矩阵论 线性变换

§7.3 线性变换的矩阵

教学目的 本节需掌握线性变换关于基的矩阵及可逆线性变换的逆变换的矩阵，向量与

()关于同一个基的坐标之间的关系，线性变换的同构即L(V)与Mn(F)的同构，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系

教学难点 线性变换的同构

教学重点 变换关于基的矩阵，可逆线性变换的逆变换的矩阵，向量与 ()关于同一个基的坐标之间的关系，同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系

教 学 过 程 备 注

教学内容 1．线性变换关于基的矩阵

设V是F上n维向量空间，是V的一个线性变换，{1,2 , …,n}是V的一个基. V中的任一向量可表示为

＝a11＋a22＋…＋ann，

 ()＝a1 (1)＋a2 (2) ＋…＋an (n).

如果我们知道了 (1)， (2), …,  (n), 以及在基{1, 2,…, n}下的坐标，那么,向量在下的象 ()也就可以求出来了. 由于

 (1)， (2), …,  (n)也是V中的向量，它们都可以唯一地由基{1, 2,…,

n}线性表示，设为

 (1)＝a111＋a212＋…＋an1n ,

 (2)＝a121＋a222＋…＋an2n ,

……………………………… (1)

 (n)＝a1n 1＋a 2n2＋…＋annn .

令

A＝nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 ,

规定

 (1,2 ,…,n)＝( (1),  (2) ,…,  (n) )

则向量等式组(1)式可表示成

 (1,2 ,…,n)＝(1,2 ,…,n)A,

也可以表示成

( (1),  (2) ,…,  (n) )=(1,2 ,…,n)A .

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。

* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？

* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？

* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？

* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？

* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？

* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？

* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？

２００８年４月　

第２４卷第２期　皖西学院学报　

Ｊｏｕｒｎａ１　ｏｆ　Ｗｅｓｔ　Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ａｐｒ．，２００８　Ｖｏ１．２４　Ｎｏ．２　

关于Ｚ一矩阵上的线性变换　

赵建中　，马永开　，周本达　

（１．皖西学院数理系，安徽六安２３７０１２；２．电子科技大学管理学院，四川成都６１００５４）　

摘要：在对非负矩阵和ｚ一矩阵研究时，必要的方法是对它们进行变换、简化，同时这些变换常常要求必须保持矩阵一些　

性质（如矩阵谱迹等）不变。文［１］［２］研究了非负矩阵上的线性变换，研究了ｚ一矩阵上的线性变换，得出了保持某些性质不变　

的线性变换的具体形式：广义置换相似变换，对角变换。　

关键词：线性变换；非负矩阵；Ｚ一矩阵；广义置换矩阵　

中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９－－９７３５（２００８）０２－－０００１－－０２　

１引言与记号　

研究矩阵的常用方法是根据要求对矩阵进行变　

换，非负矩阵与Ｚ一矩阵是实际应用背景很广的矩阵　

类，由于此类矩阵元素的特殊性，对它们进行变换化　

简时，一般采用置换相似的方法。文Ｅ１３Ｅ２３研究了非　

负矩阵上的线性变换。本文证明保持ｚ一矩阵上的　

谱不变的线性变换全体必是广义置换相似变换。　

记　（Ｆ）表示域Ｆ上所有　阶矩阵全体，Ｅ一　

（　），（　）一１当且仅当ｓ＝ｉ，ｔ＝ｊ，其余为０，　，Ｊ一１，　

２，…，　；　（Ａ）为矩阵Ａ的谱集合。　

定义［。］　。＿眈　设Ａ∈＾　（Ｒ），Ａ一（口　），如果１２　

≥０，称Ａ为非负矩阵，记Ａ≥０，Ｎ，ｌ　为非负矩阵集　

合．如果Ａ一　卜一Ｂ，Ｂ≥０，称Ａ为ｚ一矩阵，记Ｚ，ｌ　

为ｚ一矩阵的集合。　

如果Ｐ是置换阵，Ｄ是可逆对角矩阵，称ＤＰ或　

ＰＤ为广义置换阵。若Ｄ是正对角矩阵，称ＤＰ或　

ＰＤ为非负广义置换阵。设Ａ，Ｂ∈　（Ｃ），若Ｂ—　

Ｐ　ＡＰ，Ｐ其中非负广义置换阵，则称Ａ与Ｂ为非负　

广义置换相似。　

２若干引理　

引理１Ｅ　］【Ｐ９。＿加　’　设Ａ为　阶为可逆矩阵，若　

！！　Ｑ：型　Ｓｃｉｏｎｃｏ　ｅｎｄ　Ｔｅｔｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ　

相似矩阵与线性变换①　

周忠国　（河海大学理学院江苏南京２１　００９８）　研究报告　

摘要：研究向量空间的线性变换时，相似矩阵就会很自然地出现。在选定一担基后，线性变换就和矩阵建立了一一对应关系。相似矩阵是同一　线性变换在不同基下的矩阵。因此如果从线性变换的角度理解两个相似矩阵之间的关系，并由此可以容易的解释两个相似矩阵的特征值是相同　

的，但是它们的特征向量不一定相同。对于初学者来说，由于学时较少，很少会详细地讲解线性变换的内容，因此我们希望能够用比较简洁，初等　

的方式讲解线性变换以及它与相似矩阵的这些关系。从而应用线性变换的概念理解相似矩阵的特征值和特征向量。　

关键词：相似矩阵　特征向量　特征值　线性变换　中图分类号；Ｏ１５　文献标识码：Ａ　文章编号：ｌ６７４一ｏ９８ｘ（２０１５）０８（ｃ）一００２４—０２　

Ｓｉｍｉｌａｒ　Ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　

Ｚｈｏｕ　Ｚｈｏｎｇｇｕｏ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｈｅｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｊｉａｎｇｓｕ。２１００９８，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｍａｔｒｉｘ　ａｐｐｅａｒｓ　ｗｈｅｎ　ｗｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｎ　ｖｅｃｔｏｒ　ｓｐａｃｅ．　Ａｆｔｅｒ　ｆｉｘｉｎｇ　ａ　ｂａｓｉｓ　

ｏｆ　ｔｈｅ　ｖｅｃｔｏｒ　ｓｐａｃｅ．ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｐｕｔ　ｉｎｔｏ　Ｏｎｅ—ｔ０—０ｎｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ．Ｈｅｎｃｅ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　

ｐｏｉｎｔ　ｏｆ　ｖｉｅｗ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｉｔ　ｉｓ　ｔｏ　ｈｅｌｐｆｕｌ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｍａｔｒｉｃｅ　ａｎｄ　ｅｘｐｌａｉｎ　ｔｈｅｉｒ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ