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图论中的树与森林的性质

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离散数学 图论-树

离散数学 图论-树

中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟

9.1-无向树

9.1-无向树
，T 是连通图。 如果T 中有回路，那么回路上任意一对结点之间有两
条基本通路，这与题设条件矛盾。所以，图是连通 的且无回路，是树。
二、无向树的性质（续）
定理9.2 设T=<V,E>为n（n2）阶树，则T中至少有2个叶结点。 证明： (思路) 关键是应用 |E|=|V|-1
练习
已知树T中有度数为4、3和2的分支结点各1个，其余 结点均为叶结点，求树T中叶结点的数目？ 解 设树T中叶结点的数目为x，则树T的结点数目为(x+3) 。
定理 9.1 对于树T=<V,E>，|V|=n，|E|=m，下列性质 成立且相互等价： ① T中无回路且边数m=n-1； ② T是连通图且边数m=n-1； ③ T中无回路，但在T的任何不相邻结点之间增加一 条边，就得到唯一的一条基本回路。 ④ T是连通图，但删去任何一条边后，所得到的图 不连通。 ⑤ T中每对结点之间有唯一的一条基本通路。
二、无向树的性质（续）
（4） 由性质③来推证性质④。
如果T 不是连通图，则存在两个结点vi和vj，在结点vi 和vj之间没有通路，如果增加边(vi, vj)，不产生回路 ，这与性质③矛盾，因此，T 是连通图。
因为T 中没有回路，所以删除任意一条边，所得到的 图必定不是连通图。
二、无向树的性质（续）
§9.1 无向树
一、基本概念 无向树（简称树）：连通且不含有回路的无向图，常
用T表示。 森林：每个连通分支都是树的无向图。 叶结点（简称叶）：在树T中，度数为1的结点。 内部结点（或分支结点，简称分支点）：在树T中，
度数大于1的结点。
树？ 森林？ 叶？ 内部结点？
二、无向树的性质
（3） 由性质②来推证性质③。 对结点数进行归纳。 当n = 2时，m = n 1 = 1，由T的连通性质，T没有回路。如果两个结点之

图论——树

图论——树

森林
推论： 具有k个分支的森林有nk条边， 其中n是G的顶点数。
无向树的性质
定理2.2
证明
设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
设T有x片树叶，由握手定理及定理2.1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例2.1
例2.1 画出6阶所有非同构的无向树。 解答 设Ti是6阶无向树。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径， 则G中无回路且m＝n-1。 首先证明 G中无回路。 若G中存在长度大于2的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。
说明
注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
生成树的存在条件
定理2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，
若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。 易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。
分支点—— 7个
高度—— 5
家族树
常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。 定义2.7 设T为一棵非平凡的根树， vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。 若vi邻接到 vj（即 <vi,vj>∈E(T)）， 则称vi 为 vj的父亲，而 vj为 vi 的儿子。 若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。 定义2.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为 以v为根的根子树。

集合论与图论第十章 树

集合论与图论第十章 树
（1）T是无回路的连通图； （2）T是无回路图，且e=n-1，其中e是边数； （3）T是连通图，且e=n-1； （4） T是无回路图，且在T的任何两个不相邻的顶点之
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti

图论 第二章 树(tree)

图论 第二章 树(tree)

定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同 时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分 支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的 圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为 割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树 （2）G的任意两个顶点由唯一道路联结 （3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点 联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一 个重要性质，即图的连绘性。一个连 绘的图是指这个图可以用一笔画成而 没有重复的笔划。换句话说就是在这 个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十 二面体，有20个顶点，三十条边，十二 个面

图论中的树与树的性质

图论中的树与树的性质

图论中的树与树的性质图论是研究图及其性质的数学分支。

在图论中，树是一种特殊的无环连通图，它具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍图论中树以及树的性质的相关内容。

一、树的定义与基本性质树是一个连通且无环的无向图。

具体定义如下：1. 一个只有一个顶点的图是一个树。

2. 一个连通的图，如果删除任意一条边，则图不再连通，那么该图就是一个树。

树具有以下基本性质：1. 一棵树有且只有一个连通分量。

2. 在一棵树中，任意两个顶点之间存在唯一路径。

3. 一棵树的边数比顶点数少1。

树的性质使得其在各个领域有着广泛的应用。

下面将介绍树的一些重要性质。

二、树的性质1. 最小生成树最小生成树是指在一个带权图中，找到一个树，使得该树的边的权值之和最小。

常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。

最小生成树在网络设计、电力传输等领域有着重要的应用。

2. 无向树与有向树的转化无向树可以通过给每条边赋予方向而转化为有向树，同样，有向树也可以通过移除边的方向而转化为无向树。

3. 树的直径树的直径是指树中任意两个顶点之间的最长路径。

求树的直径的算法可以通过两次BFS或DFS来实现。

树的直径问题在网络拓扑、动态规划等领域有重要应用。

4. 中心与半径树的中心定义为树中顶点到其他所有顶点的距离之和最小的顶点。

树的半径定义为树中顶点到离其最远的顶点的距离。

中心和半径是树中的重要概念，它们在设计网络、发现故障等方面有着重要应用。

5. 树的遍历树的遍历是指按照一定规则来访问树的所有顶点。

常用的树的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

树的遍历在路径搜索、关系分析等方面有广泛应用。

6. 散射树散射树是一种特殊的树结构，它是由无向图中一棵以散射点为根的最小生成树与散射关键路径组成。

散射树在光纤传输等领域有着广泛的应用。

以上是图论中树的一些性质的简要介绍，树作为图论中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。

从最小生成树到树的遍历，树的性质在各个领域都有着广泛的应用。

图论及其应用--树与林

图论及其应用--树与林
上述算法能够推广到有序森林上去。
定理 设有完全m叉树，其树叶的数目为t,分支 数为i, 则(m-1)×i=t-1。
证明思路： m位选手,单淘汰赛,每局淘汰(m-1)位,
共比赛i局,最后剩1位选手。因此有：
(m-1)×i+1=t

定义 在根树中，一个结点的通路长度，就是从树 根到该结点的通路中的边数。分支点的通路长度称为 内部通路长度，树叶的通路长度称为外部通路长度。
定理2：任一棵树中至少存在两个叶。
证明： 因T连通则u∈T，deg(u)≥1。设T有k个一
度点，其它点均大于等于2，则 2e=∑deg(vi)≥k+2(v-k)=2v-k。 因e=v-1， 故2(v-1)≥2v-k，则k≥2。
2.2支撑树与支撑林
设F是图D的支撑子图，并且ω(F)=ω(D)。 若F是林，则称F为D的支撑林；若F是树， 则称F为D的支撑树。
例如:
a 19
b5
14 12
18
7
c
16 e 8
3
g
d
27
21
f
求最小生成树的克鲁斯卡尔(Kruskal)算法(避圈法)： a)在G中选取最小权的边，记作e1，置i=1。 b)当i=n-1时结束，否则转c)。 c)设已选择边为e1，e2，……ei，此时无回路。在G 中选取不同于这i条边的边ei+1，该边使得{e1，…， ei+1}生成的子图中无回路，并ei+1是满足该条件中权 最小的一条边。
定理2.4 每个连通图都含支撑树。 推论2.4.1每个图都含支撑林或者支撑树。 推论2.4.2每个图均有ε≥ν- ω。 定理2.5设F是G的支撑林。若E(G)\E(F)
非空，则对其中的任何边e，F+e含有且 仅含有一条圈。

图论中的树与树的性质

图论中的树与树的性质

图论中的树与树的性质图论是数学中的一个分支，研究各种图形的结构和性质。

其中，树是图论中非常重要的一个概念。

本文将介绍树的定义和性质，并探讨它在图论中的应用。

一、树的定义在图论中，树是一种特殊的无向图，它是一个连通的无环图。

这意味着树中的任意两个顶点之间都存在唯一的路径，并且不存在回路。

在树中，有一个特殊的顶点被称为“根”，其他顶点都与根有一条直接的路径相连。

根据根与其他顶点之间的距离可以将树分为不同的层次。

二、树的性质1. 顶点数与边数关系在一个树中，边的数量等于顶点数减1。

这可以通过归纳证明来证明。

2. 树的层次关系在树中，从根开始，每一层的顶点都与上一层的顶点相连。

树的层次关系可以用来刻画树中的信息流动或者依赖关系。

3. 叶子节点在树中，没有子节点的顶点被称为叶子节点。

树的叶子节点是最末端的节点，它们没有子节点与之相连。

4. 子树在一个树中，任意一个顶点都可以看作是一个树的根。

以某个顶点为根的子树包含了该顶点以及与之直接相连的所有顶点。

5. 树的深度树的深度是指树中从根到最深的叶子节点的层数。

树的深度也可以看作是树的高度，表示树的层数。

三、图论中树的应用图论中的树在很多问题中起到了重要的作用，下面列举几个常见的应用。

1. 最小生成树最小生成树是指在一个连通的带权无向图中选择一棵边的子集，使得这棵子树包含了图中的所有顶点，并且权重之和最小。

最小生成树常被用于网络设计、电路布局等问题中。

2. 网络路由在一个网络中，通过树的结构可以确定数据的传输路径，有效地避免了数据的冗余和混乱。

树结构的拓扑设计对于确定最短路径、避免环路等问题非常有帮助。

3. 数据压缩树结构可以用于数据的压缩和解压缩。

通过构建哈夫曼树，可以实现对数据的高效压缩，去除冗余信息，提高存储和传输效率。

4. 优先级队列优先级队列常通过堆这种数据结构来实现，而堆可以看作是一种特殊的树。

通过构建堆结构，可以高效地实现插入和删除操作，常被用于任务调度、最短路径算法等场景。

第五章图论树

第五章图论树
e 1 v
[例题] 设G=<V,E>是有p个结点，s条边的连通图，则从G 中删去 条边，才能确定G的一棵生成树。 解：设要删去k条边，s k v 1, k s 1 v [例题] 设G是有6个结点的完全图，从G中删去 C 条 边则能得到树。 A) 6 B) 9 C) 10 D) 15 解：∵G是有6个结点的完全图，∴G中共有6×5/2=15 条边，要使G成为树，G中只应留下5条边，故应删去 10条边，选C。
4。最小生成树 在带权图G中所生成的总权数最小的生成树称为 最小生成树。 5。最小生成树的求法 选取权数最大的边所在的回路，去掉其中权数 最大的边，如此做下去，直到求出生成树为止。这 样求出的生成树一定是最小生成树。 还有一种方法称为克鲁斯特尔算法。先去掉所有 的边，然后从权数最小的边的开始，从小到大逐步选 取，如果所选取的边和已选取的边构成了回路，则不 选取这条边重新选取，直到连接完所有的结点。这样 求出的树就是最小生成树。
b
a
3
d
c
1
[例题] 求图G的一棵最小生成树。 解： 6
7 6
9 13
a
16
7
8
b
6
c
5
6
e
11
4
9 13
11
8
9
d
4
6
8 5
4

7
5
4
6
7
5
4
解法二： 16 6 7 5 用克鲁斯特尔算法做， b e 8 先去掉所有的边。从最小 11 6 4 边(d,e)开始选取，再选取(d,a)， 9 c 再选取(e,a)和(b,c)，但(e,a)构成 d 13 回路，所以应去掉，再选取(c,a)， a 这时已连接了所有的结点，最小 生成树求出。 6

图论 第6章 树和割集

图论 第6章 树和割集
推论1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。 推论2 任一非平凡树都是偶图。 推论3 任一非平凡树都是2-色的。
1.3 极小连通图
定义2 若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图，则称G 为极小连通图。 推论4 图G是树当且仅当G是极小连通图。
1.4 树的中心
定义3 设G=(V，E)是连通图，v∈V，数 e(v)=max{d(v,u)} 称为v在G中的偏心率。 数 r(G)=min{e(v)} 称为G的半径。 满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成 的集合称为G的中心，G的中心记为C(G)。 定理2 每棵树的中心或含有一个顶点，或含有两个邻接的顶点。
（2）∑deg v=2q
（3）根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩[解题关键] 例3 设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个1度顶点。
1.7 生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V,F)是树，则称T是G的生成树。 定义2 设G=(V，E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V，F)是一个森林，则称T是G的生成森林。
1.8 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
3极小连通图定义2若连通图g中去掉任一条边后得到一个不连通图则称g为极小连通图
第六章
树和割集
内容
树及其性质、生成树、割集
第一节
1.1 树和森林向树，简称树， 记为T。 定义2 无圈的无向图称为无向森林，简称森林。
1.2 树的特征性质
定理1 设G=(V,E)是一个(p,q)图，则下列命题等价： (1) G是树； (2) G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结； (3) G连通且 p=q+1； (4) G无圈且 p=q+1； (5) G无圈且任加一条边得到有唯一圈； (6) G连通且任去掉一条边得不连通图。

离散数学(第二版)第9章树

离散数学(第二版)第9章树

e10， 则分别产生初级回路e1e3e4， e1e4e5e2， e6e8e9，
•
•
•
e7e6e9e10。
•
第九章 树
这些初级回路有一个共同特点： 它们中均只含一条弦，
其余的边均是树枝， 我们称这样的回路为基本回路。 对于
G的每棵生成树T， m-n+1条弦对应着m-n+1个基本回路，
这些基本回路构成的集合称为对应T的基本回路系统。 显
例如图9.1.3中， T1和T2是图G的两棵生成树， 1 和2 是 分别对应于它们的余树。
第九章 树
图9.1.3 图的生成树和余树
第九章 树
由图9.1.3可见， G与T1、 T2的区别是G中有回路， 而 它的生成树中无回路， 因此要在一个连通图G中找到一棵 生成树， 只要不断地从G的回路上删去一条边， 最后所得 无回路的子图就是G的一棵生成树。 于是有如下定理。
这个问题的数学模型为： 在已知的带权图上求权最小 的生成树。
定义9.1.4 设无向连通带权图G=〈V, E, ω〉， G中带 权最小的生成树称为G的最小生成树(最优树)。
定理9.1.4 设连通图G的各边的权均不相同， 则回路 中权最大的边必不在G的最小生成树中。
证明略。
第九章 树
定理的结论是显然的， 由此寻找带权图G的最小生成 树， 可以采用破圈法， 即在图G中不断去掉回路中权最大 的边。
(5) 1， 1， 1， 1， 1， 2， 5
(6) 1， 1， 1， 1， 1， 3， 4
(7) 1， 1， 1， 1， 1， 1， 6
第九章 树
注意到， 不同构的度数列对应不同的树， 但对应同一 度数列的非同构的树不一定唯一， 所以对应(1)有T1， 对应 (2)有T2、 T3和T4， 对应(3)有T5和T6， 对应(4)有T7和T8， 对应(5)有T9， 对应(6)有T10， 对应(7)有T11(见图9.1.2)。

图论及其应用第2章

图论及其应用第2章

W (T ) W (T ) w(ek ) w(ek )
在克鲁斯克尔算法中选出的边ek，是使 它也是无圈的。于是得到：
（4.1）
Ge1 , e2 ,, ek 为无
圈图的权最小的边。由于 Ge1 , e2 ,, ek 1 , ek 是 G 的子图，
w(ek ) w(ek )
Thank you!
证明 这是定理1和定义2的直接结果。
例 设树T 有ni 个度为i 的点，2≦i≦k（k>1),其余点均为 叶，求T 中叶点的数目。 解 设 T 有x 片树叶，则T的点数为： x+n2+n3+…+nk 故T的边数为: x+n2+n3+…+nk-1 又由握手定理得： x+2n2+3n3+…+ knk = 2(x+n2+n3+…+nk-1) 解得 x 为: x n1 2 n3 2n4 (k 2)nk
图和它的生成森林
定理5
连通图的生成树必存在。
证明 给定连通图G，若G 无圈，则G就是自己的生 成树。若G有圈，则任取G中一个圈C，记删去C中 一条边后所得之图为H1。显然在H1中，圈C 已不存 在，但仍连通。 若H1中还有圈，重复以上过程，直至得到一个无 圈的连通图H。H 便是 G 的生成树。 定理5的证明方法也是求生成树的一种方法，称 为“破圈法”。
(G) (G e) (G e)
其中 (G ) 表G的生成树的棵数.
凯莱(Cayley 1821—1895): 剑桥大学数学教授，著名代数学家，发 表论文数仅次于 Erdos ,Euler, Cauchy. 著名成果是1854年定义了抽象 群，并且得到著名定理：任意一个群都和一个变换群同构。同时， 他也是一名出色的律师，作律师14年期间，发表200多篇数学论文， 著名定理也是在该期间发表的。

图论第2章

图论第2章
由N中的元素组成的长为n-2的序列的个数为nn-2。 接下来，我们将在Kn的生成树的集合与这种序列的集合之 间建立一一对应。 假定T是Kn的一棵生成树，设s1是T中标号最小的叶子点， 把与s1相邻的顶点的标号记为t1。 现在从T中删去s1，用s2表示T-s1中标号最小的叶子点，把 与s2相邻的顶点的标号记为t2。 重复这一过程，直到得到tn-2。 很容易看出，最后剩下一条边。
比如
1 2 3 7 4 5 8
6
(4, 3, 5, 3, 4, 5)
很容易验证上述过程可逆。 注： 以上讨论的生成树的棵数均指标定图而言。标定图的 生成树的数量远大于非标定图生成树的数量。如标定图K6 有66-2 = 1296 棵生成树，而不同构的6阶树仅6棵。
三、回路系统简介
定义 设 T 是图G=(V, E)的一棵生成树，m和n分别是G的边 数与顶点数，e1, e2,…, em-n+1 为T的弦，设 Cr 是 T 加 er 产生 的圈(r = 1, 2,…, m-n+1)，称 Cr 为对应于弦 er 的基本回路， {C1, C2,…, Cm-n+1}称为对应于生成树T的基本回路系统。
第二章 树

树的概念与性质
树的中心与形心 生成树 最小生成树
yzwang@
2.1 树的概念与性质
一、树的概念
定义 不含圈的图称为无圈图，连通的无圈图称为树。树 常用符号T 表示。
例 下面的图均是树。
T1
T2
T3
T4
注：平凡图称为平凡树。
定义 无圈图称为森林。
注；(1) 树与森林都是简单图;
n1 2 n3 2n4 (k 2)nk。
推论 假定(n, m)图G 是由k棵树组成的森林，则m = n-k。 证明 设G 的每棵树的点数与边数分别是ni 和mi (1≤i≤k) 。 则mi = ni -1, i =1, 2,…, k。 因此

图论及其应用中的树

图论及其应用中的树

树T4
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义2 称无圈图G为森林。
注: (1)树与森林都是单图;
(2) 树与森林都是偶图。
例1 画出所有不同构的6阶树。
解：按树中存在的最长路进行枚举。6阶树中能够存在 的最长路最小值为2，最大值为5。
3
1
0.5 n 0
证明：“必要性”
若不然，设P1与P2是连接u与v的两条不同的路。则
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由这两条路的全部或部分将构成一个圈，这与G是 树相矛盾。
“充分性” 首先，因G的任意两点均由唯一路相连，所以G是 连通的。 其次，若G中存在圈，则在圈中任取点u与v，可得 到连接u与v的两条不同的路，与条件矛盾。 定理3 设T是(n, m)树，则：
例7 设T为12条边的树，其顶点度为1,2,5。如果T恰有 3个度为2的顶点，那么T有多少片树叶？
解：设T有x片树叶。 由m=n-1得n=13. 于是由握手定理得：
1 x 23 5 (10 x) 212
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00

1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
总之，树在图论研究和图论应用上都是十分典型 的特殊图。

图论中的树与森林

图论中的树与森林

图论中的树与森林在图论中，树和森林是两个基础概念，它们在解决实际问题以及计算机科学中都有重要的应用。

本文将介绍树和森林的概念、性质以及它们的应用。

一、树的定义及性质在图论中，树是一种无环连通图。

具体而言，树是一个连通且没有回路的无向图。

树由节点（或顶点）和边组成，节点代表实体或概念，边表示节点之间的联系。

树具有以下一些性质：1. 任意两个节点之间仅存在唯一的路径。

这意味着在树中，从一个节点到另一个节点的路径是唯一的，没有分叉或回路。

2. 树中的任意两个节点都是连通的。

对于任意两个节点，都存在一条路径将它们相连。

3. 树中有且仅有一个特殊的节点，称为根节点。

根节点是树的起始点，从根节点出发可到达树中的任意节点。

4. 除了根节点外，每个节点都只有一个父节点。

父节点到子节点的边称为父子边。

二、树的应用树在计算机科学和实际问题求解中有广泛的应用，下面介绍其中几个典型的应用场景。

1. 文件系统：文件系统通常采用树的结构，目录作为节点，文件作为叶子节点。

这种结构使得文件的组织和访问变得简洁高效。

2. 网络路由：在计算机网络中，树结构常常被用于路由算法。

通过建立路由树，可以确定数据包传输的最佳路径，提高网络传输效率。

3. 组织结构：树可以用于表示组织结构，如公司的部门与员工的关系。

根节点代表公司的总经理，子节点代表下属部门，叶子节点代表员工。

4. 解决问题：树可以用于解决一些问题，如迷宫问题、搜索问题等。

通过遍历树的节点，可以找到问题的解。

三、森林的定义及性质森林是多个不相交的树的集合。

简单地说，森林由多个树组成，每个树的节点之间没有交集。

森林的性质与树类似，但需要注意以下几点：1. 森林中可以有零个或多个树。

2. 森林中的树可以是空树，即不包含任何节点。

3. 森林中的每个树都是独立的，没有公共节点。

四、森林的应用森林相比于单个树，在一些问题求解中具有更加广泛的应用场景。

下面介绍几个森林的应用。

1. 分组编码：在数据传输过程中，可以将原始数据分成多个树，并对每个树进行单独编码。

图论中的树与树的性质

图论中的树与树的性质

图论中的树与树的性质图论是数学中的一个重要分支，研究的对象是图，即由若干个顶点和边连接的结构。

在图论中，树是一种特殊的图，它具有许多独特的性质和特点。

一、树的定义及性质在图论中，树被定义为一个无环连通图，也就是说，树是一个连通的无向图，并且不存在环。

树有许多重要的性质，包括：1. 任意两个顶点之间有唯一的简单路径。

2. 一个有n个顶点的树有n-1条边。

3. 一个图是树的充分必要条件是该图连通且有n-1条边。

二、树的类型在图论中，树可以分为多种类型，常见的包括：1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树。

2. 森林：由若干棵不相交的树组成的集合。

3. 二叉查找树：一种特殊的二叉树，具有快速查找和插入性能。

4. 最小生成树：一个无向图的最小生成树是一棵包含图中所有顶点的树，且边的权值之和最小。

三、树的应用树在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用，其中最常见的包括：1. 数据结构：树是计算机中常用的数据结构之一，例如二叉搜索树、堆、红黑树等。

2. 网络拓扑：树结构常被用于描述网络拓扑结构，如局域网、广域网等。

3. 编程算法：许多算法问题可以通过树的结构来描述和解决，例如深度优先搜索、广度优先搜索等。

四、树的特殊性质除了上述基本性质外，树还有许多特殊性质，如：1. 叶子节点：树的叶子节点是指度为1的节点，即没有子节点的节点。

2. 高度：树的高度是指从根节点到最深叶子节点的最长简单路径的长度。

3. 平衡树：一种特殊的树结构，具有良好的平衡性能和查找效率。

总之，树是图论中的重要概念，具有许多独特的性质和应用。

通过深入研究树的结构和特点，可以更好地理解和应用图论的知识，为解决实际问题提供有力的工具和方法。

图论中的树与森林

图论中的树与森林

图论中的树与森林图论是一门研究图的结构和性质的数学分支，而树和森林则是图论中重要的概念。

本文将对图论中的树与森林进行介绍与分析。

一、树的定义及性质树是一种特殊的图，它是连通且无环的无向图。

树可以看作具有分支结构的图，其中每个节点只有一个入度（除了根节点）和零到多个出度。

树的定义具有以下性质：1. 树中任意两个节点之间都存在唯一的路径，这个路径是唯一的。

2. 树中的边数比节点数少1，记作|E| = |V| - 1，其中|E|表示边数，|V|表示节点数。

3. 删除树中任意一条边后，将得到两个单独的树。

二、树的特殊类型在图论中，树有一些特殊的类型，包括二叉树、平衡树、最小生成树等。

1. 二叉树：二叉树是每个节点最多只有两个子节点的树。

它可以是空树，或者由一个根节点及左子树、右子树组成。

2. 平衡树：平衡树是一种特殊的二叉树，它的左子树和右子树的高度差不大于1。

3. 最小生成树：最小生成树是指在一个连通带权无向图中，选择一个权值最小的子图，使得这个子图是一个树，并且覆盖了图中的所有节点。

三、森林的定义及性质森林是由零个或多个不相交的树组成的图。

和树类似，森林也是一个连通且无环的无向图。

森林的定义具有以下性质：1. 森林中每个树的边数比节点数少1。

2. 森林的节点数等于所有树的节点数之和。

3. 森林中的任意两个节点之间可能存在多个路径。

四、树与森林在实际应用中的意义树和森林在实际应用中有着广泛的意义和应用，以下是一些例子：1. 计算机科学中，树和森林常用于构建数据结构，例如二叉搜索树、哈夫曼树等。

2. 在网络领域，树和森林可以用于路由算法、拓扑结构等。

3. 在人工智能中，决策树常用于分类和回归问题。

4. 遗传学中，基因进化树可以用于研究不同物种的进化关系。

五、总结图论中的树和森林是重要的概念，在数学和计算机科学中都有着广泛的应用。

树具有连通且无环的特点，可以看作是一种具有分支结构的图。

而森林由零个或多个不相交的树组成，是一种更加复杂的结构。

图论及其应用--树与林

图论及其应用--树与林

有很多实际应用，可用二叉树或m叉树表示。 可以指出，按下面算法，任何一棵有序树均能转 成二叉树。其算法是： (1) 除最左边的分枝结点外，删去所有从每一个结 点长出的分枝。在同一级中，兄弟结点之间用从 左到右的弧连接。 (2) 选取直接位于给定结点下面的结点作为左儿子， 与给定结点位于同一水平线上且紧靠它的右边结111
定义 给定一个序列的集合，若没有一个序列是另 一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码。
定理 任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。
定理 任意一个前缀码都对应一棵二叉树。
最小生成树 设G=<V，E>是一连通图，G的每一条边e
有权C(e)，G的生成树T的权w(T)就是T的边的权 和。
定义：在图G所有生成树中，树权最小的那 棵树称为G的最小生成树。
(连通网的)最小生成树
问题：
假设要在 n 个城市之间建立通讯 联络网，则连通 n 个城市只需要修建 n-1条线路，如何在最节省经费的前 提下建立这个通讯网？
定理2.4 每个连通图都含支撑树。 推论2.4.1每个图都含支撑林或者支撑树。 推论2.4.2每个图均有ε≥ν- ω。 定理2.5设F是G的支撑林。若E(G)\E(F)
非空，则对其中的任何边e，F+e含有且 仅含有一条圈。
生成树 定义：若G的生成子图是一棵树，则称
这棵树为G的生成树。 设G的一棵生成树为T，则T中的边称为
树枝，在G中而不在T中的边称弦，所有弦 的集合称为生成树T的补。
e1、e7、e5、e8、e3是T的树枝， e2、e4、 e6是T的弦，{e2、e4、e6}是T的补。
定理：连通图至少有一棵生成树。
证明：如果连通图G无回路，则G本身就是它的 生成树。如果G有回路，则在回路上任取去掉一 条边，得到图G1仍是连通的，如G1仍有回路，重 复上述步骤，直到图Gi中无回路为止，此时该图 就是G的一棵生成树。
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图论中的树与森林的性质
树和森林是图论中常见的概念，它们作为图的特殊结构，在许多实
际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍树和森林的性质和特点。

一、树的性质
树是一种无环连通图，它具有以下特点：
1.1 无向树的性质
在无向树中，任意两个顶点之间都存在唯一的路径。

换句话说，无
向树是连通且无回路的图。

1.2 有向树的性质
有向树是有向图中的一种特殊结构，它满足以下条件：
- 有向树是连通的，任意两个顶点之间存在有向路径。

- 有向树中不存在自环，即不存在从一个顶点出发经过若干个顶点
再回到该顶点的路径。

- 对于任意一个顶点，存在唯一的入度为0的顶点，称之为根节点。

二、森林的性质
森林是由若干棵互不相交的树组成的图。

它具有以下特点：
2.1 无向森林的性质
无向森林是由若干互不相交的无向树组成的，每棵无向树称为无向森林的一棵子树。

2.2 有向森林的性质
有向森林是由若干互不相交的有向树组成的，每棵有向树称为有向森林的一棵子树。

三、树和森林的性质
3.1 无向树的性质和应用
在无向树中，任意两个顶点之间存在唯一的路径，可以用来描述家族关系、计算机网络、组织结构等。

无向树有以下性质：- 无向树的边数等于顶点数减1。

- 对于有n个顶点的无向树，如果度数为1的顶点有k个，那么度数为2的顶点有n-k-1个。

3.2 有向树的性质和应用
有向树是有向图中的一种特殊结构，它具有以下性质：
- 有向树的边数等于顶点数减1。

- 对于有n个顶点的有向树，如果出度为0的顶点有k个，那么出度为1的顶点有n-k-1个。

有向树可以用来描述有向关系，如亲属关系、流程控制等。

3.3 森林的性质和应用
森林是由若干互不相交的树组成的图，它具有以下性质：
- 森林的边数等于顶点数减去树的数量。

- 对于有n个顶点的森林，树的数量为s，那么边的数量为n-s。

森林可以用来表示多个无关联子问题的集合，常用于分组、拓扑排序等算法中。

总结：树和森林是图论中重要的概念，它们在许多实际问题中具有广泛的应用。

无向树和有向树是连通且无回路的图结构，而无向森林和有向森林是由互不相交的树组成。

它们的性质和应用不同，可以根据具体问题的需求选择使用。

熟练掌握树和森林的性质，对于解决实际问题具有重要意义。