正态分布的3σ原则

去除离群点的方法
去除离群点是数据处理中的一个常见问题。

离群点指的是数据中与其他数据明显不同的极端值，可能会对数据分析和模型建立产生不良影响。

下面介绍几种去除离群点的方法：
1. 3σ原则：根据正态分布概率，数据中大约有68.27%的值在平均值的一个标准差范围内，95.45%的值在两个标准差范围内，99.73%的值在三个标准差范围内。

据此，我们可以将超出三倍标准差范围的数据视为离群点，进行删除或者替换。

2. 箱线图：通过绘制箱线图可以直观地发现数据中的异常值。

箱线图的上边界为75%分位数加上1.5倍的四分位距，下边界为25%分位数减去1.5倍的四分位距，超出边界的数据可以视为离群点。

3. 局部离群因子（LOF）：LOF是一种基于密度的离群点检测算法，通过计算数据点周围邻域内的密度来判断该点是否为离群点。

LOF 值越大，表明该点的密度越小，离群程度越高。

4. 孤立森林（Isolation Forest）：孤立森林是一种快速的离群点检测算法，通过随机选择数据维度和阈值进行分割，将离群点隔离为单独的树叶。

离群点的路径长度较短，而正常数据的路径长度较长，因此可以通过路径长度来判断是否为离群点。

综上所述，去除离群点的方法有多种，具体选择方法需要根据数据的特点和分析需求进行。

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3σ原则-确定异常值什么是异常值？在统计学中，异常值（Outlier）指的是与大部分数据点显著不同的数据点。

它们可能是由于测量误差、数据收集错误、实验误差或其他未知原因而导致的。

异常值不符合数据的总体特性，可能会对统计分析结果产生显著影响。

因此，识别和处理异常值对于保证数据的准确性和可靠性至关重要。

为什么需要确定异常值？确定异常值的主要目的是排除错误数据，保证分析结果的可靠性和有效性。

异常值的存在会对数据的描述统计量、回归模型、聚类分析等各种统计分析产生不良影响。

通过识别和处理异常值，可以提高统计模型的拟合度、准确性和可解释度。

3σ原则是什么？3σ原则（3 Sigma Rule）是一种常用的统计方法，用于确定异常值。

它基于正态分布的假设，假设数据服从正态分布并以均值μ 和标准差σ 描述。

根据3σ原则，异常值可以定义为与均值相差超过3倍标准差的数据点。

具体来说，对于服从正态分布的数据： - 68.27% 的数据会落在均值附近的一个标准差范围内（[μ-σ, μ+σ]）； - 95.45% 的数据会落在均值附近的两个标准差范围内（[μ-2σ, μ+2σ]）； - 99.73% 的数据会落在均值附近的三个标准差范围内（[μ-3σ, μ+3σ]）。

因此，根据3σ原则，我们可以将与均值相差超过3倍标准差的数据点定义为异常值。

如何确定异常值？确定异常值可以按照以下步骤进行：第一步：计算均值和标准差首先，计算数据的均值（μ）和标准差（σ）。

均值表示数据的中心趋势，标准差表示数据的离散程度。

第二步：计算异常值阈值根据3σ原则，计算异常值的阈值。

将均值加减三倍标准差得到上限和下限。

即：- 上限 = 均值+ 3 × 标准差 - 下限 = 均值 - 3 × 标准差第三步：识别异常值根据异常值阈值，对数据进行识别。

将大于上限或小于下限的数据点标记为异常值。

第四步：处理异常值确定异常值后，可以根据具体情况进行处理。

可疑值的剔除准则
可疑值的剔除准则是在数据分析中用来去除异常值或者数据错误的方法。

当数据中存在异常或者错误时，会影响数据的准确性和可靠性，因此
需要根据一定的准则对这些可疑值进行剔除，以保证数据的有效性。

以下
是几种常见的可疑值的剔除准则：
1.3σ原则：该原则是根据正态分布的性质，统计学中约有68%的数
据分布在均值±1σ范围内，约有95%的数据分布在均值±2σ范围内，
约有99%的数据分布在均值±3σ范围内。

所以可以将超出3σ范围的数
据视为可疑值进行剔除。

2.箱线图准则：箱线图可以直观地展示数据的分布情况，它由四分位数、内限和异常值组成。

根据箱线图，可以使用箱线图的上限和下限计算
出内限的上限和下限，超出内限的数据可以被视为可疑值进行剔除。

3.理论分布准则：对于符合特定分布的数据，可以根据其理论分布来
定义可疑值。

例如，对于正态分布的数据，可以根据正态分布的特性来定
义可疑值的范围。

4.专家经验准则：在一些情况下，可以根据领域专家的经验来定义可
疑值。

专家经验准则是基于经验积累的方法，通过专家的意见和经验来确
定数据是否可疑。

需要注意的是，可疑值剔除的准则只是一种方法，不能完全取代人工
判断。

在实际分析中，还需要根据具体情况结合准则进行判断，同时保留
数据的合理性和完整性。

除了剔除可疑值外，还应该记录下剔除的数据和
原因，并进行适当的数据修正和补充，以保证分析结果的准确性和可靠性。

庖丁巧解牛知识·巧学一、正态曲线与正态分布曲线1.正态曲线如果随机变量X 的概率密度函数为φu ,σ(x)=222)(21σπσu x e --，x ∈(-∞,+∞)其中实数u 和σ（σ＞0）为参数.我们称φu ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.要点提示 高尔顿板试验中，当试验次数越多，也就是放入小球的个数越多，实验就越接近正态曲线.2.正态分布一般地，如果对于任何实数a<b ，随机变量X 满足P(a<X≤b)=⎰ba dx x )(,σμϕ，则称X 的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X 服从正态分布，则记为X —N(μ,σ2).参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.把μ=0，σ=1的正态分布叫做标准正态分布.方法归纳 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.热点聚焦 正态分布是客观存在的规律，高尔顿板试验只不过是验证了这一规律而已.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条 件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.3.正态曲线的特点（1）曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交；（2）曲线是单峰的.它关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ处达到峰值πσ21；（4）曲线与ｘ轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿ｘ轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.特点（1）：说明函数的值域为正实数集的子集，且以ｘ轴为渐近线；特点（2）：是曲线的对称性，关于直线x=μ对称；特点（3）：说明函数x=μ时取得最大值;特点（4）：说明正态变量在（-∞，＋∞）内取值的概率为1;特点（5）：说明当均值一定时，σ变化时总体分布的集中、离散程度.知识拓展 若标准正态分布N （0，1）总体取值小于x 0的概率用φ(x 0)表示，即φ(x 0)=P(x<x 0),则φ(x 0)+φ(-x 0)=1;对一般正态总体N （μ,σ2）来说，可通过线性代换y=σμ-x 转化为标准正态总体N （0，1）.二、3σ原则1.正态分布在区间(μ-a,μ+a ］上的概率若X —N （μ,σ2），则对于任何实数ａ＞0，概率P(μ-a<X≤μ+a)=⎰+-αμαμσμϕdx x )(,为直线x=μ-a,x=μ+a 与正态曲线和ｘ轴所围成的图形的面积.对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大.这说明σ越小，X 落在区间(μ-a,μ+a ］的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大.上述规律是通过正态曲线的形象直观地得到的，也就是通过定性分析得到的，事实上我们也可以利用定量计算得到，即通过对定积分⎰+-αμαμσμϕdx x )(,计算得到. 深化升华 几个特殊结论：P(μ-a<X≤μ+a)=0.682 6，P(μ-2a<X≤μ+2a)=0.954 4,P(μ-3a<X≤μ+3a)=0.997 4.2.3σ原则由于正态总体几乎总取值于区间(μ-3a,μ+3a)之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X 只取(μ-3a,μ+3a)之间的值，并简称之为3σ原则.深化升华 从理论上可以证明，正态变量在(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内，取值的概率分别约是68.3%,95.4%,99.7%.由于正态变量在（-∞,+∞）内取值的概率是1，容易得出，它在（μ-3σ,μ+3σ）之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍的标准差之内，这就是正态分布的3σ原则.问题·探究问题 1 在高尔顿板试验中，小球第一次与高尔顿板的底部接触时的坐标X 服从正态分布吗？思路:一个随机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.在高尔顿板试验中，小球到达底部的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布.探究:判断一个变量是不是服从正态分布，就是看是否为随机变量，并且是否符合正态分布的定义及条件.尽管我们是利用高尔顿板试验近似地得到正态曲线，进而得到正态分布.但正态分布是客观存在的规律，这一试验只是验证了这一问题.而且当试验的次数越多，也就是放入的小于的个数越多，试验就越接近正态曲线.问题2 某厂生产的圆柱形零件的外直径X 服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 ｃｍ，试求该厂生产的这批零件是否合格？思路:由X 服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.52),在(4-3×0.5,4+3×0.5)之外的取值概率只有0.03，而5.7 (2.5,5.5).这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格.探究:解决此类问题可以用假设检验的思想方法来解决，其基本步骤可分为三步.一是提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N （μ,σ2）;二是确定一次试验中的取值σ是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);三是作出判断，如果a ∈(μ-3σ,μ+3σ)，则接受统计假设，如果a (μ-3σ,μ+3σ)则拒绝统计假设.要注意小概率事件原理是假设检验的基础.运用小概率事件原理时须注意：这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的；运用“小概率事件原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能.典题·热题例1设ξ服从标准正态分布，则（1）P(ξ<1.8)=___________;(2)P(-1<ξ<1.5)=___________;(3)P(ξ>-1.5)=___________;(4)P(|ξ|<2)=___________.思路分析： 由标准正态分布的性质直接代入求解：（1）P(ξ<1.8)=φ(1.8)=0.964 1;（2）P(-1<ξ<1.5)=φ(1.5)-φ(-1)=0.993 2-1+φ(1)=0.993 2-1+0.841 3=0.774 5;(3)P(ξ>-1.5)=1-P(ξ≤-1.5)=1-φ(-1.5)=φ(1.5)=0.993 2;(4)P(|ξ|<2)=φ(2)-φ(-2)=2φ(2)-1=2×0.977 2-1=0.954 4.答案：（1）0.964 1 （2）0.774 5 （3）0.993 2 （4）0.954 4.方法归纳 利用公式φ(x)=1-φ(-x)及标准正态分布的几何意义（即其概率为相应的曲边多边形的面积），是将求服从正态分布的随机变量的概率转化为求φ(x 0)的值的关键，进而通过查标准正态分布表即可求出相关的概率.同样，利用公式P （X<x ）=φ(σμ-x )可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题，应熟练掌握.例2假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002).现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线.思路分析： 这是一个实际问题，通过数学建模可知，其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题.解：设分数线为μ，那么分数超过μ的概率应为录取率，即P(ξ≥μ)=2500010000=0.4， 因为ξ—N(500,1002)，所以P(ξ≥μ)=P(100500100500-≥-μξ=1-p(100500100500-<-μξ) =1-φ(100500-μ). 于是有φ(100500-μ)=1-P(ξ≥μ)=1-0.4=0.6. 从标准正态分布表中查得φ(0.25)=0.598 7≈0.6，故φ(100500-μ)≈0.6， 即μ≈525.由此可以估计录取分数线为525分.方法归纳 本题关键是由录取人数（计划招生人数）与考生总数之比求得录取率（即超过录取分数线的概率），从而成功地建立数学模型.例3正态总体N （0，1）的概率密度函数是f(x)=2221x e -π,x ∈R .（1）求证：ｆ（ｘ）是偶函数；（2）求ｆ（ｘ）的最大值；（3）利用指数函数的性质说明ｆ（ｘ）的增减性.思路分析： 对给出的标准正态分布的概率密度函数，可以利用函数的相关知识来研究它的相关性质.解：（1）对于任意的x ∈R ,f(-x)=2)(221x e --π=2221x e -πf(x).所以ｆ（ｘ）是偶函数；（2）令z=22x ,当ｘ=0时，z=0,e x =1, ∵e x 是关于ｚ的增函数，当ｘ≠0时，z>0,e x >1，∴当ｘ=0，即ｚ=0时，22x e =e x 取得最小值，当ｘ=0时，f(x)=2221x e -π取得最大值π21（3）任取x 1<0,x 2<0,且x 1<x 2,有x 12>x 22, ∴2222212221,2x x e e x x x --<-<- 所以2222212121x x e e --<ππ,即f(x 1)<f(x 2).这表明当ｘ＜0时，ｆ（ｘ）是递增的.同理可得，对于任取的x 1>0,x 2>0,且x 1<x 2，有f （x 1）>f(x 2)，即当ｘ＞0时，ｆ（ｘ）是递减的.拓展延伸 已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为______________.思路分析： 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线正方的面积相等，另外，因为区间（-3，-1）和区间（3，5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=μ对称， μ的概率意义是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望了.因为区间（-3，-1）和区间（3，5）关于ｘ=1对称，所以正态分布的数学期望是1.答案：1深化升华 通过例题的解决总结标准正态分步的概率密度函数的一些性质并注意应用. 例4已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到他们的尺寸如下：27.327.49 27.55 27.23 27.40 27.46 27.38 27.58 27.54 27.68,请你根据正态分布的3σ原则，帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的.思路分析： 正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准之内，所以对落在区间（27.45-3×0.05，27.45+3×0.05）之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假说.解：有两个零件不符合落在区间（27.45-3×0.05，27.453×0.05）内，尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，它们就是在非正常状态下生产的.深化升华 本例是统计中假设检验的一个实例，依据的准则是正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率很小（大约只有0.3%），所以几乎不可能发生.此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。

3 Sigma原则1. 简介3 Sigma原则，也被称为3σ原则，是一种质量管理方法，用于评估和控制过程的稳定性和可靠性。

它基于统计学中的标准差概念，可以帮助组织识别和减少过程中的变异性，从而提高产品或服务的质量水平。

3 Sigma原则最早由美国质量专家Walter Shewhart在20世纪20年代提出，并在20世纪50年代由日本著名质量管理专家Kaoru Ishikawa进一步发展和推广。

如今，它已成为许多组织在质量管理中常用的工具之一。

2. 标准差与正态分布要理解3 Sigma原则，首先需要了解标准差和正态分布的概念。

2.1 标准差标准差是衡量数据集合内部变异性或离散程度的统计指标。

它表示观测值与平均值之间的偏离程度。

标准差越大，数据集合内部的变异性就越大；标准差越小，则表示数据集合内部的变异性越小。

2.2 正态分布正态分布是统计学中最为常见的一种分布形式，也被称为钟形曲线。

它具有以下特点： - 均值、中位数和众数相等； - 曲线对称于均值； - 标准差越小，曲线越瘦高；标准差越大，曲线越矮胖。

正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，许多随机变量都可以近似地服从正态分布。

因此，在质量管理中，我们常常使用正态分布来描述过程的变异性。

3. 3 Sigma原则的应用3 Sigma原则基于标准差和正态分布的概念，通过设定一条上限和下限来评估过程的稳定性。

这条上下限通常是根据过程的历史数据计算得出的。

3.1 过程能力指数过程能力指数是衡量一个过程是否稳定并满足要求的指标。

在3 Sigma原则中，最常用的过程能力指数是Cp和Cpk。

Cp表示过程能力指数，它衡量了一个过程在规格范围内所能容纳的变异性。

Cp大于1表示该过程具备良好的稳定性；Cp小于1则意味着过程的变异性超出了规格范围。

Cpk表示过程潜在能力指数，它考虑了过程的中心位置偏移。

Cpk大于1表示该过程在规格范围内具备良好的稳定性和中心位置偏移控制；Cpk小于1则意味着过程的变异性超出了规格范围，并且中心位置也存在偏移。

剔除离群值的方法-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述离群值是指数据中与其他观测值相差较远的异常值。

在数据分析和统计建模中，离群值经常导致模型的不准确性和偏误。

因此，剔除这些离群值是数据预处理的重要步骤之一。

本文将介绍剔除离群值的方法。

首先，我们将概述离群值的定义及其对数据分析的影响。

接着，我们将详细讨论一些常用的剔除离群值的方法，包括统计方法和基于机器学习的方法。

在剔除离群值的方法中，我们将介绍"3σ原则"、箱线图、Z-score等统计方法。

这些方法通过设定阈值来识别和剔除离群值。

此外，我们还将讨论基于机器学习的离群值检测方法，例如基于聚类、基于密度的离群值检测和基于异常检测模型的方法。

这些方法通过利用数据的特征和模式来识别和剔除离群值。

然后，我们将总结和比较这些方法的优缺点，并讨论方法选择时需要考虑的因素。

不同的剔除离群值方法适用于不同的数据集和分析目的，因此在选择方法时需要综合考虑数据的特性、数据分布以及业务需求等因素。

最后，我们将展望未来研究的方向。

虽然目前已有一些成熟的剔除离群值的方法，但随着数据科学和机器学习的快速发展，还有许多新的方法和技术可以应用于离群值检测和剔除。

未来的研究可以探索更加高效和准确的离群值剔除方法，以使数据分析结果更加可靠和准确。

通过本文，我们希望读者能够了解离群值的定义和影响，并掌握一些常用的剔除离群值的方法。

同时，读者也能够在具体应用中根据数据的特点和需求，选择适合的方法来剔除离群值，从而提高数据分析的准确性和可靠性。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几点：文章结构部分介绍了整篇文章的组织结构和每个部分的主要内容，以帮助读者更好地理解和阅读文章。

本文的结构如下：第一部分是引言，包括概述、文章结构、目的和总结。

在本部分，我们将对离群值的问题进行简要的概述，并介绍本文的组织结构和主要目的。

最后，我们将对本文的主要内容进行总结。

第二部分是正文，主要分为三个小节。

成都市2022届高二下期新课讲义（九）《正态分布》新课讲义思维导图正态总体在三个特殊区间内取值的概率值若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974. 上述结果可用图表示如下：3σ原则：由P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997知，正态变量X 在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为0.3%.于是若X ～N (μ，σ2)，则正态变量X 的取值几乎都在距x ＝μ三倍标准差之内，即在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，这就是正态分布的3σ原则. 典型例题一、正态曲线的定义与性质例1.将一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的正态曲线C 2，下列说法中不正确的是 A .曲线C 2仍然是正态曲线 B .曲线C 1和曲线C 2的最高点的纵坐标相等C .以曲线C 2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的期望大2图D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2变式.关于正态曲线性质的叙述: 其中正确的是.①曲线关于直线x=μ对称，整条曲线在x轴上方; ②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数;③曲线在x=μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低;④曲线的对称位置由μ确定;曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”.变式.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A.μ1<μ2，σ1<σ2B.μ1<μ2，σ1>σ2C.μ1>μ2，σ1<σ2D.μ1>μ2，σ1>σ2二、计算服从正态分布的随机变量的概率例2.求正态总体N(1，4)在(－∞，3)内取值的概率.变式.设X~N(1，22)，试求:(1)P(－1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5).变式.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2三、正态分布的应用例3.设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.变式.(16杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.课后训练2（正态分布）： 可能使用的结论：若2(,)XN μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P1.（15湖南理）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.47722．(17双流)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A ．1193 B ．1359 C ．3413 D ．27183.设随机变量X ～N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1).(1)求c 的值；(2)求P (－4<x <8).4.（15山东理）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%5.（12全国理15）某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布()21000,50N ，且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .6. (17宜宾)若随机变量ξ服从正态分布)1(2σ，N ，且8.0)2(=<ξP ，则)10(<<ξP 的值为__________．7.已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.84，则P (X ≤0)＝________.8.（17乐山三诊）已知三个正态分布密度函数()()ii x iex σμπσϕ21221--=（R x ∈,3,2,1=i ）的图象如图所示，则A.321321,σσσμμμ>==<B.321321,σσσμμμ=<<=C.321321,σσσμμμ<==>D.321321,σσσμμμ<==<9、甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布),(),,(222211δμδμN N ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数99.12=δB. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小C. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均左右D. 甲类水果的平均质量kg 4.01=μ10.（14全国Ⅰ）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.甲0.80.41.99乙xy O11.（17新课标Ⅰ理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．12. 质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中a 的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为21S ，22S ，试比较21S ，22S 的大小（只要求写出答案）；（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z 服从正态分布),(2σμN ．其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差22S ，设X 表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求X 的数学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得9.1175.1422≈=S②若Z ),(~2σμN ，则6826.0)(=+<<-σμσμZ P ，9544.0)22(=+<<-σμσμZ P ．。

python异常值处理方法盖帽法_Python数据处理异常值处理方法之3σ原则在数据处理过程中，处理异常值是非常重要的一步。

异常值指的是数据集中与其他观测值明显不同的值，它们可能是由于测量误差、录入错误、设备故障等原因导致的。

如果不对异常值进行处理，可能会对数据分析和模型建立产生不良影响。

本文将介绍一种常用的异常值处理方法，3σ原则。

3σ原则是统计学中一种常用的若干标准差原则，它假设数据服从正态分布。

根据3σ原则，大约68%的数据将落在均值的±1σ范围内，约95%的数据将落在均值的±2σ范围内，约99.7%的数据将落在均值的±3σ范围内。

因此，如果其中一观测值的绝对值超过3个标准差，可以认为它是一个异常值。

下面介绍使用3σ原则处理异常值的方法：1.计算平均值和标准差：首先计算数据集的平均值和标准差，可以使用Numpy库的mean和std函数。

```pythonimport numpy as npdata = np.array([...]) # 数据集mean = np.mean(data) # 平均值std = np.std(data) # 标准差```2.确定异常值的范围：根据3σ原则，确定异常值的范围，即均值的±3倍标准差。

```pythonlower_bound = mean - 3 * std # 异常值下界upper_bound = mean + 3 * std # 异常值上界```3.处理异常值：将位于异常值范围之外的观测值替换为均值或删除。

```pythondata_clean = np.where((data < lower_bound) ， (data >upper_bound), mean, data)```在上述代码中，使用Numpy库的where函数将位于异常值范围之外的观测值替换为均值mean，其他观测值保持不变。

需要注意的是，3σ原则假设数据服从正态分布，因此在具体应用中需要对数据集的分布进行检验。

σ举例说明3σ在生产和生活中的应用
浅谈3σ原则在汽车制造业中的应用
汽车行业是当今社会上最具发展前景的热门产业之一，汽车行业的市场竞争也将变得愈发激烈。

汽车产品质量的优劣决定了市场竞争的胜负，而汽车零部件的质量则是产品质量的关键。

在同等实力的汽车制造商，在汽车零部件的生产技术与工艺水平上已经趋于均等，很难以技术的优劣实现产品总体质量的跨跃。

因此只能在生产和管理过程中来寻求提高产品总体和竞争优势的方法。

3σ原则作为零部件及其整车制造优先考虑的重要方式以提高汽车的总体质量水平。

3σ原则是检查错误数据的准则之一，在实验测量的时候，如果事先修正了系统误差，使之在要求的范围内，实验的时候主要考虑的是偶然误差，如果某一测量的偶然误差服从正态分布，根据正态分布公式可以求出标准偏差σ，3σ我极限误差，对于服从正太分别的偶然误差出现在±3σ的区域内的概率为99.73%，即在370次测量中仅仅有一次残差落在±3σ之外，如果用平均值带替真值则99.73%的数据应该落在±3σ区间内，如果数据出现在此区间外，我们就认为它是错误数据，应该剔除。

这样以标准偏差σ的3倍为界去决定数据的取舍，这就是3σ原则。

3σ原则检测
摘要：
1.3σ原则检测的定义和原理
2.3σ原则检测的具体步骤
3.3σ原则检测在实际应用中的优势和局限性
正文：
3σ原则检测是一种常用的数据分析方法，其原理基于统计学中的标准差概念。

标准差是用来衡量一组数据的离散程度，而3σ原则则是指在一个正态分布曲线下，距离平均值三个标准差的范围内，包含了约99.73% 的数据。

因此，通过3σ原则检测，可以快速判断一组数据是否符合正态分布，从而为后续的统计分析提供依据。

3σ原则检测的具体步骤如下：
1.计算数据的平均值和标准差。

平均值是所有数据的和除以数据的个数，而标准差则是每个数据与平均值的差的平方的平均值的平方根。

2.计算距离平均值三个标准差的范围。

这个范围通常用于判断数据是否符合正态分布，因为在正态分布曲线下，距离平均值三个标准差的范围内，包含了约99.73% 的数据。

3.将每个数据与平均值的差的绝对值与三个标准差进行比较。

如果某个数据的差的绝对值大于三个标准差，则认为这个数据是异常值，需要进行进一步的分析。

3σ原则检测在实际应用中有广泛的应用，例如在质量控制中，可以用于判断产品的尺寸是否符合要求；在金融领域中，可以用于判断投资项目的风险是
否可控。

然而，3σ原则检测也有其局限性，例如对于偏态分布的数据，3σ原则检测可能无法有效地识别出异常值。

总的来说，3σ原则检测是一种简单有效的数据分析方法，适用于大部分的数据分析场景。

高中正态分布sigama图形
正态分布中“sigma原则”、“2sigma原则”、“3sigma原则”分别是：
sigma原则：数值分布在（μ-σ，μ+σ）中的概率为0.6826；
2sigma原则：数值分布在（μ-2σ，μ+2σ）中的概率为0.9544；3sigma原则：数值分布在（μ-3σ，μ+3σ）中的概率为0.9974；
其中在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值x=μ即为图像的对称轴。

由于“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。

由此可见X落在（μ-3σ，μ+3σ）以外的概率小于千分之三，在实际问题中常认为相应的事件是不会发生的，基本上可以把区间（μ-3σ,μ+3σ）看作是随机变量X实际可能的取值区间，这称之为正态分布的“3σ”原则。

3σ原则检测摘要：1.3σ原则简介2.3σ原则在质量控制中的应用3.3σ原则在数据处理和分析中的应用4.3σ原则在实际生活中的应用案例5.总结正文：【1.3σ原则简介】3σ原则，又称作“三西格玛原则”，是统计学上的一种原则，用于确定数据的离散程度。

该原则认为，在正态分布情况下，约68% 的数据落在均值±1 个标准差范围内，约95% 的数据落在均值±2 个标准差范围内，约99.7% 的数据落在均值±3 个标准差范围内。

换句话说，我们可以通过计算数据的标准差来预测数据落在特定范围内的概率。

【2.3σ原则在质量控制中的应用】在制造业和质量管理领域，3σ原则被广泛应用于确定产品是否合格以及确定质量水平。

通过计算过程的平均值和标准差，可以确定产品的规格限。

只要产品数据落在规格限范围内，就可以认为产品合格。

这有助于企业降低产品不合格率，提高生产效率。

【3.3σ原则在数据处理和分析中的应用】在数据处理和分析领域，3σ原则可以帮助我们识别异常值。

通过计算数据的标准差，可以确定数据中异常值的范围。

如果某个数据点超出了这个范围，就可以认为它是异常值，需要进一步分析原因。

此外，3σ原则还可以帮助我们预测数据的分布情况，为数据分析和决策提供依据。

【4.3σ原则在实际生活中的应用案例】在日常生活中，3σ原则也有很多应用。

例如，在招聘过程中，面试官可以通过计算应聘者的平均分数和标准差来确定录取分数线。

只要应聘者的分数落在录取分数线范围内，就可以认为他们具备胜任工作的能力。

再如，在投资领域，投资者可以通过计算股票或基金的平均收益率和标准差来评估投资风险，从而做出更明智的投资决策。

【5.总结】总之，3σ原则作为一种统计学原理，在质量控制、数据处理和分析、实际生活等多个领域都有广泛应用。

异常值判断方法引言：在数据分析和统计学中，异常值（Outlier）是指在样本中与其他观测值明显不同的数据点。

异常值的存在可能会影响数据分析的结果，因此正确判断和处理异常值非常重要。

本文将介绍几种常用的异常值判断方法，帮助读者正确识别和处理异常值。

一、箱线图（Box Plot）法箱线图是一种常用的异常值判断方法，它通过绘制数据的箱线图来判断是否存在异常值。

箱线图将数据分为四分位数，并根据四分位数计算出上下限，超过上下限的数据点即被视为异常值。

箱线图通过可视化的方式直观地展示了数据的分布情况，便于判断是否存在异常值。

二、3σ原则3σ原则是一种基于统计学的异常值判断方法，它假设数据服从正态分布，并以均值加减三倍标准差作为异常值的判断依据。

根据3σ原则，如果某个观测值与均值的差值超过三倍标准差，那么该观测值即被视为异常值。

3σ原则可以较好地判断数据的离群程度，但对于非正态分布的数据效果可能不佳。

三、箱线图和3σ原则的结合应用箱线图和3σ原则可以结合应用来判断异常值。

首先使用箱线图来初步筛选异常值，然后再根据3σ原则进一步判断。

如果某个观测值同时被箱线图和3σ原则判断为异常值，那么可以较为确定地将其看作是异常值。

四、基于机器学习的异常值判断方法除了传统的统计学方法，还可以使用机器学习算法来判断异常值。

机器学习算法可以通过学习数据的模式和规律来判断异常值。

常用的机器学习算法包括聚类算法、孤立森林算法等。

这些算法可以根据数据的分布特点自动识别异常值，具有一定的鲁棒性和适应性。

五、专家判断法除了以上方法，还可以借助领域专家的经验和知识来判断异常值。

专家根据对领域的了解和经验判断数据是否存在异常值。

专家判断法的优点是可以针对不同领域的特点进行判断，但缺点是可能受到主观因素的影响。

六、结语正确判断和处理异常值对于数据分析的准确性和可靠性至关重要。

本文介绍了几种常用的异常值判断方法，包括箱线图法、3σ原则、机器学习方法和专家判断法。

CPK的计算原理：乘以3σ确保过程能力满足规格要
求
CPK是一个衡量过程稳定性的指标，表示实际过程输出与公差要求的接近程度。

CPK的计算公式中乘以3主要是基于过程能力的考虑。

在计算CPK时，需要基于过程的稳态数据，并且假定过程是标准正态分布的。

标准正态分布的特性决定了3σ原则，即99.73%的数据会落在均值（μ）加减3σ的范围内。

乘以3σ实际上是为了确保过程能力满足规格要求，即保证不合格率低于0.27%。

因此，乘以3是为了确保过程能力满足规格要求，并反映过程的稳定性。

识别连续型变量异常值的方法
连续型变量是指取值范围为连续的变量，如年龄、身高、体重等。

在数据分析中，连续型变量的异常值会对分析结果产生较大的影响，因此需要对其进行识别和处理。

下面介绍几种识别连续型变量异常值的方法：
1. 3σ原则法：即根据正态分布的特性，将数据分布在均值左右3个标准差以外的数据视为异常值。

2. 箱线图法：利用箱线图的上下限定义异常值，若数据点落在箱线图上下限之外，则认为其为异常值。

3. 离群点分析法：通过计算数据点与平均值的距离以及数据点之间的距离，来识别异常值。

4. DBSCAN聚类法：利用密度聚类方法，将数据点分为核心点、边界点和噪声点，噪声点即为异常值。

以上方法各有优缺点，需要根据数据集的特点选择合适的方法进行识别。

对于发现的异常值，需要进一步分析原因并根据具体情况进行处理，如删除、替换、平滑等。

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