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的复数序列。

它是一种计算量较大的方法，但在某些情况下精度更高。

DFT 的公式如下：$$F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-i2\pi kn/N}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(k)$ 是频域表示。

二、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种计算 DFT 的高效算法，它可以减少计算量从而加快计算速度。

FFT 的实现方法有多种，其中最常用的是蝴蝶运算法。

FFT 的公式与 DFT 相同，但计算方法不同。

三、连续时间傅里叶变换（CTFT）连续时间傅里叶变换是指将一个连续的时间信号，通过一定的算法转化成一个连续的频域函数。

CTFT 的公式如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中 $f(t)$ 是原始信号，$F(\omega)$ 是频域表示。

四、离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是指将一个无限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的周期性复数序列。

DTFT 的公式如下：$$F(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-j\omegan}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(e^{j\omega})$ 是频域表示。

五、希尔伯特-黄变换（HHT）希尔伯特-黄变换是一种基于经验模态分解（EMD）和 Hilbert 变换的非线性时频分析方法。

它可以对非平稳信号进行时频分析，并提取出信号中的本征模态函数（IMF）。

离散傅里叶变换离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。

在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。

即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

目录对换实例离散傅里叶变换的基本性质对换实例离散傅里叶变换的基本性质展开编辑本段对换实例傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为?x[k ] = N - 1Σn = 0 e - i 2 π–––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1.其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。

通常以符号F表示这一变换，即?x= Fx离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1––N N - 1Σk = 0 e i 2 π–––––N nk ?x[k ] n = 0,1, …,N-1.可以记为：x = F -1 ?x实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。

在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。

有时会将这两个系数都改成1/ √––N，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。

从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）?x( ω)都是连续的。

由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和?x都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。

数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。

设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。

x discrete (t) = x (t) N - 1Σn = 0 δ(t-nT) = N - 1Σn = 0 x (nT) δ(t-nT)它的傅里叶变换为?xdiscrete ( ω) = N - 1Σn = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1––T N - 1Σn = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。

同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。

1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。

时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下：∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)( （1.1）通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。

这是由于：)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+=== （1.2）由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出：ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=（1.3）故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。

上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=n α,此时其傅里叶变换可以写成简单的封闭形式。

五种傅里叶变换介绍傅里叶分析是一种将一个信号分解为其频率成分的技术。

傅里叶变换是傅里叶分析的数学工具，它将一个信号从时间域转换到频率域，并提供了各个频率成分的详细信息。

傅里叶变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域都有广泛的应用。

在傅里叶变换中，有五种常见的变换方法：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和快速傅里叶变换（DFT）。

在本文中，我们将详细介绍这五种傅里叶变换的原理、特点和应用。

离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是将一个离散信号从时域转换到频域的方法。

DFT通过计算信号在一组复指数函数上的投影来实现，其中这组复指数函数是正交的。

DFT的计算公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)其中，X(k)表示频域上的信号，x(n)表示时域上的信号，N是信号的长度。

DFT的优点是计算结果精确，可以对任何离散信号进行处理。

然而，它的计算复杂度较高，需要O(N^2)次操作，对于较长的信号将会非常耗时。

快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高速计算DFT的算法。

FFT算法通过将一个长度为N的DFT转换为两个长度为N/2的DFT的操作，从而实现了计算速度的加快。

FFT算法的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT的O(N^2)速度更快。

因此，FFT在实际应用中更为常见。

FFT广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

连续傅里叶变换（CTFT）连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CTFT）是将一个连续信号从时域转换到频域的方法。

CTFT可以将一个连续信号表示为一组连续的频率分量。

CTFT的计算公式如下：X(ω) = ∫ x(t) * exp(-jωt) dt其中，X(ω)表示频域上的信号，x(t)表示时域上的信号，ω是角频率。

第六节 离散傅里叶变换(DFT)5.6.1 DFT 的定义对离散时间信号的频谱分析，可以用离散时间傅里叶变换，即DTFT 。

DTFT 使我们能够在数字域频率分析信号的频谱和离散系统的频率响应特性，但对于DTFT 仍然存在两个实际问题。

（1）数字域频率T Ω=ω是一个连续变量，不利于用计算机进行计算。

为了便于用数字的方法进行离散时间信号与系统的频域分析和处理，仅仅在时间域进行离散化还不够，还必须在频谱进行离散化。

（2）数字化方法处理的序列只能为有限长的，所以，要专门讨论有限长序列的频谱分析问题。

根据这样的要求，引出了有限长序列的离散傅里叶变换的概念。

有限长序列的离散傅里叶变换，简称为离散傅里叶变换，即DFT(Discrete Fourier Transform)。

DFT 的定义如下。

设有限长序列()1,,2,1,0,-=N n n x ，它的离散傅里叶变换DFT 定义为()()[]()10,12-≤≤==∑-=-N k en x n x DFT k X N n n k Njπ(5-112)根据式(5-112)可以推出公式()()[]()10,112-≤≤==∑-=N n ek X Nk X IDFT n x N k n k Njπ (5-113)式(5-113)称为离散傅里叶反变换(IDFT)。

式(5-112)和式(5-113)构成一DFT 变换对。

注意不要把离散傅里叶变换DFT 和离散时间傅里叶变换DTFT 混淆了。

DTFT 是对任意序列的傅里叶变换，它的频谱是一个连续函数，而DFT 是对有限长序列的离散傅里叶变换，DFT 的特点是无论在时域还是在频谱都是离散的，而且都是有限长的。

DFT 提供了使用计算机或DSP 芯片来分析信号与系统的一种方法，尤其是DFT 的快速算法FFT ，在许多科学技术中得到了广泛的应用，并推动了数字信号处理技术及相关学科的迅速发展，这些内容会在数字信号处理课程有详细介绍，这里就不再多述。