高考高三数学总复习教案：抛物线

高中数学抛物线教案
教学目标：
1. 能够理解抛物线的定义和特点；
2. 能够求解抛物线的顶点、焦点、焦距等相关参数；
3. 能够应用抛物线知识解决实际问题。

教学重点：
1. 抛物线的标准方程；
2. 抛物线的顶点、焦点和焦距；
3. 抛物线的相关实际问题。

教学难点：
1. 利用给定的抛物线方程求解相关参数；
2. 解决实际问题时的抽象思维能力。

教学准备：
1. 投影仪、电脑或手写板；
2. 教材、讲义、课件；
3. 实例题目。

教学过程：
一、引入：
1. 引导学生回顾抛物线的定义和特点；
2. 提出学生熟悉的实际例子，如抛物线反射问题或者悬挂问题，引发学生兴趣。

二、讲解：
1. 讲解抛物线的标准方程及与二次函数的关系；
2. 讲解抛物线的顶点、焦点、焦距、对称轴等相关概念；
3. 解析求解抛物线的顶点、焦点和焦距的方法。

三、练习：
1. 给学生提供一些抛物线的相关例题，让学生自行求解；
2. 给学生布置一些实际问题，让学生应用抛物线知识解决。

四、总结：
1. 总结抛物线的相关知识点和解题方法；
2. 强调学生在学习数学知识时要注重实际应用。

五、作业：
1. 布置相关的抛物线练习题，让学生巩固知识点；
2. 提出实际问题，要求学生应用所学知识解决。

教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握抛物线的相关知识，能够正确求解抛物线的参数和应用抛物线知识解决实际问题。

教师也应该注意引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

抛物线复习数学教案教学设计【标准格式文本】教案教学设计：抛物线复习数学一、教学目标1. 知识目标：复习抛物线的基本概念、性质和相关公式，巩固学生对抛物线的理解。

2. 能力目标：培养学生观察、分析和解决抛物线相关问题的能力，提高其数学思维和解题能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学学习兴趣和自信心。

二、教学重点与难点1. 重点：抛物线的基本概念、性质和相关公式的复习。

2. 难点：运用抛物线的相关知识解决实际问题。

三、教学准备1. 教学工具：投影仪、电脑、教学PPT。

2. 教学素材：抛物线的相关例题和练习题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一张抛物线的图片，引导学生回顾抛物线的基本形状和特点，并与学生进行简要的讨论。

2. 复习抛物线的基本概念（15分钟）通过教学PPT，复习抛物线的定义、顶点、对称轴、焦点和准线等基本概念，并与学生一起解析相关概念的含义和特点。

3. 复习抛物线的性质（20分钟）a. 复习抛物线的对称性：通过教学PPT，引导学生回顾抛物线的对称性，并通过具体例题进行巩固。

b. 复习抛物线的焦点和准线：通过教学PPT，讲解焦点和准线的定义和性质，并通过实例演示焦点和准线的求解方法。

4. 复习抛物线的相关公式（20分钟）a. 复习抛物线的顶点坐标：通过教学PPT，复习抛物线顶点坐标的计算方法，并通过例题进行巩固。

b. 复习抛物线的焦点坐标：通过教学PPT，讲解焦点坐标的计算方法，并通过实例演示焦点坐标的求解过程。

c. 复习抛物线的准线方程：通过教学PPT，复习准线方程的推导和计算方法，并通过例题进行巩固。

5. 运用抛物线解决实际问题（25分钟）通过教学PPT，给出一些实际问题，引导学生运用抛物线的相关知识进行分析和解决。

教师可以提供一些具体实例，如抛物线的应用于建造设计、物理运动等领域，激发学生的学习兴趣和思量能力。

6. 小结与反思（10分钟）对本节课的内容进行小结，并与学生进行互动交流。

第3节抛 物 线（高三一轮复习 温小鹏）1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)． 2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① px y 22=，焦点为 ，准线为 ． ② px y 22-=，焦点为 ，准线为 ． ③ py x 22=，焦点为 ，准线为 ．④ py x 22-=，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB＝ ，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB＝． 特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB＝ ．iii) S △AOB ＝ （表示成P 与θ的关系式）． iv)||1||1BF AF +为定值，且等于 ．例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．解：设抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则焦点是F )0,2(p -∵点A(－3，n )在抛物线上，且| AF |＝5故⎪⎩⎪⎨⎧=++-=5)23(6222n p P n 解得P ＝4，62±=n故所求抛物线方程为62,82±=-=n x y变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．解：因为对称轴是x 轴，可设抛物线方程为px y 22=或)0(22>-=p px y ∵62=p，∴p ＝12故抛物线方程为x y 242=或2y x 24-=例2. 已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ． (1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB的最小值．解：(1)解法一：设直线l 的方程为：01=-+my x 代入x y 42=整理得，0442=-+my y 设),(),,(2211y x B y x A则21,y y 是上述关于y 的方程的两个不同实根，所以m y y 421-=+ 根据抛物线的定义知：| AB |＝221++x x ＝)1(42)1()1(221+=+-+-m my my 若316||=AB ，则33,316)1(42±==+m m即直线l 有两条，其方程分别为：0133,0133=--=-+y x y x 解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝θ2sin 2P(θ为AB 的倾斜角)易知sinθ＝±23，即直线AB 的斜率k ＝tanθ＝±3，故所求直线方程为：0133=-+y x 或0133=--y x . (2) 由(1)知，4)1(4||2≥+=m AB 当且仅当0=m 时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝θ2sin 2P＝θ2sin 4∴ |AB|min ＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°)变式训练2：过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无数条D ．不存在解：B例3. 若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标． 解：抛物线x y 22=的准线方程为21-=x过P 作PQ 垂直于准线于Q 点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |要使| PA |＋| PQ |最小，A 、P 、Q 三点必共线，即AQ 垂直于准线，AQ 与抛物线的交点为P 点从而|PA|＋|PF|的最小值为27213=+此时P 的坐标为(2，2)变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是 。

高中抛物线数学教案
主题：抛物线
一、教学目标：
1. 理解抛物线的定义和性质；
2. 掌握抛物线的标准方程及相关计算方法；
3. 熟练运用抛物线相关知识解决实际问题。

二、教学重点和难点：
重点：抛物线的定义、标准方程及相关性质；
难点：抛物线的几何意义及应用问题的解决。

三、教学过程：
1. 导入新知识（5分钟）
通过展示抛物线的图片和实际应用场景，引导学生了解抛物线的形态和特点。

2. 学习抛物线的定义和性质（15分钟）
讲解抛物线的定义，并介绍抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质，让学生理解抛物线的基本概念。

3. 学习抛物线的标准方程（20分钟）
教师讲解抛物线的标准方程及其推导过程，让学生掌握如何根据给定的抛物线特点确定其标准方程。

4. 练习抛物线相关计算（20分钟）
让学生通过练习题目，熟悉抛物线的计算方法，包括焦点、顶点、焦距等的计算。

5. 解决实际问题（15分钟）
通过实际应用问题的讨论与解答，引导学生灵活运用抛物线知识解决实际问题，并培养学生的数学建模能力。

6. 总结和作业布置（5分钟）
对抛物线相关知识进行总结，并布置相关练习作业，巩固学生的学习成果。

四、教学手段：
1. 教师讲解；
2. 课堂练习；
3. 实际应用问题讨论。

五、教学反思：
本节课主要围绕抛物线的定义、标准方程及相关计算展开，注重培养学生的问题解决能力和建模能力。

通过实践与讨论，让学生真正理解抛物线的几何意义和应用价值，为他们的数学学习打下坚实基础。

高中数学抛物线教案教案标题：高中数学抛物线教案教案目标：1. 了解抛物线的定义和性质；2. 掌握抛物线的标准方程和顶点坐标的求解方法；3. 理解抛物线的平移、缩放和翻转变换；4. 能够应用抛物线解决实际问题。

教学重点：1. 抛物线的标准方程和顶点坐标的求解方法；2. 抛物线的平移、缩放和翻转变换。

教学难点：1. 抛物线的平移、缩放和翻转变换的理解和应用。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算器、教学课件；2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问引导学生回顾之前学过的二次函数的知识，如二次函数的图像、性质等。

二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过投影仪展示抛物线的定义和性质，包括焦点、准线、顶点等。

2. 教师详细讲解抛物线的标准方程和顶点坐标的求解方法，并通过示例演示。

三、示范与练习（20分钟）1. 教师通过投影仪展示几个抛物线的图像，并引导学生观察和分析。

2. 学生根据教师的示范，自主完成几道标准方程和顶点坐标的求解练习题。

四、拓展与应用（15分钟）1. 教师通过投影仪展示抛物线的平移、缩放和翻转变换的概念和公式，并通过示例演示。

2. 学生根据教师的示范，自主完成几道抛物线的平移、缩放和翻转变换练习题。

五、实际问题解决（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用抛物线的知识解决，并引导学生分析问题、建立方程、求解等步骤。

六、总结与反思（5分钟）1. 教师与学生共同总结本节课所学的抛物线知识点，并回答学生提出的问题。

2. 学生进行自我反思，总结学习中的困难和收获。

教学延伸：1. 学生可以通过课后作业进一步巩固抛物线的相关知识；2. 学生可以通过实际生活中的例子，观察和分析抛物线的应用。

教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的表现，包括参与度、理解程度等；2. 教师布置课后作业，检查学生对抛物线知识的掌握程度；3. 教师可以通过小测验或者期中考试等形式对学生的学习效果进行评价。

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的第二节《抛物线》。

详细内容包括：1. 抛物线的定义与标准方程；2. 抛物线的简单几何性质；3. 抛物线的焦点、准线及其应用；4. 实践活动中抛物线的绘制。

二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；2. 培养学生运用抛物线的焦点、准线解决实际问题的能力；3. 激发学生学习兴趣，培养空间想象力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程、简单几何性质及焦点、准线。

难点：抛物线焦点、准线的求解与应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 引入：通过展示生活中抛物线的实例（如抛物线运动、拱桥等），引出本节课的主题——抛物线。

2. 新课导入：讲解抛物线的定义，引导学生观察抛物线的特点，推导抛物线的标准方程。

3. 知识讲解：（1）抛物线的定义与标准方程；（2）抛物线的简单几何性质；（3）抛物线的焦点、准线及其应用。

4. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线的焦点、准线；（3）抛物线在实际问题中的应用。

5. 随堂练习：针对例题进行变式训练，巩固所学知识。

6. 实践活动：分组讨论，利用学具绘制抛物线，观察抛物线的性质，加深对知识的理解。

六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 简单几何性质：对称性、开口方向、顶点、渐近线；4. 焦点、准线：F（p,0），x=p；5. 例题与解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）求抛物线x^2=4y的顶点、对称轴；（3）抛物线y^2=4x与直线y=2x+1相交，求交点坐标。

2. 答案：（1）焦点F（2,0），准线x=2；（2）顶点（0,0），对称轴y轴；（3）交点（2,5）。

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。

具体内容包括：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。

二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、性质和标准方程。

2. 能够运用抛物线的性质解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质和标准方程。

难点：抛物线标准方程的推导及其在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线实例，如拱桥、篮球抛物线等，引导学生思考抛物线的性质和用途。

2. 基本概念：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的起源，引导学生理解抛物线的定义。

（2）抛物线的性质：通过动画演示，让学生观察抛物线的对称性、顶点、焦点等性质。

（3）抛物线的标准方程：引导学生根据性质推导出抛物线的标准方程。

3. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程。

（2）已知抛物线上一点，求该点处的切线方程。

4. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线。

（2）求下列抛物线的标准方程。

5. 应用拓展：（1）抛物线在实际问题中的应用。

（2）抛物线与圆、直线等图形的位置关系。

六、板书设计1. 定义、性质、标准方程。

2. 例题解答步骤。

3. 课后作业及答案。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列抛物线的标准方程：① y²=4x；② x²=4y；③ y²=8x；④ x²=8y。

（2）已知抛物线y²=4x上一点（1，2），求该点处的切线方程。

2. 答案：（1）① y²=4x，焦点（1，0），顶点（0，0）；② x²=4y，焦点（0，1），顶点（0，0）；③ y²=8x，焦点（2，0），顶点（0，0）；④ x²=8y，焦点（0，2），顶点（0，0）。

教学目标：1. 让学生理解抛物线的定义和性质，掌握抛物线的标准方程。

2. 通过实例和练习，让学生学会如何求解抛物线上的点、弦和切线等。

3. 培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学应用能力。

教学重难点：1. 抛物线的定义和性质2. 抛物线的标准方程3. 抛物线上的点、弦和切线的求解教学过程：一、导入1. 复习二次函数的定义和性质，引导学生回顾二次函数的图像特点。

2. 提出问题：如果二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线，我们称它为什么？二、新课讲解1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

2. 抛物线的性质：a. 抛物线是关于其对称轴对称的。

b. 抛物线的顶点是焦点和准线的中点。

c. 抛物线的开口方向由焦点和准线的位置关系决定。

3. 抛物线的标准方程：$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）。

4. 抛物线的求解：a. 求抛物线上的点：给定横坐标$x$，代入抛物线方程求解纵坐标$y$。

b. 求抛物线上的弦：给定两个横坐标$x_1$和$x_2$，代入抛物线方程求解对应的纵坐标$y_1$和$y_2$，得到弦的两个端点坐标。

c. 求抛物线上的切线：给定横坐标$x$，代入抛物线方程求解纵坐标$y$，得到切点的坐标，再根据导数的几何意义求解切线方程。

三、例题讲解1. 例1：已知抛物线$y=x^2-2x+1$，求其焦点和准线。

2. 例2：已知抛物线$y=-2x^2+4x-3$，求其开口方向、顶点坐标和焦点坐标。

四、课堂练习1. 完成课后习题，巩固所学知识。

2. 求解下列抛物线上的点、弦和切线：a. $y=x^2-3x+2$，求点$(1,0)$处的切线方程。

b. $y=-2x^2+8x-7$，求点$(2,3)$处的切线方程。

五、总结1. 回顾本节课所学内容，强调抛物线的定义、性质和求解方法。

2. 鼓励学生在日常生活中发现和应用抛物线，提高数学素养。

教学反思：1. 通过本节课的学习，学生应该掌握了抛物线的定义、性质和求解方法。

高三数学《抛物线》教案教学文档一、教学内容本节课选自高中数学教材选修21第三章《圆锥曲线与方程》中的第四节《抛物线》。

详细内容包括抛物线的定义、标准方程、几何性质以及应用。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和简单性质。

2. 能够运用抛物线知识解决实际问题和相关数学问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：抛物线标准方程的推导和应用。

教学重点：抛物线的定义、标准方程及几何性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中的抛物线实例，如抛物线运动、拱桥等，引导学生思考抛物线的特点。

2. 知识讲解（1）抛物线的定义（2）抛物线的标准方程（3）抛物线的几何性质3. 例题讲解（1）求抛物线y^2=4x的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F(p/2,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。

4. 随堂练习（1）求抛物线x^2=4y的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线x^2=8y的焦点为F(0,2)，求抛物线上一点M 到焦点F的距离与到准线的距离之和。

5. 小结六、板书设计1. 黑板左侧：抛物线的定义、标准方程、几何性质。

2. 黑板右侧：例题及解答、随堂练习。

七、作业设计1. 作业题目（1）求抛物线y^2=8x的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线y^2=12x的焦点为F(3,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。

2. 答案八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义、标准方程和几何性质掌握程度，以及对例题和随堂练习的完成情况。

2. 拓展延伸：引导学生思考抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等，激发学生的学习兴趣。

重点和难点解析1. 抛物线标准方程的推导过程。

2. 例题的选取和讲解，尤其是涉及抛物线性质的应用。

通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2=抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧== 222pt y pt x （t 为参数）二．基本题型1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则q p 11+=（ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a44．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ） (A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C) x 2＝2y (D) y x 212=5．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是 (A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）6．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ 7．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为8．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是9．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积． （答案：25512） 10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求这个正三角形的边长（答案：边长为p 34） （12答案：0822=-+px y x ）11．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形外接圆的方程12．已知ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 （答案：x y 42=）13．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程 答案：（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB过定点()0,2p ;（3）点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x py p x14．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，原点在直线AB 上的射影为()1,2D ，求抛物线的方程 （答案：x y 252=） 15．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 （答案：x y =2）16．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程 （答案：x y 22=）17．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程（ 答案：x y 122=或x y 42-=）参考答案： 1．B 2．B 3．C 4．A 5．D6．()122-=x y7．x 2＝±8y8．9)23(22=++y x 9．2551210．边长为p 3411．分析：依题意可知圆心在x 轴上，且过原点，故可设圆的方程为：022=++Dx y x ，又∵ 圆过点()32,6p A ， ∴ 所求圆的方程为0822=-+px y x12．x y 42=13．（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB 过定点()0,2p（3）点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x py p x14．x y 252=15．x y =216．x y 22=17．x y 122=或x y 42-=。

抛物线概念及性质抛物线的定义平面上到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

抛物线的标准方程y^2=2px（p>0）或x^2=2py（p>0）。

抛物线的性质抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-p或y=-p；抛物线有一个顶点，即抛物线与对称轴的交点；抛物线有一个焦点和一条准线，焦点在直线x=-p/2或y=-p/2上，准线方程为x=-p或y=-p。

03掌握抛物线的定义、标准方程和性质；理解抛物线的几何意义；了解抛物线的应用。

知识目标能够运用抛物线的定义、标准方程和性质解决相关问题；能够运用数形结合的思想分析抛物线问题；能够运用数学语言准确地表达抛物线问题。

能力目标培养学生对数学的兴趣和爱好，提高学生的数学素养；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；培养学生严谨、认真的学习态度。

情感目标课程目标与要求教学方法与手段教学方法采用启发式教学法、讲练结合法、小组讨论法等，引导学生主动思考、积极探究。

教学手段利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，使教学内容更加形象、直观。

同时，鼓励学生使用计算器、计算机等工具进行数值计算和图形绘制，提高解题效率。

平面直角坐标系平面直角坐标系的定义在平面上画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

点的坐标对于平面内任意一点C，过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对(a,b)叫做点C的坐标。

二次函数图像及性质二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。

二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴为$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, c -frac{b^2}{4a}right)$。

数学教案模板高中抛物线
教学目标：学生能够了解抛物线的定义、性质和应用，掌握抛物线的标准方程和一般方程，能够解决相关的计算题目。

教学重点：抛物线的定义、性质及应用。

教学难点：抛物线的一般方程及相关计算题目的解决。

教学准备：教师准备PPT、黑板、彩色粉笔、教材等。

教学过程：
一、导入
请学生回顾圆的性质，并提问什么是抛物线？抛物线有哪些性质？
二、讲解
1. 抛物线的定义：横坐标和纵坐标的平方成正比。

2. 抛物线的性质：焦点、准线、对称轴、顶点等。

3. 抛物线的标准方程和一般方程。

三、练习
1. 计算抛物线的焦点和准线。

2. 给出抛物线上一点的坐标，求该点到焦点的距离。

四、拓展
1. 抛物线与直线的交点求解。

2. 抛物线的应用：如抛物线天花板的设计、射击运动等。

五、总结
让学生总结抛物线的性质和方程，并强化知识点。

六、作业
1. 完成教材上相关练习题。

2. 仿照课堂上的例题，设计自己的抛物线计算题目。

教学反思：本节课内容涵盖抛物线的定义、性质、方程以及应用，教师应注重学生的实际运用能力和分析问题的能力，通过讲解、训练和练习，帮助学生掌握相关知识。

教案抛物线教学设计与实施一、教学目标1.让学生理解抛物线的定义、标准方程和基本性质，能够画出简单的抛物线图形。

2.培养学生运用数学语言表达、分析和解决实际问题的能力。

3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二、教学内容1.抛物线的定义和标准方程2.抛物线的焦点、准线和对称轴3.抛物线的图形和性质4.抛物线在实际问题中的应用三、教学重点与难点1.教学重点：抛物线的定义、标准方程和基本性质。

2.教学难点：抛物线的图形理解和应用。

四、教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，如抛物线运动、抛物面天线等，引导学生了解抛物线在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：（1）抛物线的定义：以一个点为焦点，到这个点的距离等于到一条直线的距离的点的轨迹。

（2）抛物线的标准方程：y^2=4ax（开口向右）、x^2=4ay（开口向上）。

（3）抛物线的焦点、准线和对称轴：焦点为（a,0），准线为x=-a，对称轴为y轴。

（4）抛物线的图形和性质：图形为U形或倒U形，性质包括对称性、顶点、焦点、准线等。

3.实践应用：（1）画出给定焦点的抛物线。

（2）已知抛物线上的点，求抛物线的标准方程。

（3）利用抛物线的性质解决实际问题，如求抛物线与直线的交点、抛物线上的切线等。

4.总结反馈：通过课堂小结，让学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。

五、作业布置1.课后习题：完成教材中抛物线相关习题。

2.拓展练习：研究抛物线在实际问题中的应用，如抛物线运动、抛物面天线等。

六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

同时，关注学生的学习兴趣，注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力。

在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的自主学习能力。

同时，注重师生互动，鼓励学生提问，激发学生的思维活力。

在教学评价方面，采用多元化评价方式，关注学生的全面发展。

需要重点关注的细节是“实践应用”部分。

抛物线教案教案标题：抛物线教案年级：高中科目：数学教学时长：2个课时教学目标：1. 理解抛物线及其特点，包括顶点、对称轴、焦点和直线等；2. 掌握抛物线的标准方程和顶点方程，能够根据已知信息进行转化；3. 能够根据实际情境，应用抛物线的相关知识进行问题解决。

教学重点：1. 掌握抛物线的标准方程和顶点方程；2. 理解顶点、对称轴、焦点和直线的概念；3. 能够通过实际情境，对抛物线进行问题解决。

教学准备：1. 教师：多媒体设备，课件，课堂练习题；2. 学生：课本，作业本，计算器。

教学步骤：1. 导入（5分钟）：- 创设情境，引导学生思考：在现实生活中，我们经常会遇到抛物线形状的物体，比如抛出的篮球、跳起的石子等。

你们对抛物线有什么了解吗？- 学生回答后，教师进行简要解释，引出今天的学习内容。

2. 讲解抛物线（15分钟）：- 使用多媒体展示抛物线图像，并介绍其特点和基本概念：顶点、对称轴、焦点和直线。

- 教师通过示例演示如何确定抛物线的顶点、对称轴和焦点的位置。

3. 探究抛物线的标准方程（20分钟）：- 引导学生观察已知抛物线的特点后，提出抛物线的标准方程 y = ax^2 + bx + c。

- 通过多组实例，指导学生根据已知的顶点和焦点等信息确定抛物线的标准方程。

- 学生进行课堂练习，独立解决几个问题。

4. 小结（5分钟）：- 总结本节课的内容，强化学生对抛物线、顶点、对称轴和焦点等概念的理解。

1. 复习（5分钟）：- 温习上节课内容，回顾抛物线的特点和标准方程。

2. 顶点方程（15分钟）：- 介绍抛物线的顶点形式方程 y = a(x - h)^2 + k。

- 指导学生通过已知顶点的坐标，确定抛物线的顶点方程。

- 学生进行课堂练习，巩固顶点方程的求解方法。

3. 应用实际问题（20分钟）：- 呈现一些实际问题，要求学生运用抛物线的相关知识进行分析和求解。

- 学生个别或小组合作解决问题，并展示解题思路和结果。

高中抛物线教案高中抛物线教案学科：数学年级：高中课时：1课时教学目标：1. 了解抛物线的定义和特性；2. 掌握抛物线的标准方程；3. 能够通过抛物线的标准方程确定其基本特征。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师展示一张抛物线的图片，并向学生介绍抛物线的形状和特点。

2. 引导学生思考，在实际生活中抛物线有哪些应用。

二、概念解释及讲解（15分钟）1. 教师向学生介绍抛物线的定义和特点，如对称轴、焦点、顶点等概念。

2. 教师通过具体的例子向学生解释抛物线的特性，如焦点到抛物线上任意一点的距离相等等。

三、标准方程的引入（10分钟）1. 教师向学生解释抛物线的标准方程，并与其特征进行对应，让学生理解方程中各个参数的意义。

2. 教师通过示例的方式向学生展示如何通过给定的标准方程确定抛物线的特征。

四、练习与讨论（20分钟）1. 学生进行个别练习，在纸上完成抛物线方程的求解。

教师同时进行巡视，及时发现学生的问题并给予指导。

2. 学生分组讨论，相互分享抛物线方程的求解过程，并合作解决其中存在的难题。

五、总结与拓展（10分钟）1. 教师进行课堂小结，强调抛物线的重要性和实用性，并与学生共同总结抛物线的特点和标准方程的求解方法。

2. 教师展示抛物线在实际生活中的应用案例，如建筑设计、射击运动等，拓展学生对抛物线的认识和应用。

六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，要求学生继续完成抛物线方程的求解练习，并思考抛物线在实际生活中的更多应用。

教学反思：在本课时中，通过引导学生从实际生活中的应用展开，激发了学生对抛物线的兴趣。

在教学过程中，通过具体的例子和练习，让学生更好地理解了抛物线的定义、特点和标准方程的求解方法。

同时，通过小组合作讨论，促进了学生之间的交流和合作能力的培养。

通过展示抛物线在实际生活中的应用案例，拓展了学生对抛物线的认识和思维能力。

整堂课的设计能够培养学生的观察力、分析力和解决问题的能力，提高了学生对抛物线的理解和运用水平。

高三数学复习教案抛物线的知识标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式()022>=p pxyxyOFl()0,0x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -= 1=e 02x pPF +=)(21x x p AB ++=()022>-=p pxyxyO F l()0,0x 轴 ⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p2p x = 1=e 02x p PF -=)(21x x p AB +-=()022>=p pyx()0,0y轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2p y -= 1=e 02y pPF +=)(21y y p AB ++=()022>-=p pyx()0,0y轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2p y = 1=e 02y pPF -=)(21y y p AB +-=通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2=抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧==222pt y pt x 〔t 为参数〕二．基此题型1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，假如621=+x x ，那么||AB =〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕6 〔D 〕42．M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，那么||||MF MP +的最小值为〔 〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕6 3．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，假设线段PF 、QF 的长分不是p 、q ，那么q p 11+=〔 〕 〔A 〕a 2 〔B 〕a 21 〔C 〕a 4 〔D 〕a4 4．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P 〔4，2〕的抛物线方程是〔 〕 (A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C) x 2＝2y (D) y x 212=5．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是 (A) 〔2，4〕 (B) 〔2，±4〕 (C) 〔1，22〕 (D) 〔1，±22〕6．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，那么弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ 7．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，那么抛物线方程为8．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是9．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积． 〔答案：25512〕 10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求那个正三角形的边长〔答案：边长为p 34〕 〔12答案：0822=-+px y x 〕11．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形外接圆的方程12．ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 〔答案：x y 42=〕13．直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，〔1〕分不求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；〔2〕直线AB 是否通过一个定点，假设通过，求出该定点坐标，假设不通过，讲明理由；〔3〕求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程 答案：〔1〕2214p y y -=； 2214p x x = ；〔2〕直线AB过定点()0,2p ;〔3〕点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x py p x14．直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，原点在直线AB 上的射影为()1,2D ，求抛物线的方程 〔答案：x y 252=〕 15．抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 〔答案：x y =2〕16．直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，假设OB OA ⊥，〔O 为坐标原点〕且52=∆AOB S ，求抛物线的方程 〔答案：x y 22=〕17．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程〔 答案：x y 122=或x y 42-=〕参考答案：1．B 2．B 3．C 4．A 5．D6．()122-=x y7．x 2＝±8y8．9)23(22=++y x 9．2551210．边长为p 3411．分析：依题意可知圆心在x 轴上，且过原点，故可设圆的方程为：022=++Dx y x ，又∵ 圆过点()32,6p A ， ∴ 所求圆的方程为0822=-+px y x12．x y 42=13．〔1〕2214p y y -=； 2214p x x = ；〔2〕直线AB 过定点()0,2p〔3〕点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x py p x14．x y 252=15．x y =216．x y 22=17．x y 122=或x y 42-=。

高中数学抛物线教案一、教学目标1、知识与技能目标理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程。

能根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程，能根据已知条件求出抛物线的标准方程。

2、过程与方法目标通过观察抛物线的图像，引导学生归纳抛物线的定义，培养学生的观察能力和归纳能力。

通过推导抛物线的标准方程，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的简洁美和对称美，激发学生学习数学的兴趣。

通过抛物线在实际生活中的应用，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生用数学知识解决实际问题的意识。

二、教学重难点1、教学重点抛物线的定义和标准方程。

抛物线标准方程的推导及应用。

2、教学难点抛物线标准方程的推导。

抛物线的定义中“定点不在定直线上”的理解。

三、教学方法讲授法、讨论法、演示法、练习法四、教学过程1、导入新课展示生活中常见的抛物线形状的物体，如拱桥、投篮时篮球的运动轨迹等，引导学生观察这些物体的形状特点，引出抛物线的概念。

2、讲授新课（1）抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l（l 不经过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

强调“定点不在定直线上”这一条件，通过实例帮助学生理解。

（2）抛物线的标准方程以过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，以线段 F 到准线 l 的垂线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系。

设焦点 F 到准线 l 的距离为 p（p ＞ 0），则抛物线的标准方程为：当焦点在 x 轴正半轴上时，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0）；当焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0）；当焦点在 y 轴正半轴上时，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0）；当焦点在 y 轴负半轴上时，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0）。

（3）推导抛物线的标准方程以焦点在 x 轴正半轴上的抛物线为例，设动点 M（x，y），焦点 F （＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线 l 的方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

§8.7抛物线考试要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y ＝4x 2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x 2＝4y .(√)教材改编题1．抛物线x 2＝14y 的准线方程为()A ．y ＝－116B ．x ＝－116C ．y ＝116D ．x ＝116答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y 线方程为y ＝－116.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于()A ．9B ．8C ．7D ．6答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x答案B解析由题意可得|MF |＝x M ＋p2，则3＋p2＝4，即p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .题型一抛物线的定义及应用例1(1)(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于()A ．2B ．22C ．3D ．32答案B 解析方法一由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设y 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)．不妨取A (1,2)，则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝2 2.方法二由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2，所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4，所以AF 的长为通径长的一半，所以AF ⊥x 轴，所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.(2)已知点M (20,40)不在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，抛物线C 的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________．答案42或22解析当点M (20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，则|PF |＝|PD |，|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.当点M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42.当点M (20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P ，M ，F 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为4141，解得p ＝22或p ＝58.当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p ＝42或p ＝22.①②思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1(1)已知抛物线y ＝mx 2(m >0)上的点(x 0,2)到该抛物线焦点F 的距离为114，则m 等于()A ．4B ．3 C.14D.13答案D解析由题意知，抛物线y ＝mx 2(m >0)的准线方程为y ＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x 0,2)到焦点F 的距离等于到准线y ＝－14m的距离，可得2＋14m ＝114，解得m ＝13.(2)若P 是抛物线y 2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d 1，到圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4上动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案34－4解析圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4的圆心为C (－3,3)，半径r ＝2，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为P 是抛物线y 2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d 1，到圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4上动点Q 的距离为d 2，所以要使d 1＋d 2最小，即P 到抛物线的焦点与到圆C 的圆心的距离最小，如图，连接PF ，FC ，则d 1＋d 2的最小值为|FC |减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即(－3－2)2＋(3－0)2－2－2＝34－4，所以d 1＋d 2的最小值为34－4.题型二抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又p2＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，则2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝9xC．y2＝92xD．y2＝3x答案D解析如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由抛物线的定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，∴在Rt △ACE 中，2|AE |＝|AC |，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，∴3＋3a ＝6，解得a ＝1，∵BD ∥FG ，∴1p ＝23，∴p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x .(2)(2022·烟台模拟)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝－2D ．x ＝－4答案B解析抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点将点P 的横坐标代入抛物线得y 2＝16p ，可得y ＝±4p ，不妨令P (8,4p )，则S △OFP ＝12×p2×4p ＝p p ＝22，解得p ＝2，则抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.题型三抛物线的几何性质例3(1)在抛物线y 2＝8x 上有三点A ，B ，C ，F 为其焦点，且F 为△ABC 的重心，则|AF |＋|BF |＋|CF |等于()A ．6B ．8C ．9D ．12答案D解析由题意得，F 为△ABC 的重心，故AF →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，设点A ，B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，∵抛物线y 2＝8x ，F 为其焦点，∴F (2,0)，∴AF →＝(2－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AC →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，∵AF →＝13(AB →＋AC →)，∴2－x 1＝13(x 2－x 1＋x 3－x 1)，∴x 1＋x 2＋x 3＝6，∴|AF →|＋|BF →|＋|CF →|＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12.(2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是()A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4答案ABC解析如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE ∥x 轴，所以∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形，所以∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，所以|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4，故A 正确；因为|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ∥AE ，所以F 为AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；因为∠DAE ＝60°，所以∠ADE ＝30°，所以|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确；因为|BD |＝2|BF |，所以|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，故D 错误．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3(p ＝0舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)已知F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM →＝2MN →，则|FN |＝________.答案16解析易知焦点F 的坐标为(4,0)，准线l 的方程为x ＝－4，如图，抛物线准线与x 轴的交点为A ，作MB ⊥l 于点B ，NC ⊥l 于点C ，AF ∥MB ∥NC ，则|MN ||NF |＝|BM |－|CN ||OF |，由3FM →＝2MN →，得|MN ||NF |＝35，又|CN |＝4，|OF |＝4，所以|BM |－44＝35，|BM |＝325，|MF |＝|BM |＝325，|MF ||NF |＝25，所以|FN |＝16.课时精练1．(2022·桂林模拟)抛物线C ：y 2＝－32x 的准线方程为()A ．x ＝38B ．x ＝－38C ．y ＝38D ．y ＝－38答案A解析y 2＝－32x 的准线方程为x ＝38.2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)上的一点M (x 0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A ．6B ．4C ．3D ．2答案D解析由题可知，抛物线准线为y ＝－p 2，可得1＋p2＝2，解得p ＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p ＝2.3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到直线x ＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝－8x答案D解析由题意知动点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以(－2,0)为焦点，x ＝2为准线的抛物线，所以p ＝4，轨迹方程为y 2＝－8x .4．(2022·北京模拟)设M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，若∠OFM ＝120°，则|FM |等于()A ．3B ．4 C.43D.73答案B解析过点M 作抛物线的准线l 的垂线，垂足为点N ，连接FN ，如图所示，因为∠OFM ＝120°，MN ∥x 轴，则∠FMN ＝60°，由抛物线的定义可得|MN |＝|FM |，所以△FNM 为等边三角形，则∠FNM ＝60°，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，设直线x ＝－1交x 轴于点E ，则∠ENF ＝30°，易知|EF |＝2，∠FEN ＝90°，则|FM |＝|FN |＝2|EF |＝4.5．(多选)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案ACD解析由焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；则抛物线的方程为y 2＝8x ，焦点F (2,0)，故B 错误；则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，∴y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 正确；又由y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)－8＝4，得x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点F 是抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点，点B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，则下列结论正确的是()A ．C 的准线方程为x ＝24B ．b ＝2C.OA →·OB →＝2D.1|AF |＋1|BF |＝16215答案BD解析点a >0)，B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，2＝a 22，2＝a 2，＝2，＝2，则抛物线C ：y 2＝2x ，B (2，2)，抛物线C 的准线方程为x ＝－24，故A 错误，B 正确；OA →·OB →＝22×2＋1×2＝1＋2，故C 错误；抛物线C 的焦点则|AF |＝324，|BF |＝524，则1|AF |＋1|BF |＝223＋225＝16215，故D 正确．7.如图是抛物线形拱桥，当水面为l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．答案26解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．8．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________，作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________.答案545解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1,0)，因为|FM |＝6，所以x M ＋p 2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝4 5.9．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．解(1)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F 0，p 2当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p 2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝(－2)24＝1，M 坐标为(－2,1)．又直线l 过点F (0,1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)，MB →＝(x 2＋2，y 2－1)．∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M ，不符合题意，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.10．已知在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的第一象限的点P (x ,1)到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的方程和点P 的坐标；(2)1l 交抛物线C 于A ，B 两点，若∠APB 的角平分线与y 轴垂直，求弦AB 的长．解(1)由1＋p 2＝2，可得p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y ，当y ＝1时，x 2＝4，又因为x >0，所以x ＝2，所以点P 的坐标为(2,1)．(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)＋12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝kx ＋k ＋12，2＝4y ，得x 2－4kx －4k －2＝0，所以Δ＝16k 2＋4(4k ＋2)>0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4k －2，因为∠APB 的角平分线与y 轴垂直，所以k P A ＋k PB ＝0，所以k P A ＋k PB ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，即x 214－1x 1－2＋x 224－1x 2－2＝0，即x 1＋x 2＋4＝0，所以k ＝－1，x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝2，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r ：y 2＝x ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线l 1从点P 4116，1r 上的点A (x 1，y 1)反射后，再经r 上另一点B (x 2，y 2)反射后，沿直线l 2射出，经过点Q ，则下列结论正确的是()A ．y 1y 2＝－1B ．|AB |＝2516C ．PB 平分∠ABQD ．延长AO 交直线x ＝－14于点C ，则C ，B ，Q 三点共线答案BCD 解析设抛物线的焦点为F，如图所示，则F 14，0因为4116，1l 1∥x 轴，故A (1,1)，故直线AF ：y ＝1－01－14x －14＝43x －13.y ＝43x －13，y 2＝x ，可得y 2－34y －14＝0，故y 1y 2＝－14，故A 错误；又y 1＝1，故y 2＝－14，故B 116，－14故|AB |＝1＋116＋12＝2516，故B 正确；因为|AP |＝4116－1＝2516＝|AB |，故△APB 为等腰三角形，故∠ABP ＝∠APB ，而l 1∥l 2，故∠PBQ ＝∠APB ，即∠ABP ＝∠PBQ ，故PB 平分∠ABQ ，故C 正确；直线AO ：y ＝x ＝x ，＝－14.可得－14，－y C ＝y 2，所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确．12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点M 是抛物线C 上一点，MH ⊥l 于H ，若|MH |＝4，∠HFM ＝60°，则抛物线C 的方程为________．答案y 2＝4x 解析因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF |＝|MH |＝4，又∠HFM ＝60°，所以△MHF 为正三角形，所以|HF |＝4，记准线l 与x 轴交于点Q ，则∠QHF ＝30°，所以p ＝|QF |＝|HF |sin ∠QHF ＝4sin 30°＝2，所以该抛物线方程为y 2＝4x .13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (9,6)，动点C 在线段OB 上，BD ⊥y 轴，CE ⊥y 轴，CF ⊥BD ，垂足分别是D ，E ，F ，OF 与CE 相交于点P .已知点Q 在点P 的轨迹上，且∠OAQ ＝120°，则|AQ |等于()A ．4B ．2C.43D.23答案A解析设P (x ，y )，则y C ＝y ，∵l OB ：y ＝23x ，∴，∴E (0，y )，，∵FC ∥y 轴，∴△OPE ∽△FPC ，∴EP CP ＝OE FC，∴x 32y －x ＝y 6－y ，即y 2＝4x ，∴P 的轨迹方程为y 2＝4x 在第一象限的部分且0≤x ≤9，故A (1,0)为该抛物线的焦点．设Q (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，AQ →＝(x 0－1，y 0)，AO →＝(－1,0)，∴cos ∠OAQ ＝AO →·AQ →|AO →|·|AQ →|＝1－x 0(x 0－1)2＋y 20·1＝1－x 0x 0＋1＝－12，解得x 0＝3，∴|AQ |＝x 0＋p 2＝3＋1＝4.14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线C 上的两个动点，且AF ⊥AB ，∠ABF ＝30°，设线段AB 的中点M 在准线l 上的射影为点N ，则|MN ||AB |的值是________．答案32解析如图所示，作BE ⊥l ，AD ⊥l ，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，所以b＝2a，则|MN|＝3a 2，又|AB|＝b2－a2＝3a，故|MN||AB|＝3a23a＝32.。