高考数学二轮复习专题八数学思想方法第1讲函数与方程思想数形结合思想课件理

1 数学思想方法专题

一、函数与方程思想

要点一 构造函数关系，利用函数性质解决有关问题

例1 设函数f(x)＝ax－(a＋1)ln(x＋1)，其中a>0.

(1)求函数f(x)的单调区间； (2)设f(x)的最小值为g(a)，证明：－1a

变式题：如果关于实数x的方程ax2＋1x＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为( )

A．{a|－2≤a≤2} B．{a|a≤0或a＝2} C．{a|a≥2或a<－2} D．{a|a≥0或a＝－2}

要点二 准确认识函数关系中的主从变量，解决有关问题

例2 已知A、B、C是直线l上的三点，向量OA→，OB→，OC→满足：OA→－[y＋2f′(1)]OB→＋ln(x＋1)OC→＝0. (1)求函数y＝f(x)的表达式； (2)若x>0，证明：f(x)>2xx＋2；

(3)若不等式12x2≤f(x2)＋m2－2bm－3时，x∈[－1,1]及b∈[－1,1]都恒成立，求实数m的取值范围．

变式题：对于满足0≤p≤4的所有实数p，不等式x2＋px＞4x＋p－3都成立，则实数x的取值范围是____________．

2 要点三 利用函数与方程的相互转化，解决有关问题

例3 (1)设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[]a，2a，都有y∈[]a，a2满足方程logax＋logay＝c，这时a的取值的集合为____________．

(2)函数f(x)＝sinx5＋4cosx(0≤x≤2π)的值域是(

)

A.－14，14 B.－13，13 C.－12，12 D.－23，23

要点四 运用函数、方程、不等式的相互转化，解决有关问题

例4 若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1

)

A.－34，0 B.－34，0 C.0，34 D.0，34

沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习

函数方程专题之

函数与不等式②

教学目标

理解并充分掌握基本的函数与不等式题型之间的转换问题，即函数题型用不等式来解，不等式题型用函数来做的思想．

知识梳理

函数与不等式（方程）是相互联系的，在一定条件下，他们可以相互转化，例如解方程()0fx就是求函数的零点，解不等式()()fxgx，就是当两个函数的函数值的大小关系确定后，求自变量的取值范围。正确理解函数与不等式（方程）的这种对立统一关系，有利于提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．

典例精讲

例1．（★★★）已知函数()24fxmx，若在[2,1]上存在唯一零点，则实数m的取值范围是___________．

解：由题意得：(2)(1)0ff，即(,2][1,)m

例2．（★★★）函数3()log(3)1fxx的图像恒过定点A，若点A在直线10mxny上，其中0mn，则12mn的最小值为___________．

解：由题意得点A的坐标为(2,1),代入直线方程得：21mn．

∴121244()(2)2244248nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当4nmmn．即1412mn时等号成立．

例3．（★★★）已知2()221fxxmxm．

（1）若函数有两个零点，且其中一个在区间(1,0)，另一个在区间(1,2)内，求m的取值范围

（2）若函数的两个零点均在区间(0,1)内，求m的取值范围． 解：（1）(1)0122101(0)0210512(,)5(1)012210626(2)044210fmmmfmmfmmmfmm．

第2讲　数形结合思想

「思想方法解读」　数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数

学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和

“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问

题几何化、几何问题代数化．

数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究

代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．

热点题型探究

热点1 数形结合化解方程问

例1　(1)(2019·聊城市高三一模)已知函数f

(x

)＝

Error!若关于x

的方程f

(x

)＝x

＋a

无实根，则

实数a

的取值范围为( )

A．(－∞，0)∪ B．(－1,0)(1

e，1)

C. D．(0,1)(

0，1

e)

答案　B

解析　因为函数f

(x

)＝

Error!所以关于x

的方程f

(x

)＝x

＋a

无实根等价于函数y

＝f

(x

)的图象与直

线y

＝x

＋a

无交点，设直线y

＝x

＋a

与f

(x

)＝(x

>0)切于点P

(x

0，y

0)，由f

′(x

)＝，由已ln x

x1－ln x

x

2

知得＝1，解得x

0＝1，则P

(1,0)，则切线方程为y

＝x

－1，1－ln x

0

x

2

0

作出函数f

(x

)与直线y

＝x

＋a的图象如图所示．

由图知函数y

＝f

(x

)的图象与直线y

＝x

＋a

无交点时实数a

的取值范围为－1

<0，故选B.

(2)已知函数f

(x

)＝

Error!若方程f

(x

)＝x

＋a

有且只有两个不相等的实数根，则实数a

的取值范围为( )

A．(－∞，0] B．[0,1)

C．(－∞，1) D．[0，＋∞)

答案　C

解析　函数f

(x

)＝

Error!

的图象如图所示，当a

<1时，函数y

＝f

(x

)的图象与函数y

＝x

＋a

的图象有两个交点，即方程f

(x

)

＝x

＋a有且只有两个不相等的实数根．

用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数

是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，

数形结合思想专题训练·作业

一、选择题

1．(2017·吉林白山一模)设集合A＝{0，1}，B＝{x|x>a}，若A∩B＝，则实数a的取值范围是( )

A．{a|a≤1} B．{a|a≥1}

C．{a|a≥0} D．{a|a≤0}

答案 B

解析 画数轴，移动点a，可知a≥1，故选B.

2．设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)(y－1x)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为( )

A.3π4 B.3π5

C.4π7 D.π2

答案 D

解析 不等式(y－x)(y－1x)≥0可化为y－x≥0，y－1x≥0或y－x≤0，y－1x≤0.集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图阴影部分所示．由于曲线y＝1x，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分占圆面积的一半．

3．(2017·南昌十校二模)已知函数f(x)＝－2x2＋1，函数g(x)＝log2（x＋1），x>0，2x，x≤0，则函数y＝|f(x)|－g(x)的零点的个数为( )

A．3 B．4

C．5 D．6

答案 C

解析 函数y＝|f(x)|－g(x)的零点的个数，即|f(x)|－g(x)＝0的根的个数，可得|f(x)|＝g(x)，画出函数|f(x)|，g(x)的图像如图所示，观察函数的图像，知它们的交点为5个，即函数的零点个数为5，故选C.

4．(2017·湖南五市联考)函数y＝ln|x|x2＋1x2在[－2，2]上的图像大致为(

)

答案 B

解析 x∈(0，2]时，函数y＝ln|x|＋1x2＝lnx＋1x2，x2>0恒成立，令g(x)＝lnx＋1，则g(x)在(0，2]上单调递增，当x＝1e时，y＝0，当x∈(0，1e)时，y＝lnx＋1x2<0，x∈(1e，2]时，y＝lnx＋1x2>0，∴函数y＝lnx＋1x2在(0，2]上只有零点1e，又函数y＝ln|x|x2＋1x2在[－2，0)∪(0，2]上是偶函数，∴只有B项符合题意．