高考数学总复习教案：抛物线

高考数学抛物线复习教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：③通径：过焦点垂直于轴的弦长为。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：。

⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。

所有这样的圆过定点F、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。

所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。

所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：4抛物线的图像和性质：①焦点坐标是：，②准线方程是：。

③焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，④焦点弦长公式：过焦点弦长⑤抛物线上的动点可设为P或或P5一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk>0时开口向右x=─k/4到焦点的距离等于到准线x=─k/4的距离k<0时开口向左x2=kyk>0时开口向上y=─k/4到焦点的距离等于到准线y=─k/4的距离k<0时开口向下抛物线的定义：例1：点m与点F的距离比它到直线l：x－6=0的距离4.2，求点m的轨迹方程．分析：点m到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义．答案：y2=－16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y2=4x的焦点为F，则l的方程为y=x－1．由消去y得x2－6x+1=0．设A，B则x1+x2=6．又A、B两点到准线的距离为，，则点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

教学内容 抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p21．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p ＞0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义． [试一试]1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．1．转化思想在定义中应用抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离． 2．与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． [练一练]1．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________．2．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，|AF |＝2，则|BF |＝________，△OAB 的面积是________．考点一抛物线的标准方程及几何性质1.(2013·南通、扬州、泰州二模)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(2，m)到焦点的距离为6，则p＝________.2．(2013·苏州模底)抛物线y2＝4x的准线方程是________．3．从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．[类题通法]1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二抛物线的定义应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.归纳起来常见的命题角度有：(1)动弦中点到坐标轴距离最短问题；(2)距离之和最小问题；(3)焦点弦中距离之和最小问题.角度一动弦中点到坐标轴距离最短问题1．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．角度二距离之和最小问题2．(2014·哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．角度三焦点弦中距离之和最小问题3．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．[类题通法]与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三直线与抛物线的位置关系[典例](2014·无锡期末)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C.若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．[类题通法]求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．[针对训练](2014·南京摸底)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过点A作l的垂线，垂足为A1，则△AA1F的面积是________．[课堂练通考点]1．(2013·镇江期末)圆心在抛物线x2＝2y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为________．2．设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于________．3．过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为________．9．(2013·天津调研)设F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．10．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P，则点P的坐标为________．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·苏北四市二调)已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段F A交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝________.2．已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________．3．(2014·荆州模拟)如图，直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点F，交抛物线于点A、B，交抛物线的准线l于点C，若BC＝－2BF，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．4．(2014·黄冈月考)如图，A1，A2，A3，…，A n分别是抛物线y＝x2上的点，A1B1垂直于x轴，A1C1垂直于y轴，线段B1C1交抛物线于A2，再作A2B2⊥x轴，A2C2⊥y轴，线段B2C2交抛物线于A3，这样下去，分别可以得到A4，A5，…，A n，其中A1的坐标为(1,1)，则S矩形A n B n OC n＝________.。

第九章平面解析几何第9课时抛物线错误!考情分析考点新知建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．１了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质.２掌握抛物线的简单应用.１．已知抛物线的焦点坐标是（0，—３），则抛物线的标准方程是________．答案：x２＝—１２y解析：∵ 错误!＝３，∴p＝6，∴x２＝—１２y.２．抛物线y２＝—8x的准线方程是________．答案：x＝２解析：∵ ２p＝8，∴p＝４，故所求准线方程为x＝２．３．抛物线y＝ax２的准线方程是y＝２，则a的值是________．答案：—错误!解析：抛物线的标准方程为x２＝错误!y.则a＜0且２＝—错误!，得a＝—错误!.４．（选修１１P４４习题２改编）抛物线y２＝４x上一点M到焦点的距离为３，则点M的横坐标x ＝________．答案：２解析：∵ ２p＝４，∴p＝２，准线方程x＝—１．由抛物线定义可知，点M到准线的距离为３，则x＋１＝３，即x＝２．５．已知斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为________．答案：y２＝8x解析：依题意得，OF＝错误!，又直线l的斜率为２，可知AO＝２OF＝错误!，△AOF的面积等于错误!·AO·OF＝错误!＝４，则a２＝6４．又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y２＝8x.１．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．２．抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示）标准方程y２＝２px（p>0）y２＝—２px（p>0）图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R准线方程x＝—错误!x＝错误!焦点错误!错误!对称轴关于x轴对称顶点（0，0）离心率e＝１标准方程x２＝２py（p>0）x２＝—２py（p>0）图形性质范围y≥0，x∈R y≤0，x∈R 准线方程y＝—错误!y＝错误!焦点错误!错误!对称轴关于y轴对称顶点（0，0）离心率e＝１题型１求抛物线的基本量例１抛物线y２＝8x的焦点到准线的距离是________．答案：４解析：由y２＝２px＝8x知p＝４，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为４．错误!抛物线y２＝—8x的准线方程是________．答案：x＝２解析：∵２p＝8，∴p＝４，准线方程为x＝２．题型２求抛物线的方程例２（选修１１P４４习题５改编）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线２x—y—４＝0上，求抛物线的标准方程．解：直线２x—y—４＝0与x轴的交点是（２，0），与y轴的交点是（0，—４）．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则１若抛物线焦点在x轴上，则抛物线的标准方程是y２＝8x；２若抛物线焦点在y轴上，则抛物线的标准方程是x２＝—１6y；故所求抛物线方程为y２＝8x或x２＝—１6y.错误!已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y２＝２px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝错误!x，△AOB的面积为6错误!，求该抛物线的方程．解：∵ OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y＝错误!x，OB所在直线的方程为y＝—错误!x，由错误!得A点坐标为错误!，由错误!得B点坐标为（6p，—２错误!p），∴OA＝错误!|p|，OB＝４错误!|p|，又S△OAB＝错误!p２＝6错误!，∴p＝±错误!.∴该抛物线的方程为y２＝３x或y２＝—３x.题型３抛物线的几何性质探究例３在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（２，２），其焦点F在x轴上．（１）求抛物线C的标准方程；（２）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（３）设过点M（m，0）（m>0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝２DM，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．解：（１）由题意，可设抛物线C的标准方程为y２＝２px.因为点A（２，２）在抛物线C上，所以p ＝１.因此抛物线C的标准方程为y２＝２x.（２）由（１）可得焦点F的坐标是错误!，又直线OA的斜率为错误!＝１，故与直线OA垂直的直线的斜率为—１，因此所求直线的方程是x＋y—错误!＝0．（３）（解法１）设点D和E的坐标分别为（x１，y１）和（x２，y２），直线DE的方程是y＝k（x—m），k≠0．将x＝错误!＋m代入y２＝２x，有ky２—２y—２km＝0，解得y１，２＝错误!.由ME＝２DM知１＋错误!＝２（错误!—１），化简得k２＝错误!.因此DE２＝（x１—x２）２＋（y１—y２）２＝错误!（y１—y２）２＝错误!错误!＝错误!（m２＋４m），所以f（m）＝错误!错误!（m>0）．（解法２）设D错误!，E错误!.由点M（m，0）及错误!＝２错误!，得错误!t２—m＝２错误!，t—0＝２（0—s）．因此t＝—２s，m＝s２.所以f（m）＝DE＝错误!＝错误!错误!（m>0）．错误!抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２，该抛物线上的每个点到准线x＝—２的距离都与到定点N 的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆，（１）求定点N的坐标；（２）是否存在一条直线l同时满足下列条件：１l分别与直线l１和l２交于A、B两点，且AB中点为E（４，１）；２l被圆N截得的弦长为２．解：（１）因为抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２．所以p＝４，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为（２，0）．（２）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y—１＝k（x—４），k≠±１．以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆N的半径为错误!.因为l被圆N截得的弦长为２，所以圆心到直线的距离等于１, 即d＝错误!＝１，解得k＝0或错误!，当k＝0时，显然不合AB中点为E （４，１）的条件，矛盾，当k＝错误!时，l的方程为４x—３y—１３＝0．由错误!，解得点A的坐标为（１３，１３）；由错误!，解得点B的坐标为错误!.显然AB中点不是E（４，１），矛盾，所以不存在满足条件的直线l.１．抛物线y＝—x２上的点到直线４x＋３y—8＝0的距离的最小值是________．答案：错误!解析：设抛物线y＝—x２上一点为（m，—m２），该点到直线４x＋３y—8＝0的距离为错误!，当m ＝错误!时，取得最小值错误!.２．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为２．若抛物线C２：x２＝２py（p>0）的焦点到双曲线C１的渐近线的距离为２，则抛物线C２的方程为________．答案：x２＝１6y解析：∵ 双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，∴错误!＝错误!＝２，∴b ＝错误!a，∴双曲线的渐近线方程为错误!x±y＝0，∴抛物线C２：x２＝２py（p＞0）的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为错误!＝２，∴p＝8．∴ 所求的抛物线方程为x２＝１6y.３．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（２，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为３，则OM＝________．答案：２错误!解析：依题意，设抛物线方程是y２＝２px（p>0），则有２＋错误!＝３，得p＝２，故抛物线方程是y２＝４x，点M的坐标是（２，±２错误!），OM＝错误!＝２错误!.４．已知抛物线D的顶点是椭圆C：错误!＋错误!＝１的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（１）求抛物线D的方程；（２）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．１若直线l的斜率为１，求MN的长；２是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：（１）由题意，可设抛物线方程为y２＝２px（p>0）．由a２—b２＝４—３＝１，得c＝１，∴抛物线的焦点为（１，0），∴p＝２．∴抛物线D的方程为y２＝４x.（２）设M（x１，y１），N（x２，y２）．１直线l的方程为y＝x—４，联立错误!整理得x２—１２x＋１6＝0，即M（6—２错误!，２—２错误!），N（6＋２错误!，２＋２错误!），∴MN＝错误!＝４错误!.２设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心E错误!，过E作直线x＝a的垂线，垂足为E′，设直线m 与圆E的一个交点为G.可得|E′G|２＝|EG|２—|EE′|２，即|E′G|２＝|EA|２—|EE′|２＝错误!—错误!错误!＝错误! y错误!＋错误!＋a（x１＋４）—a２＝x１—４x１＋a（x１＋４）—a２＝（a—３）x１＋４a—a２.当a＝３时，|E′G|２＝３，此时直线m被以AM为直径的圆E所截得的弦长恒为定值２错误!，因此存在直线m：x＝３满足题意．５．如图，等边三角形OAB的边长为8错误!，且其三个顶点均在抛物线E：x２＝２py（p>0）上．（１）求抛物线E的方程；（２）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝—１相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．解：（１）依题意，OB＝8错误!，∠BOy＝３0°.设B（x，y），则x＝OBsin３0°＝４错误!，y＝OBcos ３0°＝１２．因为点B（４错误!，１２）在x２＝２py上，所以（４错误!）２＝２p×１２，解得p＝２．故抛物线E的方程为x２＝４y.（２）由（１）知y＝错误!x２，y′＝错误!x.设P（x0，y0），则x0≠0，y0＝错误!x错误!，且l的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），即y＝错误!x0x—错误!x错误!.由错误!得错误!所以Q为错误!.设M（0，y１），令错误!·错误!＝0对满足y0＝错误!x错误!（x0≠0）的x0，y0恒成立．由于错误!＝（x0，y0—y１），错误!＝错误!，由错误!·错误!＝0，得错误!—y0—y0y１＋y１＋y错误!＝0，即（y错误!＋y１—２）＋（１—y１）y0＝0．（*）由于（*）式对满足y0＝错误!x错误!（x0≠0）的y0恒成立，所以错误!解得y１＝１．故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，１）．１．（文）已知抛物线y２＝２px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．答案：相切解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，A１、B１分别为A、B在直线l上的射影，则|AA|＝|AF|，|BB１|＝|BF|，于是M到l的距离d＝错误!（|AA１|＋|BB１|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|１＝半径，故相切．（理）下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面２m，水面宽４m．水位下降１m后，水面宽________ m.答案：２错误!解析：设抛物线的方程为x２＝—２py，则点（２，—２）在抛物线上，代入可得p＝１，所以x２＝—２y.当y＝—３时，x２＝6，即x＝±错误!，所以水面宽为２错误!.２．（文）已知抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为２的正三角形，则p的值是________．答案：２±错误!解析：依题意得F错误!，设P错误!，Q错误!（y１≠y２）．由抛物线定义及PF＝QF，得错误!＋错误!＝错误!＋错误!，所以y错误!＝y错误!，所以y１＝—y２.又PQ＝２，因此|y１|＝|y２|＝１，点P错误!.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF＝错误!＋错误!＝２，由此解得p＝２±错误!.（理）拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为错误!，求拋物线与双曲线方程．解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝２c，设拋物线方程为y２＝４c·x.∵拋物线过点错误!，∴6＝４c·错误!.∴c＝１，故拋物线方程为y２＝４x.又双曲线错误!—错误!＝１过点错误!，∴错误!—错误!＝１．又a２＋b２＝c２＝１，∴错误!—错误!＝１．∴a２＝错误!或a２＝9（舍）．∴b ２＝错误!，故双曲线方程为４x２—错误!＝１．３．（文）如图，过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点Ｃ．若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝３，则此抛物线的方程为________．答案：y２＝３x解析：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离．由|BC|＝２|BF|，得∠BCM＝３0°.又|AF|＝３，从而A错误!.由A在抛物线上，代入抛物线方程y２＝２px，解得p＝错误!.（理）如图所示，直线l１和l２相交于点M，l１⊥l２，点N∈l１，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l２的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝错误!，|AN|＝３，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解：以直线l１为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l２为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．设曲线段C的方程为y２＝２px（p＞0）（x A≤x≤x B，y＞0），其中x A、x B为A、B的横坐标，p＝|MN|，∴M错误!、N错误!.由|AM|＝错误!，|AN|＝３，得错误!错误!＋２px A＝１7，１错误!错误!＋２px A＝9．２联立１２，解得x A＝错误!，代入１式，并由p＞0，解得错误!或错误!∵△AMN为锐角三角形，∴错误!＞x A.∴错误!由点B在曲线段C上，得x B＝|BN|—错误!＝４．综上，曲线C的方程为y２＝8x（１≤x≤４，y>0）．４．（文）求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．（１）过点（—３，２）；（２）焦点在直线x—２y—４＝0上．解：（１）设所求抛物线的方程为y２＝—２px或x２＝２py（p＞0）．∵过点（—３，２），∴４＝—２p（—３）或9＝２p·２．∴p＝错误!或p＝错误!.∴所求抛物线的方程为y２＝—错误!x或x２＝错误!y，前者的准线方程是x＝错误!，后者的准线方程是y＝—错误!.（２）令x＝0得y＝—２，令y＝0得x＝４，∴抛物线的焦点为（４，0）或（0，—２）．当焦点为（４，0）时，错误!＝４，∴p＝8，此时抛物线的方程为y２＝１6x；焦点为（0，—２）时，错误!＝２，∴p＝４，此时抛物线的方程为x２＝—8y.∴所求抛物线的方程为y２＝１6x或x２＝—8y，对应的准线方程分别是x＝—４，y＝２．（理）已知定点F（0，１）和直线l１：y＝—１，过定点F与直线l１相切的动圆圆心为点Ｃ．（１）求动点C的轨迹方程；（２）过点F的直线l２交轨迹于两点P、Q，交直线l１于点R，求错误!·错误!的最小值．解：（１）由题设点C到点F的距离等于它到l１的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l１为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x２＝４y.（２）由题意直线l２的方程为y＝kx＋１，与抛物线方程联立消去y，得x２—４kx—４＝0．记P（x１，y１），Q（x２，y２），则x１＋x２＝４k，x１x２＝—４．由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为错误!，错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!＋（kx１＋２）（kx２＋２）＝（１＋k２）x１x２＋错误!（x１＋x２）＋错误!＋４＝—４（１＋k２）＋４k错误!＋错误!＋４＝４错误!＋8．∵k２＋错误!≥２，当且仅当k２＝１时取到等号．∴错误!·错误!≥４×２＋8＝１6，即错误!·错误!的最小值为１6．１．涉及抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解．２．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p，但要注意判断标准方程的形式．３．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．错误![备课札记]。

抛物线复习数学教案教学设计【标准格式文本】教案教学设计：抛物线复习数学一、教学目标1. 知识目标：复习抛物线的基本概念、性质和相关公式，巩固学生对抛物线的理解。

2. 能力目标：培养学生观察、分析和解决抛物线相关问题的能力，提高其数学思维和解题能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学学习兴趣和自信心。

二、教学重点与难点1. 重点：抛物线的基本概念、性质和相关公式的复习。

2. 难点：运用抛物线的相关知识解决实际问题。

三、教学准备1. 教学工具：投影仪、电脑、教学PPT。

2. 教学素材：抛物线的相关例题和练习题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一张抛物线的图片，引导学生回顾抛物线的基本形状和特点，并与学生进行简要的讨论。

2. 复习抛物线的基本概念（15分钟）通过教学PPT，复习抛物线的定义、顶点、对称轴、焦点和准线等基本概念，并与学生一起解析相关概念的含义和特点。

3. 复习抛物线的性质（20分钟）a. 复习抛物线的对称性：通过教学PPT，引导学生回顾抛物线的对称性，并通过具体例题进行巩固。

b. 复习抛物线的焦点和准线：通过教学PPT，讲解焦点和准线的定义和性质，并通过实例演示焦点和准线的求解方法。

4. 复习抛物线的相关公式（20分钟）a. 复习抛物线的顶点坐标：通过教学PPT，复习抛物线顶点坐标的计算方法，并通过例题进行巩固。

b. 复习抛物线的焦点坐标：通过教学PPT，讲解焦点坐标的计算方法，并通过实例演示焦点坐标的求解过程。

c. 复习抛物线的准线方程：通过教学PPT，复习准线方程的推导和计算方法，并通过例题进行巩固。

5. 运用抛物线解决实际问题（25分钟）通过教学PPT，给出一些实际问题，引导学生运用抛物线的相关知识进行分析和解决。

教师可以提供一些具体实例，如抛物线的应用于建造设计、物理运动等领域，激发学生的学习兴趣和思量能力。

6. 小结与反思（10分钟）对本节课的内容进行小结，并与学生进行互动交流。

第3节抛 物 线（高三一轮复习 温小鹏）1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)． 2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① px y 22=，焦点为 ，准线为 ． ② px y 22-=，焦点为 ，准线为 ． ③ py x 22=，焦点为 ，准线为 ．④ py x 22-=，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB＝ ，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB＝． 特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB＝ ．iii) S △AOB ＝ （表示成P 与θ的关系式）． iv)||1||1BF AF +为定值，且等于 ．例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．解：设抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则焦点是F )0,2(p -∵点A(－3，n )在抛物线上，且| AF |＝5故⎪⎩⎪⎨⎧=++-=5)23(6222n p P n 解得P ＝4，62±=n故所求抛物线方程为62,82±=-=n x y变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．解：因为对称轴是x 轴，可设抛物线方程为px y 22=或)0(22>-=p px y ∵62=p，∴p ＝12故抛物线方程为x y 242=或2y x 24-=例2. 已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ． (1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB的最小值．解：(1)解法一：设直线l 的方程为：01=-+my x 代入x y 42=整理得，0442=-+my y 设),(),,(2211y x B y x A则21,y y 是上述关于y 的方程的两个不同实根，所以m y y 421-=+ 根据抛物线的定义知：| AB |＝221++x x ＝)1(42)1()1(221+=+-+-m my my 若316||=AB ，则33,316)1(42±==+m m即直线l 有两条，其方程分别为：0133,0133=--=-+y x y x 解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝θ2sin 2P(θ为AB 的倾斜角)易知sinθ＝±23，即直线AB 的斜率k ＝tanθ＝±3，故所求直线方程为：0133=-+y x 或0133=--y x . (2) 由(1)知，4)1(4||2≥+=m AB 当且仅当0=m 时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝θ2sin 2P＝θ2sin 4∴ |AB|min ＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°)变式训练2：过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无数条D ．不存在解：B例3. 若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标． 解：抛物线x y 22=的准线方程为21-=x过P 作PQ 垂直于准线于Q 点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |要使| PA |＋| PQ |最小，A 、P 、Q 三点必共线，即AQ 垂直于准线，AQ 与抛物线的交点为P 点从而|PA|＋|PF|的最小值为27213=+此时P 的坐标为(2，2)变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是 。

高中数学抛物线教案教案标题：高中数学抛物线教案教案目标：1. 了解抛物线的定义和性质；2. 掌握抛物线的标准方程和顶点坐标的求解方法；3. 理解抛物线的平移、缩放和翻转变换；4. 能够应用抛物线解决实际问题。

教学重点：1. 抛物线的标准方程和顶点坐标的求解方法；2. 抛物线的平移、缩放和翻转变换。

教学难点：1. 抛物线的平移、缩放和翻转变换的理解和应用。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算器、教学课件；2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问引导学生回顾之前学过的二次函数的知识，如二次函数的图像、性质等。

二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过投影仪展示抛物线的定义和性质，包括焦点、准线、顶点等。

2. 教师详细讲解抛物线的标准方程和顶点坐标的求解方法，并通过示例演示。

三、示范与练习（20分钟）1. 教师通过投影仪展示几个抛物线的图像，并引导学生观察和分析。

2. 学生根据教师的示范，自主完成几道标准方程和顶点坐标的求解练习题。

四、拓展与应用（15分钟）1. 教师通过投影仪展示抛物线的平移、缩放和翻转变换的概念和公式，并通过示例演示。

2. 学生根据教师的示范，自主完成几道抛物线的平移、缩放和翻转变换练习题。

五、实际问题解决（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用抛物线的知识解决，并引导学生分析问题、建立方程、求解等步骤。

六、总结与反思（5分钟）1. 教师与学生共同总结本节课所学的抛物线知识点，并回答学生提出的问题。

2. 学生进行自我反思，总结学习中的困难和收获。

教学延伸：1. 学生可以通过课后作业进一步巩固抛物线的相关知识；2. 学生可以通过实际生活中的例子，观察和分析抛物线的应用。

教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的表现，包括参与度、理解程度等；2. 教师布置课后作业，检查学生对抛物线知识的掌握程度；3. 教师可以通过小测验或者期中考试等形式对学生的学习效果进行评价。

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的第二节《抛物线》。

详细内容包括：1. 抛物线的定义与标准方程；2. 抛物线的简单几何性质；3. 抛物线的焦点、准线及其应用；4. 实践活动中抛物线的绘制。

二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；2. 培养学生运用抛物线的焦点、准线解决实际问题的能力；3. 激发学生学习兴趣，培养空间想象力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程、简单几何性质及焦点、准线。

难点：抛物线焦点、准线的求解与应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 引入：通过展示生活中抛物线的实例（如抛物线运动、拱桥等），引出本节课的主题——抛物线。

2. 新课导入：讲解抛物线的定义，引导学生观察抛物线的特点，推导抛物线的标准方程。

3. 知识讲解：（1）抛物线的定义与标准方程；（2）抛物线的简单几何性质；（3）抛物线的焦点、准线及其应用。

4. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线的焦点、准线；（3）抛物线在实际问题中的应用。

5. 随堂练习：针对例题进行变式训练，巩固所学知识。

6. 实践活动：分组讨论，利用学具绘制抛物线，观察抛物线的性质，加深对知识的理解。

六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 简单几何性质：对称性、开口方向、顶点、渐近线；4. 焦点、准线：F（p,0），x=p；5. 例题与解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）求抛物线x^2=4y的顶点、对称轴；（3）抛物线y^2=4x与直线y=2x+1相交，求交点坐标。

2. 答案：（1）焦点F（2,0），准线x=2；（2）顶点（0,0），对称轴y轴；（3）交点（2,5）。

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。

具体内容包括：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。

二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、性质和标准方程。

2. 能够运用抛物线的性质解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质和标准方程。

难点：抛物线标准方程的推导及其在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线实例，如拱桥、篮球抛物线等，引导学生思考抛物线的性质和用途。

2. 基本概念：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的起源，引导学生理解抛物线的定义。

（2）抛物线的性质：通过动画演示，让学生观察抛物线的对称性、顶点、焦点等性质。

（3）抛物线的标准方程：引导学生根据性质推导出抛物线的标准方程。

3. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程。

（2）已知抛物线上一点，求该点处的切线方程。

4. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线。

（2）求下列抛物线的标准方程。

5. 应用拓展：（1）抛物线在实际问题中的应用。

（2）抛物线与圆、直线等图形的位置关系。

六、板书设计1. 定义、性质、标准方程。

2. 例题解答步骤。

3. 课后作业及答案。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列抛物线的标准方程：① y²=4x；② x²=4y；③ y²=8x；④ x²=8y。

（2）已知抛物线y²=4x上一点（1，2），求该点处的切线方程。

2. 答案：（1）① y²=4x，焦点（1，0），顶点（0，0）；② x²=4y，焦点（0，1），顶点（0，0）；③ y²=8x，焦点（2，0），顶点（0，0）；④ x²=8y，焦点（0，2），顶点（0，0）。