高三数学函数的极值最值及应用苏教 知识精讲

核心考点·精准研析考点一 用导数解决函数的极值问题命 题 精 解 读 考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.怎么考:与函数图象、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图象等知识交汇考查为主学霸好方法1.求函数f(x)极值的一般解题步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数f ′(x); (3)解方程f ′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验f ′(x)在f ′(x)=0的根x 0左右两侧值的符号.2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.由图象判断函数的极值【典例】(2021·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示,则f '(0)f '(1)=________.【解析】f ′(x)=3ax 2+2bx+c;根据图象知,x=-1,2是f(x)的两个极值点; 所以x=-1,2是方程3ax 2+2bx+c=0的两实数根; 根据根与系数的关系得,{-2b 3a=-1+2,c 3a=-2,所以2b=-3a,c=-6a, 所以f '(0)f '(1)=c3a+2b+c =-6a3a -3a -6a=1.答案:1由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么 提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.求已知函数的极值【典例】已知函数f(x)=x-1+ae x (a ∈R,e 为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴,求a 的值. (2)求函数f(x)的极值. 【解析】(1)由f(x)=x-1+ae x ,得f ′(x)=1-aex .又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴, 所以f ′(1)=0,即1-ae =0,解得a=e.(2)f ′(x)=1-aex ,当a ≤0时,f ′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值. 当a>0时,令f ′(x)=0,得e x =a,即x=ln a, 当x ∈(-∞,ln a)时, f ′(x)<0; 当x ∈(ln a,+∞)时, f ′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a 处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a ≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在ln a 处得极小值ln a,无极大值.若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a 或b 吗f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点一定不是a 和b.已知函数极值情况求参数值(范围)【典例】设a ∈R,若函数y=x+aln x 在区间(1e ,e)上有极值点,则a 的取值范围为 ( ) A.(1e ,e)B.(-e ,-1e )C.(-∞,1e )∪(e,+∞)D.(-∞,-e)∪(-1e,+∞)【解析】选B.因为函数y=f(x)=x+aln x在区间(1e,e)上有极值点,所以y′在区间(1e,e)上有零点.f′(x)=1+ax =x+ax(x>0).所以f′(1e)·f′(e)<0,所以(ea+1)(1+ae)<0,解得-e<a<-1e,所以a的取值范围为(-e,-1e).已知函数极值求参数,常转化为什么问题提示:常转化为方程的根和函数零点的问题.1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f ′(x)>0;当-2<x<1时,0<1 -x<3,此时f ′(x)<0;当1<x<2时,-1<1-x<0,此时f ′(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f ′(x)>0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.2.设函数f(x)=ln x+ax 2-32x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为________. 【解析】函数f(x)=ln x+ax 2-32x,函数定义域为(0,+∞),f ′(x)=1x+2ax-32.若x=1是函数f(x)的极大值点,则f ′(1)=0,解得a=14;所以f(x)=lnx+14x 2-32x,f ′(x)=1x +12x-32=x 2-3x+22x=(x -1)(x -2)2x;当f ′(x)>0时,0<x<1或x>2; 函数在(0,1)和(2,+∞)上单调递增;当f ′(x)<0时,1<x<2,函数在(1,2)上单调递减;所以函数在x=1时有极大值;函数在x=2时有极小值为f(2)=ln 2-2. 答案:ln 2-23.(2021·荆门模拟)已知函数f(x)=x 2+2x-2xe x .求函数f(x)的极值. 【解析】因为函数f(x)=x 2+2x-2xe x (x ∈R), 所以f ′(x)=2x+2-2e x -2xe x =(2x+2)(1-e x ), 由f ′(x)=0,得x=-1或x=0, 列表讨论,得:f ′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘极小值↗极大值↘所以当x=-1时,f(x)极小值=f(-1)=1-2+2×1e =2e-1,当x=0时,f(x)极大值=f(0)=0.设函数f(x)=e x (sin x-cos x)(0≤x ≤2 016π),则函数f(x)的各极大值之和为 ( ) A.e π(1-e 2 017π)1-e 2πB.e π(1-e 1 009π)1-e πC.e π(1-e 1 008π)1-e 2πD.e π(1-e 2 016π)1-e 2π【解析】选D.因为函数f(x)=e x (sin x-cos x),所以f ′(x)=[e x (sin x-cos x)]′=e x (sin x-cos x)+e x (cos x+sin x)=2e x sin x;令f ′(x)=0,解得x=k π(k ∈Z);所以当2k π<x<2k π+π时,f ′(x)>0,原函数单调递增,当2k π+π<x<2k π+2π时,f ′(x)<0,原函数单调递减;所以当x=2k π+π时,函数f(x)取得极大值,此时f(2k π+π)=e 2k π+π[sin (2k π+π)-cos(2k π+π)]=e 2k π+π; 又因为0≤x ≤2 016π,所以0和2 016π都不是极值点, 所以函数f(x)的各极大值之和为: e π+e 3π+e 5π+…+e 2 015π=e π(1-e 2 016π)1-e 2π.考点二 用导数解决函数的最值问题【典例】(2021·淮安模拟)已知函数f(x)=lnx x-ax,曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点(2,-1). (1)求实数a 的值;(2)设b>1,求f(x)在区间[1b,b]上的最大值和最小值.【解题导思】【解析】(1)f(x)的导函数为 f ′(x)=1-lnx -ax 2x 2⇒f ′(1)=1-0-a 1=1-a,依题意,有f (1)-(-1)1-2=1-a,即-a+11-2=1-a,解得a=1.(2)由(1)得f ′(x)=1-lnx -x 2x 2,当0<x<1时,1-x 2>0,-ln x>0, 所以f ′(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增;当x>1时,1-x2<0,-ln x<0,所以f′(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减. 因为0<1b<1<b,所以f(x)的最大值为f(1)=-1.设h(b)=f(b)-f(1b )=(b+1b)ln b-b+1b,其中b>1则h′(b)=(1-1b2)ln b>0,故h(b)在区间(1,+∞)上单调递增.当b→1时,h(b)→0⇒h(b)>0⇒f(b)>f(1b).故f(x)的最小值为f(1b )=-bln b-1b.求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f ′(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.(2021·南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m,n∈R).(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x -4mx=1-4mx2x,当m ≤0时,f ′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当m>0时,令f ′(x)>0,得0<x<√m2m, 令f ′(x)<0得x>√m2m,所以f(x)在(0,√m 2m )上单调递增,在(√m2m,+∞)上单调递减.(2)由(1)知,当m>0时,f(x)在(0,√m 2m )上单调递增,在(√m2m,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (√m 2m )=ln √m2m -2m ·14m-n=-ln 2-12ln m-12-n=-ln 2,所以n=-12ln m-12,所以m+n=m-12ln m-12, 令h(x)=x-12ln x-12(x>0),则h ′(x)=1-12x=2x -12x,所以h(x)在(0,12)上单调递减,在(12,+∞)上单调递增,所以h(x)min =h (12)=12ln 2,所以m+n 的最小值为12ln 2.考点三 用导数解决生活中的优化问题【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t 元(t 为常数,且2≤t ≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40),根据市场调查,日销售量q 千克与e x 成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克. (1)求该工厂的每日利润y 元与每千克蘑菇的出厂价x 元的函数关系式.(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x 为多少时,该工厂的每日利润y 最大并求最大值. 【解题导思】 序号联想解题 (1) 待定系数法求函数关系根据已知条件得出日销量函数表达式q=kex (k ≠0),将x=30,q=100代入日销量函数表达式中求出k 的值,进而得到利润y 与出厂价x 之间的函数关系式.(2) 通过求函数最值,解答实际问题将t=5代入函数中,根据导数求得函数的单调区间,进而得函数的最值.【解析】(1)设日销量q=ke x (k ≠0),则k e 30=100,所以k=100e 30,所以日销量q=100e 30e x,所以y=100e 30(x -20-t )e x(25≤x ≤40).(2)当t=5时,y=100e 30(x -25)e x,y ′=100e 30(26-x )e x.由y ′≥0得x ≤26,由y ′≤0,得x ≥26,所以y 在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,y max =100e 4,即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e 4元.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题作答.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-2+10(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=4时,y=,所以a2+10=,所以a=1.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=1x-2+10(x-5)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-2)[1x-2+10(x-5)2]=1+10(x-2)(x-5)2,2<x<5.从而,f′(x)=10[(x-5)2+2(x-2)(x-5)]=30(x-3)(x-5).于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:由表可得,x=3是函数f(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点.所以当x=3时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于41.答:当销售价格为3元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.。

函数极值与最值一、考点说明：导数法处理函数的极值与最值是36个B 级考点之一36个B 级要求知识点的考查比例要达到60%以上。

尤其是导数的运算及运用等，仍为考查重点。

08年填空题14题以三次函数为模型考查。

17题以实际应用为载体考查。

09年填空题3题以三次函数为模型考查。

10年填空题14题以分式函数和实际应用为模型结合考查。

20题以指对函数模型考查。

11年填空题12题以指对函数为模型考查。

19题以三次函数和二次函数为模型综合考查。

应重视导数题的考查,以中档题为主。

小题中两年都考了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数. 二、知识梳理：1.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。

由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。

并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的。

即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。

即一个函数的极大值未必大于极小值，（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(='x f 。

但反过来不一定。

基础体验：1.【某某株洲08届二检】已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则▲. A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点 B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点 C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点2.【08某某11】如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数'()y f x =的图象可能是▲.解析：由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负．由此可排除B 、C 、D.答案A 3.【2011.某某】9.函数2sin 2xy x =-的图象大致是▲.解析：函数2sin 2x y x =-为奇函数，且12cos 2y x '=-，令0y '=得1cos 4x =，由于函数cos y x =为周期函数，而当2x π>时，2sin 02xy x =->，当2x π<-时，2sin 02xy x =-<，则答案应选C 。

高三数学函数的极值、最值及应用苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的极值、最值及应用二、本周教学目标：1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；2、了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；3、会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．三、本周知识要点：1、极大值：一般地，设函数f （x ）在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＜f （x 0），就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极大值，记作y 极大值=f （x 0），x 0是极大值点．2、极小值：一般地，设函数f （x ）在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＞f （x 0）就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极小值，记作y 极小值=f （x 0），x 0是极小值点．3、极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4、判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5、求函数f （x ）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）． （2）求方程f ′（x ）=0的根．（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值 6、函数的最大值和最小值：在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．7、利用导数求函数的最值步骤：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．8、利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤． （1）求f '（x ）．（2）确定f '（x ）在（a ，b ）内符号．（3）若f '（x ）>0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数；若f '（x ）<0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数． 9、用导数求多项式函数单调区间的一般步骤． （1）求f '（x ）（2）f '（x ）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f '（x ）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．【典型例题】例1、求函数的极值：2122-+=x xy 解：22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x x x x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+= 令0)(/=x f ，得驻点1,1x x =-=∴当极小极大例2、设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值，并求出f （x ）的单调区间．剖析：由已知x =1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f （x ）上，得方程组解之可得a 、b ．解：f '（x ）=3x 2－6ax +2b ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =31，b =－21此时f （x ）=x 3－x 2－x ，f '（x ）=3x 2－2x －1=3（x +31）（x －1）当f '（x ）>0时，x >1或x <－31，当f '（x ）<0时，－31<x <1∴函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）点评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点．例3、设e e x ax x f x()1()(2-⋅-+=为自然对数的底，a 为常数且R x a ∈<,0），)(x f 取极小值时，求x 的值解：)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x xe x ax eax x f)2x )(1ax (e x -+⋅-=-令210)(或ax x f -=⇒=' （1）0121<<->-a 即当，由表)(,x f a x 时-=∴取极小值（2）0)2(21)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值（3）121-<<-a 即当时，由表取极小值时时综上，当)x (f ,a 1x ,0a 21-=<<- 取极小值时时当)x (f ,2x ,21a =-<．例4、设函数f （x ）=12+x －ax ，其中a ＞0，求a 的X 围，使函数f （x ）在区间)[0∞+，上是单调函数分析：要使f （x ）在)[0∞+，上是单调函数，只需f ′（x ）在)[0∞+，上恒正或恒负即可解：f ′（x ）=21xx+－a ．当x ＞0时，01<<因为a ＞0，所以当且仅当a ≥1时，f ′（x ）=21xx +－a 在)[0∞+，上恒小于0，此时f （x ）是单调递减函数点评：要使f （x ）在（a ，b ）上单调，只需f ′（x ）在（a ，b ）上恒正或恒负，即f ′（x ）＞0（或＜0＝⇒单调递增（或减）．例5、用总长148m 的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05 m ，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积．解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为（x +05）m ，高为4)5.0(448.14+--x x =32－2x （m ）设容积为y m 3，则y =x （x +05）（32－2x ）（0＜x ＜16＝整理，得y =－2x 3+22x 2+16x ．所以y ′=－6x 2+44x +16．令y ′=0，即－6x 2+44x +16=0，所以15x 2－11x －4=0．解得x =1或x =－154（不合题意，舍去）． 从而在定义域（0，16）内只有x =1处使得y ′=0．由题意，若x 过小（接近0）或过大（接近16）时，y 值很小（接近0）． 因此，当x =1时，y 有最大值且y max =－2+22+16=18， 此时，高为32－2×1=1.2（m ）答：容器的高为1.2m 时，容积最大，最大容积为1.8m 3．【模拟试题】1、某物体做s =2（1－t ）2的直线运动，则t =08 s 时的瞬时速度为（ ） A 、4 B 、－4 C 、－48 D 、－082、函数f （x ）=x 3－6bx +3b 在（0，1）内有极小值，则（ ）A 、b ＞0B 、b ＜21C 、0＜b ＜22D 、b ＜13、函数f （x ）=a x+log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A 、41B 、21C 、2D 、44、若曲线f （x ）=x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y =0，则点P 的坐标为（ ） A 、（1，3） B 、（－1，3） C 、（1，0） D 、（－1，0）5、已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是__________．6、设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为___________。

高三函数最值的知识点函数是高中数学中的重要概念，而函数的最值是解决实际问题和优化问题的关键内容之一。

在高三数学学习中，函数的最值常常成为学生们较为困惑的部分。

本文将介绍高三函数最值的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。

一、函数的最值概念在开始讨论高三函数的最值前，我们首先需要了解函数的最值概念。

函数的最值指的是函数在定义域内的取值范围的极限，即最大值和最小值。

最值的存在对于解决实际问题具有重要意义，比如优化问题、极限求解等。

二、一元函数的最值1. 最值的判断对于一元函数y=f(x)，要判断其最值，需要注意以下几点：- 正确求导：首先需要求得函数的导函数f'(x)，注意使用正确的求导规则；- 导函数的零点：求得导函数的零点（即f'(x)=0）；- 导数符号变化：通过导数的符号变化来判断函数的增减性；- 边界点的考虑：将函数的定义域的边界点也考虑进最值的判断范围。

2. 极值点的求解在判断了函数的增减性和边界点后，我们可以得到函数的极值点。

极值点可以通过以下步骤求解：- 将函数的导数f'(x)等于零求解，得到极值点的横坐标；- 将得到的极值点横坐标代入原函数，求得纵坐标。

3. 最值点的鉴别在求得极值点后，我们还需要鉴别这些极值点是最大值还是最小值。

鉴别的方法有以下几种：- 二阶导数法：求得函数的二阶导数f''(x)，若f''(x)>0，则为极小值；若f''(x)<0，则为极大值；- 函数值法：将极值点横坐标代入原函数，求得函数值，通过比较函数值的大小来判断是最大值还是最小值。

三、多元函数的最值对于高三阶段，多元函数的最值出现的频率也在逐渐增加。

多元函数的最值可以通过以下步骤求解：1. 极值点的求解- 首先对多元函数进行偏导数求解，得到每个变量的偏导函数；- 将偏导函数联立，得到一个方程组；- 求解方程组，得到极值点的横坐标。

导数的应用二——函数的极值：李 霞 ：【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义；2. 会用导数求函数的极大值、极小值；3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值；4. 掌握函数极值与最值的简单应用.【要点梳理】 要点一：函数的极值 函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则称函数)(x f 在0x 处取极大值，记作0()y f x =极大；并把0x 称为函数)(x f 的一个极大值点.（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，，则称函数)(x f 在0x 处取极小值，记作0()y f x =极小；并把0x 称为函数)(x f 的一个极小值点.极大值与极小值统称极值.在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较.②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.③极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.用导数求函数极值的的基本步骤： （1）确定函数的定义域；（2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.（最好通过列表法）要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点. 即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件. 例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异.要点二：函数的最值 函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得； ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个. 求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的点的函数值及)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可；②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念. 最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值. 函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 要点三：函数极值与最值的简单应用 不等式恒成立，求参数范围问题一些含参不等式，一般形如(,)0f x m >，若能隔离参数，即可化为：()()m g x m g x ><（或）的形式.若其恒成立，则可转化成max max ()()m g x m g x ≥≤（或），从而转化为求函数()g x 的最值问题.若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. 所以仍为求函数()g x 的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论. 证不等式问题当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为()()f x g x >，则可化为()()0f x g x ->，一般设()()()F x f x g x =-，然后求()F x 的最小值min ()F x ，证min ()0F x >即可. 所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题.两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程()()f x g x =的问题，即()()0f x g x -=的解的个数问题，我们可以设()()()F x f x g x =-，然后求出()F x 的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可. 所以此类问题可转化为求函数的极值问题. 【典型例题】类型一： 求函数的极值 （1）32()f x x x x a =--+ ； （2）22()21xf x x =-+.【解析】（1）'()f x =32x －2x －1， 若'()f x =0，则x ==－13，x =1， 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：∴()f x 的极大值是()327f a -=+，极小值是(1)1f a =-. （2）函数的定义域为R ，2222222(1)42(1)(1)'()(1)(1)x x x x f x x x +--+==-++，令'()0f x =，得x=―1或x=1，当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，当x=―1时，函数有极小值，且(1)232f -=-=-， 当x=1时，函数有极大值，且2(1)212f =-=-. 【总结升华】 解答本题时应注意0'()0f x =只是函数()f x 在0x 处有极值的必要条件，如果再加上0x 左右导数的符号相反，方能断定函数在0x 处取得极值. 在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误，要注意. 举一反三：【变式1】求下列函数的极值：（1）2()xf x x e -=； （2）322()2(1)x f x x -=-.【答案】（1）函数的定义域为R ，22'()2()'2(2)x x x x x f x xe x e x xe x e x x e -----=+⋅-=-=-，令'()0f x =，得x=0或x=2，当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且(0)0f =； 当x=2时，函数有极大值，且24(2)f e =. （2）函数定义域为（－∞，1）∪（1，+∞），∵23(2)(1)'()2(1)x x f x x -+=-， 令'()0f x =得x 1=―1，x 2=2.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：当x=1-时，函数有极大值(1)8f -=-； 函数没有极小值. 【函数的极值与最值 370875 例题1】 【变式2】讨论函数43210()213f x x x x =-++（x ∈R ）的单调性并求极值． 32'()41042(21)(2)f x x x x x x x =-+=--令'()0f x =，解得x 1=0， x 2=12, x 3=2 .当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，()f x 在（－∞，0）和（2，2）上为减函数，在（0，2）和（2，+∞）上 为增函数，当x=0时，函数有极小值(0)1f =；当x=2时，函数有极小值5(2)3f =-； 当x=12时，函数有极大值155()248f =. 【函数的极值与最值 370875 例题3】【变式3】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A. 类型二：函数极值的逆向应用例 2. 设函数32()f x ax bx cx d =+++的图象与y 轴交于点P ，且曲线在点P 处的切线方程为1240x y --=．若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式．【思路点拨】利用导数切线方程的几何意义，同时注意到条件“x ＝2处取得极值0”，即'(2)0f =，(2)0f =.【解析】 设点P 坐标为P (0，d )，又曲线在点P 处的切线为12x -y -4＝0， ∵ x ＝0时，y ＝d ，∴ d ＝-4．∵ 2()32f x a x b x c '=++，∴ 0()|x f x c ='=．又切线斜率k ＝12，∴ c ＝12．又函数在x ＝2处取得极值0，∴ 2()|0(2)0x f x f ='=⎧⎨=⎩，，∴ 12412084200a b a b ++=⎧⎨++=⎩，，，解得29a b =⎧⎨=-⎩，.∴ 函数解析式为32()29124f x x x x =-+-．【总结升华】根据题目中图象特点结合存在极值的条件，建立方程（组）求解.举一反三：【变式1】已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数 '()y f x =的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求： （1）0x 的值； （2）a ，b ，c 的值.【答案】（1）由图象可知，在（―∞，1）上'()0f x >，在（1，2）上'()0f x <，在（2，+∞）上'()0f x >，故()f x 在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减， 因此()f x 在x=1处取得极大值，所以0x =1. （2）方法一：2'()32f x ax bx c =++， 由'(1)0f =，'(2)0f =，(1)5f =，得32012405a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得2912a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩. 方法二：设2'()(1)(2)32f x m x x mx mx m =--=-+. 又2'()32f x ax bx c =++，所以3m a =，32b m =-，c=2m ， 323()232m f x x mx mx =-+，由(1)5f =，即22533m m m -+=，得m=6，所以a=2，b=―9，c=12.【变式2】已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处有极值10，求a,b 的值. 【答案】2'()32,f x x ax b =++依题意得方程组2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩ 解得34311a ab b =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或. 当a=-3,b=3时，2'()363,f x x x =++令'()0f x =得x=1.显然a=-3, b=3不合题意，舍去.当a=4, b=-11时，f ´(x)=3x 2+8x-11=(x-1)(3x+11) 令'()0f x =得11x -=或 x=1.f(x)在x=1处有极小值10，合题意，∴a=4, b=-11.类型三：求函数的最值【函数的极值与最值 370875 例题2】例3. 求函数()3221f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值与最小值.【解析】解法一： ()()()243434,00,03f x x x x x f f ⎛⎫'''=-=-==⎪⎝⎭，∴ 函数()3221f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2.解法二：()()()243434,00,03f x x x x x f f ⎛⎫'''=-=-==⎪⎝⎭， ∵f(-1)=-2,f(0)=1,f(43)=527,f(2)=1, ∴ 函数()3221f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2.【总结升华】1. 解题格式要求：(1)对于()f x '分解因式，写出相应方程的根；(2)列表格，表格反映出()(),f x f x '随x 的变化情况，必须列出极值点，若求最值时，还要列出端点的函数值；(3)一般要注明x取何值时f(x)取得最大最小值.2. 当方法熟悉后,可以不再列表. 也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.举一反三：【变式】求函数21()ln(1)4f x x x =+-，x ∈[0，2]的最值. 【答案】11'()12f x x x =-+， 令11012x x -=+， 化简为x 2+x―2=0，解得x 1=―2（舍去），x 2=1.∵1(1)ln 24f =-，又(0)0f =，(2)ln310f =->， ∴(0)0f =为函数21()ln(1)4f x x x =+-在[0，2]上的最小值，1(1)ln 24f =-为函数在[0，2]上的最大值.例4. 已知函数32()39f x x x x a =-+++．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)若()f x 在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解析】 (1)2()369f x x x '=-++． 令()0f x '<，解得x ＜-1或x ＞3，所以函数()f x 的单调递减区间为(-∞，-1)，(3，+∞)． (2)因为(2)812182f a a -=+-+=+，(2)8121822f a a =-+++=+，所以(2)(2)f f >-．因为在(-1，3)上()0f x '>， 所以()f x 在[-1，2]单调递增． 又由于()f x 在[-2，-1]上单调递减，因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[-2，2]上的最大值和最小值． 于是有22+a ＝20，解得a ＝-2． 故32()392f x x x x =-++-． 因此(1)13927f -=+--=-．即函数()f x 在区间[-2，2]上的最小值为-7．【总结升华】本题考查了多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数最值，要注意先比较(2)f 与(2)f -的大小，然后判断哪个是最大值，从而求出a ．利用函数求导的方法研究函数的单调性及最值问题在近几年高考试题中屡屡出现，成为热门题型．举一反三：【变式】设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>. （1）当a=1时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 中（0，1]上的最大值为12，求a 的值. 【答案】 函数()f x 的定义域为（0，2），11'()2f x a x x=-+-，（1）当a=1时，22'()(2)x f x x x -+=-，所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为2)； （2）当a ∈（0，1]时，22'()0(2)x f x a x x -=+>-， 即()f x 在（0，1]上单调递增，故()f x 在（0，1]上的最大值为(1)f a =，因此12a =. 类型四：极值与最值的应用例5. 设函数f(x)＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax 成立，求实数a 的取值范围．【思路点拨】或者化为左侧为函数式的形式，或者分离参数.【解析】解法一：令g(x)＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，对函数g(x)求导数：g ′(x)＝ln(x ＋1)＋1－a令g ′(x)＝0，解得x ＝e a －1－1，(i)当a≤1时，对所有x ＞0，g ′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax ．(ii)当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a －1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a ＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax 成立．综上，a 的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，于是不等式f(x)≥ax 成立，即为g(x)≥g(0)成立 ，对函数g(x)求导数：g ′(x)＝ln(x ＋1)＋1－a令g ′(x)＝0，解得x ＝e a －1－1，当x ＞ e a －1－1时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x ＜e a －1－1，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a －1－1≤0．由此得a≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]．【总结升华】一般首选隔离参数法，转化为求不含参数的函数的最值问题；若不能隔离，则化为求含参函数的最值问题，往往需要对参数进行分类讨论才能得出最值.举一反三：【变式】 已知函数321()2f x x x bx c =-++.（1）若()f x 图象有与x 轴平行的切线，求b 的取值范围；（2）若()f x 在x=1处取得极值，且x ∈[―1，2]时，2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）2'()3f x x x b =-+，()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，则'()0f x =有实数解，即方程3x 2―x+b=0有实数解，∴Δ=1―2b≥0，解得112b ≤. （2）由题意知x=1是方程3x 2―x+b=0的一个根， 设另一根为x 0，则0011313x b x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，∴0232x b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴321()22f x x x x c =--+，2'()32f x x x =--. 当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，'()0f x >； 当2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，'()0f x <； 当x ∈（1，2）时，'()0f x >. ∴当23x =-时，()f x 有极大值2227c +. 又1(1)2f c -=+，(2)2f c =+. ∴当x ∈[－1，2]时，()f x 的最大值为(2)2f c =+.又∵当x ∈[－1，2]时，2()f x c <恒成立，∴c 2＞2+c ，解得c ＜－1或c ＞2.故c 的取值范围是（－∞，－1）∪（2，+∞）.例6. 设函数3()65f x x x =-+，x ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不同实根，求实数a 的取值范围；(3)已知当x ∈(1，+∞)时，f (x )≥k (x -1)恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）∵ 2()36f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =2x =∴ 当x <x 时，()0f x '>；当x <<()0f x '<．∴ ()f x 的单调递增区间为(-∞，)和，+∞)；()f x 的单调递减区间为()．当x =()f x 有极大值5+x =()f x 有极小值5-（2）由（1）知，函数()y f x =的图象大致形状如图所示，当55a -<<+y a =与()y f x =的图象有三个不同交点，即方程()f x a =有三个不同的解．（3）()f x ≥k (x -1)，即2(1)(5)x x x -+-≥k (x -1)．∵ x ＞1，∴ k ≤25x x +-在(1，+∞)上恒成立．令2()5g x x x =+-，()g x 在(1，+∞)上是增函数，∴ ()(1)3g x g >=-．∴ k 的取值范围是k ≤-3．【总结升华】本题第(2)问利用(1)的结论．将方程根的问题转化为函数图象的交点，利用数形结合求解，第(3)问将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解，注意转化与化归思想的运用． 举一反三：【变式】 已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12. （I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在实数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（I ）()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5), ∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -= 由已知，得612,a =2,a ∴=2()2(5)210()f x x x x x x R ∴=-=-∈（II ）方程37()0f x x +=等价于方程32210370.x x -+= 设32()21037,h x x x =-+则2'()6202(310).h x x x x x =-=- 当10(0,)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当10(,)3x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数. 101(3)10,()0,(4)50,327h h h =>=-<=> ∴方程()0h x =在区间1010(3,),(,4)33内分别有唯一实数根， 而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实数根，所以存在唯一的自然数3,m =使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根.。

高三极值知识点在高中数学的课程中，极值是一个重要的知识点。

掌握了极值的概念和求解方法，能够在数学问题中准确找出最大值或最小值，对于解题非常有帮助。

本文将介绍高三极值的相关知识点，并且提供一些具体的例题来帮助读者更好地理解和应用。

1. 极值的概念在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最小值。

要注意的是，极值并不一定是函数的最大值或最小值，而是在某个特定的区间内的最大值或最小值。

2. 极值的求解方法在求解极值的过程中，需要通过导数或者二次函数等方法来进行推导和计算。

常见的求解极值的方法有以下几种：a) 导数法：对于一元函数，可以通过求导数来判断函数的增减性和临界点。

通过求导数，并找出导数为零或不存在的点，再通过二阶导数的符号来判断该点是否为极值点。

b) 二次函数法：对于一元函数，如果函数是二次函数，则可以利用二次函数的性质直接求解极值。

通过求二次函数的顶点，可以得到函数的最大值或最小值。

c) 条件极值法：对于多元函数，如果函数有一定的限制条件，可以通过条件极值法来求解。

这需要将限制条件代入目标函数中，并通过一些特定的方法来求解条件极值。

d) 数学建模法：在实际问题中，有时候需要运用数学建模的思想来求解极值。

这需要将问题进行数学化，并通过一定的模型和方法来求解极值。

3. 极值在实际问题中的应用极值在实际问题中有广泛的应用，比如经济学、物理学、工程学等领域。

以下是一些具体的例子来说明极值在实际问题中的作用：a) 最大产量问题：在农田的种植中，农民希望通过合理的农田规划来达到最大的产量。

通过求解种植面积和施肥量等因素与产量之间的关系，可以用极值理论来确定最佳的种植方案，以达到最大产量。

b) 最小成本问题：在生产过程中，企业希望通过合理的资源配置来降低成本。

通过求解各种资源的使用量与成本之间的关系，可以用极值理论来确定最佳的资源配置方案，以达到最小成本。