第３０卷第６期 ２０ｌ４年ｌ １ ＪＪ 齐齐哈尔大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｑｉｈａｒ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．３０．Ｎｏ．６ Ｎｏｖ．．２０Ｉ４
ｋ元线性变换及其矩阵的性质
李立 ，吴险峰’，刘立芹。
（１．齐齐哈尔大学理学院，黑龙汀齐齐哈尔１６１００６；２．东北林业大学理学院，『ｌＡ尔滨１５００８０）
摘要：给｝ｌＩ ｋ 线 变换的等价条什，泔论ｒ ｋ Ｊｒ，线 变换的 质；然后给ｊｌＩ了ｋ元不变子空 的定义，讨论．ｒ
在 元不变子空问下ｋ元线 ＰＩ变换的 阼的一Ｉｑ－质。
关键词：线性变换；ｋ 亡线 ＰＩ－：变换；子空 ；不变子空 ；线性变换的矩阵 中图分类号：Ｏ１５１．２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００７—９８４Ｘ（２０１４）０６—００８５—０３
线性变换在代数学理论｜ｆ１占有重要的位置，它对于理解向量空间的结构起着重要的作用。ｋ元线性变
换理论十分复杂，但是它是线性变换理论巾的重要内容，因而讨论ｋ元线性变换的性质就显得尤为重要。 文献［１】给ｆＩＩ了ｋ元线性变换的定义；文献ｆ２】给｝ｌｌ了ｋ元线性变换矩阵的定义。木文在文献…及文献ｆ２】的基
础上，首先给…ｋ元线性变换的等价条件，利用等价条件刻划ｋ元线性变换的含义，然后给ｆＩＩ了ｋ元线性
变换的ｋ元不变子空问的定义，以及ｋ元线性变换集合的ｋ元不变子空间的定义，然后讨论了在ｋ元不变子 空问下ｋ元线性变换矩阵的特点，从而更好地刻划了ｋ元线性变换及其矩阵的性质。
１基本概念和符号
定义１【１］设Ｖ为数域Ｆ上，２维向量空间， 是Ｖ的变换，若对于任意给定的Ｖ的 个向量 一，Ｘ ，
Ｃ∈Ｆ，有
（ １， ２，…， ，＋ ，…，Ｘ＾）＝ （ ｌ， ２，…， ，，．一， ）＋ｃｒ（Ｘｌ， ２，…， ，…，Ｘ ） （１）
（ ｌ，Ｘ２，…，ｃＸ 一， ）＝ｃｃｒ（Ｘｌ， ２，…， ，’．一，Ｘ ） （２）
则称 为 上的ｋ元线性变换。 定义２陋 设Ｖ是数域 上的一个 维向量空间， 是Ｖ上的ｋ元线性变换，取定Ｖ的一个基
§7.3 线性变换的矩阵
教学目的 本节需掌握线性变换关于基的矩阵及可逆线性变换的逆变换的矩阵，向量与
()关于同一个基的坐标之间的关系，线性变换的同构即L(V)与Mn(F)的同构，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
教学难点 线性变换的同构
教学重点 变换关于基的矩阵，可逆线性变换的逆变换的矩阵，向量与 ()关于同一个基的坐标之间的关系，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
教 学 过 程 备 注
教学内容 1．线性变换关于基的矩阵
设V是F上n维向量空间，是V的一个线性变换，{1,2 , …,n}是V的一个基. V中的任一向量可表示为
＝a11＋a22＋…＋ann，
()＝a1 (1)＋a2 (2) ＋…＋an (n).
如果我们知道了 (1)， (2), …, (n), 以及在基{1, 2,…, n}下的坐标，那么,向量在下的象 ()也就可以求出来了. 由于
(1)， (2), …, (n)也是V中的向量，它们都可以唯一地由基{1, 2,…,
n}线性表示，设为
(1)＝a111＋a212＋…＋an1n ,
(2)＝a121＋a222＋…＋an2n ,
……………………………… (1)
(n)＝a1n 1＋a 2n2＋…＋annn .
令
A＝nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 ,
规定
(1,2 ,…,n)＝( (1), (2) ,…, (n) )
则向量等式组(1)式可表示成
(1,2 ,…,n)＝(1,2 ,…,n)A,
也可以表示成
( (1), (2) ,…, (n) )=(1,2 ,…,n)A .
线性代数之——线性变换及对应矩阵
1. 线性变换的概念
当⼀个矩阵 A 乘以⼀个向量 \boldsymbol v 时，它将 \boldsymbol v 变换到另⼀个向量 A\boldsymbol v。进来的是 \boldsymbol v，出去的是T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v。⼀个变换 T 就像⼀个函数⼀样，进来⼀个数字 x，得到 f(x)。但更⾼的⽬标是⼀次考虑所有的
\boldsymbol v，我们是将整个空间 \boldsymbol V 进⾏变换当我们⽤ A 乘以每⼀个向量 \boldsymbol v 时。
⼀个变换 T，为空间 \boldsymbol V 中的每⼀个向量 \boldsymbol v 分配⼀个输出 T( \boldsymbol v)。这个变换是线性的，如果它
满⾜：
(a) \quad T(\boldsymbol v+\boldsymbol w)=T(\boldsymbol v) + T(\boldsymbol w) \quad (b) \quad T(c\boldsymbol v)=cT(\boldsymbol v)
\space 对任意 \space c \space 成⽴
我们可以将这两个条件结合成⼀个，
T(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cT(\boldsymbol v) + dT(\boldsymbol w)
矩阵相乘满⾜线性变化，因为 A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w 始终成⽴。
线性变换满⾜线到线，三⾓形到三⾓形，看下图。
在⼀条线上的三个点经过变换后仍然在⼀条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输⼊是⼀个三⾓形变换后输出还是⼀个三⾓
形。这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有⾃⼰的语⾔，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。但是这些思想可以被保留，⽐如列空间包含所有的线性组合 Av，零空间
！！ Ｑ：型 Ｓｃｉｏｎｃｏ ｅｎｄ Ｔｅｔｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
相似矩阵与线性变换①
周忠国 （河海大学理学院江苏南京２１ ００９８） 研究报告
摘要：研究向量空间的线性变换时，相似矩阵就会很自然地出现。在选定一担基后，线性变换就和矩阵建立了一一对应关系。相似矩阵是同一 线性变换在不同基下的矩阵。因此如果从线性变换的角度理解两个相似矩阵之间的关系，并由此可以容易的解释两个相似矩阵的特征值是相同
的，但是它们的特征向量不一定相同。对于初学者来说，由于学时较少，很少会详细地讲解线性变换的内容，因此我们希望能够用比较简洁，初等
的方式讲解线性变换以及它与相似矩阵的这些关系。从而应用线性变换的概念理解相似矩阵的特征值和特征向量。
关键词：相似矩阵 特征向量 特征值 线性变换 中图分类号；Ｏ１５ 文献标识码：Ａ 文章编号：ｌ６７４一ｏ９８ｘ（２０１５）０８（ｃ）一００２４—０２
Ｓｉｍｉｌａｒ Ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ Ｌｉｎｅａｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ
Ｚｈｏｕ Ｚｈｏｎｇｇｕｏ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｈｅｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。Ｎａｎｊｉｎｇ Ｊｉａｎｇｓｕ。２１００９８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｓｉｍｉｌａｒ ｍａｔｒｉｘ ａｐｐｅａｒｓ ｗｈｅｎ ｗｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｎ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ． Ａｆｔｅｒ ｆｉｘｉｎｇ ａ ｂａｓｉｓ
ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ．ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｐｕｔ ｉｎｔｏ Ｏｎｅ—ｔ０—０ｎｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ．Ｈｅｎｃｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ
ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｔ ｉｓ ｔｏ ｈｅｌｐｆｕｌ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｉｍｉｌａｒ ｍａｔｒｉｃｅ ａｎｄ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅｉｒ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ
