2023年高考数学一轮复习精讲精练第29练 抛物线(解析版)

专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。

专题9.5 抛物线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（二）抛物线的标准方程及几何性质y 2=2px （p ＞0） （三）直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠[来源:Z*xx*] 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -=（四）焦半径、焦点弦1.通径过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p __．2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l ．(1)以AB 为直径的圆必与准线l __相切__； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋__p __；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．【常考题型剖析】题型一：抛物线定义的应用例1.（2023·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 00(,)x y 是C 上一点，|AF |=054x ，则0x =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8例2.（2020·全国·高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．9【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用． 题型二：抛物线的标准方程例3.（2021·全国高二课时练习）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝12y例4.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2,3CB BF AF ==，则此抛物线方程为__________． 【规律方法】1.求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p ．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝my ． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 题型三：抛物线的焦点及准线例5.（2023·全国·高三专题练习）抛物线243y x =的焦点坐标为（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭例6.（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)例7.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【规律总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程． 题型四 抛物线对称性的应用例8.（2021·全国高二课时练习）已知A ，B 是抛物线22(0)y px p =>两点，O 为坐标原点．若OA OB =，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________．例9.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点．(1)过F 作垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AOB 的面积为2．求抛物线C 的标准方程； (2)抛物线上有,M N 两点，若MON △为正三角形，求MON △的边长． 【总结提升】1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线． 题型五 抛物线的焦点弦问题例10.C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．例11.（2018·全国·高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【总结提升】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．题型六 抛物线的最值问题例12.（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x =的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（ ）A ．52B C ．2 D例13.（2023·全国·高三专题练习）已知以F 为焦点的抛物线2:4C y x =上的两点A ，B ，满足133AF FB λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（ ）A ．2B ．83 C ．103D ．4例14.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（ ）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -【规律方法】1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．2. 常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 202p，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0． 题型七：与抛物线有关的综合问题例15.（2022·天津·高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=例16.（2019·北京·高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．例17. （2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.例18.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点O ，椭圆2214x y +=的顶点分别为1A ，2A ，1B ，2B ，其中点2A 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点1A 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且()12//OM ON B A +，求直线l 的方程. 【总结提升】抛物线的综合问题常常涉及方程、几何性质，以及与直线、圆、椭圆、双曲线、向量等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线、圆、圆锥曲线有关时，常常联立方程组，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．专题9.5 抛物线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（二）抛物线的标准方程及几何性质y 2=2px （p ＞0） （三）直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠[来源:Z*xx*] 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -=（四）焦半径、焦点弦1.通径过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p __．2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l ．(1)以AB 为直径的圆必与准线l __相切__； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋__p __；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．【常考题型剖析】题型一：抛物线定义的应用例1.（2023·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 00(,)x y 是C 上一点，|AF |=054x ，则0x =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8例2.（2020·全国·高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．96p.【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用． 题型二：抛物线的标准方程例3.（2021·全国高二课时练习）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝12y【答案】A 【分析】设出点M 的坐标，由题意可知|MA |＝|MN |，进而根据抛物线的定义即可得到答案. 【详解】设动点M (x ，y )，圆M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等.∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3，0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线， 故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x . 故选：A.例4.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2,3CB BF AF ==，则此抛物线方程为__________．30，结合2【详解】30，在直角三角形ACE轴交于G【规律方法】1.求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 题型三：抛物线的焦点及准线例5.（2023·全国·高三专题练习）抛物线243y x =的焦点坐标为（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭例6.（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.例7.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2p Q PQ p ∴+∴=-因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【规律总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．题型四 抛物线对称性的应用例8.（2021·全国高二课时练习）已知A ，B 是抛物线22(0)y px p =>两点，O 为坐标原点．若OA OB =，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________． 【答案】52p x = 【分析】由抛物线的性质知,A B 关于x 轴对称,设出坐标，利用三角形垂心的性质，结合斜率之积为1-，求出,A B 坐标即可求解. 【详解】由抛物线的性质知,A B 关于x 轴对称, 设(,)A x y ，则(,)B x y -，焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.由题意知AF OB ⊥，21AF OB y k x yk p x ∴⋅=⋅-⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， 所以22p y x x ⎛=-⎫ ⎪⎝⎭，即22p px x x ⎛=-⎫ ⎪⎝⎭.因为0x ≠，所以22p p x =-，即52p x =，所以直线AB 的方程为52px =. 故答案为：52p x =例9.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点．(1)过F 作垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AOB 的面积为2．求抛物线C 的标准方程； (2)抛物线上有,M N 两点，若MON △为正三角形，求MON △的边长．230MNt =AOB S =）MON为正三角形，2pt =230MN t =【总结提升】1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线． 题型五 抛物线的焦点弦问题例10.C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163例11.（2018·全国·高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【答案】2【分析】利用点差法得到AB 的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】详解：设()()1122A ,,B ,x y x y【总结提升】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 题型六 抛物线的最值问题例12.（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x =的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（ ） A ．52B ．2C ．2 D【答案】B【分析】直线2:1l x =为抛物线24y x =-的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线40x y +-=的垂线，此时12d d +最小，再根据点到直线距离公式即可求解.【详解】直线2:1l x =为抛物线24y x =-的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直()1,0F -，则121045222d d --==++． 例13.（2023·全国·高三专题练习）已知以F 为焦点的抛物线2:4C y x =上的两点A ，B ，满足133AF FB λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（ ）A ．2B ．83 C ．103D ．4【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及AF FB λ=，联立可得的焦点坐标为()1,0，准线方程为为AF FB λ=，所以所以AB AF =+=3λ时，AB =12λ⎛⎫++例14.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（ ）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -由题意得：()0,2F ，连接AF 并延长，交抛物线于点P ，此点即为||||PA PF -取最大值的点，此时415PA PF AF -==+=，其他位置的点P '，由三角形两边之差小于第三边得：5P A P F AF ''-<=，故||||PA PF -的最大值为5，D 正确.故选：BCD【规律方法】1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．2. 常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 202p，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0． 题型七：与抛物线有关的综合问题例15.（2022·天津·高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=例16.（2019·北京·高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.例17. （2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，)()743,11,⎤⎡-++∞⎦⎣.）求出p 的值后可求抛物线的方程）方法一：设:1AB x ty =+，()11,,A x y B 24y t =，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出1m．-++∞．3)[743,1)(1,)ab=-．，即1+3][1483,-++∞．3][743,1)(1,)【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标方法一：主要是用()()1122,,,A x y B x y 坐标表示直线,MA MB ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法二：利用焦点弦的性质求得直线,MA MB 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点,A B 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点,A B 横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.例18.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点O ，椭圆2214x y +=的顶点分别为1A ，2A ，1B ，2B ，其中点2A 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点1A 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且()12//OM ON B A +，求直线l 的方程. 联立，并利用韦达定理表示OM ON +，并利用()12//OM ON B A +，求直线的斜率，验证后，即可得到直线21y +=可知2a ，21b =，)2,0，（2）由椭圆2214x y +=可知()12,0A -，()20,1B -，则(1OM ON x +=+因为()12//OM ON B A +，且12(2,0)B A =所以2284820k k k --⨯=，解得2k =-+因为11k -<<，且0k ≠，26=--不符合题意，舍去， )【总结提升】抛物线的综合问题常常涉及方程、几何性质，以及与直线、圆、椭圆、双曲线、向量等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线、圆、圆锥曲线有关时，常常联立方程组，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

【新高考地区】2023年高考数学冲刺讲义抛物线的综合问题（新高考）引言在新高考改革的背景下，高中数学的学习内容和考试形式都发生了重大变化。

数学作为必修科目，对于学生来说是一个重要而必要的考核项目。

而在数学的学习中，抛物线的综合问题是一个常见但也较难的考点。

本文将针对2023年高考中的抛物线的综合问题进行分析和解答，帮助考生在考前进行有针对性的复习和冲刺。

一、抛物线的基本概念1.1 抛物线的定义抛物线是一种平面曲线，它的定义可以由以下几种方式给出：•平面上一点P到定点F的距离等于它到定直线L的距离的两倍。

这个定点F称为抛物线的焦点，定直线L称为抛物线的准线。

•平面上的点P(x, y)到定点F焦点(x₁, y₁)的距离等于它到定直线L准线的距离d的两倍。

即\[PF = PL = 2d\]。

•抛物线是平面上满足\[y = ax^2 + bx + c\]（\(aeq 0\)）的所有点的轨迹。

其中a，b，c为常数，且a为抛物线的开口（a > 0则开口向上，a < 0则开口向下）。

1.2 抛物线的性质抛物线具有以下几个重要的性质：•抛物线的对称轴是准线L，且焦点F在对称轴上。

•焦点到顶点的距离是\[PF = \frac{1}{4a}\]。

•抛物线的顶点坐标为\[(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})\)。

•抛物线开口方向与a的符号有关。

•当\[y = 0\]时，抛物线的两个交点称为抛物线的零点。

二、抛物线的综合问题2.1 抛物线的焦点和准线的求解给定抛物线的方程\[y = ax^2 + bx + c\]，如何求解出焦点和准线的相关信息呢？2.1.1 求解焦点的坐标由抛物线的定义可知，焦点到顶点的距离是\[PF =\frac{1}{4a}\]。

而抛物线的顶点坐标为\[(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。

因此，我们可以通过顶点坐标来确定焦点的坐标。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《抛物线及其性质》【题型一】：抛物线的标准方程 【题型二】：抛物线定义的理解 【题型三】：抛物线定义的应用 【题型四】：与抛物线有关的综合问题 【题型一】：抛物线的标准方程例1.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点(3,2)-；（2）焦点在直线l ：240x y --=上【思路点拨】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论【解析】（1）∵点(3,2)-在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为22y px =-（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴222(3)p =-⋅-，∴23p =，∴243y x =-，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为22x py =（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴2322p =⨯，∴94p =，∴292x y =，∴所求的抛物线的方程为243y x =-或292x y =，对应的准线方程分别是13x =，98y =-.（2）令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,2)-当焦点为(4,0)时，42p=，∴8p =， 此时抛物线方程216y x =； 焦点为(0,2)-时，22p=，∴4p =， 此时抛物线方程为28x y =-∴所求的抛物线的方程为216y x =或28x y =-， 对应的准线方程分别是4x =-，2y =.【总结升华】这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点为F(4,0)；（2）准线为1y 2=- ；（3）焦点到原点的距离为1； （4）过点（1，－2）； （5）焦点在直线x-3y+6=0上.【解析】（1）所求抛物线的方程为y 2=16x ； （2）所求抛物线的标准方程为x 2=2y ； （3）所求抛物线的方程y 2=±4x 或x 2=±4y ； （4）所求抛物线的方程为24y x =或212x y =-； （5）所求抛物线的标准方程为y 2=－24x 或x 2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴负半轴上，过顶点且倾角为43π的弦长为22，求抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为22y px =-(0p >)，又弦所在直线方程为y x =-由⎩⎨⎧-=-=x y px y 22，解得两交点坐标(0,0), (2,2)p p - ∴22(2)(2)22p p -+=，解得1p =.∴抛物线方程为22y x =-. 【题型二】：抛物线定义的理解【例2】已知点(),P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(),Q x y xy +的轨迹是( ) A ．圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 【答案】B【解析】设(),Q u v ，则u x yv xy=+⎧⎨=⎩221x y +=22221u v x y ∴-=+=∴点Q 的轨迹为抛物线.故选B.【变式训练】：【变式1】动圆C 经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切，若动圆C 与直线221y x =++总有公共点，则圆C 的面积( )A.有最大值8πB.有最小值2πC.有最小值3πD.有最小值4π 【答案】D【解析】由题意可得：动圆圆心C(a,b)的方程为24y x =.即24b a = 动圆C 与直线221y x =++总有公共点，∴圆心C 到此直线的距离11d r a a ≤=+=+即22112a b a -++≤+又24b a = 化简整理得()()22144210b b -+-+≥解得2b ≥或()642b ≤-+当2b =时，a 取得最小值1，此时圆C 由最小面积4π.故选D.【变式2】抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 【答案】B方法一：由题意抛物线为214x y =，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-； 由抛物线上的点M （x 0，y 0）到焦点的距离与到准线的距离相等，得01516y =， 即M 点的纵坐标为1516，故选择B 。

<备战2023年高考数学一轮复习讲义>专题38 抛物线1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 22(0)y px p => 的焦点到直线 1y x =+ 的距离为2 ，则 p = （ ） A ．1 B ．2C ．22D ．4【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则其到直线x -y+1=0的距离为1222pd +==，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2. 故答案为：B2．（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若ODⅡOE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）【答案】B【解析】因为直线 2x = 与抛物线 22(0)y px p => 交于 ,C D 两点，且 OD OE ⊥ ，根据抛物线的对称性可以确定 4DOx COx π∠=∠=，所以 (2,2)C ，代入抛物线方程 44p = ，求得 1p = ，所以其焦点坐标为 1(,0)2， 故答案为：B.1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ⅡRx ≤0，y ⅡRy ≥0，x ⅡRy ≤0，x ⅡR焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率 e ＝1抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|F A |＋1|FB |＝2p； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p .考点一 抛物线的定义和标准方程1．已知点M (20,40)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________． 【答案】42或22【解析】当点M (20,40)位于抛物线内时，如图Ⅱ，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，Ⅱ Ⅱ则|PF |＝|PD |， |PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.当点M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42.当点M (20,40)位于抛物线外时，如图Ⅱ，当点P ，M ，F 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得402＋⎝⎛⎭⎫20－p22＝41， 解得p ＝22或p ＝58.当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去． 综上，p ＝42或p ＝22.2．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD Ⅱl ，交l 于D .若|AF |＝4，ⅡDAF ＝60°，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x【答案】B【解析】根据抛物线的定义可得|AD |＝|AF |＝4， 又ⅡDAF ＝60°，所以|AD |－p ＝|AF |cos 60°＝12|AF |，所以4－p ＝2，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . 考点二 抛物线的几何性质3．(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A ．p ＝4 B.DF →＝F A → C ．|BD |＝2|BF | D ．|BF |＝4 【答案】ABC【解析】如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE Ⅱx 轴，所以ⅡEAF ＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |， 则ⅡAEF 为等边三角形， 所以ⅡEFP ＝ⅡAEF ＝60°， 则ⅡPEF ＝30°，所以|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4， 故A 正确；因为|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ⅡAE ，所以F 为AD 的中点，则DF →＝F A →，故B 正确； 因为ⅡDAE ＝60°，所以ⅡADE ＝30°， 所以|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确； 因为|BD |＝2|BF |，所以|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，故D 错误．考点三 直线与抛物线【方法总结】(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则可用弦长公式． 4．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |. 【答案】设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ， 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 则x 1＋x 2＝－12t －19.从而－12t －19＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1. 故|AB |＝4133.一、单选题1．（2022·浙江模拟）抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．1D ．2【答案】D 【解析】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =， 故答案为：D.2．（2022·四川模拟）如图，抛物线()220E x py p =>：的焦点为F ，准线与y 轴交于点D ，O 为坐标原点，P 是抛物线上一点，且60PFO ∠=︒，则PDDF=（ ）A ．273B ．72C ．73D ．23【答案】C【解析】如图，过P 作PH 垂直y 轴于H ，过P 作PB 垂直准线于B ，设FH t =，则因为60PFO ∠=︒，结合抛物线的基本性质有2FP PB HD t ===，3PH t =，()22327PD t t =+=.所以||77||23PD t DF t t ==+ 故答案为：C3．（2022·淄博模拟）已知抛物线22(0)C y px p =>：的准线被圆224x y +=所截得的弦长为23p =（ ） A ．1 B 3C ．2D ．4【答案】C【解析】由题，圆与抛物线都关于x 轴对称，故所截得的弦AB 与x 轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有222230A A A A x y y x +==<，，，解得1A x =-，故12p-=-，得2p =， 故答案为：C4．（2022·山东模拟）已知O 为坐标原点，抛物线214x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则M 点到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．4716C ．23D ．22【答案】D【解析】由题意得24y x =，所以准线为1x =-， 又因为||3MF =，设点M 的坐标为()00x y ，， 则有013MF x =+=，解得：02x =将02x =代入解析式24y x =得：022y =±，所以M 点到x 轴的距离为22 故答案为：D ．5．（2022·聊城模拟）抛物线22y x =的准线方程是（ ）A ．12x =-B ．18x =-C ．18y =-D ．12y =-【答案】C【解析】解：因为抛物线方程为22y x =，即212x y =，所以122p =，即14p =，所以抛物线的准线为18y =- 故答案为：C6．（2022·郑州模拟）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ） A ．6 B ．9C ．12D ．15【答案】B【解析】由题意，()10F ，，设()()1122A x y B x y ，，，， 若直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线的方程为()1y k x =-，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即()2222240k x k x k -++=，121x x =，又因为11AF x =+，21BF x =+，1200x x >>，， 则()1212222211414145452459AF BF x x x x x x x x +=+++=++=++≥⨯=， 当且仅当1242x x ==时取等号.若直线AB 的斜率不存在，则直线的方程为1x =，则2AF BF ==，此时4109AF BF +=>.综上，4AF BF +的最小值为9。

【最新考纲解读】要 求内容A备注B C极点在座 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．标原点的 2．认识圆锥曲线的简单应用．圆锥曲线 抛物线的 √与方程标准方程 与几何性质【考点深度分析】1．抛物线的定义、标准方程及性质是高考考察的要点，直线与抛物线的地点关系是考察的热门．2．考题以填空题为主，多为中低档题．【课前检测训练】【判一判】判断下边结论能否正确 (请在括号中打“√”或“×” )(1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹必定是抛物线．()(2) 2x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a， 0)，准线方 方程 y ＝ ax (a ≠ 0)表示的曲线是焦点在(4a程是 x ＝－ .()4(3) 抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4) AB 为抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的过焦点 F(p， 0)的弦，若 A(x 1，y 1)， B( x 2， y 2)，则 x 1x 2＝p 2，2 4y 1y 2＝－ p 2，弦长 |AB|＝ x 1＋ x 2＋ p.()(5) 过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那 么抛物线 x 2＝－ 2ay(a>0) 的通径长为 2a.( )1. ×2. ×3. ×4. √5. √【练一练】1．已知抛物线y2＝ 2px(p＞ 0)的准线经过点(－ 1,1)，则该抛物线焦点坐标为() A ． (－ 1,0) B ．(1,0)C． (0，－ 1)D． (0,1)答案B分析因为抛物线 y2＝2px(p＞ 0)的准线方程为x＝－p，由题意得－p＝－ 1，p＝ 2，焦点坐22标为 (1，0)，应选 B.2．已知抛物线 C： y2＝ x 的焦点为 F，A(x0， y0 )是 C 上一点， |AF|＝5x0，则 x0等于 ()4A ．1 B．2 C．4 D．8答案A分析由抛物线的定义，可得 |AF |＝x0＋1，4∵ |AF|＝5x0，∴ x0＋1＝5x0，∴ x0＝ 1. 4443．已知抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点O，而且经过点M(2， y )．若点 M 到该抛物线焦点的距离为3，则 |OM |等于 ()A ． 22B ．23C． 4D． 25答案B4．已知抛物线的极点是原点，对称轴为坐标轴，而且经过点P( －2，－ 4) ，则该抛物线的标准方程为 ________________．答案y2＝－ 8x 或x2＝－ y分析设抛物线方程为y2＝ 2px (p≠ 0)，或x2＝2py (p≠ 0)．将P(－2，－ 4)代入，分别得方程为 y2＝－ 8x 或 x2＝－ y.5．已知点 A(－ 2,3)在抛物线C：y2＝ 2px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点B，记 C 的焦点为F，则直线BF 的斜率为 ________．4 答案3【题根优选精析】考点 1抛物线的标准方程及几何性质【 1-1】已知 P 是抛物线 y x 2上随意一点，则当 P 点到直线 x y 20 的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是.【答案】12【分析】当直线y x b 与抛物线相切于 P 点时，到直线 x y 2 0 的距离最小，把y x b 代入y x 2 得 x 2x b 0 ，因为相切1 4b0 得 b1 ，所以 P 1 , 1 ，此点到42 4准线 y1 14的距离为.2【 1-2】已知抛物线的极点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－ y 2= 20 的两条渐近线围成的三角形的面积等于4 5 ，则抛物线的方程为.【答案】 y 2=8x【分析】抛物线的极点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上清除 C 、 D ，设抛物线的方程为y2 2 px( p0) ，则抛物线的准线方程为x p，双曲线的渐进线方程为y5x ，4 5可得1p2由面积为 5 p45，所以 p 4 .22【 1-3 】已知抛物线y2 2 px( p0)的准线与圆 x2y26x7 0 相切，则p的值为.【答案】 2【解析】圆 x 2y26x 70 化为 ( x3) 2y216 ，x p( p 0) 与圆p 2( x3) 2y216 相切，1，即 p 2 .2【 1-4】一个动圆与定圆 F ：( x2) 2y 21相外切，且与定直线l ： x1相切，则此动圆的圆心 M 的轨迹方程是.【答案】 y 28x【 1-5】如图，过抛物线y2＝ 2px (p>0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A 、B ，交其准线于点C，若 |BC|＝ 2|BF| ，且 |AF|＝ 3，则此抛物线方程为.【答案】 y2＝ 3x【分析】如图，∵|BC|＝ 2|BF|，∴由抛物线的定义可知∠BCD ＝ 30°，|AE| ＝ |AF|＝3，∴ |AC|＝ 6．即 F为AC 的中点，∴ p＝ |FF′ |＝1|EA|＝3，故抛物线方程为y2＝ 3x ．22【基础知识】图形标准方y2=2px（ p y2=－2px x2=2py （ p x2=－ 2py程＞ 0）（ p＞ 0）＞ 0）（ p＞ 0）极点O（ 0， 0）范围x≥ 0，x≤0，y≥ 0，y≤0，y R y R x R x R 对称轴x 轴y 轴p,0F pFpFp焦点F,00,0,2222离心率e=1准线方x p pyp p 2x2y程22|MF |x0p px0 | MF | y0p py0焦半径2|MF ||MF |222【思想方法】1．波及抛物线几何性质的问题常联合图形思虑，经过图形能够直观地看出抛物线的顶点、对称轴、张口方向等几何特点，表现了数形联合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已成即刻，应依据条件确立抛物线方程属于四种种类中的哪一种；(2)要注意掌握抛物线的极点、对称轴、张口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【温馨提示】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性责问题时一定要考虑的两个重要要素．2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用近似于公式法的待定系数法求解，但要判断正确，注意发掘题目中的隐含条件，防备重、漏解。

3.3 抛物线(精练)【题组一 抛物线的定义及应用】1．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考)定长为6的线段AB 两个端点在抛物线24y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，则M 到y 轴距离的最小值为( )A ．12BC ．2D 12【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点为F ，则抛物线的准线1x =-，设,,A B M 在准线上的垂足分别为',','A B M ,连接,,',','AF BF AA BB MM ,如图所示. 所求的距离611111 2.2222AA BB AF BFABd MM ++=-=-=-≥-=-'=''因为抛物线的通径为246p AB =≤=,所以定长为6的线段AB 两个端点在抛物线24y x =上移动时可以经过焦点F ,此时,,A F B 三点共线，AF BF AB +=，2d =，则点M 到y 轴的最短距离为2，故选：C .2．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考)过抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且满足||3||AF FB =，则直线l 的倾斜角为( )A ．45°B ．60°和120°C ．30°和150°D ．45°和135°【答案】B【解析】当A点在x轴上方时，设抛物线准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，直线l交准线于C，如图所示：则|AA'|＝|AF|，|BB'|＝|BF|，|AF|＝3|BF|，所以|AN|＝2|BF|，|AB|＝4|BF|，cos∠NAB＝12，∠NAB＝60，此时则直线l60，当A点在x轴下方时，由对称性可得直线l的斜率为120，故选：B3．(2021·全国高二课时练习)抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于( )A．2 B．3 C．5 D．7【答案】D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.由24240y xx y⎧=⎨+-=⎩，得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，∴ |FA|＋|FB|＝7，故选：D.4．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(理))O为坐标原点，F为抛物线2:C y=的焦点，P为C上一点，若PF =POF 的面积为( )A ．2B ．C ．D ．4 【答案】A【解析】因为抛物线2:C y =，所以2p =，由抛物线的定义得：2p p p PF x x =+==解得p x p y ==±所以POF 的面积为11222p S OF y =⋅=， 故选：A5．(2021·安徽省岳西县店前中学高二期末(文))已知抛物线2:2C y x =的焦点为()00,,F A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =( ) A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】由抛物线2:2C y x =可得11,22p p ==， 准线方程12x =-， 0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051422p x x x =+=+， 解得02x =．故选：B ．【题组二 抛物线的标准方程】1．(2021·全国高二课时练习)若抛物线2y mx =的准线与直线1x =间的距离为3，则抛物线的方程为______.【答案】28y x =或216y x =-【解析】当0m >时，准线的方程为4m x =-，故134m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以8m =，此时抛物线的方程为28y x =； 当0m <时，准线的方程为4m x =-，故134m --=，所以16m =-，此时抛物线的方程为216y x =-. 所以所求抛物线的方程为28y x =或216y x =-.故答案为：28y x =或216y x =-.2．(2021·上海市长征中学)已知抛物线22y px =上一点 (1, )M m 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．【答案】4x =-【解析】因为抛物线22y px =上一点 (1, )M m 到其焦点的距离为 5， 所以152p +=， 解得8p =，所以该抛物线的准线方程为4x =-，故答案为：4x =-3．(2021·广东高二期末)已知抛物线：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，过点P 作l 的垂线交l 于点E ，且60PFE ∠=︒，6PF =，则抛物线C 的方程为________________________.【答案】26x y =【解析】设准线与x 轴的交点为H ，准线为2p x =-，焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的定义知PE PF =，又60PFE ∠=︒，所以PFE △为等边三角形，且30FEH ∠=︒，所以6EF PF ==,则132HF EF ==，又因为HF p =，因此3p =，故抛物线C 的方程为26x y =； 故答案为：26x y =. 4．(2021·全国高二课时练习)已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝12y 【答案】A 【解析】设动点M (x ，y )，圆M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等.∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3，0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线，故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .故选：A.5．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线M 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，过其焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点C ，D ，||2||AF BF =，且72DC BA ⋅=，则该抛物线的方程为( )A ．28x y =B ．210x y =C ．29x y =D ．25x y =【答案】A 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，抛物线的方程为22(0)x py p =>，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由||2||AF BF =可得2AF FB =， 所以1122,2,22p p x y x y ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以122x x -=，12222p p y y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以24p y =，1y p =，1x =，2x p =，所以),A p ，4p B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ),0C ，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以3,02p DC ⎛⎫ ⎪ =⎪⎝⎭，33,24BA p p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭因为72=，所以327222DC BA p p ⋅=⨯=，所以4p =， 所以抛物线的方程为28x y =．故选：A.【题组三 直线与抛物线的位置关系】1．(2021·北京清华附中高二期末)“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A2．(多选)(2021·全国高二课时练习)与直线0x y +仅有一个公共点的曲线是A ．221x y +=B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x = 【答案】AC【解析】A．圆心到直线的距离1d r ===，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；B．因为22012x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2320x -+=，所以322480∆=-=>，所以直线与椭圆有两个交点，不符； C ．因为221x y -=的渐近线方程为y x =±，所以0x y +=平行于渐近线且不与渐近线重合，所以0x y +=与双曲线仅有一个公共点，符合；D．因为20x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以20y y +=，所以10∆=+，所以直线与抛物线有两个交点，不符. 故选：AC.3．(多选)(2021·全国高二专题练习)若原点O 到直线l 的距离不大于1，则直线l 与下列曲线一定有公共点的是( )A ．22y x =-B ．()2211x y -+=C ．2212x y +=D ．221x y -=【答案】AC【解析】原点(0,0)到直线l 的距离小于或等于1，故直线l 一定经过圆面221x y + 内的点，如图所示：故与直线l 一定有公共点的曲线的是AC ，故选：AC ．A .B .C .D .4．(2021·全国高二课时练习)已知F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，以F 为圆心作半径为R 的圆Γ，圆Γ与x 轴的负半轴交于点A ，与抛物线E 分别交于点B ，C .(1)若ABC 为直角三角形，求半径R 的值；(2)判断直线AB 与抛物线E 的位置关系，并给出证明.【答案】(1)R ＝p ；(2)直线AB 与抛物线E 相切，证明见解析.【解析】(1)由抛物线和圆的对称性可得B ，C 关于x 轴对称， 再由ABC 为直角三角形可得BC 为圆的直径，B ，C ，F 三点共线，x B 2p =， 代入抛物线的方程可得y B ＝p ，所以圆的半径R ＝p ；(2)直线AB 与抛物线E 相切.由(1)知A (2p -，0)，|AF |＝p ，B (2p ，p )，C (2p ，﹣p )，则直线AB ：y ＝x 2p +，联立222p y x y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得x 2﹣py 24p +=0， ∴∆＝p 2﹣p 2＝0，∴直线AB 与抛物线相切.5．(2021·浙江高二单元测试)已知抛物线C:24y x =，焦点为F ，点()11,A x y 在抛物C 上，设()10D x -，，其中10x ≠．(I)求焦点F 的坐标；(Ⅱ)试判断直线AD 与抛物线C 的位置关系，并加以证明．【答案】(Ⅰ)(1,0)；(Ⅱ)相切，证明见解析.【解析】(Ⅰ)由抛物线C ：24y x =，可得：24p =，2p =，可得焦点F 的坐标为(1,0)；(Ⅱ)直线AD 与抛物线C 相切，证明如下：由点()11,A x y 及点()1,0D x -，可得1111022AD y y k x x -==， 又24y x =，可得=±y11AD k == 同时由抛物线C ：24y x =，=±y'y = 所以过()11,A x y的切线的斜率为：1所以直线AD 与抛物线C 相切.【题组四 弦长】1．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，且|FA|＝4，则|AB |＝__. 【答案】163【解析】设过F (1，0)的直线方程为x ＝my +1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线方程214x my y y=+⎧⎨=⎩，可得y 2﹣4my ﹣4＝0， 由韦达定理，可得y 1y 2＝﹣4，则221212144y y x x ==， ∵由抛物线的定理，可得|FA |＝x 1+1＝4，∴x 1＝3，213x =， ∴24||13FB x =+=，416||433=+=AB . 故答案为：163. 2．(2021·上海浦东新·高二期中)过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若1212x x +=，则AB 等于____________．【答案】14；【解析】由抛物线24y x =可得：2p =，抛物线的准线方程为：1x =-，因为过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，由抛物线的定义可得：1112p AF x x =+=+，2212p BF x x =+=+， 所以弦长12214AB AF BF x x =+=++=，故答案为：14.3．(2021·广东石门高级中学高二月考)已知动点M 到点()0,2F 的距离，与点M 到直线:2l y =-的距离相等.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点F 且斜率为1的直线与动点M 的轨迹交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.【答案】(1)28x y =；(2)16．【解析】(1)由题意M 点的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，22p =，4p =， 所以轨迹方程是28x y =；(2)由已知直线l 方程是2y x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由228y x x y=+⎧⎨=⎩得28160x x --=，所以12128,16x x x x +==-，16AB =．4．(2021·合肥百花中学高二期末(理))已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点P (m ，2)到其焦点F 的距离为4．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积．【答案】(1)x 2＝8y ；(2)【解析】(1)由已知及抛物线定义可得2()42p --=，∴p ＝4，∴抛物线C 的方程为x 2＝8y ． (2)由(1)可得F (0，2)，∴l ：y ＝x +2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 方程代入C 方程整理得y 2﹣12y +4＝0，∴y 1+y 2＝12，∴|AB |＝y 1+y 2+p ＝16，原点O 到直线l 的距离为d ==∴OAB 的面积1||2S AB d =⨯⨯= 5．(2021·上海市新场中学高二期中)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(1,0)F 的距离等于它到x =-1的距离.(1)求曲线C 的方程；(2)求直线1y x =-被曲线C 截得线段长.【答案】(1)24y x =；(2)8【解析】(1)一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(1,0)F 的距离等于它到x =-1的距离，所以该曲线是以点(1,0)F 为焦点，以x =-1为准线的抛物线， 设其方程为22,1,22p y px p ===， 所以24y x =；(2)设直线1y x =-与曲线C 交于()()1122,,,A x y B x y ，联立方程241y xy x ⎧=⎨=-⎩，整理得2610x x -+=，1212320,6,1x x x x ∆=>+==，8AB ==.所以直线1y x =-被曲线C 截得线段长为8.6．(2021·浙江湖州·)已知抛物线21:4C y x =，圆()222:34C x y -+=，F 是抛物线的焦点，过点F 的直线与抛物线1C 交于A ､B 两点，与圆2C 交于点D ，点D 是线段AB 的中点. (1)求抛物线的准线方程； (2)求OAB 的面积.【答案】(1)1x =-；(2)【解析】(1)因为抛物线21:4C y x =，所以准线方程为1x =-；(2)设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y联立直线与抛物线214x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=，由韦达定理可得124y y m +=，故()21212242x x m y y m +=++=+，∴()221,2D m m +，将D 点坐标代入圆方程得()22211m m -+=，解得1m =±(0舍去).根据抛物线的对称性，不妨设1m =，联立214x y y x =+⎧⎨=⎩，消去y 得2610x x -+=，所以126x x +=所以12122822p pAB x x x x =+++=++=， 坐标原点到直线10x y --=的距离d =所以12OAB S AB d =⋅=△【题组五 综合运用】1．(2021·全国高二课时练习) 已知抛物线C ：y 2＝4x ，A (1,2)，B (,0)m ，其中m >0，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N .(1)当m ＝5，且直线l 垂直于x 轴时，求证：△AMN 为直角三角形； (2)若OP ＝OA ＋OB ，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM ⊥AN . 【答案】(1)证明见解析；(2)m ＝6.【解析】(1)证明：由题意，l ：x ＝5，代入y 2＝4x中，解得y =±不妨取M(5,，N (5,－，则(4,252),(4,2)AM AN=-=-， ∴(4,2)(4,2)16(204)0AM AN ⋅=⋅-=--=， ∴AM ⊥AN ，即△AMN 为直角三角形，得证．(2)由题意，四边形OAPB 为平行四边形，则k BP ＝k OA ＝2，设直线l ：y ＝2(x －m )，221212(,),(,)44y y M y N y ，联立22()4y x m y x=-⎧⎨=⎩，得y 2－2y －4m ＝0，由题意，判别式Δ＝4＋16m >0，y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－4m ，∵AM ⊥AN ，则0AM AN ⋅=，又221212(1,2),(1,2)44y y AM y AN y =--=--，∴221212(1)(1)(2)(2)044y y y y --+--=，化简得(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0，即y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0，∴2440m -=，解得m ＝6，故m ＝6时，有AM ⊥AN .2．(2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中)过抛物线()220y px p =>上一定点()00,P x y 作两条直线分别交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ， (1)若横坐标为2p的点到焦点的距离为1，求抛物线方程； (2)若()00,P x y 为抛物线的顶点，π2APB ∠=，试证明：过A 、B 两点的直线必过定点()2,0p ； (3)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12+y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.【答案】(1)22y x =；(2)证明见解析；(3)2-，证明见解析.【解析】(1)因为抛物线()220y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-；又横坐标为2p的点到焦点的距离为1，所以122p p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即1p =，故抛物线方程为22y x =；(2)若()00,P x y 为抛物线的顶点，则()0,0P ；因为()11,A x y ，()22,B x y 为抛物线()220y px p =>上的点，所以直线AB 斜率不为零；可设直线AB 的方程为x my n =+，由22x my n y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pn --=， 则22480p m pn ∆=+>，121222y y pmy y pn+=⎧⎨=-⎩，所以()()()2212121212x x my n my n m y y mn y y n =++=+++222222pm n pm n n n =-++=，又π2APB ∠=，则PA PB ⊥； 所以0PA PB ⋅=，即2121220x x y y n pn +=-=，所以2n p =，即直线AB 的方程为2x my p =+，因此，过A 、B 两点的直线必过定点()2,0p ；(3)因为()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y 都是抛物线()220y px p =>上的点，且PA 与PB 的斜率存在，则10x x ≠，20x x ≠；由20021122y px y px ⎧=⎨=⎩可得22101022y y px px -=-，所以1010102PA y y p k x x y y -==-+； 由20022222y px y px ⎧=⎨=⎩可得22202022y y px px -=-，所以2020202PB y y p k x x y y -==-+； 又因为PA 与PB 的倾斜角互补，所以0PA PB k k +=，即1020220p py y y y +=++， 整理得1202y y y +=-，要求12+y y y 的值，显然00y ≠；所以1202y y y +=-， 要证明直线AB 的斜率是非零常数，显然直线AB 的斜率存在；由21122222y px y px ⎧=⎨=⎩可得22121222y y px px -=-， 所以12121200222AB y y p p pk x x y y y y -====--+-， 因为00y ≠，0p >，所以0AB pk y =-是非零常数，即直线AB 的斜率是非零常数.3．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线C ：x 2＝8y ，点F 是抛物线的焦点，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，﹣2)．(1)分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线，两切线的交点为M ，求直线l 的斜率； (2)若直线l 过抛物线的焦点F ，试判断是否存在定值λ，使得MF k λ＝11MA MBk k +【答案】(1)12；(2)存在λ＝2. 【解析】(1)1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，抛物线方程28x y =，求导可得4x y '=，过点A 的切线方程为111()4x y y x x -=-，过点B 的切线方程为222()4y y y x x -=-， 点(2,2)M -为两切线的交点，∴1112(2)4x y x --=-，2222(2)4xy x --=-， ∴过A ，B 的直线方程为22(2)24242x x x xy x y --=-=-=-，化简可得，220x y ，∴12k =． (2)由题意可知，(0,2)F ，过点F 的直线l 为2y kx =+， 设直线l 与抛物线C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线方程228y kx x y =+⎧⎨=⎩，28160x kx --=，由韦达定理可得，128x x k +=，1216x x =-，111111(2)24222MA y y kx k x x x --++===---，同理可得，2242MB kx k x +=-， ∴121221121221212121222(2)(4)(2)(4)2(42)()161144(4)(4)4()16MA MB x x x kx x kx kx x k x x k k kx kx kx kx k x x k x x ---++-++-+-+=+==+++++++ 222323216161163216k k k k k -+--==--++，2(2)202MF k --==--， ∴存在2λ=，使得11MFMA MBk k k λ=+． 4．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 在抛物线E 上，点P 的横坐标为2，且|PF |＝2，A ，B 是抛物线E 上异于O 的两点． (1)求抛物线E 的标准方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为﹣12，求证：直线AB 恒过定点． 【答案】(1)x 2＝4y ；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意得，F (0，2p )，设P (2，y 0)，022p y =-，由点P 是E 上一点，得4＝2p (2﹣2p)，∴p 2﹣4p +4＝0，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为x 2＝4y ； (2)设A (2111,4x x )，B (2221,4x x )，由题意可知，1212144162OA OB x x x x k k ⋅=⨯==-， 得x 1x 2＝﹣8，可知直线AB 的斜率存在． 设AB ：y ＝kx +m ，联立24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，得x 2﹣4kx ﹣4m ＝0，可得x 1x 2＝﹣4m ＝﹣8，即m ＝2． ∴直线AB 恒过定点(0，2)．5．(2021·湖南长沙·长郡中学高二月考)已知拋物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，O 为坐标原点，E为拋物线上一点，4EF OF =且EFOS(1)求拋物线C 的方程；(2)设直线l ：240x y -+=交y 轴于点B ，直线1l 过点()2,1A 且与直线l 平行，动直线2l 过点()2,1A 与拋物线C 相交于P ，Q 两点，直线PB ，QB 分别交直线1l 于点M ，N ，证明：AM AN =． 【答案】(1)24y x =；(2)证明见解析.【解析】(1)拋物线C 的方程为()220y px p =>，设()00,E x y ，因为42EF OF p ==，由拋物线定义022p x p +=，即032x p =．所以0y =，又由EFO S △122p⨯=2p =(2p =-舍去)，所以抛物线C 的方程为24y x =．(2)证明：直线l ：240x y -+=，令0x =，得4y =，所以点()0,4B ．因为直线1l 平行于直线l ：240x y -+=且过点()2,1A ，所以直线1l ：230x y --=． 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，直线2l ：()21x t y -=-，联立()2214x t y y x⎧-=-⎨=⎩消去x 得24480y ty t -+-=，则()2Δ1620t t =-+>．由根与系数关系得124y y t +=，1248y y t ⋅=-，易得直线PB ：1144y y x x -=+，直线QB ：2244y y x x -=+． 联立1144,230,y y x x x y -⎧=+⎪⎨⎪--=⎩解得()()11111727242182M ty t x x x y t y t +-==-+-+-， 同理可得()()22722182N ty t x t y t+-=-+-，所以()()()()12127272 21822182M N ty t ty t x x t y t t y t+-+-+=+-+--+-()()()()()()()()()()()()1212221212221822122282721218282t t y y t t t t y y t t t y y t t y y t -⋅+-+--++--⎡⎤⎣⎦⨯-⋅+--++-=2244842t t t t -+==-+． 因为2A x =，所以2M N A x x x +=，即A 是MN 的中点，所以AM AN =．。

2025年高考数学一轮复习-解析几何中优化运算的方法-专项训练一、基本技能练1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A.334B.938C.63 32D.9 42.已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A1的斜率的取值范围是()A.12，34 B.38，34C.12，1 D.34，13.已知斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段AB的中点，F是C的焦点，△OFM的面积等于3，则k＝()A.1 4B.1 3C.1 2D.2634.椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是()A.3B.11C.22D.105.已知点A(0，－5)，B(2，0)，点P为函数y＝21＋x2图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为()A.1＋25B.7C.3D.不存在6.已知椭圆Г：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Г相交于A，B两点，且AF→＝3FB→，则k＝()A.1B.2C.3D.27.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为π6的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为________.8.已知点P为椭圆：x22y2＝1内一定点，经过点P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________.9.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为________.10.已知双曲线C1：x2a21－y2b21＝1(a1>0，b1>0)与C2：y2a22－x2b22＝1(a2>0，b2>0)有相同的渐近线，若C1的离心率为2，则C2的离心率为________.11.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，直线l：y＝kx＋a，直线l与椭圆C交于M，N两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.(1)若k＝1，且N为线段MP的中点，求椭圆C的离心率；(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2，0)，直线QM，QN与y轴分别交于A，B两点，12.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.二、创新拓展练13.(多选)已知斜率为3的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是()A.1|AF|＋1|BF|＝1 B.|AF|＝6C.|BD|＝2|BF|D.F为AD中点14.已知A，B是抛物线y2＝4x上的两点，F是焦点，直线AF，BF的倾斜角互补，记AF，AB的斜率分别为k1，k2，则1k22－1k21＝________.15.已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为________.16.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝83相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析抛物线C ：y 2＝3x 中，2p ＝3，p ＝32，故S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94.2.答案B解析由周角定理得kPA 1·kPA 2＝－b 2a 2＝－34，又kPA 2∈[－2，－1]，∴kPA 1＝－34kPA 2∈38，34.3.答案B解析设AB 的中点M (x 0，y 0)，由中点弦的性质得k ＝py 0(y 0≠0).由抛物线方程知p ＝2，所以k ＝2y 0，另焦点F (1，0)，又S △OFM ＝3，可知12×1×y 0＝3，所以y 0＝6，再代入k ＝2y 0＝13.4.解析设椭圆x 216＋y 24＝1上的点P (4cos θ，2sin θ)，则点P 到直线x ＋2y －2＝0的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝所以d max ＝|－42－2|5＝10，故选D.5.答案B解析由y ＝21＋x 2，得y 24－x 2＝1(y ＞0).设点A ′(0，5)，即点A ′(0，5)，A (0，－5)为双曲线y 24－x 2＝1的上、下焦点.由双曲线的定义得|PA |－|P A ′|＝4，则|PA |＋|PB |＝4＋|PA ′|＋|PB |≥4＋|BA ′|＝7，当且仅当B ，P ，A ′共线时取等号，故选B.6.答案D解析依题意a ＝2b ，e ＝32，因为AF →＝3FB →，所以λ＝3，设直线的倾斜角为α，则e ＝|λ－1（λ＋1）cos α|得32＝|3－1（3＋1）cos α|，|cos α|＝33，又k >0，∴α得cos α＝33，所以k ＝tan α＝ 2.7.答案y 2＝2x解析∵|AB |＝2psin 2θ＝2p sin 2π6＝8p ＝8，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .8.答案2x ＋4y －3＝0解析直线与椭圆交于A ，B ，P 为AB 中点.由k AB ·k OP ＝－b 2a 2得k AB ×1＝－12，即k AB ＝－12，则直线方程为y －12＝－即2x ＋4y －3＝0.9.答案3解析如图.设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，因为以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F (c ，0)，所以S △AF ′F ＝S △ABF ＝2a 2且∠F ′AF ＝∠θ＝π2，根据双曲线焦点三角形面积公式，得S △AF ′F ＝b 2tan θ2.所以2a 2＝b 2，即b 2a2＝2，e ＝1＋b 2a 2＝ 3.10.答案233解析设双曲线C 1，C 2的半焦距分别为c 1，c 2，因为C 1的离心率为2，所以C 1的渐近线方程为y ＝±b1a 1x ＝±c 1a 12－1＝±22－1x ＝±3x ，所以C 2的渐近线方程为y ＝±a2b 2x ＝±3x ，所以a2b 2＝3，所以C 2的离心率为c 22a 22＝1＋b 2a 22＝233.11.解(1)由题意知直线l ：y ＝x ＋a 与x 轴交于点(－a ，0)，∴点M 为椭圆C 的左顶点，即M (－a ，0).设－a 2，a 2代入椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1得14＋a 24b2＝1，即b 2a 2＝13，则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝23，∴e ＝63，即椭圆C的离心率e＝6 3 .(2)由题意得a＝2，∴椭圆C：b2x2＋4y2＝4b2(b>0)，2x2＋4y2＝4b2，＝kx＋2，消去y得(4k2＋b2)x2＋16kx＋16－4b2＝0，＝16b2（4k2＋b2－4）>0，M＋x N＝－16k4k2＋b2，M·x N＝16－4b24k2＋b2，∵直线QM：y＝y Mx M－2(x－2)，∴PA→∵y M＝kx M＋2，∴y M－2＝kx M，即PA→同理PB→∴PA→·PB→＝4（k＋1）2x M x Nx M x N－2（x M＋x N）＋4＝4－b2＝1，即b2＝3，∴椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.12.解(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝217，所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1).(2)设AB ，PQ 的斜率均存在且不为零，设直线AB 的方程为y －t ＝k k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k k 2≠0)，－t ＝k 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k －16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B A >12，x B 由题意知16－k 21≠0，则x A x B 1x A ＋x B 1所以|TA |＝1＋k 21|x A －1|A|TB |＝1＋k 21|x B －12|B则|TA |·|TB |＝(1＋k 21A B＝(1＋k 21)x A x B －12（x A ＋x B）＋14＝(1＋k 21－12·1＋14＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16.同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0.故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.二、创新拓展练13.答案BCD解析法一如图，过点B 作x ＝－p2的垂线，垂足为B ′，l 的斜率为3，则直线l 的方程为y2＝2px ，得12x 2－20px ＋3p 2＝0.解得x A ＝3p 2，x B ＝p 6，由|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝8p3＝8，得p ＝3.所以抛物线方程为y2＝6x.则|AF|＝x A＋p2＝2p＝6，故B正确；所以|BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝|BB′|cos60°＝|BF|cos60°＝4，∴|BD|＝2|BF|，故C正确；所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点，故D正确；而1|AF|＋1|BF|＝23，故A错误.法二设直线AB的倾斜角为θ，利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|＝2psin2θ＝8，则p＝3，|AF|＝p1－cosθ＝6，|BF|＝p1＋cosθ＝2，1|AF|＋1|BF|＝2p＝23，在Rt△DBB′中，cosθ＝|BB′||BD|，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6，因此F为AD中点.故选BCD.14.答案1解析F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的对称性，且两直线的倾斜角互补，所以(x2，－y2)在直线AF上，直线AF：y＝k1(x－1)，代入y2＝4x，化简可得k21x2－(2k21＋4)x＋k21＝0，根据韦达定理，可得1＋x2＝2k21＋4 k21，1x2＝1，又k2＝y2－y1x2－x1＝4x2－4x1x2－x1＝2x2＋x1，所以k22＝4x1＋x2＋2x1x2＝42k21＋4k21＋2＝k21k21＋1，故1k22－1k21＝1.15.答案34解析由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为y＝k(x－m)＋n，＝k（x－m）＋n，2＝8y，得x2－8kx＋8km－8n＝0，因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，即2k2－km＋n＝0，所以k1＋k2＝m2，k1k2＝n2，又由x2＝8y得y′＝x4，所以x1＝4k1，y1＝x218＝2k21，x2＝4k2，y2＝x228＝2k22，所以k AB＝y2－y1x2－x1＝2k22－2k214k2－4k1＝k2＋k12＝m4，因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，所以1≤m≤3，因此14≤m4≤34，即直线AB斜率的最大值为34.16.(1)解圆B的圆心为B(－2，0)，半径r＝42，|BC|＝4.连接MC，由已知得|MC|＝|MA|，∵|MB|＋|MC|＝|MB|＋|MA|＝|BA|＝r＝42>|BC|，∴由椭圆的定义知：点M 的轨迹是中心在原点，以B ，C 为焦点，长轴长为42的椭圆，即a ＝22，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4，∴点M 的轨迹方程为x 28＋y 241.(2)证明当直线EF 的斜率不存在时，直线EF 的方程为x ＝±83，，F 的分别为，或－83，－83，－OE →·OF →＝0.当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为y ＝kx ＋m ，∵EF 与圆O ：x 2＋y 2＝83相切，∴|m |1＋k 2＝83，即3m 2＝8k 2＋8.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∴OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，(*)＋y 24＝1，kx ＋m ，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2，代入(*)式得OE →·OF→＝(1＋k 2)·2m 2－81＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝3m2－8k2－8 1＋2k2，又∵3m2＝8k2＋8，∴OE→·OF→＝0，综上，以EF为直径的圆恒过定点O.。

专题57：抛物线精讲温故知新一、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

{MF M =点M 到直线l 的距离} （一动三定）（注：定点F 不在定直线上，否则动点的轨迹是过定点F 垂直于直线l 的一条直线）（一焦一顶一轴一准无心，也叫无心圆锥曲线）；p 是焦点F 到l 的距离，p 越大开口越大，反之越小。

二．抛物线的几何性质： 图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p(,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++三、焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(,0)2F(1) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

(2) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。

专题60：抛物线与直线的位置关系一、焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(,0)2p F (1) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

(2) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。

(3) 已知直线AB是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。

通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

二、切线方程三．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）图象)0(22>=p px y)0(22>-=p px y)0(22>=p py x)0(22>-=p py x切线方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+xy O lFxyOl FlF x y Oxy O l F四、相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21或2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21五．点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-，2121212y y px x y y +=--a.在涉及斜率问题时，212y y pk AB+=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，0212121222y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB=，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB的中点，则有px p x p x x k AB021222==+=题型一：直线与抛物线的位置关系例1：1．（2020·全国·高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.举一反三1．（多选）（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>【答案】BCD【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-，联立221y x x y=-⎧⎨=⎩，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点， 所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y =-⎧⎨=⎩，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又||OP ==，||OQ =所以2||||||2||OP OQ k OA ⋅==>=，故C 正确；因为1|||BP x =，2|||BQ x ，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD2．（2022·全国·模拟预测（文））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线:5l y kx =+，当15k =时，l 与C 相切．(1)求p 的值；(2)若l 交C 于B ，D 两点，点A 是C 上一点，ABD △的重心为F ，求k 的值． (1)解：因为155y x =+与22y px =相切， 故22151(22)2505252y x x p x y px⎧=+⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩， 所以21(22)425025p ∆=--⨯⨯=，解得2p =或0p =（舍去）.故2p =.(2)解：由（1）得24y x =，(1,0)F ，5y kx =+，且0k ≠，因为A 点是抛物线24y x =上一点，故设A 点坐标为2(,2)m m ，设1122(,),(,)B x y D x y ，则联立245y xy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得22(104)250k x k x +-+=，故22(104)4250k k ∆=--⨯>，解得15k <，且0k ≠，所以12122241025,k x x x x k k -+==，1212455y y kx kx k+=+++=， 又(1,0)F 为ABD △的中心，所以222121241013()134(2)020km m x x k m y y m k -⎧+=⎧⎪++⨯=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪++=+=⎩⎪⎩，整理得：28103k k -=，即231080k k +-=，解得：23k =或4k =-， 又15k <，且0k ≠，故4k =-.题型二：抛物线的弦长例2：（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:4C y x =，一条平行于x 轴的光线1l 从点()8,4P 射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线2l 射出，则AB =（ ） A ．7 B ．174C ．214D ．254【答案】D【详解】由题意可知，1l x ∥轴，又光线1l 从点()8,4P 射入，经过C 上的点A ， 所以(4,4)A ，又抛物线C 的焦点为(1,0)F ，所以直线AB 的方程为40(1)31y x -=--，即4(1)3y x =-，联立方程()24134y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理可得241740x x -+=，所以4x =或14x = 所以1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以151525||4344AB =-=⨯=.故选：D ． 举一反三（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知直线:10l x ky --=与抛物线2:2(0)N y px p =>交于A ，B 两点，当直线l x ⊥轴时，||4AB =.(1)求抛物线N 的标准方程；(2)在x 轴上求一定点C ，使得点(2,0)M p 到直线AC 和BC 的距离相等. 【解析】(1)当直线l x ⊥轴时，方程为1x =，代入抛物线方程得22y p =，y =∴||4AB ==，解得2p =.∴抛物线N 的标准方程为24y x =； (2)设()()(),,,,,0A A B B C A x y B x y C x .联立210,4,x ky y x --=⎧⎨=⎩得2440y ky --=.∴4,4A B A B y y k y y +=⋅=-.① 由题意可知()()()()0A B C B A C A BAC BC A C B C A C B C y x x y x x y y k k x x x x x x x x -+-+=+==----，∴()()0A B C B A C y x x y x x -+-=，即()B A A B C A B x y x y x y y +=+.∴()()()11B A A B C A B ky y ky y x y y +++=+，即()()2A B A B C A B ky y y y x y y ++=+. ∴844C k k kx -+=.∵0k ≠，可知1C x =-.∴点C 的坐标由抛物线的图象可知，还有点(1,0),(4,0)满足题意，故这样的点有3个，坐标分别为(1,0),(1,0),(4,0)-. 题型三：抛物线的焦点弦例3：1．（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14C ．12D ．10【答案】A【详解】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 举一反三1．（2014·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB = AB ．6C ．12 D．【答案】C试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB的方程为3)4y x =-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义得，12AB x x p =++=168312162+=，选C ． 2．（2020·海南·C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F∴直线AB的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x -=-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163题型四：抛物线的中点弦例4：1．（2022·山东泰安·二模）已知以F 为焦点的抛物线22y x =-上的两点A ，B （点A 的横坐标大于点B 的横坐标），满足OA OB FA λ-=（O 为坐标原点），弦AB 的中点M 的横坐标为56-，则实数λ=（ ）A ．32B ．43C ．3D ．4【答案】D【详解】由题意可得抛物线22y x =-的焦点1(,0)2F -.弦AB 的中点M 的横坐标为56-，由已知条件可知直线AB 的斜率存在.设直线AB 的方程为1()2y k x =+，112212(,),(,)()>A x y B x y x x ， 则联立22,1()2y x y k x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得2222(2)04+++=k k x k x ， ∴1214x x =，又因为弦AB 的中点M 的横坐标为56-，∴1253x x +=-，∴116x =-，232x =-，∴点A 到准线的距离为112||23=+=FA x ，点B 到准线的距离为2122=+=FB x ， 所以||1||3=FA FB ∴||1||4=FA AB ，又OA OB BA -=，OA OB FA λ-=故4λ=.故选：D 举一反三（多选）（2022·全国·模拟预测）设抛物线2:8C y x =与直线y x m =+相交于不同的两点A 、B ，弦AB 的垂直平分线与x 轴交于P ，与C 的准线交于Q ．下列结论正确的是（ ）A ．22m -<<B ．弦AB 中点的纵坐标是定值C ．存在唯一的m 使得60APB ∠=D ．存在唯一的m 使得PQ AB =【答案】BCD【详解】对于A 选项，联立28y x my x =+⎧⎨=⎩可得2880y y m -+=，则64320m ∆=->，解得2m <，A 错；对于B 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则128y y +=，128y y m =， 所以，弦AB 中点的纵坐标为1242y y +=，B 对；对于C 选项，AB ===易知线段AB 的中点为()4,4M m -，线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为8x y m +=-， 在直线8x y m +=-的方程中，令0y =，可得8x m =-，即点()8,0P m -，所以，)()48PM m m ---=因为60APB ∠=，且弦AB 的垂直平分线与x 轴交于P ，则APB △为等边三角形，所以，PM =，可得=43m =，C 对；对于D 选项，抛物线C 的准线方程为2x =-，则82PQ m m =-+-，因为PQ AB =m -=6m =-，合乎题意，D 对. 故选：BCD.题型五：抛物线中的参数范围与最值例5：1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知圆22:(3)1C x y -+=，若抛物线22(0)y px p =>上存在点M ，过点M 作圆C 的两条切线，切点,A B 满足60AMB ∠=，则实数p 的取值范围是（ ）A ．(0,3 B ．[()0,33∞⋃+C ．3⎡⎣D ．)3∞⎡+⎣【答案】A【详解】60,30,22AMB AMC CM AC ∠∠=∴=∴==，设点(),M x y ，则22y px = 22222(3)(3)2(26)94CM x y x px x p x ∴=-+=-+=+-+=即2(26)50x p x +-+= 有非负实根22Δ(26)454(64)0300p p p p p ⎧=--⨯=-+≥⎪∴->⎨⎪>⎩解得035p <≤故选：A2．（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 【详解】(1)抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =； （2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =； 当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0000992522530y y y y +≥⋅=，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的斜率为k ，则22229525⎛⎫==- ⎪⎝⎭y k x x x． 令11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭t t x ，则2292255=-+k t t 的对称轴为59t =，所以21110,933≤≤-≤≤k k ．故直线OQ 斜率的最大值为13．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ．因为(1,0),9=F PQ QF ，所以()24,49(1,)--=--x t y t x y ．于是249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩，所以21049104x t y t ⎧=+⎨=⎩则直线OQ的斜率为244194934==≤=++y t x t t t ． 当且仅当94t t=，即32t =时等号成立，所以直线OQ 斜率的最大值为13．举一反三1．（2014·湖南·高考真题（文））平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________________． 【答案】()(),11,-∞-⋃+∞试题分析：因为平面上机器人在进行中始终保持与点()1,0F 的距离和到直线1x =-的距离相等，所以机器人运动的轨迹表示以()1,0F 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，即24y x =，要使得机器人接触不到过点()1,0P -且斜率为k 的直线，此时直线的方程为(1)y k x =+，联立方程组2(1){4y k x y x=+=，整理得2222(24)0k x k x k -++=，由∆<0解得1k <-或1k >．2．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．解.(1)抛物线的准线为2px =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时=32pMF p +=，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =； (2)设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，120,4y y ∆>=-， 由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-，34223434444AB y y k y y y y -==+-， 直线112:2x MD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，130,8y y ∆>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MN AB k k y y y y ===++ 又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22MN AB k k αβ===，若要使αβ-最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤+++， 当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以当αβ-最大时，2AB k =，设直线:AB x n =+，代入抛物线方程可得240y n --=，34120,4416y y n y y ∆>=-==-，所以4n =，所以直线:4AB x =+.题型六：抛物线的定点、定值问题例6：（2019·全国·高考真题（文））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由． 【详解】（1）A 在直线0x y +=上 ∴设(),A t t -，则(),B t t -又AB 4= 2816t ∴=，解得：t M 过点A ，B ∴圆心M 必在直线y x =上设(),M a a ，圆的半径为rM 与20x +=相切 2r a ∴=+又MA MB r ==，即((222a a r +=((()2222a a a ∴+=+，解得：0a =或4a =当0a =时，2r =；当4a =时，6r =M ∴的半径为：2或6 （2）存在定点()1,0P ，使得1MA MP -=说明如下：A ，B 关于原点对称且AB 4=∴直线AB 必为过原点O 的直线，且2OA =①当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx =则M 的圆心M 必在直线1=-y x k上设(),M km m -，M 的半径为rM 与20x +=相切 2r km ∴=-+又r MA ==2km ∴-+24m km =-即M 点轨迹方程为：24y x =，准线方程为：1x =-，焦点()1,0F MA r =，即抛物线上点到2x =-的距离 ∴1MA MF =+1MA MF ∴-=∴当P 与F 重合，即P 点坐标为()1,0时，1MA MP -=②当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 方程为：0x =M ∴在x 轴上，设(),0Mn 2n ∴+=0n =，即()0,0M若()1,0P ，则211MA MP -=-=综上所述，存在定点()1,0P ，使得MA MP -为定值. 举一反三（2013·陕西·高考真题（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q, 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【详解】(Ⅰ)设动圆圆心C 的坐标为（ x , y ）则222224)0)4,=8.x y x y x -+-=+（（整理得所以，所求动圆圆心的轨迹C 的方程为2=8y x(Ⅱ)证明：设直线l 方程为y kx b =+，联立得22222228(82)0k x kbx b x k x kb x b ++=⇒--+=（其中32640kb ∆=-+>）设1122(,),(,)P x kx b Q x kx b ++,若x 轴是PBQ ∠的角平分线，则()1212121221121212()2·1+?(1)11(1)1(1)1QB PB kx x k b x x bkx b kx b kx b x kx b x k k x x x x x x +++++++++++=+==++++++（）（）（）（）（）()()2128()011k b k x x +==++，即k b =-故直线l 方程为(1)y k x =-，直线l 过定点.（1,0）题型七：抛物线中的定直线例7：（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））如图，过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AM ，AN ，BC ，BD 分别垂直于坐标轴，垂足依次为M ，N ，C ，D ．(1)若矩形ANOM 和矩形BDOC 面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的值； (2)求证：直线MN 与直线CD 交点在定直线上．【解析】(1)抛物线24y x =的焦点()1,0F ，显然直线AB 不垂直于y 轴，设其方程为：1x my =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得，2440y my --=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-，矩形ANOM 和矩形BDOC 面积分别为31111||4y S x y ==，32222||4y S x y ==，所以3123123|||||(4)|44416y y S S -⋅=⋅==． (2)由（1）得()1,0M x ，()10,N y ，()2,0C x ，()20,D y ， 于是得直线MN 的方程为：111y y x y x =-+，直线CD 的方程为：222yy x y x =-+，由111222y y x y x y y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 并整理得：121212)(y y x y y x x -=-，而12122112221212124()44y y y y y y y y y y x x y y --=-==-， 因此有1x =，即直线MN 与直线CD 交点在直线1x =上. 所以线MN 与直线CD 交点在定直线1x =上. 举一反三（2021·江苏南通·模拟预测）已知P 为抛物线2 :4C y x =上位于第一象限的点，F 为C 的焦点，PF 与C 交于点Q (异于点P ).直线l 与C 相切于点P ，与x 轴交于点M .过点P 作l 的垂线交C 于另一点N .（1）证明：线段MP 的中点在定直线上；（2）若点P的坐标为(2，试判断M ，Q ，N 三点是否共线. 【详解】（1）设()00,P x y ，则2004y x =，因为点P在第一象限，所以0y =对y =y '=l所以直线l的方程为)0y x x --，令0y =，则0x x =-，所以()0,0M x -， 所以线段MP 的中点为00,2y ⎫⎛ ⎪⎝⎭所以线段MP 的中点在定直线0x =上.（2）若(2,P ，则(2,0)M -.所以MP k =PF k = 因为PN l ⊥，所以PN k =:1)PF y x =-，直线:4)PN y x =-.由24, 1),y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2 2520x x -+=，所以1 2x =或2，所以1 ,2Q ⎛ ⎝，由24,4),y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得210160x x -+=，所以2x =或8，所以(8,N -. 因为(2,0)M -，1,2Q ⎛ ⎝，(8,N -，所以MQ k =，MN k =，所以点M ，Q ，N 三点共线. 题型八：抛物线中的向量运算例8：（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ， 所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++， 当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+， 当00y >时，因为0092530y y +≥=， 此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ． 设直线OQ 的斜率为k ，则22229525⎛⎫==- ⎪⎝⎭y k x x x ． 令11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭t t x ，则2292255=-+k t t 的对称轴为59t =，所以21110,933≤≤-≤≤k k ．故直线OQ 斜率的最大值为13．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ．因为(1,0),9=F PQ QF ，所以()24,49(1,)--=--x t y t x y ．于是249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩，所以21049104x t y t ⎧=+⎨=⎩则直线OQ 的斜率为244194934==≤=++y t x t t t ．当且仅当94t t=，即32t =时等号成立，所以直线OQ 斜率的最大值为13．举一反三（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =- ∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+ 联立2233x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --=则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t=-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB题型九：抛物线的应用例9：1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））如图某地一拱桥垂直轴截面是抛物线24x y =-，已知水利人员在某个时刻测得水面宽||4m AB =，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）A ．6mB ．4mC ．2mD ．1m【答案】D【详解】设B 点的坐标为(2)y ，，由抛物线方程24x y =-，得1y =-， 则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为1米故选：D ． 举一反三1．（2022·全国·模拟预测）如图所示，某桥是抛物线形拱桥，此时水面宽为4m ，经过一次暴雨后，水位上升了1m ，水面宽为3m ，则暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（ ）A ．7m 5B ．7m 9C ．9m 7D ．5m 7【答案】C【详解】以拱顶为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系.设抛物线方程为22x py =-，设3,2A t ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,1)B t -，则()924421pt p t ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得97t =-， 所以暴雨后的水面离桥拱顶的距离为9m 7.故选：C。