高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习(2021年整理)
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创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习
1 创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习
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2 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习
一、选择题
1。直线错误!x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )
A。错误!或－错误! B。－错误!或3错误!
C。－3错误!或错误! D。－3错误!或3错误!
解析 圆的方程（x－1）2＋y2＝3,圆心(1，0）到直线的距离等于半径⇒错误!＝错误!⇒｜错误!＋m｜＝2错误!⇒m＝错误!或m＝－3错误!。
答案 C
2.已知函数f（x）满足下面关系:①f(x＋1）＝f（x－1）;②当x∈［－1,1]时，f（x)＝x2，则方程f(x）＝lg x解的个数是（ )
A。5 B.7
C.9 D。10
解析 由题意可知，f(x）是以2为周期，值域为[0,1］的函数。
又f(x)＝lg x,则x∈（0，10］,画出两函数图象，
则交点个数即为解的个数。
由图象可知共9个交点。
答案 C
3.函数f（x）的定义域为R，f(－1）＝2,对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为( )
A.(－1，1） B。(－1，＋∞）
C。（－∞,－1) D。(－∞，＋∞）
解析 f′(x）＞2转化为f′（x)－2＞0,构造函数F（x）＝f(x)－2x，
得F(x）在R上是增函数.
又F（－1）＝f（－1)－2×(－1)＝4，f（x)＞2x＋4,
即F(x）＞4＝F（－1),所以x＞－1.
答案 B 创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习
3
4。已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·（b－c）＝0,则｜c|的最大值是（ )
A.错误! B。2错误!
C.错误! D.2
解析 如图，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c,则错误!＝a－c,错误!＝b－c.由题意知错误!⊥错误!，
∴O,A,C,B四点共圆.
∴当OC为圆的直径时,|c｜最大，此时，｜错误!｜＝错误!.
答案 A
5.当0＜x≤12时，4x＜logax,则a的取值范围是( )
A。错误! B.错误!
C.(1，2) D。（2,2）
解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解。
∵0＜x≤错误!,∴1＜4x≤2，∴logax＞4x＞1,
∴0＜a＜1，排除答案C，D；
取a＝错误!，x＝错误!，则有4错误!＝2,log错误!错误!＝1，
显然4x＜logax不成立，排除答案A；故选B。
答案 B
二、填空题
6.（2015·全国Ⅱ卷改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形，且顶角为120°,则E的离心率为________.
解析 如图,设双曲线E的方程为错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0），则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N（x1,0)，
∵△ABM为等腰三角形,且∠ABM＝120°，
∴｜BM|＝｜AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝｜MN|＝｜BM｜sin∠MBN＝2asin 60°＝错误!a,x1＝|OB|＋｜BN|＝a＋2acos 60°＝2a.创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习
4 将点M（x1，y1）的坐标代入错误!－错误!＝1,可得a2＝b2，∴e＝错误!＝错误!＝错误!.
答案 错误!
7。已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足｜b｜＝2，b·e1＝1，b·e2＝1，则对于任意x,y∈R，｜b－（xe1＋ye2）|的最小值为________。
解析 |b－(xe1＋ye2）|2＝b2＋x2e错误!＋y2e错误!－2xb·e1－2yb·e2＋2xye1·e2＝4＋x2＋y2－2x－2y＝(x－1)2＋(y－1)2＋2≥2，
当且仅当x＝1，y＝1时，｜b－（xe1＋ye2）|2取得最小值2，此时|b－（xe1＋ye2)｜取得最小值错误!.
答案 错误!
8。设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点,与圆C:(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________。
解析 设直线l的方程为x＝ty＋m,A(x1，y1），B（x2,y2）,
把直线l的方程代入抛物线方程y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，
则Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝（ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，则线段AB的中点M（2t2＋m，2t）。
由题意可得直线AB与直线MC垂直,且C(5，0).
当t≠0时，有kMC·kAB＝－1，
即错误!·错误!＝－1，整理得m＝3－2t2，
把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，
可得3－t2＞0，即0＜t2＜3.
由于圆心C到直线AB的距离等于半径,
即d＝错误!＝错误!＝2错误!＝r，
所以2＜r＜4,此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条.
当t＝0时，这样的直线l恰有2条,即x＝5±r，所以0＜r＜5.
综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r＜4.
答案 （2，4） 创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习
5 三、解答题
9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5。
（1）求{an｝的通项an;
(2)求｛an}前n项和Sn的最大值。
解 （1）设{an｝的公差为d,由已知条件，
错误!解得a1＝3,d＝－2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.
（2）Sn＝na1＋错误!d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2。
所以n＝2时，Sn取到最大值4.
10.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上,短轴长为错误!,离心率为错误!，直线l与y轴交于点P（0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B,且错误!＝3错误!。
(1）求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围。
解 (1）设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1(a＞b＞0),设c＞0，c2＝a2－b2,由题意，知2b＝错误!，错误!＝错误!,
所以a＝1,b＝c＝错误!.
故椭圆C的方程为y2＋错误!＝1。即y2＋2x2＝1.
（2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m＝±12；
当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1,y1），B(x2，y2),
由错误!得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
Δ＝（2km）2－4(k2＋2）（m2－1）
＝4(k2－2m2＋2）＞0,（＊）
x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!.
因为错误!＝3 错误!，所以－x1＝3x2.
所以错误!所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.
所以3·错误!错误!＋4·错误!＝0.
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0， 创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习
6 即k2（4m2－1）＋（2m2－2）＝0.
当m2＝错误!时，上式不成立；当m2≠错误!时，k2＝错误!,
由(＊)式，得k2＞2m2－2，
又k≠0，所以k2＝错误!＞0。
解得－1＜m＜－错误!或错误!＜m＜1。
综上，所求m的取值范围为错误!∪错误!。
11.设函数f（x)＝ax3－3ax，g（x）＝bx2－ln x(a，b∈R），已知它们在x＝1处的切线互相平行。
(1)求b的值;
（2）若函数F（x)＝错误!且方程F(x）＝a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围。
解 函数g(x）＝bx2－ln x的定义域为（0，＋∞),
（1）f′（x)＝3ax2－3a⇒f′（1)＝0，
g′（x)＝2bx－错误!⇒g′（1)＝2b－1，
依题意得2b－1＝0，所以b＝错误!.
（2)x∈（0，1)时，g′（x)＝x－错误!＜0，
即g（x)在（0，1)上单调递减，
x∈(1,＋∞）时，g′（x)＝x－错误!＞0，即g(x)在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时,g(x）取得极小值g（1)＝12;
当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解;
当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f（x)在(－∞，－1)上单调递减，
x∈（－1，0）时，f′（x)＞0，
即f(x）在（－1，0)上单调递增，
所以当x＝－1时，f（x)取得极小值f(－1)＝2a,
又f(0)＝0，所以F（x)的图象如图（1）所示，
从图象可以看出F（x)＝a2不可能有四个解.
当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′（x)＞0，
即f(x）在(－∞，－1)上单调递增，
x∈(－1，0）时，f′（x)＜0，
